Спектральный анализ операторов Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Министерство общего и профессионального

образования Российской Федерации Дагестанский государственный университет

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С НЕГЛАДКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: Алиев Р.Г. -доктор физико-математических наук, профессор; Назаров А.Д. - кандидат физико-математических наук, доцент.

Бучаев Яхья Гамидович

Махачкала 1998

Введение.

При решении многих задач математической физики возникает необходимость исследования собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, а также проблема разложения произвольных функций в ряд (или интеграл) по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

Так, например, к такого рода вопросам приходят, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющих начальным данным и краевым условиям.

Регулярный случай задачи Штурма-Лиувилля, соответствующий конечному отрезку и непрерывным коэффициентам уравнения, изучен сравнительно давно и обычно подробно излагается в руководствах по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям.

Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа самосопряжённых дифференциальных операторов в последние десятилетия. Оказалось, что ряд важных случаев изучения ^-функции (одного из основных объектов, характеризующих поведение кванто-во-механической системы) сводится к спектральному анализу уравнения Штурма-Лиувилля

решения которого должны быть подчинены некоторым граничным условиям и нормировочному условию

1(у) = -/(*) + Ч(х)у(х) = Лр(х)у(х) » (а < X <Ь) ,

(0.1)

ь

^у2 (х) р(х)сЬс = 1

(0.2)

а

(в дальнейшем мы будем всегда предполагать, что весовая функция р(х) > 0, а функция q(x) - вещественнозначная).

Простейшими граничными условиями являются «условия закрепления»

у(а) = у(Ь) = 0. (0.3)

Спектральная задача (0.1)-(0.3) является классической, ей посвящена огромная литература. Отметим работы Штурма [88] и Лиувилля [79], а также цикл работ В.А.Стеклова [65]. В этих работах в предположении достаточной гладкости коэффициентов уравнения (0.1) и при выполнении условия

0 <т< р(х) < М (0.4)

было установлено:

1. Существует счётное множество собственных чисел Хп

спектральной задачи (0.1)-(0.3) с единственной предельной точкой + со;

2. Все собственные числа вещественны и при п —> +оо f V

к

Я

jjpitjdt

\а

п2 ; (0.5)

3. Совокупность всех нормированных собственных функций спектральной задачи (0.1)-(0.3) равномерно ограничена, то есть

sup max | ип (х)| < с0. (0.6)

Заметим, что условие (0.6) позволяет, в частности, получить разложение произвольных функций в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям спектральной задачи (0.1)-(0.3).

Все эти результаты были получены, в основном, путём применения асимптотических методов исследования решений дифференциальных уравнений при большом значении Я » N, развитых Лиу-виллем [79], Биркгофом [75, 76] и Я.Д.Тамаркиным [67].

Резюмируя итоги этих работ, можно сделать вывод о том, что в случае достаточно гладких коэффициентов уравнения (0.1) и при выполнении условия (0.4), спектральные свойства задачи Штурма-Лиувилля качественно совпадают со спектральными свойствами простейшего оператора (д(х) = 0,р(х) = 1), рассмотренного ещё Фурье.

Этот же вывод остаётся в силе и для более общих граничных условий, лишь бы они обеспечивали самосопряжённость спектральной задачи. В XX столетии самосопряжённая спектральная задача Штурма-Лиувилля вновь привлекла внимание многочисленных исследователей [22], [50], [54]. Эта задача (и различные её обобщения, связанные прежде всего с рассмотрением бесконечного интервала (а, Ь) и обратными задачами спектрального анализа [40], [49]), была включена в спектральную теорию самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве, что позволило [40] снять классические условия гладкости на коэффициенты уравнения (0.1).

В частности, М.Г.Крейн [49] показал, что формула (0.5) сохраняется при весьма общих предположениях на весовую функцию р(х).

В.А.Ильин и Н.Ио [45] показали, что если р(х) = 1, q(x) е Ё{а,Ъ), то для нормированных в Ь1 (а, Ь) собственных функций любого самосопряжённого расширения минимального операто-

ра, порождённого дифференциальным выражением /(у), справедлива оценка (0.6).

В 1983 году М.М.Гехтманом, В.Я.Якубовым, Ю.Загировым [32] было установлено, что уже в классе непрерывных весовых функций формула (0.6) не верна, а имеет место неулучшаемая оценка

шах|м„(х)| . (0.7)

а<х<Ь ' 1

Затем было выяснено [33], что оценку (0.7), вообще говоря, нельзя улучшить даже на произвольном компакте \а,/3\ е \а,Ь\, и что существует всюду плотное в С[а ^ множество весовых функций р{х),

ассоциированные с которыми нормированные собственные функции ип (х) спектральной задачи Штурма-Лиувилля (0.1 )-(0.3 ) качественно отличаются от случаев собственных функций, соответствующих гладким весовым функциям. Следует особо отметить полученные в последнее время результаты В.Я.Якубова [72], [32], а также Г.А.Айгунова [6] - [9], в которых получены оценки собственных функций в соответствующих классах, значительно ослабляющих условия на весовую функцию:

1) Впервые доказано [28], [49], что оценка (0.6) справедлива и для некоторых классов весовых функций неограниченной вариации, более того, доказан критерий равномерной ограниченности системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля [38];

2) Доказаны теоремы [41], указывающие максимально возможный рост системы собственных функций в зависимости от гладкости весовых функций, причем эти

результаты перенесены на полулинейный случай оператора Штурма-Лиувилля [44].

Отметим также работы М.М.Гехтмана (мл.) [34], [35], в которых получены двусторонние оценки для собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля в случае весовой функции р(х) е Ыр(а, ТУ).

Все вышеуказанные результаты получены при условии конечности области задания и определённой гладкости коэффициентов уравнения (0.1). Если область задания: ;бесконечна или коэффициенты уравнения не суммируемы (или и то и другое), то задача Штурма-Лиувилля относится к так называемому сингулярному случаю, основы которого были заложены Германом Вейлем в его известных работах [84] - [86].

Сингулярные дифференциальные операторы могут иметь уже не только дискретный спектр, но и непрерывный, в связи с чем разложение по их собственным функциям в общем случае представляется в виде интеграла Стильтьеса.

Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э.Шредингеру, опубликовавшему в 1926 году две краткие заметки [87], в которых был заложен математический фундамент квантовой механики.

Задачи на определение энергетического спектра конкретных систем, изученные после этого в различных работах по квантовой механике, стали решающими для дальнейшего развития теории сингулярных дифференциальных операторов.

Результаты первостепенной важности были получены М.Г.Крейном, Э.Ч.Титчмаршем, Б.М.Левитаном, М.А.Наймарком. Эти работы подытожены в монографиях [70, 49, 54, 57].

Однако, несмотря на эти фундаментальные результаты, проблема спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов ещё далека от завершения даже в одномерном случае.

Здесь в первую очередь следует указать на задачу определения спектра и его кратности в зависимости от свойств коэффициентов уравнения. Особенно мало разработаны эти вопросы для случая операторов с обобщёнными периодическими коэффициентами.

Класс таких операторов Штурма-Лиувилля возникает в одном из разделов квантовой механики, а именно при описании одномерных кристаллов и полимерных молекул в рамках простейших квантово-механических моделей [14, 46, 58, 68], которые с математической точки зрения сводятся к изучению спектральных характеристик в £2(-оо;+со) уравнения

- у" + q{x)y = Хр(х)у , х е (- со;+со) . (0.8)

В уравнении (0.8) функции р{х) и q{x) - вещественные, периодические с периодом, равным со > 0, функции, причём р{х) > 0.

При условии суммируемости функции ц{х) и р(х) = 1 спектральные характеристики уравнения (0.8) были исследованы Э.Ч.Титчмаршем в его монографии [70], в которой было установлено:

1. Спектр уравнения (0.8) полуограничен снизу, абсолютно непрерывен и двукратен;

2. Спектр уравнения (0.8) состоит из объединения отрезков (зон) Aj, разделённых интервалами (лакунами) Т ;

3. Число лакун, вообще говоря, бесконечно;

4. Длина лакуны Т асимптотически при у оо стремится

к нулю;

5. Произвольная функция /(х)е £2(-оо;+оо) может быть представлена обобщённым интегралом Фурье, как суперпозиция решений уравнения (0.8), соответствующих непрерывному спектру,

оо

совпадающему с множеством Л = У Ау .

7=0

В дальнейшем, полагая, что периодический потенциал ¿/(х) является гладкой функцией, был уточнён порядок стремления к нулю длины лакуны Т. (у —> со) В.А.Марченко и И.В.Островским [55],

а также найдены необходимые и достаточные условия на потенциал q{x), при которых спектр уравнения (0.8) состоит только из конечного числа зон [39].

И.М.Гельфанд [24] (изложение его метода приводится в приложении к книге [70], написанном В.Б.Лидским) предложил новый метод разложения произвольных функций по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами, применимый к системам дифференциальных уравнений с частными производными.

В связи с некоторыми задачами теории твёрдого тела М.М.Гехтман и И.В.Станкевич [26], [28] исследовали спектр дифференциального уравнения Хилла с обобщённым периодическим потенциалом вида

0{х,£) = ц(х) + £ • ^8[х-п), х е (- оо;+оо) . (0.9)

п = - оо

В формуле (0.9) б - произвольное вещественное число, а ¿>(х)-функция Дирака. Потенциал (0.9) при ¿/(х) = 0 впервые был введён Р.Кронигом и В.Пенни в работе [78].

М.М.Гехтман и И.В.Станкевич показали, что в случае обобщённого потенциала Кронига-Пенни (0.9) для уравнения (0.8) остаются справедливыми все утверждения теории Э.Ч.Титчмарша, кроме утверждения о стремлении к нулю длины лакуны Т (у —» оо).

Показано [26], [28], что в случае е ф 0 число лакун в спектре бесконечно и асимптотически при у —> со длина лакуны Т

стремится к пределу, равному с0 •¡¿,|, (с0 > 0).

М.Г.Гасымов и Р.З.Халилова в работе [37] выяснили, что в случае уравнения (0.8), где функция р(х + 1) = р(х) > О определена формулой

/ ч [у2, 0<х<д<1,

Ах) = \л ^ ,

[1 , а<х< 1,

длина лакуны в спектре уравнения (0.8) асимптотически стремится к бесконечности (у оо).

Необходимо отметить, что в случае конечного промежутка спектральные характеристики оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом, являющимся производной от функции ограниченной вариации (включая и решение в терминах двух спектров обратной задачи спектрального анализа) были изучены В.В.Жиковым в [40].

Наряду с изучением спектральных характеристик уравнения Хилла (0.8) и различных его обобщений, значительные усилия были направлены на изучение спектра возмущённого уравнения Хилла.

Это возмущение может быть описано либо введением в уравнение (0.8) добавочного периодического потенциала Р(х), либо рассмотрением уравнения Хилла на полуоси.

В последнем случае к уравнению (0.8) должны быть присоединены в граничной точке х = 0 некоторые краевые условия, которые обеспечивают самосопряжённость спектральной задачи на полуоси.

Эти исследования были обусловлены в значительной степени задачами квантовой механики и квантовой химии. Отметим прежде всего ставшую классической работу И.Е.Тамма [68], в которой была рассмотрена спектральная задача для уравнения Шредингера с потенциалом

0 , х < 0 ,

оо

, х>0

Q0(x,s,v) =

п=1

и впервые было указано на возможность появления собственных чисел (поверхностных или таммовских состояний) в лакунах Т .

Появление дискретной компоненты спектра в лакунах Т ,

обусловленное граничными условиями или возмущением периодического потенциала q{x) слабым возмущением Р(х), было математически обосновано в работах [41], [43], [44], [55].

Начиная с работы И.Е.Тамма [68], в физической литературе по теории твердого тела [14], [53] значительное внимание уделяется поверхностным состояниям, что особенно существенно в связи с рядом конкретных экспериментальных эффектов, установленных в последнее время.

При исследовании свойств кристаллов, связанных с влиянием границы, возникает задача изучения в L2 (- со;+да) спектра уравнения

-y" + Q(x,s,P{x))y = Äp(x)y , хе(-оо;-нх>). (0.10)

В формуле (0.10) потенциал Q(x,s,P(x)) определён соотношением

Р(х) , х < d ,

оо

q(x) + s -хп), x>d.

Q(x,s,P(x)) =

n=l

В формуле (0.11) б, d, хп - вещественные числа, Р(х) - вещественная функция, хп =n + d, q(x +1) = q(x) при х > d, функция р(х +1) = р(х) > 0 достаточной гладкости, функция q(x) - кусочно-непрерывная.

Спектр задачи (0.10) при условии Р(х) = v = const, р{х) =1, d = 0, был изучен М.М.Гехтманом и И.В.Станкевичем в работе [30].

Случай d = - оо, р{х) = 1, хп=п, у'(о) - h • ^(о) = 0, где h-произвольное вещественное число был также изучен М.М.Гехтманом и И.В.Станкевичем [28], где было указано необходимое и достаточное условие существования собственных чисел, но лишь при h = оо, то есть краевого условия _у(0) = 0.

В случае же h Ф со спектр задачи (0.10) изучался С.С.Алхасовой в работе [11].

В случае Р(х) = оос, d = 0, а- вообще говоря, комплексное число, S(x)- функция Дирака - спектр задачи (0.10) изучен А.Д.Назаровым в его работе [51].

В случае, когда р{х) = 1, d = 0, хп = п (п = 1,2,...), g(x + l) = q{x) - вещественная, кусочно-непрерывная функция, £)(х)-функция Дирака, а Р{х)~ функция, удовлетворяющая условиям:

1) \Р(х)\ при х -оо;

(0.11)

2) Р'(х), Р"(х) не меняют знака в (- со;х0) при достаточно большом по модулю х0 (х0 < о);

3) при х -оо

Щх)| = о|р(х)|с), О <с<|;

4) если Р(х) —> -оо ири х -» -оо, то 1

ЛР(х)р^х: = оо,

-со

спектр задачи (0.10) был изучен Киттинявонгом Тхепсаван в работе [45].

В случае же, когда Р(х) при х < 0 представляет собой вещественную, периодическую, с периодом, равным единице, кусочно-непрерывную функцию, спектр задачи (0.10) был изучен С.Пхоммасон в работе [53].

В последние десятилетия проводится детальное исследование некоторого класса решаемых моделей квантовой механики, а именно моделей, задающихся оператором Шредингера с потенциалом, сосредоточенном на дискретном (конечном или бесконечном) множестве точек (источников). Модели с точечными взаимодействиями такого рода являются решаемыми в том смысле, что для них можно явно определить резольвенты в терминах интенсивностей взаимодействия и координат источников. В результате спектр, собственные функции, равно как резонансы и характеристики рассеяния так же могут быть явно определены. Модели указанного типа уже широко обсуждались в физической литературе (см. библиографию в [10]), посвященной задачам атомной и ядерной физики и физики твёрдого тела.

Выше мы уже упоминали о работах М.М.Гехтмана и И.В.Станкевича [26], [28], где авторы исследовали спектр дифференциального уравнения Хилла с точечным 8 -потенциалом, сосредоточенном на счётном множестве точек, в терминах самосопряжённых расширений симметрического оператора Н = -у", определённого в \ I), где Z- множество целых чисел, причём авторы рассмотрели случай обобщённого периодического потенциала вида (0.9).

А.Д.Назаров [60] исследовал спектр дифференциального уравнения Хилла с обобщённым периодическим потенциалом вида

____, +оо

д(х,е) = д(х) + е- » х е (-оо;+со), (0.12)

где £ - константа связи, а ¿>'(х) - точечное взаимодействие, описываемое в терминах самосопряжённых расширений оператора Н = -у", определённого в \ 2), которое в физической

литературе именуется потенциалом "нулевого радиуса". А.Д.Назаров показал, что в случае обобщённого периодического потенциала (0.12) для уравнения (0.8) остаются справедливыми все утверждения теории М.М.Гехтмана и И.В.Станкевича, кроме утверждения о стремлении длины лакуны к конечному пределу. Показано [60], что в этом случае длина лакуны Т стремится к бесконечности.

Приступим к подробному изложению содержания диссертации, состоящей из введения и четырёх глав.

Пусть числа р> 0, тиМ(0<т<М) фиксированы. Обозначим через С+[о,1] совокупность всех непрерывных на сегменте [0,1] функций р(х), удовлетворяющих условию (0.4).

В множестве С+[oj] введем обычную С - метрику и будем в дальнейшем называть функции, принадлежащие классу C+[o,ij, весовыми функциями. Пусть также Н^у класс функций f(x), определенных на сегменте [0,1] и удовлетворяющих условию:

l/M-zfeb^k-^r (°лз)

В соотношении (0.13) положено А > 0, 0 < а< 1, V xh х2 е [0,1].

Множество Н(а,А), определённое условием (0.13), назовем классом Гёльдера с показателем а и постоянной А

Рассмотрим задачу Коши, поставленную в точке х = 0 (р(х) е

С+[0,1],Л>0)

-у "(х) = Л р(х) у(х), 0 <х<1, (0.14)

у (0) = а, у'(0) = Ъ, (а2 + b2 = 1). (0.15)

Как известно [44], решение данной задачи Коши существует и ограничено на [0,1], поэтому существует интеграл, определённый соотношением

j{X,p{x),a,b)= . (0.16)

о

В формуле (0.16) функция у(х) - является решением задачи Коши (0.14)-(0.15), которые будем обозначать иногда через у(х,Л,р(х),а,Ь), порой также опуская часть аргументов, как и у функции j(A,p(x),a,b).

В §2 главы 1 доказана следующая

Теорема 1.2.1. Пусть В(к) - произвольная функция, стремящаяся к +оо при X -»+оо произвольным образом, гу{х, X) - решение