Спектральные методы в теории развитой турбулентности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ИЗ 178

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Богданов Сергей Рэмович

СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы, 01.04.02 —Теоретическая физика

На правах рукописи

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- з ИЮН 2010

Санкт-Петербург

2010

004603178

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и методики преподавания физики физико-математического факультета Карельской государственной педагогической академии.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор АНТОНОВ Николай Викторович (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор физико-математических наук, профессор ИЛЮШИН Борис Борисович (Институт теплофизики им. С.С.Кутателадзе СО РАН)

доктор физико-математических наук, профессор ПАВЛОВСКИЙ Валерий Алексеевич (Санкт-Петербургский Морской Техниче-. ский университет)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится 2010 в ¿4 часов на засе-

дании совета Д212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " СХи/^М 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Зегжда С. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Турбулентность как одна из наиболее крупных нерешенных проблем классической физики сохраняет свою актуальность уж« в течение нескольких десятилетий. Спектр подходов и методов, связанных с ее изучением, постоянно расширяется, при этом развитие теории турбулентности происходит во все более тесной взаимосвязи с исследованиями в ряде других смежных областей (квантовая теория поля, критические системы, фракталы, теория бифуркаций).

С другой стороны, исследования турбулентности становятся все более актуальными в связи с умножением технических и технологических задач, в которых это явление играет существенную роль: от расчетов динамики атмосферы и океана до течений в трубах и даже капиллярах, от изучения турбулентного тепло- и массообмена до генерации звука и МГД-динамо. В этой связи в последние годы активно разрабатывались модели турбулентности, применимые для инженерных расчетов, широкое распространение получили также методы прямого численного моделирования (DNS). Однако дальнейший существенный прогресс и, в частности, разработка надежных методов „управления" турбулентностью невозможны без дальнейшего углубления представлений о физике явления, структуре и свойствах "турбулентной материи". Этот прогресс, в свою очередь, во многом связан с исследованием спектральных характеристик турбулентности и построением на этой основе более адекватных моделей (условно причисляемых к "третьему поколению"), свободных от недостатков, свойственных методологии "одноточечного замыкания".

Целью работы является изучение структуры развитой турбулентности и совершенствование методов ее расчета на основе анализа спектральных характеристик. В этой связи возникли следующие группы задач:

• выявление наиболее общих свойств спектральных функций (скей-линг, длинноволновый предел, положительная определенность), их теоретическое обоснование и проверка согласованности с экспериментом;

• „редуцирование" спектральных уравнений на основе идей сокращен-

ного описания. Выбор секулярных полей и получение для них замкнутой системы уравнений;

• апробация предложенного подхода на примерах затухающей турбулентности и однородного искажения;

• разработка критериев оценки существующих одноточечных моделей турбулентности на основе спектральных представлений.

Научная новизна работы и основные результаты, выносимые на защиту:

• на основе условия „спектральной реализуемости" выведены ограничения, которым должны удовлетворять модельные выражения для „быстрой" части корреляций "давление-скорости деформаций". Эти ограничения представляют собой новый и удобный с практической точки зрения критерий адекватности моделей турбулентности второго поколения, который, в отличие от известных критериев реализуемости, позволяет, например, независимо, до процедуры численного решения, оценить область применимости различных модельных выражений для корреляций "давление-скорости деформаций";

• на основе анализа многочисленных экспериментальных данных по исследованию спектральных характеристик турбулентности в длинноволновом (включая инерционный интервал) диапазоне установлена аналогия между развитой турбулентностью и критическими системами, находящимися вблизи точки фазового перехода второго рода. Критической точке при этом сопоставляется предел Не —» оо, роль „температуры" т играет отношение колмогоровского диссипативного

и внешнего Т масштабов времени, а статистика флуктуаций скорости в указанном диапазоне описывается универсальными функциями с аргументом ктс, где гс - корреляционный радиус (интегральный масштаб) турбулентности;

• для локально-однородной турбулентности проанализированы аналитические свойства спектральных функций в области малых волновых

чисел к. Показано, что характер промежуточной асимптотики в пределе при кгс —► 0 существенно влияет на эволюцию потока. В частности. существование нетривиального предела для сверток (ослабленная форма аналитичности) спектральных функций позволяет выразить показатель затухания изотропной турбулентности через критические индексы и приводит к значению 6/5, которое лучше согласуется с экспериментом, чем, например, значение 10/7, соответствующее предположению об аналитичности компонент спектрального тензора. Для течений со средней скоростью деформаций петривиальность указанного предела соответствует существованию квазидетерминиро-ванных длинноволновых возмущений - так называемых когерентных структур;

предложен новый набор управляющих полей, которые служат основой сокращенного описания гидродинамической системы на турбулентной стадии эволюции. К ним относятся амплитудные функции длинноволновых возмущений, а также корреляционный радиус и средняя скорость е диссипации энергии. К аргументам этих полей, в отличие от тех, которые используются в различных схемах так называемых одноточечных замыканий, кроме пространственных координат. относится также ориентация 9 = к/к волнового вектора к. При этом переменные, от которых зависят параметры турбулентности. разделены на „быстрые" (волновое число, зависимость от которого описывается универсальными функциями с аргументом кгс) и „медленные" (пространственные координаты и ориентация волнового вектора). Универсальность указанных функций подтверждена анализом экспериментальных данных;

для секулярных полей выведена замкнутая система уравнений, и для некоторых типов течений получены аналитические решения. В частности, без привлечения каких-либо модельных констант выполнен расчет основных спектральных и одноточечных характеристик турбулентности при однородном искажении;

для неоднородных течений предложен метод расчета секулярных по-

лей, аналогичный методу Эпскога-Чепмена в кинетической теории газов. При этом спектральный межкомпонентный перенос, сопоставлен интегралу столкновений в кинетическом уравнении Больцмапа. В качестве примера рассмотрена задача о возвращении к изотропному состоянию.

Достоверность. Выводы диссертации основаны на результатах численных расчетов и теоретических оценок, которые подтверждены качественно и количественно экспериментальными дапыми.

Практическая значимость результатов исследований связана с: углублением представлений о динамике крупномасштбных пульсаций и их определяющей роли в формировании структуры турбулентности. Предложенный вариант сокращенного описания турбулентности и, соответственно, редуцирования спектральных уравнений позволяет объяснить механизм подавления нелинейных взаимодействий и формирования универсальных спектральных функций.

В рамках предложенного подхода возникает возможность аналитического расчета не только одноточечных характеристик турбулентности, но и спектральных параметров, определющих ее структуру.

Выведенные новые критерии реализуемости для моделей второго поколения позволяют оперативно, до стадии решения громоздких систем дифференциальных уравнений, определить области адекватности этих моделей, а также производить их корректировку за счет варьирования значений констант в заранее рассчитанных диапазонах.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы представлялись, докладывались и обсуждались на семинарах кафедры статистической физики СПбГУ, кафедры теоретической физики КГПА, лабораториях ЦАГИ и ЦНИИ им. акад. Крылова, на Всесоюзных, Всероссийских и Международных конференциях и семинарах:

- на Всесоюзном совещании по проблеме "Абсорбция газов"(Ташкент, 1979).

- па V Республиканской конференции молодых ученых - химиков (Таллин, 1983),

- rra Всесоюзной научно-технической конференции "Контейнерный трубопроводный гидротранспорт"(Новополоцк, 1984),

- па Всесоюзной конференции молодых исследователей "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 1985),

- па Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы аэродинамики газовоздушных трактов котельных агрегатов"(Барнаул, 1989),

- на координационном совещании "Математическое моделирование в гидроэкологии" (Ленинград, 1990),

- на Международном совещании "Проблемы физической лимнологии "(Петрозаводск, 1993),

- на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001),

- на VI Европейской конференции по гидромеханике EFMC-6 (Стокгольм, Швеция, 2006),

- на XI Европейской конференции по турбулентности ETC -11 (Порто, Португалия. 2007),

- на XII Европейской конференции по турбулентности ETC -11 (Мар-бург, Германия, 2009),

- на Международной научной конференции по механике "Пятые По-ляховские чтения"(С.-Петербург, 2009).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в 22 научных работах, среди которых 11 в реферируемых журналах. Работы [1]-[10] опубликованы в журналах из перечня ВАК, рекомендуемого при защите докторских диссертаций по математике и механике; физике.

Работы [1-4. 7, 9,10], опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК, выполнены без соавторов. В работе [5], выполненной в соавторстве с С.И.Соболевым, автору принадлежит идея о спектральном критерии реализуемости, оценки и расчеты в равной степени принадлежат автору и С.И.Соболеву. В работе |6], выполненной совместно с Г.Ф.Лехто, автору принадлежат основные идеи, численные расчеты проводились совместно с Г.Ф.Лехто. В работе [8], выполненной совместно с Т.Йонгеном, автору принадлежит постановка задачи о выводе ограничений на значения кор-

реляций "давление - скорости деформаций", идея инвариантного анализа этих ограничений принадлежит Т.Йонгену; расчеты выполнены соавторами совместно. Вклад автора в работах |11. 15, 17, 19, 20] одинаков с вкладами соответствующих соавторов: автор в равной степени участвовал в разработке идей, проведении расчетов и оценок, сравнении с экспериментальными данными.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, 8 приложений, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 322 страницы, включая 90 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные задачи, дана оценка новизны и практической ценности полученных результатов. Представлен краткий обзор основных методов и подходов, используемых при изучении турбулентности. Приведена аннотация работы по разделам.

В первой главе проведен критический анализ одноточечных полуэмпирических моделей, наиболее часто используемых при расчетах турбулентных течений. Основное внимание уделено так называемым моделям второго поколения (DRSM), основанных на решеиии уравнений переноса для напряжений Рейнольдса (uitij), а также алгебраическим моделям (ARSM), основанным на допущении о „слабом равновесии", когда тензор анизотропии bij = (ищ)/(и?) — 1/3 медленно изменяется в пространстве и времени, и, соответственно, конвекционным и диффузионным слагаемым в уравнениях переноса для этого тензора можно пренебречь.

При использовании обоих подходов одна из основных проблем заключается в моделировании тензора корреляций „давление-скорости деформаций" Фу = {pdui/dxj) + {pduj/dxi) и особенно его „быстрой", обусловленной средней скоростью Щ = dUi/dxj деформаций, части Ф^Л В частности, именно это слагаемое в уравнениях переноса, как показывают расчеты1, во многих случаях „ответственно" за нарушение известных условий реали-

lGirimaji S.S., Jeong Е., Poroseva S.V. Pressure-strain corrélation in homogeneous unisotropic turbulence subject to rapitl strairi-donimated rlistortion // Physics of Flukls - 2003. - V. 15. JV» 10. - P. 3209 - 3222.

зуемости, например, неравенств

<Uf)>0; (U1U2)2 < («?> (ul) , (1)

вытекающих из требования положительной определенности тензора напряжений. Подобные нарушения, свидетельствующие о нефизическом характере решений - естественная плата за полуэмпиричпость.

Одним из наиболее распространенных является следующее выражение для тензора ф}^ (LRR: Launder, Recce, Rodi, 1975; Talbee 1992 и другие):

= С2КЗ^ + C3K(b,kSkj + Slhbkj - §{bSJäy)

(2)

-CtK{bikWkj - Wikbkj) Здесь S и IV -симметричная и антисимметричная части матрицы средних скоростей деформаций, К = (и2)/2 - энергия турбулентных пульсаций, фигурные скобки используются для обозначения сверток соответствующих матриц. При определении „констант" {С,} сохраняется функциональный произвол.

Существенный прогресс в совершенствовании моделей был достигнут при использования „сильной" версии критерия реализуемости: скорость изменения параметра должна обращаться в ноль при приближении к соответствующему физическому пределу (например D(u^)/Dt = 0, если (и^) = 0; здесь по повторяющимся греческим индексам суммирование не производится). В качестве основы при этом использовалось точное (в приближении локально-однородной турбулентности) представление:

= 2 Uha{MiT,üj + Mjmli) (3)

Здесь Miimj = J(FmjOiei)d)i., Fij(x, r) - спектральная матрица двухточечных корреляций < ui(x)uj(x + г) >.

Так, в частности, при параметризации тензора M,mj, через тензор анизотропии b,j (естественный и, по существу, единственно возможный в рамках стратегии DRSM подход) с учетом условий симметрии, несжимаемости и нормировки для тензора было получено общее выражение пятого по тензору анизотропии порядка с восемью независимыми элементами тензорного базиса. При этом за счет использования сильной версии

критерия реализуемости из 15 модельных коэффициентов независимыми остаются лишь 7. Число этих коэффициентов в моделях четвертого и третьего порядка сокращается до 4 ({"/¡})и 1 (71) соответственно.

Построение нелинейных по тензору b моделей позволило существенно расширить класс течений, поддающихся расчету, однако остались и некоторые принципиальные трудности. Например, в рамках таких моделей при изучении даже некоторых простых искажений расчетное поведение инвариантов lit, ~ — {Ь2}/2 и IIh s {Ь:)}/3 не всегда соответствует экспериментальным данным. Более того, некоторые известные эффекты, например, затухающие осцилляции компонент тензора анизотропии в случае чистого вращения, в принципе не могут быть описаны в рамках этих моделей2.

Подобные эффекты могут быть объяснены, если включить в модели слагаемые, нелинейные по Щ. Такие попытки в последнее время были предприняты в рамках подхода ARSM. Примером может служить следующее квадратичное по тензору 1]ц представление для Ф^ 3:

ф£7е = c2s„ + C,(bikSkj + Sikbkj - §{Ss}5y) -C,(bikWkj - WabkJ) + 2Cw(bikSkj + sfkbkj - §{6S2}<y/v77s (4)

+2CwibikWij + Wlbkj - l(6И>2}5ij)/y/^TÎw Здесь Ils s {S2},IIW = {И>2}.

В целом, однако, подобное усложнение полуэмпирических моделей не может гарантировать их применимость к расчету любого типа течений и исключение пефизических решений. В этой связи особый интерес представляют любые точные результаты, вытекающие из спектрального представления (3) для тензора В частности, из этого представления можно вывести некоторые весьма общие неравенства, которым должны удовлетворять компоненты этого тензора. Вывод основывается на использовании свойства положительной определенности спектральной матрицы 2

2Sjogren T., Joiiansson A.V. Development and calibration of algebraic nonliiieai modela for terms in the Reynolds stress transport équations // Physics of Fhiicfe - 2000. - V. 12. Л> 6. - P. 1554-1572.

301of Grundestam. Modelling aiid simulation of turbulence subject to system rotation. Doctoral Thesis in Fluid Mecliaiiics / KTH - Stockholm, 2006. - 1D0 P.

- точечных корреляций пульсациоппой скорости (физически это означает, что амплитуды колебаний всех масштабов - вещественны):

> о. (5)

Здесь черта над величиной означает комплексное сопряжение-

Условие положительной определенности тензора Рейнольдса можно рассматривать как частное следствие неравенства (5), однако с помощью этого неравенства можно получить даже более конструктивные для анализа моделей следствия. В частности, после сворачивания формулы (3) по индексам г,э с матрицей выводится двойное неравенство |5,8]:

~АК\\-\¥2\\ < {¿/Ф^} < 4Я(2||52|| + ||-Ж2|| - 2||51У||) (б)

Здесь знак ]| ... || используется для обозначения нормы соответствующих матриц.

Последнее неравенство использовано для непосредственного анализа адекватности моделей. При этом, во-первых, по заданному набору констант рассчитаны допустимые значения компонент тензора Ь, при которых использование соответствующих моделей не нарушает ограничения (6). С другой стороны, производя „сканирование" неравенства (6) по всей физически допустимой области значений компонент тензора Рейнольдса, можно получить ограничения на значения модельных констант {С;}.

Оба варианта проверки адекватности моделей представляются более конструктивными и предпочтительными по сравнению с известными критериями реализуемости, поскольку, в частности, такую проверку можно осуществить до проведения громоздкой процедуры численного решения системы дифференциальных уравнений.

Метод проиллюстрирован конкретными расчетами, выполненными для течений эллиптического типа, когда число независимых компонент тензора Рейнольдса сокращается до 3. При этом в качестве независимых параметров можно выбрать свертки:

в Е =МВ

1 {52}1/2' 2 {¿2} ' 3 {52} ' и

а ограничение (6) записать в компактном виде:

2 4- 2|/?| + R1 > ^С-2 + С3В3 — С\Вг > —R2 (7)

Здесь Я2= -{^2}/{s2}.

На рис. 1 представлен домен допустимых значений инвариантов Вз и £?г и та его область (ограниченная сверху параболой MN), в которой происходит нарушение условия (7) для случая модели (2) с набором констант по версии LRR. „Запретная" область соответствует анизотропной турбу-лености с большой интенсивностью пульсаций вдоль оси потока (точка А соответствует предельному случаю „продольной" одномерной турбулентности). Результаты расчетов для других моделей этого класса аналогичны.

Рис. 1. „Область адекватности" модели LRR при расчетах эллиптических течений. Ниже параболы MN, пересекающей треугольник ABC допустимых значений, нарушается условие реализуемости.

С другой стороны, расчеты, выполненные по второму из упомянутых выше способов, приводят к ряду ограничений на значения констант, например:

С2 > 2С3/3, Сз > C2J4 (8)

Первое из этих неравенств оказывется нарушенным при использовании всех известных наборов констант квазилинейной модели (2). Исключение составляет лишь версия GL (Gibson, Launder, 1978), для которой выполняется точное условие C-¿ = 2С3/З.

Для случая, когда нарушается условие Сг > 2Сз/3, рассчитан также диапазон значений параметра Я при которых происходит такое нарушение:

Аналогичный анализ проведен для случая нелинейных моделей ¡7,9]. Здесь также получены конструктивные ограничения на значения модель-пых констант (например, —1/12 < 71 < 0). Что касается конфигурации .запретных зон", то их иллюстрируют рис.2, на котором представлены результаты расчетов семейства линий, задающих ограничение (6) для моделей третьего и четвертого порядка.

Рис. 2. Слева - семейство линий, задающих ограничение (6) для кубичной модели при 71 = —0,1; справа - проблемные зоны физического домена для модели четвертого порядка.

Здесь нарушения условия (6) наблюдаются в достаточно узкой зоне физического домена. Однако именно с этой зоной, соответствующей, например, пристеночной области течения в канале, как правило, связаны основные трудности при расчетах.

Не исключено, что за счет небольшого варьирования значений четырех модельных констант {7,} можно добиться выполнения условия (6) во всей физической области. В целом, однако, анализ иерархии нелинейных по тензору Ь моделей показывает, что их последовательное усложнение не приводит к монотонному улучшению ситуации с выполнением ограничения (6). В частности, некоторые зоны, „безопасные" на предшествующем уровне иерархии, оказываются проблемными при „улучшении" моде-

(9)

ли. Этот вывод иллюстрируется рисунком 3, где зоны нарушения основного условия(б). изображенные ранее на рис.2, представлены в традиционном виде, с использованием треугольника Ламли. Для кубичной модели, как видно из рис. 3, проблемной оказывается зона, которой, как известно, соответствуют значения параметров анизотропии, характерные для течения за ступенькой. В то же время в модели четвертого порядка, несмотря на сужение „запретной" зоны в целом, в разряд проблемных попадает, как уже отмечалось, часть физического домена, соответствующая, например, пристеночным областям течения в канале4.

а б

Рис. 3. Конфигурация .запретных" зон для моделей (а) третьего (с 71 = 0.1) и (б) четвертого порядка с представлением физического домена (треугольник Ламли) на плоскости инвариантов III, -II.

Аналогичным образом протестированы на предмет выполнения ограничения (6) и модели, нелинейные по средней скорости деформации. Здесь также ограничение выполняется не во всей физически допустимой области. Одновременно получены простые ограничения на значения констант, гарантирующие выполнения неравенства во всем физическом домене. А

4Per-Age Krogstad, Lars-Even Torbergsen. Invariant Analysis of Turbulent Pipe Flow // Flow, Turbulence and Combustion. - 2000. - V. 64. - P. 161-181.

именно, при С\у < Сз/\/2 должно выполняться условие Сг > 2Сз/3, которое уже было выведено ранее при анализе линейных моделей. В свою очередь, при Сц> > Сг/у/2 константу С-1 следует выбирать на основе ограничения Сг > — Сз/3 + С\у\/2.

Спектральный критерий реализуемости (6) использован также для анализа параметров стационарных состояний. Здесь нарушений неравенств не возникает, что неудивительно в связи с общепринятой процедурой „калибровки" моделей как раз по значениям именно этих параметров. Заслуживает, однако, внимания тот факт, что для стационарных состояний область адекватных значений параметров оказывется достаточно узкой, а для модели ТапШее нижняя ограничительная кривая даже совпадает с рассчитанными в рамках модели значениями (рис. 4).

Рис. 4, Параметры стационарных состояний: слева - расчет безвихревых искажений по модели БЭС (Зрег1а1е, Эагкаг, Са1вИ 1991) ; справа - потоков с вращением по модели Т, 6, с - ограничительные кривые (6). Индексы 1, 2 соответствуют значениям Р/с = 1,2. Здесь г) = т{82}1^2;т = К/с\ Р -„накачка" энергии.

В разделе 1.6 показано также, что основной критерий (6) может быть использован для проверки адекватности нелинейной („медленной") части корреляций „давление - скорости деформаций".

Приведенный в данной главе анализ свидетельствует о том, что многие используемые при замыкании уравнений переноса для напряжений Рей-

польдса аппроксимации корреляций „давление-скорости деформации" не могут считаться вполне адекватными. В частности, они заведомо неприемлемы для расчета течений с произвольной степенью анизотропии. При этом усложнение моделей за счет включения нелинейных по степени анизотропии или средней скорости деформаций слагаемых далеко не всегда приводит к улучшению их предсказательных возможностей. Эти результаты свидетельствуют о том, что турбулентность, скорее всего, является более нелокальной, чем предполагается в рамках моделей второго поколения: набор полей, для которых составляются дифференциальные уравнения, должен быть в общем случае расширен или изменен. Альтернативные схемы замыкания, основанные на непосредственном использовании спектральных уравнений, представлены в двух последующих главах.

В то же время модели второго поколения остаются наиболее распространенными при изучении сложных течений, и приведенные выводы не умаляют их значения в инженерных расчетах, и, в частности, как показали результаты раздела 1.5, при вычислении параметров стационарных состояний. В этой связи простые критерии адекватности (6), выведенные в данной главе, представляются весьма удобным и эффективным инструментом совершенствования и уточнения расчетов. В частности, как было показано в разделах 1.3, 1.6, с помощью этих критериев можно расширить область применимости моделей, например, за счет контролируемого варьирования значений констант или даже путем их замены функциями параметров течения.

В главе 2 представлен альтернативный - по отношению к известным полуэмпирическим „одноточечным" моделям - вариант описания турбулентных потоков, основанный па непосредственном использовании спектральных уравнений. Обращение к изучению двухточечных характеристик представляется вполне естественным как в связи с возросшими запросами практических расчетов, так и в контексте логики развития схем „замыкания" на основе идей сокращенного описания. Однако общеизвестны и возникающие здесь трудности. Они связаны с исключительной сложностью системы уравнений для спектральных тензоров. Попытки непосредственного „замыкания" этих уравнений, например, на уровне моментов третьего

и четвертого порядков, строго говоря, несвободны от уже отмечавшихся недостатков, присущих и одноточечным моделям. К ним можно отнести использование значительного числа неопределенных эмпирических констант, недостаточную физическую обоснованность модельных представлений, и, как следствие, неконтролируемые нарушений условий типа реализуемости.

В то же время, даже оставаясь в рамках феноменологического рассмотрения, из этой системы можно получить достаточно конструктивные результаты, используя лишь наиболее общие свойства спектральных тензоров, такие как поведение в длинноволновом пределе и скейлинг. Физическую основу такого подхода составляет гипотеза о масштабной инвариантности (скейлинге) длинноволновых возмущений поля скорости: при масштабных преобразованиях г —♦ Аг все неприводимые спектральные характеристики различных гидродинамических полей изменяются таким образом, как если бы изменились единицы измерения соответствующих полей, например:

Здесь я, ¡1 - критические индексы, задающие масштабную размерность полей и и е.

Этот факт позволяет провести аналогию между развитой турбулентностью и критическими системами и, как следствие, использовать развитые в теории фазовых переходов второго рода методы и оценки. Так, с математической точки зрения указанное предположение означает, что все спектральные, функции в длинноволновом диапазоне могут быть выражены, после обезразмеривания (обозначаемого тильдой) с помощью масштабно-инвариантных величин, через универсальные однородные функции э. зависящие лишь от соответствующих волновых чисел и корреляционного радиуса (интегрального масштаба) гс.

В частности, в простейшем случае изотропной турбулентности, когда спектральные тензоры легко параметризуются, например:

"Флуктуационная теория фазовых переходов. /Паташинский А.З., Покровский В.Л. - М: Наука,

и -> А "и, е -» \-"/2е

(10)

(П)

1982. - 381 с.

свертку Р = Гц. характеризующую спектральную плотность энергии, в диапазоне к <ЗС 1 можно представить в виде:

Р - г/+2(р(кгс). (12)

Здесь (р - некоторая универсальная функция.

Чтобы формула (12) согласовывалась с известным степепнь'ш поведением Р в инерционном интервале (А.Н.Колмогоров, 1941), которому соответствует предел кгс 1, необходимо потребовать: /(я)х>1 —> х~э~2. Здесь ¡3 = 1 + 2а кз 5/3. Проверка представления (12) на основе анализа многочисленных экспериментальных данных была проведена в работе |11].

Соотношение (12) и аналогичные ему для спектральных функций более высокого порядка означают, что зависимость спектральных характеристик от координат х - неявная, определяется зависимостью от х лишь "управляющих"параметров, к числу которых, в случае изотропной турбулентности. относятся гс и б.

Это, в частности, позволяет преобразовать систему уравнений для неприводимых спектральных функций к дифференциальным лишь по волновому аргументу. Так, первое из этих уравнений

Ц дР(к,х) 2 дх

приобретает вид:

+ т]к2Р(к,х) + Т{к,х) = 0 (13)

т[{(3 + 1) + А(р + 2 + к-~ )]Р(*, х) = к2Р(к, х) = Т(к, х). (14) ок

Здесь слагаемое Т(к,х) описывает спектральный перенос энергии,

,<Лпгс .сЛпео [/гдсШео ,1С,

Л —4—-—/—-—: т = —--;—, (15)

йх'йх 8т) йх ' К '

?'0 = п{тс)-^\ ео = - масштабно инвариантные величины; г^ =

(г/3/е)^4 - диссипативный масштаб.

Одновременно уравнение баланса турбулентной энергии можно представить в виде „условия нормировки"

т{(/3 + 1) + А(0 - 1)] У Р(к,х)<1к = б» = гГ',/2. (16)

Полученная система может служить основой для строгого изучения рассматриваемого турбулентного потока. В частности, используя процедуру последовательного сглаживания коротковолновых гармоник, можно решить вопрос о правомерности самой гипотезы и даже вычислить значения индексов Р и д 6. Однако ряд важных выводов, и в первую очередь, относящихся к задаче отыскания гг, можно сделать, не решая в целом этой достаточно сложной задачи. Здесь прежде всего следует обратить внимание на то обстоятельство, что во все спектральные уравнения входит единственный параметр - т. С другой стороны, все безразмерные спектральные функции включают лишь параметр гс. Следовательно, даже оставаясь в рамках феноменологической гипотезы скейлинга, можно сделать вывод о существовании однозначной связи между этими параметрами.

Чтобы конкретизировать вид этой связи, следует подробнее рассмотреть величину т. По физическому смыслу она представляет собой отношение минимального, практически совпадающего с колмогоровским, масштаба времени ¿о = (7)/е0)1/'2 и соответствующего внешнего масштаба Т = (ий\пе/йх)~1. Ясно, что в случае развитых потоков указанное отношение всегда мало, что подтверждает следующая оценка, непосредственно вытекающая из (15) при ц = 0:

Как следствие, параметр г можно идентифицировать как "температуру "турбулентности (параметр, характеризующий ее близость к критической точке Яе —> оо). При этом, как следствие, обычным для теории фазовых переходов образом выводится дополнительное уравнение для управляющих параметров:

Здесь V - критический индекс, определяющий критическую размер-

Из введенных критических индексов независимы лишь два. Действительно, приравнивая масштабные размерности выражений в левой и пра-

ьАджемин Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н. Квантово-полевая ренормализационная группа в теории развитой ту]>булентности // УФН. - 1996. - Т.166. № 12. - С. 1257-1284.

(17)

Г с = Т

с.

(18)

ность "температуры" т. В соответствии с (18) т —> А при г—> А г.

вой частях формулы (16) и учитывая, что основной вклад в интеграл вносят длинноволновые возмущения, для которых справедливо представление (12), нетрудно получить:

1-0-1-4 (19)

Следует отметить, что формула (19) свидетельствует о взаимном влиянии (хотя количественно и слабом) крупных и мелких возмущений.

При обобщении метода па случай анизотропной турбулентности прежде всего возникает проблема отыскания зависимости спектральных тензоров от ориентации 9 волнового вектора. Соответственно к параметрам е и г,; необходимо добавить дополнительные секулярные величины, характеризующие анизотропию. Предположительно такие величины должны быть естественным образом идентифицированы в ходе процедуры параметризации спектральных тензоров. Однако в вопросе о выборе этой процедуры до сих пор нет единого мнения.

К решению проблемы можно подойти с другой стороны. В настоящее время, как уже отмечалось, накоплен значительный объем данных, свидетельствующих об отсутствии изотропии не только в энергосодержащем, но и в инерционном интервале волновых чисел анизотропной турбулентности. В то же время и в продольных, и в поперечных спектрах, которые существенно отличаются с точки зрения ориентационной структуры, обнаруживаются участки, где выполняется "закон 5/3". Указанные два факта совместимы лишь в случае, когда в инерционном интервале зависимости спектральных функций от аргументов в (через функцию /^{х, 9)) и к фак-торизуготся 1. Поскольку же в рамках гипотезы скейлинга единым образом описываются все длинноволновые возмущения, факторизация должна сохраняться и в энергосодержащем интервале.

Некоторые следствия этого предположения допускают автономную непосредственную проверку. Так, например, с его помощью нетрудно получить формулы для констант Колмогорова С^ и С", входящих в выражения для одномерных взаимных и полного спектров анизотропной турбулентно-

7Г.К .Мьолснесс. Возможные отклонений от локальной изотропии в мелкомасшабной структуре турбулентных полей скорости // Турбулентные сдвиговые течения 2. М.: Машиностроение. 1983. С.30-42.

сти с инерционном интервале:

/-1 р2п г1 ГУ г2ж л1

у = ] (20)

Соотношения (20) позволяют оцепить влияние параметров анизотропии на значения этих констант. Соответствующие конкретные расчеты были проведены в 12] на примере осссимметричной турбулентности. При этом, в частности, были выведены соотношения, связывающие значения различных констант Колмогорова в анизотропном случае. В частности:

С_п _ 3 1 + 190г/119

С22 4 1 — 65г/68 ' 1 >

Здесь 2 = ({и\) — (м1))/((и1) + 2(иг)) ~ параметр, традиционно используемый при анализе экспериментальных данных для оценки степени анизотропии. Индекс 1 соответствует оси, направленной вдоль потока. Соотношения (21) качественно, а в ряде случаев - и количественно - подтверждаются результатами исследований геофизических течений, в частности, обнаруженным при изучении приземного слоя атмосферы увеличением Си с уменьшением расстояния до поверхности.

Основной материал главы 3 посвящен замыканию системы уравнений для введенных в рамках гипотезы скейлинга управляющих параметров развитой турбулентности. Такое замыкание осуществляется на основе анализа поведения спектральных функций в пределе при ктс —> 0: предполагается, что в этом пределе свертки спектральных тензоров аналитичпы, например,

Г(к,х) а0(х) + а2(х)к2 +..., (22)

где ао(х) ф 0. С физической точки зрения такая гипотеза эквивалентна предположению о существовании когерентных структур - квазидетерми-нированных образований с размерами, существенно превышающими гс. С другой стороны, указанное свойство спектральных функций, как показано в разделе 3.1, представляет собой естественное условие самосогласованности гипотезы скейлинга, позволяющее даже в рамках феноменологического рассмотрения исключить неуниоерсальпые слагаемые из спектральных уравнений.

Так, прямым следствием представления (22) в случай изотропной турбулентности является существование интеграла движения, имеющего смысл энергии "турбулентного моля":

а0(х) = F(0, х) = J (ui(x)ui(x + r))dr = const. (23)

Эту формулу можно записать также в виде эквивалентного соотношения А = — (/? + l)/(j3+ 2), которое наглядно иллюстрирует упомянутое исключение неуниверсальных слагаемых из спектрального уравнения (14).

В свою очередь, с учетом основного представления (12) соотношение (23) преобразуется к искомому уравнению, замыкающему систему для се-кулярных параметров изотропной турбулентности:

{P + 2)dJpL + l±±d-hl2 = 0. (24)

dx 4 dx

Система имеет аналитическое решение, соответствующее степеннбй эволюции основных параметров течения. В частности, получены явные выражения для степенных показателей, определяющих поведение интенсивности пульсаций, интегрального масштаба турбулентности и других основных параметров:

п,,* = 88/(40 - 3/х); п,= (88 - 3/0/(40 - Зд); пт = (—4 + 3/i)/(40 - 3/х); пГс = -16/(40 - 3/0;

Соответствующие значения однозначно определяются по критическим показателям ¡3 и (i и находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными для затухающей изотропной турбулентности за решеткой.

Следует отметить, что при использовании более жестких допущений об аналитичности функций Fy и Tuj вместо (23) получается соотношение 02 = const. Величину йч обычно называют интегралом Лойцянского. При этом, в частности, для показателя п„а получается весьма завышенное значение 10/7.

При обобщении предложенного метода на случай анизотропной турбулентности основная проблема - в духе идей о сокращенном описании -связана с выбором дополнительных параметров - полей, которые необходимо включить в "управляющий набор"[4,6].

С учетом результатов, полученных при изучении так называемого "аномального скейлинга", в качестве таких параметров выбраны уже упоминавшиеся "амплитудные функции"/,-¿(х, в), определяющие вид компонент спектрального тензора в длинноволновом пределе [1,3,4]:

/у=1шг^ (26)

кгг—»0

Следует подчеркнуть, что, в отличие от традиционных схем замыкания, в число аргументов этих функций, как и корреляционного радиусагс, входят не только координаты х, но и вектор ориентации в = к/к.

Аргументы секулярных полей - координаты х и ориентация в волнового вектора - считаются медленными в отличие от волнового числа к в том смысле, что установление универсального квазиравновесного распределения по к происходит гораздо быстрее, чем релаксационные процессы по переменным х и 0.

При этом соотношение (12) естественным образом трансформируется к виду

^(х,к ) = Мх,в)<р(кге), (27)

с аналогичным представлением - для спектральных функций более высокого порядка.

Как следствие, различные одноточечные средние, представляющие наибольший практический интерес, оказывается возможным представить в виде интегралов от соответствующих комбинаций управляющих полей по сфере единичного радиуса в к - пространстве, например:

< щц >=71 кг:3(х,в)М, = 72и1т„1 и&е^х^йё (28)

Здесь 7 = / (р(к)к2<1к - универсальная константа.

Для набора управляющих параметров - амплитудных функций, корреляционного радиуса и скорости диссипации энергии - в нулевом приближении по параметру гс/Ь непосредственно из спектральных уравнений получена замкнутая система уравнений. При этом уравнения для амплитудных функций образуют автономную подсис.тему[4,10]

д^'+ ~ и1ткж = 2и1т№™М*> (2Э)

и, п свою очередь, позволяют существенно упростить исходные спектральные уравнения, приводя их к некоторой „редуцированной" форме (процедура, аналогичная описанному выше исключению неупиверсального параметра А из спектральных уравнений для изотропной турбулентности). Уравнение для корреляционного радиуса при этом приобретает вид:

и^ - им, - и1тк^ = (30)

Скорость е диссипации энергии, присутствующая в уравнении (30) для гс, определяется из уравнения баланса турбулентной энергии, которое также можно представить в простом редуцированном варианте:

е ~ I ^Шк. (31)

Указанное нулевое приближение, соответствующее приближению квазиравновесной функции распределения в статистической физике, оказывается, однако, весьма содержательным и конструктивным при анализе некоторых эталонных течений. Так, в разделе 3.4 в указанном приближении произведен расчет осесимметричных искажений решеточной турбулентности. При этом некоторые результаты, относящиеся, в частности, к динамике амплитудных функций (асимптотическая форма при больших степенях искажения, характер распределения энергии в к - пространстве), удается получить в аналитическом виде. В пределе быстрых искажений начально изотропной турбулентности результаты совпадают с выводами Теории Быстрого Искажения (ГШТ).

В то же время в рамках предложенной схемы замыкания удается без существенных усложнений произвести расчеты при произвольных начальных условиях, а также, что наиболее важно, обобщить результаты на случай, когда характерные „внешний" и „внутренний" временные масштабы -величины одного порядка. Для этого последнего случая удалось, в частности, показать, что изменение интенсивности турбулентных пульсаций может иметь немонотонный характер и существенно зависит (рис. 5) не только от степени с деформации, но и от ее скорости к ~ ди^/дхх- Этот

К/К(1)

^ о ь о * о о о

3

«. о ♦ »

4

» о « о

Рис. 5. Изменение интенсивности турбулентности при разных значениях безразмерной скорости деформации к = (ug/iu)/£u; 1-4: R — 0 (быстрое поджатие, случай RDT). 0.05, 0.1 и 0.15

вывод, а также расчеты интенсивности продольных и поперечных пульсаций согласуются с известными опытными данными и результатами DNS.

В разделе 3.5 результаты обобщены на случай безвихревого искажения общего вида, когда матрицу U средних скоростей деформации можно записать в виде:

10 0 \

(32)

Е/=к| 0 Р 0

О 0 -Р- I )

Проведен аналитический расчет динамики компонеитальной и дирек-циоиной анизотропии амплитудных функций, а также дирекционной анизотропии корреляционного радиуса. Асимптотическую форму "диаграмм направленности "амплитудных функций /22 и /п иллюстрирует рис.6.

На этой основе с помощью представлений (28) произведен расчет эволюции интенсивности пульсаций и процесса перераспределения энергии

У

Рис. б. Асимптотическая форма диаграммы /22 (слева) и /ц.

между компонентами. Особенности динамики компоиеггг тензора анизотропии при изотропных начальных условиях иллюстрируют рис.7 (линиям 1-4 соответствуют значения параметра F -0.5; -0,1; 0,3, 0,7).

• I ' ' 4

. 1

, . 2

Рис. 7. Изменение коэффициентов анизотропии (5ц и 3 - слева, £»22 * справа) с увеличением степени искажения для разных значений параметра Р.

Показано, в частности, что на динамику одноточечных средних указанные факторы анизотропии влияют по-разному. Так, скорости релаксации компонентальной и дирекционной анизотропии к их асимптотическим формам существенно отличаются и по-разному зависят от значения параметра Как следствие, сценарий даже безвихревого искажения при неизотропных начальных условиях оказывается весьма нетривиальным: например, интенсивности пульсаций при приближении к асимптотическо-

му состоянию могут изменяться немонотонно. В качестве примера на рис. 8 представлены фрагменты траекторий изображающей точки на треугольнике Ламли для начально осесимметричпой турбулентности (слева, -Р = О, начальное значение инварианта ///;, положительно; параметр с изменяется в диапазоне от 1,8 до 2,3 с шагом 0,01) а также для случая, когда в начальный момент половина анергии пульсаций приходится на долю одной из компонент (справа, Г — 0,5, параметр с изменяется от 1 до 6 с шагом 0, 1).

•0.ЕЮ003 аоооог-о.сосо! о о.амо1 лососе

о а и* акв

Рис. 8. Фрагменты эволюции неизотропной турбулентности, подвергнутой искажению.

Что касается самих асимптотических состояний, то во всех случаях за исключением деформации сплющивания {Р = 1) они одинаковы и соответствуют двухкомпонентной осесимметричпой турбулентности. При Р = 1 асимптотическому состоянию соответствует сосредоточение половины энергии в продольных пульсациях.

В ходе расчетов корреляций „давление - скорости деформаций" было показано, что в пределе при больших (7 для компонент щ и иг происходит стабилизация энергетического баланса: отношения перераспределенной энергии к поступившей от осредненного движения для каждого .Р стремятся к определенным асимптотическим значениям а(.Р) и /З(^) соответственно. Эти значения могут быть рассчитаны аналитически и опреде-

ляются простыми формулами:

В разделе 3.6 показано также, что обобщение метода на общий случай неоднородных течений и, соответственно, учета высших по малому параметру rcJL слагаемых в спектральных уравнениях, возможно в рамках процедуры, аналогичной методу Энскога-Чепмена, используемому при решении кинетического уравнения в газовой динамике. При этом новые нетривиальные слагаемые в системе уравнений для управляющих полей появляются во втором порядке по указанному параметру.

В качестве примера рассмотрена задача о возвращении осесиммет-ричной турбулентности к изотропному состоянию. Согласно приведенным расчетам характер этого возвращения существенно зависит не только от знака третьего инварианта IПь тензора анизотропии, но также и от начального значения параметра (и2) — 2{и2).

Показано также, что в общем случае система существенно упрощается в случае геликоидального характера когерентных структур: можно ограничиться рассмотрением лишь низших (нулевого и второго) ориента-ционных моментов амплитудных функций.

В заключении приведен обзор основных результатов и кратко сформулированы выводы.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК

1. Богданов С.Р. Изучение закономерностей вырождения локально однородной и изотропной турбулентности на основе гипотезы скэйлипга // Журнал технической физики - 1983. - Т.53, № 5. - С. 949-952.

2. Богданов С.Р. О константах Колмогорова в спектрах анизотропной турбулентности // Журнал прикладной механики и технической физики -1990. - № 5. - С. 142-145.

3. Богданов С.Р. Спектральный метод замыкания уравнений развитой анизотропной турбулентности: скейлииг, дальнодействие, память // Журнал технической физики - 1991. - Т.61, вып.5. - С.113-116.

4. Богданов С.Р. Замыкание уравнений турбулентности как проблема аналитических и скейлинговых свойств спектральных функций // Прикладная механика и техническая физика - 1991. - №6. - С.83-93.

5. Богданов С.Р.. Соболев С.И. К проблеме моделирования корреляций „давление - скорости деформаций" в теории турбулентности // Изв. АН СССР, серия ,,Механика жидкости и газа" - 1992. - №2. - С.42-46.

6. Богданов С.Р., Лехто Г.Ф. Квазилинейная система уравнений для параметров развитой турбулентности. Расчет безвихревого искажения потока за решеткой // Прикладаная механика и техническая физика - 1992. - №3. - С.90-92.

7. Богданов С.Р. О нелинейных моделях для корреляций „давление-скорости деформаций" в турбулентном потоке // Письма в ЖТФ - 2007. -Т.ЗЗ, вып. 19. - С. 16-23.

8. Богданов С.P., Jongen T.J. Ограничения на „быструю" часть корреляций „давление - скорости деформаций", выводимые из спектрального представления // Прикладная механика и техническая физика - 2008. - Т. 49, № 2. - С. 29-39.

9. Богданов С.Р. Оценка адекватности нелинейных моделей для корреляций „давление-скорости деформаций" в турбулентном потоке // Журнал технической физики - 2009. - Т. 79, вып. 1. - С. 28-35.

10. Богданов С.Р. Аналитический расчет параметров турбулентности при осесимметричном искажении // Изв. РАН, серия „Механика жидкости и газа" - 2009. - № 5. - С. 45-59.

Другие публикации

И. Аджемял Л.Ц., Богданов С.Р., Сыщиков Ю.В. Гипотеза подобия при описании длинноволновых спектров развитой турбулентности /'/ Вест-пик ЛГУ - 1982. - № 10. - С. 76-79.

12. Богданов С.Р. Турбулентный перенос пассивной примеси: волны или диффузия? // Проблемы физической лимнологии. Сб. статей конференции. - Петрозаводск, 1993. - С. 110-115.

13. Богданов С.Р. Осесимметричная турбулентность. Проблемы расчета с точки зрения аналитических и скейлинговых свойств спектральных функций // "Гидрогазодинамика течений с тепломассообменом". - Ижевск,

1989. - С.91-98.

14. Богданов С.Р. Изучение структуры и закономерностей затухания развитой турбулентности па основе гипотезы скэйлинга / Деп. в ВИНИТИ 21.01.83, № 376-83.

15. С.Р.Богданов, Л.Ц.Аджемяи. Турбулентный поток с поперечным сдвигом как критическая система / Деп. в ВИНИТИ 17.02.83, № 882-83.

16. С.Р.Богданов. Теоретическое изучение структуры и интегральных гидродинамических характеристик кольцевых турбулентных течений двухфазных смесей // V Республиканская конференция молодых ученых. - Таллин, 1983. - С.118.

17. Богданов С.Р., Аджемян Л.Ц. К расчету асимптотического вполне развитого турбулентного режима гидротранспорта контейнеров // Сборник докладов конференции „Контейнерный трубопроводный гидротранспорт". - Новополоцк, 1984. - С.30-32.

18. Богданов С.Р. Расчет влияния осесимметричного поджатия на характеристики турбулентности // Всесоюзная конференция „Проблемы аэродинамики газовоздушных трактов". - Барнаул, 1989. - С. 108-109.

19. Богданов С.P., Jongen T.J.. Ограничения на тензор корреляций „давление - скорости деформаций", выводимые из спектрального представления // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. - Пермь, 2001. - С. 107.

20. Bogdanov S.R., Jongen T.J. Constraints for the Pressure-Strain Correlation Tensor Derived from Spectral Representation // EUROMECH Fluid Mechanics Conference 6. Abstracts, vol.2. - Royal Insyitute of Technology. Stockholm, 2006. - P. 224.

21. S.R.Bogdanov. Closure for Anisotropic Homogeneous Turbulence as the Problem of Analytical and Scaling Properties of Spectral Tensors // Advances in Turbulence XI. Proceedings of the 11th EUROMECH Conference. - Porto, Portugal, 2007. - P. 733.

22. S.R. Bogdanov. RDT or low wavenumber modes' dynamics? // Advances in Turbulence XII. Proceedings of the 12th EUROMECH European Turbulence Conference. - Marburg, Germany. 2009. Series: Springer Proceedings in Physics , Vol. 132. Eckhardt, Bruno (Ed.). - P. 943-945.

Подписано в печать 26.01.10. Формат 60*84'\16. Бумага офсетная. Печ. л. 2,00. Тираж 100 экз. Заказ № 14.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Карельская государственная педагогическая академия» Республика Карелия. 185680, г. Петрозаводск, ул. Пушкинская, 17. Печатный цех

Введение

1 Спектральный критерий реализуемости. Критический анализ моделей турбулентности второго поколения.

1.1 Иерархия моделей. Критерии реализуемости.

1.2 Вывод ограничений на свертку {Ф«и}.

1.3 Прямая проверка моделей для ф(').

1.4 Инвариантное представление результатов.

1.5 Анализ стационарных состояний.

1.6 Косвенная проверка моделей для нелинейной части тензора

Турбулентность - одна из самых старых и, как полагают многие, последняя из крупных нерешенных проблем классической физики, связанная в первую очередь с изучением движения газов и жидкостей. Как и во времена Галилея, сейчас больше известно о движении космических тел, отстоящих от нас на громадные расстояния, чем о движении жидкости у нас под руками. Качественно явление изучал еще Леонардо да Винчи; именно он ввел в употребление термин turbolenza (лат. turbulentus — бурный, беспорядочный) - источник современного названия проблемы, а его эскизы (рис. 0.1) и комментарии до сих пор могут служить содержательным дополненим к постановке проблемы, а также эмоциональным и эвристическим импульсом к ее рассмотрению в самом широком контексте: „Water is the driving force of all nature. In rivers, the water that you touch is the last of what has passed and the first of that which comes".

Интерес к проблеме и ее значимость во многом определяются тем, что огромное количество явлений и в природе, и в технологических процессах так или иначе связано с течениями жидкостей и газов, причем масштабы этих течений перекрывают практически весь макроскопический диапазон: от внутриклеточных процессов и циркуляционных систем живых организмов до reo - и даже астрофизических явлений. При всем их разнообразии эти течения можно разделить на два типа. Первому их них сответствуют так называемые ламинарные (от латинского laminar - пластинка, полоска) у51 сбтА-гыС^агЛдегхгйо.пЬпЦ

Рис. 0.1. Эскизы турбулентных течений, выполненные Леонардо Да Винчи. Слева - изображение падающей воды, Справа - "Потоп". потоки, которые характеризуются упорядоченной, слоистой структурой. Однако наиболее часто встречаются течения второго, гораздо более сложного, типа - турбулентные, в которых скорость, давление, температура и другие гидродинамические величины изменяются хаотично, неупорядоченно не только во времени, но и в пространстве [20]. Сложность и многогранность проблемы изучения турбулентных режимов течения проявляется даже в том, что до настоящего времени нет общепринятого, канонического определения турбулентности как явления. Известные его версии, принадлежащие таким известным исследователям, как Ричардсон (1922), Тейлор, Хинце, Брэдшоу (1971) во многом апеллируют к интуитивным представлениям и подчеркивают лишь некоторые из особенностей явления: каскад и диссипацию энергии, интенсификацию тепло - и массопереноса, растяжение вихрей, широкий спектр масштабов движения, перемежаемость. В качестве примера можно привести одну из наиболее емких и содержательных версий этого определения, принадлежащую П.Брэдшоу: "турбулентность -это трехмерное нестационарное движение, в котором вследствие растяжения вихрей создается непрерывное распределение пульсаций скорости в интервале длин волн от минимальных, определяемых вязкими силами, до максимальных, определяемых граничными условиями течения. Она является обычным состоянием движущейся жидкости, за исключением течений при малых числах Рейнольдса".

Первые попытки постановки проблемы турбулентности в математической и количественной форме относятся уже к новой физической истории. Это стало возможным прежде всего благодаря тому, что к середине XIX века Навье и Стоксом были выведены уравнения движения сплошной среды, принимаемые гидроаэродинамическим сообществом в качестве основы и в настоящее время. В простейшем случае, когда среда несжимаема и коэффициенты переноса постоянны, эти уравнения имеют вид: дч/дЬ + у-\7у = -Чр/р + r]Av + ¥

0.1)

V • V = 0

Здесь V - скорость, р - давление, г/ и р - коэффициент кинематической вязкости и плотность жидкости, Е - плотность внешней силы.

Уравнения (0.1) - нелинейные, их изучение связано с большими трудностями и до сих пор представляет вызов математическому сообществу. Точные аналитические решения получены лишь в нескольких случаях, в основном за счет использования упрощающих, причем подчас физически спорных, предположений.

В этой связи не удивительно, что на первых порах прогресс в изучении и понимании явления был в основном связан с экспериментальными исследованиями. Среди них особую, основополагающую роль играют работы О.Рейнольдса , который, впервые 1880) систематически изучил закономерности перехода от ламинарного режима к турбулентному в круглых трубах. При этом, в частности, он установил, что переход определяется единственным безразмерным параметром Re = рУЬ/ц, где V -характерная скорость потока, L - характерный внешний размер, /и = rjp - коэффициент динамической вязкости жидкости. Этот параметр, названный впоследствии числом, или критерием, Рейнольдса, имеет простой физический смысл: он характеризует отношение инерционных и вязких сил, действующих на элемент жидкости. Переход к турбулентному режиму наблюдается в случае, когда Re достигает некоторого критического значения Rec (для гладких труб, например, Rec ~ 2000). Причем вначале переход проявляется в неустойчивости ламинарного течения, спонтанном искривлении линий тока, а в дальнейшем, с ростом числа Re, картина течения все более усложняется, вплоть до достижения так называемого развитого режима, характеризуемого случайным характером изменения основных параметров со временем.

Несколько позднее были проведены детальные экспериментальные исследования указанного перехода в задачах обтекания, в струях и для других типов течений. Некоторые особенности разных режимов течений иллюстрирует рис. 0.2 [138].

Обнаруженные общие закономерности и особенные черты таких переходов для конкретных типов течений позволили вычленить проблему перехода как одну из автономных в проблеме турбулентности в целом, представляющую и значительный прикладной интерес, и весьма значимую (и ab с

Рис. 0.2. Примеры ламинарного (а), переходного (Ь) и полностью развитого (с) режимов течений; а - обтекание цилиндра (S.Taneda), b - пограничный слой (T.Corke, H.Nagib), с - след (S.Corrsin). во многом инспирировавшую такой важный раздел математики как теория бифуркаций) с математической точки зрения. До настоящего времени не существует единой точки зрения на механизм перехода. Среди математиков в основном конкурируют две точки зрения. Согласно первой из них (Ландау - Хопф) переход осуществляется посредством бесконечного числа последовательных бифуркаций, приводящих по мере роста значения Re ко все более сложной структуре течения со все большим числом степеней свободы. При этом после каждой бифуркации возникает возмущение с новой частотой, не кратной исходной. В рамках альтернативного подхода, опирающегося на результаты исследований маломодовых нелинейных систем, сценарий перехода совсем иной: он происходит в результате небольшого числа бифуркаций, характеризуемых короткой последовательностью устойчивое течение —> периодическое —■» квазипериодическое—> турбулентное

Истекшее после работ О.Рейнольдса столетие, хотя и не привело к окончательному решению проблемы турбулентности, характеризовалось столпотворением идей, подходов, открытий. Был достигнут значительный прогресс и в понимании физики происходящих процессов, и в создании алгоритмов расчета конкретных течений. В то же время остается открытым ряд вопросов и связанных с ними противоречий, например:

• в турбулентных режимах движение жидкости - случайное, хаотическое, в то же время во многих типах течений обнаружены так называемые (квазидетерминированные) когерентные структуры.

• при всей чрезвычайной сложности движения отдельных элементов жидкости и наличии огромного числа степеней свободы практически все теоретические построения основаны на использовании лишь небольшого числа тех или иных "управляющих"параметров, или се-кулярных полей.

• несмотря на наличие сильного нелинейного взаимодействия вихрей в широком спектре масштабов, значительные результаты получены с использованием маломодовых аппроксимаций, а также в рамках линейного анализа устойчивости.

В целом на данной стадии проблема представляется весьма разветвленной и становится все более междисциплинарной. Даже однозначно систематизировать направления исследований здесь достаточно трудно, но все же, следуя работе [103] можно опереться на классификацию, представленную на рис. 0.3. Согласно этой классификации основные работы проводились в рамках статистического, структурного и детерминистического подхода.

Основы первого из них были заложены еще Рейнольдсом, который предложил представлять параметры течения в виде суммы среднего (по

Статистический подход с 'Л - to i •, . l> . .

S S 3 о о g i! 5? о а и> r- £ £ fc ™ .2 s Я <L> v- G. s S

2 ^ 5 Ю ¡2 m о M

Структурный подход и ^ ^ я Ss u с -я

•p as ^ с yj ii r-t CC irv J2

S |l | О j ■s J2 H и Детерминистический подход

22 Е °

Г"! г \ g s-g s'gg&.a t, о 3 ч « ч =g М и 5 о о о о о о о а> 3 <м т со as О

О) [Jl О) ф 01 о

Рис. 0.3. Основные подходы в исследовании турбулентности; хронология и ключевые работы. По материалам работы [103] времени или соответствующему ансамблю) и пульсационного значений. При этом, в частности, после усреднения уравнения (0.1) можно получить уравнения (RANS: Reynolds-Averaged Navier-Stokes Equations) для средней скорости U течения: dUi/dt + и^ = -VP/P + vm - + Fi (0.2)

Злесь и - пульсационная составляющая скорости, Р - среднее давление, по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Это уравнение, в отличие от исходного (0.1), не является замкнутым: в его правой части в результате усреднения появилось новое слагаемое, включающее так называемый тензор напряжений Рейнольдса тц = (щщ). Эта принципиальная трудность характерна для статистического подхода в целом, ее обычно называют "проблемой замыкания".

Интересно отметить, что истоки второго - так называемого детерминистического - подхода относятся примерно к тому же временному промежутку. Здесь прежде всего следует отметить работы Пуанкаре, который впервые показал, что даже в относительно простых нелинейных детерминированных динамических системах можно наблюдать весьма сложную временную динамику, близкую к хаосу.

В последующем развитие обоих методов также происходило достаточно синхронно. Так, в 30-ые годы XX века статистический подход получил дальнейшее развитие в работах Тейлора , Кармана и других: были введены в рассмотрение корреляционные функции и спектры турбулентности, начато систематическое изучение однородной и изотропной турбулентности. В этот же период в работах Лерэя был развит аналитический аппарат исследования уравнений Навье -Стокса и отыскания его турбулентных решений.

В 60-ые годы был достигнут значительный прогресс в экспериментальном исследовании течений различных типов и в совершенствовании статистических моделей турбулентности. Одновременно в рамках детерминистического подхода Лоренц (1963) обнаружил решения весьма редуцированной версии уравнения Навье-Стокса, которые, тем не менее, отражали многие черты, свойственные реальному турбулентному течению. Это существенно усилило интерес к проблеме "детерминированного хаоса". В то же время эти решения, связанные с понятием "странного аттрактора", при всей своей временной хаотичности, можно ассоциировать с некоторыми структурами, аналоги которых впоследствии были обнаружены в эксперименте и получили название когерентных структур. Топология одного из таких аттракторов в фазовом пространстве представлена на рис. 0.4 [103].

0.9 -1-1-1-1-1-г

0.1 -4-1-1-1-'-'-1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 I/ сотоопеп!

Рис. 0.4. Топология странного аттрактора, по результатам расчета одной из маломодовых аппроксимаций уравнений Навье-Стокса [103].

Исследование упомянутых структур представляет одно из основных направлений третьего - так называемого структурного - подхода. Их обычно связывают с квазидетерминированными образованиями наиболее крупного масштаба, история их изучения начинается, по-видимому с работ Тол-мена, Шлихтинга, Шубауэра, посвященных цилиндрическому течению Ку-этта. В последующем подобные структуры были обнаружены и во многих других типах течений, но долгое время их ассоциировали с неустойчивыми вихревыми образованиями, возникающими в переходном режиме, и сам факт их обнаружения объясняли недостаточно большим значением числа Рейнольдса. Лишь в конце 70-х возобладала та точка зрения, что (во всяком случае - в сдвиговых течениях) когерентные структуры существуют даже в режиме полностью развитой турбулентности [117] и, более того, именно они определяют некоторые основные особенности течений. Исследования именно в этом направлении и ассоциируют с так называемым структурным подходом. Несмотря на огромное количество экспериментальных данных, математический аппарат в рамках этого подхода пока разработан слабо.

Число работ, посвященных исследованию турбулентности в рамках каждого из трех подходов, огромно, и за последние 2-3 десятилетия растет едва ли не экспоненциально. Некоторые результаты, полученные в рамках статистического подхода, будут подробно рассмотрены в последующих главах. Развитие структурного подхода в основном по-прежнему связано с экспериментальным изучением различных типов течений, особенно пограничного слоя [55, 148] и струй [57, 81].

Что же касается детерминистического подхода, то здесь в качестве основных можно отметить следующие направления, первые два из которых уже вполне традиционны:

- Восходящие к работам О.Ладыженской фундаментальные исследования, связанные с проблемами существования, единственности, регулярности решений уравнений Навье-Стокса.

- Изучение маломодовых динамических систем, родственных уравнению Навье-Стокса. Большой вклад в развитие этого направления внесли Смейл и Арнольд. В качестве основы для аппроксимации уравнений гидродинамики здесь, как правило, используется метод Галеркина. Результатом такой аппроксимации являются так называемые системы гидродинамического типа (СГТ) [15], состояние которых описывается конечным числом динамических переменных {г^}, удовлетворяющих квадратично-нелинейным (как и уравнения Навье-Стокса) уравнениям движения1: щ = Г цщщ

Здесь Г] ■ - симметричный по нижним индексам тензор третьего ранга, удовлетворяющий дополнительным условиям, обеспечивающим существование положительно определенного интеграла движения (энергии) и сохранение фазового объема (регулярность, или „Лиувиллевость" dui/dut = 0). Понятно, что построение подобных моделей, претендующих на статус мало-модовых аналогов уравнений Навье-Стокса, связано с определенным произволом: аппроксимацию следует проводить надлежащим образом, с тем чтобы модель сохраняла фундаментальные свойства исходных уравнений, включая выполнение отмеченных выше условий. Это обстоятельство дает весомый повод для критики СГТ . Однако нельзя отрицать и существенности результатов, полученных в рамках их изучения. Во-первых, в некоторых случаях, связанных, например, со специальной геометрией течений, малопараметрические системы дают точное описание гидродинамических полей. Кроме того, динамика маломодовых систем часто дает адекватное качественное, а иногда и количественное описание ряда течений, включая переходные режимы. Наиболее известен в этой связи пример использова

1Родственный подход к изучению дискретных динамических систем (Discrete dynamical system -DDS) разрабатывается, в частности Мак-Донахом и сотрудниками, его основу тоже составляют редуцированные уравнения Навье-Стокса, известные в зарубежной литературе как PMNS -Poor Man's Navier-Stockes [147] ния трехмодовой (X,Y,Z) системы Лоренца (сг, г, b - константы)

X = ~аХ + aY < Y = -XZ + rX — Y Z = XY - bZ при решении классической задачи о тепловой конвекции Рэлея-Бенара.

Заслуживают также внимания результаты, полученные при изучении переходных режимов, в частности, Рюэлем и Тейкенсом. Сценарий, предсказываемый в рамках маломодового рассмотрения, и предполагающий лишь небольшое число бифуркаций, предшествующих полностью развитому режиму, все чаще находит подтверждение как в эксперименте, так и при численных расчетах.

- Непосредственное численное решение (DNS, Direct Numerical Simulations) уравнений Навье-Стокса стало возможным благодаря развитию компьютерной техники и современных вычислительных кодов. Полученные здесь за последние два десятилетия результаты позволяют сделать вывод о том, что это направление весьма перспективно по крайней мере для расчета течений с умеренными значениями числа Рейнольдса. Результаты соответствующих расчетов, в некоторых случаях даже могут служить надежной альтернативой выполнению прямых экспериментов. Что касается перспектив использования DNS в общем случае, то основное ограничение здесь связано с оценкой [20] числа степеней свободы: при характерном "внешнем"масштабе L и колмогоровских оценках t)3/L, (rf/e)1^4 средней скорости е диссипации энергии и диссипативного масштаба rLi разнесенность Ь/гл масштабов можно оценить как Яе3/4. Следовательно, полное число степеней свободы в 3-мерном случае можно оценить как Re9/4. Учитывая также нижнюю оценку Ь/у для минимального промежутка времени расчета и значение временного шага г ¿/у (условие Куранта), получаем, что минимальное число шагов для расчета одного варианта нестационарного трехмерного течения, который позволяет рассчитать средние величины, составляет Яе^^А{Ь/Г(ц) ~ Яе3, т.е. 1012 даже для умеренного значения И.е = 10'1. Такого рода расчеты пока недостижимы для современных компьютеров, и достаточно дороги даже для меньших значений числа Рей-нольдса.

В целом можно констатировать, что в рамках всех трех подходов получены крупные результаты. Одновременно параллельное развитие этих подходов позволило выявить и характерные для каждого из них проблемы, и направления возможных дальнейших исследований. Отметим некоторые из соответствующих мотивов:

- статистический подход часто подвергали критике как теорию, не уделяющую должного внимания изучению структуры турбулентности и подчас использующую достаточно формальные построения и необоснованные аналогии, например, при решении проблемы замыкания. Этот мотив, однако, во многом снимается за счет того, что в последние два десятилетия основное внимание в рамках этого подхода уделяется спектральным методам и изучению многоточечных средних, собственно и несущих информацию о структуре.

- В свою очередь, структурный подход часто называют "структурой без теории". Очевидно, однако, что результаты этого подхода, как минимум, оказали и оказывают существенное влияние на развитие всех других.

- При оценке результатов детерминистического подхода обычно отмечают два его недостатка. Во-первых, его успехи в изучении возникновения хаотического поведения в динамических системах могут иметь слабое отношение к турбулентности как таковой, где интерес представляет в первую очередь пространственная хаотичность и связанные с ней эффекты перемежаемости. Весомые контраргументы основаны на том, что хаотичное во времени поведение, например, коэффициентов Фурье-разложения неизбежно приводит и к стохастической пространственной организации течения. Однако, и это во-вторых, соответствующие схемы, пригодные для практических расчетов, в рамках детерминистического подхода до сих пор не созданы. Исключение составляют лишь некоторые результаты, полученные в рамках DNS, а также многообещающие перспективы линейных вихревых моделей (LEMs) Керстейна.

Наверное, общепринятой в настоящее время является та точка зрения, что существующие подходы во многом дополняют друг друга, и будущий прогресс в развитии теории турбулентности естественно ожидать на стыке использования различных подходов, на пути создания „гибридных" моделей. Это во многом относится и к большинству крупнейших уже известных работ - например, фундаментальные результаты А.Н.Колмогорова лишь условно можно отнести к „статистической" ветви исследований. Это иллюстрируют и современные тенденции развития теории турбулентности. В качестве примера можно привести „гибридный" подход, известный как Моделирование Крупных Вихрей (LES - Large Eddy Simulation). Сразу следует оговориться, что его приведенный русский перевод нельзя признать вполне удачным: в рамках этого подхода моделируется динамика мелкомасштабных (с размерами, меньшими размеров вычислительной сетки) возмущений, в то время как эволюция крупномасштабных структур рассчитывается численно. Разделение крупных и мелких структур осуществляется в рамках LES с помощью той или иной операции фильтрации. Как минимум, два момента являются весьма обнадеживающими при использовании этого подхода. Во-первых, есть основания надеяться, что мелкомасштабные пульсации - более универсальные, а, значит, их влияние легче поддается моделированию, в отличие, например, от подхода RANS, где приходится моделировать влияние пульсаций во всем диапазоне масштабов. Во-вторых, число степеней свободы N, с которыми приходится иметь дело в рамках LES, существенно меньше, чем в DNS. Действительно, учитывая, что граница фильтра обычно располагается в инерционном интервале, и, соответственно, минимальный размер сетки связан с тейлоровским масштабом Л = (vu2/e~ LReдля N справедлива оценка Re3/2. В результате расчет потребует лишь максимум Re2 шагов (по некоторым оценкам - Re3!2) - существенно меньше, чем в DNS. Вычисления такого рода уже вполне осуществимы с использованием современных компьютеров и программных кодов. Родственный LES подход, называемый Моделированием отсоединенных вихрей (DES - Detached Eddy Simulation) был развит в работах М.Х. Стрельца и Ф. Спаларта [20] и с успехом использован при изучении отрывных течений. Известен также вариант LES, при котором моделируется большая часть мод из инерционного интервала: VLES (Very Large Eddy Simulation).

В качестве других примеров удачных „гибридов" можно отметить работы Лина и Вольфштейна, Рейнольдса и Кассиноса [99, 83], а также Валеффа [145, 144], которые можно рассматривать как пограничные в использовании структурного и статистического подходов. Так, в [99, 83] было введено понятие „тензорного объема" турбулентности; по-видимому, это была одна из первых попыток количественного описания когерентных структур в рамках статистического подхода. Позднее, на основе структурного представления спектрального тензора двухточеченых корреляций, Касси-носом и Рейнольдсом была предложена так называемая PRM - Particle representation model [82], - одна из наиболее наглядных и перспективных. В свою очередь, в работах Валеффа в рамках статистического подхода с использованием разложения по спиральным модам осуществлен анализ важнейших топологических свойств турбулентных образований.

Инструментарий исследований, связанных с изучением развитой турбулентности, в последнее время еще более расширился. И, в частности, все более активно используются методы, разработанные в смежных областях математики, механики и физики. Примерами могут служить работы, основанные на использовании теории фракталов [35], использование аппарата вейвлет (\¥ауе1е^-анализа [146], применение техники ренормгрупповых расчетов при изучении спектральных характеристик [1]. Причем, как правило, все эти методы не только позволяют выявить новые аспекты проблемы, но и получают дальнейшее развитие при их приложении к теории турбулентности.

Представлямая работа и полученные в ее рамках результаты можно отнести к статистическому подходу, хотя любое такое соотнесение, как уже отмечалось, весьма условно. В частности, основная задача структурного подхода во многом эквивалентна такой задаче статистического подхода, как поиск и идентификация тех спектральных параметров, которые характеризуют структуру течения. Что касается соотнесения с детерминистическим подходом, то здесь следует иметь в виду, что в обоих случаях основу составляют уравнения Навье-Стокса. Однако в рамках статистического подхода не ставится задача отыскания их точных решений: они рассматриваются, как это принято в статистической физике, как динамические уравнения, описывающие эволюцию системы. Известно, что статистические параметры многих классических (гамильтоновых) систем, рассмотренных в статистической физике (например критические показатели вблизи точек фазовых переходов второго рода), не зависят от детальной структуры гамильтониана. В этой связи можно надеятся, что статистическая теория турбулентности также позволит выявить основные статистические параметры течения, которые определяются лишь наиболее общими свойствами уравнения Навье-Стокса. Это перекликается с уже полученными в рамках детерминистического подхода результатами, касающимися, например, инвариантности основных топологических параметров странного аттрактора по отношению к некоторому варьированию структуры и вида СГТ -уравнений.

Следует также отметить, что в рамках самого статистического подхода, в свою очередь, можно выделить две ветви. Первая из них - по существу, эмпирическая - основана на непосредственном использовании уравнения Рейнольдса (0.2), и в ее рамках „замыкание" осуществляется на уровне одноточечных моментов низшего порядка для поля скорости. Вторую ветвь, собственно и представляющую статистический подход, следуя классической монографии [24], часто называют статистической гидродинамикой. В ее рамках объект исследования гораздо более богатый: функции распределения по скоростям, многоточечные корреляции, спектральные уравнения. Р1мепно эта ветвь составляет теоретическую основу подхода, в то время как в практических инженерных расчетах, как правило, используются полуэмпирические модели. В этой связи в последние годы усилился интерес к обоснованию и усовершенствованию полуэмпирических моделей на основе статистико-гидродинамического рассмотрения.

Основные результаты данной работы представлены в трех последующих главах. В первой из них проведен анализ наиболее распространенных статистических моделей, основанных на использовании одноточечных средних. Показано, что использование спектральных методов позволяет сформулировать конструктивные критерии оценки адекватности этих моделей и способы их совершенствования. Главы 2 и 3 представляют некоторые результаты использования собствено спектрального подхода. При этом глава 2 посвящена исследованию аналогии турбулентности с системами, находящимися вблизи точки фазового перехода второго рода. Сформулирована гипотеза о масштабной инвариантности (скейлинге) длинноволновых возмущений поля скорости, идентифицирована „температура" турбулентности как параметр, характеризующий ее близость к критической точке (Яе —у оо). Проверка гипотез осуществлена на основе непосредственного анализа экспериментальных данных. Осуществлен расчет основных параметров затухающей турбулентности за решеткой. В главе 3 предложенный аппарат обобщен на случай анизотропной турбулентности. Показано, что роль управляющих параметров, определяющих динамику и структуру турбулентности, играют такие управляющие поля как скорость диссипации энергии, корреляционный радиус и амплитудные функции, характеризующие ориентационные свойства спектров в длинноволновом диапазоне. В качестве приложения произведен аналитический, без использования модельных констант, расчет искажений турбулентности, включая течения в кон-фузорах и диффузорах. Обсуждены также варианты дальнейшего обобщения результатов и возможности их систематического распространения на случай неоднородных течений.

В заключение, предваряя основной материал, следует кратко остановиться на ранней истории статистического подхода. Как уже отмечалось, в расчетной практике по-прежнему преобладает классический подход, основанный на использовании уравнения Рейнольдса (0.2) для средней скорости О. Для замыкания этого уравнения, в свою очередь, в основном используются лишь так называемые модели первого и второго поколений. Несмотря на свой полуэмпирический статус, эти модели имеют глубокое методологическое основание, связанное с идеями Н.Н.Боголюбова о сокращенном описании. Кроме того, с практической точки зрения именно эти модели являются едва ли не единственным связующим звеном для многих упомянутых подходов: как правило, именно они играют роль "точки приложения "новых идей; их критикуют, обосновывают, улучшают.

В рамках моделей первого поколения, связанных с понятием турбулентной вязкости, осуществляется непосредственная параметризация тензора Рейнольдса т^- через тензор скоростей деформаций \]ц = ди^/дх^ (гипотеза Буссинеска, основанная, очевидно, на аналогии с молекулярным механизмом явлений переноса):

П5 - h<6i:j = -IvtUij. (0.3)

Здесь К = ("2)/2 - кинетическая энергия пульсационного движения, щ -турбулентная вязкость (eddy viscosity). Последняя величина определяется характерными масштабами длины и скорости; ее, очевидно, необходимо моделировать. Первые попытки здесь связаны с работами Прандтля (1925), который, продолжая аналогию с молекулярным переносом, ввел понятие длины смешения lmix, допускающее простую и наглядную интерпретацию как „свободный пробег" вихрей между их "столкновениями". При этом для турбулентной вязкости было преложено представление

Щ ~ ImiT2 II Ui3 || .

В рамках такого описания, однако, остается неопределенным важнейший параметр - lmix. Наиболее известные попытки его моделирования восходят к работам Кармана, который при описании течения в канале для длины смешения впервые предложил формулу lmix ~ Ui2/(d2U\/dx22). В результате была получена первая модель замыкания, включающая лишь одно „замыкающее" уравнение. Подобная схема в дальнейшем была обоще-на и развита в работах В.В.Новожилова и В.А.Павловского [29, 30].

Альтернативный подход к отысканию турбулентной вязкости был предложен А.Н.Колмогоровым в рамках созданной им в начале 1940-х первой физической модели турбулентности. Величину vt было предложено выражать через основные управляющие параметры, принятые в рамках этой теории: К и и среднюю скорость е диссипации энергии. Это приводит к представлению vt = ctK2/e; константа ct ~ 0,09 была определена опытным путем.

Замыкание уравнений для средней скорости при этом осуществляется за счет дополнительных уравнений для турбулентной энергии К (оно имеет вид DK/Dt — Р — е, где Р = —TijSij - порождение турбулентной энергии) и аналогичного (модельного) - для средней скорости диссипации энергии е.

Таким образом, с точки зрения сокращенного описания, набор "управляющих", секулярных параметров в современных моделях первого поколения включает лишь три функции: U,K и б. Подобные простые схемы замыкания, известные как к — е модели (а также не менее популярные аналоги, известные как к — ш модели, основанные на представлении ut = к/ш) оказались довольно успешными при описании некоторых простых классов течений. Однако все же область их использования весьма ограничена: экспериментальные данные свидетельствуют об отсутствии локальной связи между тензорами т^ и Uij. В частности, с помощью моделей первого поколения не удается получить удовлетворительные результаты для течений с сильной закруткой, высокой степенью анизотропии и искривления линий тока.

Относительно недавно были предприняты попытки усовершенствования моделей первого поколения на основе учета "памяти" турбулентного течения, по аналогии с описанием вязко-упругих неньютоновских жидкостей. Определяющие уравнения таких нелинейных моделей турбулентной вязкости (NLEVMs, non-linear eddy-viscosity models [130]) удобно записать с использованием так называемого тензора анизотропии btj = тц/1К — 0ц/3:

Здесь Б и W - симметричная и антисимметричная части иензора скоростей деформации, I - единичная матрица, а^ -константы, фигурные скобвективную производную Олдройта: ÖS/St = DS/Dt + (SW — WS) — 2S2, D/Dt = d/dt+Ujd/dxj. Несмотря на физическую привлекательность, эти модели не привели к существенному улучшению качества предсказаний, к тому же технически они гораздо сложнее классических моделей первого поколения.

Известно еще одно обобшение классических моделей первого поколения, которое, в отличие от NLEVMs, оказалось весьма успешным в осуществлении практических расчетов. Впервые это обобщение было предложено Спалартом и Алмарасом (Spalart-Allmaras) в начале 90-х., в его рамках для турбулентной вязкости используется уравнение переноса. Их модель в некотором смысле можно рассматривать как переходную по отношению к так называемым моделям второго поколения (восходящих, впрочем, еще к работам Crow и Chou). Именно эти модели в настоящее время наиболее часто используются при расчетах сложных турбулентных течений. Их основу составляют уравнения переноса для Рейнольдсовых напряжений (DRSM, Differential Reynolds Stress Models):

Здесь Pij = —TimUjm — TjmUim, eц - тензор диссипации энергии (б = еи-/2), остальные слагаемые в правой части уравнения (0.4) представки означают свертку. Опреатор 4 предсатвляет собой инвариантную кон

0.4) ляют перераспределение энергии и диффузию соответственно; их необходимо моделировать.

Генеалогически модели второго поколения являются естественным обобщением моделей первого поколения: здесь по существу лишь несколько расширяется набор „секулярных" параметров: в их число включается уже не только кинетическая энергия, а все компоненты тензора Рейнольдсовых напряжений. Стратегия замыкания при этом заключается, как правило, в поиске (на основе интуитивных физических представлений или моделирования выражений для 2-точеченых корреляций) алгебраических соотношений, связывающих неизвестные слагаемые в уравнениях (0.4) для Рейнольдсовых напряжений с набором секулярных величин.

Подробный анализ моделей второго поколения приведен в следующей главе.

Целью работы является изучение структуры развитой турбулентности и совершенствование методов ее расчета на основе анализа ее спектральных характеристик. В этой связи возникли следующие группы задач:

• выявление наиболее общих свойств спектральных функций (скей-линг, длинноволновый предел, положительная определенность), их теоретическое обоснование и проверка согласованности с экспериментом.

• "Редуцирование"спектральных уравнений на основе идей сокращенного описания. Выбор секулярных полей и получение для них замкнутой системы уравнений.

Апробация предложенного подхода на примерах затухающей турбулентности и однородного искажения.

Разработка критериев оценки существующих одноточечных моделей турбулентности на основе спектральных представлений.

Научная новизна работы состоит в следующем: на основе условия „спектральной реализуемости" выведены ограничения, которым должны удовлетворять модельные выражения для „быстрой" части корреляций "давление-скорости деформаций". Эти ограничения представляют собой новый и удобный (по сравнению с обычными критериями реализуемости) с практической точки зрения критерий адекватности моделей второго поколения; на основе анализа многочисленных экспериментальных данных по исследованию спектральных характеристик турбулентности в длинноволновом (включая инерционный интервал) диапазоне предложен подход к описанию развитой турбулентности как критической системы. Самой критической точке при этом соответствует предел йе —>• со, роль „температуры" т играет отношение колмогоровско-го диссипативного 1(1 и внешнего Т масштабов времени, а статистика флуктуации скорости в указанном диапазоне описывается универсальными функциями с аргументом ктс, где тс - корреляционный радиус (интегральный масштаб) турбулентности; для локально-однородной турбулентности проанализированы аналитические свойства спектральных функций в области малых волновых чисел к. Показано, что характер промежуточной асимптотики в пределе при кгс —> 0 существенно влияет на эволюцию потока, в частности, на показатели затухания характеристик изотропной турбулентности за решеткой. В частности, существование нетривиального предела для сверток (ослабленная форма аналитичности) спектральных функций позволяет выразить показатель затухания турбулентности через критические индексы и приводит к значению 6/5, которые лучше согласуются с экспериментом, чем, например, значение 10/7, соответствующие предположению об аналитичности компонент спектрального тензора и сохранению интеграла Лойцянского. Для течений со средней скоростью деформаций нетривиальность указанного предела соответствует существованию квазидетерминировапных длинноволновых возмущений - так называемых когерентных структур;

• предложен новый набор секулярных полей, которые служат основой сокращенного описания гидродинамической системы на турбулентной стадии эволюции. К ним относятся амплитудные функции длинноволновых возмущений, а также корреляциолнный радиус и средняя скорость диссипации энергии. К аргументам этих полей, в отличие от тех, которые используются в различных схемах так называемых одноточечных замыканий, кроме пространственных координат, относится также ориентация волнового вектора.

• Для секулярных полей выведена замкнутая система уравнений. Несмотря на их интегро-дифференциальный характер, для некоторых случаев выведены аналитические решения. В частности, без привлечения каких-либо модельных констант выполнен расчет основных спектральных и одноточечных характеристик турбулентности при однородном искажении.

• Для неоднородных течений предложен метод расчета секулярных полей, аналогичный методу Энскога-Чепмена в кинетической теории. При этом показано, что спектральный межкомпонентный перенос аналогичен интегралу столкновений в кинетическом уравнении Больцмана.

Достоверность. Выводы диссертации основаны на результатах численных расчетов и теоретических оценок, которые подтверждены качественно и количественнов экспериментальными данными.

Практическая значимость результатов исследований связана с углублением представлений о структуре и динамике крупномасштбных пульсаций и их определяющей роли в формировании структуры турбулентности. Предложенный вариант сокращенного описания турбулентности и, соответственно, редуцирования спектральных уравнений позволяет объяснить механизм подавления нелинейных взаимодействий и формирования универсальных спектральных функций.

В рамках предложенного подхода возникает возможность аналитического расчета не только одноточечных характеристик турбулентности, но и спектральных параметров, определющих ее структуру.

Выведенные новые критерии реализуемости для моделей второго поколения позволяют оперативно, до стадии решения громоздких систем дифференциальных уравнений, определить области адекватности этих модел ей, а также производить их корректировку за счет варьирования значений констант в заранее рассчитанных диапазонах.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Новый критерий адекватности моделей турбулентности второго поколения, который, в отличие от известного критерия реализуемости Ламли, позволяет, например, независимо, до процедуры численного решения, оценить область применимости различных модельных выражений для корреляций "давление-скорости деформаций".

• Подход к описанию турбулентности как критического явления с критической точкой, соответствующей бесконечному значению числа Рейнольдса.

• Разделение переменных, от которых зависят параметры турбулентности на „быстрые" (волновое число, зависимость от которого описывается универсальными функциями с аргументом кгс) и „медленные" (пространственные координаты и ориентация волнового вектора). Подтверждение универсальности указанных функций на основе сравнения с экспериментальными данными.

• Описание эволюции системы на турбулентной стадии на основе нового набора секулярных величин, включающего „амплитудные" функции наиболее крупномасштабных возмущений, корреляционный радиус и среднюю скорость диссипации энергии.

• Замкнутая система уравнений для набора секулярных полей и результаты ее решения для однородного искажения общего вида.

• Вывод иерархии уравнений для секулярных полей локальнооднородной турбулентности на основе процедуры, аналогичной методу Энскога-Чепмена в кинетической теории газов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы представлялись, докладывались и обсуждались на семинарах кафедры статистической физики СПбГУ, кафедры теоретической физики КГПУ, лабораториях ЦАГИ и ЦНИИ им. акад. Крылова, на Всесоюзных, Всероссийских и Международных конференциях и семинарах:

- на Всесоюзном совещании по проблеме "Абсорбция газов"(Ташкент, 1979),

- на У Республиканской конференции молодых ученых - химиков (Таллин, 1983),

- на Всесоюзной научно-технической конференции "Контейнерный трубопроводный гидротранспорт"(Новополоцк, 1984),

- на Всесоюзной конференции молодых исследователей "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики"(Новосибирск, 1985,

- на Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы аэродинамики газовоздушных трактов котельных агрегатов"(Барнаул, 1989),

- на координационном совещании "Математическое моделирование в гидроэкологии (Ленинград, 1990),

- на Международном совещании "Проблемы физической лимнологии "(Петрозаводск, 1993),

- на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Пермь, 2001),

- на VI Европейской конференции по гидромеханике EFMC-6 (Стокгольм, 2006),

- на XI и XII Европейских конференциях по турбулентности ETC-11 (Порто, Португалия, 2007) и ETC-12 (Марбург, Германия, 2009),

- на Международной научной конференции по механике "Пятые По-ляховские чтения"(С.-Петербург, 2009).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован более чем в 20 научных работах, среди которых 11 в реферируемых журналах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, 8 приложений, заключения и списка литературы. Общий к( объем диссертации составляет 6ZJ, страниц, включая SO рисунко/3.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Л.Ц.Аджемян, С.Р.Богданов, Ю.В.Сыщиков. Гипотеза подобия при описании длинноволновых спектров развитой турбулентности // Вестник ЛГУ. 1982. № 10. С. 76-79.

2. С.Р.Богданов. Изучение закономерностей вырождения локально-однородной и изотропной турбулентности на основе гипотезы скэйлинга // Журнал технической физики. 1983. Т. 53. № 5. С. 949-952.

3. С.Р.Богданов. О константах Колмогорова в спектрах анизотропной турбулентности // Журн. прикл. мех. и техн. физ. 1990. № 5. С. 142-145.

4. Спектральный метод замыкания уравнений развитой анизотропной турбулентности: скейлинг, дальнодействие, память // Журнал технической физики, 1991, Т.61. № 5. С.113-116.

5. Замыкание уравнений турбулентности как проблема аналитических и скейлинговых свойств спектральных функций // Прикладная механика и техническая физика. 1991. № 6. С.83-93.

6. С.Р.Богданов, С.И.Соболев. К проблеме моделирования корреляций "давление - скорости деформаций "в теории турбулентности // Изв. АН СССР, серия "Механика жидкости и газа". 1992. № 2. С.42-46.

7. С.Р.Богданов, Лехто Г.Ф. Квазилинейная система уравнений для параметров развитой турбулентности. Расчет безвихревого искажения потока за решеткой // Прикладаная механика и техническая физика. 1992. № 3. С.90-92.

8. О нелинейных моделях для корреляций "давление-скорости деформаций'^ турбулентном потоке // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33. № 19. С. 16-23.

9. С.Р.Богданов, ТЫЬаиМ Лог^еп. Ограничения на "быструю"часть корреляций "давление - скорости деформаций", выводимые из спектрального представления // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 2. С. 29-39.

10. С.Р.Богданов. Оценка адекватности нелинейных моделей для корреляций "давление-скорости деформаций"в турбулентном потоке // Журнал технической физики. 2009. Т. 79. № 1. С. 28-35.

11. С.Р.Богданов. Аналитический расчет параметров турбулентности при осесимметричном искажении // Изв. РАН , серия "Механика жидкости и газа". 2009. № 5. С. 45-59.

12. Турбулентный перенос пассивной примеси: волны или диффузия // Проблемы физической лимнологии. Петрозаводск, 1993. С. 110-115.

13. Осесимметричная турбулентность. Проблемы расчета с точки зрения аналитических и скейлинговых свойств спектральных функций // Гидрогазодинамика течений с тепломассообменом. Ижевск, 1989. С. 91-98.

14. Изучение структуры и закономерностей затухания развитой турбулентности на основе гипотезы скэйлинга. Статья депонирована в ВИНИТИ 21.01.83, № 376-83, 1 п.л.

15. С.Р.Богданов, Л.Ц.Аджемян. Турбулентный поток с поперечным сдвигом как критическая система. Статья депонирована в ВИНИТИ 17.02.83, № 882-83. 1.5 п.л.

16. Изучение развитой турбулентности на основе гипотезы скэйлинга. Автореферат кандидатской диссертации, Ленинград, 1983.

17. С.Р.Богданов. Теоретическое изучение структуры и интегральных гидродинамических характеристик кольцевых турбулентных течений двухфазных смесей // Y Республиканская конференция молодых ученых. Таллин, 1983. С. 118.

18. С.Р.Богданов, Л.Ц.Аджемян. К расчету асимптотического вполне развитого турбулентного режима гидротранспорта контейнеров // Контейнерный трубопроводный гидротранспорт. Новополоцк, 1984. С. 30-32.

19. С.Р.Богданов. Расчет влияния осесимметричного поджатия на характеристики турбулентности // Всесоюзная конференция "Проблемы аэродинамики газовоздушных трактов". Барнаул, 1989. С. 108-109.

20. С.Р.Богданов, T.J.Jongen. Ограничения на тензор корреляций "давление - скорости деформаций", выводимые из спектрального представления // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001. С. 107.

21. S.R.Bogdanov, T.J.Jongen. Constraints for the Pressure-Strain

Correlation Tensor Derived from Spectral Representation // EFMC6 KTH -EUROMECH Fluid Mechanics Conference 6. Royal Insyitute of Technology. Stockholm, June 26-30, 2006. Abstracts, V.2. P. 224.

22. S.R.Bogdanov. Closure for Anisotropic Homogeneous Turbulence as the Problem of Analytical and Scaling Properties of Spectral Tensors // Advances in Turbulence XI. Proceedings of the 11th EUROMECH Conference, June 25-28, 2007, Porto, Portugal. P. 733.

23. S.R. Bogdanovio RDT or low wavenumber modes' dynamics? // Advances in Turbulence XII. Proceedings of the 12th EUROMECH European Turbulence Conference, September 7-10, 2009, Marburg, Germany Series: Springer Proceedings in Physics , Vol. 132 Eckhardt, Bruno (Ed.). 2009, XXVII, 913 p. 900 illus., Hardcover. P. 943-945.

Работы под номерами 2-11 переведены опубликованы в англоязычных версиях соответствующих журналов.

Заключение

Последние декады характеризуются бурным развитием всех направлений исследований, связанных с построением теории развитой турбулентности. Одна из важных тенденций этого развития - взаимное проникновение идей, разрабатываемых в рамках различных подходов. В частности, очевидная интерференция наблюдается в развитии статистического и структурного подходов, которые ранее рассматривались как практически автономные.

Также уже общепризнанным можно считать тот факт, что традиционные одноточечные замыкания (попытки построения замкнутой системы уравнений лишь для средней скорости и и компонент тензора Рейнольдса (■и,;1£.,■)) не только не могут служить конечной целью исследований, но и далеко не всегда могут быть основанием для решения конкретных практических задач. Во-первых, запросы, связанные со многими практическими расчетами, в последнее время существенно изменились: помимо традиционных, все больший интерес вызывают более "тонкие"одноточечные параметры, связанные, например, с описанием перемежаемости, интенсивности генерации звука, межкомпонентным и спектральным переносом энергии.

Во-вторых, сама логика развития статистического подхода свидетельствует о необходимости существенного расширения или даже изменения набора управляющих параметров - полей. Так, при построении адекватной модели для корреляций "давление - скорости деформаций "в моделях второго поколения, как указывалось в разделах 1.7 и 2.1, помимо тензора Рейнольдса необходимо, привлекать, как минимум, еще одну важную величину, характеризующую структуру потока - тензор "размерностности".

Решение указанных проблем в этой связи естественно связывать с привлечением информации о 2-точечных характеристиках поля скорости, активном использовании системы уравнений для соответствующих спектральных тензоров. Несмотря на исключительную сложность этой системы, она может служить основой дальнейшего развития статистических методик даже в рамках феноменологического рассмотрения. В частности, как показано в представляемой работе, достаточно конструктивные результаты можно получить из этой системы, используя лишь наиболее общие свойства спектральных тензоров: положительную определенность, аналитические свойства, масштабную инвариантность в инфракрасной области, существование нетривиальных пределов при кгс —> 0.

Так, в главе 1 на основе использования первого из указанных свойств - положительной определенности спектрального тензора двухточечных корреляций - выведены новые критерии, позволяющие, в частности, непосредственно оценить адеквтность моделей второго поколения. В отличие от известных условий реализуемости, эти новые критерии позволяют осуществить проверку моделей еще до достаточно громоздкой стадии решения соответствующей системы дифференциальных уравнений. При этом с помощью неравенств, вытекающих из этого критерия, удается определить "область адекватности"для каждой модели или вывести ограничения на значения модельных констант. На примере рассмотрения течений эллиптического типа было показано, что все известные модели второго поколения нельзя считать вполне адекватными и универсальными: новый спектральный критерий реализуемости оказывается нарушенным в той или иной области физического домена. При этом последовательное усложнение (например, за счет включения нелинейных по Ьц или Ът13 слагаемых) модели не приводит к монотонному улучшению ситуации.

В то же время введенный новый критерий, как показано в главе 1, может оказаться (например, за счет контролируемого варьирования констант) достаточно конструктивным при расчетах конкретных течений. В заключительном параграфе главы показано также, что предложенный подход к оценке моделей второго поколения может быть обобщен на случай течений произвольного типа, за счет использования полного тензорного базиса при параметризации Ъц, а также использования точного выражения т) для Ф^- , включающего слагаемые высшего порядка по малому параметру гс/Ь.

Альтернативный - по отношению к известным полуэмпирическим 11 одноточечным11 моделям - вариант описания турбулентных потоков, основанный на непосредственном использовании спектральных уравнений, представлен в главе 2. Физическую основу этого варианта составляет гипотеза о масштабной инвариантности (скейлинге) длинноволновых возмущений поля скорости, которая подтвержается анализом многочисленных экспериментальных данных. Этот факт позволяет провести аналогию между развитой турбулентностью и критическими системами и, как следствие, использовать развитые в теории фазовых переходов второго рода методы и оценки.

В частности, в рамках такой аналогии спектральные тензоры выражаются через универсальные функции с аргументом кгс. Это означает, что зависимость этих тензоров от координат х - неявная, определяется зависимостью от х лишь "управляющих"параметров, к числу которых, например, в случае изотропной турбулентности, относятся гс и е. При этом удается получить некоторые результаты, даже не проводя достаточно сложных вычислений, связанных с перенормировкой исходных уравнений, последовательным исключением коротковолновых гармоник. Так, удается идентифицировать "температуру"турбулентности (параметр, характеризующий ее близость к критической точке Re —> оо) как отношение дисспативно-го tj, и внешнего масштабов времени. При этом, как следствие, выводится дополнительное уравнение для управляющих параметров.

Замыкание уравнений для управляющих параметров осуществляется на основе анализа поведения спектральных функций в пределе при кгс —»■ 0: предполагается, что в этом пределе не имеют особенностей соответствующие свертки, например, Fn —* const 0. С физической точки зрения такая гипотеза фактически эквивалентна предположению о существовании когерентных структур - квазидетерминированных образований с размерами, существенно превышающими гс. Ее прямым следствием в случае изотропной турбулентности является существование интеграла движения, имеющего смысл энергии "турбулентного моля". С другой стороны, указанное свойство спектральных функций, как показано в разделе 3.1, представляет собой естественное условие самосогласованности гипотезы скейлинга.

Предложенный метод проиллюстрирован расчетом затухающей изотропной турбулентности за решеткой. Получены аналитические результаты, позволяющие определить эволюцию параметров течения. В частности, получены явные выражения для степенных показателей, определяющих поведение интенсивности пульсаций и интегрального масштаба турбулентности. Соответствующие значения однозначно определяются по критическим показателям ¡3 и ц и находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными.

Обобщению предложенного метода на случай анизотроной турбулентности посвящен основной материал главы 3. При этом предварительно возможность такого обобщения была косвенно подтверждена проведенным анализом зависимости констант Колмогорова от параметров анизотропии. Основная проблема при таком обобщении - в духе идей о сокращенном описании - связана с выбором дополнительных параметров - полей, которые необходимо включить в "управляющий набор". С учетом результатов, полученных при изучении так называемого "аномального скейлинга", в качестве таких параметров выбраны "амплитудные функции"Д-(х, в), определяющие вид компонент спектрального тензора в длинноволновом пределе. Следует подчеркнуть, что, в отличие от традиционных схем замыкания, в число аргументов этих функций, как и корреляционного радиуса7~с, входят не только координаты х, но и вектор ориентации в = к/к. При этом одноточечные средние, представляющие наибольший практический интерес, получаются в результате интегрирования соответствующих выражений по сфере единичного радиуса в к - пространстве.

Для набора управляющих параметров - амплитудных функций, корреляционного радиуса и скорости диссипации энергии - в нулевом приближении по параметру гс/Ь получена замкнутая система уравнений. Это приближение, соответствующее приближению квазиравновесной функции распределения в статистической физике, оказывается, однако, весьма содержательным и конструктивным при анализе ряда простейших течений. Так, в разделе 3.4 в указанном приближении произведен расчет осесим-метричных искажений решеточной турбулентности. При этом некоторые результаты, относящиеся, в частности, к динамике амплитудных функций асимптотическая форма при больших степенях искажения, характер рас—* пределения энергии в к - пространстве), удается получить в аналитическом виде. В пределе быстрых искажений начально изотропной турбулентности результаты совпадают с выводами ГШТ. В то же время в рамках предложенной схемы замыкания удается без существенных усложнений произвести расчеты при произвольных начальных условиях, а также, что наиболее важно, обобщить результаты на случай, когда характерные „внешний" и „внутренний" временные масштабы - величины одного порядка. Для этого последнего случая удалось, в частности, показать, что изменение интенсивности компонент может иметь немонотонный характер, и существенно зависит не только от степени деформации, но и от ее характера.

В разделе 3.5 результаты обобщены на случай безвихревого искажения общего вида. На основе расчетов динамики компонентальной и ди-рекционной анизотропии амплитудных функций, а также дирекционной анизотропии корреляционного радиуса проведен подробный анализ эволюции интенсивности пульсаций и процесса перераспределения энергии между компонентами. Показано, в частности, что на динамику одноточечных средних указанные факторы анизотропии влияют по-разному, в частности, скорости релаксации компонентальной и дирекционной анизотропии к их асимптотическим формам существенно отличаются. Как следствие, сценарий даже безвихревого искажения при некоторых начальных условиях оказывается весьма нетривиальным: например, интенсивности пульсаций при приближении к асимптотическому состоянию могут изменяться немонотонно, и траектория изображающей точки на треугольнике Лам л и имеет петли). Что касается самих асимптотических состояний, то во всех случаях за исключением деформации сплющивания = 1) они одинаковы и соответствуют двухкомпонентной осесимметричной турбулентности. При Е = 1 асимптотическому состоянию соответствует сосредоточение половины энергии в продольных пульсациях.

Показано также, что обобщение метода на общий случай неоднородных течений и, соответственно, учета высших по малому параметру гс/Ь слагаемых в спектральных уравнениях возможно в рамках процедуры, аналогичной методу Энскога-Чепмена при решении кинетического уравнения в газовой динамике. При этом новые нетривиальные слагаемые в системе уравнений для управляющих параметров появляются во втором порядке по указанному параметру. Показано также, что эта система существенно упрощается в случае геликоидального характера когерентных структур. Например, при изучении „изотропизации" потока за решеткой можно ограничиться рассмотрением лишь низших (нулевого и второго) ориентацион-ных моментов амплитудных функций.

1. Л.Ц.Аджсмян, Н.В.Антонов, А.Н.Васильев. Квантово-полевая ренор-мализационная группа в теории развитой турбулентности // УФН. 1996. Т.166. № 12. С. 1257-1284, 1996.

2. Л.Ц.Аджемян, С.Р.Богданов, Ю.В.Сыщиков. Гипотеза подобия при описании длинноволновых спектров развитой турбулентности // Вестник ЛГУ. 1982. № 10. С. 76-79.

3. Богданов С.Р. Изучение структуры и закономерностей затухания развитой турбулентности на основе гипотезы скэлинга. Л., 1983. 22 с. -Деп. в ВИНИТИ 21.01.1983 г. № 376-83 Деп.

4. Богданов С.Р., Соболев С.И. К проблеме моделирования корреляций "давление-скорости деформаций "в теории турбулентости / / Изв.РАН. МЖГ. 1992. № 2. С.42-46.

5. С.Р.Богданов, T.J.Jongen. Ограничения на "быструю"часть корреляций давление- скорости деформаций", выводимые из спектрального представления // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т.49. № 2. С. 179-187.

6. С.Р.Богданов, Лехто Г.Ф. Квазилинейная система уравнений для параметров развитой турбулентности. Расчет безвихревого искаженияпотока за решеткой // Прикладаная механика и техническая физика. 1992. №3. с.90-92.

7. С.Р.Богданов, T.J.Jongen. Ограничения на тензор корреляций "давление скорости деформаций", выводимые из спектрального представления // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь. 2001. С. 107.

8. С.Р.Богданов. Аналитический расчет параметров турбулентности при осесимметричном искажении // Изв. РАН. МЖГ. 2009. № 5. С. 45-59.

9. С.Р.Богданов. Замыкание уравнений турбулентности как проблема аналитических и скейлинговых свойств спектральных функций // Прикладная механика и техническая физика. 1991. № 6. С. 83-93.

10. С.Р.Богданов. Изучение закономерностей вырождения локально- однородной и изотропной турбулентности на основе гипотезы скэйлинга // Журнал технической физики. 1983. Т. 53. № 5. С. 949-952.

11. С.Р.Богданов. О константах Колмогорова в спектрах анизотропной турбулентности // Журн. прикл. мех. и техн. физ. 1990. № 5. С. 142145.

12. С.Р.Богданов. О нелинейных моделях для корреляций "давление- скорости деформаций"в турбулентном потоке // Письма в ЖТФ. 2007. Т.ЗЗ. № 19. С.16-23.

13. С.Р.Богданов. Оценка адекватности нелинейных моделей для корреляций "давление-скорости деформаций"в турбулентном потоке // Журнал технической Физикти. 2009. Т. 79. № 1. С. 28-35.

14. С.Р.Богданов. Спектральный метод замыкания уравнений развитой анизотропной турбулентности: скейлинг, дальнодействие, память // Журнал технической физики. 1991. Т.61. № 5. С.113-116.

15. Е.Б.Гледзер, Ф.В.Должанский, А.М.Обухов. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука, 1981, 366 с.

16. Кларк. Исследование турбулентного пограничного слоя при течении в канале // Теоретические основы инженерных расчетов. 1968. № 4. С. 22-37.

17. Г.А.Кузьмин, А.З.Паташинский. Масштабная и конформная симметрия локальной структуры турбулентности. Препринт. Новосибирск.: ИЯФ: 1974.

18. Ф.М.Куни. Статистическая физика и термодинамика. М.Наука, 1981, 352 с.

19. Дж. Ламли. Модели второго порядка для турбулентных течений // Методы расчета турбулентных течений. М.: Мир, 1984. С. 7-34.

20. Ю.В. Лапин. Статическая теория турбулентности: прошлое и настоящее (краткий очерк идей)"//Научно технические ведомости 2'2004. С. 7-20

21. Лин А., Вольфштейн М. Теоретическое исследование уравнений для напряжений Рейнольдса // Турбулентные сдвиговые течения. 1. М.: Машиностроение. 1982. С. 343-360.

22. Лятхер В.М. Вероятностная природа турбулентных течений и пути замкнутого описания турбулентности // Турбулентные течения. М.:Наука. 1974. С. 136-140.

23. Матье Ж., Жандель Д. Патологическое поведение турбулентных течений и спектральный метод //Методы расчета турбулентных течений. М.: Мир. 1984. С. 35-102.

24. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. 4.2. М.: Наука, 1967, 720 с.

25. Г.Моффат. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир, 1980, 340 с.

26. Р.К.Мьолснесс. Возможные отклонения от локальной изотропии в мелкомасшабной структуре турбулентных полей скорости // Турбулентные сдвиговые течения 2. М.: Машиностроение. 1983. С.30-42.

27. М.Ю.Налимов, А.К.Рыжов. Принцип максимальной хаотичности в теории развитой турбулентности: замыкание уравнений Навье-Стокса для течения в канале в приближении слабой анизотропии // Вестник СпбГУ. Сер. 4. 1995. Вып. 1 (№ 4). С. 72-83.

28. Невзглядов В.Г. Теория турбулентного движения сжимаемых жидкостей // ДАН СССР. 1947. Т. 58. № 4. С. 547-550.

29. Новожилов В.В., Павловский В.А. Установившиеся турбулентные течения несжимаеиой жидкости. Санкт-Петербург, 1998, 484 с.

30. В.А.Павловский. О расчете пульсационных характеристик турбулентных потоков // Журнал прикл. мех. и техн. физики. 1988. № 3. С. 114-122.

31. Паташинский А.З., Покровский B.JI. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982, 381 с.

32. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.З, ч.1. М.: Наука, 1974, 324с.

33. Таунсенд А.А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. М.: ИЛ, 1959, 399 с.

34. Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. М.: Мир, 1965, 307 с.

35. Фракталы в физике. Труды международного симпозиума. Триест, Италия, 9-12 июля 1985. Под ред. Л.Пьетронеро и Э.Тозаттию. М.: Мир, 1988, 672 с.

36. И.О.Хинце. Турбулентность. М.: ГИФМЛ, 1963, 680 с.

37. S.Barenjee, R.Krahl, F.Durst, Ch.Zenger. Presentation of anisotropy properties of turbulence, invariants versus eigenvalue approaches // Journal of Turbulence. 2007ю V. 8, № 32. P. 1-27.

38. Batchelor G.K. , Townsend A.A. Decay of isotropic turbulence in the initial period // Proc. Roy. Soc. (London). 1948. V. A 193. No 1035. P. 539-558.

39. G.K.Batchelor, I.Proudman. The effect of rapid distortion of a fluid in turbulent motion // Quart. J.ourn. Mech. and Appl. Math. 1954. V. VII. Pt. 1. P. 83-103.

40. L.Biferale, I.Daumont, A.Lanotte, F.Toschi. Anomalous and dimensional scaling in anisotropic turbulence // Phys. Rev. 2002. V. E 66, P. 056306-1 056306-4.

41. S.R.Bogdanov, T.J.Jongen. Constraints for the Pressure-Strain Correlation Tensor Derived from Spectral Representation // Euromech Fluid Mechanics Conference 6, Royal Institute of Technology, Stockholm, June 26-30. 2006. vol. 2, p.224.

42. Boshiero M., Gence J.-N., Mathieu J. Reponse d'une turbulence homogene a un changment brusque de position des axes principaux du tenseur de deformation // C.R.Acad.Sc. Paris. 1977. T. B285. P. 309-312.

43. C.Cambon, C.Teissedre. Application des harmoniques spheriques a la representation et au calcul des grandeurs cinematiquesen turbulence homogene anisotrope // C.R.Acad, Se.Paris. 1985. T. 301. Serie II. № 2. P.65-68.

44. C.Cambon. Strongly anisotropic turbulence, statistical theory and DNS. -Conference on Turbulence and Interactions TI2006, May 29-June2, 2006, Porquerolles, France.

45. C.M.Casciola, P.Gualtieri, B.Jacob, R.Piva. Scaling Properties in the Production Range of Shear Dominated Flows // Phys. Rev. Lett. 2005. V. 95. P.024503-1 024503-4.

46. Chandrasekhar S. The theory of axisymmetric turbulence // Phil. Trans. Roy. Soc. (London). Ser. A. 1950. V.242, No 855. P.557-577.

47. J.R.Chasnov. The decay of axisymmetric homogeneous turbulence // Phys. Fluids. 1995. V.7. № 3. P. 600-605.

48. Kwing-So Choi, John L.Lumley. The return to isotropy of homogeneous turbulence // J.Fluid Mech. 2001. V. 436. P. 59-84.

49. T.T.Clark, Y.Zhou, C.Zemach. On full self-preserving solutions in homogeneous turbulence // Journal of turbulence. 2007. V. 8. № 24. P. 1-17.

50. Comte-Bellot G., Corrsin S. The use of a contraction to improve the isotropy of grid-generated turbulence // J.Fluid Mech. 1966. V. 25. Pt. 4.1. P. 657-682.

51. P.A.Courseau, M.Loiseau. Contribution a l'analyse de la turbulence homogene anisotrope // Journal de Mecanique. 1978. V. 17, № 2. P. 245297.

52. P. Courseau, M.M.Loiseau. Les correlations vitesse-pression dans uns turbulence homogene associee a une deformation pure plane / / C.R.Acad.Sc. Paris. 1972. T. 274. P. 1582-1585.

53. Crow S.C. Visco-Elastic Character of Fine-Grained Isotropic Turbulence // Phys. Fluids. 1967. V.10. P. 1587-1589.

54. R.G. Deissler. Spectral energy transfer for inhomogeneous turbulence // Phys. Fluids. 1981. V. 24. No 10. P. 1911-1912.

55. C.Delo, A.J.Smits. Volumetric vizualizayion of coherent structure in a low Reynolds number turbulent boundary layer // International Journal of Fluid Dynamics. 1997. V. 1. Article 3.

56. Dickey T.D., Mellor G.R.The Kolmogoroff r2/3 law // Phys. Fluids. 1979. V. 22. No 6. P. 1029-1032.

57. D.F.G.Durao, G.Pita. Coherent structures in the near field of round jets // Experiments in fluids. 1984. V.2. P.145-149.

58. Durbin P.A., Speziale C.G. Realizability of second-moment closures via stochastic analysis // J.Fluid Mech. 1994. V. 280. P. 395-407.

59. Ozgur Ertunc. Experimental and Numerical Investigations of Axisymmetric Turbulence. Thesis. University Erlangen Nürnberg. Erlangen, 2007. 257 P.

60. D.Forster, D.R.Nelson, M.J.Stephen. Large-distance and long-time properties of a randomly stirred fluid // Phys. Rev. A. 1977. V. 16. № 2. P. 732-749.

61. B.Galanti. P.-L.Sulem. Inverse cascade in 3-dimensional anisotropic flows lacking parity invariance // Phys. Fluids. 1991. V. A3. № 7. P. 1778 -1784.

62. B.Gallagher, L.Magaard, E.Gutteling. Closure for velocity/pressure-gradient correlations in turbulent shear flow // Phys. of Fluids. 1981. V. 24. № 9. P. 1605-1610.

63. B.Gallagher. Testing a closure for velocity/pressure-gradient correlations in nonuniform turbulent flow // Phys. of Fluids. 1985. V. 28. № 7. P. 2083-2087.

64. Gibson C.H., Stegen G.R., Williams R.B. Statistics of the fine structureof turbulent velocity and temperature fields measured at high Reynolds number // J.Fluid Mech. 1970. V.41. Pt. 1.

65. Gibson M.M., Launder B.E. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer // J.Fluid Mech. 1978. V. 86. P. 491-511.

66. S.S.Girimaji, E.Jeong, S.V.Poroseva. Pressure-strain correlation in homogeneous anisotropic turbulence subject to rapid strain-dominated distortion // Physics of Fluids. 2003. V. 15. № 10. P. 3209- 3222.

67. Sharath S.Girimaji. A new perspective on realizability of turbulence models // J.Fluid Mech. 2004. V. 512. P. 191-210.

68. S.S.Girimaji. Asymptotic behavior of curvature of surface elements in isotropic turbulence // Phys. Fluids. A. 1991. V.3. № 7. P. 1772-1777.

69. Grant H.L., Stewart R.W., Moilliet A. Turbulent spectra from a tidal channel // J.Fluid Mech. 1962. V. 12. Pt. 2. P. 241-268.

70. Olof Grundestam, Stefan Wallin, Arne V.Johansson. An explicit algebraic Reynolds stress model based on a nonlinear pressure strain model // International Journal of Heat and Fluid Flows. 2005. V. 26. P. 732-745.

71. Olof Grundestam. Modelling and simulation of turbulence subject to system rotation. Doctoral Thesis in Fluid Mechanics. Stockholm, Sweden, 2006.

72. Magnus Hallback, Johan Groth, Arne V. Johansson. An algebraic model for nonisotropic turbulent dissipation rate in Reynolds stress closures // Phys. Fluids. 1990. V. A2. № 10. P. 1859-1866.

73. Herring J.R. Approach of axisymmetric turbulence to isotropy // Phys. Fluids. 1974. V.17. № 5. P. 859-872.74. http://www.sla.tu-darmstadt.de/lehre/tms/Turbulence-TUDarmstadt-Pt2-3.pdf

74. Julian Hunt, Nicholas Kevlahan. Rapid Distortion Theory and the structure of turbulence //Proc. Monte Verito Symp. Sept.1991. New approaches and Concepts in Turbulence (Eds T.Dracos and A.B.Tsinober), Birkhauser. 1993. P. 285-316.

75. Hussain A.K.M.F., Ramjee V. Effects of the axisymetric contraction shape on incompressible turbulent flow // J. of Fluids Engr. 1976. V. 98. P. 5869.

76. Arne V.Johansson and Magnus Hallback. Modelling of rapid pressure-strain in Reynolds-stress clisures // J.Fluid Mech. 1994. V.269. P.143-168.

77. T.Jongen, T.B.Gatski. General explicit algebraic stress relations and best approximation for three-dimensional flows // Int. J. of Eng. Sei. 1998. V. 36. P. 739-763.

78. T.Jongen, T.B.Gatski. A Unified analysis of Planar Homogeneous

79. Turbulence Using Single-Point Closure Equations. //J. Fluid Mech. 1999. V.399. P. 117-150.

80. T.Jongen,T.B.Gatski. A new approach to Characterizing the Equilibrium States of the Reyniolds Stress Anisotropy in Homogeneous Turbulence // Theoret.Comput. Fluid Dynamics. 1998. V.ll. P. 31-47.

81. Jori E. Ruppert-Felsot, Olivier Praud, Eran Sharon, and Harry L. Swinney. Extraction of coherent structures in a rotating turbulent flow experiment // Phys. Rev. 2005. V. E72, P. 016311-1 016311-14.

82. S.C. Kassinos, W.C.Reynolds. A particle representation model for the deformation of homogeneous turbulence // Center for Turbulence Research. Annual Research Briefs. Stanford University. Stanford, California. 1996. P.31-51.

83. S.C.Kassinos, W.C.Reynolds. Tensorial volume of turbulence revisited // Phys. Fluids. 1990. V. A2. № 9. P. 1669-1677.

84. Stavros C. Kassinos, William C. Reynolds. A structure-based model for the rapid distortion of homogeneous turbulence. Report No. TF-61. Thermosciences Division. Department of Mechanical Engineering, Stanford University, 1995, 434 P.

85. S.Kassinos,W.C.Reynolds, M.Rogers. One-point turbulence structure tensors // J. Fluid Mech. 2000. V. 428. P. 213-248.

86. Kerschen E.J. Constraints on the invariant functions of axisymmetric turbulence // AIAA Journal. 1983. V.21. No 7. P. 978-985.

87. N.K.-R.Kevlahan. Rapid distortion of turbulent structures // Applied Scientific Research. 1993. V. 51. P. 411-415.

88. Kistler A.L., Vrebalovich T. Grid turbulence at large Reynolds numbers // J.Fluid Mech. 1966. V. 26. Pt.l. P. 37-47.

89. Jens Knoell and Dale B.Taulbee. Modelling the rapid pressure-strain correlation in homogeneous flows // Physics of Fluids. 2001. V. 13. Na8. P. 2386-2393.

90. Per-Age Krogstad, Lars-Even Torbergsen. Invariant Analysis of Turbulent Pipe Flow // Flow, Turbulence and Combustion. 2000. V. 64. P. 161-181.

91. Chris De Langhe. Renormalization group approach to hybrid RANS-LES modeling. Диссертация. Университет Гента. Гент. 2003. 172 с.

92. Launder В.Е., Reece G., Rodi W. Progress in the development of a Reynolds stress turbulence closure. // J.Fluid Mech. 1975. V. 68. P.537-566.

93. Lawn C.J. The determination of the rate of dissipation in turbulent pipe flow // J.Fluid Mech. 1971. V. 48. Pt. 3. P. 477-505.

94. Moon Joo Lee. Distortion of homogeneous turbulence by axisymmetric strain and dilatation // Phys. Fluids. 1989. V. Al. 1541-1557.

95. D.C.Leslie. Review of developments in turbulence theory // Rep. Progr. Phys. 1973. V. 36. P. 1365-1424.

96. D.C.Leslie. Simplification of the direct interaction equations for turbulent shear flow // J.Phys. A. 1970. V. 3. № 3. P. L16 L18.

97. Levich E., Tsinober A. Helical structures, fractal dimensions and renormalization group approach in homogeneous turbulence // Phys. Lett. 1983. V. 96 A. № 6. P. 292 - 297.

98. Lin A., Wolfstein M. Tensorial volume of turbulence // Phys. Fluids. 1980. V. 23. № 3. P. 644-646.

99. J. L. Lumley and G. Newman. The return to isotropy of homogeneous turbulence // Journal of Fluid Mechanics. 1977. V. 82. P. 161-178.

100. Lumley J.L. Toward a turbulent constitutive relation // J.Fluid Mech. 1970. V. 41. Pt. 2. P. 413-434.

101. J.Maréchal. Etude experimentale de la deformation plane d'une turbulence homogene // J. de Mechanique. 1972. V.ll. No 2. P. 263-294.

102. J.M.McDonough. Introductory Lectures on Turbulence. University of Kentucky. 2004. http://www.engr.uky.edu/ acfd/lctr-notes634.pdf

103. Mestayer P. Local isotropy and anisotropy in a high-Reynods-number turbulent boundary layer // J.Fluid Mech. 1982. V. 125. P.475 -503.

104. H.K.Moffat. Magnetostatic equilibria and analogous Euler flows of arbitrary complex topology. Part 1. Fundamentals // J.Fluid Mech. 1985. V. 159. P.359-378.

105. H.K.Moffat. The degree of knottedness of tangled vortex lines // J.Fluid Mech. 1969. V. 35. Pt. 1. P. 117 -129.

106. Y.Morinishi, K.Nakabayashi, S.Q.Ren. Dynamics of anisotropy on decaying homogeneous turbulence subjected ti system rotation // Physics of Fluids. 2001. V. 13. № 10. P. 2912-2922.

107. Robert D.Mozer. Kolmogorov inertial range spectra for inhomogeneous turbulence // Phys. Fluids. 1994. V. 6. No 2. P. 794-801.

108. Naot D., Shavit A., Wolfstein M. Two-point correlation model and the redistribution of Reynolds stresses // Phys. Fluids. 1973. V. 16. No 6. P. 738-743.

109. M.Nelkin. Turbulence, critical fluctuations and intermittency // Phys. Rev. A. 1974. V.9. No 1. P. 388-395.

110. Blair Perot, Chris Chartrand. Modeling return to isotropy using kinetic equations // Phys. Fluids. 2005. V. 17, P. 035101-1 035101-18.

111. Pope S.B. PDF methods for turbulent reactive flows // Prog. Energy Combust. Sci. 1985. V. 11. P. 119-192.

112. Svetlana V.Poroseva. Modelling the "rapid"part of the velocity-pressure gradient correlation // Annual Research Brief 2001, Center for Turbulence Research, NASA-Ames/Stanford University. 2001. P.367-374

113. A.J.Reynolds, H.J.Tucker. The distortion of turbulence by general irrotational strain // J.Fluid Mech. 1975. V. 68. Pt. 4. P. 673-693.

114. W:C.Reynolds, S.C.Kassinos, C.A.Langer, S.L.Haire. New Directions in turbulence modeling // Third International Symposium on Turbulence, Heat and Mass Transfer. Nagoya, Japan, April 3-6. 2000. P. 1-19.

115. H.A.Rose, P.L.Sulem. Fully developrd turbulence and statistical mechanics //Le Journal de Physique. 1978. V. 39. No 5. P. 441-484.

116. Robert S.Rogallo. Numerical experiments in homogeneous turbulence. NASA Technical Memorandum 81315. 1981. 93 P.

117. A.Roshko. Structure of turbulent shear flows: a new look // AIAA Journal. 1976. V.14. № 10. P. 1349-1357.

118. Robert Rubinstein and Sharath S.Girimaji. Second moment closure near the two-component limit // J.Fluid Mech. 2006. V. 542. P.197-206.

119. Christopher L.Rumsey and Thomas B.Gatski. Turbulence model predictions of extra-strain rate effects in strongly-curved flows // 37th Aerospace Sciences Meeting & Exhibit. January 11-14, 1999. Reno, NV. P.l-15

120. Saffman P.G. Coherent structures in turbulent flows // Lecture Notes in Physics. 1981. V. 136. P. 1-9.

121. A.Sambasivam, S.Girimaji, S.Poroseva. Realizability of the Reynolds stress and rapid pressure-strain correlation in turbulence modelling // Journal of Turbulence. 2004. V. 5. № 6. P. 1-22.

122. Sutanu Sarkar. Charles G. Speziale. A simple nonlinear model for the return to isotropy of turbulence // Phys. Fluids. 1990. V. A2. № 1. P. 84-93.

123. Schedvin J., Stegen G.R., Gibson G.H. Universal similarity at high grid Reynolds numbers // J.Fluid. Mech. 1974. V. 65. Pt.3. P. 561 579.

124. L.Schtilman, W.Polifke. On the mechanism of the reduction of nonlinearity in thr incompressible Navier-Stokes equation // Phys. Fluids. 1989. V. Al. No 5. P. L778-L780.

125. Schumann U. Realizability of Reynolds stress turbulence models // Phys. Fluids. 1977. V. 20. № 5. P. 721- 725.

126. T.-H.Shih, W.C.Reynolds, N.N.Mansour. A spectral model for weakly anisotropic turbulence // Phys. Fluids. A. 1990. V. 2. № 8. P. 1500-1502.

127. A.G.Simonsen, P.-A.Krogstad. Turbulent stress invariant analysis: clarification of existing terminology // Physics of Fluids. 2005. № 17. P. 088103.1-088103.4

128. L.Sirovich, V.S.Ball, L.R.Keefe. Plane waves and structures in turbulent channel flow // Phys. Fluids. 1990. V. A2. № 12. P. 2217 2226.

129. T.Sjogren, A.V.Johansson. Development and calibration of algebraic nonlinear models for terms in the Reynolds stress transport equations // Physics of Fluids. 2000. V. 12. № 6. P. 1554-1572.

130. Speziale C. G. On Nonlinear k-1 and k-e Models of Turbulence // J. Fluid Mech. 1987. V. 178. P. 459-475.

131. Speziale C.G., Sarkar S., Gatski T.B. Modeling the pressure-strain correlation of turbulence: an invariant dynamical systems approach // J.Fluid Mech. 1991. V. 227. P. 245-272.

132. C.O.Speziale. T.B.Gatski. An analysis of RNG-based turbulence models for homogeneous shear flows // Phys. Fluids. 1991. V. 3. No 9. P. L2278-L2281.

133. Sreenivasan K.R., Tavoularis S., Henry R., Corrsin S. Temperature fluctuations and scales in grid generated turbulence //J. Fluid Mech. 1980. V. 100. Pt.3 P. 597 - 621.

134. Stewart R.W., Townsend A.A. Similarity and selfpreservation in isotropic turbulence // Phil. Trans. Roy. Soc. (London). 1951. V. A 243. P. 359 -386.

135. Taulbee D.B. An improved algebraic stress model and corresponding nonlinear stress model // Phys. Fluids A. 1992. V. 4. P. 2555-2561.

136. Dale B. Taulbee, James R.Sonenmeier, Kenneth M.Wall. Stress relation for three-dimensional turbulent flows // Phys. of Fluids. 1994. V. 6. JT2 3. P. 1399-1401.

137. Leonid Terentjev. The turbulence closure model based on linear anisotropy invariant analysis. Dissertation, University Erlangen Nurnberg. 2006. 192 P.

138. Townsend A.A. The uniform distortion of homogeneous turbulence // Quart. Journ. Mech. and Applied Math. 1954. V. 7. P.104-127.

139. S.Tsuge. Effects of flow contraction on evolution of turbulence // Phys. Fluids. 1984. V. 27. № 8. P. 1948-1956.

140. Tsuji H. Experimental studies on the spectrum of isotropic turbulence behind two grids // J.Phys. Soc. Jap. 1956. V. 11. № 10. P. 1096 1104.

141. Tucker H.J., Reynolds A.J. The distortion of turbulence by irrotational plane strain // J.Fluid Mech. 1968. V. 32. Pt. 4. P. 657-673.

142. Uberoi M.S. Effect of wind-tunnel contraction on free-stream turbulence // J. Aero. Sci. 1956. V. 23. P. 754-764.

143. Uberoi M.S. Equipartition of energy and local isotropy in turbulent flow // J.Appl. Phys. 1957. V. 28. № 10. P. 1165-1170.147. du Vachat R. Readability inequalities in turbulent flows // Phys. Fluids. 1977. V. 20. No 4. P. 551-556.

144. F.Waleffe. Homotopy of exact coherent structures in plane shear flows // Phys. of Fluids. 2003. V.15, № 6. P. 1517-1534.

145. F.Waleffe. Inertial transfers in the helical decomposition // Phys.of Fluids. 1993. V. A5. № 3. P. 677-685.

146. T.Weller, K.Schneider,M.Oberlack, M.Farge. DNS and wavelet analysis of a turbulent channel flow with streamwise rotation // EUROMECH Fluid Mechanics Conference 6. Royal Insyitute of Technology. Stockholm, June 26-30, 2006. Abstracts. P. 395.

147. T.Yang, J.M.McDonough, J.D.Jacob. 2-D "poor man's Navier-Stockesequation "model of turbulent flows // AI A A Fluid Dynamics Conference and Exhibit. St.Louis, MO, June 24-27. 2002.

148. Serhiy Yarusevycha, Pierre E. Sullivan,John G. Kawall. Coherent structures in an airfoil boundary layer and wake at low Reynolds number // Phys. of Fluids 2006. V. 18. P. 044101.1 044101.11.