Спектральные методы анализа конечных электродинамических структур тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

российская академия нш

ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ

СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕКТОДИНАШЧЕСКИХ СТРУКТУР

Специальность 01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора 5изико-математических наук

На правах рукописи

Хзмалян Александр Давидович

Москва - 1992

Работа еыполнэн8 во ВНИИ "Альтаир"

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Е.Н.Васильев ( МЭИ )

доктор физико-математических наук, профессор Б.З.Каценелонбаум ( ИРЭ РАН )

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф.Кравченко ( НИИТИ )

Ведущая организация: ЦКБ "Алмаз".

Защита состоится " 19 " шл 1992 г. в 10 час. на заседании специализированного совета Д 002.74.02 в Институте радиотехники и электроники РАН по адресу:

103907, Москва, ГСП-З, просп. Маркса, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институте радиотехники и электроники РАН.

Автореферат разослан _5992 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета Л 002.74.02 , к.Т.В.

М.Г.Голубцов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Под спектральным! методами в данной работе подразумеваются метода, осноЕашше на применении аппарата дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Фундаментальном свойством задач электродинамики является то, что функция Грина однородного пространства (изотропного, анизотропного) зависит только от разностей соответствующих координат точки источника и точки наблюдения, а не от какдой из координат в отдельное™. Это приводит к тому, что при исследовании взаимодействия сторо1Швго электромагнитного поля с телом, находящимся в таком пространстве прямая задача может бить сформулирована как решение интегродаФФеренциального уравнения (системы уравнений) типа свертки, то есть такого уравнения, ядро которого зависит только от разности координат точек наблюдения и интегрирования. При его численном решении с помощью метода мо?.1внтов (который фактически является основным численным методом решения) возникает система линейных алгебраических-уравнений с Олочно-тешшцевой матрицей, у которой элементы блоков зависят только от разностей индексов.

Слова "однородное пространство" здесь следует понимать в широком смысле. Так, если внешняя по отношению к исследуемому толу структура обладает трансляционной симметрией, то есть совпадает с собой при сдаете на непрерывную величину вдоль одной или нескольких координат, то вдоль этих направлений функция Грина внешнего по отношению к талу пространства также зависит только от разностей координат точек наблюдения и источника. Такая ситуация имеет место, например, для тела, находящегося в свободном пространстве, в однородном волноводе, в присутствии слоя диэлектрика (плоского, на цшшнд-ре).

До недавнего времени отмеченное свойство недостаточно полно использовалось при решении задач. Поэтому при исследовании конечных структур для решения систем! линейных алгебраических уравнений, возникающей в методе моментов, приходилось пользоваться методами решения систем общего вида. При размерностях матриц порядка нео-колысих сотен или тысяч, что характерно для задач электродинамики, при современном уровне развитая вычислительной техники здесь ноз-никсют непреодолимые проблемы, связанные с ограниченностью точное-

ти выполнения операций, быстродействия и объема оперативной памяти ЭВМ.

Цель работы состоит в разработке эффективных (оа счет учета указанной специфики задач электродинамики) методов исследования Смзичосгаи процессор.,, происходящих в реальных технических устройствах при возбуждении электромагнитных волн.

Научная новизна дшшоП работа состоит в том, что в ней разработаны оригинальные методы численного решения широкого круга задач елоктродинаммки, существенно использущие разностный характер ядер интегральных уравнении, теорему о свортке преобразований Фурье и влгоритм быстрого преобразования Фурьо (БПФ) для построения эффективных численных алгоритмов, позволяйте решать задачи со значительно большей, чем ранее, размерностью при сравнительно небольших Батратах времени на ЭВМ средней мощности и профессиональных персональных компьютерах. Подчеркнем,что речь идет о решении задач на конечном интервала. Научная новизна материала подтверждается датами публикаций работ.

Совокупность разработанных мэтодов названа спектральным подходом к анализу конечных электродинамических структур.

Актуальность.темы диссертационной работы определяется тем, что рассматриваемые в ней вопросы лежат в основе теоретического исследования процессов, проходящих при взаимодействии электромагнитных волн с различными телами, практического расчета характеристик и проектирования техшпеских устройств.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что разработанные спектральные методы являются вффвктивным средством численного решения широкого круга прямых задач прикладной электродинамики, исследования конкретных технических устройств. Среди их приложений такие важные задачи, как анализ конечных антогашх решеток, (как проходных, так и отражательных), определение характеристик радиолокационных отражателей, исследование влияния электромагнитного поля на человека (в том числе с целью лечения онкологических заболеваний методом СВЧ гипертермии и определения допустимых доз облуче1тя электромагнитным полам), нахождение собственных •волн направляющих структур и собствешшх колебаний резонаторов. Применение разработанного подхода не ограничивается задачами электродинамики. Он может быть применен для решения большого класса

других задач прикладной физики (например, соответствующих задач акустики, задач восстановления оптических, радиотехнических и акустических сигналов), математическая формулировка которых состо ит в решении уравнения типа свертки.

Достоверность предлагаемых методов н полученных,результатов гарантируется лежащими в их основа проверенными классичесшаш результатами, правильными посылками п математичосшши преобразованиями, тщательной отладкой программ, совпадением результатов расчетов с известными в литература и полученными как строгими методами, так и экспериментально. '

Основное положения диссартащпг, выносимые на защиту:

1. Разработан спектральный итерационный метод решения систем уравнений с матрицей блочно-теплицевой структуры.

2. Разработан спектральный алгебраический метод решения систем уравнений с матрицей блочно-тешшцевой структуры.

3. Разработан спектральный метод решения задачи на собственные значения для матриц блочно-теплицевой структуры.

Разработанные метода позволили построить более экономичные, чем ранее метода, позволяющие исследовать физические процессы в реальных технических устройствах.

4. О помощью спектрального подхода решена задача анализа конечных эквидистантных антенных решеток (проходных и отражательных).

б. С помощью спектрального подхода решена задача анализа неоднородных диэлектрических тел, в том числе о использованием кусочно-линейной аппроксимации неизвестной функции.

6. С помощью спектрального подхода решена задача исследования собственных волн направляющих структур, неоднородных в поперечной плоскости.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научно-методическом семинаре высшой -сколи по прикладной электродинамике, па семинаре по электродинамике в ИРЭ РАН , но московской и всесоюзных сессиях ИТ0,РЭС им. А.О, Попова, на всесогяних симпозиумах по дифракции волн п 1981 и 1990 г.г.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 120 страниц текста, включая 20 страниц рисунков и список литературы из 148 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ео введении даатся общая характеристика работы, ее краткое содержание и основные результата.

В первой главе даны постановка задачи и обзор литературы по тема диссертации.

В работе рассматривается решение прямых задач электродинамики (задач анализа), когда но заданным геометрии задачи и сторонним источникам необходимо определить распределение электромагнитного поля в пространстве, а в приложениях требуется найти также такие технические характеристики устройств, как диаграмма направленности (ДН), входное сопротивление, коэффициент усиления (КУ), еффектив-' ный поперечник рассеяния (ЭПР) и т. д. Результаты работа применимы и при решении задач синтеза поскольку они обычно включают в себя решение задачи анализа как существенную составную часть.

Математически задача, как правило, формулируется в виде интег-родифференциального уравнения, которое выраяает требование удовлетворения уравнений Максвелла и граничных условий на исследуемой структуре ¿1:

(1)

где 3 - неизвестные токи (электрические или магнитные, поверхностные или объемные) на элементах структуры, К - интегродифференциальный оператор, в общем случае тензорный, определяющий составляющие электромагнитного поля, создаваемого токами 7 . Функции и известны и задаются способом возбуждения - обычно это значения стороннего пвдаюцего поля. Уравнение (1) может быть получено с помощью фундаментальных принципов теории электромагнитного поля (лемма Лоренца, закон сохранения энергии)..

Важнейшим свойством уравнения (1), которое далее будет исполь-вовапо для построения эффективных методов решения являе£ся то,что при надлежащем способе его составления ядро оператора К зависит только от разности координат точки источника и точки наблюдения.

Рассмотрим сначала задачу анализа антенных реетток (АР). В этом случае уравнение (1) удобно записать в виде системы уравнений для токов па каждом из А/ элементов АР:

%К(Эп(Х-т)}+ %<Хп)-0, ХП6ЙМ, (2)

где Хп - координата на &п - поверхности (или объеме) п-го излучателя, ип - значения функции I/ нв П -ом элементе АР. Как правило, система (2) не решается аналитически, поэтому прибегают к численным методам. Наиболее универсальным из к;:: является метод моментов, в котором ищут приближенное решение в виде разложения по системе базисных (пробных) функций у<=1,2.....М:

м Т

1я(т)-{м(Х), т=0 1 ..,N-1. <з> т г 'г

Затем разложение (3) подставляют в систему (2), обе части которой проектируют на весовые функции ф^^СХ), V =1.... ,М (в частном случае метод называют методом Галеркина, а при -™5(Х„У(?у. где дельта-функция, 6У - орт соответствующей оси координат - методом коллокации) и получают систему линейных алгебраических уравнений* относительно неизвестных амплитуд базисных функций: ' н И-4

т«0 I "

где:

»

Х {{ (С)}%(Хп)с(*п, и>(п)*аип(хп)%<хп)с1*п.(Б)

о ' .о

Ее коэффициента ЗГу^ ошсыват.г взаимодействие гармоник тока па элементах АР и обычно имеют размерность сопротивления или проводимости. Поэтому будем их называть взаимными (а при V и Л "Щ -собственными) сопротивлениями (проводимостями) гармоник тока. Такой подход в теории АР, называемый обобщенным методом нчвчдетгах

ЭДС, впервые был предложен Я.Н.Фельдом.

Таким образом, задача сводится к решению системы уравнений (4) порядка А1М . который монет составлять величину в несколько сотен или тысяч, что вызывает существенные трудности ее решения на современных ЭВМ.

В задачах анализа эквидистантных АР, то есть АР, элементы которых расположены в узлах (не обязательно во всех) эквидистантной координатной сетки и одинаково относительно нее ориентированы, система (4) имэет вид уравнения типа свертки. Это связано с тем, что, как правило, функция Грина пространства, в котором находятся излу-чвтели, в направлении вдоль полотна АР зависит только от разности координат точки источника и точки наблюдения. Поэтому взаимные сопротивления (Б) определяются расстоянием между взаимодействующими элементами и их взаимной ориентацией. В случае эквидистантной АР это означает, что взаимные сопротивления зависят только от разности номеров излучателей:

сп-/п>.\ (б>

Здесь для двумерных (плоских, цилиндрических) АР. следует считать, что каждый индекс является совокупностью двух чисел, нумеру-пдих положение узла сетки по обеим координатам: вЧ , и^), п-®» -( п'^-пу п2-ш2>. Аналогично'поступаем и в трехмерном случае.

Таким образом, для эквидистантных АР система уравнений (1) имеет вид: ^

/лв/1 Т Г * (7)

ПеА, V

где А - множество тех номеров узлов сетки, в которых лежат элементы АР.

Система (7) имеет Олочно-тешищеву структуру или, иначе говоря, состоит из уравнений типа свертки. Каждый блок матрицы такой системы является теплицевой матрицей (матрицей Теплица), у которой коэффициенты зависят только от разности индексов. В двумерном и в трехмерном случаях эти коэффициенты в свою очередь являются теплице выми и блочно-теплицевыми матрицами, причем если в некотором узле сетки элемента нет, то соответствующие строки и столбцы мятрицы вычеркиваются.

■, Такой структурой матрицы объясняется некоторое родство методов, применяемых для решения интегральных уравнений с разностным ядром н систем линейных алгебраических уравнений типа свертки. В континуальном случае эти вопросы глубоко исследованы в работах Н.Винера, В.А.Фока, Ф.Д.Гахова, Ю.И.Черского, Л.А.Вайшнтейна, М.Г.Крейна.

Метода решения дискретных аналогов интегральных уравнений типа свертки - систем линейных алгебраических уоавнешШ типа свертки с матрицей блочно-теплицевой структуры стали развиваться позднее. Здесь необходимо выделить исследования Я.Н.Фельда, которые непосредственно посвящены задачам дифракции на бесконечных и полубесконечных решетках, составленных из п.ией.

Оригинальные методы спектрального анализа (анализа с применением аппарата преобразования Фурье) конечных эквидистантных АР из произвольных элементов, которые реализуются в эффективные численные алгоритмы, впервые предложены в работах А.Ф.Чаплина и его учеников. Отличительной чертой этих методов является использование мощного современного вычислительного средства - алгоритыа быстрого преобразования Фурье (НЮ).

В диссертационной работе разработаны аффективные спектральные метода решения (спектральный итерационный и спектральный алгебраический) системы уравнений вида (7), а также вида М М ^

1 )Г.(т)+£ £ Д„м(п,т)1м(т) = и„(п),

Т Г /ЫН1€А " ■ Г (8)

ША, \1 = <,2,...,М,

которая описывает задачу анализа более широкого класса АР, в именно, АР с неодинаковыми нагрузками, например, отражательных АР (в форлуле (8) второе слагаемое обычно описывает диагональную, трех-диагональную или иную матрицу, для которой существует быстрый алгоритм умножения на столбец). Они основаны на преобразовании уравнения (7) к циклической свертке.

Рассмотрим далее задачу анализа континуальных структур. До недавнего времени методы с применением преобразования Фурье использовались только для структур, однородных вдоль одной или двух осей координат, например, для слоя диэлектрика на экране и для тел вращения. В задачах кв с конечными телами произвольной формы применялся метод интегральных уравнений без использования разностного характера ядра для решения системы уравнений.

Обратимся вновь к уравнению (1 )• Нетрудно показать, что ири применении метода моментов и выбора базисных функций подобластей формулы (3)-(6)-верны и для задач анализе континуальных тел. Повти • му эти задачи также сводятся к решению системы линьШшх алгебраических уравнений вида (7) или (8). Примерами таких еадвч являются аадачи возбуждения конечного екрана (плоского или ньлятдогсся частью поверхности кругового цилиндра), неоднородного диалектричвс-кого тела. Следовательно, для их решения можно применить методы, разработанные для анализа АР и рассмотренные выше.

Последней проблемой, рассмотреной в диссертационной работе, яь-ляется задача отыскания собственных волн в направляющих структурах с произвольной формой поперечного сечения и с неоднородным распределением диэлектрической проницаемости ь поперечном сечении.

Математически задача состоит в определении собсч шшх функций и собственных чисел оператора уравнения (1). Применение метода моментов сводит эту задачу к отысканию собственных векторов и собственных чисел матрицы системы уравнений (4). Основная трудность состоит в том, что как и в рассмотренных выше задачах порядок втой матрицы получвется очень большим, и объем вычислений оказывается весьма велик.

В диссертационной работе показано, что в данной задаче уравнение ()) является уравнением йша свертки, предложен и реализован подход к определению собственных волн и их постоянных распространения с помощь» рассмотренных выше методов решения уравнений (7),(8), использующих разностный характер ядра (блочно-теплицеву структуру матрицы) и алгоритм БПФ. Этот метод позволяет решать задачу для линий передачи с произвольными формой поперечного сечения и законом распределения диэлектрической проницаемости.

Во второй главе разработаны спектральные метода решения систем уравнений вида (7) и (8) - спектральный итерационный метод и спектральный алгебраический метод, а также спектральный метод определения собственных чисел и векторов этих матриц.

Спектральный итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида (7) рассмотрим для одномерного одномо-дового (М-1) случая, ;<огдв исходная электродинамическая задача сводится к решению системы уравнений с классической матрицей Теплица:

АН ,

£ %(п-т)1(т)= 1Т(Ю, п*0,N4, (9)

где N - порядок системы уравнений. Из величин, входящих в систему (9) образуем три конечных последовательности (вектора) Z , 1+п [7+ из i" Р^ + Р2 - 1 (здесь Р^ ^ Z N) комплексных чисел, элементы которых нумеруются индексом п ( -Р( <1 < п^ Р^-1):

Z(n) = \

L любые числа для остальных П

(10)

r+ Í 1(П), Oí Л «Л/-/-область А „+ (U(n),neA

I (П)= | ' : и+Ы '

1.0, для остальных И - область 6 Ибо

Здесь вся область изменения индекса -P^i^n^P^-l разбито на две части: подобласть, соответствующая номерам неизвестных токов (элементам АР или тела) названа областью А, а остальная часть области определения последовательностей - областью В .

Из формул (9)-(Ю) видно, что результат циклической свертки последовательностей Z и 1+ в области А равен значениям последовательности U . а в области Ь результат заранее пеизвестея, что можно" записать формулой :

Z - CJ+ + U~, (И)

где I] - неизвестная последовательность, значения которой в области А равны нулю.

Можно доказать, что соотношение (11) есть уравнение относительно последовательностей 1+ и U , эквивалентное системе (9).

Прямое и обратное дискретные преобразования Фурье (ДПФ) конечной дискретной последовательности D размера L определяется формулой:

F±(l))n=¿ Z Dme±imn2s/L, я,т-Р<+/,...,Ра-/.

Применяя ЛПФ к обеим частям (11), по теореме о свертке получаем

I*=E.{[F+(Z)]4[F+(U'f~)+ F+(U-)]}. tu)

Соотпоевгсто (12) не позволяет непосредственно найти вектор J f тпк как последовательность U неизвестна. Однако на его основа

строится весьма аффективный спектральный итерационный метод решения систеш уравнений (9). Суть метода состоит в следующем. В на-чзле очередной р -ой итерации производится подстановка р -го приближения I* в исходную систему (9) по формуле

1*1+ = р„[р+(г)-р+сф1 (13)

и вычисляется вектор и норма вектора невязки

и^-ли^р-и* 04)

где Л и Л - операторы обнуления последовательностей вне областей А и В соответственно. Вектор Цр есть сумма вектора II* и р -го приближения для вектора II . Далее находится следующее приближение согласно формула (12):

Окончательно формула итерации имеет вид:

^г^-^Ф^^^^^^+ащсф)]}. об»

Итерации начинаются с некоторого начального приближения и заканчиваются когда норма (например, среднеквадратическая или чебышев-ская) вектора невязки становится меньше заданной малой вели-

чины. Эффективность вычислительного процесса (15) обусловлена тем, что при выполнении ДПФ используется алгоритм БПФ (поэтому количество арифметических операций на кавдой итерации пропорционально ИЬд N , а для решения системы (7) ~рс/11 N , где рс- число итераций, против^А/3 для алгоритма Гаусса ), а также тем, что матрица системы (9) хранится не вся, а только ее первые строка и и столбец (то есть необходимый объем памяти пропорционален N , а не А/2 как для алгоритмов общего ьида).

В диссертации представлен спектральный итерационный метод решения системы уравнений (7) для общего случая 5 -мерной эквидистантной сетки при учете М Оазисных функций на элементе и произвольной форме областей V М.

Рассмотрен вопрос о сходимости метода. Сформулировано условие, которому должна удовлетворять последовательность 2. для того,чтобы

метод сходился. На численных примерах показано, что сходимость спектрального итерационного метода может нарушаться при малых расстояниях между взаимодействующими токами (для Линэйной решетки из параллельных полуволнсвых короткозамкнутых вибраторов, расположен-шх ь свободном пространстве при шаге решетки меньшем 0,1 Л) и при взаимодействии типа поверхностной волны, когда величины ЗКС/1) слабо или совсем не убывают с ростом /п/.

Несмотря па наличие случаев расходимости область применимости метода оказывается достаточно большой, особенно для задач анализа АР.

Наличке ситуаций,в которых спектральный итерационный метод расходится, а также потребность в решении систем уравнений Еида (В), возникающих в задачах с неодинаковыми нагрузками, вызезли необходимость дальнейшего развития спектральных методов. Был разработан спектрально-алгебраический метод, сочетающий в себе быстродействие спектрального подхода с гарантированной сходимостью алгебраических методов.•

Суть метода состоит в следующем. В линейной алгебре хорошо известны метода решения систем уравнений (в основном итерационные), в которых имеется многократное умножение матрицы исходной системы нэ столбец и эта операция является наиболее трудоемкой. Выше подробно описан эффективный по времени счета и по используемой па-_ мяти эвм алгоритм умножения матрицы блочно-теплицевой структуры на столбец (формула (13)). Предложено объединить эти подходы для получения эффективного метода решения систем уравнений вида (7) и (8). Из алгебраических методов здесь перспективно, применение метода сопряженных градиентов (СГ) и градиентного метода с минимальными невязками <МН).

Предложено применять этот метод и в тех задачах, где матрица системы уравнений является комбинацией матриц блочно-теплицевой структуры и каких-либо матриц, допуска кгстх быстрый алгоритм умножения матрицы на столбец. Например, для задач анализа отражательной АР и неоднородного диэлектрического тела матрица системы уравнений есть сумма блочно-теплицевой и блочно-диогоиалыюй или -трехдиаго-нальной матриц и соответствует и операция легко выполняется непосредственно.

В литература известны рволтпшэ вари анты метода СГ. Напр;я.'эр, для решения системы уравнений Рл~ О с ксг/плексной матрицей Р гшолужиппет ишмштия алгоритм пила

арЧ/№,>1\ ррЧ/ИР\Х (16)

где Иа = = -рчРИ(РХ0-6). Н - знак эрми-

товского сопряжения, Х0 - начальное приближение. Норма невязки фр на каадой итерации уменьшается.

В алгоритмах СГ максимальное число итераций для получения точного решения при отсутствии ошибок округления не превосходит числа различных по модулю собственных чисел матрицы Если в (16)

использовать обычный алгоритм умножения матрицы на столбец, то -общее число операций будет ~Л/3. как для метода Гаусса.

Применяя в (16) быстрый алгоритм умножения матрицы на вектор, рассмотренный выше, получаем, что для системы (8) один шаг алгоритма СГ требует ~Н 1одМ операций (умножение на эрмитово сопряженную матрицу проводится также с помощью алгоритма "быстрой свертки" (11)). Поэтому потенциально точное решение находится за операций, что значительно меньше, чем ~

м3 для

алгоритмов типа метода Гаусса для матриц общего вида. Решение с наперед заданной точностью, достаточной для практики (Ю~г- Ю-6) требует, как правило, значительно меньшего, примерно на порядок, чем N количества итераций.

В диссертации рассмотрен ряд сеойсте разработанных спектральных мзтодое и матриц систем уравнений, позволяющих лучше понять существо методов и построить эффективные численные алгоритмы. Так рассмотрены вопросы применения различных алгоритмов БПФ и быстрой свертки. Исследованы свойства коэффициентов матрицы системы уравнений, вытекающие из взаимности окружающей среды и симметрии базисных функций (в том числе при использовании кусочно-линейных Оазисных функций с разными носителями, центры которых смещены относительно центров ячеек сетки), и вопросы их использования для построения экономичных алгоритмов. Рассмотрены свойства различных способов дополнения коэффициентов матрицы.

Спектральный итерационный метод для задач, в котоых наблюдается его уверенная сходимость, работает быстрее, чем спектральный алгебраический, который, однако, имеет гарантированную сходимость (причем при использовании алгоритма СГ - за конечное число шагов) и позволяет решать более широкий круг задач.

При решении ряда прикладных задач возникает необходимость

определения собственных чисел Л и собственных векторов ХГ матрицы систем уравнений (7), (8) или матрицы, связанной с ними несложными алгебраическими соотношениями (обозначим ее через Р ):

МР): Ру-Ж

Решение полной проблемы собственных значения при больших порядках матрицы Р , характерных для рассматриваемых в даннс-й работе электродинамических задач, является весьма трудоемкой проблемой. Дело упрощается тем, что, как правило, интерес представляют только наибольшее >Атаг* и/или наименьшее Л,7ПГ1 по модулю собственные числа я соответствуйте собственные векторы.

Для определения наибольшего по модулю собственного числа применим известный итерационный метод с формулой итерации:

л™* V - Ч К+< ■

Учитывая вышеуказанную специфику матрицы Р , используем для умножения матрицы нв столбец алгоритм быстрой свертки, описанный выше'. В'результате получим эффективный метод определения максимального по модулю собственного числа и соответствующего собственного вектора.

Для нахождения наименьшего по модулю собственного числа и соответствующего собственного вектора применим мзтод обратной итерация:

„„ ч /,пЧ., . я,- л ПН" П-*,

(17)

Здесь'нет необходимости получать в явном виде обратную матрицу. Умножение Р * на £Гк следует выполнять как решение системы уравнений Рх Реализуя эту операцию с помощью одного из спектральных методов, описанных выше, получаем эффективный метод определения минимального по модулю собственного числа и соответствующего собственного вектора. ^^

Если требуется определить не только Л и Л , но и следующие за ними по модулю собственные числа и собственные векторы, то можно воспользоваться известной в линейной алгебре модификацией итерационного метода опять в сочетании со спектральными алгоритмами умножения матрицы на столбец и решения системы уравнений.

Материал последующих глав основан на материале главы 2 и содержит примеры применения предложенного подхода в прикладных задачах.

Третья глава посвящена анализу конечных эквидистантных АР. Эта задача рассмотрена на примерах плоских конечных АР (проходной и отражательной) с элементами в вида открытых концов прямоугольных -волноводов на экране. Показано, что эта задача описывается системой линейных алгебраических уравнений вида: М

2 £ ГЦм(п-т) + ¿(п-т) У™гр(т)]1м(т) =

** ^ * (18)

леД,

где

уг(п-т)=-!Н сг~гт )}//г-гп)

ХцШ - неизвестная комплексная амплитуда базисной функции ^ в разложении искомого распределе5шя электрического поля в раскрыве волновода с номером ГМ , пробегающим область Л - ту часть узлов эквидистантной сетки, в которых лехат излучатели, <$ - символ Кроне-

п^З Л внешн пвнутр

кера, Н -магнитное поле сторонних источников, И ил

-операторы, определяющие касательную составляющую магнитного.поля, создаваемого магнитным током, расположенным на экране, на поверхности экрана во внешней и внутренней (волновода) областях соответственно. Конкретный вид этих операторов хорошо известен. Коэффициенты системы уравнений (взаимные проводимости) определяют взаимодействие между базисными функциями по внешнему пространству.

Для проходной АР с фидерным питанием проводимости нагрузок (полубесконечных волноводов) У"^^ но зависят от номера волновода, поэтому система (18) имеет вид (7). Если в качестве функций взяты распределения электрического поля собственных волн волноводе, то -¿(\I-JH, где - волновая проводимость соответст-

вующей волноводной гармоники.

В отражательной АР волноводы, подключенные к элементам АР пе полубесконечные, а имеют длины Ьп и короткозэмкнуты (модель отражательного Фазовращателя). Поэтому величины проводимостей нагрузок в общем случае оказываются различными для разных П :

у/и

где Лу - постоянная распространения соответствующей волны и система уравнений (18) уже принадлежит к классу уравнений (8). Так, если антенна должна иметь остронаправленную ДН с максимальным ко&ффициен-том усиления (КУ) в направлении ( 0о.фо). то из геометрооптических соображений в первом приближении величины Ьп можно выбрать:

= {аг$1 Ц 01)] + + &Ц } мое/ Ы, •

где 1Х°=К8\п90СОЗ(ро,Э5°=КЗ\п905Ь1(ро, ДФ-дискрет фазовращателя, £[•] - операция выделения целой части числа, /|- минимальная длина короткозамкнутой секции необходимая для уменьшения взаимодействия фазовращателя с апертурой по выспим типам вода, индекс V отвечает волне основного типа, А'п и уи -координаты элементов, !<--волновое

Как в случае проходной, так и отражательной АР, для реи.ыкя системы (18) применяем методы, разработанные в главе 2.

В диссертации приведены примеры расчета характеристик проходных и отражательных АР. Достоверность разработашюго подхода подтверждается хорошим совпадением результатов расчета ДН центрального элемента конечной проходной АР с треугольной сеткой из 95 (10*10) излучателей с результатом эксперимента, известным из литературы (Старк Л. Теория фазированных антенных решеток СВЧ диапазона. ОСзор.//ТШЗР. 1974. Т.62. X 12. С.55-104.). В этом примере показано, что модель конечной АР дает значительно лучшую, чем модель бес-ксннечной АР оценку не только уроЕня боковых лепестков, но и положения "провала" в ДН.

Приведен пример сравнительного расчета КУ конечных проходных (с фидерным и оптическим питанием) и отражательной АР с учетом дискретности фазовращателя при различных начальных фазировках по нормали к АР. Для иллюстрации высокой эффективности спектральных методов ниже в таблице в первых двух строках (для различных размеров АР N¡><»2 и числа учитываемых гармо!ШК тока на элементе м) приведены объем оперативной памяти и полное время решения одного варианта (для ЭВМ ЕС-1033) с помощью спектрального итерационного метода. В двух последних строках таблицы приведены соответствующие ьеличины-для приближенного подхода, основанного на модели ограниченного взаимодействия элементов, предложенного в работе:

Гостюхин В.Л., Гринева К.И., ТрусоЕ В.Н. Вопросы проектирования активных ФАР с использованием ЭВМ. М.: Радио и связь. 1983 и заимствованные из этой работы. Из таблицы видно, что спектральный метод для АР с размерами до 11x11 1фи М=3 в 2,3 - 10 раз эффективнее по памяти и в 10 - 20 раз по времени счете, причем с ростом размерности задачи его преимущество растет.

Н, X и2 7 » 7 9x9 11x11 16 X 16 32x32

м 3 Б 3 3 4 6 4

Объем ОЗУ, К 105 105 105 105 136 202 378

Время, мин. - 4 8 10 10 13 18 35

Объем ОЗУ, К [Л] 235 560 540 1120 - - -

Время, мин. [Л] 80 220 90 190 - - -

В четвертой главе рассмотрена задача возбуждение неоднородных диэлектрических тел. За основу взято интегральное уравнение для токов поляризации, которое имеет вид (1):

где

-1]Е(Ю , Е - напряженность электрического поля V - область, занимаемая телом, £ =£а/£с . £а(7?) - распределение комплексной диэлектрической проницаемости в теле , ¿^-диэлектрическая проницаемость окружающего _пространства, -поле сторонних источников, С(/?)=ехр(-1 К1Ё1)/4я1к1 - функция Грина свободного пространства, $ и - радиусы-векторы точек наблюдения и интегрирования, К - волновое число окружающей среды, Л - длина волны.

Введем трехмерную эквидистантную сетку с ячейками Уп , п =

-0>1,П2,П3} , Пу-0,1.....Л/у-1 (А/у- размер сетки по V-ой

координате^, в которую полностью погружается объем V . С центрам $ -XX +К2> каждой ячейки свяжем М Оазисных функций ^, =1,2.....Н и разложим неизвестный вектор по этим функциям:

/и=< теАр г Г

где - неизвестные коэффициенты разложения, номер 17} пробега-

ет области Ац - тэ значения М, для которых носители функций

полностью или частично лежат внутри объема V . Хш= + п/1 + /13сГ. пг(1г+ плсГ, с((1 с!г с13. с!', ёГ- па-

раметры сетки. Области могут иметь различную форму для раз-

ных |М и занимать объем более одной ячейки.

Задавшись системой весовых функций (|)у< Vе! .2,... ,Н, получаем систему уравнений вида (8) для величин которая решается

с помощью спектральных методов, разработанных в главе 2.

В диссертации рассмотрено применение кусочно-постоянных базисных функций (метод Галерки на и метод келлокации, приведены новые формулы для коэффициентов матрицы) и ранее неизвестное решение методом Галеркина с использованием кусочно-линейных базисных функций. Обсуждается вопрос вычисления взвимных и собственных сопротивлений, когда подынтегральная функция имеет особенность. Рассмотрены как трехмерный случай, так и двумерный, когда поля имеют вид:

Г£в ^-_^родольное волновое число (в общем случае комплексное), Г = у - координата в поперечном сечении тела.

На численных примерах показано, что широко используемые кусочно--постоянные базисные функции в уравнении, для токов поляризации при больших-диэлектрических проницаемостях, характерных для биологических объектов, дают неверные решения. Эта проблема преодолена применением более гладкой аппроксимации искомой функции с помощью кусочно-линейных базисных функций. На рис.] приведены распределения составляющих .поля при дифракции плоской волны, поляризованной вдоль оси ^ и распространяющейся в направлении' оси X , на однородном диэлектрическом цилиндре с проницаемостью £ =72 - 0,9 / 23С|£с (-- частота) диаметра 15 см."Результаты рис.1в,г получены с помощью кусочно-линейных базисных функций (в главных плоскостях они с хоро ■ шей точностью совпадают с известным строгим решением методом собственных функций),а рис.1 а,б - кусочно-постянных (из сравнения рисунков видно, что это решение принципиально неверно).

Проведено сравнительное исследование сходимости методов СГ и МН. Показано, что для тел с небольшим, слабо меняющимся £ и простой формой поперечного сечения, то есть когда элементы диагональной или трехдиагональной матрицы относительно велики и ма-

ло меняются, метод МН оказывается лучше, чем метод СГ. В задачах

же с высокими и/или сильно мвнящимися значениями £ .сложной формой поперечного сечения, характерными, например, для приложений в медицине, метод СГ является предпочтительным.

Таким образом метод СГ является универсальным средством, пригодным для широкого круга задач.

Приведены примеры решения двух- и трехмерных задач.

В пятой главэ решается задача определения собственных волн направляющих структур, с неоднородным в поперечной плоскости распределением диэлектрической проницаемости.

Рассмотрим бесконечный однородный вдоль продольной оси £ цилиндр с произвольным поперечным сечением и произвольным рапределе-пием диэлектрической проницаемости в поперечной плоскости. Требуется определить постоянные рпспространения # и распределение полей собственных волн этой структуры.

В главе 4 была подробно рассмотрена задача возбуждения такого тела'произвольным источником, имэпцим функцию возбуждения типа волны, бегущей вдоль продольной координаты: е"'^2 (см. формулу (19)). Величина $ может принимать любые комплексные значения. Проблема была сведена к решению системы уравнений типа свертки (8).

В задаче 'отыскания собственных волн этот подход остается в силе. Только нужно-не решать систему уравнений типа (8), а необходимо определить такие значения комплексной величины = • при которых однородная система имеет «к-ггивиальное решение. То есть надо найти такие $ ,. при которых минимальное по модулю собственное число матрицы системы уравнений (обозначим ее через Р ) обращается в пуль. Найденное значение есть постоянная распространения собственной волны,- а собственный вектор, соответствующий нулевому собственному числу,.описывает'распределение компонент электрического поля этой волны в пределах тела:

jf0: min mfn'A(P)|=0. с?о>

X

Эффективный спектральный метод нахождения минимального по модулю собстгегагого числа и соответствующего собственного сектора мэт-рицы системы уравнений типа свертки списан вышо (см. формулун (17), а для отыскания минимума функционала-можно использовать один из известных методов кгатмизации функции двух переменных.

В данной задаче удобнее находить из условия обращения в нуль собственного числа матрицы РМР

tf0: min min МРНР)"0, (M)

в не из (20), так как, во-первюс, целевая функция (21) в отличив от (20) вблизи нуля является гладкой и положительно определенное при любом комплексном $ без применения неаналитической операции нахождения модуля и, во-вторых, это вдвое экономит чиоло арифметических операций.

По мере приближения jf к точке j{0 определители матриц и уменьшаются, а в самой точке матрицы являются особен-

ными. Поэтому при точность решения системы уравнений в про-

цесс обратных итераций (17) ухудшается. Этот дефект устраняется переходом к новой целевой функции:

Й0: min min Д(РнР+лЕ )-<*<= О, (22,

где £ - единичная матрица, ОС - произвольное положительное число. Чтобы отделимость корня не ухудшалась, значение ОС. следует выбрать равным той наименьшей величине Л(РНР) , при которой вычисления по формуле (21) сохраняют приемлемую точность.

Таким образом, постоянные распространения собственных волн находим из (22), а сами собственные волны определяем как соответствующие собственные векторы матрицы P+OfE.

В разработанном методе определения собственных волн не возникают .нефизические решения, так как в формулировке задачи присутствуют все три компоненты вектора электрического поля.

Данный подход можно применить и для исследования резонансных частот и собственных колебаний резонаторов, если взять за основу систему уравнений для трехмерной задачи.

В диссертации приведены результаты расчетов, позволяющих срав-,нить результаты, даваемые данным методом и известные в литературе. Были рассмотрены однородные прямоугольный и круглый диэлектрические волновода, получено совпадение с результатами, полученными другими методами. Приведен результат расчета распределения составляющих собственной волны прямоугольного диэлектрического волновода.

Основные результаты работы.

1. Разработаны эффективные численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей блочно-тегшшеЕоП стру«-•туры: спектральный итерационный метод и спектральный алгебраически метод, а также спектральный метод определения собственных чипел -и собственных векторов таких матриц. Системы уравнений указанного типа возникают при численном решении интегральных уравнений с ядром, зависящим от разности координат точки источника и точки нвблвсишл и, следовательно, они характерны для широкого гсруга задач прикладной электродинамики и радиофизики. Разработанные методы значительно экономичнее существующих по времени счета и требуемой памяти ЭР" за счет применения в них алгоритмов быстрой свертки и быстрого прр образования Фурье, причем с увэличенниэм размера задачи 1а преимущество растет. Поэтому с их помощью можно получать решения радиофизических задач более эффективно, чем существующая методами, я также исследовать физические эффекты в конечных структурах с бо,п1 шиш, чем прежде, геометрическими размерами.

2. С помощью разработанных методов решены три различные радиофизические задачи. Первая задача - это анализ конечных зкеидистзнт -них антенных решеток (АР), как проходных, так и отражательных. Созданы алгоритмы и программы, с помощью которых можно исследовать-на персональной ЭВМ типа РС АТ-2В5 АР с числом элементов до 32*32 при учете трех гармоник тока на каждом излучателе (обычными методами можно исследовать АР с числом элементов на порядок меттпм) при произвольном возбуждении. Показано, что для достоверного прогнозирования храктеристик АР необходимо использовать модель конрч ной АР. Исследовано влияние на диаграмму направленности одного эле меята в составе АР (в том числе форлфованпе зоны "ослепления") его положения в полотне антенны. .Для отражательной АР исслрдонено влияние постоянной фазовоЯ подставки на ее характеристики.

3. Вторая задача - это возбуждение неоднородных диэлектрических тел. Получены новые удобные для расчета формулы для взаимлих сопротивлений между гармониками тока. Показано, что применение традиционной кусочно-постоянной аппроксимации поля в уравнении для токов поляризации приводит к физически неверным решениям при больших значениях модуля диэлектрической проницаемости. харэгтер пых для биологических сред. Для прпшльного прогнозирования «гиаи тэских эф!октов в работе предложено применять такие базистг- '!унк-

ции, которые не имеют разрывов первого рода вдоль направления аппроксимируемой компоненты векторной функции, в частности, куоочно-линейные. Разработаны алгоритмы и программы решения двух- и трехмерных векторных задач. Трехмерная задача может быть эффективно решена для тела с линейными размерами порядка "Длины волны ъ свободном пространстве.,

4. Третья задача - исследование собственных волн направляющих структур, неоднородных в поперечной плоскости, решается для произвольной неоднородности диэлектрической проницаемости.

По томе диссертации опубликованы следующие-работы:

1. Машков В.А., Хзмалян А.Д., Чаплин А.Ф. Итерационный метод анализа линейных и плоских антенных решеток с использованием быстрого преобразования Фурье // Изв. вузов. Радиоалектрони-КЭ.-1978.- Т.21.- * 2.- С.БЬ-61.

2. Машков В.А., Хзмалян А.Д..Чаплин А.Ф. Программа решения сио-темы линейных алгебраических уравнений с матрицей Теплица о использованием быстрого преобразования Фурье // Информ. Сшл. "Алгоритмы и программы". Изд. ВНТИЦ.-1979,- * 5131).- С.64. П00383Э.

3. Чаплин А.Ф. Хзмалян А.Д., Ряковская М.Л. Поэлементный спектральный анализ больших антенных решеток // Сб. науч.-метод, ст. по прикладной электродинамике. Вып.З. М.: Высшая школа.-

- 1980.- С.101-121.

4. Чаплин А.Ф. Хзмалян А.Д., О влиянии диэлектрических покрытий на ослепление ФАР // Радиотехника и электроника.-1978.- Т.23.

- * 12.- С. 2632-2634.

Б. Хзмалян А.Д. Программа решения системы линейных алгебраических уравнений с комплексной блочно-теплицевой матрицей специального вида // Госфонд алгоритмов и программ. Аннотация:Инф. бюлл.' "Алгоритмы и программы". ВНТИЦ.-1Э80.- » 3<Э5>. п.124.- 0.68. П004235.

6. Хзмалян А.Д. Итерационный метод анализа плоской антенной решетки // Радиотехника и электроника.-1981Т.26.- * 1.- С.46-52.

7. Хзмалян А.Д. Возбуждение конечной антенной решетки из пло-скопараллелышх волноводов под слоем диэлектрика // Изв. вузов. Радиоэлектроника.-!981Т. 24,- Л 2.- С.49-64.

•8. Хзмалян А.Д. Метод решения системы линейных алгебраических