Спектральные задачи и вопросы базисности, возникающие в теории гидродинамической устойчивости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА . ^ л Механико-математический факультет

* I 9 I » 1 | I 1 '' —

' тт- ««»»»лгтлт]

л.лл*¿ил; ¿и;,» ^..мг.'.-,

УДК 517.934 ПГНЙПАК Игорь Анатольевич

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ БАЗИСНОСТЙ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ТЕОРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1995

Работа выполнена на кзфедре теории функций и фукнционального анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

, профессор А.А.ПЬсаликов. Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор С.Ю.Доброхотов - кандидат физико-математических, наук С.Д.Троицкая

•Ведущая организация - Воронежский государственый

университет

' Защита состоится " % " ьиОНД/ 1995 г. в 16 час. 05 глин, на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 по математике при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119399, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механйко-математический'факультет; аудитория тб-24.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке механико-математического факультета МГУ (14-й этаж). •

Автореферат разослан 1995 г.

у

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при. МГУ, доктор физико-математических наук, " профессор Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При исследовании задач механики методами функционального анализа возникают задачи о спектральных свойствах соответствуй^ операторов. При изучении поведения решений эволюционных задач естественным образом возникают вопросы полноты и Сазисности система ;; ¿^„»нвти» в иая-

личимг пространствах. С устойчивостью решений, тес-

но связана проблема локализации спектра и его классификация.

Широкий класс задач, допускающх операторную трактовку, возникает в теории гидродинамической устойчивости. Уравнения течения жидкости в областях, позволявдих разделить переменные, часто можно свести к задаче на - собственные значения некоторого оператора.

Классическими работами в теории гидродинамической устойчивости стали работы Релея, Дн.Тейлора, Дк.Сайндха, Д.Джозефа, С.Чандрасекара. Частные задачи, связанные с вопросами полноты и базисности, рассматривались И.Шенстедом," Р.Дн Примой, Дж.Хабет-лером. Различные аспекты устойчивости раасматривались Л.А.Диким, В.И.Вдовичем,' В,А.Романовым, Дк. Эйзенфельдом и другими авторами.

Развитие методов функционального анализа в приложении к задачам гидродинамики нашло отражение в монографиях Н.Д. Копачев-ского , С.Г.Крейна, в работах'А.М.Гомилко, Нго ЗуйКана, О.Д.Троицкой, А.В.Трубачева, С.А.Стенина, А.А.Шкаликова, В.И.Юдо-вича и др.

Среди наиболее известных задач стоит упомянуть задачу о течении жидкости между двумя концентрическими вращающимися цилиндрами (течение Куэтта), плоскопараллельное течение жидкости

(уравнение -Орра-Зоммерфельда) и задачу о колебаниях вязкой капиллярной несжимаемой жидкости.

Первые результаты о базисных свойствах операторов, возникающих в задачах гидродинамики,, были получены с помощью клас-сических методов (И.Шенстед, Р.Ди Прима, Дк.Хао'зтлер),

' ч

Применение к этим задачам методов функционального анализа позволило получить более общие и полные результаты. В частности, в недавней работе А.А.П&саликова и С.Треттер изучены базисные свойства собствен- ных и присоединенных • ^функций уравнения Орра-Зоммерфедьда в раз- личных шкалах гильбертовых пространств. С.А.Степин исследовал спектральные свойства уравнения Релея,. являющегося предельным случаем уравнения Орра-Зоммерфельда.

Цель работы. 1) Исследовать вопрос о базисности корневых векторов, оператора, поровденного задачей о движении вязкой жидкости между двумя вращающимися бесконечными концентрическими цилиндрами и подучить асимптотику собственных значений.

2) Изучить вопрос о характере спектра оператора, поровденного задачей -о несимметрично-возмущенном течении идеальной жидкости между двумя вращающимися цилиндрами, рассмотреть вопросы устойчивости.

3) Исследовать вопрос . о базисных свойствах оператора, близкого к самосопряненному в пространстве с индефинитной метрикой. Рассмотреть свойства собственных и присоединенных векторов оператора, возникавшего в задаче о колебаниях вязкой капиллярной несжимаемой жидкости.

Общая методика исследования. При исследовании базисных свойств корневых векторов, изучении вопросов устойчивости приме-

яяктся метода теории возмущений операторов, теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, асимптотические методы з использованием свойств специальных функций.

Новизна результатов. Все полученные в работе результаты являются новыми. Основные из них следующие:

I) Доказана базисного г-С^ойн«» я гртссс.^онннг гекторов задач» о сг-:сти,;чно-йаз:,^тденном течении вязкой жидкости между азумя цилиндрами. Получена асимптотика собственных значений задачи.

I) В случае несимметрично-возмущенного течения жидкости получено шисание спектра 'задачи и дано достаточное условие устойчивого 1ВИЖВНИЯ жидкости.

3) Получен результат о Оазисных свойствах оператора, близкого к замосопряженаому в пространстве Понтрягина. С помощью этой георемы доказана базисность Бари со скобками для собственных и фисоединеншх векторов оператора, соответствующего задаче о ко-гебачиях вязкой капиллярной жидкости.

Приложения. Результаты диссертации могут быть использованы ягоциелисташ по гидродинамике для дальнейшего анализа рассмотренных в работе задач. Развитые методы могут «¡пользоваться для решения других спектральных задач, возникающих 5 механике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ¡овместном заседании Московского Математического общества и :еминара имени И.Г. Петровского 1994-95ГГ., на научных семинарах шанино-математического факультета МГУ по теории операторов,

руководимых А.Г.Костшенко, А.А.Шкаликовым и С.А.Степиным.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы работах автора, приведенных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из. введения, тре глав и списка литературы из 48 наименований. Общий объе диссертации - 86 страниц.

СОДЕШНИЕ РАБОТЫ

Во введениш дается краткая историческая справка развита, приложений спектральной теории операторов к теории гидродинамической устойчивости, излагается содернание работы, выделяйте: основные результаты.

В первой главе рассматривается задача о симметрично-возмущенном течении вязкой несжимаемой жидкости между двумя концентрическими вращающимися цилиндрами.

. ■ • ..........ь " • . . . •

В пространстве Н4 х Но = ^((1,г2);Уг) х Ьг((1 ,гг );Уг)

линеаризованные уравнения для малых возмущения имеют вид:

Г(1гС?)г -20Н8(гГ |-2на ъ-с2

(1)

с граничными условиями

ф(1 ) = Ф(ГЖ) = ф' (1 ) = 'ф' (гг) = Г( 1) = = 0\

где 8(г) = П / = а + в / гг, О - угловая скорость жидкости на расстоянии г от оси вращения, гг- тиг/ ^,

А -Шг / / О,) - 1} / СО^ / К,)1 - 1).

в = - (Н2 / )г{ {Пг / ot) - 1} /Л(Нг /-\у* - 1}. R, и r - соответственно радиусы внутреннего и внешнего цилиндров» я П2 - угловые скорости цилиндров, R - число Рейнолъдса. Оператор ь определяется следующим образом

т = -¿1 + Л ___l_ = i.fd + _i 1

dr2 rar r2 drl® г J *

Исследопание спектрапт.^ cz^io«« «»rs: ч'; ', ¿¡пирогггт v ведущим pw ьу ji ьт этп*':

Георема 1.1 Задача (1) галеет вещественные собственные значения двух типов. Собственные значения первого типа распадаются на две серии: Я(1> и X'1' , для каждой из которых можно получить

асимптотику:

с«' , Г А%гп 4iET(a)n 4я:с1+72 (a)

А. = ~ < -a---+ ----- + о,

n Kl (г2-1)г (гг-1 )г (r2-1>2 1А

я}-

1

= К

. ^(гп+О2 2rr(a)(2n+D 4itc+7s(a> «О --+ -----+ o[l)j,

(Г2-1 )2 (rz-1 )2 (Г2-1 )2

Зобственные значения второго типа имеют асимптотику

а -п н

Гп2 3'

-а----+ о

(г2-1 )2 4г2

Ш}-

С помощью теоремы 1:1, методов теории возмущений и асимптотических свойств цилиндрических функций доказывается зледугащй основной результат:

Георема 1.2 Собственные и присоединенные функции линейного пучка, зтвечавдего задаче (1), образуют базис Бари в пространстве

Н1 * Но = X Ьг((1,г2);Уг).

В заключении первой главы рассматривается связь задачи о течении жидкости между двумя цилиндрами с задачей о конвекционном движении жидкости, • подогреваемой снизу. Изучаются базисные свойства соотввстаупдего оператора в задаче о конвекции.

Во второй главе рассматривается задача о несимметрично-возмущенном (возмуврния вида ©(г,г)ехр(1мр + хкг>) течении идеальной жидкости между двумя вращащимися цилиндрами. Линеаризованные уравнения для таким образом определенных возмущений привода к следующему линейному операторному пучку:

(юМ + кгК)и = ХЬи, и=(и4,и2) (2)

в гильбертовом пространстве н = Ь2((а,ь);Уг) х \ ((а,Ь ).;Уг), где

Г(В -у Вт - к2)'

Ъ = -

апШ

от.

Иг

- (

+ к* у

И = -

Г© -§- г - аьг)

ш ~ VI-г

а (

+ к г)

к = -

1(2Я + г

ап дг

-21П ) О

в =

—. . 0(г) - достаточно гладкая вещественная функщш, пара-

0

б

метр m считается отличным от нуля.

Задача (2) рассматривается на следующей области определения: D(Ii,M,N) = {u = (u^) е H,ute У? (a.b), Uj (á)=u4 (b)=0; u2s w'(a,b)}. Предполагается принадлежность функции fl(r) классу

С*Га,ЪЗ i а ч и — рядяусн Т5Т.*ПТПДР~35.

При условии неубывания функции О (г) получено описание непрерывного спектра задачи:

Теорема 2.1 Непрерывный спектр задачи (2) совпадает с отрезком вещественной оси [mfl(a),raQ(b) ].

Исследование расположения дискретного спектра на комплексной плоскости приводит к следущей теореме локализации: Теорема 2.2 Дискретный спектр задачи (2) локализован в б-ок-

рестности отрезка [тП(а),пй(Ь)3, где 5 определяется равенством:

5 = maxíb, maxrf |Q(2fi + ríT | + и l-Л- í |П.

Во многих задачах встаэт вопрос о взаиморасположении пеггрз-рывяого и дискретного спектров. В связи с этим получены результаты:

Теорема 2.3 Если П(2П + гП') < 0 то у задачи (2) нет вещественных собственных значений вне непрерывного спектра.

Теорема 2.4 Пусть П(2П + тО') < О. Если \ - собственное значение на непрерывном спектре, то для точки г^ (корня уравнения mQ(г) =А.)

выполнены условия:

1) г, - двукратный нуль функции ^ ^ ,

Л тг+к2г

2П(ГС^'(Г)]! -о- -

т +к г |г=г^

Особый интерес представляют вопросы устойчивости. Решение этой проблемы тесно связано с существованием комплексных собственных значений. Получен следующий результат: Теорема 2.5 При достаточно больших значениях параметра т

течение будет устойчивым, если (2П + гА')'(г) / о, г е [а,ъ].

В третьей главе изучается задача о колебаниях вязкой капиллярной несжимаемой жидкости.

Предполагается, что жидкость частично заполняет сосуд, при атом свободная поверхность жидкости Б не имеет общих точек со стенкой сосуда 2. Обе поверхности Б и 2 бесконечно гладкиз. Линеаризованные уравнения движения жидкости записывается в системе прямоугольных координат (у1,у2,у3)Г выбранной таким образом, что точка (у1,у2,0) лежит на поверхности Б, уэ-направление внешней нормали к Б,

= -7Р + г>Ди, сНуи = о вО;

Ни. + изд = ^ + = -Р + ^з.з +В0С = о на Б,

и = о на Е (3.1)

Здесь П - область занимаемая жидкостью при равновесии, и (х.-ь)-скорость частиц жидкости, р(х,10- отклонение давления от равновесного, V - коэффициент вязкости, во - дифференциальный

оператор эллиптического типа на замкнутом многообразии Б:

воС =-СКЦ + фс + д0С)> - *рв/ап-С. где

уэ = С (у,.угД)- - уравнение свободной поверхности, о -

коэффициент поверхностного натяжения жидкости, ро

равновесное давление в жидкости, . э^, тг- главные кривизны

поверхности в, До- оператор Бельтрами-Лалпо?;;.

обозначают к"0;^тг«у ^иизнолнуа кезариантного вектора и. Па о выполняется кинематическое условие aC/зt = ип, где

нормальная составлявдая скорости на Б (нормаль внешняя).

Исследование собственных колебаний жидкости можно свести к ^ изучению спектральных свойств диссипативного оператора I, действующего в гильбертовом пространстве и, и обладающего компактной резольвентной. Для этого оператора имеет место представление

ь = н + он"1, где

Н - самосопряженный оператор в пространстве Понтрягина, В -ограниченный оператор.

Известны результаты о спектральных свойствах возмущений самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, принадлежащие Н.С.Аграновичу, В.З.Кацнельсону, В.Б.Лидскому, А.С.Маркусу, В.И.Мацаеву. Ми доказываем нуаное нам обобщение этих результатов на случай, когда невозмущенный оператор является самосопряженным в пространстве Понтрягина.

Теорема 3-1 Пусть оператор а, действующий в гильбертовом

пространстве првдстаним в виде: а = ао + а4, где ао - ¿-самосопряженный оператор в 5, имевдий' дискретный спектр. J самого- '

пряженный оператор в порождающий в нем метрику Понтрягана. Оператор А, предполагается р-годчиненным оператору ао (р < 1), т.е. для I « Шо) с некоторой константой С > о имеет место неравенство

SA.fi 5 0|Ао*ПхГр. Пусть дам собственных значений оператора ао асимптотически выполнена оценка кп > с гА Тогда: ,

1) Если р(1 - р) < 1 и а > р"1- (1-р), то ряд Фурье по корневым векторам оператора А суммируем методом Абеля порядка а.

2) Если £(1 - р) = 1, то система корневых векторов оператора А образует базис Рисса со скобками в

3) Если р(1 - р) > 1, то система корневых векторов оператора А '

образует базис Бари со скобками в пространстве

Как следствие теоремы 3.1 получаем следующий результат: Теорема 3-£ Система собственных и присоединенных векторов оператора, порожденного задачей о колебаниях вязкой капиллярной жидкости образует базис Бари со скобками в пространстве %.

В заключение автор искренне благодарит проф. А.А.Шкаяикова за постановку задач и постоянное внимание к работе и к.ф.м.н. С.А.Степина и Р.О.Гринива за обсуждение результатов и ценные советы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1 .Шейпак И.А. "О базисных свойствах системы корневых векторов одной задачи гидродинамикиУспехи мат- наук, Л 4, 1394,с.120 2.Шейпак И.А. "Спектральный анализ несшметричво-»^~;;^^пмг.т~ течения Куэтта и сзязявт?~ „ ««» -„¿роен гидродинамической «»т.сааитки, Т.5?, ВЫП.2, 1995, С.278-282 •

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Вязкое симметрично-возмущенное течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами.

§ 1. Постановка задачи. Основные определения.

§ 2. Асимптотика собственных значений линейного пучка.

§ э. Базисность Бари со скобками для собственных и присоединенных функций задачи.

§ 4. Базисность Бари без скобок.

§ 5. Предельный случай.

§ 6. Связь задачи о течении жидкости между двумя цилиндрами и конвекционном течении жидкости, подогреваемой снизу.

ГЛАВА II. Несимметрично-возмущенное течение невязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися концентрическими бесконечными цилиндрами.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Структура существенного спектра.

§ з. Локализация дискретного спектра.

§ 4. Структуры дискретного спектра.

ГЛАВА III. О базисных свойствах системы корневых векторов оператора, близкого к самосопряженному в пространстве Понтрягина.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Сходимость рядов по корневым векторам оператора, близкого к самосопряженному в пространстве Понтрягина.

§ з. Базисность Бари со скобками корневых векторов оператора

L, отвечающего задаче о колебаниях вязкой капиллярной жидкости.

В настоящей работе изучаются спектральные задачи, возникающие в гидродинамике. К наиболее важным и исследуемым относится вопрос о гидродинамической устойчивости: если течение задано, устойчиво ли оно относительно бесконечно малых возмущений?

Предполагается, что для случая бесконечно малых возмущений уравнения можно линеаризовать, т.е. членами квадратичными и более высоких порядков относительно возмущений пренебрегают. Для линеаризованных уравнений можно ожидать, что будут существовать решения, зависящие экспоненциально от времени. Граничные условия для возмущений обычно однородны, и мы получаем задачу на собственные значения некоторого оператора, действующего в некотором функциональном пространстве. В зависимости от расположения собственных значений на комплексной плоскости решается вопрос об устойчивости решений.

Среди наиболее известных следует упомянуть задачу о течении вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными вращающимися концентрическими цилиндрами (течение Куэтта между двумя цилиндрами) и задачу о плоскопараллельном течении жидкости, приводящей к уравнению Орра-Зоммерфельда. Различными проблемами, связанными с устойчивостью решений этих и других задач занимались многие математики ([7], [10], [18],[19], [32], [33]»[35],[38] и др.).

Но относительно мало внимания было уделено базисным свойствам системы собственных и присоединенных функций соответствующих задач. Этот вопрос представляет интерес не только с точки зрения спектральной теории. С ним тесно связаны исследования эволюционных задач с начальными данными. Кроме того, первый успешный анализ гидродинамической устойчивости для течения жидкости между цилиндрами, проведенный Дж.Тейлором [48], опирался на идею о возможности разложения решения в ряд по ортогональной системе функций. При этом вопрос о справедливости и свойствах этого разложения не решался.

Большим продвижением в данном направлении была работа И.Шенстеда [45]. Пользуясь классическими методами, для уравнения Орра-Зоммерфельда ему удалось показать полноту собственных и присоединенных функций в классе с* [а,Ь] дважды непрерывно-дифференцируемых функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям на отрезке [а,ь], где а и ъ -границы плоскопараллельного течения жидкости. Отметим, что система собственных функций не была вычислена ни для одного конкретного течения. Даже более того, основные свойства системы собственных функций ни для какого течения не исследовались в достаточной степени.

Основываясь на работе М.А.Наймарка [28], Р.С.Ди Прима и Г.Хабетлер усилили результат И.Шенстеда, расширив предложенный о им класс функций до Ш*[а,ь]. Кроме того, наряду с уравнением

Орра-Зоммерфельда, они рассмотрели течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами. Для этой задачи ими показана полнота системы собственных и присоединенных функций в пространстве о а,Ь);У г ). Вопрос о базисности так и остался нерешенным.

Далее, следует отметить работу А.А.Шкаликова и С.Треттер [46 3 , в которой изучались базисные свойства спектральных задач вида

N у(х) = \ Р у(х), и^у)=0, 0=1 »2. ,21« где мир- линейные дифференциальные операторы порядка п и р (п > р > о), а и. - граничные условия порядка < п - 1. Ими был выделен целый класс задач указанного типа, для которых верны теоремы полноты, минимальности и базисности в соответствующих пространствах. Применив свои результаты к уравнению Орра-Зоммерфельда, авторы доказали для системы собственных и присоединенных функций полноту в пространстве

1?2в0 для 8=0,1,2,3,4, минимальность в для 8=2,3,4 и базисность Рисса в У?22и , где подпространство всех функций у е удовлетворяющих граничным условиям порядка < 8-1 .

Представляет интерес и "невязкий" аналог упомянутых задач. Особенность уравнений, описывающих течение идеальной жидкости, заключается в том, что у операторов, соответствующих им, появляется непрерывный спектр. В связи с этим возникает вопрос об описании этого спектра, что важно с точки зрения устойчивости. С точки зрения спектральной теории интерес представляет возможность разложения по обобщенным собственным функциям непрерывного спектра. Уравнение Орра-Зоммерфельда в случае идеальной жидкости превращается в известное уравнение

Релея. В работе С.А.Степина [331 для этого уравнения было дано описание непрерывного спектра, доказана теорема о локализации дискретного спектра и получено разложение по обобщенным собственным функциям непрерывного спектра.

Говоря о течении идеальной жидкости между двумя цилиндрами, следует упомянуть два случая. Рассмотрение только осесимметричных возмущений приводит к уравнению Штурма-Лиувилля, анализ которого позволил Дж.Л.Сайнджу [47] получить критерий Релея устойчивости течения жидкости. Рассмотрение несимметричных относительно вращения возмущений приводит к более сложной системе уравнений, в связи с чем такие течения изучались гораздо реже. В этом случае появляется более широкий непрерывный спектр, описание которого необходимо для решения вопросов устойчивости. Здесь следует отметить работу Дж.Эйзенфельда [43], в которой дается достаточно полный обзор возникающих в этой области проблем. Появившаяся в 1994г. работа Ф.В.Аткинсона, Х.Лангера, Р.Менникена и А.А.Шкаликова [40] позволяет дать точное описание существенного спектра операторов, возникающих в подобных задачах.

В первой главе настоящей работы изучается осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися концентрическими бесконечными цилиндрами (течение Куэтта). Наша цель заключается в доказательстве базисности Бари системы собственных и присоединенных функций в специально определенном пространстве. Основным в достижении этого результата является использование методов работ [2] и [26], позволяющих получать утверждения о базисных свойствах операторов, являющихся слабыми возмущениями самосопряженных операторов. Кроме того, получены асимптотические оценки для собственных значений. Изучаются также спектральные свойства предельной задачи (течение идеальной жидкости) и дается ответ о структуре непрерывного спектра, вопрос о котором ставился в работе [43]. Следует отметить, что к подобным уравнениям приводит задача о конвекционном движении жидкости, подогреваемой снизу [24].

Во второй главе изучается течение несимметрично-возмущенного течения Куэтта для идеальной жидкости. Нашей целью является получение результатов, являющихся аналогом утверждений, имеющих место для уравнения Релея [24]. С помощью методов работы [40] получено полное описание существенного спектра. Для дискретного спектра доказывается теорема локализации. Но следует отметить, что для несимметричных возмущений кардинальное отличие заключается в том, что если существуют комплексные собственные значения, то они обязательно появляются парами, и одно из них ведет к неустойчивости. Поэтому получить некий аналог критерия Релея устойчивости в случае несимметрично-возмущенных течений удается получить только при гораздо сильных условиях.

В третьей главе рассматривается известная задача о колебаниях вязкой несжимаемой капиллярной жидкости. В 1966г. на Международном математическом конгрессе в Москве С.Г.Крейн выдвинул гипотезу о том, что спектр колебания вязкой капиллярной несжимаемой жидкости дискретен, лежит в левой полуплоскости, имеет единственную предельную точку X = -со. Невещественных собственных значений может быть лишь конечное число.

В последствии этой задачей занимались многие авторы (С53. [18], [19]. [36] и др.), пытавшиеся доказать гипотезу Крейна. В работах [5], [36] были получены результаты о локализации спектра в левой полуплоскости в области вида

Im Х\ < С|Л.|~Р.

Известны результаты о базисных свойствах малых возмущений самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, принадлежащие В.Э.Кацнельсону, М.С.Аграновичу, В.Б.Лидскому, А.С.Маркусу, В.И.Мацаеву. В третьей главе доказано обобщение некоторых из этих результатов на случай возмущений самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина. В качестве следствия этих результатов доказана теорема о базис-ности Бари со скобками корневых векторов оператора, отвечающего задаче о собственных колебаниях вязкой капиллярной жидкости.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Некоторые из определений поясняются в начале каждой главы. Для формул, определений и утверждений используется двойная нумерация: первая цифра означает номер главы, а вторая - порядковый номер формулы (определения, утверждения) в главе.

1. Абрамовиц М. "Справочник по специальным функциям", М.,1979

2. Агранович М.С. "О рядах по корневым векторам операторов, очень близких к самосопряженным", Функ. анализ и его приложения, 1977, т.11, Л 4, с.65-67

3. Агранович М.С. Дополнение к книге Войтович H.H., Каценеленбаум В.З., Сивов А.Н. "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции". М.:Наука, 1978. с.288-362

4. Азизов Т.Н., Иохвидов И. С. "Линейные операторы в гильбертовых пространствах с j-метрикой". Успехи математических наук, 1971, т.26, Jfc 4, с.43-92.

5. Бабский В.Г.,Копачевский Н.Д.Мышкис Л.Д.Слобожанин Л.А., Тюпцов А.Д. "Гидродинамика невесомости".М.:1974

6. Бари Н.К. "Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве", Учен, записки МГУ, 1951, 4, вып.148, с.69-101

7. Бетчов Р., Криминале В. "Вопросы гидродинамической устойчивости", Мир, М., 1971

8. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. "Введение в теорию линейных не самосопряженных операторов" .М. .-Наука, 1965

9. ДанфордН., Шварц Дж. "Линейные операторы", М.,Мир, 1974

10. Дикий Л.А. "Об устойчивости плоскопараллельного течения Куэтта", Прикл. матем. и мех., 1964, вып.5,с.389-392.

11. Джозеф Д. "Устойчивость движения жидкости", Мир, М., 1981

12. Евзеров И.Д., Соболевский П.Е. "Дробные степени обыкновенных дифференциальных операторов", Дифф. уравнения, 1973, Т.9, * 2, С.228-240

13. Евзеров И.Д. "Области определения дробных степенейобыкновенных дифференциальных операторов в пространствах ь ",РМатем. заметки , 1977, т.21, Л 4, с.509-518

14. Камке Э. "Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям", М., Наука, 1976

15. Кацнельсон В.Э. "Об условиях базисности системы корневых векторов некоторых классов операторов", Дис. .канд.физ.-мат. наук. Харьков, 1967

16. Кацнельсон В.Э. "О сходимости и суммируемости рядов по корневым векторам классов операторов", Функциональный анализ и его приложения, 1967, т.1, № 2, с.39-51

17. Келдыш М.В. "О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов", УМН, 1971, 26, $4, с.15-41

18. Корн Г., Корн Т. "Справочник по математике", М., "Наука", 1970

19. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. "Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций".М.:Наука, 1966

20. Крейн М.Г. "Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения",I, Матем. сборник, 20(62),(1947), с.431-498

21. Крейн М.Г. "Теория самосопряженных расширенийполуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения",II, Матем. сборник, 21 (63), (1947), с.365-404

22. Линь Д.Ц. "Теория гидродинамической устойчивости", ИНТИ,М.,1958.

23. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. "Неоднородные граничные задачи и их приложения", М., Мир, 1971

24. Маркус A.C., Мацаев В.И. " 0 сходимости разложений по собственным векторам оператора, близкого к самосопряженному", Математические исследования. Вып.61. Кишинев: Штиница, 1981 с.104-129

25. Рид М., Саймон Б. "Методы современной математической физики", т. 2 "Гармонический анализ. Самосопряженность", Москва, Мир, 1978

26. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. "Лекции по функциональному анализу", М., Мир, 1979

27. Романов В.А. "Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта", ДАН СССР, 1971, 196, вып.5,с.1049-1051.

28. Степин С.А. "Несамосопряженная модель Фридрихса в теории гидродинамической устойчивости", Функ. анализ 1995

29. Трибель X. "Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы". М., Мир, 1980

30. Троицкая С.Д. "Некоторые спектральные свойства задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости". Дисс. .канд. физ.мат. наук, М.1992.

31. Трубачев A.B. "Локализация спектра колебаний вязкой капиллярной жидкости". Математические заметки. 1990. Т.47, вып.5. с.116-126.

32. Шейпак М.А. "О базисных свойствах системы корневых векторов одной задачи гидфодинамики", Успехи мат. наук, Н, 1994, с.120

33. Шейпак И.А. "Спектральный анализ несимметрично-возмущенного течения Куэтта и связанные с ним вопросы гидродинамической устойчивости", Мат.заметки, т.57, вып.2, 1995

34. Юдович В.И."Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости", ДАН СССР, 1965,161 , вып.5, с.1037-1040.

35. F.V. Atkinson, Н.Langer, R.Mermicken, A.A.Shkalikov "The essential spectrum of some matrix operators", Mathematische Nachrichten, No.167,1994, 5-22

36. Chandras ekhar S. "Hydrodynamic and hydro dynamic stability", Oxford Univ. Press, England, 1961

37. DiPrima R.O., Habetier G.J. "A completness theorem for nonselfadjoint eigenvalue problems in hydrodynamics stability", Arch. Rational Mech. and Anal., 34, » 3, 218-227

38. Eisenfeld J. "Regularity conditions in linear hydrodynamic stability", Journal of Math. Analysis and Applications, vol.31, J§ 1, July 1970

39. Mennicken R., Schmid H., Shkallkov A.A. "Criterion on eigenvalue accumulation of nonlinear spectral problems for ordinary differential operators with singularities"

40. Schensted I.V. "Contributions to the theory of hydrodynamic stability", Ph. D. Thesis, Univ. of Michigan

41. Shkalikov A.A., Treter C. "Kamke's problem properties of the eigenfunctions", MathematJsche Nachrichten, No.170,1994»

42. Synge J.L. " On the stability of viscous liquid between two rotating coaxial cylinders", Proc. Roy. Soc., A, 167, 250-256.

43. Taylor G.I. "Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders", Phil. Trans.,A,223,289-343