Спектральные свойства операторов Пуанкаре-Стеклова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Институт Вычислительной Математики Российской Академии Наук

РГ5 ОД 1 о Я!!П 1353

На правах рукописи

БОГАТЫРЕВ Андрей Борисович

УДК-517.98

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ ПУАНКАРЕ-СТЕКЛОВА

01.01.07 — Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1995

Работа выполнена в Институте вычислительной математики Российской академии наук

Г\

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор В.И. ЛЕБЕДЕВ

Официальные оппоненты:

д.ф-м.н, профессор А. Г. КОСТЮЧЕНКО ^

к.ф.-м.н В.П. ШУТЯЕВ ( /

и

Ведущая организация:

Математический институт РАН им В.А.Стеклова.

Защита состоится " —Ь " ■ _1996 года

на заседании специализированного совета К.0003.47.01 в Инс туте Вычислительной Математики РАН по адресу: 117334, Москва, Ленинский проспект, 32а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВМ РА£

• С О''

Автореферат разослан " " ."-'^с/Ц года.

О !

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук С/^у^Ссе-^

С.А. ФИНОГЕН

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Необходимость решать краевые задачи для эллиптических уравнений возникает в различных областях естествознания, при инженерных расчетах. В последние 15 лет бурно развиваются методы решения таких задач, основаные на разбиении области решения на ряд подобластей простой формы и последующим решении серии задач в этих подобластях при определенных условиях сшивки получаемых решении на границах подобластей. Существует множество разнообразных алгоритмов, использующих эту идею. Итерационные процессы указанных алгоритмов содержат некоторые свободные параметры, выбор которых часто производится из эвристических соображений. Между тем, оптимальный выбор этих констант должен основываться на детальном знании локализации спектра задачи на собственные значения для двух операторов Пуанкаре-Стеклова:

А 51 и = 52 и (1)

Эта спектральная задача и исследовалась в диссертации для одного частного случая. Краевые задачи со спектральным параметром в граничных усовнях изучались многими авторами, начиная с А.Пуанкаре (1896). В.А.Стеклова (1901) и Ле Руа (1898). Задача (1) ставится на общей границе двух смежных областей и, естественно, более сложна, чем задача для одной области. Подобная задача исследовалась в работах В.И. Лебедева и В.И. Агошкова, Э.Овчинникова и автора.

Цель диссертации. Цель работы состоит в исследовании тонкой структуры спектра задачи (1), в том числе, в выявлении условий, при которых спектр дискретен, а собственные функции задачи полны в пространстве Соболева порядка 1/2.

Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, теории распределений (обобщенных функции), теории краевых задач математической физики, теории сингулярных интегральных уравнений, теории функций, геометрической ТФКГ1, теории эллиптических функций, неравенства.

Научная новизна.

• Получено новое представление оператора Пуанкаре-Стеклова че оператор модельной задачи.

• Предложен метод исследования задачи (1), состоящий в сведенш к сингулярному интегральному уравнению Пуанкаре-Стеклова спектральным параметром.

где - гладкая невырожденная замена переменных на отре интегрирования I — (—1,1), определяемая по данным задачи (1;

• Развит предложеный Ф.Д.Гаховым и Л.И. Чибриковой метод нс< дования интегральных уравнений с аналитическими ядрами.

Практическая значимость. Исследования структуры спектра дачи (1) могут найти применение для определения оптимальных па метров в итерационных процессах метода разделения области. Для тс чтобы избежать появления непрерывного спектра в задаче (1), неоС димо разбивать область на подобласти вполне определенным способ Теорема о возмущениях спектра позволяет локализовать спектр заД близких к тем, для которых спектр известен точно. Метод исследова: интегральных уравнений с аналитическим ядром может быть приме для изучения трансформационных свойств решений многих интегра ных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались

• на семинарах Института вычислительной математики РАН,

• докладывались на заседании Ученого совета Института вычис тельной математики,

• семинаре И.К. Лифанова и Е.В. Захарова на факультете ВМК М

• семинаре В.П. Михайлова в МИРАН им. В.А. Стеклова,

Л(х) - А(у)

и(х)Л(х)

(1х + COIlst(ii)

• семинаре А.Г. Костюченко и A.A. Шкаликова на МехМате МП

• 4-й Международной конференции "Теоретические основы вычислительной математики" (Москва, 1995).

Публикации. По теме диссертации опубликована одна печатная работа и одна принята к печати.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит ич введения, двух глав и списка литературы, включающего 88 наименовании; изложена на 97 страницах и включает 5 рисунков и 1 таблицу.

Содержание работы

ВВЕДЕНИЕ

Объяснены причины интереса вычислительной математики к задаче ( Определен круг идей и методов, используемых в диссертации. Приве; краткий обзор результатов. ГЛАВА 1.

§1. Дана общая характеристика п история исследования задачи ( Введены обозначения, используемые на протяжении главы 1.

§2 Приведен пример итерационного процесса, оптимизация котор< требует информацию о спектре задачи (1)

§3. Определен класс рассматриваемых далее областей П с выделен! частью границы Г:

А\ О односвязна.

А'2 дО. состоит лишь из достижимых точек (см. [ГК]). Аз Г£ - малая окрестность Г в ОН, - есть Липшицев участок границы, т.е. в окрестности каждой своей точки Г£ представим как

график липшицевой функции в подходящих локальных координатах.

Определены используемые далее функциональные пространен

#¿(12,Г), Я>(П), ЗДГ), Я^(И), Яо/2(Г), Н-^К), Г), о

ратор Пуанкаре-Стеклова 7^(0, Г) : НЦ2(Т) —> (Я01/2(Г)) мы определя в смысле интегрального тождества:

(Т(П,Т)и, у) =7 / ЧиЧУйхйу, и

в котором {•,•) - полуторолинейное отношение двойственности (Я*/2(Г))' х НЦ2(Г), II и V - гармонические продолжения и и V в 17.

Введено понятие конформного отображения пары (П, Г) на любую модельных пар (П,Н), (Я,/), в терминах которого даны представле* оператора Т(£1, Г).

Теорема 1.3.6. Пусть и : (П,Г) -» (Я,/) и со' : (П,Г) (П, - конформные отображения пар, тогда справедливы операторные г ждества:

Т{ П,П) = (ш')*Г(П,Г)ш'

Р(Я, I) = ш*Т($1,Г)ш

Здесь жирными символами обозначены операто})ы соответствующих замен переменных. Для модельных операторов Р{ II, Г1) и Р(Я, I) приведены явные аналитические формулы:

Теорема 1.3.7. а.)Символ оператора Р(П.11) : Я|/2(К) -» Л"1 (О.) есть

р(0={ сШл-е,

сам оператор представим в виде свертки:

["Р(П,В>](а:) = } . * и{х) + ~4~ (-р— * «И 1 у ' п ' 47гсЬ ж/2 у л<1хЫ\х

б)Оператор Пуанкаре-Стеклова Р(Я, I) : Н1(2(1) —> Н~^2(1) представим. в виде сужения на I сверточного оператора:

[7>(Я,/)»!(«) =

Для исследования задачи (1) мы определяем две монотонные функции сдвига: А(х) : I —» / и В(х) : Б. —+ В.

А = и>2 о

В = ш'2о(ш[)-\

здесь : Г —* I и и>\ : Г —♦ И (г = 1,2) — граничные значения на Г конформных отображений пары (П,-,Г) на (Я, I) и (П,Г1) соотчстсгти-нно. Теорема 1.3.8. Спектр задачи (1) совпадает со спектром каждой из задач (3), (5), собственные функции и задачи (1) связаны с собственными функциями задач (3), (5) при помощи формул (4). (С).

а)А7>(Я,/) ю = (А*)-1Г(Н,Г)А~1 ш в (3)

и = о>1 и), (4)

б)АР(П,Н) и/ = (В*)-1Р(П,К)В"1 и/ в Н]/'2(К), (5)

и «/, (С)

Здесь А и В - операторы замены переменной, соответствующие отображениям А{х) и В(х). Задачу (3), пользуясь выражением для Р(Я,/)

из теоремы 1.3.76, можно переписать в виде уравнения на собствен« значения (2).

§4. В этом параграфе мы определяем специальный класс <в функн сдвига В(х) : изучаем его свойства. В частности, мы при]

дим геометрически наглядный критерий принадлежности упомянуто классу функции сдвига, отвечающей паре смежных областей и Определение: Классом оз назовем совокупность монотонн функций В{х) : Л —► Ы, удовлетворяющих условиям Б\, Б\. т < |#(а;)| < М п.в. на И для некоторых положительных т и зависящих от В.

Б2. Функция (3{х) = В(х) -5ёп В 6 здесь sgx^^ = 1, если

возрастает и sgIl В = —1, если В убывает.

Пусть дуга (« — 1,2) - малая окрестность общей отмеченной д> Г =а1й2 в д£1ц - состоит из трех кривых:

г^г^игиг«,

Будем предполагать выполненными два условия:

В[. Дуги Г, Г^, Г^, Г'2, Г12, - Ляпуновы, показателя /г > 1/2.

#2- Угол границы П] в точке (т.е. угол между Г и Г^) равен уг

границы Г!2 в этой же точке и равен тиц., причем

0<а4<2, к = 1,2.

Теорема 1.4.1. При выполнении свойств В\, В2 всякий автоморфп В{х) действительной прямой, построенный для пар (ПьГ) и (1^2, принадлежит классу в .

§5. В этом параграфе мы исследуем спектральные задачи (1), (5 случае, когда отвечающая им функция сдвига В(х) принадлежит кла< в .

Теорема 1.5.1. Для всякой функции В(х) класса <в справедли утверждения:

1) спектр задачи (5) действителен, дискретен и имеет единственн предельную точку А = 1.

2) имеет место оценка

ОО -¡г

£0*.- - I)2 < —М2/?г + 2к2 + 2к3), где ¿=1 *

kl ~ ¿O/^ + l^lU (8)

h < o)

< ¡-4\mi (i«)

j3{x) определена o а p'{x) определена как ¡i, но для функции, обратной к В(х); || • 11о ~ норма в L2(R); \ ■ |i/2 - полунорма а R) :

Mi/2 = / ^ - г/Г2|"(г) - u{y)\2dxdy.

3) Пространство H1/,2(R) раскладывается « ортогональную сумму подпространств Н\, образованых собственными функциями (5), отмечающими собственному значению А:

Hl'2(R)= ф Ял, (И)

\GSpec

причем сйтЯд < оо при А ф 1.

Суммируем утверждения теорем 1.3.8, 1.4.1 и 1.5.1: Теорема 1.5.3. Пусть две смежные области fii,í2'¿ С С, удовлетворяют условиям А\, А^ §3, дуга Г лежит в пересечении их -,'раниц и удовлетворяет условиям ЯьДг §4, тогда

1) спектр задачи (1) действителен, дискретен и имеет, единственную предельную точку Л = 1.

2)Сумма квадратов отклонений точек спектра от единицы конечна и удовлетворяет оценкам (7) - (10).

3) НЦг(Г) = © Н\, (йтЯд < оо при Л ф 1, где Ял подпро-

А eSpec

странство, образованое собственными функциями (1), отвечающими собственному значению Л, а ортогональность понимается « смысле либо скалярного произведения (•,-)i/2,nbr, ("> ")i/2,a-.,r- ■ Излагаемый подход позволяет также получить оценки возмущений собственных функций задачи (1) при деформации одной m областей. Рассмотрим наряду с(1) задачу

Л* V(íli,T)u = V{íV¿,T)u, (Г)

Введем функции сдвига В(х) и В*(х), отвечающие задачам (1) и (Г). В качестве меры малости деформации Пг Щ рассмотрим функцию

сдвига

£ = Во(ВТ\ (

удовлетворяющую условиям Бу, коль скоро им удовлетворяют фу ции В(х) и В*(х). Занумеруем собственные числа задач (1) и (1*) еле ющим образом:

А-1 < Л_2 < Л_3 < ... < 1 < ... < Л2 < А!

Теорема 1.5.4. Пусть спектральные задачи (1) и ( удовлетворяют условиям теоремы 1.5.3, тогда для всякого к 1,2,... отклонения |А_* — А!^! и — А£| не превосходят велит тг/2 ММ*т~1(т*)~] | Х(£) I , здесь оператор Х{£) определен в ) ореме 1.5.2, его норма Гильберта-Шмидта оценена в (1.5.8) и (1.5 (1.5.4), (1.5.9), а М, М*,т,т* - константы, входящие в условие Б §6. Приведен пример вычисления функции В(х) и получена оценка све] суммы квадратов отклонений точек спектра от единицы для конкрет] пары областей.

§7. Даны доказательства ряда утверждений технического характера, I ланых в предыдущих параграфах.

ГЛАВА 2.

§1. Введение. Кратко изложен метод аналитического исследования тегральных уравнений.

§2. Уравнение (2) решено для квадратичных функций сдвига в не] рожденном случае:

Теорема 2.2.1. Все собственные функции уравнения (2) класса Н и соответствующие им собственные значения при

Л(а-)=Л(С,х) = о: + (2СГ1(ж2-1), (

и С > 1 даются формулами (14), (15). С+х/С-1

ип{х)= [ - 1Г1/2(1 - Л2)-1/2^, п = 1, 2 . . . , (

1

А„ = 1 + с11_127г тп, где (

Ь = (С-1)/(С + 1), (10)

1 /к

К'{к) = / (з2 - 1)-'/2(1 - А^)"1"^. (17)

1

а т есть отношение полных эллиптических интегралов модули к.

§3.Уравнение (2) решено для квадратичных; функций сдвига в вырожденном случае:

Теорема 2.3.1. Все решения и{х) уравнения (2) при А{.г) из (13).

С = 1 и А ^ {1;2}, удовлетворяющие условиям А, Б:

А). г1(<) - гелъдерова на всяком промежутке [¿,1], 1 > .г > —1,

Б). Функция Ф(г) из (2.2.5) ограничена в окрестности z = —1.

даются формулами (18), а соответствующие значения А формулами

(19):

и^(х) = БИ! < (27Г) 1П/Х • 1п

2 + ^/(1-^(3 + -<')Г

Х11 = \+2ц/(р2 + 1), /£€(0,00). (19)

В качестве приложения к этой главе автором совместно с И.В. Кролнвцом была написана библиотека эллиптических функций, позволяющая вычислять величины, входящие в формулы (14), (15).

Публикации по теме диссертации

1. Богатырев А.Б. On spectra of a problem with a couple of Poincc Steklov operators. // Russian Journal of Numerical Analisys.-1993, 8, N3.

2. Богатырев А.Б.Дискретный спектр задачи для пары оператс Пуанкаре-Стеклова. //Доклады Российской академии наук.

Основные результаты диссертации.

1. Получение в диссертации результаты прозволяют проводить ч кую оптимизацию итерационных методов вычислительной мате тики для решения краевых задач математической физики, та как метод разделения области, метод композиции, метод фпк-j ных областей и т.п.

2. Предложены достаточные условия дискретности спектра задачи и полноты системы ее собственных функций, что облегчает ана сходимости различных итерационных методов.

3. Предложен метод исследования задачи (1), состоящий в сведени к сингулярному интегральному уравнению Пуанкаре-Стеклова со спектральным параметром.

4. Получена верхняя грань суммы квадратов отклонений точек о тра от единицы.

5. Получено новое представление операторов Пуанкаре-Стеклова односвязной области на плоскости через оператор для модель области.

6. Получены оценки возмущений собственных чисел задачи при i извольной (не являющейся малой) деформации одной из облает

7. Развит предложенный Ф.Д.Гаховым и Л.И.Чибриковой метод следования интегральных уравнений с аналитическими ядрами