Спектральный анализ операторов, близких к спектральным и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Ахмедов, Али Мустафа оглы
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Баку
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1994
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ид
г ДПР 1394 .МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
АЗЕРБЛЙДЖАНСКОИ РЕСПУБЛИКИ
БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. Э. РАСУЛ-ЗАДЕ
На правах рукописи АХМЕДОВ АЛИ Л\УСТАФА оглы
УДК 517.927.25
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОПЕРАТОРОВ, БЛИЗКИХ К СПЕКТРАЛЬНЫМ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(01.01.01. — математический анализ)
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
БАКУ - 1994
Работа выполнена на кафедре теории функций к функционального анализа Бакинского Государственного Университета им. М. Э. Расулзаде.
Научный консультант:
— чл. корр. АН Азерб. республики, профессор
Аллахвердиев Дж. Э.
Официальные оппоненты:
— доктор физико-математических наук, академик РАН
Маслов В. П.
— доктор физико-математических наук, академик АН
Азерб. Республики Гасымов Л\. Г.
— доктор физико-математических наук, профессор
Салимов Я. Ш.
Ведущая организация: Механико-математический факультет Львовского Государственного Университета им. И. Франко.
Защита состоится « 6 » 1694 г. в « ({ » час.
на заседании Специализированного Совета Д. 054. 03. 02 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Бакинском Государственном Университете им. М. 3. Расулзаде по адресу: 370145, Баку-145, ул. акад. 3. Халилова 23.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ им. М Э. Расулзаде.
Автореферат разослан « Д. » Мм-р^ГС^ 1994 г.
Учений секретарь Специализированного Со; доктор фнзико-математнчес профессор
М. А. ЯГУБОВ
- 'S -
ОШЯ ХАРАКТБРКСТШ. РАБОТУ Актуальное» миц.
Кая известно, одним на достаивай теории нормдышх операторов является юе спектрэльяое представление я эомохяосп построения для них фумцконааьаого истасленйя. Для авсамбсоп-ряяеяных операторов эта и сиязанвыа с «имя другие вопросы нн-теяоетио разрабатывается уевлияяа инот иатеказджя» Заыетяов место в этом яапрамектг зааимавт класс сп^гралмых onepato» ров, который был введен г изучен ¡ЬДанфордош {IJ в его сотрудниками. Однако требование ограниченности раз50*вавя единицы зля спектральной itepu cyxaeif область прямеяещя гаяях операторов. Поэтоау я (Гила предприняты попытки освобедгться от зтого ограничения. Судесйенныа вага ?мм • каэрав¿йи была сделана в работавВ;.Э.Лянце ( С 2'J » (81 )• (*1 «а . гакке И.Колйжовра я Х.Фойаиа £ 151 > 14!. )•
В своих рабйтах В.Э.Дяяце рассйатратал операторы о неограниченными спектральными играна; атя работы, на аав вагдяд, в значительной мере ЬйосоСОйкмла размятяю сяеятрзл&шх операторов. , . ' ; : '
В раоотах К.Фойава я его еотрудяяяов айХелегш в юучавы так яазыааеиыв раэлмпшые oßejpÄtöpi. ДА! 'Шик операторов вов-гров'Ьфй^фшоб^ яб*яежав»'ж 'мшхЬакаа некоторое сяев-тральвые свойства. ,.,..,'„
0«метш» что свойства базисное« со скобкааа «оряевшс элементов несаносопрявепяшс коыпактяадс операторов, таксе операторов дкскретныи спеатрол (дискретных олератороа) в более обща случая* обнаружены, яо-видииоиу, И.В.Келдызем ( 17] , {8} )
' я 1951 году. - -.......
Идея работы М.В.Келдыоа (?) ЩОЩ исследовать многое : спектральные свойства несаиосопряхеяннх ¿nepaiopoB ( М.Г.КреЯя,. 'я.С.Ливаед, M.A.Hafüiapu, З.БЛадский, Й.Д.№берг, С.r.Epete, . З.АЛацаев,Дг.З.Аллэхвврд;<ев, Ы.С.Еродсикй, Г.".
- Лзнгер, Б.Р.аукагнов, Л.Л.Глазмая, А.С.Ларк;/с, Р.й.дю^.-аал-*. 'С.А.Паланг, Г.Б.РадзэтЕсккй к др.). В рабзтчх одаах zajua.:.:« некоторые ооциа вопроси яесамосопряженных -¡яератороз, лз которых кек следствие витекала пояярта сгсгемк собстьерцых я г.уг-
совдкнеиякх аза»8а5од» £ других иоквчвой «<ш>а баял' исоае-довзиве полноты системы соогжввиных и присоздлнеккых элеион-тов, ра зловещ» по системе соооаввнвых и присоединенных элемента таких операторов, попугио*изучалась и другие вспомогательные вопросы.
.Крона того, шеегся ряд работ, результаты которых праыен-козся к ::нтегрьльнии, дифференциальный или интегро-даффе реп— цлальниы операторам (а.А.Найчари, Б.Б.ЛмдскиЙ, А«Г.Косточенко, В .Л.Ильин, С.Г.Крейа, МЛ'Д'асаш.-в, Ф.Г.Уаксудов, С.Й.Якубов, I.-. А .Алимов, 0.0'хелбг.ев, М.Ь.Оразов, А.А.Екаликов & Ар.;
.М.З.лелдаа выяснил» чго запас ссстеаы сэостзеншх к при-ссоглнсшшх функций несеыоеопряаешой обыкновенной задачи столь богат, чю в ряды по этим функциям йогу! быть разложены одновременно п - функций, в отличие от 191 , где рассмот-ривались розлонеиия по соЗсзавиныи и присоединенный функция« рассмотренной задачи 20 ль я о одной фукцип. И.В.Келдш: заметил,. чго постановка задача об и ~ кратной полного или п - красных разложениях возникав! естественный сбразоы для обоснования метода Фурье при решении задачи Ксаи для соответствующего урав-ноикя с цастншш производный», допускающего разделение .переменных. Он исследовал поляк оынальнш операторные пучки с коыиакткы-ан операторам;!, а так&е с операторами, ииехадии дискретный спектр.
Среди несамосопряхеиных операторов важное' ыесто занпшзюг аиктральныэ оператора. Для спектральных операторов, вввду существования ограниченного разложения единицы, ыоаио построить ■ хороиео Функциональное исчисление. Кроыо того, благодаря счетной сдд;!ти:знссти разложения единицы для спекткалъких операторов сп^вздлнгы заялве теорема о-сходквосги евнзакни:: с икая опск-раалсаснЕй. Если Т - коипакхаый зпекхралышй опера-тсргдействующий в би;аховоы аросхраиотое X • 10 всякий эле-.'-"я** .-'л . иксе« безусловно сходяывоси разложение ьида
>с - X. Е (^п) X , -спектр
Апс(?<т>
оператора Т , • (>< Т> = { х»»:1 <« = «•*.••• ) , £ < • "> -
ггюъенпе ¿дгккца операторе Т . Зслл Т - спектральной
оператор скалярного йша, ?о элеиоиты £ ( х.,1 х fa дуг сс-бс-таенныаи элементами олерэгора Т .
Как бы ни были иярекя ранни ïoqji;ib спекгрэ;;ышх cntíascpwi, они обладааг некоторыми недостатками. Одним на mir. язляетол ог-раяЕкояпосгь и счетная аддитивность разложения единицы тенях операторов. Коп било указано вше о'шш сдешш попиткл огг."'о-дигьсн ог эгвх ограничений к построены цсзш a.mocu osu^ato;»«» обобщающие класс спснзралышх операгоров. '
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. дмсс^ртационна« работа» s которой посгрсец / изучен новый класс линейных замкнутых о:-.:г»э$орсЗ| близких к опвкгралыш и дано арипененке к зопросаь Caoasaocrá соестзетчих и присоединенных элешвптоз обща а копироператорных яуч-коз, посвявдна одной из вазиойинх ароблэа сакральной тоорк»: линейных впераюров. При' эгса:
- рассмотрен нош!» класс опзрагороч соотоподН ш лшюйввх эаианугшс операторов» т.ъ чз&морыи ово?.-схваи к саекгрзлызш операгорз^ (з еягогэ 8>Йб:1$орда i В.Шда), яо болов ввроаяй чвн ощг в m созаадавщй, геоб®а с «дассоа обобщенных саукззйгшшх операяороз з см нога В.ЭЛяяцэ,
Операsopu «а кдасоа А обладав? веста бвгеккз спояграшшия СЕ.оИогвашк чои разлоакшз опарагоры з с^ысгл К,ФоГ.зза{
- дыделбя подндаоо J £ «лscao ' , обладаеадй вак-ныаз самгсраябндоа овоЯсгвамя. Непраяэр# да "опэреторсв из класса cyascsuyes csaseas дазьюкуглкх еяэкгральяых просторов» ряд» составлеяякх га soso paz йззуологяо сходится з сильно?, операторной водолеи®. Огшгга» чго оператора sa «даоса/г -д стопеBb, которые коияакиш нрн яедсгорон п ( п - аоышты) ига дяскрегяы ( к - дкгкрэгяы). s еяаатральяые оператора
( /г - сааагральны) сольно расаярявэ ггласо kouümsuíx (mi дко-крэтных) спекгралбнкх опараторов?
- для ». - коипаатых операторов изучояэ сзя?5 йезда пх '.лрвнвддм&осмв классу (ооогэ.ияаосу Я ) я ^эисзоота» с© скобкаия (соогзебеэусловксй баэяогвоойп со 'ко-темы их всрпевюс эдеьюятовг ,
- усягэпа извеотяая теорема Н.Даяфорда о' киаггакгяах операторов, дейсгзуягдах в рожист.чей <.?;то?ои проотршюгвб, sa случай « - коютакгягас wiopasop-'-s*-
- изучена сзойстга одяозпетеого paoapscïpasstaï ?;пк сгра-
пкченишс скаре-ров к" кл^ооа Л к для вяс построено функциональное исчпсггнгг;
- предложен ыааох, об обдающих известный иеход Фрвдрихоа-Тёрнера для установления спектральности коыпактных возмущений коипактных спектральяых с-ераторов скалярного типа, имеющих сеоконечяое число ионечио-кратных собственных значений!
- научены вопросы, связанные с отношением квааинильпо-тентной эквивалентности ограяичовяшс операторов из класса Л . Например, установлено, что вела Т, .и Т^ - ограниченные квазинильлотентно аквиваленткиа операторы к Tt & & , гог-
д а Tt í А |
- доказана лейка, устанавливающая структуру к - коа-пэнтных спектральных операторов. овалярвого тапа при некотором
i-i в гильбертовом пространства о пои ода собственных значений и соответствующих еобсизевкых проекторов ззих операторов. Эта яеыаа играет ваиную роль в гада чах возиук&зий для операторов! обладающих точачнкм спектров;
- дояазонн геороин о лрпладлзпнеегг коипактних возыуш/лшй п « коипактных (ала п - даокрзгких } спектральных операторов скалярного тппе к классу Я . При этой на спектр 'нввозн.у-щенпнх операторов вавладмаится танго re ус;:оаил, к а« и в соотзегствующх ранее известиях теораиезс (напр. А.С.Маркуса, Дх.Э.Ахлахвордяева, Р.Дгабарзаде, В.З.Каднельоона и др.)» но получены 0oxea сильные чеы з этих тоореыах результаты;
- доказаны seoремы о бзсусловнол сходзяоета н - кратны* разложений со скобками для лебых элецентов по систзаз собственных и присоединенных элеыекгогэ операторных пучков, доэффицкея-ть! яри А'1 у которых является и. - компактный (или п. -д/.скретзый) ойскгргльаы* оператором скаакркого типа. 3 ранее нлтзееттех рэС'ОТэх, когда незезиущонный оператор С /декретеи
а коруалав, утяяридается безусловная оходичаосм» .п. - кратких разлсьакйП со оиобкамь для эдемсягоз s 2> < S n ) (V; о. t,'?'.-н~1)по счете ко с?6стэсйн<.!Х у. прзоовдзтаемк гае« «svtos расмотрс'дах пучке1», Отаетпм такхе, vto нсвосчу^и-:?. оператор в настоящей ребои ¿огет быть дагэ т. - кеиаакгяыы
>л- m .. efieaE¡;»JBbmH! anepatoyca, a apt: этой
ели оп?р?ггр п явлг.згея иг компэглкц;:, ус глэрг.;орга езьгдр-аэго типа; _ *
- исследована n - кровная полнота сисгеиы собственных и присое диненных .элементов одного класса полиномиальных операторных пучков, невозыущовный оператор при A* которых является спектральным оператором конечного иша а сиизло.Н.Дак-форда и т - хоипантев. Это последнее условие заменяет соответствующее условие известной теоремы Дх.Э.Аллахзердиево о
том, что сисгеаа собственных элементов этого оператора образует базис (базис Рвсса) в гильбертовом пространстве а размерности корневых подпространств его ограничены в ммкупности;
- подученные результаты о бозуслсшгс:» оходлиоотя со скобками кратных разложений по системе собо^гзих и присоединенных элементов применены к конкретным даффереуц.гздьным оператора?.
- исследована вопросы полном и базисзсо*;: Рис с а со скобками для одной, задачи интегро-дафферэвциалыг.": уравнений в од-HocjtcpocTHou лрибленеяни о нзогрспяк«! г?сс:? з теории ядерных реакторов, .
НАУЧНАЯ НСЗГГЗНА. Все резульгзгл диссертации яздязтся новыми. Обоснованное в диссертации н обусловливавшее ой 9«1уаль-ность новое направление и раграбозавкнЯ метод з изучаяга вопросов баэионосги собственных я прасоэдаяеншос зленовяоч операторных пучков является самостеятелышии s вйгны:<я как для с^октраль-ной теории иесамосопряаенных операторов, гак и для ярилсжеиии к дифференциальными опарзторам а к ант9гро-дт:!фзрояцаал&нж уравнения« теории ядерных реакторов.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Лрп обосаовенаи полеченных в диссертации результатов исшшзозаш seso® слеяград-бяой sao-рии линейных и явлзяейкшс (полиномиальных п рацаовздьнгос) операторных яучкоз, спектральяыз операхорсз, гзорта фуяяцвй комплексного переменного.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И йРАКГ,№СКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. В ССНОК'ОИ ПСДу-честные в диссертации результаты носят георс-етчесий' .«матер . •чВозмоаяос» пх-пршкяюяая дяя ввяозорох коянрэтяьег. -с. <u ' 'яаньг в семой работе. В lactaocsu, полученные р-згуг1 -акм о ич* ноте и базисвости со скобнаик была'примеяеян u еекахзгс^ к;., incalí обыкновенных дгффзре.ицгадг1шз: олерзтг г од::.1" ¿--¡дзчг яятвгро-Д!г44еревцт5-Л2>ша: операторе* «еоргяе.зхертх >#5згороэ»
Полученные резу.гъгаты к угу-лух; uoiVf" быхь мчотаойаш прз исслодоганЕЛ вопросов ¡;сляогь' ш баеиояосга для зшш опаоыва-юцкх различных фазичвокш; иуоц'-гооз перзноеа часкац (диффузия ¡Ыиронов в в9!досгбо, paccsîuiss csesa г еиосфзрэ, прохождение
- лучой чарзз рзссоЕоа.тд?® среау, ьзрэноз кааученпя в звёзд-них'а га ос фарах, лазнк косичасних лучей s щ>»).
АПРОБАЦИЯ PûEOtHr Озь-огнаа результазя рабоги довладавались на семинарах чд.корр-лК Республик Азербайджан, проф. Да.3.Аллажвордаева 'Паку , Явсгату* Кгбегзвяуии A3 Республики • Лз«зрбаЯдаая, 1969-1978, 1979-19235 БГУ, йбвяунЕВ&рсятзгелий С8-ыанар, 1993), г.роф,В.Э.дявдо (Льзозский Государстзевиый Универ-{¡1JSOI, 1989), про£. сл\кр-яша (ЗГУ, 1990,1991), акад.АН Резцуб-лкки Авербайдюш, яроф.Н Л'.Гасьщова <БГУ, I9B0-I989), акад. АН- Роспубяяка Азарбяйдхан, npoj. «.Г.Максу ?.оза (Бауу; ДОМ, 1993) кро^.Р.То'ривра (CU2, г.Ц&дзод, Вшкжсиасний Уйгпн!рс;:хег, 19781979), про£.А.ПМ'иб5:г>-эадо (ЕГУ, I973-I992), лроф, О.А,Беляеве (БГУ, 1993), на чв5вартой иэхдукародиой конференция по доффереи-циалыша ураакоявш) и лрилогензм! (Бэлгарля, г.Руссе, 1989), на иежду народней ковфесенцгл по диффэреяцздлздыи уравнениям (США, г.Чпкего, 1578), «а всех конференциях по сшигральной $оорак лннаЬвых операторов, проводимых в г,Вщ, Новосибирск, Москвы, йсрсиек, льзов, Минск к др. I97C-2989. Кроне того, огдалькыа розу лыати сбгугдадгоь в личной боседс с акад.АВ Гисяя, проф. в.и.ааоял.ьш, «кад.АН Россил, проф,В.АЛ1льикна, ярофеооорааи л.Г.Ксстечавко, в.Б.Лидсняг, А.А.Шкезакоэым, А.Г.Баскаковым, • А.С.Мгряуоса, А.Фрадмзои (США) и Р.Тёраером (США).
ДУБГ.ЖАЦТО. Совавши рввулмааи ккосертацсв ог^блияова-::u'i работах Г12) - Г 27] .
ЦТ ¡Р.7К'ГУРА ДйССЗРТАЦЗД. Диссоргацзя обьвяои 215 иашияопио-.¡ил страниц сосгоит es введения, п«п гдм п библиографий, со-^урла^'й 109 i!2Kvei:03aEz3. Теорэиы, yi-варЕдвяия а эаиечавця
гроаиув ыушзрзцда: вбпршмр, морена 2.1,2 означает: Теорема с аз § 1 главы 2.
ОСНОВНОЕ СОДОЯЛШЕ ДЮЛЗРВДМ • В i I главы I рассматривается оператор, аналитически аз-' висяпдац от спектрального гарамотра X в некоторой: области jb и действующи!} е банаховом пространстве X . Слодуя М.ЗЛелдп-aiy, определяется система собственных н прпсоздкношшх элементов лая оператор-,?,ункщш . ¿VX), являвщвйзя линейш замкнутом оперт- • тором при каздоы X € D ;
Показано, что (теорема I.I.I) если А (X)- аналитическая олоратор-оуикцпя по А в области В , дойствуздая в пространстве X и А (XI- компактный оператор для каждого X £ D .три некоторой натуральном- т , то либо Г I А с х">] не сувдотву- ' от :ш для какого АС]), лн1о [ | - А(М)"- сукствует для воэх X б D за исклачаииом многвзстеа изолир: ./max точек и является :.'орсмор;;нол функцией X
Тоорзиа i.I.I. является обсгзвниЬм изсве:н..Я теорвст М.З.Хол-..чкда (8 1 о нероиорГяоста резольвенты гомтткт ¡ого оператора, аналитически зависшего от X в о-.'.-пгти D
РоЭОЛЬЗвНТНИМ »ЛНОЧОСГГВОМ 'опврзтор-йг.чкц.. : L С х 1 I!03UG'j-ОТСЯ .МЛО'ЧОСТЙО • , ■■ - '
рс ¿c.xi) = t х' ii - ¿.^п
существует и ограничен | , a еаентрш-мшшсгва
G (¿(X)) г £ /»( Z т) ,
где С ь. комплексная плоскость, / - здчначиы.1 оператор и
X Г ' Г I
Пусть ö - компактное кловдетво из 45 ( L ( X)} , где
L i XI - аналитическая- опорзтор-Зуякция от X в области Х> С (Г н есть замкнутей опоратор при "казной X С Г) ■ .. Кро.-о того, пусть S о'леркто л эзг.!>«:'то з педдеаровашю?! тоаозогла ••лючестза G <,L(\)\ . КонтурГс^(¿аП'глзеезс'ля лоц/стакка от; «О.СИтЬлШ>' £ < XV , 6СЛИ ОЦ ЯЙДЯвТСЯ ОбЗОДИЯв.-ШвМ KO!B)4.'?OiC :
■«оггаййтеа заикадты*юрааноекх кривых, оршгедоодпшх. аояса-.гэльно, .причем область,• ограниченная оо:;эйстеом кривых Г , . cosop-at? все ' точка ;шюш>стеа и не содвряи? ли одкоЗ тэчгс лч .
G (Lcx^) .ч S . .
•.Teopor ta 1.1.2 . Пусть .. Д<М - оиератср-1С/шгсг-, тз.ш •Йк п г услоЕллг/. теоремы 1.1.1, Тогдз
г л * р*<}=1
М г
где = < ■ I ^ > л/ • » - допустюшй контур относительно,- Ао)', (>= о/» > -система собственна и присоединенных элементов А <а> , {у(= о, (,.„,111,-0 - систена собсгвеяшх и присоединенных элементов А' с л) , отвечающих хараитерисгичес-киа чиолам " , рвсполоа&нвыы внутри Г г и эаевняя оуиыа распространяется на такие чиола.
В йяучае, когда - < к X- гильбертово пространство, морешг 1.1.2 уотаяозлена Да,Э»ЛлдаХ8врдаевыы.
В работе [10] (теорема 20) й .Дакфорд докавав теорему, устанавливающею спектральности коипактшх операторов, действующее з рефлексивной банаховой проо$рааотвэ X .
С девшая теорема являятоя усидемиои указайзого результата Н.Донфорда.
Теороиа 1.2.1. Пусть оператор Т компанген при ввяогорои натуральном «» и Т действует в рефлэясивнои банаховом проо-■гранитае X . Для опсигральноетп оператора Т наобходяиа и достаточна ограниченность внтвграад
5 Я сх.Т)
х
ш С \ (2.1)
¿л лвбого долуотвыого козтура С с . £ .аХ(Ц| случае
Разложение еданиш оператор Т очетио -аддитивна к ошрзторы (2,1) св-патсл гь-ачеягшш рееясЕевия еда<яцц т ойлзоги, ограниченной С . ' • '
Г/иПГ.Й 2 ПОСВНОДНЗ ОЩЙ/^ДОЕЕЯ н изучению сваИотв одного клзооа обобзднцых спектральных опора торов.
Пусть Т - лиьеШшй заиедш?, спзрзтор, дейотвусцай в банахово'.: прсот;с;нс?ио X Через Т<Х> обовзачаи область значения опесеторе Т . Веля & - кзапаюаоо сцаыралмоо мнохеотао аз а Т - огравачзаШ'й ег-о додуотешй коатур сгносн-телмо оператор Т , о каа «шестно,
'Р^. =1 »'(»г-гГ^
' , ' Г "-■ , .
шляется проектором.
3 сздчаэ, корда Гк < к » 1,г,-~"> - онсаеш долуотямых ¿овтуров о5косаидаэ спэратора Т , го вышеуказанный проектор Суде» обозвачажься проохо через Рк ( к г 1, г______
Опръюяшв 2.1.1. агвбйяий замкнутой оператор Т принад-леайт кйзсоу А , воля оудаотвуег де бохэа.чоя очэгяое нновеотво попарно нэяерееекающосся областей <*=<,?,...) , огрзджчаяшя роотвэтотвеяво доаустшшыя конхураия Г^.tKsi.it.... 1 еакях, что С<Т) с и с^азйпе Тк оператор Т вэ подпространство Рк(Х'\ является спектральным опеде>зрр* а 21 ^ - / .
Опредзлзгше 2.1.2. Оператор 7« ^ ярйвздяеяю'люеоу Л » если лвбая врвэ^вая сумма яроввюров ^ ( к-г ¡.г.... * , где £ - лроэкгор иг определения 2.1.1* ргшоадряо ограничена. Последнее условие, обвояечвващзе пряна/^гч-ость опэра«ора Т клаосу .8 д'озаачаег, что ряд X % х Сч.,уолозйо сХода?сл я здеиеячг х , где * « X - ягбой
Ояера®ори'из классов А. я Я »«¡¡з« яз м м-зкгралй-зайа з сшсле И.Даифордэ и з саыояэ К.Дапфорл-БвйЬ, кз обобцоя-яо опоктральшня в саыогз Б.Лянцэ я яя рззясжи&ыя в с^чалэ К.ФоЯаша. - _ * •
Откатил омяугаую ■ „•.,..'.. ■
, /йорзяи 2»1»1» ярй Ййй&йаро'а Яайу раяыгом т Т -¿.•аоийияйМ 8 аросграве»& X йсиптннй оператор. Для »ого, чгоои Т £ А Се необходало и достаточно, чтобы «орневыа
оператора Т образовывали базяо (беауоловшй базяе) со скобками в пространстве X • •
Тот ке факт верея я для операторов, кеяохор.« степени яого-рых дискретны (операторы с даскрзтныав ояаграая). •
Пусть Я -глдьбвртозо прозграяогзо, 7{г-а "К о "И
■ © -знак пряыоЯ суммы. Оператор
/ О Н \
г 4 - () о)
■ в пространстве 71 , где Н -ссиооопрдгоаный коа^яь :» '¿ор в "И, яе является спектральным оаорзтороа г Ц , *?•*> гг.?.-.*«« такге н обобцевяс» спектральным ояерв тором в сшслэ В О' другой стороны, если характеристические числа спорта''.'?? Н' р-лс-
полстены, iianp;iujp, как и в тсореыз 3.3.2, Н е Я ,
Если Н - любой сло_пТральный оператор в банаховом пространстве X » 10 оператор Н ив является, вообще говоря, не спектральным, не обобщенно спектральнии в смысле З.Лязце и не разлоииш!
в Х* = Х ©X ,
Но если Поучаствует и ограничен, го из результатов Стемф-л;1_о.юдув!г, чю Н будег спектральный в X • Здесь важно, чео Нсуществует и ограничен и Н1 спектрален в X1 •
Зо втором параграфе Этой главы изучаемся вопрос о наличии сзс«.сгва однозначного распросзравеаияидругие свойства операторов' ;;з нлосса Л . . .
Ло определению 2Л Л-, яаадое сугение Тк оператора Т £ & является слскгарлышы оператором. Дозтоцу естественно овдагь, что о'пер-этор- Т Судет обладать некозоршщ свойствами, которые прксуал спектральный огюрачоран; '.
Оказывается, еола - ограничений оператор* то ов
обладает свойством однозначного распространения (лецма 2.2.1).
Пусть Тк = S, + Л/к Sic. - ок«зляркая часть,
а JVK -радикальная часть оператора Тк с «,г,...).Черва
f<T> обозкачиг класс числовых функцвй» аналитических на саек-7ро 6с Т^ опораwpa Т .
Справедливе следусцап:
Т«ор»на г.Я.Г. Если ■ Т<1 Л есть лпвсйвкй огра.чичаиигй опора тор, то для всякой'фуякодя i &.Т(Т) . /сТ) тагаа ЕХОЗУ'Т В ХЛ4Я0 Д' и ворпо соощовэпиа'
Teöpsua "oöpö'aaeicK Ьледуэддо оо'раэоы. .•".'■ Teopeua 2.3.2. Пусть Т -лвяеЯдай ограниченный оператор» fc Т(Т) и f<T> € 'Л . 2слг / - иньвкЕивная фуикциа, он-, рарелетеая в oöiiüCSR U G.- гда t j г - ебл&стя, ■ обеспечвва&рз приягдлвЬюогв оператора'./сТ), ллаооу Л , so Т i Л • ■■'•.'-;'•'.
В § 4 главы 2 ьсследуетсл вопрос о лранадлемосги дробных иолоадтеаьейх с»епеаей огревячаввах олерамрев аа класса А-atouy аа каасзу«- . ' .'.,. -''v.'."
- 18 - -
Интерес представляет следуовдй результат. Теорема 2.4.2. Пусть М , п - иатуральное число, N ь Л к М -ограниченно обратный оператор в пространстве X . Тогда Т ч А .
В дальнейшей важную роль играет следующая: Ламыа 2ЛЛ. Пусть Т1,1 является компактным окалярного типа оператором при некотором натуральной гп- . Если ^ ^ (,2, - ) - характеристическое числе и^ д=и.о~ <зоот-ветствубдий собственный проеЧсор оператора Т"* , то для лвбого р С р~ г , ••• » т-о оператор Т ^ пре^гззии виде
' „ о- _р т п _
Тр :У г < £ ) Я
где с<т = , . Р г ? •
Глава 3 Яосвящеяа различным возцуцен'ияи -¡кратеров из класса Л .
В § I главы 3 используется метод, обобщений известный «е-тод Фридрихса-Гёряера П ) .
Введем следующие'обозначения. Через ¿(¿С) обозначим банахову алгебру ллнвйшх операторов, действуяздх аз гидьберто-ва пространства # ъ К , ъ через У^ - многестзэ зсех компактных операторов, образушних двусторонний идеал и Xс . Совокупность всех операторов К й ( "Н> » Для которых
ПО' =1 $/(!<) < - . Пл ,
ГД0 с К > = £»; а К -61 с/;,* С * ; /= у 5 ~ . ' '
обозначим через
Через £ ( А) и Я< Аюбозначим соответственно область определения и область значения оператора А .
Рассмотрим спектральный оператор Те скбллр^ого , действующий в лростраяствэ "Я- . Собственные гв2чз-> -л опаро~ ..тора Т обозначим через {Д^ , .
ч- Обозначим через { Р^ соогзвтсгвуедзе по/нь$ /проекторы, существоваике которых следует яз резу;а7:-': Усриера Г £ 1 . Пусть г/"« КсР ) Г К £ / < «-о«»/ <- •)
" гг* /Я -I1
дли любого ™ ? ' 0 •
Звадеи обовначешя
- и./ . г = У
-г .. Л „2
■г
... м
и; п^т Л ' м
Рвссногрш оператор | ^
• ЯсС^У (Х- * еЛ .
;" г Ох? X С Рм * "
Выясняется, что б . является линеШшм, замкнутым и неограниченный оператором и 3)(0) - # . Кроме того (Г'е Я~> и 11 - г .(лемыа 8.1.1.)• Определил следующее инокес4во операюроз
У = { А: А С . ^.¿НСЬ. О.А Я.Т?)
о нориоа ¿Л
II А$р - 16А1' ' , А £ Р < р*п
Лейка 3.1.2. ивляогоя банаховым просграшлвоа. Для каа-догэ А * Гр с предел 13! с^одующяе отображения;
„ - <*• р до
Г<А^£ РтАР , Г<А> = 1
Демкг ЗДЛ. Справедлива утверадонип: Г : г —* Г, -"непрерывное линейное отображение и •
1 Г<А)1 ± / А I с р^п
2°. :--г <24 - аепрорганоз ги:нв:.«1ос ояображонке
Е - \ I г; сА) I! £ !АЛр £ / г р £ О
Йрз дгчаза'мльсяз« .'.Тса хоньш сугрстеекко аспокьзуотся Лохцг. г .1.3. Еусю { В* }ж„ < > -свстеиа
ЬЛ - ограахчегша::
:.;юрс<гор г. '( - !^- чао-л, То^ для тхбою
р ч 1 верны/угаерядевая:
Iе
»Л ,к р (>1=| ГЯ V I
- IS -
Ряди а правой и левой часик одновременно сходятся н г&оходятся;
¿"' J £ <* Р АР I ¿11« Р At
-sr., м m m p Sr., ^ 'и, ,llp
в случае сходимости ряда в правой частя.
6 поаоадм вышеуказанных леим устанавливается^ что если i 1 * ¡> * г) и Т - исходный оператор, то существует такой опэраТор Д с р , что
Т + Ь = и' (Т + Га(А>)Ы ,
где U - i 4 Г ( Л )
Оказывается, что Т + Г < А) зпонтралъвиП опера-
то;!, го тагг.'Л будет ограниченно подобяай еыз1 сааратор Т + В> (гьорэыа 8 ;'!»£)..
::з «этой георааы еде,дуэт, что яодпрострая^-г. R ( Е (Ь)) ( к t G <•' ''Г г & > образуют безусловный Саж пространства , 1-Д8 ECO - рззлеязнкз единицы операТ + fi • 3 ся^зе, когда нормальвг-:< ся^глюр, го теорему
3.1.1 моют сформировать следуюцйм «я.
ь.1.2. ЕСЛИ — ^ у; . /fii ~ орхо-
нор'ЛЕрсланяая окстеиа^собстззнных элоыэятов оператора Т г
£ t-' nPm6fj/^ - ,
m f It
то + А является спектрадьша osap:-герои.
fa.-onorpsHt: также некоторое частные олучае, Та^еыз Пусть оператор Т кзйиетоя компактный
cfispaTQром ¿малярного' типа я собсхзенние значения К ( n = i,x.. >
t п '
чачаиая j некб'гэрояз до мера и. , являются простыми полв-сй'!-* резольвоята с X/ -TV1 • Если £> ( £ > £ <Чр;г > •з.че^тесг;и зависит от с при i£*| <j> ( р > о) « so ас кис «сад операторы W со , А<«"> * « такие,чго
1 (с < ¿С <. "Я ) , все эти три оператора анаяикчашш от с и
Т £ Т = Ы"'(0 (Т + £ £ сА<£)>) и U)
!г» ..г;:-', теог.&иы еле дует, что осла р > о -г. мел- 2 «:.сло, го Т *■ € & <t) Т является cne.rv; $>:>?;•.{« в пространство Ji .
Svopuii параграф главы 2 яоевядея г;: .¿.^ж-
п-:1з.-.г.-,«х воя'«;езний линейных ovps иякг здерагерог класса А
Впадем of! значена
1-х
(Г^Г,)1"^^-') (i) т/т/"
Колокоара и Фойаш ' С б 1 ввели следующее понятие:
Операторы Т, ч Tt наэываются кванильяотентио эквивалентными (обозначение. ' Tt Тг ),если
tin* II с т -т )fl° Д и■ кт-г У Vro
м -> о*> ' и-чк " 1
Зерна
Теореип 3.2.2. Пусть Т и Tt являются дпне&шми ограни-ченнь.ии операторами- Т"(оо Тг . Если Tf i А , то Тг*Л.
При доказательстве этой ге.оремы попутно установмон следую-¡д:ы результат:
Teopeiia З.2.В. Пусть Т* с Ж ( m= »■••} • Для квази-н;:льпотентной эквивалентности операторов Tt a необходимо п достьточяо, чтобы ensрагоры Т1К я Т^ < к =t, г > были квааи-нильпотенхао эквивалентными, где
Тж /
lit
я f^ t if r i. 2 . •■ > - проректор us определения 2.1.1 огносшсльао оператора Т,,. <*=»,*...'> .
Оиаоиваеася, что из Т, tv> Тг следует Р п -Рг • Сбогночим ., .., у, *. к
X 1Г> ctx : хсХ ,GTc>5 с f j .
v?s Г - .завяну зое цискэство s С .
Отмсти, что ивоаасгва f > играют важную роль яря
¿стонсв.'йиик квазиналыюгекткой зквяваленгкооти операторов из класса Л •
leopeua 3.2.4. Пусть Т| принадлет классу .Л . Коли Т, л» Т. , го
г::)- любого ааиьнутего ¡jkosocsbq Г с f а f (i с то тесреха обращается олвдуевдм об раз о«:
Теорема 3.2.5. Пусть t . Т С ^ к
/
Теореыа 4.2.1. Пусть Т * и Т являются компактными спектральными операторами скалярного типа при некотором натуральной "I и о<>0, = К и все различные характерис-
тические числа
у, (1-1. 2,... 1 оператора Т ленат на
П
лучах /к ( «г 1,1 ) , выходящих из качала коорди-
нат. Предположим, что при ограниченности операторов Т А. ,
Т'^п =». г.......... т. ^ выполняется
хотя бы одно из условий!
1) - о • ТЦ'г. г*
2) ¡ОН: I • /"*- .
í
3) ¿¿"». ( /уд^ | - /уу^ I) I / = оо
где * - д/ , если <х £ / \ х, = и. , если
г/ , = / С*' * -Ч »
>' а при компактности операторов Т Лг Т Б> ( 1 -0,1 ,...,4-1 1,2...... верно хота бы одко из условий?
I) Я(Т.Т) < ^
Т^ г*
г') ¿и» /^Г^«
в) 77. {-
Тогда справедливы утваркдения:
э) система побеленных и присоединенных элементов оператор-Функции Б с >>, соответствующих характеристическим числьц, ленавда в каядой аз областей (? ( ч . к . у> , у ) , является почти полной и образует базис Рисса со скобками в своей аашшу-тей линейной оболочке 1Н.К »
б) если при достаточно больаим г к указанный дод-п:ос?рзкствгм 7(к дсбс-оитг. подг.росзранс«го, оосгазашиое'аз еебетавшас злегеятоз оператора ? , сосязотстауязек характеристическим числи при 1^.1 < г ,
~ 01 * 10 П0ЛУЧ?Т0Я базис Риооа po всем пространстве
в) оператор-функция 8сX) обладает свойством ( fi, ¡" • Отыетиы, ч5о в случае Г когда iT- - полный положительный саыосолрякенвый и компактный оператор,-и при вылоленин хотя бы одного Ез условий 2) и 2), теорема 4.2.1. была установлена Да. Э.АЛлахвердлевым [10] При условиях теоремы 4.2.1. можно показать, что 6(Х) обладает овойогьом < 6 • Верна также следующая ' ^ J
Теорема 4.2.2. Пусть Т и Т являются кошактньши спектральными оператораца-йри некотором натуральной п и
« >о Т ( Я) - Л . Пусть, кроне того, вое различные характеристические числа ju^ < ^ = < . г. , - ) оператора Т , которые,-начиная с некоторого покера, являются простыни, занумерованы в порядке неубывания модулей, и лекат на лучах
( х - \,г ,... . кв ) f выходяцих из начала координат. При удовлетворении остальных условий теоремы 4.2.1. она продолжает оставаться справедливой." ' '
Теперь в пространстве. З-f рассмотрим полиномиальную о гюрз тор-функцию .
гдз &,т* < .с ¿-0,-1 'к-1 ) . вудви очпззгь,
что оператор ( I - А ) . сувдетвуех и ограничен,
Теорема 4.2.3. Пуоть *Trv п Т* являются компактными . спектральными операторами скалярного - типа при некотором 'и , о< >0 и Т< > -- # и все различные характеристические числа /I. _ x i.i . >';'•; оператора Т , занумерованные в' порядке неубывания модулей, леаэт-на./конечном ч;:сле л^чеД, вы-ходяцих из ка«ала/координат. Пусть, яроие того, при ограниченности операторов ( i-0,1к-1) вылолнеао хотя оы одно из условий: I
I) /¿m nc'L'Tl 0
г-*«®' г* '
2) ^ - //V"/
v'. i
где х/ ~ -/^+1 * есЛЛ » */ -/«'• » еоли
« ? ( , а при компактности операторов Е>1 < о/*н-П выполнено хотя бы одно из условий:
I) /¿т и сг>Т) < ^ .
г оо '
2) Г Ф/\
_ ОС
< «О,
3) Д«. ( > I.
Тогда оператор-функция Т (XI обладает свойством .
Это теорема отличается от соответствующего типа теорем ив работ А.С.Маркуса й др. *
Нами в работе исследование полиномиальной оператор-функции А <. сводится к :-сследованию матричного оператора
Г - (7
в пространстве "К * - "И © • •• г
Тле
( К <Г+Ь,\А Т ... ( 1 + Тнн 1 о 6 ... о ' ■
Ь -
о ■ ... о
о о ... о
10 - О
о о У.'. 1
КЕ'К показал М.В.Келдыя!, олстеиа порвет элементов матричного оператора / и система соботвевяых и присоединенных
элементов \ у ] .....-л-* ; I,«.... )
оператор-функции Тел* естественно к однозначно определяют друг друга. Но гак как оператор Т ае компактен и не нормален,во здесь известные результаты сразу применять нельзя. Это сбостоятельстзо заставляло ранее исследование оператор-функции Т(Х> приводить к другому матричному оператору в пространстве
.и*«- г - ~
где
с о
г 0-0 0 ' 1 0и-'}
о о
Теперь, если Т С Т^ и аорыалея.^го таким будет и^оперпг«?
Т, • При переходе от матрицы к матрице Z ис-
пользуется ограниченно необратимый .матричный оператор:
3 -
/о
Так, что ¿,«§ = «2> £ , Поэтому в этом случао п -крагше раэлоаеаия со скобками безусловно сходятся ло системе
(Т^
< Т) =0. 1 .....«-1 \
Наш подход к исследованию оператора д. отличается от известного ранее (вышеуказанного) повода. Мы показываем, что сисгсма корневых элементов оператора Т , несмотря па то„ что он яо коипактен и не скалярного типа, образует безусловный Оазис со скобками в пространстве • Оно обеспечивается условиями
теоремы 3.3.1. Наряду с другими условиями, условия типа , I) - 8) иди I) - 8) теоремы 4.2.3. такке прзэодят к выполнена условий теоремы 3.3.1. . . . , ^ .
чайполгяомиа&ьянГ'о^^ .
Теорема 4.2.4. Пусть Т* т? Т являются комяактяра спектральнши операторами яря некотором oí у о »Тс 7t) = }{ и все различные характеристические числа (.j - i,г.... ) оператора Т , являющиеся, начиная о некоторого, ярое ты ия занумерованы в порядке неубывания модулей я лежат на конечном чясле лучей, выходящих из начала координат. Еоля удовлетворяются остальные условия теоремы 4.2.3, то оператор-функция Т(Х1 обладает свойс*вом i ) .
Подобно теореме ^.2.4, формулируется ее неограяичонный аналог (теореиа 4.2.5) для оператор-функции
К (X) = X к, Sn-< ♦ хг кх Sn'V..+ к^$ * К. S
где SK и S * являются диск ратными спектральными операторами скалярного типа яри некотором ос > о . Заменяя характе-
ристические числа j-tj (j=i.г,...•> собственными значениями Лj оператора S я яри ограничеяностз-. -я^ьчйчй операторов S* < ,i - о, требуя выполнения хотя бы одного яз условий
I) - 3), а яри коыяактнеоти замыканий операторов Kj S4<.J=o,i.....n~i)
одного из уелчвий I) - э') типа теоремы 4.2.S, утверюгаетоя, что К (Л) обладает свойством .
Б случае, ког&а $ - дискретный нормальный оператор и в ыполнено хотя бы одно из усяо-вий I) и i} теоремн з
боч'е В.И.Виэитея и А.С.Маркуса, а при выполнении одного яз уо-лэвяй 2) к 2) в работе Р.М.Дкабар-зеде установлено, что для любых глекзнтов e¿>( S"'*) < v - o, i .... , n- i ) безусловно сходятся 't - кратные разлокения со скобками по оис-текэ- собственных и присоединенных элементов оператор-функции Кш
В третьем параграфе главы 4 исследована н - кратная полгота системы собственных и присоединенных элементов одного класса оператор-функци:1: в гильбертовом пространстве 71 , где ве-возмуцеяный оператор при х"" является спектральным ouepaso-ром тгла vn и в некоторой степени номяактеи.
'lenepb рассмотрим один класс рациональных операторных .пуч-;¡03, действующих в гильбертовом пространстве "И со скалярным яролззоденпеа
Пусть 2К с k .....м) - положите ль яые числа, o-íMcJ*.
v ц ( к г i .i ...., но - ограничениые операторы, е оператор i АН пологиталон, огрявяченяо-обратш л йамо-ооярякен, Г = (í4 ЛНГ'Н >0 ,вж=(ЬАнГ^Н?0 <k:ti,i,.,.i*).
-26-
Рассыотриы пучок fK
-Л Г +Z TTF^K
Введен новое скалярное произведение
- , ,J = f + AN ,
топологически эквивалентное исхогшону^ относительно .которого
оператор Г а £2К с «si,!.....*к) самосопряжены. Йросгранст-.
во' yt со скалярныы пронзведенкви С • . • ) збозва-чиы через "H ~ : .
Обозначим
С- ( 1 ,-f ) - i X. '• 1 >>' ** , -V * х é f Î
• о<у ^Î ; , «Î ■
Верна ,
Творена k.Z.S. Сисгаыа собственных и присоединенных (с.с.«.) элеиевтов пучкЗ L ( х 1 , соответствующих характеристическим -чисдаа, леяащии в области <• г , у", , образует базис Рйсса со скобками в своей зещснухрй линейной оболочке пространства "И у « кроме того, если при достаточно большом t и ней добавить собственные згеыеяты çiiepaïopa F , соответствующие харакгеркстичоскгц чисдаы ( Р ) ( j •= 1, г____ ï
при , м. ( р) ¿ г , го получится базис Рисса. со скобками во всей пространств' .
Следствие л.2.1. Если { у (Vl } является (с.с.п.) элементов пучка ^
К < Wr ./ - х H
К ZI " ' "к
удовлетворяющая утверждению теоремы 4.2.6, то система {с i+AH)yj J| и систеыа собственных элементов оператора Н , соответствующие характеристический числам Hl ( j = i. î,... л npz jj < г и 1 - досатсчко больший,- b::sosc образуют некоторый базис со скобками во всей пространстве Ж • .
ЗамеченаеЧ.2.б. Отиетиь, что пучки К < X) и LîaI отличаются от пучка i' рассмотренного в работе ( С i Î ; , теорема 4-). Дело в том, что условие ь.'ргьлчеаисзгЕ или коипактносги опер&тора ЬГ^А* С к « . ~ .>0/ -пря = »¡я пучков К' <XV, . s.^çec ,vw' 4*2 .é »sqss? ^руши-ся.
\
Замечание 4.2.7. Условие " Н € 7[ в теорема 4.2.6 мокно заменить условием " Н < 7~р , 1 -ь р ь. г. • •
Глава 5 состола из двух параграфов.
В первом параграфе главы 5 вопросы баэиснодти по системе собственных и присоединенных функций рассматриваются для обыкновенных дифференциальных операторов на полуоси.
Рассмотрим дифференциальное выражение
¿. - £ с-п'"]Ур.
Пусть I, и ~ положительные числа и /^«х-» ^ £ 1 > о ,
(? (сс) с & > о на интервале [.« , <«») . Предполоким, что каадая функция 'неотрицательна и бесконечно дифференцируема на
С « , о») , Через Т0 ( £ ) обозначим минимальный оператор порожденный выражением в гильбертовом пространстве
/-г [л. ») .Через ^-р обоьиг'-'^йтз«расширение Фридрихса (по терминологии М.Г.Крейна - жесткое раск^язв) оператора Т</-> з пространстве , ^¿о*.
Теореыг 5.1 Л. Пусть
.к
г до к - ¿ я к - целое число большее 1 , Пусгь, кро-ые того , "•
X " оо Л-
для всех * 2-11- /п-\ . Предположи» что всо функции
Рс СтО с (- 1,2 . »-О неотрицателен а бесконечно дз.Ь5вгея1Поде»ш Нв Г«, с*о р <х) ъ £,> О и
^ > о на £я, «) 'для некоторых чисел £ " ег. Если •
где о г г о. , , . , и > -йсчпле--:с!юэаачЕи« гвсядочао ап:;«лервв;ц«руе«.:ые Луякш'п рз [ а, м) 3
' = о С/^-м)
при достаточно больсах ж . , то операторный яучон ^ р ~ ~ ^ I обладает свойством >
-28-Теорэыа 5.1.5. Пусть
л, * с 4
^ ~ (~ Я » гда л= г" определен на интервале С «•.<*») > « > о , Пусть, кроне того, каждая функция
р. является конечной суммой действительных степеней по эс с действительными когффициентааи, неотрицательна и рп >0 ,
Рв •>, > о , для некоторых чисел ?. ¿1
Пусть г - степень функции ра и £ г г/;ь . Предлоло-ним, что степень р < ск-О^ ДДЯ каждого £ < ц).
Обозначим . „ »¡и / .
и пусть «х. 3 . Если .
м = ¿Г\у1)1 .
Л 'V /
где кл - такой номер, что А > и
-бесконачно дифференцируемые функции на с . ) и
/ „ п ¿«-г**.^ ¿Л"*
<*>! - 0 ( * +1) <J-^.l)
при достаточно больших х , то пучок I* ЛМ^-Л I
обладает свойством (.
Во втором параграфе главы 5 рассматривается следующая- задача из теории ядерных реакторов:
+ »<&, ОЮИ^ Л/) /V .=
~ V.»* с ■ * Л
+ 5* 2 ОС ) . тх
(С - I
эС1Сс.*Д> _ ? с а Ъ'ыЫЛАнк.
--г-- --гк к ЧЯГч (
•3 4 • , * .
= /V«»,*) , С(*.Ь/ - С . (2.23
' -О .
ЫаЛЬ/ =0 .
- 29 - •
хде Г - поверхность выпуклой области V, Л/ ,{ ) -плотность частиц з момент времени I , летящих в- направлении Ь с < 5, , 5г, ИЗ данной ТОЧКИ Э? = С-х,, Х4> ЭС^ € Я ,
п - внешняя нормаль по отношении : области V ; XI --поверхность единичной сферы К .} $ е Л ; -кон-
ц,е::':ра:и:я эмиттеров запаздывающих нейтронов группа к. ; 21.cx.ri, I - { , $ -макроскопические сечения взашодейстзия нейтронов со средой; т? - скорость нейтронов; р . . л> , Х<
(к=1,2..... "-»О -некоторые положительные числа.
Предполагая, что функции , С- 1,5,1
ограничены, изыериак и положительны п***-? зсяпу на V равномерно по { •> о и"
о -1 И ^ 51 < ж ■,
1 хе V '
1? И "5 сч ->о , о<=уга! «т тУЦ^С-х.к)
Но ^тойчосяо«^ содераангз задачи указанные гыие условия заводоыо
выполняются. . , • • ' ".
Гассяогрйа гл-ьбзрюаы пространства < V) и /, ("V£1)
с обычными нормами. г г '
Задаче (2.1) - (2.2) ставится в соответствие сшктраль-нг..- задача
± г X *
■Т..,; «ч %ГК '
+ «-«.¿и;* ,
; •?¿¿г.(йЦ
Как и в адиабатичееной порт, ¿дикции ¿={,$,1
рассматриваются о "змюрсяевяы»" временем. '*
Пуохь ¿л - саиооопряаанщШ опера гор, авмиийоа расгвра-. киек дифференциального вырааеная /, о краевьаш уозоваявд (2.3) для функция <4.5 ^ и и)к - Хк ' ,.1огда
спектральная задача (2Л), (2.8) лорохдаах оледующй щЪол
Ас*) = /+т + £ (х+г Г'й ,
Г; <5) ; »г
3 рабою [II]установлена, что оператор 5/.в коипак-
вез в ¿¡, ( V) и поэтому Т, Вк ( к = ьг ..... »и) - коааак-
йкэ з ¿.¿(V) операторы..
Обозначил ■ '
г : г с С, Кег ?-« • г*-«, г^-ги , .....$
Оператор /V коилакгел в с V) да хсЛ1 . 3.0.Владимиров показал, что оператор . 5 ' саыооопряжав, . а оператор 3 сакосоврязев в ограничен а пространстве
о <1 й 3 П * 1 . иопальзуя иодоЕитеяьность оазрасора 5 -¿всдеа новое овалжриос прскевадеяиа г £.г ( V ) ;
(.»•}- неходкое окалярясэ дровззедзайз э Лг ; V > . .
Операторы /V и < к - г. 1,.... к > егйбсспрлавШ, озйввЙ- -'¿эльао нового окавврзето п^о'иззсявлил. омиаа сл^ег, чЬ опе«»
N к Ьг^дкииА хомшшод опеларзлвиыйя •алрвйб^аш скШфйзгс йкаа огааоятально исходного сдалярз.ого 'йрбйвЗбйвйй. в обйаоти М верва ,
Т60}>еЗа Пуо2ь существует ноиер к„ ■ такой, «йо,
; гкФ I) . к^ i к,у = 1,1 , .
Тогда . ,';
1) спектр лучка сосгоит из ^ерактерасаическшс чи-. сел, расположенных в .¿блас.тн М . ' о предельными 'гэчкаии .
. <К2 «.л,.—. 1 .'.Г;,',.''-.;' 'V
2) для достаточно ¿аихого' ^ >> суцеству.СЕ тодьво конечное число характеристики?;'-.. сноота каздой жа ¿л% ) - ^ не;удовлагв6р1ЮГ&в£
.-я ••
* ( 1l+3>kÏ , ъ-ot . кг i.i.....m ,
где <rt - аргумент лучей, проходяда черев начало координат в корней урзмений:
JU <; Л + нлУ* при каждом к ъ - собс-
твенное значение оператора X.. ;
3) (о.о.я.) элементов пучка 1 -кратно
полна в пространстве ( V ) , отвечавшее характеристи-
ческим числам пучка. А ( из области Ai .
Теперь рассмотрим пучок
Б < зо = /-Л ( / +Т >"Г С а )' С1 +Т)~'&.
Ь/ 4
Обозначим'
<л С','«. {х: ! XI ,
®'.!!дч», что ■ •-
'<Ь?>3 =( '
есть скалярное яроиазедение топологически эквивалентное исходному, Пространство /.t< V ) со скалярным произведением (.,.) обозначим через % ^ . • ^
Верна
Теореиа 5.2.2. Пусть выполнены уоловня теорэиы 5.2.1.
Тогда верны утверждения:
L) (Ü.c.n.) элементов пучка &СХ)» соответствующих ха-ракчзрзстяческиц числам, лехаэды в кахдой из сОлазтяйба.к у, f) П M
к г 1, i > образует бэзпо Рпсся со с-вобкаьи в своей за замкнутой линейной оболочка, пространства Ж^ ; кроме того, если при достаточно большом 7. к ним добавить собственные элементы оператора ( / + Т )"' /V ; ооответсгвуваде характеристическим числам С С / + Т Г'/V ) > то получатся ба-з!!з Рксса со скоРяяма в 5 всем пространстве ;
2.) Веля { ) юмтчоа (а.с.я.) эдемеhïûb пучка Rm = /- Л 5 i-fi Xi^y^Z, <*> S¿7' S"V. го обьеинечиа системы ¡u'+T)f^\vi сио/емы собствешцх элехен^.
тоб оператора <3 L^ , соответствующе характеристическим числам
cj = z,...) при < г и г -достаточно больший, образует некоторый базис со скобками во всем пространстве ¿a(V).
ЛИТЕРАТУРА
1. Данфорд Н., Шварц Дж. Лилейные операторы'(спектральные операторы, Ы.: Мир, 1974.
2. Лянце В.З. Об одном обощении поняеея спектральной меры, -".атем. сборник, 61:1,1963
3. лянце В.З, О дифференциальном операторе со спектраль^и особен^ ностяш I Матем.сборник, бы4, 1964, Л.65:1,1964
Го/as С. SpeUra-t maxjtnal spatai сип. oL citccm рал {,U
opC.ra.iori in Sancic.il Sf>ct.ci . - hroh. tnuih , ¡4 t igbs
5. ColcjourcL I. and ForCLS С . - The */ei2 -J)unjoreL ¡иПсЬо-. next ccx.lc.Lt.tu-i *iln detcmpobctlfe tyzraloi'i.-Ziv.fL.N. AH, !9it
6. Cjojocircu I. a.ncL Foiuy С . - Theory oj ^nzratizecl 'spo4ra! opercti ors . -CcrionanX & reach/tfс«, Уощ , /968
7.-Келдаы М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряленных уравнений, ДАН СССР, т,77,1
8. Келдыш М.В. 0 полноте собственных функций некоторых классов носа-ыосопрякеиных операторов. - УМН, 26, 1971
9. Таыаркин Я.Д. О ьзкоторых общих задачах теории обыкновекат: линейных дифференциальных уравнений - Петроград; 191?
10. Den ford N. Spe.c.ira.1 ope.ra.iors Рся-с.З. Malk,^. 195*1
11. Владимиров B.C. Катеыатичесние задачи одноокоростяой теории переноса частиц. - Тр.ыат.Инст-та им.З.А.Стеклова АН СССР,т.61,1961
12. Ахмедов A.M. Некоторые теоремы полноты в локально выпуклой прос-' транстве. - В кн.: Вопросы математической кибернетики и прикладной математики, вып.I.-Баку: Зли, 1975, c.S-IO. .
13. Ахмедов A.M. Некоторые теоремы полноты. для:рациональных операторных пучков - В ки.¿Вопросы математической кибернетики и прикладной математики, вып.1. - Баку: 1975, о.П~17
ь Ахавдоз a.m. о возмуценш-s юаж«лхтюс стнгараьчш: ваэраво» роз. Тезисы докладов иисш по ssoprnr операгореа з фунвцве» -налымх пространствах. Минск.» 1282, 0.IS-2?»
>. Ахмедов А Л. Спвкзрааыюмъ одного кааооа вееаыееопряаоаанх операторов с дамратнш* опэнтрои, -Ъ шы ОяаираяьвыЙ анализ операторов, Баку, 1982, 0.13-2Й»
б. Ахмедов a.m. о сходшостй кратных раалоазййй по оошзешши элементам одного класса аоэаущенваэс дояйвоыв&яъйых ояэрааор» них пучков. 3. кн.5 Исследование по панейваи ottecaiopsu it № приложения. Вану, 1982» с.20-28»
.7. Ахмедов A.M. Об одяоу возмущении компактных сиэйтраяыш операторов. ДАН A3ep6.CCi, Т. 1 М 8» ШЬ, 0»20-13.
:г. Ахиедоз a.m. Возмущенна компактных олемрзлмиа: ояорагормь Й83.АН Амрб.сСР, сер.физ-uaf.aayii, ЙО; PVU с»22-2?,
is. Ахмедов лояекаральноск. аояааойЕалг.!гк еираоршх пучков. «з чн.гЛииаШше onepasopu и ас праыанеййя» Баку,
¡3.5-10. ' - '
¿о. ах.»едоз ¡и;-. о1 спектральности возмущений коуштных ааэраэо« роз - В кн»; Якнвйюм опврамры' й ах придавая«. 1986»о.8-1^.
21. Ахиедоз & .1. О кратных ршвконаях' по стеке вобоSMhaiS а ' приссе&тейяих мвыеагсэ. ^©ноупаа^мых йолшшйагйлы>: епера® терках лучков. - ДАН СССР, 5.292, ft 5, 198?, 6.1033-2035*
22. Ахмедов А.н. О беаусйозиой охадааосгв нразаых раадоаанвй
по оаегеиа осбсгэшшх я прйсоэдиязашзс эленеатоа яеор1?ш-чвнйкх полизоишзйьшх опера торя их яучкса. «ДАН СССР, 9.2Э8, ft 3, 198?, »¿8МЗД.
23- Ахиидоз д.у» о нвоаиоооиряавинйх сшзрааорах, >бдиага а спектральным и ах приложений, - в шыИсолвдоааиия по хдорг» линейных опврагороз. Баку ,198*?, 0.3-IS.
24. Ахмадов A.M. HfiKosopbiO*спбк5'ральиив авсйеш ейбшемюа опен-тральяах опараtopos. - В ни.аиибйаыд операторы я ях Приложения. Баку, 1989, o.S-15.
: - s* -
25. АкЬ me^ov A-M. а-л in.lt^i-o-cLifft.rtnliat *f u.alion /«. Ute. Iheory oj recuion.-fau.dk c.onf¿rente ом ditfir^liui
<LJu «-¿¡от a.nd cippfrccUloni.Rou^s^but^ria ,
26. Аллахвердиедз Дж.Э. , ¡Ахмедов A .M. Некоторые клас.ы о?;ощен-ных спектральных операторов в их приложения .-'¿«/.-и. сборник, I, 180, KS, c.6ÇS-624, 1989.
27. Ахмедов А.Ы., Шайманов Х.Р. Об одном возмущении компактных спектральных операторов. - Рук.деп. в АзНИИНТИ, fö 195, АЗ-Д84, от 03.08.1984, 9с.
ЭЬМЭДОЗ е/'Я-КУСТАФА ОГЛУ СПЕКТРАП ОПЕРАТОРЛАРА ЛХЫН ОБЕРАТОРЖРЫН С1ШКГРАЛ АНАЛЙЗИ ВЭ ОНШШ ТЭДБИГЛЭРИ 01.01.01- риЛази анашз ихтисаси узрэ физика-риЗази;иэт елилэри доктору йлишшк дарачэси елмвг учук тагдам едилмаш дассертаси© Jaяын /
АВТОРЕФЕРАТЫ
ДиссертаоиЛа ишнда спектр ал операторларз jaxкн олан бкр сшшф хэтта гапалн огограторлар та']ин едилмиш вэ окларан ез-озуна гокма олмаЛан операторлар нвзэри^эсинин Сэ'зи мэсвлэлзринз тэтОиги верилшшднр.
йздз ашпгвдакы нэтичелэр апынмышдар: -хетти гапалы операторларин Лени А синфи вЛрзтдамяшдар.Бу оипиф эз дехклеядэ спектр ал операторлар скифини саьпа^ыр еэ умумя^вт-лэ.мэ'лум Л'^ансе сянфи вэ СХ^ат синифлэршдэн фэрглэнир; -А сшфшш муйум В алтсинфи тэ>.¡ил едалмклдир.В синфзндэн олан операторлар елз длзЗуккт про ректор-¡ар системинэ «влакдар кк, сплардан дузалйшл сыра кучлу топологий мэ'насында шэртсиз .1ип-'.'мр.и сиафйн дзп оет во п-чи дар&чзси компакт(п-кошакт)вэ За дилере? (п-длснрат )яэ сттектрал(п-спэктрал'шеряторлар компакт зпектрал операторлар спгйини чох кеншлоидирир; -Л слпфикдоп олзп лойдуд операторлар учук азвдятшютекг еквива-яоитлии щг^снбитл ел Оирги^мотли аналитик дешонланма хассаси :> ¿повидает >зо оияяр утл* (тунношаал Ьесзйя ггрудмуодур;
г.-тетург.-. учун п-кошкэт схад^ар гшиш опервтор-с.Р'у:и;*ру кэтачэ ОДотяяоа&ма мэсалэлэ-
ушш тетгпгйпдо чох муЪъм рол
-тгт-чг;^ жгл и-кожа;?;^ л п-дае-
ср-;т)скмо'г,р-'гта«:.1 отэратор Х^-ип юсвш аялггдз пи)» едашяв-
дер кк.иотенЕлэн унсурлар учух; п-тт ка'тэрйзэдщ ajpajaßytsp бпхшгв oirepsrop дэствой'зя; иаэдгеи ве гошма уисурлэршо паза реп паргсяз ^аг&кырлар;
-стяни ааккалар кош-ре-/ да'чзрогюгал оператор у чуя чохгат спектра,п еДршш® мосалэдоринэ твтбиг олушуилар; -iiyEö реакторлар дозэри^эсяшш догурдугу бкр икда.ро-дкферен-спад тзнликлэр скстеки учун чохгат теь'лшг вз г.'.э ' тоокзелк fticc базисзд х&сселаря еЛрэнилмишдар.
AXHHEDOV All MUSTAFA OglU
SPEciaiii rnvJistz o?
OPEEATORS CLOSE TO SPECTRAL OPERATORS AND T11E1H Al'PLtCATICNS fhotUo Cor nogree of Doctor of Selena in Phyaico find ftathcmat.lo8 by Speciality 01.01.01 .-Wathenotlcal Analysts.
SUJEJAR'f
In tiiir. v.'crk the author Investigates a class consisting of cloaud 1 itit'Hr oporatora that are closc "i atim ways to spectral cp'-TTit.;-, tat nuke up a brouder class txii coincide in general neither •«:} th ' apcctral operators in the Itfsntae esnse
nor witi: rha deccrapossble operators.
Tho claLia »4 mid a subclass B of 11 dcfinjd.ishlch have Important iipoctral properties.For operators with t. compact, pwer 1.'' :> lulled tcm connection between «hsth-ir or not they balers v; (to 5) .«id whether or not their systca of roci c\c?M-nt'A ¿era a b?..jl:; with parentheses.
the v-nv1:. i- devoted also to a nxuCy ct the aingle-valued '-■AVeualb>! propc;rty for operatorj In ,4 iincl n functional calculus is constructed for than.
Therr- arc ron>9 toats for the baaia property for the cigomlrasnts and associated. elements of - cmure.polynoaJnal, and ration?:'«. operator iunciioto in thia Tiers.
The ."cceivnd re-raits an; applied to aona cLim ordinary dlifersnUal operators and Jntegro-dirrerentiaJ. equation fron the theory of nuclear reactors. :
