Спектральные свойства оператора Хилла. Обратная задача тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Г Г 7) РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК САНКТ- ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ МАТ^А£#ЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. В.А. СТЕКЛОВА

на правах рукописи

КОРОТЯЕВ Евгений Леонидович

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА ХИЛЛА ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико- математических наук

Санкт- Петербург 1996

Работа выполнена в Санкт- Петербургском государственном электротехническом университете

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор B.C. Буслаев доктор физико-математических наук, профессор С.Ю. Доброхотов доктор физико-математических наук, вед. науч. сотр. М.М. Скриганов

Ведущая организация - Нижегородский научно-исследовательский радиофизический институт

Защита состоится " 2. Ь " ^ ,г в часов

на заседании специализированного совета Д 002.38.04 при Санкт - Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН ( С.- Петербург, н.р. фонтанки, 27). .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт- Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН ( С-- Петербург, н.р. Фонтанки, 27).

Афтореферат разослан "

II - щи бГ)и 1996 г>

Ученый секретарь Специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Оператор Хилла является одним из самых известных дифференциальных опораторон с периодическими коэффициентами. При изучении оператора Хилла возникает две гесно связанные задачи. Первая, прямая спектральная задача: изучается зависимость краев зон, длин лакун, эффективных масс и г.д. от потенциала. Вторая, обратная задача: исследуется запи-:имость потенциала от спектральных параметров, длин лакун и г.д.. В частности восстановление потенциала по некоторому набору данных. Один из наиболее трудных вопросов это соответствие классов потенциалов и набора спектральных данных. Здесь важную эоль играют оценки: периодический потенциал через эффективные лассы, через длины лакун, через высоты вертикальных разр» зов 1а плоскости квазиимпульса и обратно и т.д.. Наиболее полное ре-пение этих задач сделано в работе Марченко и Островского (Мат. :б. 97(139), по. 4(8), 540-606 (1975).) Оли ввели квазиимпульс как конформное отображение спектральной плоскости с разрезами по дойнам лакун на "гребенку" К , т.е. на комплексную плоскость >ез вертикальных симметричных разрезов проходящих через точки сратные ж, и на каждом двустороннем разрезе с номером п выбираюсь точка, образ точки Дирихле при конформном отображении и >нак + или —. При этом получено взаимооднозначное соответствие 1ежду этими данными и периодическим потенциалом. На этом пути ждалось получить двусторонние оценки потенциала через высоты »ертикальных разрезов. Однако другие параметры (длины лакун, »ффективные массы,"длины спектральных зон и т.д.) мало изуче-[ы; соответствующие оценки отсутствуют. Более того, высоты раз->езов изучены не достаточно. Поэтому исследование этого круга адач представляется весьма актуальным.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1). Найти двусторонние оценки для оператора Силла: периодический потенциал через эффективные массы, через дойны лакун, через высоты вертикальных разрезов на плоскости :вазиимпульса и т.д.. 2) Предложить явную абстрактную схему >ешения обратных задач (прямой метод) основанный на прямом яализе отображения потенциал - спектральные данные. 3). Решить грямым методом обратные задачи для отображений : потенциал -дойны лакун, потенциал -эффективные массы, и т.д. 4) Обобщить

1) на случай более общий чем периодический, оператор Дирака и т.д. 5) Найти асимптотику при больших временах функции Грина волнового уравнения с периодическими коэффициентами.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА. 1) Для доказательства оценок используются и изучаются различные конформные отображения связанные с квазиимпульсом оператора Хилла . Это делает возможным переформулировать задачу для дифференциальных операторов как задачу теории конформных отображений. Затем мы изучаем геометрические свойства соответствующих конформных отображений.

2) Предложена абстрактная схема (прямой метод) решения обратных задач, основанная на теореме из нелинейного функционального анализа, которая доказана в диссертации. Решение задач прямым методом сводится к проверке условий из этой теоремы. Отметим, что в этом методе не используется ни уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко, ни формула следов, но очень важную роль имеют оценки .

НАУЧНАЯ НОВИЗНА Все результаты диссертации 3получены впервые. К основным из них относятся:

I. Обратная задача: 1) предложена абстрактная схема (прямой метод) решения обратных задач, основанная на теореме из нелинейного функционального анализа, 2) Прямым методом доказано, что отображения: потенциал ориентированные высоты разрезов на плоскости квазиимпульса, потенциал —► длины лакун, и т.д. есть вещественно аналитические изоморфизмы, всего рассмотрено пять отображений.

II. Оценки: 1) найдены следующие двусторонние оценки для следующих величин оператора Хилла: норма потенциала, сумма квадратов длин лакун, сумма квадратов эффективных масс с некоторым весом, и т.д. 2) Получены соответствующие оценки для оператора Дирака. 4) Найдены "локальные" оценки различных параметров в фиксированной лакуне. •

III. Получены следующие тождества: интеграл Дирихле от энергии равен интегралу от квадрата потенциала по периоду и т.д.

IV. Цвойства квазиимпульса: 1) аналитические свойства энергии как функции квазиимпульса, 2) свойства гармонических и аналитических функций определенных на гребенке.

V. Результаты П)-11^*) распространены на более общий слу-

чай , чем периодический : конечнозонные потенциалы, некотрые классы предельно периодических потенциалов. В этой случае имеем: 1) оценки, 2) тождества, 3) свойства кваэиимпульса.

VI. Найдена асимптотика при больших временах функции Грина волнового уравнения с периодическими коэффициентами. Показано, что спектральная зона Е„ оператора Хилла "создаст" волновой фронт с волновой скоростью с„ < 1. Найдены оценки сп через длины лакун, эффективные массы и т.д.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Разработанные методы получения оценок имеют общий характер и могут быть применены в ряде других задач , в частности, в случае предельно периодического потенциала. Полученные оценки важны для допросов усточивости решения обратных задач'и для анализа нелинейных уравнений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Результаты работы докладывались на семинарах при петербургском отделении МИАН России, на семинаре по математической физике Петербурского государственного университета, на семинаре им. Петровского , на семинаре по ма-' тематической физике института низких температур в Харькове, и т.Д;, а также за границей в Институте им. Шредингера в Веде, в Технологических ин-тах Атланты и Стокгольма, университах Вирджинии, Лунда, Иерусалима, Брауншвсйга, Цюриха, Мюнхена, и т.д., а также на конференциях: институт Эйлера (1993), Вена (1993), Берлин (1993), Бирмингем (США, 1994), Кентуки (1994), Вена (1996), Аскона (Швейцария, 1996) и т.д.

ПУБЛИКАЦИИ Результаты диссертации опубликованы в 5 научных статьях й в 3 препринтах [1-8].

рБЬЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы из 117 наименований. Это занимает 191 страницу машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении, в Главе 1, сформулированы основные задачи и результаты диссертации и описана структура работы. Рассмотрим оператор Хилла Т — -<Р/(1х2 + \\(х) в Ь2(Щ, где VI есть ) периодический вещественный потенциал из Ь2(0,1). Хорошо иэвест-

но, что спектр Т является абсолютно непрерывным и состоит из im-терваловИьЕ2,.... гдеЕ„ = [А+'_1,Л-],..., < А~ < Л+, п >

1. Эти отрезки разделены лакунами G\,Gi,..., где G„ = А+). Если лакуна вырождена т.е. Gn =■ 0, то соответствующие сегменты £„,E„+i сливаются. Пусть <р(х, Е) есть решения уравнения

-f" + Vif = Ef, Е ЕС, (1)

с условиями &(0,Е) = ¿(0, Я) = 1 и ф,Е) = 1?'Д0,£) = 0. Пусть Vi = V'+ Voi где Jg V(x)dx = 0, и постоянная Vq выбирается из условия , что Ад = 0. Введем функцию Ляпунова F(E) = (y4(l,B)+tf(l,JS))/2. Последовательность 0 = < Л^ < <..... есть спектр уравнения (1) с 2-периодическими граничными условиями, т.е. f(x +2) = J(x),x £ R. Здесь равенство означает, что = .А+ есть двухкратное собственное значение. Заметим, что F(A^) = (—1)", п > 1. Наименьшее собственное значение простое, F(tI^) = 1, и соответствующая собственная функция имеет период 1. Собственная функция соответствующая АJ имеет период 1, если п четное и она антипериодическая ,/(х + 1) = —/(а;), а; € К, когда п -нечетное. Производная функции Ляпунова имеет нуль А„ в "замкнутой лакуне" [А~,А+] т.е., F'E(А„) = 0. Определим квазиимпульс fc(iy) = arccos F(w2), ш 6 ¥ = С \ Ugn, здесь интервал

9п .= («а»«^) = ~9-п, п > 1, = > 0. Функция k(w) кон-

формно отображает W на плоскость квазиимпульса К = С \ Ü7„ , где разрез

7„ = [?гп + г'Л„, эти - гЛ„] = -т_„, Ло = 0, п > 1,

с высотой h,1 > 0) которая определяется из уравнения coshhn = (—1)"F(A„) > 1. Введем вещественное гильбертово пространство Но = {/ € L\{0,1), /„' j(x)dx = 0,}, с нормой ||V||a = /0Х V(xfdx и пространство последовательностей

f2™ = {/ = шг, ||/||2т = 5>™)2"U|2 < оо},т > о, el = е\

П>1

Если V — 0, то соответствующая спектральная зона Е® имеет вид S" = [г2(п - 1)2,тг2п2],ге > 1, с длиной |Е°| = тг2(2п -1). Хорошо

известно, что если V ф 0, то > |£„| и введем "сжатие" зоны Д„ = | - |Е„|, последовательность Д = {Д„}^.

Глава 2 посвящена выводу тождеств для оператора Хилла и оценкам различных спектральных параметров через эффективные массы и состоит из 5 параграфов. В §1 вводятся основные понятия и в §2 приводятся основные результаты. Введем "квазиэиер-гию " г(Е) = к{у/Ё)2,Е 6 € — С \UGn, которая конформно отображает S на область % = С \ иГ„, где параболический разрез Г„ = {г = (Pn+i?)2, -hn<q<hn}, п > 1. Пусть A; = p+iq,r - t + is и отметим, что функции s(E) > 0,д(ш) > 0 при Е € С+. Введем моменты

S„ = ^ j" Ens(E +■ iO)dE, = l f ™ПЯ{™ + *0)du», n > -2,

G s

и интеграл Дирихле Io(f) = £ / f\f(k)\2dpdq, k = p + iq, для функции /. Здесь и далее интеграл без пределов интегрирования обо-, значим интеграл по R или R2. Введем эффективную массу М* — 0 , если L„ = 0 , = 1 /Е"(к(а±)) , если ^ 0, и М0 = 1/£"(0), где Е(к) = i«(fc)2 и w(k) есть обратная функция для к(ги). Хорошо известно, что если L„ ф 0 , то > 0 и

Е(к) + тт)3(1/2М± + о(1)), при Е

Введем "эффективные массы для энергии т(к)" по формуле = ï/w"(k(a*)), если 1п фО, ft% =0, если /п =0. Очевидно, что > 0 если 1„ ф 0. Справедливо равенство = . Приведем

основную Теорему о тождествах. Теорема 2.1.Пусть V 6 ¿Ч0'

ID{k/w{k)) = 5-2 = 2М0 - 1 = 2Q_2 + = -2 £>/+ + Л/"),

п>0

1

rD(k- w(k)) = б1-! = 2i?o = [ Vx{x)dx = 2j(i„+K+ + 4Г ЛС), ■

{ n>0

где все ряды сходятся абсолютно. Пусть V G H п. Тогда ID( E(k) - А-2) = 50 = 2Q2 - Qg = ||V||2.

Приведем оценки через эффективные массы. Теорема 2.2.Пусть V б Щ иМ = где М„ = тт|Л/±|. Тогда

ИАЦх < 72тгЛ/О||М||2, Ц^Ц < (24)2Л/03/2||М||2, тах{||1||,||1/||,||Д||}<(72)2Л/02||М||2.

Здесь все оценки новые. Приведем "линейные" и локальные оценки. Теорема 2.3. и) Пусть V 6 Я0 « М+ - М~ = (М+ - Гогда

тах{||Д||, Ш \\Ц\, ||Л(|, } < 2п\\М+ -М~||2, Лп < 3< 6тг2П(М+ - М"), £п<'(4л-п)2(М+-М-), п>1;

ии) Пусть к^ есть два размиг квазиимпульса и С 7п2' длд

всех п > 1. Тогда |Е(а> |Л/^1)±| < |Л42)±| для всех п > 1, и

■ ■

иии) Предположим, -что Е« * С Еп1' дляг всех п > 0, .11 = + фор некоторого т > 0 ( или Л(т)_ = А%>~ ). Тогда м£)+ < (

пли |М^-|<|М<,2)-|.)

Всё оценки в Теоремах 2.2-3 новые. В §3-4 приводится доказательство, при этом конформность отображения г(Е) позволяет переформулировать задачу для дифференциальных операторов как задачу теории конформных отображений. Затем мы изучаем геометрические свойства конформных отображений £ на %.

Глава 3 посвящена оценкам для оператора Дирака и состоит из 3 параграфов. 6 §1 вводятся основные понятия. Рассмотрим оператор Дирака То в пространстве Гильберта "Н — ф £2(К), где

здесь VI, есть вещественные 1-периодические функции от < £ К из ¿2(1,0). Спектр То является чисто абсолютно непрерывным ,и состоит из множества и<гп, где спектральный отрезок <т„ = [в*_1(а~]. Эти интервалы разделены лакунами дп — (а~, а*) ц длиной /„ = |#п|.

Если лакуна д„ вырожденна, т.е. 1„ — 0, то соответствующие сегменты <тп,оп+1 сливаются. Известно, что квазиимпульс к(и>) для оператора Лирака конформно отображает спектральную область tu G W = С\д, д = Uдп. есть на область квазиимпульса К = C\U7„, где разрез уп имеет вид 7„ = [ггп — ih„, пп + th„] и высота hn > 0, n € Z. Как и выше введем сжатие зоны 8п = п — \ап\ st последовательность^ I = {/„},Л — {hn},6 = {<Jn}. В случае оператора Дирака пространство £2 состоит из последовательностей {/„, п 6 Z} с соответствующей нормой. В §2 приводятся основные результаты. Справедлива следующая теорема. Теорема 3.1. Предположим, что Vi, Vi € Z2(0,1). Пусть к есть ква-зиимпулъс для 1-периодического оператора Дирака То- Тогда

1

||F||2 s j (Vi (*)2 + ВД2)Лг =lf f И*) - * P + |9-

о •

jlivi < ||Л|| < *(i + ivi^JH'vii, i||/|| < VAU < IT (1 + ||J||2) ||I||,

¿11*11 <И1<2||/||(1 + ||/||), ||i||<i6min{||V||t ||h||, ||/||(l + ||i||)},

В §3 приводится доказательство Теоремы 3.1, которое основано на тождествах приведенных в Теореме 2.1 и на теоремах вложения. Фактически Задача оценок для параметров дифференциальных операторов сведена к задаче из теории функций и здесь получены новые необходимые оценки.

Глава 4 посвящена оценкам для оператора Хилла и состоит из 5 параграфов. В §1 вводятся основные повятия. В §2 приводятся основные результаты.

Теорема 4.1.Пусть V е Но. Тогда справедливы оценки

2||Л||1 ll^ill 3||ft||i(6-f sup/in)1/2,

||'||1<3||Ц||(1 + ||Ц||1/3), ||VtII <2011*111(1 + 11%), ||I|| < 6||H||(1 + \\V\\l<% um < 4||I||(1 + IIЦ1'3), n\\L\\ < 16||%(6 + eupM, ||A||i < tt||L|| (l + ||L||2/3) .

111% < IIЛII1 < 20т||/||1(1 + ||Д|| < 3||£||.

Оценка |{/||х < 2Ц/1Ц1 следует из известного простого неравенства

/„ < 2Л

П,п > 1. Вс.- остальные оценки абсолютно новые. В §3-5 приводится доказательство Теоремы 4.1, которое основано на тождествах приведенных в Теореме 2.1 и на теоремах вложения. Фактически задача оценок для параметров дифференциальных операторов сведена к задаче из теории .функций и здесь получены новые необходимые оценки^

Глава 5 посвящена решению обратной задачи для оператора Хилла и состоит из 5 параграфов. В §1 вводятся основные понятия. В этой главе потенциал V принадлежит пространству четных функций Я = {/ € Я0, /(1 - г) = Да:), 0 < х < 1}. Пусть Ап" > 1, есть спектр Лирихле: —у" + У\у = Еу,Е 6 С, с условиями ¡/(0) = у(1) = 0. Пусть ЛГ„,п > 1, есть спектр Неймана: -у" + VIу = Еу,Е 6 С, с условиями у'Ц)) = у'(1) = 0. Хорошо / известно, что если V 6 Я то £ Приведем наши

отображения, пусть V ЦУ) = ¿„ = Д, - п > 1, и

отображение У Л(V) = {Лп}?1» = |/1„]з1еп(Х?„ - УУП), п > 1, где |/г„| определяется из уравнения совЬ\кп\ == (—1)^(А„). Введем отображение V ¡(У) ='{/„}?%'п = ~ п > 1> и отобра-

жение V -)■ Л/(V) = {Мп}?, п > 1, где М„ эффективная масса со-: ответствующая собственному значению Лирихле Х>„, отображение

V —* /¿(V) = {/'и}?0, п > 1, где аффективная масса соответствующая "собственному значению Дирихле" у/Щ- Известно, что.если

V е Я, то А(У), /(V), /«(V) е м^) е € ¿2. Тем самым мы построили отображения А(),/(), М(-),/*(•),£(•).

Имеются различные методы решегия обратных задач. Кратко опишем "прямой метод", основанный на доказанной в §5 Теореме 5.1 из нелинейного функционального анализа. Предположим , что Я, Н\ есть вещественные Гильбертовы пространства. Напомним, что производная отображения / : Я -4 Н\ в точке х € Я есть ограниченный линейный оператор из Д в Я], который мы обозначим через ¿х/. Отображение / : Я -» Н\ компактно на Я, если оно отображает слабо сходящуюся последовательность в Я сильно сходящуюся последовательность в Н\. Отображение / : Я —» Н\ есть вещественно аналитический изоморфизм между Я и Я), если

/ взаимооднозначно и /, - вещественно аналитические отображения Гильбертовых пространств.

Теорема 5.1 Пусть Н,Н\ - сепарабельные вещественные гильбертовы пространства с нормами || • ||,||-||1 соответственно. Предположим, что отображение / : Н —> Н\ подчинено цледующим условиям:

1) отображение ] является вещественно аналитическим,

2) оператор обратим для любого х 6 Н,

3) существует неубыающая функция д : [0, оо) [0, оо), д(0) — О токая, что ||а;|| < д(||/(х)||1) для всех а: е-Я.

4) существует базис дЛя Н\ такой , что для любой п > 1, отображение (/(•),е„)1 : Н —► И компактно.

Тогда отображение / : Я -4 Н\, является вещественным анали-тичеким изоморфизмом.

Напомним, что в £том методе не используется ни уравнение Марченко - Гсльфанда - Левитана, ни формула следов. Здесь самую важную роль имеют оценки. Приведем основную теорему. Теорема 5.2. Каждое из отображений Ь : Н -4 Ь : Я С2 и Н : Я —V является вещественным аналитическим изоморфизмом.

Аналитичекой изоморфизм 1г(У),Ь(У) доказан Гарнетом и Тру-бовицем1, но другим методом. Здесь приведено существенное упрощение в доказательстве. В первую очередь благодаря тому, что найдено новое существенно более краткое доказательство аналитичности /»(V). Заметим, что здесь впервые напрямую анализируется отображение /¡(V). Во вторых приведено новое краткое доказа-, тельство обратимости производных Фреше с/у ¿(К) и ¿уЦУ)

в любой точке V. В третьих, приведены существенно более точные оценки, чем в Теореме Марченко и Островского, а также найдены абсолютно новые. В диссертации также рассматриваются отображения /ип(У),Л/п(1л) одноко результаты не такие полнее. Отметим, что обратная задача для 1(У),р(У),М(У) рассматривается впервые. В §3 доказывается аналитичность отображений. В §4 приводятся нужные оцелки хотя большинство оценок найдено в Главе 4. В §5 доказываются основные теоремы.

1 Garnett J., Trubowitz E.: Gaps and bands of one dimensional periodic Schrodiii^er

operator. Comment. Math. Helv. 59, 258-312 (1984)

Приведем план доказательства Теоремы 5.2 для h(V). Мы используем прямой метод и проверяем все условия Л)-4) Теоремы 5.1 для отображения h(V). Для проверки условия 1) используются хорошо известные результаты об аналитичности фундаментальных решений if(x, Е, К), â(x, Е, V) и функции Ляпунова F(E,V) по переменным Е G <C,V 6 L2(0,1) . Чтобы проверьгь 2), мы'доказываем, что производная Фреше наших отображений есть от раторы Фред-гольма и, что соответствующие ядра равны нулю. Проверка 3) основана на оценках из Главы 4. ..Проверка 4) основана на хорошо известных результатах, что функция Ляпунова F(E,-) и Dn(-),Nn(-) компактны на Н. Доказательство Теоремы 5.2 для X,/ повторяет, случай h и проверяются условия 1)-4) Теоремы 5.1. Отмстим, что для отображения /i(V) не удается доказать обратимость производной Фреше dyfi(V) при всех V. Для отображения M(V) не удается доказать обратимость производной Фреше d\rM(V) при всех V и глобальные оценки отсутствуют.

.Глава 6 посвящена распространению волн в периодической среде при больших временах и состоит из т параграфов. В §1 вводятся основные понятия. Рассмотрим волновое уравнение с начальными условиями

фн = -Тф, t > 0, 4(х, о) = ф0(х), ф((х,о) =

в где Т есть оператор Хилла, действующий в L2(R); Ниже мы,

рассмотрим задачу ц условием фо = 0. В §2 приводятся основные результаты, которые состоят в следующем: ' •

1) Найдена асимптотика при больших временах функции Грина Fo(x,x',t) волнового уравнения для х, х' € R, с = (x-x')jt > 0. Более того, найдена асимптотика при больших временах волного фронта, в виде асимптотического ряда из фулкций Бесселя. Показано, что спектральная зона £„ оператора Хилла "создает" волновой фронт с волновой скоростью с„ < 1.

2)Получены оценки волновой скорости сп через длины лакун |<?„|, высоты h„ и эффективные массы М^, как с фиксированным номером п так и их сумм.

3) Результаты 1)-2) распространены на нестационарный оператор Дирака с периодическими (конечнозонными, ... ) коэффициентами, оператор Шредингерз с конечнозонным потенциалом и т.д..

В §3 анализируется функции Грина при больших временах: В §4 изучаются свойства скоростей с„ при помощи конформных отображений. В §5 найдены необходимые асимптотики.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Коротяев E.JI. О некоторых свойствах квазиимпульса одномерного оператора Хилла . Зап. науч. семир. ЛОМИ, 195(1991), 48-57.

2. Каргаев П.П., Коротяев Е.Л. Эффективные массы и конформные отображения. ДАН , 1994, 336(3), 312-315.

3. Коротяев E.JI. Распространение волн в периодической среде. ДАН, 1994, 336(2), 171-174;

4. Kargaev P., Korotyaev Е. Effective masses and conformai mapping. Communication in Math. Physics, 169 No. 3 (1995), 597-625.

5. Korotyaev E. TKè Propagation of Waves in Periodic Media at large time, preprint ESI, Vienna, No. 152, 1994. 23 pp.

6. Kargaev. P., Korotyaev E. Inverse Problem for the Hill operator, the Direct Approach, preprint ESI Vienna, No.151, 1994, 23 pp.

7. Korotyaev E. Second Order Estimai tes for the Hill operator, preprint ESI Vienna, No. 161, 1994,11 pp.

8.Korotyaev E. : Metric properties of conformai mappings on the complex plane with parallel slits. Inter. Math. Rescach. Notes. 1996, 10, 493-503.