Спектральный анализ дифференциальных операторов с нерегулярными краевыми условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

?Г5 ОД < "

0П,,п '¡ССР, На правах рукописи

, ¡и! и

КУБЕНОВА Шолпан Ивановна

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С НЕРЕГУЛЯРНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ*

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы, 1995

Работа выполнена на кафедре информатики и ВТ Актюбинско-го педагогического института им. X. Жубанова

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент Кангужин Б. Е.

Ведущая организация: Институт теоретической и приклад-

ной математики HAH Республики Казахстан

Официальные оппоненты: член-корреспондент HAH PK

Казахстана, доктор физико. математических наук, профессор Отельбаев М. О. кандидат физико-математических наук Бияров Б. Н.

Защита диссертации состоится 1995 года в !j часов

на заседании специализированного Совета К 14/А.01.05 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Казахском государственном Национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, улица Масанчи, 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан " ^ " ——1995 г.

Ученый секретарь

специализированного Совета л ^ ?

к. ф. - M.H., доцент ЙлгСмЖпЪ. М. КАДЫКЕНОВ.,

О Б Ü А Я I АРА & Г 3РИСТ3 К Л РАБОТУ

Актуальносгь ро&га*. Ядая разлозвння произвольно!! функции но рвсенням дайервнцяадыюго уравнения второго порядаа восходят ко ервь® на Штурма а Дяуехдля, отдаленного от нвв более ста пятядэсята лэт. Первое удовлэтворзтаяыш доказательства справиддивоста такого рззяззешю бала даны разлзчвыка автораьа в начата двадцатого столетия.

В частноста, в 1900 году G.D.BlrMioff загазая основа тагах разлив нна для парового круга класса дпТферзнщтдысп уравнэшй со сллниа вхоздзнгеи спектрального napsisTpa.

Плато даря работез D.Hilbert з его учеников интенсивное рззвзтпэ получону абстрактные еэтоды спзктральЕоа творзп лнввИеых операторов в гшъОвртовых пространствах. Эта тоорзя была доведана до оысокоа степени совершенства и. аоаадуО, деза завершена.

Однако спектральная теория линвйшп операторов es охватывает всех результатов G.В.ВIrkhofi. С другой стороны, теория G.D.DirkhofГ не охватывает некоторые иодельные задачи. В частности, спектральные вопроса, связанные с уравнением

y"(x)+qU)y(x)=f(2). X€(0.ö). (1)

я краевшш условиями

y(C)=ty{b), у»( (2)

еючтя азучены. Янвче говоря, «етоди c.D.Birkboif базировались на теории возмуданаЯ. где аффект кояффицнпнта qU) ко оа;утим главными членами в рядах теории вг.;?мупшниа. 'i.r.B'rkhorf исследует случаи, когда ошратор умн^жняля на лодченен

оператору двухкратного даДвреящфовэния. в приведенной задаче

(1 }-{2) такого подчинения авт, воздетой® чаш "на" рядов теория возмущэнии зависят как от опарзторз умзозвния на фунхцот д(х) так ж от оператора кратного даМеревцвроваакя. Ва этот факт указывает такхэ П.А.Марченко. Краевые условия вида (2) оа называет выроаявннмд. ПроШшма изучения спактрашш свойств, связанных с шроадешша краевыми условиями, актуальна.

Цель рабски, о данной работа изучены вопросы сшноты, минимальности, базясности систеш кораээдх функций кргеюЗ задачи (1)-(2).

Все теоремы Ейлюстрирутггся прааэром, когда

д(х)=а при 0£г<2» 9(х)=с щи |<г$ь,

при сис.

Всщчтя ноеизт. Попутно проводятся теореш о стктрв пргг новых ограничениях,охвативащаэ ранво взвэстага условия. Показано, что полнота в £^[0;Ы систеш юорнэвых функщи зависит от того, будет да некоторой интегральный оператор, строящйЮя по коефицнвнту д(х), замкнутым ала на*. Построена Оаортогоаальная система функций, даны оценки весовых чисел, козффщЕэнтоз Фурье произвольных Функции из 1г£0;Ы. исследован вопрос сходимости спектральных разложений.

Ценность рабеш. Результат работы представляю? прежде всего теоретический интерес.Они ногу? быть использованы в приложениях к решению уравнений в честных производных.

Апробация работ. Основные результаты диссертации докладывались а обсуждались на семинарах проф.С.И.Тешрбудатова,

П.Т.Тс-тггргаг-ова, чгвя-норр. HAH Ш, проф. ШЗетзавовз Д.У., Стэдъбазва И.О.. Ганснкбгава A.A., Касимова К.А. в ' Казахском государственно*! нашоваакаоя узшзорситетэ пканп Аяь-ФараОи, а такта Езтчво-зсйггадоват&яъскои сеюнарэ под руководство?! проф.Тггг^урэтоза И.Т. в Актобанскон гюдагогнческом института сзжз Х.Яубашвэ.

Byöjusxz&ti' Основана результата диссертации опу&тшсоваш в пятз вэчатшх работ, сппсо:: которых приводится в конце авто-

Cr.p>j:r,ypa и cübas. Сиесщгадги. Дкссертацяя состоят из ввэдзшя а двэшщатз параграфов, а такзз список литература. Внутри параграфов итерация теорем, фордул, утвэрздошш - ода-вврзая, прз ссилко аз другой параграф пспользуотся двойная щ.тар21ш:пзрэс>0 ч^сло укззшзаэт помзр параграфа, втора л - по-утиjn-звля,Teopavu, jsim, формула в соответствуем параграфе. Oäsи диссертация 92 страазц.

саовш содеш/шш мссвртащ

Во вввдзнсэ обосновнвазтся актуальность томы, приводятся краткий обзор спектральной теорзш липэйзих операторов, коротко излагается структура и содергашю дяссертащш.

Пусть qWeLgtO;*)].

В парагрз|9 1 пршзэдэпн извастнно розул>татн об операторах преобразования.

fnßepxüsiaxe 1 .i. Пусть у,(яЛ), у2(хД) фундаментальная' система рэпэвяй уравнения (2) с условиями Кош в точка х-^

у, • у\(И^гй'*)*0-

Тогда наДдутся &кг(хЛ). |Г|ос, ^[о.^] такие, что

с

-в

ш

при з* [о.£]. Здесь у ил) индекс равен 1 когда в формуле участвует знак индекс равен 2. когда берется знак

Указан« некоторые полезные заызчания. которые в дальнейшем будут учтены. Дается явная зависимость решения ли~ нейно-л.) даЭДъренциального уравнения второго порядка с пв ре ионным К'.'эИшдаьнтом от спектрального параметра X. В аараграф* Г доказан аналог формулы

Соз^^Созу^Соз^Со^^ (3)

для решении линейных дщ|ф&ренцаашш ураваеша с переменным КиаЩщяйНТоы.

Утверждение 2.1. Произвольно*? решение у(х,Х) дай*'ренцн-ального уравнения

у"Сх)+д(х)у(х)=*у(х), Хе (0,1/) (4)

удовлетворяет сладу веда формулам

ъ

2у||.х)у{[|д)=у'(ь)-у'(0>- [ С(х)у, (1>-х,Му(х.Л.№,

ь/г

<5>

2у(|д)у^(|д]=у(ЬНу(0) - Г (Цх)уг1Ъ-х,к)у{х.к)(И

ь/г

где д у^х.Х). у2(х,М -фундаментальная сис-

тема решении уравнения (4) на половине отрезка [С;]?] с услова-

еа Коза в нуле

у,(0)=у^(0)=1, У;(0)=У2(0)=0. Зтзтга, что для снгеаетрзчшх д(х) относительно ^ формуЛ1 (3) и (5) ежот одппяконыЗ вид, то есть интегральны! члеаов в (5) нет.

Б параграф» 3 вводятся оператор Ь да правку

с ойявстьэ определения

£(1)ф(х)еГ;[0;й]:у(0)=у(Ъ), у'(0)=-у'(Ъ)}.

Показано, что I соответствует нерегулярным по Онркгофу краевым уоЕоспли, а татю яшшвтся вродденныма по В.А.Иарченко. Указано, что в случае сЕгзэтрии ди) относительно ^ резольвентное !Г2ол}ство оператора I пусто. Задачей об описании операторов, сгзщпх пустое резольвентное тюгэстЕо.шггересовалсл С.Н.Круз-ков.

-гелю 3.1. Пусть <ЗСг)=0, то есть для ¥£е

Ю,Ы. Тогда спектр оператора I составляет вез коншшксную плоскость.

Замечание 3.1. Для регулярных краевых условий спектр соответствующего оператора - всегда счетное шогество, а для оператора I с скг-этраческш коэффициентом ц{х) относительно | спектр представляй шюгестео всех комплексных чисел.

Б параграфе 4 приведено интегральное представление характеристического определителя Д(Х) оператора I.

Теорема 4.1. Пусть у,(:гД), уг(х,Х) произвольная система регения уравнения (1), тогда спектр оператора Ъ совпадает с множеством нулей целой функции А (А), причем совпадение с _ учетом кратностеЗ:

b

ь/г

Замечание 4.1. Поскольку сопряхенный оператор I* к о®-рвтору L определяется так:

у(0)»-у(Ь). у'(0>*у'Н», то сшктр 1* так» определяется с вдмэедо функцна ИХ), введенной в теореме 4.1.

В слв душей теоремв дана явная зависимость характеристического определителя от X.

Ъюрела 4.2. Сувествует функция ШхЫ^СО.Ы такая, что ь

А(Х)Л D{X)dX.

J vi.

с-

Здесь se выполнена зависимость DU) от Qli) и от ядьр операторов преобразовании из параграфк 1. В качеств«? следствен вытекает, что когда д(х) вещественная функция, то спектор I сншнтрнчен относительно вещественной оси.

, . Ь

Б параграфе 5 показано,что при условия II» ^ J Q(s:)<izsC

й-.Г. ,

все нули А(\) лехат некоторой ограниченной полосе |1«Ул.|<h.

Для числе hit) нулей А(Х) в прямоугольнике |Г«УХ|</1, ьернь асимптотическая формула

n(t)=-|t+C(1), t^.

Этот результат из теорею 5.2.

В параграфе б собраны различные примеры потенциалов q(x), кордн собственные значения операторе L вычисляется точно.

Утберхдете 1. Спектр оператора 1,когдч q [х)=а. при Qsxs*),

- а -

<7(х)=с пря ^сгзй » еппсляэтся точео по слэдушдз фор*улня

В параграфе 7 резвется задета ютераааяцш: построить целуй от X фуикцшз <?(х,А.) так, что<3и лзэа <р(х,М. леоо ее производная по \ на сгэктрэ Ь порождала систеау коравшп функции опэраторз I. Здесь гэ указано, что гвокэтряческая кратность каждого собственного ¿значения равна 1, то есть каздза? ссСстгзппсе? зпаченнэ соответствует одно собственная Функция. Два влгорото построения соответствущей цвтючки собственной а присоединенных функций. Следующий результат связывает полноту спстека корнвЕых функций оператора Ь с сугэвствовашэа цакдзческого злзгзята.

СлеОсхбиэ 7.2. Есла оператор I ае шгеет циклического злегэнта, го спстека коргэвых фушсщш неполна в ^.Ю;*)}.

В параграфа 8 строятся интегральный оператор, ядро которого конструируется с пкзощьзэ д(х).

Теорет 8.1. Пусть

а такте ЕСеупбиянутый интегральный оператор замкнут, тогда система корнепых функций оператора I полна в ¿2;о;ь!.

Эа/взчанш 8.1. Дефект неполноты систекы собственных функций оператора I не превнаает двух, то есть размерность ортогопзльйого дополнения линейной оболочки собственных функций в 1г10,Ь) ее больше двух.

В качества слэдствая получаем, что оператор ь имеет шэлнув в систему корневых функций, если д(х)

определяется двумя разяаа значениям а и с:

q(j)=o при О<х<2' q(x)=c при íj<x<ü.

В параграфе 9 построено баортогональвая система к системе корневых функций оператора I. Указана структура матрацу Граша, если корневые функции и "баортогояалыше" к ним порождаются некоторыми целыми от к функциями. Из условия, что Аля произвильлого ненулевого решения ф(х.Х) уравнения (4) хотя бы одно из чисел ф(ОД), ф'(ОД) отлично от нуля, то система корневых функций оператора L »анннальна в £,[0;Ы [фи q(x)e J,2fO;bl. Здесь хэ вводится нормированные (весовые) числа

с£Х

л п

где рп кратность собственного числа

Следствие 9.1. Коэффициента Фурье функции /«^[О.ы по системе корневых функции оператора I имеет вид

«о.*</>- - ¿в 05й<ро-

Заметим, для одного собственного числа вводится одно весовое число, так как матрица Граша диагональна, причем на даагонале одинаковые числа.

В параграфе 10 деются асимптотические представления весовых чисел ао в зависимости от модуля собственного значения Хо кратности ро. Точнее доказана теорема 10.1.

Теорем Ю.1. Справедлива оценка для весового числа при

- 1Q -

t> р тр

J °SmvfTx +

-1T7Ï--- 5(1)).

po!2 °|У%-| °

где DU) зависит от перокошюго ко2ф£щязята q(x), заданна го оператор I, - символ Кровокэрз.

Когда qlx) определяется двукя разшся зааченшга а а с, то теорема 10.1 существенно уточнена сладупззм обрззоа.

УяверхОенш 10.1. Пусть q(x)<i при 0sx<2, qU)=c прз 2<х<0. Считаем, что а*с. Тогда васоЕнв числа (ап) пжвт сладувдгэ оцвзка прз ru®

W-¡¡î(,+ 5ci,J-

гдэ с, завасзт от b а (с-а).

В параграфе 11 праведэну оценка коэффициентов Фурье для функция из гильбертовою пространства 12Ю;Ы.

В jresseae» ил указаны оценка коэффициентов Фурье при

1*0!-«э. когда q(s) аз 0;Ы. Следующее утверждение ил уточняет лек*у 11.1 для частного вида q(x).

УявврвЗениз 11.1. Пусть q(x)=a пра С&г*!, с гтРи

2<х<0. Счзтаея, что ахс. Тогда коэффициенты Фурье функции f из 12(0;Ы оценивается следуадша образом:

ait)

п3'

о

о

ГДЭ ï»n(/)=J f{x)Sit&Qiz. fe=[-2"]-о

В параграфа 12 изучается вопрос базисностн систем корнвка функция опвратора £ пра q(2)=a, веля crejo.jJ, q(x)-c,

вела Стадом, что а*с. Получены асюегготичесювэ

формулы при к*а> для собственны! фунхцна оператора I.

Когда верно представить

- ^1)4 - ^ «ч* - • ёй ч - а*

♦Ч-УК* * [1Ы1»(, - д - ^ *,

Аналогичные формулы приведены для случая а таете для функции ф2к ) (л), соответствующим собственным значениям ,. Эти форадлы составляют содержание теореад 12.1. Затем оценена баортогональная система |фп(х)| в вида

Из одной теореш академика РАН В.А.Ильина следует, что система кортовых функции оператора £ не обладает свойством базисноетв в 0,Ы. здесь существенную роль играют оценка весовых чисел из утверждения Ю.1. Приведем основной результат диссертации.

ОпреОеиение. Если система функций |срп(х)| является базис«« Рисса в 1^,10,&], то говорят, что [фп(х)| есть базис со скобками Рисса в 1гШ,Ы.

Теорела 12.3. Система корневых функции оператора £ не образует базиса Рисса со скобками в пространстве 1г'Ю,Ы.

Таким образом, существенно уточняются результата

- 12 -

А.д.Ег&шсова. Пзвэстпо. что опэрэтора, ссотвотствущке усзлэнно-рогуллрньм краевые усxamsm, облддяпг сгстемэй корнэшх фуикцаа являщихся баззссеа Рисса со скобклкз. Наш рэзулътат дополняет эта факта: оператор с иврегулярншш креэЕааа условзянз го обладает ал свойствен» базисаоста Расса, на свойством оэзасвостя Рпсса со скобками.

Результаты дяссортецза существенно опирались на сусэспюзагга операторов преобразования для данвйншс дафферэнцнальЕых уравнений второго порядка.

Везную роль пгрзвт формулы среднего значения прз доказательстве штт&гралыюго представления характеристического определителя. Ассаатотака собственных значений оператора I базировалась на кетода1 тэорзз цзлах функщш, использовались теор&ны Б.Я.^йезнв о нулях почтя-пвреодзческнх функций.

Построеш» бшртогональвой cectoisi осуществляется коийанЕфовашзи рассувдэнпй В.А.Марченко а А.Т.Твлдцхина.

Оубмтщщ по сехе Оиссерягцш:

1. Густотота спектра нерегулярной задача зависит от длины носителя антвсЕ£©трачЕой часта потенциала. //деп.,в КазгосйНТй. еуп.З, -12с, R461D-Ra94, шага, 1994. (соавтор Каигугин D.E.)

2. Об одгой нерегулярной задачи с краевым условиями. //ДОП., в К83Г0СИНТЙ, еш.2, -17с, К5В66-ХаЭ5, Алматы, 1995.

3. О систекэ KopseEax функций одной нерегулярной аадачз.//дэп., в КазгосйНТй, вып.б, -7с, N5867-Ка95, Алнаты, 1995.

4. Пргэр дифференциального оператора не емээдэго базиса

Рисов со скобкаш.//Материал* Еасолы-се манера по математике в механике, посвященного 60-летию члена-корреспондента HAH ГК Кяомовй К.А., с.64, Алматы. 19%. (соавторы Естаева Г., Каягухин D.E.)

5. О спектре оператора Коши-Риыаяа. //Современные вопросы теории функции и функционального анализа. Караганда. 1995. С.Р9-34.

Кубововз Ш. П.

гатллрда шес штс к шартты демерешиш®

ОГШРАТОРЛАРЛУП СПЕКТРЛ1К AHAJEDI ТтарКЩКА

Б?л зтшста гзш сета к есаппя y"(x)-Kj(x)y(x)=Xy(x) уСО)=±y(t», y'(0)=ty'(b). КЭЕ31КТ1 фуннцнялар ат&злер! ш g тохвдталнгц, шнииалыжн, ба-зпстипп вдрастарулган.

Баргнн теореналар q{x)=a, егер Oíxsjj, <?(х)=с, егер gcrsö, щадага шс, шсалгада керше табады.

LtoiaiKTi функдаялар srñe^epi шя тошктиги Х2[0,Ы кещст1ПНД9 q(x) коэффацнэнтгер! аргфШ! к? рила тин нзтеграль-лнк операторшгщ гтьздтештша тэуелдалш кврсеп лген.

Вюртогональ функциялар anrßeci ктрылган, Г^Ю.Ы кещсп -пвдег! кез келген функциялярднч Фурье коэф$ацненттер1 бага-ланган, спектра к шктеулер&н гинакталнги зерттелген.

Жткус яэтигелер: теорнялыц магналынтн 01р!нш кезекко крядн. Бул нэт1ш»лерд1 дербес тунндылы тевдеулер сешиянде Крлдануга бола дм.

- 1Ь -

Kabenova Six. I.

SPBCESISf mHSTS OF DIFFERENTIAL OPERASOBS WISH IEKEGDLiB 1IEITIKG CCStDITIOIS.

iBsmcr

In the given soil: the following questions are illustrated: the completeness, the ninlinc. base system ot Halting problems' root functions

yiO)=±jy(i>). t/'(0)=i

All the theorems ere Illustrated clth the tens q(i)=a, »hen Osis^, ehen ikisb and asc.

At the km tire the author gives the examples of theorems abouf the spectrum under nest limitations sfclcb cover beforehand known conditions.

Besides, it is shosn here that the completeness In the system of root functions depends upon if a certain intergral operator, built Rith the help of the coefficient q(x), is closed or not.

In addition, the bloorthogonal system of function is built, then the valuing of weight numbers anod the arbitrary functions fros L?tO,b] of Purjie's cofflcients are given and, at last, the problem of agreement of spectrua expansion Is studied.

The results of the given work are of the theoretical interest, first of all. They can be used as an appendix in the solution of equation of private derivatives. o