Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с гладкими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

004602560

На правах рукописи

Гаджиева Тамила Юсуповна

Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с гладкими коэффициентами

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2010

004602560

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО «Дагестанский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Айгунов Гасан Абдуллаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гаврилов Валериан Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Жуков Михаил Юрьевич

Ведущая организация: Московский государственный областной

университет

Защита состоится «13» апреля 2010 г. в 15 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д212.208.29 по физико-математическим наукам в Южном Федеральном университете по адресу: 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8А, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного Федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская,

148.

Автореферат разослан it/ марта 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.208.29

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многочисленные проблемы теории колебании пространственно-распределенных систем приводят к необходимости изучения собственных значений и соответствующих им собственных функций дифференциальных операторов, а также к вопросам, связанным с изучением различных функционалов от собственных чисел и собственных функций.

Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа, когда выяснилось, что спектральный анализ несамосопряженных дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении задач квантовой механики.

Как известно, многие задачи математической физики, механики, теории упругости, оптимального управления приводят к задаче изучения спектра несамосопряженных дифференциальных операторов и разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям такого оператора. Классические результаты в этом направлении принадлежат Ж. Лиувиллю, Ж. Штурму, В.А. Стеклову, Г.Д. Бнркгофу, Я.Д. Тамаркину, М.Г. КреГшу.

Цель работы. Диссертация посвящена вопросам изучения асимптотического поведения собственных значений, оценкам ядра резольвенты и 2п -кратного разложения в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям несамосопряженной задачи, которая является обобщением известной задачи Реджс на уравнение 2«-го порядка для случая весовой функции р(х)Ф\ в регулярном (р(а) ^ 1) и в нерегулярном (р(а) = 1) случаях. Доказано единственность этих 2п -кратных разложений. В случае уравнения второго порядка получены оценки нормированных собственных функций задачи Т.Рсдже для гладких коэффициентов. Доказано, что нормированные собственные функции в регулярном случае равномерно ограничены, а в нерегулярном случае они растут как .

Научная новизна. 1. В регулярном случае (когда р(а)Ф 1) получены асимптотические формулы для собственных значений задачи Н„.

2. Доказано, что ядро резольвенты задачи #„ в регулярном случае

убывает как |Я| 2 "+1.

3. Указан класс функций , для которых имеет место 2/?-кратное разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям задачи Н„ в регулярном случае и доказано что эти разложения единственны.

4. Получена асимптотика собственных значений в общем нерегулярном случае (когда р(а) = \, р'(а) = р\а) = ... = р{1"~{\а) = О, ара")(а) + Рц(а)*0).

5. Доказано, что ядро резольвенты задачи Н0 в нерегулярном случае

растет как |Л.|2" 2"+1.

6. Указан класс функций fj(x)eDM и в общем нерегулярном случае, для которых имеет место 2п -кратное разложение в равномерно-сходящиеся ряды по собственным функциям задачи #„

I)(x) ~ Y,CpÄ'iiipp(x), j =0,2« - i (1), где Ср определяются явно.

i>-1

Доказано, что разложение (1) единственно.

7. Для случая уравнения второго порядка получены оценки нормированных собственных функций задачи #0, причем доказано, что в регулярном случае они равномерно ограничены, а в нерегулярном случае при q(x)eC[0a], р (х)еС*„а] имеет место оценка

max \ук(х)\ < CJ\nil J, где С - const.

хе[0,а]

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при решении различных задач механики, теории упругости, математической физики, оптимального управления, так как, как известно, спектральные краевые задачи моделируют многие прикладные задачи. Результаты работы могут найти применение и в самой математике при обосновании метода Фурье, при изучении сходимости различных разложений и т.д.

Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием. Доказательства всех основных положений получены соискателем. В совместной работе научному руководителю принадлежат постановка задач и намеченная методика их решения.

Внедрение результатов работы. Результаты работы внедрены в учебный процесс в виде разделов в спецкурсах: а) спектральные краевые задачи, б) обобщенная проблема оценок собственных функций несамосопряженных краевых задач, используются при чтении курсов дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, а также при разработке тем дипломных и курсовых работ.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Третьей и Четвертой международных конференциях, г. Махачкала 2007-2009, на научно-теоретических конференциях, проводимых в Дагестанском государственном университете (2005-2009г.), на межвузовских конференциях «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (2005-2009г.), на заседаниях семинара по спектральной теории кафедр дифференциальных уравнений и математического анализа (2005-2009г.) Дагестанского государственного университета, на научном семинаре, руководимом профессорами А.Г. Костюченко и A.A. Шкаликовым при механико-математическом факультете

МГУ им. М.В. Ломоносова, на кафедре вычислительной математики и математической физики южного федерального университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 52 наименований. Полный объем диссертации составляет 117 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Пусть на отрезке [0, я] задан линейный дифференциальный оператор

Ь(х,—,Л), порожденный обыкновенными дифференциальными ск

уравнениями, коэффициенты которых зависят от параметра А. Обозначим для краткости границу отрезка [0,а] через Г и рассмотрим спектральную задачу

Цх, — ,Л)и = 0, О <х<а (1)

ск

Я{х, — ,Л)и = 0, х е Г, (2)

ск

В формуле (2) Я(х,—,Л) - некоторый линейный граничный оператор, ск

также зависящий от параметра Л, представляет собой большой объект исследования.

Поставим задачу определения тех значений параметра Л, при которых задача (1)-(2) имеет нетривиальные решения.

Задача (1)-(2) являлась предметом исследования многих авторов. Отмстим, прежде всего, классические работы Г.Д. Биркгофа и Я.Д. Тамаркина.

В этих работах была развита техника асимптотического решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, позволяющая в ряде важных случаев исследовать не только спектр, но и изучить вопросы, связанные с разложением произвольных функций в ряды по собственным функциям спектральной задачи (1)-(2).

Фундаментальную роль в изучении спектральных свойств задачи (1)-(2) сыграла работа М.В. Келдыша. В этой работе М.В.Келдыш ввел

важнейшее понятие и-кратной полноты системы собственных функций спектральной задачи.

Поскольку из полноты системы собственных и присоединенных функций не следует, вообще говоря, возможность разложения произвольной функции в ряд по этой системе, то условия регулярности Я.Д. Тамаркина являлись наиболее общими условиями, позволяющими получить разложение функций из определенного класса в ряды по фундаментальным функциям спектральной задачи.

Спектральная задача вида (1)-(2) в связи с решением смешанных краевых задач рассматривалась М.Л. Расуловым, К.В. Брушлинским и другими авторами. В этих работах налагались такие ограничения на само уравнение и краевые условия, при которых выполнялось условие регулярности Я.Д. Тамаркина.

Замечательным обстоятельством является, однако, тот факт, что многие важные для приложения задачи приводят к спектральным задачам, где условия регулярности Я.Д. Тамаркина заведомо не выполняются. Примером такой задачи является следующая спектральная задача, возникающая в квантовой теории рассеяния:

-у" + д(х)у = Я2р(х)у (0 <х<а) (3)

У( 0) = 0, (4)

у'(а)-1Ау(а)= 0. (5)

Эта задача была рассмотрена впервые итальянским физиком Т. Редже, который в случае р(х) = 1 показал, что система собственных функций задачи (3)-(4) полна и изучил асимптотику собственных чисел этой задачи.

А.О. Кравицкий указал класс функций, которые допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям задачи Т. Редже, когда р(х) = 1.

В работах М.М. Гехтмана, И.В. Станкевича задача Т. Редже была обобщена на случай уравнения четвертого порядка.

Чтобы получить краевые условия обобщающие условия излучения (5), вначале рассматривается некоторый самосопряженный в 12(0,да) оператор с непрерывным спектром, а затем изучается аналитическое продолжение резольвенты этого самосопряженного оператора на риманову поверхность («нсфизические листы»).

Б.Л. Коган, Б.С. Павлов, М.В. Буслаева и A.M. Магсрамов рассмотрели обобщение задачи Т. Рсдже па случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.М. Гехтман и Г.А. Айгунов рассмотрели обобщение задачи Т. Редже для дифференциального оператора четного порядка при р(х) = 1. Более общий случай уравнения n-го порядка, когда все коэффициенты />(*)(/= 1, и) зависят от спектрального порядка X рассмотрен в работах Шкалнкова A.A.

Укажем еще работу Е.А. Барановой, в которой изучалась обратная задача для уравнения 2»-го порядка без промежуточных членов с краевыми условиями содержащими спектральный параметр Я.

Отметим также работу Г.А. Айгунова, где рассмотрен случай дифференциального оператора 2/г-го порядка при р(х)Ф 1, где различаются два случая р(а)* 1 регулярный и р(а) = \ - нерегулярный, причем в этой работе рассмотрены для нерегулярного случая два подслучая: а) р(а) = 1, р\а)* 0;б) р(а) = 1, р\а) = О, а ■ р"(а) + ß-Р2(а)* 0.

Оставался открытым вопрос, что же будет, если p{ä) = 1,

рХа) = р"{а) = ... = р^\а) = 0 (*)

Диссертанту удалось найти в этом общем нерегулярном случае (*) условие необходимое для определения асимптотики спектра, оценки ядра резольвенты и определения класса функций, для которых имеет место Ъг-кратное разложение по собственным функциям заданной задачи.

Если первые две главы диссертации посвящены вопросам разложения в равномерно-сходящиеся ряды по собственным функциям рассматриваемой задачи (6)-(7), то третья глава посвящена оценкам собственных функций задачи (3)-(5) для регулярного и нерегулярного случаев.

Результаты, установленные в III главе диссертации, примыкают к кругу вопросов, относящихся к известной проблеме В.А. Стеклова об условиях ограниченности (в терминах весовой функции р(х)) ортонормироваиной системы многочленов Рп(х,р) на всем интервале ортогональности или ее части, где р(х)> 0. В последнее время значительно возрос интерес к этой проблеме. Сравнив результаты работ Я.Л. Геронимуса, Е.А. Рахманова и М.У. Амброладзе, можно заметить аналогию в асимптотическом поведении общих ортонормированных многочленов Р„(х,р) и нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. Поэтому было бы интересно выяснить, справедливы ли утверждения теорем в случае общих ортонормированных полиномов. Заметим, что и ортонормированные полиномы, и собственные функции задачи Штурма-

Лиувилля обладают свойством ортогональности. В диссертации доказывается, что асимптотические свойства собственных функций не связаны непосредственно с ортогональностью, а обусловлены специальным характером колеблемости решений дифференциального уравнения, величина же максимально возможного роста последовательности нормированных собственных функций определяется только нормировочным условием.

Аналогичные оценки для задачи Штурма-Лиувилля рассматривались многими авторами, начиная с Ж. Штурма и Ж. Лиувилля в 1836 г., В.Я. Якубова в 1967 г., в работах В.А. Ильина, И. Ио, И.А. Шишмарева, В.В. Жикова, М.М. Гехтмана, Г.А. Айгунова.

Перейдем к изложению содержания диссертации.

В § 1.1 рассматривается в пространстве ¿2(0,оо) краевая задача, порождаемая дифференциальным уравнением

(-1 )"^^+\1{х)-Л2пр{х)\Г(х) = 8(х), х > 0, 0 < ащА < — (6) йЕг п

и краевыми условиями:

(0) = 0, у = О^п-1. (7)

9 п

Считается, что функции д(х) е С^о.а] > /7(х) £ С[о а] > причем при х > а, р(х) = 1, ^(л) г ^(х) = 0, а при 0 < х < а р(х) > 0.

Обозначим через ук[х,Х) линейно-независимые решения уравнения

(6), которые при х>а совпадают с функциями е'"''". Будем полагать, что нумерация корней щ - корни степени 2« из 1) определяется

соотношением

) < }ЩИ<р\) <... < )

где <рк = ¡и:к р{х), к = 0,2« -1, 0<ащА< —, (Я = а + /'г). Тогда при х>а

2 п

общее решение уравнения (5) будет определяться равенством

Дх,Я) = 2£Скеа^х. (8)

А =0

Пусть к = 0, // — 1, 0< argЛ < —. При этих условиях

/7

11с(/Ли';.) = |Я| соэ^а^ Л + ~ + — j = -\Л\ вт^а^ Л + — j < 0. Поэтому при А" = 0, /7 — 1 ехр(/Дн'А.т) е ¿2(0,со).

Аналогично убеждаемся, что при к = п,2п -1 соответствующие

Л

экспоненты не принадлежат Ь (0,оо). Так как /(х) е ¿"(0,оо), то приходим к условиям

С„=С„+, =... = С2)И = 0. (9)

Условия (9) равносильны, как легко видеть, условиям

1Г){Г,у„,...,уг...,у2,,_11=1=0, / = /и2п-1. (10)

Запись 1К((/,у„,...у1,...,у2пА) означает, что в определителе Вронского отсутствует функция у (х).

Чтобы определить решение /(х,Л) в промежутке [0,а] нужно решить спектральную задачу Я0:

1(Л = Л2"р(х)Дх) + 8(х), 0<х<а, (11)

0) = 0, У = 0^1, (12)

и^П^ХГ,}-,,:^!.....Л.-,)™ =0' (13)

где 1(Л^(-\Г/<2")(х) + д(х)Дх).

В дальнейшем будем различать два случая.

Случай, когда р(а) ф I будем называть регулярным, а случай /Яа) = 1 -нерегулярным.

Первая глава посвящена изучению спектральных характеристик задачи Я0 в регулярном случае.

Введем класс функций , удовлетворяющих условиям: а) /(.г) е С^ а|, ц = 2пт, т - некоторое натуральное число;

б) / (0) = / (а) = 0, к= 0,2и -1;

\(4)

В)/

1/...1// Р Р

(0) = 0, Л = 0,и-1,

/> Р

(а) = 0, А: = 0,2«-1.

Здесь /

1/...1// Р Р

(х) есть значение в точке х результата применения

(т -1) -ой итерации оператора / к функции —I/.

Р

С учетом того, что собственные значения задачи //,, простые, тогда основной результат первой главы дает следующая

Теорема 1.6.1. Пусть /, (х) с , } = 0,2/? - 1, // = 2пт и р(х),с](х) е , тогда при т = 2 эти функции допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям <рр(х) задачи #0 вида:

у-'

(14)

Коэффициенты Ср в случае простого полюса Яр вычисляются явно. Разложение (14) единственно.

Доказательство теоремы 1.6.1 основано на нескольких леммах

В § 1.2 доказывается лемма, дающая асимптотические формулы для решений уравнения /(/) = Я2"р(х)/(х) равномерно по 0<х<а.

В § 1.3 при |Я| -»со приводятся подготовительные леммы.

Определим сектора Тк на плоскости Л посредством неравенств:

кл . к ж ж . — — < агgЛ< — + —, к = 0,2и-1. п п 2п

Введем еще сектора Тк, которые получаются из секторов Тк

(¿ = 0,2и-1) путем зеркального отображения относительно вещественной оси в плоскости Л.

Рассмотрим определитель Д(Я), определяемый равенством

А(А) = \ик(уЛ____(15)

V / I '\fcj- 0 2/7-1 4 '

Спектром задачи Н0 будем называть совокупность всех чисел Я, для которых Д(Я) = 0. Эти числа называются собственными значениями спектральной задачи Н0.

В § 1.4 изучено асимптотическое поведение функции при |Я| -»со и найдена асимптотика собственных значений задачи в регулярном случае.

Пусть ЛеТк, к = 1,и, тогда асимптотика собственных значений задачи Н0 в регулярном случае определяется формулой:

(16)

где т = + 1.ЛГ + 2,... (Л^ - натуральное число). При ЛеТк, к = 0,п-\

где т=Ы,Ы + \,Ы + 2,... (И -некоторое натуральное число).

В остальных секторах может быть только конечное число собственных значений задачи Н0.

В § 1.5 изучается ядро К (х,(,Л) резольвенты задачи Н0 в регулярном случае. Доказывается

Лемма 1.5.1. В комплексной плоскости 1 = а + ¡г существует последовательность расширяющихся замкнутых контуров Гдг, на которых / -

я производная по х от ядра резольвенты Л°(х,/,Я) равномерно по 0 < .г < а, О < / < а допускает оценку

<ФГ2"+/+1,0</<2и-1. (18)

В § 1.6, основываясь на леммах, приводимых в предыдущих параграфах, доказывается теорема 1.6.1.

Во второй главе рассматривается задача Н0 в нерегулярном случае. Рассматривается случай, когда

р(а) = 1, р'(а) = р"(а) = ... = р<2"-]](а) = 0, арп"\а) +¡5Ч{а)Ф 0, где

2ч-2 (г-2 У 2/1-р съ 2п-г1г-2 ¥~2 2п-р

„- у \С2п1 , пр+1 у Гк с2п-{к + р-2) у \с2„/ , Пр+1 Т гк г2л-(к+р-2)

/ , \rtl2 ' ^ и2;Л2я / \з Ь I , ' 2п~2п '

]

(причем £(...) = О при ; >7) (19)

Р = (-!)"•

Будем считать, что все собственные значения задачи Н0 в нерегулярном случае, как и выше, простые. Тогда основной результат этой главы дает следующая

Теорема 2.3.1. Пусть (х)е И/' = 0,2/г - 1, р = 2пт и

д(х),р(х)еС^~^, тогда при т > п + \ эти функции допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям <рр(х) задачи Н0 вида:

/;(х) = 1СрЯур(х), (7 =0,2/7 — 1), (20)

где коэффициенты С вычисляются явно.

Разложение (20) единственно.

Доказательство данной теоремы основано на нескольких леммах.

В § 2.1 изучается асимптотическое поведение функции Л(Я) при |Я|—>оо. Получены асимптотические формулы для собственных значений задачи #0:

Если Я е Тк, к = \,п, тогда имеем

7пп + ш 1п т + иг 1п —-1 - ~ 1п С„

Л,„ ......, ,

и I { с/ ) 2

где т = Лг,Лг + 1,Л' + 2,... (¿V - натуральное число).

+ 0(1),

Если ЛеТк, к = 0,п-\

и

топ -1111п III

1п п1 - ¡и 1п + — 1п С,

\ с1 ) 2

где т = М,Ы + + 2,... (Ы - натуральное число), С0 =

+ 0(1), (+/)"-' [С(р,д)\

2т1

С(р,д) = ар(2")(а) +0, а а и Р определяются с помощью формул (19).

В § 2.2 дается оценка роста функции Грина Н°(х,1,Л) задачи Н0 в нерегулярном случае.

Лемма 2.2.1. Если задача Н0 нерегулярна, то в комплексной плоскости Д = сг+/г существует последовательность расширяющихся замкнутых контуров Гу, на которых 1-я производная по х от ядра резольвенты

Л°(дгд,Я) равномерно по 0<х<а, О<1<а допускает оценку

д'Я°(х,1,Л)

дх1

< С\Л\2" ~2"+/+') 0 < / < 2» -1.

§ 2.3 посвящен получению 2п-кратных разложений в ряд по собственным функциям краевой задачи Н0 в нерегулярном случае, где доказывается теорема 2.3.1.

§ 2.4 посвящен вычислению вычета ядра резольвенты спектральной задачи Н0 в случае простого полюса Я = Лр и доказательству единственности разложения (20).

В § 2.4 доказана следующая

Теорема 2.4.1. Пусть все собственные числа Я„ спектральной задачи Н0 однократны и Я = 0 не является собственным числом.

Тогда разложение (20) единственно.

Доказательство данной теоремы основывается на леммах 2.4.1-2.4.3.

Пусть о)0,а>п...,со2п^ - различные корни степени 2п из единицы, упорядоченные таким образом, что а>2П-\-у =-а>у. Из чисел /Ял>,, (г = 0,1,...,2и-1;Я - комплексное число) составим матрицу Вандермонда IV(А). В дальнейшем будем также пользоваться разбиением матрицы IV(А) на квадратные блоки

Линейные формы условий £/,,(>>, Я) получаются заменой V - го столбца матрицы (Г(Я) столбцом [>•(«),..., у<2"_1)(я)]-

Введем векторные обозначения для краевых значений

¥(а) = [¥,(<.),Г2(а)],иа) = (у(а),...,у<"-,\а)), У2 (а) = (/"(«),-.У^»), У(у,Л) = [У,(у,Л),У2(у,Л)], ^(у,Я) = ([/0(у,Я),...,[/,„1(у,Я)),

у2{у,л) = {ип{у,Л),...,иг^{у,А)).

Справедлива следующая

Лемма 2.4.1. Вектор строки У (а) и У(у,А) при Я^О связаны

ЩЛ) =

Ш2Х{Л) Щ2(Л)

соотношением У(а) =

1

У(у,Л)1Ут(А).

деИГ(Л)

Для формулировки леммы 2.4.2 введем обозначения

Иv - ганкелева матрица 2п -го порядка, у которой элементы с суммой индексов v равны 1, а остальные нулю. Нумерация элементов начинается с нуля. Положим:

hk ,(A,p) = kHln_wM\ к,I = 0,...,« -1, (21)

А=[1,Л,...,Л2"-'], М =[1,/г"4], С = [cu] = BlW21(l)-iVu(ir\ F„(Л,//) = [hu,cu].

Элементы матрицы Fn(A,p) - однородные полиномы по Я и р степени пе выше 2п-2.

Лемма 2.4.2. Если для векторов Y(a), Z(a) выполнены условия V2{y,A) = V2(z,p) = О,

то при

Y(a)BZ\a) = (р- Щ (a)F„(A,//)Z>).

Лемма 2.4.3. Если <рр(х),<рч(х) - собственные функции задачи 2.4.1, отвечающие простым собственным значениям Ар,А1/, а Ф р,](а) -вектор-строки: [pp(a),...,<pi'">)(a)], [^(а),...,<?/'""(«)], то

К{х)<рч(x)p(x)dx + ФрЛ(a)F„ (Ap,Aq)Ф,л (а) = rpS„,

и

где гр О при всех р, a 8 - символ Кронекера.

Таким образом, с учетом формул (2.3.3) и (2.3.5) мы получаем явный вид Ср в разложении (2.3.1) в случае простого полюса Ар, а именно:

Wmot^-fjm

С; =__J—_, (22)

2«Я-;-1 • )p{t) ■ <p2p(t)dt + <bpi{a)FMr,\Yt>\№

a

где Ф рЛ(а) = [(рр{а),...,(р{р'[) {a)], a FJAp,Ap) определяется формулой (21).

Третья глава посвящена оценке нормированных собственных функций спектральной задачи в случае дифференциального уравнения второго порядка. Глава состоит из двух параграфов.

§ 3.1 посвящен оценке нормированных собственных функций спектральной задачи Н0 при п = 1

Очевидно, что при Н = О, h = 1 задача (23)-(25) совпадает с задачей #0 при п = 1.

Пусть q{x) = q> 0, р(х) = р > 0. Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1.1. Нормированные собственные функции задачи Н0 при п = 1 в регулярном случае (когда рФ 1) равномерно по к ограничены, т. е. 0 < С, < maxi v(x)| < С,, где С, и С, не зависят от к.

ле|0.яГ 1

Теорема 3.1.2. Для нормированных собственных функций задачи Н0 при п = 1 в нерегулярном случае (когда р = 1) справедлива следующая оценка

где С, и С2 не зависят от к.

В § 3.2 доказано, что в случае гладких коэффициентов (</(х)еС[0(,^ р(х) е С^ а]) для задачи Я0 при п = 1 (т. е. задачи (23)-(25)) имеют место следующие теоремы:

Теорема 3.2.1. Пусть ^(х)еСм, р(х) е С^а], Н = 0, /г = 1, тогда нормированные собственные функции задачи Я0 при п = 1 в регулярном случае (р(а) ^1) равномерно ограничены, т. е.

- у"+ q(x)y = Ä2p(x)y, хе(0,а), а> 0,

у( 0; = 0, у'(а) + (Н - ihX)y(a) = 0, HeR, hsR, Ьф 0

(23)

(24)

(25)

С, Vln~к < max|v't (х)| < С2 л/inT,

A-cio.»!1

0 < С, < max|j'(.r)| < С2, где С, и С2 не зависят от к.

Теорема 3.2.2. Пусть д(дг)еС[(М, р(х) е С^, и], Н = О, Л = 1, тогда для нормированных собственных функций задачи На при /7 = 1 в нерегулярном случае (когда р(а) = I) справедлива следующая оценка С,л/1пАг < тах]^ (,г)| < С2^\пк , где С, и С, не зависят от к.

Пользуясь, случаем, приношу искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Айгунову за постоянное внимание и руководство работой.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Издания, рекомендованные ВАК МО РФ для публикаций

материалов кандидатских диссертаций по математике:

[1] Гаджиева, Т.Ю. Асимптотика собственных значений и оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2л-го порядка на отрезке 10,а] / Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // УМН. Москва, 2008 г. Том 63. Вып. 1 (379). -С. 157-159.

[2] Гаджиева, Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2/1 -го порядка на полуоси / Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. Ростов-па-Дону, 2008. № 5(147).-С.14-19.

[3] Гаджиева, Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением -го порядка на отрезке [0,а] / Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. Ростов-на-Дону, 2008. № 6(148). - С.5-7.

[4] Гаджиева, Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2"-го порядка на отрезке [0,а] / Т.Ю. Гаджиева // Изв. вузов Сев. Кав. р. Естеств. науки. Ростов-на-Дону, 2008. № 6(148). - С.8-9.

II. Остальные публикации:

[5] Гаджиева, Т.Ю. Асимптотика собственных значений для одной нерегулярной краевой задачи типа Редже / Т.Ю. Гаджиева // Сб. статей ассоциации молодых ученых Дагестана, Махачкала, 2006. Вып. №34. - С. 129-136.

[6] Гаджиева, Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 4-го порядка на отрезке [(),«] / Т.Ю. Гаджиева // Материалы третьей Межд. научн. конференции, Махачкала, 2007. - С. 68 -72.

[7] Гаджиева, Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений и оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи,

порождаемое дифференциальным уравнением 2«-го порядка на отрезке [О,я] в общем случае / Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // Вестник ДГУ, Махачкала, 2007, №4. - С. 34-38.

[8] Гаджиева, Т.Ю. Об оценке нормированных собственных функций задачи типа Редже в случае постоянных коэффициентов / Т.Ю. Гаджиева // Межвуз. н.-тем. сб. «ФДУ и их приложения». Махачкала, 2009. Вып. 5. -С. 73-84.

[9] Гаджиева, Т.Ю. Об оценке нормированных собственных функций задачи типа Т. Редже в случае гладких коэффициентов / Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // Межвуз. н.-тем. сб. «ФДУ и их приложения». Махачкала, 2009. Вып. 5. - С. 18-26.

[10] Гаджиева, Т.Ю. Изучение собственных значений одной нерегулярной несамосопряженной краевой задачи на отрезке [0,а] / Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // Материалы четвертой Межд. научн. конференции. Махачкала, 2009. - С. 26 - 28.

Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Times New Roman» Тираж 100. Заказ № 47/10.

Издательско-полиграфический отдел ООО «ДИНЭМ» 367030, Республика Дагестан, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 94. Тел./факс: +7 (722) 68-16-59

Тел.: +7 (928) 874-57-53 E-mail: dinem2006@mail.ru

Введение.3 стр

Глава I. Краевая задача типа Т. Редже, порожденная дифференциальным уравнением 2п -го порядка в регулярном случае.20 стр

§1.1. Постановка задачи.20 стр

§ 1.2. Асимптотические формулы для решений уравнения l{f) = X2np{x)f{x).23 стр

§1.3. Вспомогательные утверждения.27 стр

§ 1.4. Асимптотика решений для уравнения

НУ'У2'0 + Ф)У = Л2ПР(*)У.38 стр

§ 1.5. Оценка роста функции Грина задачи Н0 в регулярном случае.44 стр

§ 1.6. 2п -кратное разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям краевой задачи Н0 в регулярном случае.53 стр

Глава II. Изучение спектральных характеристик задачи Н0 в нерегулярном случае.59 стр

§ 2.1. Исследование спектра задачи Н0 в нерегулярном случае.59 стр

§ 2.2. Изучение ядра резольвенты и его оценка в нерегулярном случае.67 стр

§ 2.3. 2п -кратное разложение в ряд по собственным функциям краевой задачи Н0 в нерегулярном случае.71 стр

§ 2.4. Определение вычета ядра резольвенты краевой задачи Н0 в случае простого полюса Л = Л0 и доказательство единственности разложений.73 стр

Глава III. Оценка нормированных собственных функций задачи Н0 в случае дифференциального уравнения второго порядка.85 стр

§ 3.1. Оценка нормированных собственных функций спектральной задачи

Я0 при п- 1 в случае постоянных коэффициентов.85 стр

§ 3.2. Оценка нормированных собственных функций спектральной задачи

Н0 при п = 1 в случае гладких коэффициентов.101 стр

Пусть на отрезке [0, а] задан линейный дифференциальный оператор

Ь(х, — ,Л), порожденный обыкновенными дифференциальными сЬс уравнениями, коэффициенты которых зависят от параметра Я. Обозначим для краткости границу отрезка [0, а] через Г и рассмотрим спектральную задачу с1

Ь{х, — ,Л)и-0, 0<х<а (1) сЬс

Я(х, — ,Л)и- 0, хеГ, (2)

3кх с1

В формуле (2) Я(х, —, Л) - некоторый линейный граничный оператор, с1х также зависящий от параметра Я, представляет собой большой объект исследования.

Поставим задачу определения тех значений параметра Я, при которых задача (1)-(2) имеет нетривиальные решения.

Задача (1)-(2) являлась предметом исследования многих авторов. Отметим, прежде всего, классические работы Г.Д. Биркгофа [1] и Я.Д. Тамаркина [2].

В этих работах была развита техника асимптотического решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, позволяющая в ряде важных случаев исследовать не только спектр (5)-(6), но и изучить вопросы, связанные с разложением произвольных функций в ряды по собственным функциям спектральной задачи (1)-(2).

Фундаментальную роль в изучении спектральных свойств задачи (1)-(2) сыграла работа М.В. Келдыша [3]. В этой работе М.В.Келдыш ввел важнейшее понятие п -кратной полноты системы собственных функций спектральной задачи.

Поскольку из полноты системы собственных и присоединенных функций не следует, вообще говоря, возможность разложения произвольной функции в ряд по этой системе, то условия регулярности Я.Д. Тамаркина [2] являлись наиболее общими условиями, позволяющими получить разложение функций из определенного класса в ряды по фундаментальным функциям спектральной задачи.

Спектральная задача вида (1)-(2) в связи с решением смешанных краевых задач рассматривалась М.Л. Расуловым [4], К.В. Брушлинским [5] и другими авторами. В этих работах налагались такие ограничения на само уравнение и краевые условия, при которых выполнялось условие регулярности Я.Д. Тамаркина.

Замечательным обстоятельством является, однако, тот факт, что многие важные для приложения задачи приводят к спектральным задачам, где условия регулярности Я.Д. Тамаркина заведомо не выполняются. Примером такой задачи является следующая спектральная задача, возникающая в квантовой теории рассеяния:

Эта задача была рассмотрена впервые итальянским физиком Т. Редже [6], который в случае р(х) = 1 показал, что система собственных функций задачи (3)-(4) полна и изучил асимптотику собственных чисел этой задачи.

- у" + д{х)у = Л2р(х)у (О <х<а)

3)

Я0) = 0, у\а)-1Ху{а) = 0.

4)

А.О. Кравицкий [7] указал класс функций, которые допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям задачи Т. Редже, когда р(х) = 1.

В работах М.М. Гехтмана, И.В. Станкевича [8] задача Т. Редже была обобщена на случай уравнения четвертого порядка.

Чтобы получить краевые условия обобщающие условия излучения (4), вначале рассматривается некоторый самосопряженный в Z2(0,oo) оператор с непрерывным спектром, а затем изучается аналитическое продолжение резольвенты этого самосопряженного оператора на риманову поверхность («нефизические листы»).

Б.Л. Коган [9], Б.С. Павлов [10], М.В. Буслаева [11] и А.М. Магерамов [12] рассмотрели обобщение задачи Т. Редже на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.М. Гехтман [13] и Г.А. Айгунов [14] рассмотрели обобщение задачи Т. Редже для дифференциального оператора четного порядка при р(х) = 1. Более общий случай уравнения n-го порядка, когда все коэффициенты Р,(х)(/ = \,п) зависят от спектрального порядка X рассмотрен в работах Шкаликова A.A. [15].

Укажем еще работу Е.А. Барановой [16], в которой изучалась обратная задача для уравнения 2п -го порядка без промежуточных членов с краевыми условиями содержащими спектральный параметр Я.

Отметим также работу Г.А. Айгунова [17], где рассмотрен случай дифференциального оператора 2и-го порядка при р(х) Ф1, где различаются два случая р{а) Ф 1 регулярный и р{а) -1 - нерегулярный, причем в этой работе рассмотрены для нерегулярного случая два подслучая: а) р(а) = 1, р'{а) Ф 0; б) р{а) = 1, р\а) = 0, а- р"(а) + ß -Р2(а) * 0.

Оставался открытым вопрос, что же будет, если р(а) = \, Р\°) — Р"(а) = — = р(/'+1) (а) = 0 (*)

Диссертанту удалось найти в этом общем нерегулярном случае (*) условие необходимое для определения асимптотики спектра, оценки ядра резольвенты и определения класса функций, для которых имеет место 2п-кратное разложение по собственным функциям заданной задачи.

Если первые две главы диссертации посвящены вопросам разложения в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям задачи (5)-(6), то третья глава посвящена оценкам собственных функций задачи (3)-(4) для регулярного и нерегулярного случаев.

Результаты, установленные в III главе диссертации, примыкают к кругу вопросов, относящихся к известной проблеме В.А. Стеклова [18]-[19] об условиях ограниченности (в терминах весовой функции р(х)) ортонормированной системы многочленов Рп (х, р) на всем интервале ортогональности или ее части, где /?(*)>(). В последнее время значительно возрос интерес к этой проблеме. Сравнив результаты работ Я. Л. Геронимуса [20], Е.А. Рахманова [21] и М.У. Амброладзе [22], можно заметить аналогию в асимптотическом поведении общих ортонормированных многочленов Рп(х'Р) и нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. Поэтому было бы интересно выяснить, справедливы ли утверждения теорем в случае общих ортонормированных полиномов. Заметим, что и ортонормированные полиномы, и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля обладают свойством ортогональности. В диссертации доказывается, что асимптотические свойства собственных функций не связаны непосредственно с ортогональностью, а обусловлены специальным характером колеблемости решений дифференциального уравнения, величина же максимально возможного роста последовательности нормированных собственных функций определяется только нормировочным условием.

Аналогичные оценки для задачи Штурма-Лиувилля рассматривались многими авторами, начиная с Ж. Штурма и Ж. Лиувилля в 1836 г. [23], В.Я. Якубова [24]-[27] в 1967 г. в работах [28]-[29] В.А. Ильина, И. Йо, И.А. Шишмарева, В.В. Жикова [30], М.М. Гехтмана [31]-[33], Г.А. Айгунова [34]-[40].

Настоящая работа посвящена изучению этого круга задач. Перейдем к изложению содержания диссертации. о

В § 1.1 рассматривается в пространстве Ь (0,оо) краевая задача, порождаемая дифференциальным уравнением х>0, 0<агёЯ<~ (5) скАп п и краевыми условиями:

0)(о) = о, у = (6)

Считается, что функции д(х)еС[0|й], ау причем при х>а, р(х) = 1, q{x) = = 0, а при 0 <х<а р{х) > 0.

Обозначим через ук{х,Х) линейно-независимые решения уравнения

5), которые при х>а совпадают с функциями еткЯх. Будем полагать, что нумерация корней ' ч>к {м>к - корни степени 2п из 1) определяется соотношением

ЫеО'Яро) < ЯеС/Я^ )<.< ) (7) где <рк = тк 2^р(х) , к = 0,2« — 1, 0 < ащЯ < —, (Я = а + /г). Тогда при х > а

2 п общее решение уравнения (5) будет определяться равенством

2л—1

Д*Д)= ЕС/^. (8) к=0

7U

Пусть к = 0, п -1, 0 < arg Я < —. При этих условиях п

ReO'/bfj.) = |/l|cos arg/l + —+ — =-|A|sin arg/l + V In) v kn n 0

Поэтому при к - 0, п -1 ехр(г'Я^х) е Ь (0, оо).

Аналогично убеждаемся, что при к = п,2п — 1 соответствующие

О О экспоненты не принадлежат Ь (0, оо). Так как /(х) е I, (0, оо), то приходим к условиям

Сп =Си+1 -■■■ = ^2п-1 (9)

Условия (9) равносильны, как легко видеть, условиям у0,.,^,.,у2„-1)х=а=0, 1. (10)

Запись УУ [/уУ2„-.\) означает, что в определителе Вронского отсутствует функция у} (х).

Чтобы определить решение /(хД) в промежутке [0,<я] нужно решить спектральную задачу Н0: = Л2"р(х)/(х) + ё(х), 0 <х<а, (11)

13) где 1(/) = (-1У/(2"\х) + д(х)Дх).

В дальнейшем будем различать два случая.

Случай, когда р(а) * 1 будем называть регулярным, а случай р{а) = 1 -нерегулярным.

Первая глава посвящена изучению спектральных характеристик задачи Н0 в регулярном случае.

Введем класс функций £) , удовлетворяющих условиям: а) /(х) е Сг^ , ¡л = , т - некоторое натуральное число; б) /*>(0) = /*>(а) = 0,* = 0,2и-1; т раз в)/— /.-// (0) = 0, £ = 0,л-1,

Р Р т раз

Л. -/.-// (д) = 0, А: = 0,2«-1. Р Р /

Здесь / т раз

1/.1//

Р Р х) есть значение в точке х результата применения т -1) -ой итерации оператора / к функции —I/. Р

С учетом того, что собственные значения задачи Я0 простые, тогда основной результат первой главы дает следующая

Теорема 1.6.1. Пусть у' = 0,2и-1, /л = 2пт и р(х), <?(х) е С^, тогда при т = 2 эти функции допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям (р (х) задачи Н0 вида: « = Е С рА'р<рр (х) ,и = 0,2 л -1) (14) р=1

Коэффициенты Ср в случае простого полюса Я вычисляются явно. Разложение (14) единственно.

Доказательство теоремы 1.6.1 основано на нескольких леммах

В § 1.2 доказывается лемма, дающая асимптотические формулы для решений уравнения /(/) = Я2пр(х)/(х) равномерно по 0 < х < а.

В § 1.3 при \Я\ оо приводятся подготовительные леммы.

Определим сектора Тк на плоскости Я посредством неравенств: кж „ кж л < arg Я <— + —, к = 0,2л-1, п п 2п

Введем еще сектора Тк, которые получаются из секторов Тк к = 0,2«-1) путем зеркального отображения относительно вещественной оси в плоскости Я.

Рассмотрим определитель Л(А), определяемый равенством

А(Л)=ик(у,-) к,]= 0,2л-1

15)

Спектром задачи Н0 будем называть совокупность всех чисел Л, для которых А (Л) - 0. Эти числа называются собственными значениями спектральной задачи Н0.

В § 1.4 изучено асимптотическое поведение функции при \Л\ —> оо и найдена асимптотика собственных значений задачи в регулярном случае.

Пусть ЛеТк, к = 1,п, тогда асимптотика собственных значений задачи #0 в регулярном случае определяется формулой:

Ли

1 ( 1 V! ГП7Г —1пС0 + О —

2 \т))

16) где т-Ы, N + + 2,. (^У - натуральное число).

При ЛеТк, к = 0,п-1

Ы,

Лт = —I тж + — 1пС0 + о\ — й? ^ 2 \ту

17) где т = И,N + + 2,. {И - некоторое натуральное число).

В остальных секторах может быть только конечное число собственных значений задачи Н0.

В § 1.5 изучается ядро резольвенты задачи Н0 в регулярном случае. Доказывается

Лемма 1.5.1. В комплексной плоскости X = а + /г существует последовательность расширяющихся замкнутых контуров Г^ , на которых / я производная по х от ядра резольвенты равномерно по 0 < х < а,

0<t <а допускает оценку dlR°(x,t,Ä) дх1

С\Я\~2п+1+\ 0 < / < 2« -1. (18)

В § 1.6, основываясь на леммах, приводимых в предыдущих параграфах, доказывается теорема 1.6.1.

Во второй главе рассматривается задача Н0 в нерегулярном случае. Рассматривается случай, когда р(а) = 1, р'(а) = р"(а) = . = р{2"-]\а) = 0, ар(2п)(а) + ßq(a) Ф 0, где

У [clnY ( np+l2yr^ r2n-(k+p-2) С\п l„Y , пр+12урrk r2n-(k+p-2) a~ lu i \p+2 U ^ 2n 2n / , \3 ( , \p-2{ ' Ь2пС2п ' p-M пГ k=2 HJ p-Mnj ^ j причем ) = 0 ПРИ z> У) (19)

Р = (-1)л.

Будем считать, что все собственные значения задачи Н0 в нерегулярном случае, как и выше, простые. Тогда основной результат этой главы дает следующая

Теорема 2.3.1. Пусть /Дх)е£>А, / = 0,2и-1, /л = 2пт и ц(х),р{х) е С^ д-р тогда при т > и +1 эти функции допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям фр(х) задачи Н0 вида:

Л (*) = I С,7 = 0,2/1-1),

Р=1

20) где коэффициенты Ср вычисляются явно. Разложение (20) единственно.

Доказательство данной теоремы основано на нескольких леммах.

В § 2,1 изучается асимптотическое поведение функции Л(2) при |Д| -> со. Получены асимптотические формулы для собственных значений задачи Н0:

Если ЯеГ., к = \,п , тогда имеем т а лт + т\пт + ш1п

Г N

--1п Сп

Vм/ где т = Ы,Ы + + 2,. (./V - натуральное число).

Если ЯеТ., к = 0,п-1 Я т а

7гт-т\пт- т 1п а -1пС„

Vм/ где тп — N+ + 2,. (Ы - натуральное число), С0 —

2 т "

С(р,д) - ар(2п)(а) + ^ 0, а а и ¡3 определяются с помощью формул (19).

В § 2.2 дается оценка роста функции Грина задачи Н0 в нерегулярном случае.

Лемма 2.2.1. Если задача Н0 нерегулярна, то в комплексной плоскости Я = а + 1Т существует последовательность расширяющихся замкнутых контуров Гдг, на которых / -я производная по х от ядра резольвенты х,1, Л) равномерно по 0 <х< а, 0 <г< а допускает оценку

С\^п2~гп+м, 0</<2я-1.

§ 2.3 посвящен получению 2п -кратных разложений в ряд по собственным функциям краевой задачи Н0 в нерегулярном случае, где доказывается теорема 2.3.1.

§ 2.4 посвящен вычислению вычета ядра резольвенты спектральной задачи Н0 в случае простого полюса Я = Лр и доказательству единственности разложения (20). В § 2.4 доказана следующая

Теорема 2.4.1. Пусть все собственные числа Яп спектральной задачи Н0 однократны и Л - 0 не является собственным числом.

Тогда разложение (20) единственно.

Доказательство данной теоремы основывается на леммах 2.4.1-2.4.3. д1Я\х,1,Л) дх!

Пусть й)0,а)1,.,со2п1 - различные корни степени 2п из единицы, упорядоченные таким образом, что а>2п-\-у = ~£0у • Из чисел гЛй)^ (V = 0,1,.,2«- 1;Л - комплексное число) составим матрицу Вандермонда Ж (Л). В дальнейшем будем также пользоваться разбиением матрицы И/(Л) на квадратные блоки

ЩЛ) =

К (V *Г12(А) ж2Х(л) ^22ах

Линейные формы условий иу{у,Л) получаются заменой у - го столбца матрицы 1¥{Л) столбцом [^(а),.,У2"1)(<я)].

Введем векторные обозначения для краевых значений Г {а) = [Г, (я), Г2 (а)], У, (а) = (у(а),.,/п~1\а)), Г2(а) = (а),.у2"~1\а)), У(у, Л) = \У\ Л), У2 (у, Л)], V, (у, Л) = (Ц0 (у, Л),.,ипх {у, Л)), ¥2(у,Л) = (ип(уА),.,и2п1(у,Л)).

Справедлива следующая

Лемма 2.4.1. Вектор строки У{а) и У(у,Л) при Лф 0 связаны соотношением

Для формулировки леммы 2.4.2 введем обозначения

- ганкелева матрица 2л-го порядка, у которой элементы с суммой индексов V равны 1, а остальные, нулю. Нумерация элементов начинается с нуля. Положим: кк,{Л,/л) = Л#2и2А/Мт, к,1 = 0,.,и -1,

21)

Л = [1Д,.Д2"-1], М =

С = ] = Ж21 (1) • Ж,, (I)-1, ^ (Я, /¿) = [кш ,сш].

Элементы матрицы - однородные полиномы по Л и ¡л степени не выше 2п — 2.

Лемма 2.4.2. Если для векторов У(а), 2{а) выполнены условия

У2(у,Л) = У2(^) = О, то при Л, /IФ О а)Вгт (а) = (М- Я)Г, (а)^(Л,^(а).

Лемма 2.4.3. Если (рр{х),(ря{х) - собственные функции задачи 2.4.1, отвечающие простым собственным значениям Лр,Лц, а Фр1(я),ФчХ{а) -вектор-строки: то рр {х)(рд {х)р{х)сЬ + ФрХ (а)^ (Лр,Лд )Фд1 (а) = гр3„, о где гр Ф 0 при всех р, а <5рд - символ Кронекера.

Таким образом, с учетом формул (2.3.3) и (2.3.5) мы получаем явный вид Ср в разложении (2.3.1) в случае простого полюса Лр, а именно:

2/7-1

WP(t)p{t)Y^TH -fj^

CD =--^-, (22) p

2 «я2;-1 • + 0 где = a Fn(Äp,Äp) определяется формулой (21).

Третья глава посвящена оценке нормированных собственных функций спектральной задачи в случае дифференциального уравнения второго порядка. Глава состоит из двух параграфов.

§ 3.1 посвящен оценке нормированных собственных функций спектральной задачи Н0 при п = 1

- у" + q{x)y = Я2 р(х)у, хе(0,а), а>0, (23) у(0) = 0, у'{а) + (Я - ihX)y{ä) = 0, H&R, heR, h*0 (24) а 2 Л""

Р(х)\у(х)\ dx = 1, где X - 8 + г'сг. (25) о )

Очевидно, что при Н - 0, h = 1 задача (23)-(25) совпадает с задачей Я0 при п-1.

Пусть д(х) = q> 0, р(х) = р> 0.

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1.1. Нормированные собственные функции задачи Я0 при п = 1 в регулярном случае (когда рФ 1) равномерно по к ограничены, т. е. О < С, < maxi у(х)| < С,, где С, и С, не зависят от к. хе[0,а]' 1

Теорема 3.1.2. Для нормированных собственных функций задачи Н0 при п = 1 в нерегулярном случае (когда р = 1) справедлива следующая оценка

С,-VlnÄ: < maxi(л;)| < С2 VmА:, е[0,а]' 1 где С, и С2 не зависят от к.

В § 3.2 доказано, что в случае гладких коэффициентов (ф)еС[0а]) р(х) е Ct20 а]) для задачи Я0 при п = 1 (т. е. задачи (23)-(25)) имеют место следующие теоремы:

Теорема 3.2.1. Пусть q{x) е С[0 а], р(х) е Ct20 а], Н = 0, /2 = 1, тогда нормированные собственные функции задачи Н0 при п = 1 в регулярном случае (р(а) ^1) равномерно ограничены, т. е.

О < С, < maxi v(x)| < С,, где С, и С, не зависят от к. хф,аТ 1

Теорема 3.2.2. Пусть q(x)&C[üa], р(х) е С^ а], Н = 0, h = 1, тогда для нормированных собственных функций задачи Я0 при я = 1 в нерегулярном случае (когда р{а) = 1) справедлива следующая оценка

С, л/lnÄ: < тах\ук (jc)| < С2 л/lnк , где С, и С2 не зависят от к.

По материалам диссертации были сделаны сообщения на научно-теоретических конференциях, проводимых в Дагестанском государственном университете (2005 - 2009 гг.), на межвузовских конференциях «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (2007

2009 гг.) на заседаниях семинара по спектральной теории кафедр дифференциальных уравнений и математического анализа (2005 - 2009 гг.) при ДГУ, на семинаре проф. A.A. Шкаликова и проф. А.Г. Костюченко при механико-математическом факультете МГУ в 2009 г.

Основные результаты диссертации отражены в работах [43]-[52].

Пользуясь случаем, приношу искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Айгунову за постоянное внимание и руководство работой.

1. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations. Frans. Amer. Math Soc. 9, (1908), 373-395.

2. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград, 1917.

3. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР, 77. I (1951), 11-14.

4. Расулов М.Л. Вычетный метод решения смешанной задачи для дифференциальных уравнений и формулы разложения произвольной вектор функции по фундаментальным функциям граничной задачи с параметром, Матеем. Сборник, 48, 3 (1959).

5. Брушлинский К.В. О росте решения смешанной задачи в случае неполноты собственных функций // Известия AIT СССР, серия матем., 23, 6 (1959) С. 893-912.

6. Редже. Т. Аналитические свойства матрицы рассеяния // Математика (сб. переводов), 7, 4, 1963. С. 83-89.

7. Кравицкий А.О. О разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи, ДАН СССР, 170,6, 1966. С. 1255-1258.

8. Гехтман М.М., И.В.Станкевич. Изучение аналитических свойств ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка на римановои поверхности // ДАН СССР.1968.Т.182.№ 1. С. 23-26.

9. Коган Б.Л. "Резонансное" представление решений гиперболической системы первого порядка на плоскости // Диф. уравнения, 7, 7, 1971. С. 12501262.

10. Павлов Б.С. Теория рассеяния и "нефизический лист" для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР, 193.1, 1970, 3639.

11. Буслаева M.B. Теорема разложения по резонансным состояниям канонического дифференциального оператора // Вест. ЛГУ. Серия матем., I, 1972. С. 13-20.

12. Магерамов А.М. Кандидатская диссертация // Инст. мех. и матем., АН Азерб. ССР, 1972.

13. Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойствах ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четного порядка на римановой поверхности // ДАН СССР. Москва, 1971. Т. 201.№ 5. С. 1025 -1028.

14. Айгунов Г. А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2п — го порядка на полуоси//ДАН СССР, 213,5, 1973. С. 1001-1004.

15. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Функц. анализ и его приложения. 1982.Т. 16.Вып.4. С.92-93.

16. Баранова Е.А. Об обратной задаче спектрального анализа для одного класса задач с параметром в краевых условиях // Диф. уравнения 8, 12, 1972. С. 2130-2139.

17. Айгунов Г. А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2п — го порядка на полуоси // ДАН СССР, 213, 5, 1973, 1001-1004.

18. Стеклов В.А. б асимптотическом выражении некоторых функций, определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка, и их применение к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям. Харьков: Изд-во ХГУ, 1956.

19. Суетин П.К. Проблема В.А Стеклова в теории ортогональных многочленов // М.: ВИНИТИ. Математический анализ. 1977.Т.15.

20. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. -М.: Физматгиз, 1958.

21. Рахманов Е.А. О гипотезе В.А. Стеклова // Матем. сб. 1981. Т. 114. №2. С. 269-298.

22. Амброладзе М.У. О возможной скорости роста многочленов, ортогональных с непрерывным положительным весом // Матем. сб. 1991. Т. 182. №3,-С. 322-332.

23. Sturm С. Sur les equations différentielles du second order // J. Math. Pures Appl., I (1). 1836.-P. 106-186.

24. Якубов В.Я. Оптимальный нагрев неоднородного стержня // Тезисы докладов конф. молодых научных работников. Секция физ.-мат. наук. Горький, 1966.

25. Якубов В.Я.Оценки для нормированных в L2 собственных функций эллиптического оператора // ДАН СССР.1984.Т.247.№1. С. 35-37.

26. Якубов В.Я. Различные порядки роста нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с непрерывным весом // Дифф. уравнения 1993.Т.29. № 6. С. 982-989.

27. Якубов В.Я. Точные оценки для собственных функций задачи Штурма-Лиувилля // ДАН России. 1993.Т.331.№ 2. С. 148-149.

28. Ильин В.А., Йо И. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса // Дифф. уравнения. 1979. Т. 15. №7. С. 1164-1174.

29. Ильин В.А., Шишмарев И.А. О точных оценках собственных функций в замкнутой области // Материалы к совместному советско-американскому симпозиуму по уравнениям в частных производных. -Новосибирск, август, 1963.

30. Жиков В.В. Об обратных задачах Штурма-Лиувилля на конечном отрезке // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31. Вып. 5. С. 965-976.

31. Гехтман М.М. О принципе предельной амплитуды // ДАН СССР. 1963 .Т. 153 .№ 1.-С.20-23.

32. Гехтман М.М. Загиров Ю.М., Якубов В.Я. Об асимптотическом поведении собственных функций спектральной задачи Штурма — Лиувилля //Функц.анализ и его приложения. 1983. Т. 17. №3. С. 71- 72.

33. Гехтман М.М. Об асимптотическом поведении нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма Лиувилля на конечном отрезке//Мат. сб. 1987.Т.133(175).№ 2. С. 184-199.

34. Айгунов Г:А. Асимптотическое поведение нормированных собственных функций оператора типа Штурма — Лиувилля для уравнений в частных производных в Ы-мерном шаре // Матем.заметки.-М., 1999. Т.65. Вып. № 4. С. 622-625.

35. Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций одного класса нелинейных операторов типа Штурма Лиувилля с весовой функцией неограниченной вариации на конечном отрезке // УМН.-М.,2000. Т.55.№ 4. С.213-214.

36. Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций нелинейной краевой задачи типа Штурма Лиувилля с неограниченной сверху весовой функцией на конечном отрезке // УМН.-М., 2002. Вып.Т.57.№ 1. С. 145-146.

37. Айгунов Г.А. Асимптотическое поведение решений задачи Коши и собственных функций нелинейной задачи типа Штурма-Лиувилля на конечном отрезке в случае непрерывной весовой функции // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки. 2002. № 1. С.3-12.

38. Айгунов Г.А. . Асимптотическое поведение решений задачи Коши и собственных функций нелинейной задачи типа Штурма-Лиувилля взависимости от гладкости весовой функции // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки. 2002. № 2. С.3-10.

39. Айгунов Г.А. Асимптотическое поведение нормированных собственных функций одного эллиптического оператора в N-мерном шаре // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки. 2002. № 3. С.3-16.

40. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, М., 1969.

41. Horn. I, Math. Annallen 49, 1897, 473-496.

42. Гаджиева Т.Ю. Асимптотика собственных значений для одной нерегулярной краевой задачи типа Редже // Сб. статей ассоциации молодых ученых Дагестана, Махачкала, 2006. Вып. №34. С. 129-136.

43. Гаджиева Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 4-го порядка на отрезке 0,а] // Материалы третьей Межд. научн. конференции, Махачкала, 2007. С. 68 -72.

44. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Асимптотика собственных значений и оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2«-го порядка на отрезке 0,а] // УМН. Москва, 2008 г. Том 63. Вып. 1 (379). С. 157-159.

45. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной регулярной краевой задачи,порожденной дифференциальным уравнением-го порядка на отрезке 0,а. II Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. Ростов-на-Дону, 2008. № 6(148). С.5-7.

46. Гаджиева Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением -го порядка на отрезке 0, а] // Изв. вузов Сев. Кав. р. Естеств. науки. Ростов-на-Дону, 2008. № 6(148). С.8-9.

47. Гаджиева Т.Ю. Об оценке нормированных собственных функций задачи типа Редже в случае постоянных коэффициентов // Межвуз. н.-тем. сб. «ФДУ и их приложения». Махачкала, 2009. Вып. 5. С. 73-84.

48. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Об оценке нормированных собственных функций задачи типа Т. Редже в случае гладких коэффициентов // Межвуз. н.-тем. сб. «ФДУ и их приложения».Махачкала, 2009. Вып. 5. С. 18-26.

49. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Изучение собственных значений одной нерегулярной несамосопряженной краевой задачи на отрезке 0,а] // Материалы четвертой Межд. научн. конференции. Махачкала, 2009. С. 26 -28.