Спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных операторов и соответствующие эволюционные уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТКНЛ'Ьи нд^идних'и иЫАОипдпиа глишмши. илиалл,^.

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВВДЖГЕТ имени АЛЪ-ФАРАБИ

На правах рукописи

Ахтямов Азаыат Мухтврович

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ

01.01.01. - Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Л.чмч-Л г

гаиота выполнена на кааедрэ теории функций д функциональной анализа механико-математического факультета Московского государственного университета иы. м.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, . " . профессор A.A. Шкаликов

Официальные оппоненты: доктор цизико-матеыатичаских наук, •

njjooöcoop К.Х. Бойыатов

кандидат <£изико-матеыатлчеоких наук, . доцент Б.Н. Бияров

Ведущая организация: .Башкирский государственный

университет им. 40-летия Октября

Защита соотоитоя " Я 1992 г. в _час»

на заседании регионального специализированного совета К 058.ОХ.17 по приоузденвю ученой степени кандидата фвзико-ыатематичеоких наук в Казахском государственном университете им, Аль-*араби по адреоу:

480012г. Алма-Ата, ул, Ыасанчи 39/47. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГУ

Автореферат разослан " Ю " сл 1992 г.

Ученый секретарь регионального специализированного совета, кпадидаг > . (Тизико-ыатематических, наук, доцент A.A. БедельОаев

" , ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ'

ЩиД |

Актуальность темы. Спектральная теория линейных операторов 1грает фундаментальную роль в различных математических хисцшлинах и их приложениях. При этом возникает много проблем, 1риводящих к краевым задачам для дифференциальных опзратороз на тоночном интервале. Чаще задачи изучались В.А. Стеюювкм, Дж. Биркгофом, Я.Д. Тамаркиннн, М.В. Келдышем и другими авторами. Теория дифференциальных операторов, еще- далека от своего завершения и в настоящее время интенсивно развивается.

Объект исследования. В работе исследуется разложение по производным цепочкам Келдыша для краевых задач следующего рида:' Ку.Х) = у(п)+ р1(Х,\)у'п~П+ ... + Рп(Х,Х)У = о, (1)

п-1

и^у.Х) = 1 а^(Х)у(к)(0) + Ъ^(\)у(1,)(1) = О, (2)

ь=о

J = 1.2...... ,

п-1

где рд(х,Х) = I я(х) X , а^(Х), Ь^(Х) - произвольные

полиномы от X, функции Р„в(х) - достаточно гладкие.

Изучен также вопрос о существовании и единственности ретсппП задачи Коши дня . соответствующего . уравнения с частными производными.

В напем, случае соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид

1'+тг-а

£ £ О

У У (-1) Г (.Т) ---------- иГ,т,Х) о, Р;

/. £, ' V» 1> п -Р

%>~0 "-V ^ I Ох

О $ X < 1, С й t < ГО,

я краевые ус.мовнл ти'.'лж:

П-) П-(->5 ,

I I Г-"* [ <Ъм -Г-' |

к-=0 1=0

X = о

в

Ш,г) I 1 = о

вг1 ВЗ* .'!:-«••>

Г л = ».г.....п

Для выделения единствешюго решения нужно еще поставить начальные условия. Условия, выбранные в диссертации, таковы:

О , .

- и(х,Ц } = ф, (х) (5)

81* ' I = о

О = о,и ... .

Цель работы. Получить формулы для вычисления коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша, построенных по собственным функциям (СФ) спектральной задачи (1 )-(Я). Доказать теорему существования и единственности для задачи (3)-(5) и обосновать применимость метода Фурьв . для решетя этой задачи.

Методика исследований. В работе используются некоторые общие результаты из теории линейных операторов и теории полугрупп. Иопользоьзкч также некоторые новые методы кз теории пучков неогр?глчешнх операторов.

"!аучн<щ новизна, практическая и теоретическая ценность рабстл. В диссертации получены общий метод нахождения коэффициентов разложений по\ производным цепочкам Келдыша, '»фиктивные формулы их вычисления для некоторых частных случаев, теорема существования и единствешюсти для задач (3)-(5), о также обоснована применимость метода Фурье для решения этих задач. ■ '

Перечисленные результаты являются новыми. Они могут быть использованы как в дальнейших исследованиях по разрешимости краевых задач, так и для вычисления Коэффициентов рззложоний при решении конкретных- задач методом Фурье. Некоторые применения рассматриваются в диссертации.

Апробация работы. Основные результаты работы доклч писались

■|7укиьадитйим lip-Ä^RJUl/V^a л.д.. uin.ct«fuui.wuu / г . - ____....—

ифференциальных уравнений . БГУ (под руководством д.ф.-м.н. :.Т. Султанаева ), на конференции молодых ученых мохштко-атематического факультета МГУ в 1988 году,' на 24-ой Воронежской имней математической школе " Современные проблемы теории функций :' теории дифференциальных уравнений " в январе 1991 года, на ¡еспубликанской научной конференции " Теория приближения ц июжэния функциональных пространств " в г.Караганде в июне 1Э91 ■ода.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликована в laöorax автора, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и обьеи диссертации. Диссертационная работа ¡остоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем )аботы 135 машинописных :страниц. Библиография содержит 42 шзвания.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ • по изучаемой тема и триведено краткое содержание работы.

В первой главе доказывается' теорема существования и. эдинственности решения (3)-(5). -В §1 этой главы приводятся необходимые определения и сведения теории спектральных задач для эбыкновенных дифференциальных уравнений. Согласно методу A.A. Шкаликова [1J строится линеаризатор "Н задачи 0.)-(2).. Линеаризация задачи (1)-(2) означает, что эта задача может быть представлена в форме задачи на собственные значения для линейного оператора П, который действует в пространстве Ш?г,7 * с". Пространство Ш2ги является подпространством ' копанной коразмерности в прямом произведении соболевских пространств с переменными шкалами

н>2г = w2П+Г-' « w2nlr-2 « ... « w/ ■ ■■

[1 1 Ш к з л и к о li А. А. Кряевно. задачи дли ¿ошо-.-л^шщь доЕференциалышх уравнений с параметром В грэшп.чнх yr.Mcfut.ix /' Труди оемяпоря им.И.Г.Петропсчого. - НОТ. •■ (".Г/О ;<">.

( Полное определение . прострс .ства см. в диссертации

на с. 16-18 ). В §2 с помощью оператора 11 задача (3)-(5) записывается в вида задачи Кош для уравнения 1-го порядка. Такое представление позволяет доказать теорему о существовании и единственности решения задачи (3)-<5) при условии усиленной регулярности задвчи (1)-(2). Для доказательства существования решения используется теорема A.A. Шпаликова о Оазисности собственных и присоединенных функций (СЦФ) линеаризатора 11, а для доказательства единственности используются результаты теории полугрупп операторов.

Основным результатом первой главы является:

Teopeua 1.1. Пусть спектральная заОача (1)-(2) является усиленно регулярной краевой задачей и в со ее сСствешсиз значения (СЗ) \к лежат в некоторой полуплоскоти Im è - 7, 7 = const. Пусть, кроле того, рев(х) = const, s = t.г.....п. рпп ï О, а начальные Осаише (5) каковы, что элелет

ф= { ср0(лг>, (р,(х), ... , <Pn_jW >

принадлежат пространству где г > О.

Тогда существует решение вавачи (3)-(5) такое, что

д >

1) функции — u(x,t) при J * о, 1, ... , п-1 непрерывны по t

0tJ

на полуоси как функции со аначенияли б пространстве 4i2nrT"J ;

2) равенства (5) понимаются как равенства в пространствах

ш n+r-j .

"2 »

3} уравнение (3) понижается как равенство непрерывных функций но t ' со аначенияли в пространстве W^ .

Решение, удовлетворяющее перечислении* выше свойсквал, единственно.

Решение указанное

прчдетшзляеч"".! п вика ряда

в формулировке теоремы,

" Рь IXJ . t „ , th n

I I Sh* * (y*h + 77 y*"-'+ ••• J. (6)

1 h^O

где \h - C3, a ... , - цепочки СПФ спектральной

задачи (1)-(2), соответствующих этим-СЗ.

Исходя из этого, теорему 1.1 momio рассматривать как обоснование метода Фурье для решения задачи (3)-(5).

Во второй главе диссертации ставится задача оО определен™ коэффициентов с из разложения (6). Для вычисления коэффициентов Фурье необходимо знать СПФ сопряженного оператора Н*, которые можно выразить через СПФ сопряженной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 1*(у,\) =. О и сопряженными условиями Uj*(y,\j = О. В связи с тем, что оператор Н действует' в пространстве сложной структуры, задача о построении Н* и выражения его СПФ через СПФ сопряженной задачи является нетривиальной. Тем не менее с помощью предложенных в диссертации методов ее удалось решить. В §1 и §2 второй главы эта задача решена для двух конкретных случаев. В §3 приводятся облип результаты. Там доказаны три теоремы, приводимые тпи:о.

Теорема 2.1. Пусть порядки краевых условий (2) не выше n-t. Тогда спектральная задача (1)-(2) линеаризуется в пространстве сператорол Н, определенен равенствах

П { v0, ot, ... . wn.»>=

=1 v.....v.' - Pnñ' f1(1v-Z(v~ ••• -l(v»> >}

с областью определения D(H) = U>21 ff. При этол сопряженный оператор 11* задается в пространстве IV ° равенствами:

<£, и

Н* g = h = { hQ . h,.....hv.....hn t ) ,

U • (в П )

- - ' l < P-n-i{x) > '' '

Я -V

+ 2 I °™+Лп 8.," ^ = ° •

111=0

Причел

д№) = ( § - { 8о. в,. . Вп_, > / 8 € М)2' ; V/ Е ; = О,

J = п+», п+2, ... , п2- и 5 GJ(B) = 0, * П }.

Алгоритм нахождения коэффициентов а^ , Ьгт и форм C^J(g), приведенный в диссертации, здесь опускается.'

Творена Н.2. СЗ цк сопряженной задачи совпадает . с Сс оператора Н*. Между СПФ

6г/* = { 8к*о ' ..........вь'.п-1 }

оператора И*, соответствущили СЗ и СПФ г^1 сопряженной

краевой задачи ложно установить взаимно однозначное соответствие. Форлула этого соответствия при * О такова:

17 Л - 2 ^

С, - 1 >77731 I (-1)

1-0 П» в=п>

1 гп-э-21 (гv-гl)

1-0 Пг тагу

+ 1 (-1>и**\ ( В^'Ы) > (*У~г1) , V о,,.....п-г

1=0

Из теоремы 2.2 получается . формула для вычислен» коэффициентов счерез СПФ сопряженной краевой задачи, которЕ сформулирована в виде следующей теоремы:

Teopeua 2..3. Кол^фмцие/юпа ckh разложения элемент v по С<Л vkh оператора Н наладятся по форл.,ле:

< у . ^Рц-* >

kh ** г, ** n v *

< V • e*p*-h >

гае < g£0 , g*,.....«Д.....g^., ),

< , > - скалярное произведение д пространстве W а

g^"^ находятся по СЗ = \ и СШФ zk(x) сощтънньй ■ ¡сраевой задачи по форлуле (7).

В диссертации рассматривается и история вопроса о вычислииы коэффициентов, связанная с теоремой 2.3. Приведем здесь см краткое изложение. В случав, когда краевые условия не зависят о\ X, методы нахождения коэффициентов ckh извеспш. Спектральную

задачу можно представить в виде пучка неограниченных операторов, действующа в гильбертовом пространстве, а затем испольеовать для нахождения коэффициентов разложения известные формулы. В непик.м виде эти формулы были получэш для пучков ограниченных операторов М.В. Келдыием, а в явном виде для пучков неогрттченшл операторов - A.A. ШкаликоЕШ. Ситуация, 'когда спчкТральньЛ параметр входит в граничные условия, существенно сложнее. До сравнительно недавнего времени задачи такого г.ида исследовались, лишь в частных случаях , причем - только для " уравнений вида

у " + р(х)у - Хг у ( см., например, работы [2),(31,14) ).

[Я] Р у о. с а к о в о к и Я Е. М. Операторная трактовка

граничной задачи со спектральным параметром, полипомаольмо входядим в граничныо условия // Функцианалыий анализ я erv; приложения. - 1975. - Вып.9, Я 4. - С.91-92.

[3] Walter J. Ungular eigenvalue problems wl th e J t 1 ir. parameter In tlie boundary conditions // Míith. Z. - 1 'H'i. V. 133, J§ 4. - P. 301-- 312.

I 4) 11 i n t о л 0. В. Ал expantlon theorem t-ir un' d(rrml'iv pürirrietкг in Ъ'Л.n Ыгу сn ) I I 1 on /< -'Vu-Hrt . I. fiJi i.h , <)•■• t^r 1 197 9 - V.30, Я P.: - P. 33-43. ,

Б общем случае эффективной универсальной формулы получено i было. Теорема 2.3 дает универсальную формулу вычислен коэффициентов для задач любого порядка.

В третьей главе при некоторых ограничениях на коэффициан уравнения и краевых условий получена Солее аффективная, чем теореме 2.3, формула вычисления коэффициентов. Эта формула, так как и предыдущая, применима для задач лрбого порядка полиномиальным вхоадением параметра в краевые условия. Получени этой фо|-!улы основано -на сведении спектральной задачи к пуч неограниченных операторов и применении результатов A.A. Шкалико для ■ таких пучкор. Отметим, что на возможность сведен краевых задач со спектральным параметром в краевых условиях пучку неограниченных операторов указывалось в работе [5].

Основным результатом третьей главы являе^я теорема 3, которая доказана в §5, Параграфы 1-4 предворяют доказательст этой теоремы. Нижа излагается краткое содержание этих параграфе

Пусть yh°, yk', ... , j/jP* - канонические по Келдышу цепоч

СПФ задачи.(1 )-£). '

Краевую задачу (1)-(2) перепишем в следующем виде:

ку.к) = г0(у) + л г,(у) +•... + хп гп(у) = о, (е

. Uj(y.\)= Уу(у) + v/( у) + ... + UjJ (у) = О. (С

j = 1, г, ... , п .

Здесь "

п

lv(V> = 1 PV.W У(П'а)• v = '.....

fe^O h-0

а формы UfDdj), U°(y), ... , Un°(y) - линейно независимы < к

i^i Ш к а л и . о ь А. А. К спектральной теории атучьел ■эпврат'-...jh и разрешимости оперчторнр-ди-jijKj.c,-.;:;::? «iix VP;>r .siiiifl: Лис. ... д-ра фта.-мггг. наук. - М., 1 <«!•->. - з; и

этому случаю краевые условия всегда можно привести, заменив их эквивалентными ),

Пусть ип%(У>- ••• • иг° (V) ~ это такиэ линейные

однородные Форш от переменных у(Ь)(0),у(к)(1) сь = е./.....

п-1) с коеффщионтами, не зависящими от X, что форш

и,°(у). и2°(у).....ип°(у), ап^(у), ип%(у).....иг°(у)

образуют линейную независимую систему.

Обозначим через ( , ) скалярное произведение в пространстве I

Предполагаются выполнении! оледуодие условия на коэффициенты уравнения и краевых условий:

A. Все формы (3- 1,2, .,. , п ) при V * о являются линейными однородными формами от переменных

и/<У> - * Ъг-^гЩ + •■• + е;П и2°п <У>'

где - некоторые комплексные числа.

У

( Форта и} (у), в частности, могут быть равными нулю. )

B. Для бнлшеЯнцх форм Р^у.г) ( V - иг, ... п ), которые возникают из равенства

( 1у(у). 2 ) = ( у , г^г) ) + Р^у.г),

требуется выполнение следующего условия:

Ру(У.*> = !,'(*) ип°,(у) * ^ (г) ип°г(у) * ... + 1п*(г) иг°(у). где 1,%'(г), ... , 7 "(г) являются линейными

' 7 ' ¿: ' п

однородными формами от переменных

2(0), г(1), г '(О), г '(V, ... , г<п'1>(0),

Сфсрмулиругм теперь сшу теорему 3.): Тьсреиа 3.1. Лр.'ипо.'.оги, 'чпо втомо-т

- 10.1. Порядок краевых условий задачи (1)-(2) из превосходит п-1 ( ила п ).

2. Выполнены условия А и В.

3. Некоторый элелент V е ^>г°и ( ) разлагается в ряд по СПФ

'"к ^ ?

оператора И', и, крале того, систола элелетов Ук полна.

л*

Тогда элелент у разлагается в рад едииственнил образол/ и иоэффицигути разложения находятся по следующей форлуле:

Здесь

= 2 1 < "а ' С, + в > +

в-0 у=0

♦ 5 л -

{=1 '6=0 у=0

- \ \ Ч Тс«'"; е.; оОг^'

1 = 1 J¿1 в=0 v=0

2 I < С. ' ) *

+ I Т Т О ' -

1=1 в=0 v=0 п п п-1 п-1-в __.

V V ^ и 0 I и п ) V 0 (г

1-1 J=1 и-О v=0 ■ ■

Полученная в тпотьей главе формула вычислении коэффициента о^лзгчоет решение сложных задач механики.

В "-г .ль с-й главы рассматривайте« коикитшй нрименени

излученных рэзультатов к некоторым непростым задачам из теории юлновых движений жидкости, электродинамики и теории колебаний, йпсе приводятся два из них - к задаче из электродинамики и к )адаче из теории колебаний.

1. Приленение полученных результатов к задаче из элетродипалИки

При решении задачи об электрических колебаниях в проводе, заземленном через сосредоточенные сопротивления, возникает ( см. [б] ) следущая спектральная задача:

куЛ) = у " + ( рп + р. я ; у +

и 1 (10)

+ ( я0 + д, х. + яг >? ) у - о , и^у.Х) = а1 у ■ (0) + а2 у (О) t К у (О) = 0 ,

(11)

иг(у,\) = ь, У '(1) + Ъ2 у(1) + \ У(1) = о .

Здесь а,, а2, Ь,, Ъг, яг с С ; аг Ъг яг О; р0 -- р0(х), ц0 --д0Гг.>, р; = д, = я/х) - гладкие функции.

Предположим, что собственные значения задачи - простые. Пусть некоторый элемент у из пространства

= {▼=•< »0 } ' и0 5 V' ? )

можно разложить в ряд то элементам -

{ -V Ч У* >•

где у - СФ, соответствуктсш СЗ задачи (1?)-(14).

[6] Буля к Б.М., С а м з р с к и II А.Л., Т и х о поп А.Н. Сборник тд.т» но цптемчти«<>сс"сеП Си'Чэср. •• М.: Нчукя, 1 ч°о. -

Тогда возникает вопрос: как вычисляются коэффициенты ot

А* П>

разложения элемента v в ряд. по элементам vb ? Ответ на этот вопрос дает теорема 3.1. Для применения этой теоремы е диссертации осуществляется выбор форм' Uj°. Для нашей конкретно®

краевой задаче в диссертации качестве форм ( j=i,2,3,4 ) выбирайтся следующие:

а, у '(О) + аг у(0), = ь; у' (1) + Ьг у(1),

Vf « у(О), U° = у(1).

Отсюда, согласно теореме 3.1, коэффициенты разложения пс собственным функциям находятся по формуле

Л - ' •

где

Рь= ( "о » . Ч z* + 4t(x) 7 ( Pi(x) гъ(х) У) ) +

+ ( и, , гк ) + кк~' qz'' v0(1) ( zk'(1) - р0(1) гк(1) + Ь2_ - ' _ ' _ а?_ .

+ - )> * V' Чг~' vo(°> (Р0(°> гь'(°> -'Vf0; " 7 zb(0)}'

Qk = ( ■ • Ки гь + 4i(x) " ( Р,(х)гь(х) У) ) *

+ < Ч Ун • 2* >+ V' V' - in; +

Ь2 - , , - а2 -4 — 2tr);; + v qf1 ук(0) с ро(0) zh(V) - zkco) - — гл(о». bt a1

Наша задача является усиленно регулярной в случае, когда р,fx; = О, q^x) = const / О или же в случае, когда

р^х) = const /'О, qt(x) - const, q? < О,

- 1.3 -

'Го,и, ь 1 )( + 7 Я а,ш2 + 7 Я Ь,(и, + I О. Для этих случаев в ряд то собственным функциям разлагается любой

г с 2

элемент пространства №.0

2. Приленение полученных результатов к задаче из теории колебаний

При решении методом Фурье о колебаниях в идеальной среде упругого стераня без внутреннего трения возникает следующая спектральная задача:

у <4) + ( д(х) у ')' + Ь4 У = О, (12)

у (О) = у '(О) = О, (13)

у(1) = 0, У "(V + Й х2 У ■ (1) = О. (14)

Краевые условия (13) означают, что левый конец сторми закреплен шарнирно. Краевые условия (14) означают, что правил конец также шарнирно закреплен, и, кроме того, в шарнир; существует вязкое трение.

Как показывают вычисления, задача (12)-(14) является усиленно регулярной. Сопряженная краевая задача имеет1 сдодувдиЧ вид:

г (4> + ( дСх) г ' У + \14 г = О, . (13)

2(0) = .0 , 2 40) + я(0) г(0) = О, (16)

г(1) = 0 , г "(1) + Ь \хг г ' (1) + ц(1) 2(1) ---С. (17)

Согласно [11, любой элемент V из' пространства

I>о(0) = I>,(0; = иг(0) = и3(0) - о,- ь0 "(о) = V, то; = о, о0си = и,и) = = = о, v0 "(1) + й у2 '(1)

можно .разложить в ряд по элементам

V и < С • - У^з ' У>•

где

с

а ~ система СП®, соответствующая СЗ Хк задачи (12)-<14).

Возникает вопрос: как вычисляются ко.чМициенти скН

Л» (V .

разложения элемента V в ряд по элементам • ? Ответ на этот вопрос дает теорема 3.1. Для применения этой теоремы осуществляется вцбор форм В нашей конкретной краевой задаче I

качестве форм 11° ( )=1,г. ,в ) .выбираются следующие:

и,0 = у№), гиг° =у '(О), из° = у(1), и/= у(1).

1/с

у'(О), и6° = у ти. = у у„° = у(О)

Так как билинейная форма обинтегрированных членов для дифференциального выражения 10(у) имеет вид

Р0(у,г) » у (- г (3)- ц г ')

, Ч у ' ( г * + д г )

о

+ у " г '

+ у'3> ^

то соответствуйте формы краевых условий сопряженной задачи квксвы:

V,

!(1).

О

. - г(О), = - г '(1) + ЧП.) г ' (1),

? ".о) ( ц(0) г '(0),

(1) •

6° --Г 7. СЭ)(1) + д(1) г(1), У7° = г '(О).

д° = г <Э)(0) - д(0) г(0).

Применяя теорему 3.1, двлое получаем, что коэффициенты ахсдятсл по формуле:

- Р>ч / 0>)г ,

до

и, ■ П "о(х> + »1<х) Ч.г'П(х) "

о

~ Рь-Н ~ Ръ~н

+ \>2(х) (х) + г>3(х) (х) ) с1х *

~ Ръ-?г ~ Ръ'н

> "о'Ч* (1) + 1,о'(1> ги.о (1) '

ы, = / (*ъ£н<*>+ О-' -

о

ъ ~ Рь-Н ь ~ Рь"'1

+ у£г(х> (х>+ <х> > **'

ь Рь""'1 >, • ~ Ръ"

1 [ г У *** (*■> + ( О1' У Н.% 1

С г " } ^ - систрма собственной и присоединенных функций, эответствущая собственному лнпчитю \ краевой задачи (15)-(1'П.

В з')клг.|<?нии пятор выра«.т>т яскрэттп бллгодяртюст'. р^Еесссру А.А. ГОКятегсжу за постановку задл'Ш и рукополстн" ¡бстол.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМИ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ахтямов A.M. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша. - М.,1991. - 53 с. - Деп. в ВИНИТИ 23.01.91, Я 374 - В 91. '

2. Ахтямов A.M. О разрешимости некоторых эволюционных уравнений - М.,1991. - Деп. в ВИНИТИ 29.05.91, Я 2247-B9I.

( БиОлиорафнче ский указатель ВИНИТИ "Депонированные рукописи" 1991, * 9, б/о 46 ).

3. Ахтямов A.M. О разрешимости одного класса эволюционных уравнений // Республиканская научная конференция " Дифференциальные уравнения и их приложения " ( тезисы докладов ).-Куляб, 1991. - 0. 23.'

4. Ахтямов A.M. О разрешимости эволюционных уравнений, содержащи в краевых, условиях производную по времени // Республиканская научная . конференция " Теория приближения и вложеш функциональных пространств " { тезисы докладов ) г-Караганда: Карагандинский гос. ун-т, 1991. - С. 55.

МАЗМУНДАМА. Бул'диссертацияли^ жучыста царанайим фферанциалдык; тендеулер ушш шекаралы^ шарттаринда ектрл1к параметр! бар есептер жене чундай есептчрд] ыидататын сейкес эволюциялыц тевдеулер зерттелген.

Гиперболалыц тецдеулер успн шекаралик; шартта уа--т бойинша туындыси бар еоепте'рге б1рмандШк иене И1л1мд1л1к теоремалары дзлелденген.

Соболев кец!ст1ктер1нщ тура кабейт1шйс1нде туй1и-о оператор табылып, биортогонал система н;урылган.

Сонинен к;атар бул жумыста есел. шешу1н моня1Кт1 нкциялйр арк;ылы к^тарга гйктау кезхндегч коэффицнент-рдI айцын есептеуге мушинд1к берет1н вк\ теси кор-тоген.

Жумыста нег131нен операторлардыц жарты группалик ориясы мен операторлар шогиры теорияои паЯдаланылган.

писано в почать £3.03.92

¡ч, БСХИ, :•-ч:« ',' ¿29 , 11фПт. 100