Спектральные свойства волноведущих систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

1 Ловушечные моды волноведущих систем.

1.1 Ловушечные моды в неограниченных областях.

1.2 Убывание ловушечных мод на бесконечности.

1.3 Ловушечные моды локально-нерегулярных волноводов.

2 Задача о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненном неоднородным веществом.

2.1 Резольвента регулярного волновода.

2.2 Сведение исходной задачи к интегральному уравнению.

3 Ловушечные моды волноводов, заполненных неоднородным веществом.

3.1 Спектральные свойства волновода, заполненного неоднородным веществом.

3.2 Заполнение типа вставки.

3.3 Поведение вложенных собственных значений волновода при малом возмущении.

3.4 Пример возмущения заполнения волновода, при котором исчезают погруженные в непрерывный спектр собственные значения волновода.

А Пример спектральной задачи, собственные значения которой исчезают при малых возмущениях параметров этой задачи.

В Теория возмущений для собственных значений компактной оператор-функции.

В.1 Теория возмущений для собственных значений оператора

ЩХ,е) в конечномерном пространстве.

В.2 Теория возмущений для собственных значений оператора

21(А,е) в бесконечномерном пространстве.

В.З Первый порядок теории возмущений.

Настоящая диссертация посвящена изучению спектральных характеристик волноведущих систем, необходимых для решения задач о возбуждении колебаний в волноводе и дифракции волн на неоднородности, помещенной внутрь регулярного волновода, и нарушениях регулярности боковой поверхности волновода.

Начало строгой математической теории волноводов было положено в 1947-1948 годах классическими работами А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [1]-[3]. Их работа «О возбуждении радиоволноводов» (1947) послужила основой для создания строгой теории возбуждения регулярных волноводов произвольным распределением заданного тока. Усилиями Г.В. Кисунько [4], П.Е. Краснушкина [5], А.Г. Свешникова [6]-[8] и ряда других ученых высокочастотная электродинамика волноведущих систем превратилась в бурно развивающуюся строгую математическую теорию, определившую новое научное направление в математической физике.

В настоящее время проявляется большой интерес к исследованию волноведущих систем со сложной геометрией и неоднородным заполнением. При этом одной из актуальных задач, требующих математического изучения, является задача о возбуждении колебаний в таких волноведущих системах финитным током вида je~lujt. Ее разрешение весьма затруднено явлением резонанса: поле, гармонически зависящее от времени, существует лишь при частотах ш, не принадлежащих так называемому резонансному множеству.

В случае регулярного полого волновода явление резонанса прямо связанно с тем, что при различных частотах ток может излучать или не излучать энергию в бесконечные участки волновода. Именно, при малых частотах большая часть энергии поля, возбужденного током je~ljjt, локализована. При частотах, больших некоторой частоты co[j], от области, где имеется ток, расходятся бегущие волны. При ш = cu[j] имеет место явление резонанса. Эти частоты и;[?], при которой происходит переход на режим излучения, называют частотами отсечки. Таким образом, резонансное множество регулярного полого волновода состоит только из частот отсечки. Можно показать также, что резонансное множество регулярного волновода представляет собой совокупность корней из собственных значений задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа на сечении волновода, что позволяет легко его рассчитать (см. [1]-[3].[8]). Поведение поля при резонансных частотах стало предметом исследований П. Вернера, начатых еще в 1960-х годах (см. [9]). Оказалось, что в регулярном волноводе при частотах отсечки существует лишь нестационарное поле, амплитуда которого растет со временем как \ft.

Однако в более сложных системах (и в первую очередь в локально нерегулярных волноводах) среди резонансных частот есть и другие, не связанные с переходом к режиму излучения, характерной чертой которых является то, что при них существует лишь поле, амплитуда которого растет как t.

В скалярном приближении задача о возбуждении колебаний током в локально нерегулярном волноводе при частотах, отличных от частот отсечки, является фредольмовой, то есть из единственности ее решения следует существование (обобщенного) решения. Поскольку для решения и(х) однородной задачи, называемой также спектральной, удовлетворяющего парциальным условиям излучения, ограничен интеграл: где Q — полость волновода, появление резонансных частот, отличных а от частот отсечки, связано с существованием у соответствующей спектральной задачи собственных функций из гильбертова пространства L2(il) всех суммируемых функций, для которых интеграл от квадрата модуля конечен.

В работах В.П. Шестопалова [10] обоснование этого утверждения было основано на возможности сведения задачи о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненным локально неоднородным веществом, к интегральному уравнению. Недавно в работе А. Л. Делицына [11] был предложен другой подход, который позволяет единообразно доказать фред-гольмовость задачи о возбуждении колебаний током как в скалярном, так и электромагнитом случаях, правда, только при вещественных частотах (это ограничение существенно затрудняет применение к векторной задаче теории возмущений).

Вопрос о существовании собственных значений спектральной задачи для волноведущих систем является чрезвычайно трудным. На саму возможность существования собственных значений у спектральных задач в неограниченных областях впервые указал Ф. Реллих в 1948 году (см. [12]). Затем в работах Д. Джонса и других авторов (см. [13]-[16]) был построен ряд примеров таких волноведущих систем, именно, ряд локально нерегулярных волноводов или изогнутых волноводов.

С физической точки зрения такие собственные функции представляют собой стоячие волны, не переносящие энергию. Во всех этих примерах поле убывает вдоль оси волновода экспонециальным образом. Большая часть энергии таких волн сосредоточена в конечной области, в «ловушке», поэтому их и называют ловушечными модами. Впрочем, как было показано в нашей работе [17], в гофрированных волноводах существуют собственных функции, убывающие существенно медленнее — именно, степенным образом.

В скалярном случае в соответствующем пространстве Соболева W} задача об отыскании ловушечных мод представляет собой задачу отыскания собственных векторов ограниченного эрмитова оператора А: u+UJ2AU = 0, U<eW2

К настоящему моменту развиты методы анализа лишь изолированных (то есть лежащих вне непрерывного спектра) собственных значений (ср. [18]). Непрерывный спектр имеет простой физический смысл — это множество частот, при которых происходит излучение в бесконечные участки волновода. Значит, непрерывный спектр регулярного волновода начинается с первой частоты отсечки, а, в силу теоремы Вейля [19], непрерывный спектр локально нерегулярного волновода совпадает со спектром регулярного, то есть тоже начинается с первой частоты отсечки. Поэтому при помощи принципа Релея и его модификаций можно не только уточнить упомянутые выше условия существования ловушечных мод (частоты которых меньше первой частоты отсечки), но и изучить другие свойства дискретной части спектра. В частности, если регулярный волновод локально расширен или внутрь него помещено диэлектрическое тело, то существует хотя бы одно собственное значение, лежащие ниже первой частоты отсечки (см. [11]). Последнее утверждение верно и для векторного случая, хотя вид его непрерывного спектра пока не изучен.

В [16] было особо отмечено, что в вопросе существования вложенных собственных значений нет продвижения дальше построения примеров, и было предложено выяснить, сохранится ли собственное значение у вол-новедущей системы, если слегка возмутить ее параметры. Если бы резонансное множество оказалось бы устойчивым к малым возмущениям параметров системы, то можно было бы утверждать, что известные примеры верно отражают характерные свойства резонансного множества произвольного волновода.

Целью наших работ [20]-[22] как раз и было изучение поведения вложенных в непрерывный спектр собственных значений волновода при малых возмущениях его заполнения. То, что рассматриваются возмущения заполнения, а не границы, связано с тем, что этот случай несколько ближе к рассмотренному в теории возмущений, построенной Дж. Хаулендом [23],[24] для исследования квантовомеханических комплексных резонан-сов.

В наших работах рассмотрен волновод

Q = {х е R1,2/ € S} с сечением 5, представляющим собой односвязную конечную область в пространстве R1 или R2, заполненный неоднородным веществом, характеризуемом функцией q(x,y). Задача о возбуждении колебаний током fe~Mt в скалярном приближении имеет вид:

Аи + u)2q{x, у)и — /, (х,у)еГ1, ^ и\дп = о, а соответствующая ей спектральная задача —

Аи + eq(x,y)u — 0, (х,у)еП, О, где е — собственное значение, а и — собственная функция. Будем далее всюду предполагать, что в волноводе не происходит затухание колебаний из-за поглощения в среде, то есть что q(x,y) — вещественная, и что носители функций / и q — 1 ограничены.

Нами было показано, что эта задача всегда имеет решение у), отвечающее вложенному собственному значению во, если заполнение волновода представляет собой «вставку» (то есть q(x, у) = qo(x)) nqo(x) — l > О — достаточно малая функция. Обозначим как ('фп(у)} и {а^} набор собственных функций и собственных значений задачи Дирихле на сечение S, тогда функция щ(х,у) представима в виде произведения щ(х)^2{у)■ (В ряде случаев эти собственные значения были вычислены в работе [25] как корни трансцендентных уравнений.) Целью дальнейшего рассмотрения было исследовать, сохранится ли вложенное собственное значение, если это заполнение будет возмущено: q{x,y) = qo{x) + sqi(x,y), 7 где qi — вещественная функция, а параметр е характеризует малость возмущения.

В силу теоремы Реллиха-Като (см. [18]), при малом возмущении изолированные собственные значения сохраняются, что вполне согласуется с тем, что при q(x,y) > 1 всегда существует изолированное собственное значение (ср. [11]). Иначе обстоит дело с вложенными в непрерывный спектр собственными значениями. Дело в том, что в общем случае вложенное собственное значение при малых возмущениях может превращаться в комплексный резонанс. Так, например, спектральная задача о нахождении собственного значения е и функций и(х) и v(x) одного переменного х G М1 вида и" + (eq(x) — а)и = e£p{x)v} v" -f (eq(x) — (3)v — eep(x)u, где a < /3 — заданные положительные числа, a q(x) — 1 и p(x) — аналитические функции, регулярные в любой конечной точке вещественной оси и убывающие быстрее любой экспоненты, имеет при некоторых q(x) вложенное собственное значение при £ = 0, и никогда не имеет таковых при £ ф 0 (см. [26]).

Обычно в рамках теории возмущений для собственных значений, погруженных в непрерывный спектр, при помощи резольвенты невозмущенной задачи сводят исходную задачу к интегральному уравнению вида v--—21(еЬ = 0, (0.3) е - е0 где 21(e) — компактный голоморфный в окрестности точки ео оператор, а затем уже к задаче (0.3) применяют различные теоремы, связанные с теорией определителей Фредгольма (см. [23]). Однако применительно к задаче (0.2) вместо того, чтобы строить резольвенту волновода Q с заполнением Qq(x), мы воспользовались тем, что задача (0.1) может быть сведена к весьма сходному с (0.3) виду у-Щш2,е)у = f, (0.4) где Щи12,е) — компактный интегральный оператор, голоморфный при и> Ф ап. Такое сведение для гладкого заполнения было проделано, в частности, в работах В.П. Шестопалова [10]. Поскольку кусочно-непрерывное заполнении важно для приложений, в нашей работе [21] процедура сведения проведена в общем случае несколько иным методом. При этом было показано, что вещественные собственные значения этого интегрального уравнения можно интерпретировать как собственные значения задачи (0.2). Более того, удалось доказать, что кратности собственных значений интегрального уравнения являются кратностями собственных значений задачи (0.2).

Преимущество задачи (0.4) по сравнению с исходной спектральной задачей (0.2) состоит в том, что для собственных значений компактной оператор-фукнции 21(А,е) можно построить теорию возмущений. Еще задачи теории дифракции привели к необходимости изучения зависимости полюсов резольвенты регулярной в некоторой области В функции 21 (А. е) от параметра е. Если не предполагать конечность порядка оператора 21. то, как было показано в [10],[27], в окрестности полюса резольвенты 21(А, 0) лежит полюс резольвенты 2l(A,s), но до настоящего момента оставалось неясным, зависит ли этот полюс от £ аналитически и сохраняется ли его кратность. Однако можно воспользоваться тем, что подавляющее большинство теорем теории аналитических функций переносится на теорию оператор-функций 21(А,^), и доказать аналог подготовительной теоремы Вейерштрасса: если в гильбертовом пространстве $) компактный оператор 2l(A,e), голоморфный в области В А-плоскости и в области < £о> имеет при е = 0 в области В только одно собственное значение ео кратности N, то все его собственные значения лежащие в области Б, являются корнями алгебраического уравнения eN + al{E)eN~1 + . + ajv(e) =0, 9 где функции ап(е) являются аналитическими функциями е, регулярными в нуле. Эта теорема позволяет построить теорию возмущения для данного класса оператор-функций, абрис которой был дан в приложении к

Для дальнейшего же достаточно заметить, что согласно этой теореме в окрестности однократного собственного значения ео невозмущенной задачи (0.2), а, следовательно, и оператор-функции 21 имеется собственное значение е(е) оператор-функции 21. Более того, если допустить, что оно является и собственным значением задачи (0.2), то оно и соответствующая ему собственная функция и(х,у;£) являются аналитическими функциями от е, регулярными в нуле, то есть их можно представить в виде рядов: е(е) = e0 + eie +.и(х, у; е) = и0(х)ф2{у) + ещ[х, у) + . . и, следовательно, принадлежит пространству L2{R1) лишь при весьма специальных значениях q\. Поэтому в общем случае (когда qi(x.y) --произвольное) предположение о том, что е{е) является и собственным значением задачи (0.2), не приемлемо. Отсюда следует, что в общем случае ловушечная мода может исчезнуть даже при малом вещественном возмущении заполнения волновода. Так, например, в случае, когда

21]. w" + [ео^оИ ~ ос1] w = еоМх) J dy q1(x,y)i)0(y)%p1{y) s n = {xeR\ ye [о, +тг]} и наименьшее из собственных значений, собственные функции которых имеют вид uo(x)ip2{x)^ исчезает при возмущении вида \ [ sin а/e0q0 ~ а\{х ± 1) cos у/о% - е^х, \х\ < 1

I 1, М>1 если оно вложено в непрерывный спектр.

Таким образом, резонансное множество волновода неустойчиво к малым возмущениям заполнения и поэтому структура резонансного множества в общем случае сложнее, чем в известных примерах волноведу-щих систем, обладающих вложенными собственными значениями. При этом получается, что резонансные частоты могут исчезать при вещественных (а не только комплексных) возмущениях заполнения.

Целью настоящей диссертации стало разрешение следующих актуальных вопросов спектральной теории волноводов: является ли экспоненциальное убывание вдоль оси волновода характерным свойством всех ло-вушечных мод и устойчивы ли вложенные в непрерывный спектр собственные значения волноводов к малым возмущениям их параметров волновода. Перейдем к изложению содержания работы по главам.

В первой главе дан обзор исследований спектральных характеристик волноведущих систем, начиная с классических работ Ф. Реллиха. При обсуждении понятия ловушечной моды указано, что хотя во всех известных ранее примерах эти моды не только принадлежат пространству L2. но и убывают экспоненциальным образом, существуют такие волнове-дущие системы, которые обладают ловушечными модами, убывающими степенным образом (см. также [17]).

Вторая и третья главы диссертации посвящены сравнительно мало изученным спектральным свойствам цилиндрических волноводов с локально-неоднородным заполнением в скалярном приближении (см. также [20]-[22]).

Во второй главе задача о возбуждении колебаний током сведена к интегральному уравнению, в которое спектральный параметр входит нелинейным образом. При этом в разделе 2.2 показано, что вещественные собственные значения этого интегрального уравнения можно интерпретировать как собственные значения волновода, а кратности собственных значений интегрального уравнения оказываются кратностями собственных значений волновода.

Третья глава посвящена вопросам существования вложенных лову-шечных мод и, в первую очередь, изучению поведения вложенных в непрерывный спектр собственных значений волновода при малых возмущениях его заполнения. В разделе 3.2 среди заполнений выделено заполнение типа «вставки», поскольку для заполнения этого типа существует бесконечная последовательность собственных значений (при выполнении некоторых дополнительных условий). Более того, в случае заполнения типа «простой вставки» и «колена» собственные значения найдены как корни трансцендентных уравнений (см. также [25]). Затем в разделе 3.3 доказана неустойчивость вложенных собственных значений волновода с заполнением типа вставки к малым вещественным возмущениям его заполнения. При этом построена строгая теория возмущения для вложенных собственных значений волновода, обосновывающая результаты нашей работы [20].

В приложении А рассмотрен пример задачи, близкой к спектральной задаче теории волноводов со вставкой, вложенные собственные значения которой исчезают при малом изменении коэффициентов, характеризующих заполнения (см. также [26]).

В приложении В построена теория возмущений для компактных оператор-функций, необходимая для обоснования сходимости рядов, применяемых в разделе 3.3. Эта теория уточняет результаты, приведенные в [27], и поэтому может быть полезной и в связи с другими приложениями.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

• Построены волноведущие системы, обладающие ловушечными модами, убывающими существенно медленнее, чем в известных примерах.

• Задача о возбуждении колебаний током в волноводе с неоднородным заполнением сведена к интегральному уравнению. Доказано, что собственным и присоединенным функциям этого уравнения соответствуют собственные и присоединенные функции исходной задачи.

• Указан критерий существования бесконечной последовательности собственных значений для заполнений типа «вставки». В случае заполнения типа «простой вставки» и «колена» собственные значения найдены как корни трансцендентных уравнений.

• Показано, что вложенные в непрерывный спектр собственные значения переходят в комплексные резонансы при малом вещественном возмущении заполнения, хотя они в первом порядке теории возмущений остаются вещественными.

• Приведен пример задачи, близкой к спектральной задаче теории волноводов со вставкой, вложенные собственные значения которой исчезают при малом изменении заполнения.

• Развита теория возмущений для некоторого класса компактных оператор-функций, встречающихся в математической теории волно-ведущих систем.

По теме диссертации опубликовано И печатных работ, еще 3 работы приняты к печати. Результаты первой главы представлены в [17],[28],[29]. Результаты второй главы изложены в [22] и, более детально, в [20],[21],[25]. Пример спектральной задачи с неустойчивыми собственными значениями из приложения А разобран также в [26]. Некоторые замечания об электромагнитном случае сделаны в [30]-[32]. Основные результаты докладывались

• на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001» (где доклад [32] был признан лучшим на подсекции),

• на 57-й научной сессии НТОРЭС им. А.С. Попова [28],

• на ломоносовских чтениях 2002 года [29],

• на научном семинаре «Численные методы электродинамики» физического факультета МГУ под рук. проф. А.Г. Свешникова и проф. А.С. Ильинского; февраль 2001 г., март 2002 г.

Заключение.

В заключении приведем основные результаты работы.

• Построены волноведущие системы (как гофрированные, так и простые) обладающие ловушечными модами из пространства L2, убывающими на бесконечности степенным, а не экспоненциальным образом, как в известных примерах.

• Задача о возбуждении колебаний локальным током в волноводе с неоднородным заполнением сведена к интегральному уравнению в конечной области. При этом доказано, что собственным и присоединенным функциям этого уравнения соответствуют собственные и присоединенные функции исходной задачи.

• Указан критерий существования бесконечной последовательности собственных значений для заполнений типа «вставки». В случае заполнения типа «простой вставки» и «колена» собственные значения найдены как корни трансцендентных уравнений. Получены оценки для их численного значения, которые позволяют доказать, что найдены все собственные значения на рассматриваемом интервале частот.

• Показано, что вложенные в непрерывный спектр собственные значения переходят в комплексные резонансы при малом вещественном возмущении заполнения, хотя они в первом порядке теории возмущений остаются вещественными. Следовательно, вложенные в непрерывный спектр собственные значения неустойчивы к таким малым возмущениям заполнения.

• При помощи метода Фубини приведен пример задачи, близкой к спектральной задаче теории волноводов со вставкой, вложенные собственные значения которой исчезают при малом изменении коэффициентов.

• На пути обобщения подготовительной теоремы Вейерштрасса развита теория возмущений для компактных оператор-функций, встречающихся в частности в математической теории волноведущих систем. Показано, что однократное собственное значение зависит от параметра возмущения аналитически, а зависимость кратного собственного значения может иметь лишь алгебраическую особенность.

При написании диссертации автор пользовался большой помощью проф. А.Г. Свешникова, проф. А.Н. Боголюбова и доц. A.J1. Делицына. с которыми он неоднократно обсуждал содержание этой работы. Автор хотел бы выразить им искреннюю благодарность.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (коды проектов 02-01-00271. 00-01-00111) и программы «Университеты России» (код УР.02.03.010).

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О возбуждении радиоволноводов. // ЖТФ. 17 (1947), № 11, с. 1283-1296.2. тихонов А.Н., Самарский А.А. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. // ЖТФ. 18 (1948), с. 959-963.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О возбуждении радиоволноводов II. // ЖТФ. 17 (1947), № 12, с. 1431-1440.

3. КиСУНЬКО Г.В. Электродинамика полых систем. M.-JL: Изд-во ВКАС, 1949.

4. Краснушкин П. Е., Моисеев Е. И. О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводе. // Докл. АН СССР. 264 (1982), No 5, с. 1123-1127.

5. Свешников А.Г. Принцип излучения. // Докл. АН СССР. 73 (1950), № 3, с. 917-920.

6. Свешников А.г. Принцип предельного поглощения для волновода. // Докл. АН СССР. 80 (1951), № 3, с. 345-347.

7. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

8. Rellich F. Das Eigenwertproblem von Au -f Xu = 0 in Halbrohren. // Studies and essays presented to R. Courant. N-Y., 1948, p. 329-344.

9. JONES D.S. The eigenvalues of V2w + Xu when the boundary conditions are on semi-infinite domains. // Proc. Camb. Phil. Soc., 49 (1954). p. 668-684.

10. Evans D. V., Levitin M., Vassiliev D. Existence theorems for trapped modes. // J. Fluid Mech., 261 (1994), p. 21-31.

11. Evans P., porter R. Trapped modes embedded in the continuous spectrum. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 51 (1998), p. 263-274.

12. Davies E.B., Parnovski L. Trapped modes in acoustic waveguides. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 51 (1998), p. 477-492.

13. Боголюбов A.H., Делицын А.Л., Малых М.Д. О ловушечных модах волноведугцих систем. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрой. 2001, № 6. С. 69-70.

14. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. М.: Мир, 1982.

15. WEYL Н. Uber beschrankte quadratische Formen, deren Differenz vollstetig ist. // Rend. Circ. Matem. Palermo. 27 (1909), p. 373-392.

16. Малых М.Д. О поведении вложенных в непрерывный спектр собственных значений при изменении заполнения волновода. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002, № 1. С. 61-62.

17. Боголюбов А.Н., Малых М.Д. Теория возмущений для вложенных собственных значений волновода. // Журнал радиоэлектроники (электронный журнал http://jre.cplire.ru). 2002, № 2.

18. Боголюбов А.Н., Малых М.Д., Свешников А.Г. О неустойчивости вложенных в непрерывный спектр собственных значений волновода по отношению к возмущениям его заполнения.// Докл. РАН. 385 (2002), № 6. С. 1-3.

19. HoWLAND J.S. Puiseux series for resonances at an embedded eigenvalue. // Pacific J. Math. 55 (1974), № 1, p. 157-176.

20. HoWLAND J.S. On the Weinstein-Aronszajn Formula. // Arch. Rational Mech. Anal. 39 (1970), p. 323-339.

21. Боголюбов A.H., Делицын А.Л., Малых М.Д. О вещественных резонансах в волноводе с неоднородным заполнением. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2001, № 5. С. 23-25.

22. МАЛЫХ М.Д. Поведение вложенных собственных значений уравнения Гельмгольца при малых возмущениях. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002, № 3.

23. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М: Мир, 1984.

24. Боглюбов А.Н., Малых М.Д., Свешников А.Г. Ловушечные моды волноведущих систем. // LVII научная сессия РНТОРЭС им. А.С. Попова, посвященная дню радио. Труды. Т. 1. М., 2002. С. 211212.

25. Боглюбов А.Н., Малых М.Д., Свешников А.Г. Ловушечные моды волноведущих систем. // Научная конференция «Ломоносовские чтения». Секция физики. Сборник расширенных тезисов докладов. М.: Физич. ф-т МГУ, 2002. С. 47-48.

26. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д., Свешников А.Г. О базисности системы корневых векторов радиоволновода. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2000. № 6. С. 17-20.

27. Albeverio S., Hoegh-Korn R. Perturbation of resonances in quantum mechanics. // J. Math. An. Appl. 101 (1984), p. 491-513.

28. Neumann J. v. Charakterisirung des Spektrums eines Integralopera-tors.// Actualites scientifiques et industrielles. 229 (1935), p. 38-55.

29. Голубев В.В. Однозначные аналитические функции с совершенным множеством особых точек. Гл. 3. // Однозначные аналитические функции. Мероморфные функции. М.: Физматлит, 1961. С. 84-113.

30. GOLDSTEIN C.I. The singularities of the S-matrix and Green's function associated with perturbation of — Д acting in a cylinder. // Bull. Amer. Math. Soc. 42 (1973), p. 1303-1307.

31. Гильберт Д., Курант P. Методы математической физики. Т.1. М-Л.: ГИТТЛ, 1951, Т.2. М.: ГИТТЛ, 1945.43. heuser Н. Funktionalanalysis. Stuttgart: B.G. Teubner, 1975.

32. Hellwig G. Differentialoperatoren der mathematischen Pliysik. Berlin-Gottingen-Heidelberg: Springer, 1964.

33. SCHLESINGER L. Vorlesungen iiber lineare Differentialgleichungen. Leipzig-Berlin: B.G. Teubner, 1908.

34. PAINLEVE P. Sur le calcul des integrates d'un systeme differentiel par la methode de Cauchy-Lipschitz. // Bull. Soc. Math. France. 21 (1899), p. 149-152.

35. ТРИКОМИ Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962.

36. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: ГИФМЛ, 1962.

37. Гауерт Г., Реммерт Р. Аналитические локальные алгебры. М.: Наука, 1988.52. salmon G. Vorlesungen liber die Algebra der linearen Transformation. Deutsche bearb. von W. Fiedler. Leipzig: B.G. Teubner, 1877.

38. WEIERSTRASS K. Mathematische Werke. Bd. 4. Vorlesungen iiber die Theorie der Abelschen Transceiidenten. Bearb. von G. Hettner und J. Knoblauch. Berlin: Mayer&Miiller, 1902.

39. Гурвиц А. Теория аналитических и эллиптических функций. М.-Л.: ГТТИ, 1933.

40. Гохберг И.Ц., КреЙН М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.а=0.25н