Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, порожденных линейными отношениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Дидснко Владимир Борисович

Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, порожденных линейными отношениями

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

2 О СЕН 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2012

005047118

005047118

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор фи: ш ко- м атом ати ч ее к пх наук,

профессор Баскаков Анатолий Григорьевич, Воронежский государственный университет зав. кафедрой математических методов исследования операций

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Бичегкусв Маирбск Сулсймаиович, Северо-Осетнпский государственный университет

зав. кафедрой функционального анализа и дифференциальных уравнений.

доктор физико-математических наук, профессор Псров Анатолий Иванович, Воронежский государственный университет профессор кафедры нелинейных колебаний

Ведущая организация: институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 16 октября 2012 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета. Автореферат разослан "б " сентября 2012 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.033.22

д.ф.-м.н., профессор Ю.Е. Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Диссертация посвящена исследованию вопросов существования и качественных свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами и граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений, исследованию дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями и дифференциальных уравнений (операторов) с периодическими коэффициентами.

Состояние качественной теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах долгое время отражали известные монографии Ю.Л. Далсцкого, М.Г. Крейпа "Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве", Х.Массера, X. Шеффера"Линейные дифференциальные уравнения п функциональные пространства", авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В последние семнадцать лет была установлена глубокая связь между теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, теорией полугрупп операторов, теорией разностных операторов (как непрерывного аргумента, так и дискретного), снсктральной теорией линейных отношений. Новые подходы развивались в работах А.Г. Баскакова, Ю.Д. Латушкина, Ф. Рсбигера, Р. Шнаубсльта, А. Фавини, А. Яги, Д. Хенри, М.С. Бичегкуева, В.М. Брука, Г.В. Дсмидснко.

Необходимость в использовании спектральной теории линейных отношений возникает также при изучении дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. Изучению таких длфференциаль-

ных уравнений посвящено большое число работ, в частности, монографии А. Фавнин, Л. Яги "Degenerate evolution equations in Banach spaces", Г.В. Дсмидснко, C.B. Успенского "Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной".

Дифференциальные уравнения на конечном промежутке с граничными условиями, заданными нарой линейных операторов па конечномерном фазовом пространстве изучались з монографии Ф. Лткинсона "Дискретные и непрерывные граничные задачи". В ней отмечалось (стр. 9): "В высшей степени желательно было бы развить соответствующую теорию для уравнений в частных производных и их аналогов; однако дискретная теория, и, тем более, синтез двух теорий, представляются здесь очень слабо развитыми".

Таким образом, развиваемая в диссертации теория краевых задач для абстрактных параболических уравнений является актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании вопросов существования и свойств решений дифференциальных уравнений с абстрактными граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений, в исследовании дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями, а также в исследовании дифференциальных уравнений на всей оси с неограниченными периодическими коэффициентами.

Методика исследования. В работе используется спектральная теория линейных операторов и ллиейных отношений, методы дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, методы функционального анализа.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:

1. Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в опреде-

ленном состоянии обратимости дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения. Полученные результаты применяются к случаю, когда граничные условия задаются при помощи упорядоченной пары линейных операторов.

2. Описан спектр дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения.

3. Найдены необходимые н достаточные условия непрерывной обратимости и фредгольмовостн дифференциального оператора с многозначным импульсным воздействием в фиксированный момент времени.

4. Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в определенном состоянии обратимости дифференциального оператора с неограниченными периодическими коэффициентами как в пространстве периодических, так и непериодических функций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют в основном теоретическую ценность. Они могут быть использованы для исследования дифференциальных уравнений с. краевыми условиями, задаваемыми упорядоченной парой линейных операторов, исследования дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями, а также для исследования дифференциальных уравнений на всей числовой оси с неограниченными периодическими коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались па Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008,

2010, 2012, па Крымских осенних математических школах 2008. 2009, 2010,

2011, на конференции ОРОЕ 2011 (Москва), на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях В ГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1 И]. Работы [7, 8] оиубл и копаны в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и библиографии, включающей 71 наименование. Общий объем диссертации 105 страниц.

Содержащие работы

Во введении описывается постановка задачи, дастся краткий обзор литературы и полученных результатов.

В диссертации определение и исследование дифференциальных операторов осуществляется с использованием семейства эволюционных операторов.

Пусть Л это пли некоторый отрезок числовой прямой [а,Ь], или вся числовая прямая К. Символом Д обозначим множество Л хЛ Отображение Ы : Д —» Еп(1Х, где Ет1Х банахова алгебра линейных ограниченных операторов на банаховом пространстве X, называется (сильно непрерывным) семейством эволюционный!: операторов на 1, если выполнены следующие условия:

1) Ы{1, I) = I ■- тождественный оператор для любого Ь € Л;

2) К^.чЩ.ч.т) --= Ы{1, г) для всех ¿, я, т из Л;

3) отображение (£, я) I—> 1А(1,я)х : Д -» X непрерывно для любого х €

4) эир ||г/(г,.ч)|| = м < оо. о<(-.1<1

Отметим, что в случае, когда 1 является отрезком, условие (4) можно убрать, в силу принципа равномерной ограниченности.

Если семейство Ы определено лишь на множестве Д+ = {(¿,.з) £ ДД> г}, то тогда оно начинается семейством эволюционных операторов «вперед».

Особо отмстим, что рассмотренные в диссертации линейные операторы строятся но произвольному эволюционному семейству операторов и для них тем не менее применяется термин «дифференциальный оператор».

Каждому семейству эволюционных операторов Ы : Д —> ЕаЛХ можно сопоставить линейный оператор Стах : 0(Стнх) С ¿[(Л, X) —> Ь^Л, X), который определяется следующим образом. Непрерывная функция х : 1 —> X включается в 0{С„ШХ), если существует функция / 6 Ь\{Л, X) такая, что

для пары функций (х, /) выполняются равенства

<

а:(0=И(1,а)1(я) + /Щ,Т)/{Т) (1т, (М)еД. (1)

я

При этом полагается С„т1х = /.

В глаие 1 приведена сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории линейных отношений и теории упорядоченных пар линейных операторов.

В диссертации рассматриваются следующие функциональные пространства. В диссертации рассматриваются следующие функциональные пространства. Символом Сь = Сь($,Х) будем обозначать банахово пространство непрерывных и ограниченных па Л функций, принимающих свои значения в банаховом пространстве X, с нормой, определяемой равенством

1М1 = аир||х-(0П-

1еЛ

Символом С\ = Сх(К,Х) будем обозначать замкнутое подпространство из С/,(М,Х) периодических периода 1 функций.

Через Ь" = Ь7'(3,Х),р 6 [1,оо], обозначим банахово пространство измеримых но Бохперу функций, действующих из Л в X, для которых конечна

величина (принимаемая за норму в соотвсствующем пространстве)

Nln = (J |Иг)||Мг)1/Р,

л

НхЦоо = ei'.ssup||:c(r)||, р = оо.

rej

Через L'l = L\(ll, X), ре [1, со], обозначим банахово пространство измеримых но Бохперу периодических периода 1 (классов) функций, действующих из RdX, для которых конечна величина (принимаемая за норму в

соотвес.твующем пространстве)

1

iMiр=а Mrwdr)1'", РФ оо,

о

11x1100 = ess sup ||x(t)||, р = оо.

7-e|o,l]

Далее символом .F(R, X) обозначается одно из перечисленных выше пространств функций, определенных на все осн — L''(R, X), р 6 [1, оо], U;{R,X), р е [1, оо], С!(М,Х). Символом Тх = бу-

дем обозначать пространства периодических функций К, X), р Е [1, оо], Ci(K,X). Символом Р({а,Ь},Х) будем обозначать пространство функций, определенных на отрезке [о, Ь] L''([a,b},X), р 6 [1,оо], Сь([а,Ь], X).

Однородным пространством двусторонних последовательностей !Fd = !Р{Ъ,Х), ассоциированным с пространством будем называть ба-

нахово пространство последовательностей 1Р{Ъ,Х), суммируемых со степенью 1 < р < оо, если F совпадает с пространством IJ'; банахово пространство ограниченных последовательностей 1оо{Ъ, X), если Т совпадает с одним из пространств L°° или Сь\ банахово пространство /(Z, X) стационарных последовательностей, т.е. таких последовательностей х, что х(п) = х(к), для всех к,тг 6 Z , если Т совпадает с одним из пространств периодических функций С\ или L'1.

В главе 2 изучается дифференциальный оператор £г : О(Сг) С Р([а,Ь],Х) -> Т([а,Ь\,Х) на отрезке [а,Ь], который строится но оператору Стах И граничным условиям, заданным при помощи некоторого линейного отношения Г. Непрерывная функция х : [а, 6] —> X, для которой (х(а),х(Ь)) 6 Г, включается в £>(£г), саги существует функция / € Т([а, 6], X) такая, что £п1ахх = /.

При этом полагается £\ х = /. Отмстим корректность определения оператора £г (т.е. единственность функции /, построенной но х).

Основные результаты первой главы связаны с утверждением о том, что оператор £г обладает такими свойствами как непрерывная обратимость, инъективность, сюръсктивность, фрсдгольмовость и др. (см. следующее определение) тогда и только тогда, когда этим свойством обладает линейное отношение Г —Ы(Ъ,а).

Определение 2.1.2. Пусть Л некоторое линейное отношение из 1Ж(Х), где X --- банахово пространство. Рассмотрим совокупность условий, которые могут быть выполнены для отношения Л:

1) Л е Ы1С{Х)-

2) КегЛ = {0}, то есть отношение Л ипъективпо;

3) отношение Л корректно (равномерно инъективно), т.е. КегЛ = {0} и обратное отношение ограниченно;

4) а(.Д) = (ИтКегЛ < оо;

5) КегЛ замкнутое дополняемое подпространство в Х\

6) 1тЛ = 1тЛ\

7) 1тЛ - замкнутое дополняемое в X подпространство;

8) 1тЛ замкнутое подпространство конечной коразмерности Р(Л) = сосНт1тЛ\

9) 1тЛ = X, т. с. Л егоръектнвпое отношение;

10) отношение Л непрерывно обратимо.

Теорема 2.2.1. Оператор непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимо отношение Г — Ы{Ь,а), при этом обрат-

ь

ный оператор представим в виде (£р1/)(0 = / С(1,з)/(з) (1з, I е [а, Ь], / еГ([а,Ь},Х), где

С{1 я) = / и&а){Т-ЩЪ,а))-ЩЪ,а) + Ы(1,з), з < \и{1,а){Г-и(Ь,а))-1и(Ь,з), з > I.

Теорема 2.2.2. Оператор Су фредгольмов тогда и только тогда, когда фредгольмовым является отношение Г — Ы(Ь,а). Если оператор СГ фредгольмов, то (ИтКегСг = (1гтКег(Г - Ы{Ь,а)), сос1гт1тСг = со<Ит1т{Г -1А{Ь,а)), а значит, и их индексы совпадают.

Теорема 2.2.4. Если для оператора £г выполнено одно из приведенных в определении 2.1.2 десяти свойств, то соответствующим свойством обладает отношение Г — 14(1, а). Любое ш десяти свойств определения 2.1.2, выполненное для отношения Г -Ы{Ь,а), исключая, быть может, первое и пятое свойства, выполнено и для оператора £г.

В главе 3 изучается дифференциальный оператор С : О(С) С о, ¿2], X) на отрезке [1а, £2], который строится при помощи семейства эволюционных операторов Ы, граничных условий, заданных при помощи замкнутого линейного отношения Г и многозначного импульсного воздействия, также определенного при помощи замкнутого линейного отношения А.

Символом С = C{[ta,t2[,X) обозначается пространство непрерывных на каждом из промежутков [to,ti] и Сi> ^2] (¿1 некоторая фиксированная точка из интервала (to, ¿2)) ограниченных функций х : [¿о, £2] —> X, имеющих предел справа x+(ti) в точке t\. Норму в С определим равенством

IMI — sup \\x(t)\\. ie [/„./2)

Стандартным образом можно показать, что пространство С является банаховым.

Функция х из С, для которой выполняются условия

(x(ta),x{b)) е Г, (x{ti),x+(h)) е Л,

включается в область определения D(C) оператора £, если существует такая функция / из С, что для пары функций (:с,/) равенства (1) выполняются для всех (t,s) таких, что to < s < I < t\ пли t\ < s < t < ti-

При этом полагается Cx = /. Отметим корректность определения оператора С (т.е. единственность функции /, построенной по х). Введем в рассмотрение линейное отношение

и два подпространства из X

Ху = TQC\U{t2,li)AQ, X-i — U(t\, ta)D(r) + D(A).

Теорема 3.2.2. Оператор С непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является отношение V и выполняются равенства

Ху. = {0}, 11

х2 = х.

Теорема 3.2.3. Оператор С фредгольмов тогда и только тогда, когда фредгольмовым является отношение Т>, подпространство Да является конечномерньш и подпространство имеет конечную коразмерность. Если оператор £ фредгольмов, то его индекс можно вычислить по формуле

indL — dimKerV — codimlmT) 4- dimX\ — codimX

В главе 4 изучается дифференциальный оператор £ : D(£) С ^(R, X) —> ^"(R, X), построенный но периодическому семейству U : Д+ —> EndX эволюционных операторов «вперед». Непрерывная функция х из ■7-"(R, X) включается в область определения оператора С, если существует функция / S JF(R, X) такая, что для любых (í, .s) е Д+ верны равенства (1). При этом полагается Сх = /. Отмстим корректность определения оператора £ (т.е. единственность функции /, построенной по х).

Изучение оператора £ осуществляется при помощи разностного оператора V : X) —> T,iCL, X), определяемого равенствами

(Vxd)(n) = xd(n) -U(l,0)xd(n - 1), xd g Td, n£Z.

Показано, что за многие свойства оператора £ такие как непрерывная обратимость, фрсдгольмовость, инъсктивность, сюръективность и др. (см. следующее определение) отвечает оператор Т>.

Определение 4.2.1. Пусть А : D(A) С X —» X — замкнутый оператор. Рассмотрим следующие условия:

1) Кет А = {0} (т.е. оператор А ииъективеи);

2) 1 < n = dimKerA < оо;

3) КегА дополняемое подпространство либо в D(A)(c нормой графика), либо в Х\

4) 1тА = 1т А, что эквивалентно положительности величины (минимального модуля оператора А)

7(Л)= = ¡пГ И"11

хеО{А)\КсгА сНз1{х, КегА) {х,у)еЛ,х$КстЛ сИа1(х, КегА)' где с1гзг{х,КегА) = Ых^К1;гА ||х - :г0||;

5) Оператор А корректен (равномерно шгьсктивсн), т.е. КегА — {0} и 7(А) > 0;

6) 1тА — замкнутое дополняемое в X подпространство;

7) 1тА замкнутое подпространство из Л' коразмерности 1 < гп = со(Ит1тА < оо;

8) 1тА = X, т.е. А -- сюръектнвный оператор;

9) оператор А непрерывно обратим.

Если для А выполнены все условия из совокупности условий 5 = {¿1,... , где 1 < -¿1 < г2 < • • • < '/с < 9, то будем говорить, что оператор А находится в состоянии обратимости 5'. Множество состояний обратимости оператора А обозначим символом ¿^¿„„(Л).

Теорема 4.2.1. Оператор £ непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является оператор Т>. Обратный оператор в пространстве непериодических функций может быть представлен в виде

е

Теорема 4.2.2. Оператор С. непрерывно обратим а пространстве периодических функций Т\ тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является оператор I — Ь({ 1,0). Обратный к С оператор задается

формулой

(£-1/)(0 = IС(1,т)Лт)с1т, I е [0,1], о

где функция (Грина) (3 : [0,1] х [0,1] —> ЕпйХ имеет вид

^ ( (Щ1Л-1)-1)ГШт), 0 < т < г < 1,

ии,т) = <

[ (Ы(и-1)-1)У1и{1,т-\), 0 < £ < г < 1.

Теорема 4.2.7. Для операторов С и Т> имеет, место равенство их множеств состояний обратимости:

(V).

Теорема 4.2.8. Для операторов С и I —1/(1,0) в пространстве периодических функций гиисст место равенство их множеств состояний обратимости:

5г,П1,(£) = Л>1ГО(/-^(1,0)).

Список публикаций по теме диссертации

|1) Дидснко В.Б. К сиектральиой теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Дидснко // Вестник ВГУ. Физика. Математика. - 2007. - № 2. - С. 104-107.

|2] Дидснко В.Б. Об обратимости и фредгольмовости операторов, порожденных семейством эволюционных операторов и краевыми условиями, заданными с помощью линейного отношения / В.Б. Дидснко // Вестник ВГУ. Физика. Математика. - 2008. - № 2. - С. 71 74.

[3| Дидснко В.Б. К спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Дидснко // Труды Во-

роисжской Зимней Математической Школы С.Г. Крейпа. 2008 С. 114 116.

[4] Дидснко В.Б. К спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Дидснко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейпа. Тез. докл. 2008. С. 49 50.

[5] Дидепко В.Б. Об обратимости и фрсдгольмовости дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями / В.Б. Дидснко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейпа. Тез. докл. 2010. С. 54.

[6] Дидепко В.Б. О состояниях обратимости дифференциальных операторов с неограниченными периодическими операторными коэффициентами / В.Б. Дидснко // Международная конференция КРОМШ. Сборник тезисов. - 2011. С. 18.

[7] Дидепко В.Б. О непрерывной обратимости и фрсдгольмоиости дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями / В.Б. Дидснко // Вестник ВГУ. Физика. Математика. 2011.

№ 1. - С. 134 137.

[8] Дидепко В.Б. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, определяемых линейным отношением / В.Б. Дидснко // Матсм. заметки. - 2011. -- Т. 89. № 2. С. 226 240.

[9] Дидепко В.Б. Состояния обратимости дифференциальных операторов с неограниченными периодическими операторными коэффициентами /

В.Б. Дидсико // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крей-па. Тез. докл. 2012. С. 54 55.

[10] Дидспко В.В. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными периодическими коэффициентами: препринт № 44 НИИМ ВГУ : Июль 2012 / В. Б. Дидсико // Воронеж: Воронежский государственный университет, 2012. 20 с.

[11] Didcnko V.B. On continuous invcrtibility and Fredholm property of :;he differential operators with multivalued impulse effects / V.B. Didcnko //' The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Peoples' Friendship University of Russia, Russia. - 2011. - P. 18-19.

Работы [7], [8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мннобрнауки РФ.

Подписано в печать 03.09.12. Формат 60*84 '/,6. Усл. иеч. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 837.

Опгечатако с готокого орипшал-макега в тнио1раф|ш Издательско-полтрафнческого центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Обозначения.

Введение

Глава 1. Некоторые сведения теории линейных отношений и упорядоченных пар линейных операторов.

1.1. Основные понятия теории линейных отношений.

1.2. Основные понятия теории упорядоченных пар операторов

1.3. О представлениях линейных отношений на конечномерных пространствах

1.4. Об условии непустоты резольвентного множества упорядоченной пары линейных операторов в конечномерных пространствах

Глава 2. Состояния обратимости дифференциальных операторов с граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Условия нахождения дифференциального оператора в заданном состоянии обратимости.

2.3. Случай упорядоченной пары линейных операторов.

Глава 3. Непрерывная обратимость и фредгольмовость дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Теоремы о непрерывной обратимости и фредгольмовости

3.3. Примеры.

Глава 4. Состояния обратимости дифференциальных операторов с неограниченными периодическими операторными коэффициентами

4.1. Постановка задачи.

4.2. Состояния обратимости.

Диссертация посвящена исследованию вопросов существования и качественных свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами и граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений, исследованию дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями и дифференциальных уравнений (операторов) с периодическими коэффициентами.

Состояние качественной теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах долгое время отражали известные монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна [20], Х.Массера, X. Шеффера [46], авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

Авторы отчетливо сознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы". (Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн, стр 12) мы совершенно игнорируем возможность распространения теории на случай, когда значения А (в уравнении вида х + Ах = Н - прим. автора) суть неограниченные операторы в X. Такое обобщение теории представило бы, конечно, огромный интерес, особенно ввиду возможных приложений к уравнениям в частных производных". (X. Массера, X. Шеффер, стр. 11)

В последние семнадцать лет была установлена глубокая связь между теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, теорией полугрупп операторов, теорией разностных операторов (как непрерывного аргумента, так и дискретного), спектральной теорией линейных отношений. Новые подходы развивались в работах А.Г. Баскакова [3, 4, 8], Ю.Д. Латушкина [56, 64], Ф. Ребигера, Р. Шнаубельта [65], А. Фави-ни, А. Яги [59], Д. Хенри [48], М.С. Бичегкуева [13, 14], В.М. Брука [16-18], Г.В. Демиденко [24].

Рассматриваемому дифференциальному уравнению сопоставляется линейный дифференциальный оператор, действующий в подходящем функциональном пространстве. Изучение его спектральных свойств осуществляется:

1) с привлечением полугруппы разностных операторов Хоулэнда, генератором которой является исследуемых оператор;

2) сопоставлением изучаемому дифференциальному оператору разностного оператора, действующего в подходящем пространстве векторных последовательностей. Этот разностный оператор обладает рядом свойств исследуемого дифференциального оператора (их ядра имеют одинаковую размерность, образы одновременно замкнуты и имеют одинаковую коразмерность и т.д);

3) с привлечением спектральной теории линейных отношений на фазовом пространстве, если исследуемое дифференциальное уравнение рассматривается на конечном промежутке, а краевые условия заданы линейным отношением.

Необходимость в использовании спектральной теории линейных отношений возникает также при изучении дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. Изучению таких дифференциальных уравнений посвящено большое число работ, в частности, монографии А. Фа-вини, А. Яги [59], Г.В. Демиденко, C.B. Успенского [23].

Дифференциальные уравнения на конечном промежутке с граничными условиями, заданными парой линейных операторов на конечномерном фазовом пространстве изложена в монографии Ф. Аткинсона [2]. В ней отмечалось (стр. 9): "В высшей степени желательно было бы развить соответствующую теорию для уравнений в частных производных и их аналогов; однако дискретная теория, и, тем более, синтез двух теорий, представляются здесь очень слабо развитыми".

Таким образом, развиваемая в диссертации теория краевых задач для абстрактных параболических уравнений является актуальной.

В диссертации определение и исследование дифференциальных операторов осуществляется с использованием семейства эволюционных операторов.

Пусть Л — это или некоторый отрезок числовой прямой [а, 6], или вся числовая прямая М. Символом Д обозначим множество Л х Л. Отображение Ы : А —> ЕпйХ, где Егк1Х — банахова алгебра линейных ограниченных операторов на банаховом пространстве X, называется (сильно непрерывным) семейством эволюционных операторов на 1, если выполнены следующие условия:

1) Ы£) = / — тождественный оператор для любого £ Е Л;

2) в)и(8, т) = Ы(£, т) для всех I, г из Л;

3) отображение (£, в) I—> ¿/(£, в)х : А —X непрерывно для любого х £ X;

4) вир = М < оо. о<г-в<1

Отметим, что в случае, когда Л является отрезком, условие (4) можно убрать, в силу принципа равномерной ограниченности.

Если семейство Ы определено лишь на множестве А+ = {(£, в) Е Д,£ > в}, то тогда оно называется семейством эволюционных операторов «вперед».

Эволюционные семейства операторов естественным образом появляются в связи с представлением решений абстрактной задачи Коши с1х = А(г)х, г Е Л, (1) х0 Е £>(А(5))> 5 Е Л, (2) в предположении, что область определения 0(А(з)) оператора плотна в X для каждого в Е Л.

Будем говорить, что семейство эволюционных операторов Ы : А Епс[Х решает абстрактную задачу Коши (1), (2), если для любого в Е Л существует плотное в X подпространство Х8 из 1?(А(з)) такое, что для каждого хо Е Х3 функция х(Ь) = дифференцируема при всех t > б, х(£) Е £)(А(£)) и выполнены равенства (1), (2). В этом случае также будем говорить, что семейство Ы соответствует задаче (1), (2).

Если функция / : Л —> X принадлежит линейному пространству Ь\ос{Л, X) локально суммируемых измеримых по Бохнеру (классов) функций, определенных на Л со значениями в X, то (слабым) решением уравнения

1х = А(ф;+ /(*), ¿ЕК (3) при условии, что семейство и на Л решает задачу Коши (1), (2)) называется любая непрерывная функция х, удовлетворяющая при всех (£, й) Е А равенствам х{€) = £/(£, й):ф) +

И(*,т)/(т)<*т. (4)

Особо отметим, что рассмотренные в диссертации линейные операторы строятся по произвольному эволюционному семейству операторов и для них тем не менее применяется термин «дифференциальный оператор».

Каждому семейству эволюционных операторов Ы : А —» Еп<1Х можно сопоставить линейный оператор Стах : В(£тах) С Ь\(3,Х) —> ¿1(Л, X), который определяется следующим образом. Непрерывная функция х : Л -н► X 8 включается в 0(Стах), если существует функция / € X) такая, что для пары функций (ж,/) выполняются равенства (4). При этом полагается

Во второй главе диссертации для построенного описанным выше способом оператора Стах ставится граничное условие х(а),х(Ъ)) €Г, где Г — линейное отношение, т.е. линейное подпространство из декартового произведения X х X. Часто граничные условия задаются с помощью упорядоченной пары линейных операторов (Д В) (см. [2], [16], [18]), где операторы А, В из ЕпйХ. В этом случае для линейного отношения Г справедливо одно из следующих представлений

Г = {(Ах,Вх),х £ X}),

Г = {(ж, у) еХ хХ : Ах = Ву}.

В третьей главе изучаются линейные дифференциальные уравнения с многозначными импульсными воздействиями в фиксированные моменты времени. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями естественным образом возникают при описании эволюции процессов с кратковременными возмущениями. В этом случае удобно пренебречь длительностью этих возмущений, т.е. считать, что они носят мгновенный характер. Это приводит нас к необходимости рассматривать динамические системы с разрывными траекториями.

Линейные дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями в конечномерном пространстве рассматривались в работе [47] и в банаховом пространстве — в работах [52, 53]. В этих работах импульсные воздействия задавались с помощью линейного ограниченного оператора, определенного на всем фазовом пространстве. В то же время возникают задачи, в которых импульсные воздействия задаются многозначными отображениями, а также отображениями, область определения которых не совпадает со всем фазовым пространством, что позволяет рассматривать так называемые «смертные» системы, когда траектории, попадающие в некоторое множество, переводятся импульсным воздействием в пустое множество, т.е. «умирают» по Вожелю [70]. Например, такие задачи в случае конечномерного пространства были рассмотрены в работах [51, 67]. Также отметим монографию [68], в которой рассматривались дифференциальные включения с многозначными импульсными воздействиями.

В четвертой главе изучаются линейные дифференциальные операторы, которые строятся по периодическому эволюционному семейству Ы, т.е. такому, что К (1+1, 5+1) = 14(1, в) для любых £ и в из области определения. Также отметим, что в отличие от глав 2 и 3, в главе 4 рассматривается семейство «вперед», т.е. семейство, определенное только на множестве Д+.

Результаты диссертации опубликованы в [25-27, 31, 32, 34], и докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [28], 2010 [29], 2012 [33], на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010, 2011 [30], на конференции БРБЕ 2011 [57], на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ. Работы [31, 32] опубликованы в изданиях, включенных в список ВАК.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из четырех глав.

В главе 1 приведена сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории линейных отношений и теории упорядоченных пар линейных операторов.

В диссертации рассматриваются следующие функциональные пространства. Символом Сь = Сб(Л, X) будем обозначать банахово пространство непрерывных и ограниченных на Л функций, принимающих свои значения в банаховом пространстве X, с нормой, определяемой равенством ж|| = яир

Символом С\ = Сі(М, X) будем обозначать замкнутое подпространство из С&(Ж,Х) периодических периода 1 функций.

Через и = ¿/(Л, X), р £ [1,оо], обозначим банахово пространство измеримых по Бохнеру функций, действующих из Л в X, для которых конечна величина (принимаемая за норму в соотвествующем пространстве) /р = ІЖН^т) , РЇ оо,

ЦхЦоо = е^ввир ||х(т)||, р = ОО. тЄІ

Через Ь\ = X), р £ [1,оо], обозначим банахово пространство измеримых по Бохнеру периодических периода 1 (классов) функций, действующих из Ж в X, для которых конечна величина (принимаемая за норму в соотвествующем пространстве)

1/р

Ир Цх(г)Ц^г) рф оо, |оо = вир ||ж(т)||, р = ОО.

1-610,1]

Далее символом ^(Ж, X) обозначается одно из перечисленных выше пространств функций, определенных на все оси — 1^(Ж, X), р £ [1, оо], Сь(Ж, X), X), р £ [1, оо], Сх(Ж, X). Символом Т\ = .^(Ж, X) будем обозначать пространства периодических функций Ь\{Ж, X), р £ [1, оо], (Л(Ж, X). Символом 3~{[а, Ь],Х) будем обозначать пространство функций, определенных на отрезке [а, Ъ] — №{[а, 6], X), р £ [1, оо], Сь([а, Ь], X).

Однородным пространством двусторонних последовательностей Та = X), ассоциированным с пространством ^Г(Ж, X), будем называть банахово пространство последовательностей 1Р{X), суммируемых со степенью

1 < р < оо, если Т совпадает с пространством 27; банахово пространство ограниченных последовательностей если Т совпадает с одним из пространств Ь°° или С&; банахово пространство /(1<,Х) стационарных последовательностей, т.е. таких последовательностей х, что х(п) = х(к), для всех к,п , если Т совпадает с одним из пространств периодических функций С\ или Ь

В главе 2 изучается дифференциальный оператор Ст С а, Ь],Х) —> 3-([а, Ь],Х) на отрезке [а, Ь], который строится по оператору £тах и граничным условиям, заданным при помощи некоторого линейного отношения Г. Непрерывная функция х : [а, Ь] —> X, для которой (х(а), х(Ь)) £ Г, включается в В(£г), если существует функция / £ ^"([а, Ь],Х) такая, что С'тахЗ' УПри этом полагается С^х — /. Отметим корректность определения оператора £г (т-е- единственность функции /, построенной по х).

Основные результаты первой главы связаны с утверждением о том, что оператор £г обладает такими свойствами как непрерывная обратимость, инъ-ективность, сюръективность, фредгольмовость и др. (см. следующее определение) тогда и только тогда, когда этим свойством обладает линейное отношение Г — Ы(Ь, а).

Определение 2.1.2. Пусть А — некоторое линейное отношение из Ы1(Х), где X — банахово пространство. Рассмотрим совокупность условий, которые могут быть выполнены для отношения А:

1) А Е ЬЯС(Х);

2) КегА = {0}, то есть отношение А инъективно;

3) отношение А корректно (равномерно инъективно), т.е. КегА = {0} и обратное отношение ограниченно;

4) а(А) = (ІітКегЛ < оо;

5) КегЛ — замкнутое дополняемое подпространство в X;

6) ІтЛ = ІтЛ;

7) ІтЛ — замкнутое дополняемое в X подпространство;

8) ІтЛ — замкнутое подпространство конечной коразмерности /3(Л) = сосіітІтА;

9) ІтЛ — X, т.е. Л — сюръективное отношение;

10) отношение Л непрерывно обратимо.

Если для отношения Л выполнены все условия из совокупности условий Б = {¿1,.,^}, где 1 < І\ < І2 < ■ ■ ■ < Ік < 10, то будем говорить, что отношение Л находится в состоянии обратимости Б.

Теорема 2.2.1. Оператор Ст непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимо отношение Г —Ъ1(Ъ,а), при этом обратъ ный оператор представим в виде (£р1/)(і) = / в)/(в) сів, і Є [а,Ь],

Г(М,*), где

Л ' и(і,а)(Г-и(Ь,а))-ЩЬ,з)+Щі,з), з<і, и{і,а){Т-и{Ъ,а))-1ЩЪ,з), в > і.

Теорема 2.2.2. Оператор £г фредгольмов тогда и только тогда, когда фредгольмовым является отношение Г — Ы(Ь,а). Если оператор £г фредгольмов, то (ИтКегСг = сІітКег(Г — и(Ь,а)), сосІітІтСт — со(ІітІт{Т — Ы(Ь,а)), а значит, и их индексы совпадают.

Теорема 2.2.4. Если для оператора Сг выполнено одно из приведенных в определении 2.1.2 десяти свойств, то соответствующим свойством обладает отношение Г — Ы(Ь, а). Любое из десяти свойств определения 2.1.2, выполненное для отношения Г — 1А{Ъ, а), исключая, быть может, первое и пятое свойства, выполнено и для оператора С?

В §2.3 перечисленные выше результаты применяются к случаю, когда линейное отношение задано при помощи упорядоченной пары (А, В) линейных ограниченных операторов из ЕпдХ. Рассматриваются следующие граничные условия

Гх = {(.Ах,Вх),х е X}) = ВА-\

Г2 = {(ж, у) <Е X х X : Ах = Ву} = В'1 А.

Теорема 2.3.1. Если резольвентное множество упорядоченной пары (В,Ц(Ь,а)А) непусто, то для оператора Сг1 выполняется равенство а(СТ1) = {Л Е К : ех{ь~а) <Е а {В,К (Ъ, а) А)}.

Теорема 2.3.2. Если резольвентное множество упорядоченной пары (А, Ви(Ъ, а)) непусто, то для оператора £г2 выполняется равенство а(Сг2) = {АеК: еЛ^ 6 а(А, ВЫ{Ъ, а))}.

В главе 3 изучается дифференциальный оператор С : -0(£) С С([£—> СX) на отрезке [£0^2], который строится при помощи семейства эволюционных операторов Ы, граничных условий, заданных при помощи замкнутого линейного отношения Г и многозначного импульсного воздействия, также определенного при помощи замкнутого линейного отношения А.

Символом С = С([£о, £2], X) обозначается пространство непрерывных на каждом из промежутков [£о,£х] и (¿1,£г] (£1 — некоторая фиксированная точка из интервала (£о,£2)) ограниченных функций х : [£о,£г] —* X, имеющих предел справа x+(t\) в точке t\. Норму в С определим равенством s|| = sup ||x(f)||. te\toM

Стандартным образом можно показать, что пространство С является банаховым.

Функция х из С, для которой выполняются условия s(foWi2)) е г,

G Л включается в область определения D(C) оператора если существует такая функция / из С, что для пары функций (х, /) равенства (4) выполняются для всех (t, s) таких, что to < s < t < t\ или t\ < s < t < ¿2

При этом полагается Cx — f. Отметим корректность определения оператора С (т.е. единственность функции /, построенной по х). Введем в рассмотрение линейное отношение и два подпространства из X

Xi = ronW(£2,iiMO,

X2=U{hM)D{Y) + D(A).

Теорема 3.2.2. Оператор С непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является отношение Т> и выполняются равенства {0}, х2 = х.

Теорема 3.2.3. Оператор С фредголъмов тогда и только тогда, когда фредгольмовым является отношение Т>, подпространство Х\ является конечномерным и подпространство Х2 имеет конечную коразмерность. Если оператор С фредголъмов, то его индекс можно вычислить по формуле псІС = (іітКегТ) — сойітІтТ) + дітХі — сосіітХ2.

В главе 4 изучается дифференциальный оператор С : С

М, X) —» ^"(Е, X), построенный по периодическому семейству ¿У : Д+ —»• ЕпсІХ эволюционных операторов «вперед». Непрерывная функция х из ^"(М, X) включается в область определения оператора если существует функция / Є такая, что для любых й) Є Д+ верны равенства (4).

При этом полагается Сх = /. Отметим корректность определения оператора С (т.е. единственность функции /, построенной по х).

Изучение оператора С осуществляется при помощи разностного оператора Т> : ТаСЕ^Х) —> /^Д), определяемого равенствами

Т>ха)(п) = хй{п) - Ы{ 1,0)ха(п - 1), ха Z.

Показано, что за многие свойства оператора С такие как непрерывная обратимость, фредгольмовость, инъективность, сюръективность и др. (см. следующее определение) отвечает оператор Т>.

Определение 4.2.1. Пусть А : Е(А) С X —> X — замкнутый оператор. Рассмотрим следующие условия:

1) КегА = {0} (т.е. оператор А инъективен);

2) 1 < п — (ІітКегА < оо;

3) КегА — дополняемое подпространство либо в И (А) (с нормой графика), либо в X;

4) ІтА = ІтА, что эквивалентно положительности величины (минимального модуля оператора А)

7(а)= іп{ іп£ ¡МІ сеП(А)\КєгА (¿^¿(ж, КегА) (х,у)єА,х(£КегА СІІЗІ(х, КвгА) ' где йізЬ(х, КегА) = іпїХоЄКегА \\х - ж0||;

5) Оператор А корректен (равномерно инъективен), т.е. КегА = {0} и ч{А) > 0;

6) ІтА — замкнутое дополняемое в X подпространство;

7) ІтА — замкнутое подпространство из X коразмерности 1 < т = сосІітІтА < оо;

8) ІтА = X, т.е. А — сюръективный оператор;

9) оператор А непрерывно обратим.

Если для А выполнены все условия из совокупности условий 5 = {¿і,., г^}, где 1 < і\ < ¿2 < . < ік < 9, то будем говорить, что оператор А находится в состоянии обратимости 5. Множество состояний обратимости оператора А обозначим символом Зііпу(А).

Теорема 4.2.1. Оператор С непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является оператор Т>. Обратный оператор в пространстве непериодических функций может быть представлен в виде

С-'т) = [ ^(¿,г)е-Л^/(г) <ІТ, і Є М. оо

Теорема 4.2.2. Оператор С непрерывно обратим в пространстве периодических функций тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является оператор I — U(1,0). Обратный к С оператор задается формулой

1№) =

G(t,r)f(r)dr, ¿Є [0,1], где функция (Грина) G : [0,1] х [0,1] —» EndX имеет вид

G(t,r) =

U(t,t- 1) - I))~lU{t,T), 0 < т < £ < 1, (U(t, t- 1) - I)YlU{t, т-1), 0 < £ < т < 1.

Теорема 4.2.7. Для операторов С иТ> имеет место равенство их множеств состояний обратимости:

Stinv{^C?j — Stinv {V).

Теорема 4.2.8. Для операторов Cul — U( 1,0) в пространстве периодических функций имеет место равенство их множеств состояний обратимости:

Stinv{£) = Stinv{I -Щ 1,0)).

Ниже перечислены основные результаты диссертации.

1. Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в определенном состоянии обратимости дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения. Полученные результаты применяются к случаю, когда граничные условия задаются при помощи упорядоченной пары линейных операторов.

2. Описан спектр дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения.

3. Найдены необходимые и достаточные условия непрерывной обратимости и фредгольмовости дифференциального оператора с многозначным импульсным воздействием в фиксированный момент времени.

4. Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в определенном состоянии обратимости дифференциального оператора с неограниченными периодическими коэффициентами как в пространстве периодических, так и непериодических функций.

1. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход / А.Б. Антоневич — Минск: Университетское, 1988. — 233 с.

2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткин-сон М.: Мир, 1968. - 750 с.

3. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. заметки. 1996. - Т. 59. - № 6. - С. 811-820.

4. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов- / А.Г. Баскаков // Функц. анализ и его прил. 1996. - Т. 30. - № 3. - С. 1-11.

5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сиб. матем. журн. 2001. - Т. 42, - № 6. - С. 1231-1243.

6. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем. сборник. 2002. - Т. 193, - № 11. - С. 3-42.

7. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов / А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления. — М.: МАИ. Т. 9. - 2004. - С. 3-151.

8. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. 2009. - Т. 73, - № 2. - С. 3-68.

9. Баскаков А.Г. Оценки оператора вложения пространства Соболева периодических функций и оценки решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / А.Г. Баскаков, К.С. Кобычев // Дифферент уравнения 2011. - Т. 47, - №5. - С. 611-620.

10. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К.Л. Кук М.:Мир, 1967. - 548 с.

11. Бичегкуев М.С. Об ослабленной задаче Коши для линейного дифференциального включения / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки. — 2006. — Т. 79. № 4. - С. 483-487.

12. Бичегкуев М.С. Условия разрешимости разностных включений / М.С. Бичегкуев // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. - Т. 72, - № 4. - С. 25-36.

13. Бичегкуев М.С. Линейные разностные и дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки — 2009. — Т. 86. № 5. -С. 673-680.

14. Бичегкуев М.С. О спектре разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // Функц. анализ и его прил. — 2010. — Т. 44. — № 1. — С. 80-83.

15. Бичегкуев М.С. Об условиях разрешимости разностных уравнений с начальным условием из подпространства / М.С. Бичегкуев // Сиб. матем. журн. 2010. - Т. 51. - № 4. - С. 751-768.

16. Брук В.M. Об обратимых сужениях замкнутых операторов в банаховых пространствах / В.М. Брук // Функциональный анализ. Ульяновск. — 1988. № 28. - С. 17-22.

17. Брук В.М. О спектре дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / В.М. Брук // Изв. вузов. Матем. — 1989. — № 8. — С. 15-21.

18. Брук В.М. О спектре операторов, порожденных абстрактными граничными задачами в банаховом пространстве / В.М. Брук // Функциональный анализ. Ульяновск. — 1990. — № 31. — С. 35-41.

19. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах / Н. Бурбаки. — М.: Мир, 1977. — 600 с.

20. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн — М: Наука, 1970. 536 с.

21. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц М: ИЛ, 1962. - Т1. - 895 с.

22. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве / Н. Данфорд, Дж. Шварц. — М.: Мир, 1966. 1064 с.

23. Демиденко Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, C.B. Успенский. — Новосибирск: Научная книга. — 1998. — 438 с.

24. Демиденко Г.В. Экспоненциальная дихотомия линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами /Г.В. Демиденко, Ю.Ю. Клевцова // Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. 2008. - Т. 8. - № 4. - С. 40-48.

25. Диденко В.Б. К спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Диденко // Вестник ВГУ. Физика. Математика. 2007. - № 2. - С. 104-107.

26. Диденко В.Б. Об обратимости и фредгольмовости операторов, порожденных семейством эволюционных операторов и краевыми условиями, заданными с помощью линейного отношения / В.Б. Диденко // Вестник ВГУ. Физика. Математика. — 2008. — № 2. С. 71-74.

27. Диденко В.Б. К спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Диденко // Труды Воронежской Зимней Математической Школы С.Г. Крейна. — 2008 — С. 114-116.

28. Диденко В.Б. К спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Диденко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. — 2008. — С. 49-50.

29. Диденко В.Б. Об обратимости и фредгольмовости дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями / В.Б. Диденко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. — 2010. С. 54.

30. Диденко В.Б. О состояниях обратимости дифференциальных операторов с неограниченными периодическими операторными коэффициентами / В.Б. Диденко // Международная конференция КРОМШ. Сборник тезисов. 2011. - С. 18.

31. Диденко В.Б. О непрерывной обратимости и фредгольмовости дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями /B.Б. Диденко // Вестник ВГУ. Физика. Математика. — 2011. № 1. C. 134-137.

32. Диденко В.Б. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, определяемых линейным отношением / В.Б. Диденко // Матем. заметки. — 2011. — Т. 89. — № 2. С. 226-240.

33. Диденко В.Б. Состояния обратимости дифференциальных операторов с неограниченными периодическими операторными коэффициентами / В.Б. Диденко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. 2012. - С. 54-55.

34. Диденко В.Б. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными периодическими коэффициентами: препринт № 44 НИ-ИМ ВГУ : Июль 2012 / В. Б. Диденко // Воронеж: Воронежский государственный университет, 2012. — 20 с.

35. Горбачук В.И. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений / В.И. Горбачук, М.Л. Горбачук — Киев: Наукова Думка, 1984. 284 с.

36. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. - Т. 40, - № 6. - С. 1380-1408.

37. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыль-ник, П.Е. Соболевский — М.: Наука, 1966. — 499 с.

38. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн — М.: Наука, 1967. — 464 с.

39. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные операторы / В.Г. Курбатов — Воронеж: изд-во ВГУ, 1990. — 168 с.

40. Курбатова И.В. Некоторые свойства линейных отношений / И.В. Курбатова // Вестник факультета ПММ ВГУ 2009. - № 7. - С. 68-69.

41. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателад-зе — Новосибирск: изд-во ин-та математики, 2000. — 336 с.

42. Левитан Б.М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / Б.М. Левитан, В.В. Жиков М: Изд-во МГУ, 1978. - 205 с.

43. Миролюбов A.A. Линейные однородные разностные уравнения / A.A. Ми-ролюбов, М.А. Солдатов — М.: Наука, 1981. — 208 с.

44. Миролюбов A.A. Линейные неоднородные разностные уравнения / A.A. Миролюбов, М.А. Солдатов — М.: Наука, 1986. — 130 с.

45. Мышкис А.Д. Системы с толчками в заданные моменты времени / А.Д. Мышкис, A.M. Самойленко // Матем. сборник. — 1967. — Т. 74, № 2. -С. 202-208.

46. Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер — М.: Мир, 1970. — 456 с.

47. Самойленко A.M. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием / A.M. Самойленко, H.A. Перестюк — Киев: Вища Школа, 1987. — 288 с.

48. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. М.: Мир, 1985. - 376 с.

49. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс М.: ИЛ, 1962. - 829 с.

50. Arens R. Operational calculus of linear relations / R. Arens // Pacific J. Math 1961. - Vol. 11. - P. 9-23.

51. Aubin J.-P. Optimal impulse control problems and quasi-variational inequalities thirty years later: a viability approach / J.-P. Aubin // Optimal control and partial differential equations — IOS Press, 2001. — P. 311-324.

52. Bainov D.D. Asymptotic behaviour of the solutions of equations with impulse effect in a Banach space / D.D. Bainov and S.I. Konstantinov // Collect. Math. 1987. - no. 38 - P. 193-198.

53. Bainov D.D. Bounded and periodic solutions of differential equations with impulse effect in a Banach space / D.D. Bainov, S.I. Kostadinov, A.D. Myshkis // Differential and integral equations — 1988. — Vol. 1. — no. 2. — P. 223-230.

54. Benchohra R. Impulsive differential equations and inclusions / M. Benchohra, J. Henderson, S. Ntouyas — New York: Hindawi Publishing Corporation, 2006. 366 p.

55. Cross R. Multivalued linear operators / R. Cross — New York: M. Dekker,1998. 335 p.

56. Chicone C.C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C.C. Chicone, Y. Latushkin — American Mathematical Soc.,1999. 361 p.

57. Engel K.J. One-parameter semigroups for linear evolution equations / K.-J. Engel, R. Nagel — New York: Springer-Verlag, 2000. — 586 p.

58. Favini A. Degenerate evolution equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi // Pure and Applied Mathematics. A Series of Monographs and Textbooks. New York: M. Dekker, 1998. - 313 p.

59. Gohberg I. Basic classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek — Birkhäuser, 2003 — 423 p.

60. Hutter W. Hyperbolicity of almost periodic evolution families / W. Hutter // Tübinger Berichte zur Funktionalanalysis — 1997. — no. 6. — P. 92-109.

61. Kurbatov V.G. Functional Differential Operators and Equations / V.G. Kur-batov — Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers. — 1999. — 454 p.

62. Lakshmikantham V. Theory of impulsive differential equations / V. Laksh-mikantham, D. Bainov, P.S. Simeonov — World Scientific, 1989. — 273 p.

63. Latushkin Y. Evolutionary semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin, J. Montgomery-Smith // Funct. Anal. — 1995. — Vol. 127. P. 173-197.

64. Rabiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Rabiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum. — 1996. Vol. 52. -№. - P. 225-239.

65. Ronto N.I. Numerical-analytic methods in the theory of boundary-value problems / N.I. Ronto, M. Ronto, A.M. Samoilenko — World Scientific, 2000. — 455 p.

66. Saint-Pierre P. Hybrid kernels and capture basins for impulse constrained systems / P. Saint-Pierre // Hybrid systems: computation and control — Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. P. 378-392.

67. Skripnik N.V. Differential equations with impulse effects : multivalued right-hand sides with discontinuities / N.A. Perestyuk, V.A. Plotnikov, A.M. Samoilenko, N.V. Skripnik Berlin: Walter de Gruyter, 2011. — 300 p.

68. Sethi Suresh P. Optimal control theory: applications to management science and economics / Suresh P. Sethi, Gerald L. Thompson — Springer, 2005. — 504 p.

69. Vogel Th. Theorie des systemes evolutifs. / Th. Vogel — Paris: Gauthier-Villars. 1965. - 172 p.

70. Yang Tao. Impulsive Control Theory / Tao Yang — Springer, 2001. — 367 p.