Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Министерство общего и профессионального

образования российской федерации

Дагестанский государственный университет

Джабраилова Лейла Мусаевна

Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов типа Штурма — Лиувилля с негладкими

коэффициентами

01.01.02 — дифференцциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Научные руководители: Гехтман М.М. доктор физико - матем. наук, профессор; Айгунов Г.А. — кандидат физико - матем. наук, доцент.

Махачкала 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .........................4

Глава I. Изучение дискретной компоненты спектра оператора Н{е) § 1. Постановка задачи и формулировка

основного результата................ 16

§2. Построение решений i9(x,A) и <р(х,Л)........20

§ 3. Построение функций Блоха ............27

§ 4. Построение резольвенты оператора Н{е).......30

§ 5. Доказательство первого утверждения теоремы 1.1. . . 35 § 6. Доказательство ограниченности снизу множества

собственных чисел оператора Н(е) .........40

Глава И.Изучение непрерывной компоненты спектра оператора Н{е)

§ 1. Формулировка основного результата.........46

§2. Построение оператора ^(д) ............48

§ 3. Случай двукратного спектра оператора Н{е).....53

§4. Разложение произвольных функций из 1/2(—оо,оо) по

обобщенным собственным функциям оператора Н{е).

Равенство Парсеваля - Стеклова..........56

§5. Спектр оператора Hq(s) ..............59

Глава III. Спектральный анализ оператора L(a)

§ 1. Постановка задачи и подготовительные теоремы ... 64

2. Спектральный анализ оператора L(a) в случае а ^ 0.

Подготовительные леммы .............68

§ 3. Построение разложения единицы Е(а)

оператора Ь(а) в случае а ^ 0...........74

§4. Спектральный анализ оператора

Ь{а) в случае а < 0................80

Литература.....................85

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих модельных задач квантовой механики [2], связанных с исследованием свойств одномерных кристаллов, в линейном приближении, с математической точки зрения сводится к изучению спектральных характеристик в ¿2(—оо,оо) уравнения

В уравнении (0.1) потенциал д(х) является вещественной, периодической с периодом, равным ш > 0, функцией. В физической литературе уравнение (0.1) называется уравнением Хилла.

При условии суммируемости функции спектральные характеристики уравнения (0.1) изучались многими авторами. Итоги этих исследований подытожены в монографии Э. Ч. Титчмарша [39].

Установлено:

- спектр уравнения (0.1) полу ограничен снизу, абсолютно непрерывен и двукратен;

- спектр состоит из объединения отрезков (зон) Aj , разделённых интервалами (лакунами) Tj;

- число лакун, вообще говоря, бесконечно;

- длины лакун Т) при ] —оо стремятся к нулю;

- произвольная функция / е Ь2{—оо,оо) может быть представлена обобщенным интегралом Фурье как суперпозиция решений уравнения (0.1), соответствующих непрерывному спектру

у"(х) + д(х)у(х) = Ху{х), \х\ < оо,

(0.1)

оо

(0.2)

В дальнейшем, предполагая, что q{x) периодический потенциал является гладкой функцией, был уточнен порядок стремления к нулю длин лакун 7} У оо) ([26], [30], [35], [40]), а также установлены необходимые и достаточные условия на потенциал д(;г), при которых спектр уравнения (0.1) состоит только из конечного числа зон [14].

Поскольку периодический потенциал электрона в кристалле известен не точно, а исследовать количественно спектр уравнения (0.1) в общем случае весьма трудно, то Р. Крониг и В. Пенни [41] впервые ввели периодический потенциал

оо

д(х) = е ^^ 8(х — п).

п= — оо

В этой формуле е — произвольное вещественное число, а £)(ж) — функция Дирака.

Математически корректное истолкование уравнения Шредингера с сингулярным потенциалом впервые было осуществлено Ф. А. Бере-зиным и Л. Д. Фаддеевым [6], которые включили такие операторы в общую схему самосопряженных расширений симметрических операторов в гильбертовом пространстве.

Впоследствии спектральные свойства операторов с сингулярным

оо

потенциалом ^^ ап5(х — п) интенсивно изучались ленинградской

п= — оо

математической школой (обширный список работ этих авторов имеется в [2]).

М. М. Гехтман и И. В. Станкевич [10] - [12] исследовали спектр дифференциального уравнения Хилла с обобщенным периодическим потенциалом

оо

е) = д(ж) + £ ^ 6(х — п), х£ (—оо,оо). (0.3)

п= —оо

В формуле (0.3) — произвольная вещественная кусочноне-

прерывная периодическая функция с периодом, равным единице.

М. М. Гехтман и И. В. Станкевич показали, что в случае обобщенного потенциала Кронига - Пенни (0.3) остаются справедливыми все

утверждения теории Э. Ч. Титчмарша, кроме утверждения о стремлении к нулю длины интервала X,- при у —V оо.

В случае е ф 0 число лакун в спектре бесконечно и при ] —> оо длины лакун Tj стремятся к пределу, равному 2\е\. Затем М. Г. Га-сымов и Р. 3. Халилова [8] выяснили, что в случае уравнения

-у"(х) + д(х) у(х) = Хр(х) у(х), \х\ < оо, (0.4)

где функция р{х) определена на периоде формулой р(х) = р(х + 1)

Г г^2, V ф 1, 0 ^ ж < а < 1,

Р^ "11, а ^ ж < 1,

длины подпоследовательности лакун в спектре уравнения (0.4) при 3 —» оо стремятся к бесконечности.

Случай периодического потенциала, являющегося производной от некоторой монотонной функции, изучал В. А. Дмитрущенков [21], который показал, что в этом случае длины лакун в непрерывном спектре асимптотически ведут себя как коэффициенты Фурье периодического потенциала.

Необходимо отметить, что в случае конечного промежутка спектральные характеристики оператора Штурма - Лиувилля с потенциалом, являющимся производной от функции ограниченной вариации (включая и решение в терминах двух спектров обратной задачи спектрального анализа) были изучены В. В. Жиковым [23].

В случае реального кристалла возникает проблема описания влияния границы кристалла, которую можно учесть, предполагая, например, что потенциал вне кристалла равен константе г/, а внутри области занимаемой кристаллом, совпадает с периодическим потенциалом.

В 1932 г. И. Е. Тамм [36] рассмотрел такой кристалл и впервые показал, что наряду с известными в то время «зонными» состояниями электронов у поверхности кристалла могут существовать также состояния электронов совершенно иного типа. Эти поверхностные (таммовские) состояния электронов обладают дискретным энергетическим спектром и соответствующие собственные функции экспоненциально затухают по мере удаления от поверхности как в глубину кристала, так и в сторону вакуума.

Для количественного рассмотрения вопроса И. Е. Тамм исследовал спектральную задачу для уравнения Шредингера с потенциалом

и указал на возможность появления собственных чисел (поверхностных или таммовских уровней) в лакунах неограниченного кристалла.

Начиная с работы И. Е. Тамма [37], в физической литературе по теории твердого тела [22], [7], [32] значительное внимание уделяется поверхностным (таммовским) состояниям, что особенно существенно в связи с рядом конкретных экспериментальных эффектов, установленных в последнее время [22].

В одномерном случае при исследовании свойств кристаллов, связанных с влиянием границы, возникает задача изучения в 1/2 (—оо, оо) спектра уравнения

В формуле (0.6) потенциал Q(x,e,p(x)) определен формулой

В этой формуле е — вещественное число, q(x + 1) = q{x), q(x), р(х) — вещественные функции.

В случае р(х) — v — const спектральные характеристики задачи (0.6) были изучены М. М. Гехтманом и И. В. Станкевичем в цикле работ, подытоженных в [12]. А.Д.Назаров [28] рассмотрел спектр уравнения (0.6) с потенциалом

(0.5)

-у"(х) + Q(x,£,p(x))y(x) = Ху{х), \х\ < оо, (0.6)

(0.7)

р(х) = ах (х ^ 0)

и показал, что природа спектра в этом случае существенно зависит от знака числа а. Случай же комплексного числа а (1та ф 0) изучался Д. Е. Авроном [48].

В предположении, что р{х) также периодическая функция, спектр уравнения (0.6) изучался С. Пхоммасоном [31], а при условии \р(х)\ оо (х -» — оо) К. Тхепсаваном [25]. Настоящая диссертация примыкает к этому же кругу вопросов.

Сформулируем основные результаты, изложенные в диссертации.

Пусть £ — произвольное вещественное число, определим функцию

В дальнейшем, будем всегда предполагать, что р(х) — вещественная непрерывная функция, обращающаяся в тождественный нуль при х ^ х\ ^ 0), а д(х) — вещественная на полуоси х > 0 функция, периодическая с периодом, равным единице.

Рассмотрим в 1/2(—оо,оо) множество функций f(x), удовлетворяющих условиям (п = 1,2,...)

Методом [11] показано, что оператор Н(е) самосопряжен в Ь2(—оо, оо).

В физических работах [36] рассматривается обобщенный потенциал

(0.9)

Обозначим через ip(ж, Л) решение задачи Коши

—(р"(х, Л) + Q(x,p(x))<p(x, А) = Х(р(х, А) (|ж| < оо), ¥>(0,А) = 0, у>'(0,А) = 1,

а через -д(х, А) — решение задачи Коши

Л) + Q(x,p{x))'d(x, А) - Л) (|ж| < оо), 0(0, А) - 1, г9'(0, А) = 0,

Введем функцию комплексного переменного А

F(А) - 0(1, А) + у>'(1, А) + е<р( 1, А). (0.10)

В работе [11] показано, что функция F(А) —аналитическая функция порядка 1/2 на комплексной плоскости переменной А и уравнения F(А) = ±2 имеют только вещественные корни.

Обозначим через Aj {j — 0,1,2,...) нули функции F(А) — 2, а через fjLj (j = 0,1,2,... ) нули функции F(А) + 2. Тогда [11] числа Aj и ¡ij удовлетворяют неравенствам

-оо < А0 < fio ^ /¿i < Ai ^ А2 < • • • < fX2j ^

^ M2j+1 < ^ A2j+2 < ■ ■ ■

Более подробно см. [38, с. 351]. Числа A¿ и ¡ij разбивают вещественную ось на отрезки (интервалы) Лj и Tj (j = 0,1,2,... )

AJ = i г Л 1 . 0, , ! (/г = 0,1,2,...)

!(—оо, А0);

j=2fe + l (fe = 0,1,2,...) .

(Aj_i, Aj); j = (k = 1, 2,...)

Введем обозначения

A = (jAi; T = UTi- (°-И)

Определим функцию (Л ^ Л, Л ф Ь^)

т еу(1, Л) + А) - т?(1, Л) - л/^(А) - 4

=-Ща)-• (°л2>

обозначим через Ъз — нули функции <£>(1,Л).

В формуле (0.12) функция у/7г'2(Л) —4 является аналитической в комплексной плоскости Л с разрезами, совпадающими с Aj. На интервалах X) функция у/Г2(Х) — 4 принимает вещественные значения, причем

81ёп л/^2(Л)-4 = (-1)'" У = 0,1,2,...),

а на берегах разрезов Aj функция у\Р2(А) — 4 принимает чисто мнимые значения противоположных знаков, причем на верхних берегах разрезов А3- (] =0,1,2,...)

^2(А)-4 = (-1У+1 •

Получим [12], что на верхних берегах разрезов вдоль Aj

т2(\) = Р(Ь) + гЯ{Ь) (А = Ь + го). (0.13)

В формуле (0.13)

<2(Ь) = \/|^2(А) - 4|/2|<^(1, Ь)| > 0,

Р(Ь) = (-1УЫ1, Ь) + у>'(1, Ь) - 19(1, Ь)]/2|^(1, Ь)|.

Введем обозначения

(0.14)

вт л/Аа?!

1л(Х) = <р{х1, А) соб лГкхх — Л) ,

v а

и(Х) = ф'(х1, А) сое л/Хж1 + (р(х±, А)\/Азт У/Ххх,

/1\(А) = "&(х1, А) сое у/\х\ — ^'(хх, А) ^ ^

v А

А) = А) соя Л/АЖХ + г9(ж1, А)\/Азт у/\хх.

и определим функцию mi (Л) равенством

= -^¡j^ff. (о.«)

Располагая функциями mi (Л) и т2(Л) и применяя метод, впервые указанный Г. Вейлем [46] - [47], определяем решения ф{(х, А) (г — 1,2) уравнения

—у"(х) + Q{x1 е,р(х)) у{х) = Xу(х), \х\ < оо, х Ф п, п = 1,2,...

(0.16)

которые при Im А ф 0 удовлетворяют условиям

фг(х,Х) £ L2(-оо, 0), Фг(х, А) £ Ь2(0,оо),

(0.17)

г/>2(я,А) G Х2(0,оо), ^2(ж,А) £ L2(-oo,0).

В главе I диссертации построена резольвента оператора Н(е) и изучена дискретная компонента спектра оператора Н{е). Сформулируем основной результат главы I.

Теорема 1.1. Дискретная компонента спектра образует разве что конечное множество, совпадающее с множеством

J2 = Sdn(-oo,0)nT.

Во второй главе диссертации изучается непрерывная компонента спектра оператора Н(е).

Поскольку показано, что оператор Н{е) — самосопряжен, то для изучения природы спектра следует построить спектральное семейство проекционных операторов Е\ (—оо < А < оо). Пусть д = (а,/3) С (—оо, 0) ПЛ. Положим Е(а) = Ер - Еа.

Определим функцию

Й(Ь) = 1т г Вт о т1(А)'тг(Л) = (^Ц-Р^ + ОЧЬ) (0Л8)

Справедлива формула (/(ж) € Со(—оо,оо))

(Е( д)/,/) = 191{Ь)\(ФиЛ\2с1Ъ. (0.19)

А

Напомним, что если /ид принадлежат Ь2(—оо,оо), то

оо

(/,#)= J f(x)g(x)dx.

-оо

Если же А С (0, оо), д <Е Т (/(ж) е С0(-оо, оо)), то

(Я(д)/,/) = 19г(Ь)\(ф^1)\ЧЬ. (0.20)

А

Пусть А ^ 0, Л £ А, дсЛ. Положим 7711 (Ь) =Д1 + ¿д2, Д2 < 0,

т2(ь) = р(ь) + «д(ь), д(ь)>о, (0.21)

Дз(Ь) - (Д1 - Р)2 + (д2 - £)2, Аз(Ь) > 0.

(2.3.2)

Определим функции

ац(Ь) = |д2| + д(Ь), (0.22)

а12(Ь) = а2х(Ь) + Р|Д2[, (0.23)

а22(Ь) = д • (Д? +д|) + |д2| • (Р2 + д2). (0.24)

В М2 введем матрицу второго порядка

А=(ац (Ь) Й12(Ь) \ «21(Ь) а22(Ь)

(0.25)

и определим функции (/(ж) £ Со( — оо,оо))

оо

— оо оо

3(Ь)= I д{х,Ъ)/(х)ёх.

— оо

Ь) и ф(х,Ъ) — решения уравнения (0.16), удовлетворяющие условиям Коши

£(0, Ь) = Ь) - 0; $'(0, Ь) = ?(0, Ь) = 1. Введем еще вектор - функцию

Пусть А)0, А е Л, д

С А. Справедлива формула

(£(л)/,/) = ^у. (0.26)

д

Из формул (0.19), (0.20), (0.26) следует теорема 2.1, характеризующая непрерывную компоненту спектра оператора Н(е).

Теорема 2.1. Непрерывная часть спектра оператора Н(е) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, совпадающей с множеством

ва = ((—оо, 0) П Л) и [0, оо),

причем на множестве (0, оо) ПА (множество Л определено формулой (0.11)) кратность спектра равна двум, а на множестве (0, оо) П Т и (—оо, 0) П Л — единице.

Теорема 2.2. Пусть /(ж) 6 1/2(—оо,оо). Справедлива формула Парсеваля - Стеклова

(/,/)= Е

tk €

+ Е / (/(^М)) |2с/Ь+

Л,-С(-оо,0) 7 Т5-С(0,оо)

(¿Ь

ТГ^ У Аз(Ь) '

7 ЛдС(О.оо)

В этой формуле через ^ обозначены нули функции ТУ (Л), элементы матрицы .А(Ь) определяются по формулам (0.21) - (0.24), функция Аз(Ь) формулой (0.21), а функции фг(х,х) (г = 1,2) условиями (0.17).

В § 5 главы II и в главе III рассмотрены частные случаи оператора Н{е), поясняющие общую теорию.

В § 5 главы II рассмотрен случай оператора Н(е), у которого

( 0, ж ^ 0

д(яг,е) = ^ £ « 6(х-п), х>0

к те=1

Показано, что в этом случае может быть разве что конечное число отрицательных собственных чисел (таммовских уровней).

В некоторых областях теоретической физики и теоретической химии [2] возникают задачи, связанные с моделированием поведения электронов в протяженных квантовых системах. Ввиду сложности исследования реальных задач для качественных энергетических оценок часто ([2], [24]) используют одномерное уравнение

п

-у"(х) + ~ хк)у(х) = ху{х), \х\ <.00. (0.27)

к=г

В уравнении (0.27) п € N — фиксированное число,

— оо < xi < х2 < • • ■ < хп < оо

ак (к = 1, 2,..., п) — некоторые заданные вещественные числа, отличные от нуля.

В диссертации (глава III) рассмотрен простейший случай п = 1, соответствующий оператор обозначен ь(а). Пользуясь методами, развитыми в гл. I - II, установлена формула Парсеваля - Стеклова, изучена природа спектра оператора Ь(а), детально выяснено, как меняются спектральные характеристики рассматриваемой модельной системы в зависимости от знака числа а.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15] -[20] и неоднократно обсуждались на семинаре по спектральной теории дифференциальных операторов в Дагестанском государственном университете, на научном семинаре профессора Юдовича В. И. в Ростовском государственном университете, на научном семинаре профессора Жикова В. В. во Владимирском государственном педагогическом университете, а также на I Международной научно - практической конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Санкт - Петербург, 1996 г.).

ГЛАВА I ИЗУЧЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ КОМПОНЕНТЫ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА Н(е)

§ 1. Постановка задачи и формулировка основного результата.

Пусть £ — произвольное вещественное число, определим функцию

В дальнейшем будем всегда предполагать, что р(х) — вещественная непрерывная функция, обращающаяся в тождественный нуль при х ^ х\ (х\ ^ 0), а д[х) — вещественная на полуоси х > 0 функция, периодическая с периодом, равным единице.

Рассмотрим в Х>2(—оо, оо) множество функций /(ж), удовлетворяющих условиям (гг — 1,2,...)

Условия (1.1.2) можно формально учесть, введя вместо потенциала (¿(х,р(х)), определенного формулой (1.1.1), потенциал вида

ж < 0 ж > 0

(1.1.1)

(1.1.3)

(1.1.2)

(1.1.4)

В формуле (1.1.4) ё(х) — функция Дирака.

Тогда формулу (1.1.3.) можно записать в виде:

НШ = -/"(*) + Ж®,е,р(х)) • /(ж).

Обозначим через <р(х, А) решение задачи Коши

—(р"(х, А) + (¿(х,р(х))(р(х, А) = А<р(ж, А) (|ж| < оо), у>(0,А) = 0, у'(О, А) = 1,

(1.1.5)

а через А) — решение задачи Коши

-■д"(х, А) + Я{х,р{х)Щх, А) = А0(ж, А) (|ж| < оо), 0(0, А) = 1, 0'(О, А) = 0,

(1.1.6)

Поскольку (р(х, А) и А) — решения однородного уравнения

то вронскиан И^(<£>,0) функций (р(х, А) и 0(ж,А) с учетом формулы Лиувилля легко вычисляется

Следовательно, функции у?(ж, А) и А) при каждом А являются линейно независимыми решениями уравнения (1.1.8), причем при каждом фиксированном х € (—оо,оо), (р(х, А) и 0(ж, А) являются аналитическими во всей комплексной плоскости А функциями.

Введем функцию

В работе [12] показано, что функция -Р(А) является аналитической функцией порядка 1/2 на комплексной плоскости переменной А и уравнения -Р(А) = ±2 имеют только вещественные корни.

-у"{х) + Я(х,р(х)) у(х) = Ау(х), \х\ < оо, (1.1.7)

(1.1.8)

^(А)=0(1,А) + <^'(1,А)+^(1,А).

(1.1.9)

Обозначим через = 0,1,2,...) нули функции ^(Л) — 2, а

через Цз = 0,1, 2,... ) нули функции ^(Л) + 2. Тогда [12] числа Xj и ¡1^ удовлетворяют неравенствам

— оо < Ло < /¿о ^ /-¿1 < ^ А2 < • • • < ¡¿2з ^

< №з+1 < Мз+1 ^ Аг^+2 < • • •

Числа Xj и |lj разбивают вещественную ось на отрезки (интервалы) Л,- и 2} 0'= 0,1,2,...)

д Г [Ал^]; ¿ = 2*:

г л ! • 0, , , (« = 0,1,2,...

И/^Л]; ^ = 2/г + 1

|(—оо, Л0);

(/*,■-!,^ - 2/с + 1 (/с = 0,1,2,...) . (Ау_1,А,-); .7 = 2* (А = 1,2,...)

Введем обозначения

Л = УЛ,-; Г = иТ,, (1.1.10)

Определим функцию (А ^ Л, А ф Ъ^)

гг, ^(1. А) + А) - 1(1, Л) - у^(А) - 4

™2(А) = --, (1.1.11)

Ъу — нули функции с/?(1, Л).

В формуле (1.1.11) функция у^(Л) — 4 является аналитической в комплексной плоскости Л с разрезами, совпадающими с Aj. На интервалах Т) функция л/-Р2(А) — 4 принимает вещественные значения, причем [12]

л/^2(Л)-4 = (-1У и = 0,1,2,...), (1.1.12)

а на берегах разрезов Л^ функция <у/Р2(А) — 4 принимает чисто мнимые значения противоположных знаков, причем на верхних берегах разрезов Aj у = 0,1, 2,...) [12]

^Р2(А) - 4 - (-1)»1 • - 4|.

Тогда, как это следует из [12] на верхних берегах разрезов вдоль

А,-

ш2( А) = P(b) + iQ(b) (А = Ь + го). (1.1.13)

В формуле (1.1.13)

(1.1.14)

(1.1.15)

Q(b) = y/\F*(\)~ 41/2^(1, b)|> О, P(b) = (-1)''[гу>(1, b) + b) - 0(1, b)]/2|(/?(l, b)|.

Введем обозначения

¡jl(A) = ip(xi, A) eos VXci — {x\,