Спектры энергии легких мюонных атомов в квазипотенциальном подходе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

Крутов Андрей Александрович

СПЕКТРЫ ЭНЕРГИИ ЛЕГКИХ МЮОННЫХ АТОМОВ В КВАЗИПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОДХОДЕ

01.04.16

Физика атомного ядра, и элементарных частиц

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 НОЯ 2011

Самара - 2011

005002670

Работа выполнена на кафедре общей и теоретической физики в ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Научный руководитель

Мартыненко Алексей Петрович доктор физико-математических наук, доцент Самарский государственный университет

Официальные оппоненты

Арбузов Борис Андреевич доктор физико-математических наук, профессор ОТФВЭ НИИЯФ МГУ, г. Москва

Фаустов Рудольф Николаевич доктор физико-математических наук, профессор

ВЦ РАН, г. Москва

Ведущая организация

Лаборатория теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований

Защита диссертации состоится « / » ^/<aSrJ>( 2011 г. в /Ш на заседании диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 501.001.77 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 5 ("19 корпус НИИЯФ МГУ") ауд. 2-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Научно-исследовательского института ядерной физики им. Д.В. Скобельцына МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « h »f-ua&SpJ'ZOff-! Ученый секретарь

диссертационного совета Страхова С. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию тонкой и сверхтонкой структуры уровней энергии легких мюонных атомов. В рамках квазипотенциального метода проведен расчет тонкой структуры Р-уровней иона мюонного гелия (ц сверхтонкой структуры основного состояния атомов мюонного ге-

лия {ц е \Не), {ц е \Не), а также лэмбовского сдвига (27^1/2 — /2) в атоме мюонного дейтерия (/«/).

Актуальность темы. Квантовая электродинамика (КЭД) является единственной последовательной моделью квантовой теории поля, дающей надежные количественные предсказания с высокой точностью. В силу этого свойства КЭД служит главным объектом для изучения и применимости принципов релятивистской квантовой теории и примером для построения других моделей - калибровочных теорий сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий. Отсюда следует важность проверки самой квантовой электродинамики.

В настоящее время для проверки КЭД используется не только энергетический спектр атома водорода и аномальный магнитный момент электрона, но и структура энергетических уровней дейтерия, гелия, позитрония, мюония и других простейших атомов. В настоящее время расчеты квантовоэлектро-динамических эффектов в подобных системах позволяют получать точные значения фундаментальных физических констант, таких как постоянная тонкой структуры а, постоянная Ридберга, масса электрона, зарядовый радиус протона и т.д. Высокий уровень точности теоретических и экспериментальных исследований спектров энергии простейших атомов делает возможным поиск новой физики за рамками Стандартной модели.

Наряду с электронными атомами, в настоящее время, ведется интенсивное изучение мюонных атомов (мюонный водород, мюонный дейтерий, ионы мюонного гелия и др.). Исследования проводятся в направлении мюонного катализа ядерного синтеза, изучения электромагнитной структуры ядра и проверки квантовой электродинамики. Мюонные атомы отличаются от обычных тем, что в них один электрон заменен на отрицательно заряженный мюон. Так как мюон примерно в 200 раз тяжелее электрона, то на энергетическую структуру существенное влияние оказывают такие эффекты, как поляризация вакуума, эффекты структуры ядра и эффекты отдачи. Необходимо отметить, что из спектроскопии мезоатомов можно получить бо-

лее точные значения зарядовых радиусов протона, гелиона, а-частицы и т.д., так как в них эффекты структуры ядра играют более важную роль, чем в обычных атомах.

С экспериментальной стороны, за последние несколько десятилетий был достигнут определенный прогресс в измерении спектров энергии легких атомов. В CERN в 1977 был проведен эксперимент с ионом мюонно-го гелия (/1 \Не)+ [7]. В нем наблюдались резонансные переходы с длинами волн 811.68(15) нм, 897.6(3) нм, которые соответствуют интервалам (2Р3/2 — 2S1/2) и (2Piß — 2S,1/2). В более поздних экспериментах обнаружить резонансный переход в области 811.4 нм< Л < 812.0 нм не удалось [10]. Первое успешное измерение лэмбовского сдвига в мюонном водороде/хр (49881.88(76) ГГц) [14] привело к новому значению для зарядового радиуса протона гр = 0.84184(36) (56) фм. Это значение на пять стандартных отклонений отличается от значения зарядового радиуса протона гр, рекомендованного КОДАТА. Для объяснения этого расхождения проводится новый анализ ранее вычисленных вкладов, а также делаются попытки его объяснения с точки зрения других подходов, лежащих за рамками Стандартной модели.

В настоящее время в институте PSI (Paul Scherrer Institute, Швейцария) коллаборацией CREMA (Charge Radius Experiment with Muonic Atoms) проводятся эксперименты по измерению лэмбовского сдвига в атоме мю-онного дейтерия. В 2011-2013 планируется исследование частот переходов (2S - 2Р) в ионах мюонного гелия (ц 2Яе)+, (ц |Яе)+. В результате будут получены значения зарядовых радиусов гелиона и а-частицы с точностью до

0.0005.фм.

Цель диссертационной работы. Целью диссертации является изучение тонкой и сверхтонкой структуры энергетических уровней легких мюонных атомов. В рамках квазипотенциального метода в квантовой электродинамике в диссертации решаются следующие задачи:

1. Исследование тонкой структуры спектра (2Р3/2 - 2Рх/2) иона мюонного гелия (fi 2#е)+- Вычисление поправок на однопетлевую и двухпетлевую поляризацию вакуума и структуру ядра порядка а5, а6.

2. Вычисление сверхтонкого расщепления основного состояния атома мюонного гелия (/z е fä6)- Учет эффектов однопетлевой поляризации вакуума, структуры ядра и электронных вершинных поправок порядка

а5, а5Ме/М11, а6.

3. Расчет интервала сверхтонкой структуры основного состояния атома мюонного гелия (fj, е \Не). Вычисление вкладов однопетлевой поляризации вакуума, эффектов структуры ядра и электронных вершинных поправок в первом и втором порядках теории возмущений порядка а5, а5Л/е/Л//1, а6

4. Вычисление лэмбовского сдвига {2Piß — 2Si/2) в атоме мюонного дейтерия (/1 d). Расчет релятивистских поправок и вкладов структуры ядра с эффектами однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума порядка a(Za)4, a2(Za)4. Вычисление вклада эффектов поляризации вакуума и эффектов структуры ядра порядка а5, а6 в интервал тонкой структуры мюонного дейтерия.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. В рамках квазипотенциального метода проведен расчет поправок порядка а5, а6 к интервалу тонкой структуры (2P$ß — 2Р1/2) иона мюонного гелия (/Х2#е)+, обусловленных эффектами двухпетлевой поляризации вакуума. Вычислены вклады структуры ядра в первом и втором порядках теории возмущений. Полученная величина тонкого расщепления АЕ = 146.181 мэВ на порядок улучшает предыдущие вычисления [б].

2. Проведен расчет сверхтонкого расщепления основного состояния атома мюонного гелия (fie^He). Вычислены поправки на однопетлевую поляризацию вакуума во втором порядке теории возмущений порядка а5(Ме/Мм). Учтены поправки на структуру ядра порядка а6. Проведен расчет электронных вершинных поправок в первом и втором порядках теории возмущений порядка аБ. Итоговая величина сверхтонкого расщепления мюонного гелия Дг/ = 4465.526 МГц улучшает предыдущие результаты [11, 13].

3. Вычислен интервал сверхтонкой структуры основного состояния атома мюонного гелия (це^Не). Проведен расчет поправок на поляризацию вакуума во втором порядке теории возмущений порядка oP(Me/Mß). Учтены электронные вершинные поправки в первом и втором порядках теории возмущений порядка а5. Вычислены вклады структуры ядра в первом и втором порядках теории возмущений порядка а4 и а6. Полученное значение сверхтонкого расщепления Аь> = 4416.648 МГц улучшает предыдущие вычисления [12].

4. Проведен расчет лэмбовского сдвига (2Piß — "¿Siß) в атоме мюонного

дейтерия рй. Учтены релятивистские поправки с эффектами однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума порядка а(£а)4, а2(£а)4. Вычислены вклады структуры ядра с эффектами двухпетлевой поляризации вакуума в первом и втором порядках теории возмущений порядка а(Яа)4, с?{2о)4 соответственно. Проведено вычисление эффектов двухпетлевой поляризации вакуума во втором порядке теории возмущений и эффектов структуры ядра в однофотонном взаимодействии в интервале тонкой структуры мюонного дейтерия. Полное значение лэмбовского сдвига ДЕ = 202.4136 мэВ улучшает предыдущий расчет [5] и является надежной оценкой для сравнения с экспериментальными результатами.

Научная новизна

При решении поставленных задач в диссертации были получены следующие новые результаты:

1. Получены интегральные представления для поправок к тонкой структуре (2Рт - 2Р1/2) иона мюонного гелия (¡¡//е)^, обусловленных эффектами двухпетлевой поляризации вакуума и структуры ядра в первом и втором порядке теории возмущений. Проведен расчет численных значений поправок к интервалу тонкой структуры иона мюонного гелия (/х \Яе)+ на двухпет-левую поляризацию вакуума и структуру ядра в первом и втором порядках теории возмущений порядка а5, а6 с точностью 0.001 мэВ.

2. Получены аналитические выражения для поправок на однопетлевую поляризацию вакуума и структуру ядра во втором порядке теории возмущений к сверхтонкому расщеплению основного состояния атомов мюонного гелия

и мюонного гелия (/х&^Не). Вычислены значения вкладов эффектов поляризации вакуума в интервал сверхтонкого расщепления основного состояния атомов (це^Не), (це\Не) во втором порядке теории возмущений порядка аъМе/Мц.

3. Получены численные значения вкладов эффектов структуры ядра во втором порядке теории возмущений в сверхтонкое расщепление основного состояния атома мюонного гелия (ре^Яе) порядка а6. Вычислены вклады структуры ядра в первом и во втором порядках теории возмущений в сверхтонкое расщепление основного состояния атома (^е\Не) порядка а4 и а6 соответственно.

4. Проведено вычисление электронных вершшшых поправок к сверхтонкому

интервалу в атомах мюонного гелия (це\Не), (це^Не) в первом и втором порядках теории возмущений. Получены соответствующие интегральные выражения и численные значения вкладов порядка а5. Показано, что при вычислении вклада электронных вершинных поправок в сверхтонкую структуру атомов (це^Не), (це\Не) необходимо использовать точные одно-петлевые выражения для электромагнитных формфакторов электрона.

5. В рамках квазипотенциального подхода получены интегральные представления для поправок к лэмбовскому сдвигу (2Рх/2 - 251//2) в мюонном дейтерии на двухпетлевую поляризацию вакуума с эффектами структуры ядра во втором порядке теории возмущений. Вычислены соответствующие значения порядка а2(£а)4.

6. Построены операторы взаимодействия частиц для релятивистских поправок и эффектов однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума к лэмбовскому сдвигу в атоме мюонного дейтерия. Проведен численный расчет соответствующих вкладов порядка а(2а)4, а2(^а)4.

7. Получены интегральные выражения для эффектов структуры ядра с двухпетлевой поляризацией вакуума в лэмбовском сдвиге в мюонном дейтерии в однофотонном взаимодействии. Проведен численный расчет соответствующих поправок порядка а2(Яа)4.

Практическая ценность работы.

1. Полученные результаты могут быть использованы для уточнения величин зарядовых радиусов таких частиц, как протон, дейтрон, гелион и а-частица.

2. Вычисленные частоты переходов можно использовать для сопоставления с экспериментальными данными с целью более точной проверки КЭД.

Апробация результатов. Основные результаты были представлены на следующих научных конференциях: X Международные чтения по квантовой оптике (Самара, 2007); Сессия-конференция РАН "Физика фундаментальных взаимодействий"(Москва, 2007); Сессия-конференция РАН "Физика фундаментальных взаимодействий"(Протвино, 2008); Международная конференция по математической физике и ее приложениям (Самара, 2008); Всероссийское совещание по квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам (Санкт-Петербург, 2008); XXIV Съезд по спектроскопии (Москва, Троицк, 2010); Вторая международная конференция по математической физике и ее приложениям (Самара, 2010); Третье всероссийское совещание "Прецизионная физика и фундаментальные физические константы"(Санкт-

Петербург, 2010); XV Ломоносовская конференция по физике элементарных частиц (Москва, 2011); также результатыт докладывались и обсуждались на регулярных семинарах и конференциях в Самарском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе: в журналах из списка рекомендованных ВАК - 4, в сборниках трудов конференций - 4, в других изданиях - 1. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Личный вклад диссертанта в работы [1, 2, 4] является определяющим. В работе [3] диссертантом вычислялись поправки на поляризацию вакуума. Постановка задач и обсуждение результатов выполнялись совместно с соавторами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии из 123 источника. Она содержит 14 рисунков и 5 таблиц. Общий объем диссертации составляет 130 листов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении обосновывается актуальность исследуемой проблемы, сформулированы основные задачи диссертации.

Первая глава. Квазипотенциалъный метод в квантовой электродинамике. Глава состоит из трех параграфов. В §1 кратко излагаются основы квазипотенциального метода в квантовой электродинамике [1] - [4]. В §2 изложены принципы построения кулоновской функции Грина. В §3 решена задача о расчете тонкой структуры иона мюонного гелия (2Не)+.

В первом приближении взаимодействие частиц в ионе (2Не)+ описывается гамильтонианом Брейта. Искомый интервал (2Р3/2 - 2Рх/2) для иона (2Не)+ можно записать в виде [8]:

1 +-£ + 2 ам 1 +

т2 \ т2

+ (1)

5 т^а)6 тЦга)6 а(Яа)У

7П1 5

+

256 64т2 3 2717711 +а(га)*АУР + а2(га)4ВУР + А$1г(га)6ц2г2а

Это выражение содержит поправки на отдачу и релятивистские поправки [8, 19]. Аур, Вур - вклады поляризации вакуума в первом и втором порядках

теории возмущений, А&г - эффекты структуры ядра. В данном параграфе вычислены вклады Аур, Вур, А&г.

Эффекты поляризации вакуума ведут к модификации спин-орбитального и кулоневского взаимодействий. Нами вычислены поправки на однопетлевую и двухпетлевую поляризацию вакуума в первом и втором порядках теории возмущений [15, 16].

6

Рис. 1: Эффекты однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума во втором порядке теории возмущений. <3 - точная кулоновская функция Грина.

Эффекты двухпетлевой поляризации вакуума во втором порядке теории возмущений дают вклад порядка а2(^а)4 (см. Рис 1(а-е)) [17, 18].

Для того, чтобы учесть вклад эффектов структуры ядра, рассмотрим следующий потенциал:

В (2) использовалась дипольная параметризация для дираковского форм-фактора Вклады эффектов структуры ядра во втором порядке теории возмущений будут описываться матричными элементами 2(АУ^-С!- АУ^Г) и Здесь ДУ?3(г) - оператор спин-орбитального взаимодействия, а АУ£Г = ~^(Ааг + 2)е~л<*г. Полная величина тонкого расщепления (2Р3/2 - 2Р1/2) равна АЕ = 146.181 мэВ.

Вторая глава. Сверхтонкая структура мюонного гелия \Не. Глава состоит из шести параграфов. В §1 проводится краткий обзор существующих работ по данной тематике, методов расчета и их сравнение. Расчет сверхтонкой структуры основан на квазипотенциальном методе и теории возмущений, сформулированной для данной системы в [11, 13]. В рамках этого подхода вычислены поправки на поляризацию вакуума порядка а5Ме/Мц и структуру ядра порядка а6. Сверхтонкая структура основного состояния мюонного гелия (це\Не) возникает в результате спин-спинового взаимодействия мюона и электрона, которое в однофотонном взаимодействии описывается выраже-

2т 1 „ Л т\

1 +-^ + 2 а„ 1 + —

т2 ' V т2

нием:

Потенциалы, соответствующие поправкам на поляризацию вакуума и структуру ядра, учитываются в качестве дополнительных слагаемых к (3).

В §2 проводится аналитическое и численное вычисление поправок к сверхтонкой структуре, связанных с однопетлевой поляризацией вакуума. Новые поправки в сверхтонкое расщепление связаны с амплитудами (см.Рис. 1а,£). Вычисленные вклады имеют порядок аъМе/М^.

В §3 анализируются эффекты структуры ядра (см. Рис. 2а). Эти поправки описываются зарядовым радиусом а-частицы. Данные эффекты дают вклад порядка а6.

ь с а

Рис. 2: Эффекты структуры ядра и электронные вершинные поправки. Пунктирная линия обозначает кулоновский фотон. Волнистой линией обозначена сверхтонкая часть потенциала Брейта. <3 - это кулоновская функция Грина.

В §4 вычислены электронные вершинные поправки. В импульсном представлении соответствующий оператор сверхтонкой структуры имеет вид:

= - 1]. (4)

Здесь - магнитный формфактор электрона. Переданный импульс в атоме (це^Не) будет порядка массы электрона. Следовательно, для вычисления этих поправок, использование приближения и = 1 + ке не

будет корректным. В своих вычислениях мы используем известное однопет-левое выражение для электромагнитного формфактора электрона. В первом порядке теории возмущений получаем вклад порядка а5 (см. Рис.2Ь).

Во втором порядке теории возмущений вычислены электронные вершинные поправки, связанные со сверхтонкой частью гамильтониана (см. Рис.2с), а также соответствующие поправки к кулоновскому взаимодействию (см. Рис. 2с1). Данные вклады имеют порядок а5.

В §5 рассмотрен расчет релятивистских поправок к сверхтонкому расщеплению основного состояния мюонного гелия на основе уравнения Дирака [9].

В §6 подводятся итоги вычислений. Полное значение сверхтонкого расщепления основного состояния атома мюонного гелия {це\Не) равно Д:/ = 4465.526 МГц. Проводится сравнение полученного результата с результатами расчетов других авторов, а также оценивается погрешность проведенных вычислений.

Третья глава. Сверхтонкое расщепление основного состояния атома мюонного гелия \Не. Глава состоит из пяти параграфов. В §1 исследована сверхтонкая структура основного состояния атома (/хе^Яе) и вычислены основные вклады порядка а4 (энергия Ферми с поправками на отдачу). Ядром атома (/ле\Не) является гелион, спин которого равен 1/2, поэтому сверхтонкая структура энергетических уровней этого атома обусловлена спин-спиновым взаимодействием всех трех частиц (см. Рис. 3). Мы вычисляем "малое"сверхтонкое расщепление, то есть расстояние между уровнями с ^ = 3/2 и 1/2.

Л = 0

ч Р=1/2

Р = 3/2

Рис. 3: Р - полный спин атома, ,7 - спин электрона, - спин подсистемы (/г %Не}+.

Р = Р1 + /

Сверхтонкая часть гамильтониана имеет вид:

Ш = -у (МАГ • Мр)<5(х^) - у(/Х/; • МеЖхд - Хе) - у (Не ' МЛгЖХе), (5)

где магнитные моменты электрона, мюона и гелиона равны „ _ д^е дые

В §2 проведено вычисление однопетлевых поправок на поляризацию вакуума. Новые поправки определяются диаграммами (см. Рис.1а,£). Вычисленные вклады имеют порядок аьМе/Мц.

В §3 рассматриваются поправки на структуру ядра [20]. Распределение заряда и магнитного момента гелиона определяется электрическим и магнитным формфакторами и См, для которых используются известные параметризации. В однофотонном взаимодействии поправка на структуру ядра определяется амплитудой на Рис. 4. Вычисленная поправка (Рис.4с) име-

Рис. 4: Вклад эффектов структуры ядра в однофотонном взаимодействии. Черной точкой обозначен вершинный оператор. Диаграмма (Рис.4Ь) соответствует точечному вкладу от ¿-функции. Волнистая линия обозначает сверхтонкую часть потенциала Брейта.

ет порядок а4. Во втором порядке теории возмущений новые вклады (см. Рис.2а) имеют порядок а6.

В §4 проведен расчет электронных вершинных поправок. Вычислены вклады в первом и втором порядках теории возмущений порядка а5.

В §5 подводится итог вычислений, оценивается теоретическая погрешность расчетов. Полное значение интервала сверхтонкого расщепления основного состояния атома {^е\Не) равно Аи = 4416.648 МГц.

Четвертая глава. Лэмбовский сдвиг (2Р!/2 - 231/2) б атоме мюонно-го дейтерия. В §1 производится постановка задачи. При вычислении лэмбов-ского сдвига (2Р^2 - 2й^) в атоме мюонного дейтерия используем квазипотенциальный метод, в котором основной вклад в оператор взаимодействия частиц дает гамильтониан Врейта.

В §2 вычислены поправки, связанные с эффектами однопетлевой, двухпетлевой и трехпетлевой поляризации вакуума [22, 23]. Основной вклад в лэмбовский сдвиг имеет порядок а{га)2. Вычислены вклады мюонной поляризации вакуума.

В §3 проведено вычисление релятивистских поправок и эффектов однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума порядка а(2а)4, а2(Яа)4. Эффекты вакуумной поляризации приводят к изменению членов брейговско-го гамильтониана. Однопетлевые поправки к потенциалу Брейта были получены в [15, 21]. Также в этом параграфе вычислены поправки на поляризацию вакуума во втором порядке теории возмущений.

§4 посвящен вычислению вкладов, связанных со структурой ядра. В главном порядке эти эффекты описываются зарядовым радиусом дейтрона. Рассчитаны вклады амплитуд (см. Рис. 5). Новые вычисляемые поправки порядка а(2о:)4, а2(£а)4 соответствуют диаграммам (см. Рис.5с-Г). Учитывается вклад поляризуемости ядра [24]

Рис. 5: Эффекты структуры ядра и поляризации вакуума в первом и втором порядках теории возмущений. Черной точкой обозначен вершинный оператор.

В §5 вычислены поправки на отдачу, собственную энергию мюона и эффекты поляризации вакуума. Вычисляются поправки до порядка 0(а6) включительно.

В §6 проведено вычисление тонкого расщепления (2Р3/2 — 2Р\/ч) в атоме мюонного дейтерия. Вычислены поправки на однопетлевую и двухпетле-вую поляризацию вакуума в первом и втором порядке теории возмущений (см. Рис.1а-е). Учтен вклад эффектов структуры в первом порядке теории возмущений.

В §7 подводятся итоги вычислений и оценивается теоретическая погрешность. Полученный результат сравнивается с результатами предыдущих вычислений. Полное значение лэмбовского сдвига в мюонном дейтерии равно АЕ = 202.4136 мэВ.

Заключение. В заключении сформулированы основные результаты, представленные в диссертации.

Диссертация поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований (грант № 11-02-00019) и Федеральной целевой программой "Научные и педагогические кадры инновационной России"(грант № NK-20P/1)

ь

d

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Крутов А.А., Мартыненко А.П. Сверхтонкая структура основного состояния атома мюонного гелия// Вестник СамГУ. - 2008. - № 8/1(67). -С.550-566.

2. Krutov А.А, Martynenko А.Р. Ground-state hyperfine structure of the muonic hélium atom. // Physical Review A. - 2008. - V. 78. - P. 032513-1032513-11.

3. Elekina E.N., Krutov A.A., Martynenko A.P. Fine structure of the muonic 4Яе ion. // Письма в ЭЧАЯ. - 2011. - T.8. - №4(167). - C.554-563.

4. Krutov A.A., Martynenko A.P. Hyperfine structure of the ground state muonic 3Яе atom. // The European Physical Journal D. - 2011. - V.62. -P. 163-175.

5. Крутов A.A., Мартыненко А.П. Сверхтонкая структура основного состояния атома мюонного гелия. // Сборник тезисов Всероссийского совещания по Квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам, 2008, Санкт-Петербург, Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Метрологии, С. 33.

6. Крутов А.А., Мартыненко А.П. Сверхтонкая структура атома мюонного гелия. // Сборник тезисов второй международной конференции "Математическая физика и ее приложения 2010, Самара, С. 189-191.

7. Крутов А.А., Мартыненко А.П., Салеев А.В. Сверхтонкая структура основного состояния мюонного гелия. // Сборник тезисов XXIV Съезда по спектроскопии, 2010, Москва, Троицк, ФИАН, ИСАИ, Т. 2, С. 431-432.

8. Крутов А.А., Мартыненко А.П. Сверхтонкая структура основного состояния мюонного гелия. // Сборник тезисов третьего всероссийского совещания "Прецизионная физика и фундаментальные физические константы 2010, Санкт-Петербург, Физико-технический институт, С. 36.

9. Krutov А.А., Martynenko A.P. Lamb shift in muonic deuterium atom // arXiv:1107.3080v3 [hep-ph].

Литература

[1] Logunov A.A., Tavkhelidze A.N. Quasi-optical approach in quantum field theory // Nuovo Cimento. - 1963. - V.29. - P.380-399.

[2] Логунов A.A., Саврин В.И., Тюрин Н.Е., Хрутсалев О.А. Одновременное уравнение для системы двух частиц в квантовой теории поля // ТМФ. -1971. - Т.6. - С.157-165.

[3] Garsevanishvili V.R., Matveev V.A., Slepchenko L.A., Tavkhelidze A.N. Quasipotential theory of high- energy hadron scattering // Phys. Rev. D. -1971. - V.4. - P.849-861.

[4] Фаустов P.H. Уровни энергии и электромагнитные свойства водородопо-добных атомов // ЭЧАЯ. - 1972. - Т.З. - С.238-268.

[5] Borie Е. Lamb shift of muonic deuterium. // Phys. Rev. A. - 2005. - V.72. -P.052511-1-052511-7

[6] Borie E. and Rinker G.A. The energy levels of muonic atoms // Rev. Mod. Phys. - 1982. - V.54. - P.67-118.

[7] Carboni G. et. al. Precise measurement of the 2S\/2 — 2Рз/2 splitting in the (/i4tfe)+ muonic ion // Nucl. Phys. A. - 1977. - V.278. - P.381-386.

[8] Eides M.I., Grotch H., Shelyuto V.A. Theory of light hydrogenlike atoms // Phys. Rep. - 2001. - V.342. - P.62-261.

[9] Huang K.-N. ,Hughes V.W. Theoretical hyperfine structure of muonic helium // Phys.Rev. A. - 1979. - V.20. - P.706-717.

[10] Hauser P. et. al. Search for the 2S-2P energy difference in muonic 4He ions // Phys. Rev. A. - 1992. - V.46. - P.2363-2377.

[11] Lakdawala S.D., Mohr P.J. Hyperfine structure in muonic helium // Phys. Rev. A. - 1980. - V.22. - P.1572-1575.

[12] Lakdawala S.D., Mohr P.J. Calculation of the muonic He3 hyperfine structure // Phys. Rev. A. - 1981. - V.24. - P.2224-2227.

[13] Lakdawala S.D., Mohr P.J. Perturbation-theory calculation of hyperfine structure in muonic helium // Phys. Rev. A. - 1984. - V.29. - P. 1047-1054.

[14] Pohl R. and Antongnini A. et.al. The size of the proton // Nature. - 2010. -V.466. - P.213-217.

[15] Pachucki K. Theory of the Lamb shift in muonic hydrogen // Phys. Rev. A. -1996. - V.53. - P.2092-2100.

[16] Martynenko A.P. Lamb shift in the muonic helium ion // Phys. Rev. A. -2007. - V.76. - P.012505-1-012505-11; 25 Hyperfine splitting of muonic hydrogen // Phys. Rev. A. - 2005. - V.71. - P.022506-1-022506-11.

[17] Martynenko A.P. and Faustov R.N. Muonic hydrogen ground state hyperfine splitting // JETP. - 2004. - V.98. - P.39-52.

[18] Martynenko A.P. Theory of muonic hydrogen - muonic deuterium isotope shift // JETP. - 2005. - V.101. - P. 1021-1036; Hyperfine Structure of the S Levels of the Muonic Helium Ion // JETP. - 2008. - V.106. - P.690-699.

[19] Sapirstein J.R. and Yennie D.R., in Quantum Electrodynamics, edited by T. Kinoshita, (World Scientific, Singapore, 1990), p. 560.

[20] Chen M.-K. Hyperfine splitting for the ground-state muonic 3He atom-corrections up to a2 // J. Phys. B. - 1993. - V.26. - P.2263-2272.

[21] Jentschura U.D. Relativistic reduced-mass and recoil corrections to vacuum polarization in muonic hydrogen, muonic deuterium, and muonic helium ions // Phys. Rev. A. - 2011. - V.84. - P.012505-1-012505-6.

[22] Karshenboim, S. G. et.al. Nonrelativistic contributions of order a5m^c2 to the Lamb shift in muonic hydrogen and deuterium, and in the muonic helium ion // Phys. Rev. A. -2010. - V.81. - P.060501-1-060501-6.

[23] Kinoshita T. and Nio M. Sixth-Order Vacuum-Polarization Contribution to the Lamb Shift of Muonic Hydrogen // Phys. Rev. Lett. - 1999. - V.82. -P.3240-3243.; Erratum: Sixth-Order Vacuum-Polarization Contribution to

the Lamb Shift of Muonic Hydrogen // Phys. Rev. Lett. - 2009. - V.103. -P.079901.

[24] Pachucki K. Nuclear Structure Corrections in Muonic Deuterium // Phys. Rev. Lett. - 2011. - V.106. - P. 193007-1-193007-4.

Подписано в печать 28 октября 2011г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ Ы°~2М7 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1. Отпечатано ООО: "Универс-групп"

Введение

Глава 1. Квазипотенциальный метод в квантовой электродинамике

1.1. Построение квазипотенциала по теории возмущений в КЭД

1.2. Кулоновская функция Грина.

1.3. Тонкая структура Р-уровней иона гелия.

Глава 2. Сверхтонкая структура мюонного гелия \Не.

2.1. Теория возмущений в задаче о сверхтонкой структуре мюонного гелия.

2.2. Эффекты поляризации вакуума.

2.3. Эффекты структуры ядра и поправки на отдачу.

2.4. Электронные вершинные поправки.

2.5. Релятивистские поправки к сверхтонкой структуре.

2.6. Выводы по второй главе

Глава 3. Сверхтонкое расщепление основного состояния атома мюонного гелия 5.не.

3.1. Энергия Ферми

3.2. Эффекты поляризации вакуума в первом порядке теории возмущений

3.3. Поляризация вакуума во втором порядке теории возмущений

3.4. Эффекты структуры ядра и эффекты отдачи.

3.5. Электронные вершинные поправки.

3.6. Выводы по третьей главе.

Глава 4. Лэмбовский сдвиг (2Рх/2 — 25,і/2) в атоме мюонного дейтерия

4.1. Введение.

4.2. Эффекты поляризации вакуума в однофотонном взаимодействии

4.3. Релятивистские поправки и эффекты поляризации вакуума

4.4. Структура ядра и эффекты поляризации вакуума.

4.5. Поправки на отдачу, поляризацию вакуума и собственную энергию мюона.

4.6. Топкая структура 2Р-состояпия.

4.7. Выводы по четвертой главе.

Актуальность работы

Квантовая электродинамика (КЭД) является единственной последовательной моделью квантовой теории поля, дающей надежные количественные предсказания с высокой точностью. В силу этого свойства КЭД служит главным объектом для изучения и применимости принципов-релятивистской квантовой теории и примером для построения других моделей - калибровочных теорий сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий. Отсюда следует важность проверки самой квантовой электродинамики.

В настоящее время для проверки КЭД используется не только энергетический спектр атома водорода и аномальный магнитный момент электрона, но и структура энергетических уровней дейтерия, гелия, позитрония, мюония и других простейших атомов. В настоящее время расчеты квантовоэлектро-динамических эффектов в подобных системах позволяют получать точные значения фундаментальных физических констант, таких как постоянная тонкой структуры а, постоянная Ридберга, масса электрона, зарядовый радиус протона и т.д. Высокий уровень точности теоретических и экспериментальных исследований спектров энергии простейших атомов делает возможным поиск новой физики за рамками Стандартной модели.

Наряду с электронными атомами, в настоящее время, ведется интенсивное изучение мюонных атомов (мюонный водород, мюонный дейтерий, ионы мюонного гелия и др.). Исследования проводятся в направлении мтоонного катализа ядерного синтеза, изучения электромагнитной структуры ядра и проверки квантовой электродинамики. Мюонные атомы отличаются от обычных тем, что в них один электрон заменен на отрицательно заряженный мюон. Так как мюон примерно в 200 раз тяжелее электрона, то на энергетическую структуру существенное влияние оказывают такие эффекты, как поляризация вакуума, эффекты структуры ядра и эффекты отдачи. Необходимо отметить, что из спектроскопии мезоатомов можно получить более точное значение зарядовых радиусов протона, гелиона, а-частицы и т.д., так как в них эффекты структуры ядра играют более важную роль, чем в обычных атомах.

С экспериментальной стороны, за последние несколько десятилетий был достигнут определенный прогресс в измерении спектров энергии легких атомов. В CERN в 1977 был проведен эксперимент с ионом мюонного гелия (ß [!]• В нем наблюдались резонансные переходы с длинами волн

811.68(15) нм, 897.6(3) нм, которые соответствуют интервалам (2Р3/2 —2S,1//2) и (2Р1/2 — 2Si/2). В более поздних экспериментах обнаружить резонансный переход в области 811.4 нм< Л < 812.0 нм не удалось [2]. Первое успешное измерение лэмбовского сдвига в мюонном водороде ¡лр (49881.88(76) ГГц) [3] привело к новому значению для зарядового радиуса протона тр = 0.84184(36) (56) фм Это значение на пять стандартных отклонений отличается от значения зарядового радиуса протона гр, рекомендованного КОДАТА. Для объяснения этого расхождения проводится новый анализ ранее вычисленных вкладов, а также делаются попытки его объяснения с точки зрения других подходов, лежащих за рамками Стандартной модели.

В настоящее время в институте PSI (Paul Scherrer Institute, Швейцария) коллаборацией CREMA (Charge Radius Experiment with Muonic Atoms) проводятся эксперименты по измерению лэмбовского сдвига в атоме мюонного дейтерия. В 2011-2013 планируется исследование частот переходов (25'— 2Р) в ионах мюонного гелия (/i. \He)+i iß В результате будут получены значения зарядовых радиусов гелиона и а-частицы с точностью до 0.0005 фм.

Цель диссертационной работы

Целыо диссертации является изучение тонкой и сверхтонкой структуры энергетических уровней легких мюонных атомов. В рамках квазипотенциального метода в квантовой электродинамике в диссертации решаются следующие задачи:

1. Исследование тонкой структуры спектра (2Р3/2 — 2Р1/2) иона мюонного гелия (ц 2Не)+. Вычисление поправок на однопетлевую и двухпетлевую поляризацию вакуума и структуру ядра порядка о;5, а6.

2. Вычисление сверхтонкого расщепления основного состояния атома мюонного гелия (д е 2-^е). Учет эффектов однопетлевой поляризации вакуума, структуры ядра и электронных вершинных поправок порядка а5, а5Ме/Мц, а6.

3. Расчет интервала сверхтонкой структуры основного состояния атома мюонного гелия {¡1 е 9#е). Вычисление вкладов однопетлевой поляризации вакуума, эффектов структуры ядра и электронных вершинных поправок в первом и втором порядках теории возмущений порядка а5, а5Ме/Мц, а6

4. Вычисление лэмбовского сдвига {2Р\/2 — 261/2) в атоме мюонного дейтерия {¡1 (I). Расчет релятивистских поправок и вкладов структуры ядра с эффектами однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума порядка

Вычисление вклада эффектов поляризации вакуума и эффектов структуры ядра порядка а5, а6 в интервал тонкой структуры мюонного дейтерия.

В основе диссертации лежат результаты работ, выполненных автором в период с 2007 по 2011 годы в Самарском государственном университете.

Диссертация поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований (грант № 11-02-00019) и Федеральной целевой программой "Научные и педагогические кадры инновационной России"(грант № ]МК-20Р/1)

Научная новизна При решении поставленных задач в диссертации были получены следующие новые результаты:

1. Получены интегральные представления для поправок к тонкой структуре (2Р3/2 — 2Р1/2) иона мюонного гелия {\Не)+, обусловленных эффектами двухпетлевой поляризации вакуума и структуры ядра в первом и втором порядке теории возмущений. Проведен расчет численных значений поправок к интервалу тонкой структуры иона мюонного гелия (/1 \Не)+ на двухпетлевую поляризацию вакуума и структуру ядра в первом и втором порядках теории возмущений порядка а5, а6 с точностью 0.001 мэВ.

2. Получены аналитические выражения для поправок на однопетлевуто поляризацию вакуума и структуру ядра во втором порядке теории возмущений к сверхтонкому расщеплению основного состояния атомов мюонного гелия (/1е\Не) и мюонного гелия (це^Не). Вычислены значения вкладов эффектов поляризации вакуума в интервал сверхтонкого расщепления основного состояния атомов {¡1е\Не), {це\Не) во втором порядке теории возмущений порядка а5Ме/Мц.

3. Получены численные значения вкладов эффектов структуры ядра во втором порядке теории возмущений в сверхтонкое расщепление основного состояния атома мюонного гелия (де|Яе) порядка а6. Вычислены вклады структуры ядра в первом и во втором порядках теории возмущений в сверхтонкое расщепление основного состояния атома (/хе\Не) порядка ск4 и а6 соответственно.

4. Проведено вычисление электронных вершинных поправок к сверхтонкому интервалу в атомах мюонного гелия (/¿е^Не), (/ле\Не) в первом и втором порядках теории возмущений. Получены соответствующие интегральные выражения и численные значения вкладов порядка а5. Показано, что при вычислении вклада электронных вершинных поправок в сверхтонкую структуру атомов (/¿е^Яе), (/хе^Не) необходимо использовать точные однопетлевые выражения для электромагнитных формфакторов электрона.

5. В рамках квазипотенциального подхода получены интегральные представления для поправок к лэмбовскому сдвигу (2Р\/2 ~ 261/2) в мтоонном дейте7 рии на двухпетлевую поляризацию вакуума с эффектами структуры ядра во втором порядке теории возмущений. Вычислены соответствующие значения порядка ск2(.£а!)4.

6. Построены операторы взаимодействия частиц для релятивистских поправок и эффектов однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума к лэм-бовскому сдвигу в атоме мюонного дейтерия. Проведен численный расчет соответствующих вкладов порядка »(^а:)4, а2(£а)4.

7. Получены интегральные выражения для эффектов структуры ядра с двухпетлевой поляризацией вакуума в лэмбовском сдвиге в мюонном дейтерии в однофотонном взаимодействии. Проведен численный расчет соответствующих поправок порядка а2(2а)4.

Практическая значимость

1. Полученные результаты могут быть использованы для уточнения величин зарядовых радиусов таких частиц, как протон, дейтрон, гелион и а-частица.

2. Вычисленные частоты переходов можно использовать для сопоставления с экспериментальными данными с целью более точной проверки КЭД.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. В рамках квазипотенциального метода проведен расчет поправок порядка а5, а6 к интервалу тонкой структуры (2Р3/2 — 2Р\/ъ) иона мюонного гелия обусловленных эффектами двухпетлевой поляризации вакуума. Вычислены вклады структуры ядра порядка в первом и втором порядках теории возмущений. Полученная величина тонкого расщепления АЕ — 146.181 мэВ на порядок улучшает предыдущие вычисления [4].

2. Проведен расчет сверхтонкого расщепления основного состояния атома мюонного гелия (¡¿е^Не). Вычислены поправки на однопетлевую поляризацию вакуума во втором порядке теории возмущений порядка а5(Ме/Мц). Учтены поправки на структуру ядра порядка а:6. Проведен расчет электронных вершинных поправок в первом и втором порядках теории возмущений порядка а5. Итоговая величина сверхтонкого расщепления мгоонного гелия Av = 4465.526 МГц улучшает предыдущие результаты [5, 6].

3. Вычислен интервал сверхтонкой структуры основного состояния атома мгоонного гелия (¡ie\He). Проведен расчет поправок на поляризацию вакуума во втором порядке теории возмущений порядка а5(Ме/Мц). Учтены электронные вершинные поправки в первом и втором порядках теории возмущений порядка о;5. Вычислены вклады структуры ядра в первом и втором порядках теории возмущений порядка а4 и а6. Полученное значение сверхтонкого расщепления Аи = 4416.648 МГц улучшает предыдущие вычисления [7].

4. Проведен расчет лэмбовского сдвига (2P\¡2 — 2Si/2) в атоме мгоонного дейтерия /id. "Учтены релятивистские поправки с эффектами однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума порядка a(Za)4, a2(Za)4. Вычислены вклады структуры ядра с эффектами двухпетлевой поляризации вакуума в первом и втором порядках теории возмущений порядка a(Za)4, a2(Za)4 соответственно. Проведено вычисление эффектов двухпетлевой поляризации вакуума во втором порядке теории возмущений и эффектов структуры ядра в однофотонном взаимодействии в интервале тонкой структуры мгоонного дейтерия. Полное значение лэмбовского сдвига АЕ = 202.4136 мэВ улучшает предыдущий расчет [8] и является надежной оценкой для сравнения с экспериментальными результатами.

Апробация работы Основные результаты были представлены на следующих научных конференциях: X Международные чтения по квантовой оптике (Самара, 2007); Сессия-конференция РАН "Физика фундаментальных взаимодействий"(Москва, 2007); Сессия-конференция РАН "Физика фундаментальных взаимодействий" (Протвино, 2008); Международная конференция по математической физике и ее приложениям (Самара, 2008); Всероссийское совещание по квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам (Санкт-Петербург, 2008); XXIV Съезд по спектроскопии (Москва, Троицк, 2010); Вторая международная конференция по математической физике и ее приложениям (Самара, 2010); Третье всероссийское совещание "Прецизионная физика и фундаментальные физические константы "(Санкт-Петербург, 2010); XV Ломоносовская конференция по физике элементарных частиц (Москва, 2011); а также докладывались и обсуждались на регулярных семинарах и конференциях в Самарском государственном университете.

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано 9 работ, в том числе: в журналах из списка рекомендуемых ВАК - 4 [9-12]; в иностранных журналах - 2 [9, 11]; в сборниках трудов международных симпозиумов и конференций - 4 [13-16]; в других изданиях - 1 [17]. V

Личный вклад автора

Личный вклад диссертанта в работы выполненные в соавторстве является определяющим, за исключением работы [11], где диссертантом вычислялись поправки на поляризацию вакуума. Постановка задач и обсуждение результатов выполнялись совместно с соавторами.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии из 123 источника. Она содержит 14 рисунков и 5 таблиц. Общий объем диссертации составляет 130 листов.

4.7. Выводы по четвертой главе

В данной главе мы получили значение лэмбовского сдвига 2Р1/2 — 25*1/2 в атоме мгоонного дейтерия. Нами были вычислены поправки порядка а3, а4, а5, о;6. В своей работе мы использовали трехмерный квазипотенциальный подход. Все поправки, которые были нами учтены, можно разделить на две группы. К первой относятся эффекты, которые наиболее характерны для мюонных атомов: поляризация вакуума, структура ядра, эффекты отдачи. Выражения для этих вкладов мы получали в интегральной форме, а потом вычисляли численно. Ко второй относятся поправки, которые вычислялись для обычного водорода, и для которых известные аналитические выражения. Численные значения всех поправок занесены в Таблицу4.1. Мы сравниваем промежуточные результаты своего исследования с различными вкладами из работы [8]. Большая часть вкладов, таких как поправки Улинга, Челлена-Сабри, Вихмана-Кролла, мюонный вклад в лэмбовский сдвиг, поправки па структуру ядра и поляризацию вакуума, а также поправки на отдачу, хорошо согласуется. Наш результат для релятивистских поправок с эффектами поляризации вакуума находится в согласии с [102]. Итоговое значение

202.4136 мэВ для лэмбовского сдвига в мтооином дейтерии (2Р — 25) из Таб-лицы4.1 хорошо согласуется с результатом 202.263 мэВ, полученном в работе [8]. Различие обусловлено тем, что нами вычислен ряд вкладов более высокого порядка по а и тп\/т2 и различием в значении зарядового дейтрона из работы [8] и из нашей работы. В работе [8] отсутствует вклад двухпетлевой поляризации вакуума во втором порядке теории возмущений порядка а2^а)2 (0.1721 мэВ). В [8] использовалось значение г^ = 2.139(3) фм. Величина интервала тонкой структуры (2Р3/2 — 2Р1/2) 8.86386 мэВ из Таблицы 4.2 согласуется с результатом 8.864 мэВ из [8]. Новый анализ различных вкладов в лэмбовский сдвиг в мюонном дейтерии был проведен в [97]. Полное значение расщепления (2Рх/2 — 25'1/2) из [97] равное 202.940 (см. Таблицу 4 из [97]) было получено для г^ — 2.130 фм. Оно превосходит наш результат 202.7372 мэВ на 0.2068 мэВ. По нашему мнению, это различие обусловлено тем, что в [97] учитывалась поправка Земаха (0.4329 мэВ), а вклад поляризуемости ядра равен 1.5 мэВ. В работе [112] показано, что поправка Земаха сокращается с возбужденными состояниями мюона. В, результате вклад структуры и поляризуемости ядра равен 1.680 мэВ [112], и это значение мы используем в своих расчетах.

Погрешность наших вычислений обусловленная погрешностью в определении фундаментальных физических постоянных, входящих в основные вклады составляет примерно Ю-5 мэВ. Другая часть теоретической погрешности расчетов связана с вычислением КЭД вкладов высших порядков. В главном порядке по а ее можно оценить как т\а{^<^\\1{7,(у)1'кг? « 0.0001 мэВ. Теоретическая погрешность, связанная с вкладом поляризуемости и структуры ядра равна 0.0160 мэВ [112]. Ошибка в измерении сечения рассеяния а(е+е~ 7Г+7Г~) равна нескольким процентам. Таким образом, погрешность, возникающую при вычислении эффектов адронной поляризации вакуума мы оцениваем в 5%(« ±0.0006 мэВ). Была учтена ошибка округления ~ 0.0002 мэВ.

Наибольшая часть теоретической ошибки связана с погрешностью в значении зарядового радиуса дейтрона ±0.0550 мэВ. Таким образом полное значение теоретической погрешности наших вычислений равно ±0.0573 мэВ. Отметим ряд особенностей наших вычислений.

1)Эффекты поляризации вакуума играют важную роль в энергетической структуре данного атома. Нами учтены поправки на одпопетлевую, двухпет-левую и трехпетлевую ПВ. Ряд вкладов, обусловленных эффектами поляризации вакуума согласуется с результатами из [98, 100, 104].

2)Поправки на структуру ядра учтены нами при помощи квадрата зарядового радиуса дейтрона. Нами проанализированы вклады эффектов структуры ядра с учетом поляризации вакуума. Упругий вклад от диаграмм двухфотон-ного обмена сокращается со вкладом на поляризуемость дейтрона [112].

3)Вклад поляризуемости ядра взят нами из работы [112]. Отметим, что эта поправка дает вклад в теоретическую погрешность, равный ±0.016 мэВ. Удобно итоговый результат записать в терминах зарядового радиуса дейтрона АЕи{2Р - 25) = (230.4508 - 6.108485 • т^) мэВ, где гл выражается в фм. Затем, сравнивая это выражение с экспериментальным значением лэмбовско-го сдвига, измеренного с точностью 0.01 мэВ (50 ррт), мы сможем получить более точное значение г^ с точностью до 0.0005 фм.

Заключение

В данной диссертации решены задачи о тонкой структуре иона мюонного гелия + , сверхтонкой структуре мюонного гелия (fJLe^He), (fie^He), лэмбовском сдвиге в атоме мюонного дейтерия (fid).

В рамках квазипотенциального метода в квантовой электродинамике были получены следующие результаты:

1. Проведен расчет поправок порядка а5, ск6 к интервалу тонкой структуры (2Р3/2 — 2Pi/2) иона мюонного гелия обусловленных эффектами двухпетлевой поляризации вакуума. Вычислены вклады структуры ядра порядка в первом и втором порядках теории возмущений. Полученная величина тонкого расщепления АЕ = 146.181 мэВ на порядок улучшает предыдущие вычисления [4].

2. Проведен расчет сверхтонкого расщепления основного состояния атома мюонного гелия (/хе2//е). Вычислены поправки на однопетлевую поляризацию вакуума во втором порядке теории возмущений порядка а5(Ме/Мц). "Учтены поправки на структуру ядра порядка а6. Проведен расчет электронных вершинных поправок в первом и втором порядках теории возмущений порядка а5. Итоговая величина сверхтонкого расщепления мюонного гелия Аи = 4465.526 МГц улучшает предыдущие результаты [5, 6].

3. Вычислен интервал сверхтонкой структуры основного состояния атома мюонного гелия (ц&}Не). Проведен расчет поправок на поляризацию вакуума во втором порядке теории возмущений порядка а5(Ме/МУчтены электронные вершинные поправки в первом и втором порядках теории возмущений порядка а5. Вычислены вклады структуры ядра в первом и втором порядках теории возмущений порядка а4 и а6. Полученное значение сверхтонкого расщепления Av = 4416.648 МГц улучшает предыдущие вычисления [7].

4. Проведен расчет лэмбовского сдвига (2Pi/2 — 2Si/2) в атоме мюонного дейтерия ¡мі. Учтены релятивистские поправки с эффектами однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума порядка а(га)4, а2(га)4. Вычислены вклады структуры ядра с эффектами двухпетлевой поляризации вакуума в первом и втором порядках теории возмущений порядка а(га)4, а2{га)4 соответственно. Проведено вычисление эффектов двухпетлевой поляризации вакуума во втором порядке теории возмущений и эффектов структуры ядра в однофотонном взаимодействии в интервале тонкой структуры мюонного дейтерия. Полное значение лэмбовского сдвига АЕ = 202.4136 мэВ улучшает предыдущий расчет [8] и является надежной оценкой для сравнения с экспериментальными результатами.

1. Carboni G., Gorini G., Torelli G. et al. Precise measurement of the 2S,1/2 — 2P3/2 splitting in the {fi4He)+ muonic ion // Nucl. Phys. A. 1977. Vol. 278. Pp. 381-386.

2. Hauser P., von Arb H. P., Biancchetti A. et al. Search for the 2S-2P energy difference in muonic 4He ions // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 46. Pp. 2363-2377.

3. Pohl R., et.al. A. A. The size of the proton // Nature. 2010. Vol. 466. Pp. 213-217.

4. Borie E., Rinker G. A. The energy levels of muonic atoms // Rev. Mod. Phys. 1982. Vol. 54, no. 1. Pp. 67-118.

5. Lakdawala S. D., Mohr P. J. Hyperfine structure in muonic helium // Phys. Rev. A. 1980. Vol. 22, no. 4. Pp. 1572-1575.

6. Lakdawala S. D., Mohr P. J. Perturbation-theory calculation of hyperfine structure in muonic helium // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 29, no. 3. Pp. 1047-1054.

7. Lakdawala S. D., Mohr P. J. Calculation of the muonic He3 hyperfine structure // Phys. Rev. A. 1981. Vol. 24, no. 4. Pp. 2224-2227.

8. Borie E. Lamb shift of muonic deuterium // Phys. Rev. A. 2005. Vol. 72, no. 5. Pp. 052511-1-052511-7.

9. Krutov A. A., Martynenko A. P. Ground-state hyperfine structure of the muonic helium atom // Phys. Rev. A. 2008. Vol. 78, no. 3. Pp. 032513-1-032513-11.

10. Крутов А. А., Мартыненко А. П. Сверхтонкая структура основного состояния атома мюонного гелия // Вестник СамГУ. 2008. Vol. 8. Pp. 550-566.

11. Elekina Е. N., Krutov A. A., Martynenko A. P. Fine structure of the muonic 4 He ion // Письма я ЭЧАЯ. 2011. Vol. 8. Pp. 554-563.

12. Krutov A. A., Martynenko A. P. Hyperfine structure of the ground state muonic 3He atom // EPJ D. 2011. Vol. 62. Pp. 163-175.

13. Крутов А. А., Мартыненко А. П. Сверхтонкая структура основного состояния атома мюонного гелия // Сборник тезисов Всероссийского совещания по Квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам,Санкт-Петербург. 2008. Р. 33.

14. Крутов А. А., Мартыненко А. П. Сверхтонкая структура атома мюонного гелия / / Сборник тезисов второй международной конференции "Математическая физика и ее приложения Самара.2010. Pp. 189-191.

15. Крутов А. А., Мартыненко А. П., Салеев А. В. Сверхтонкая структура основного состояния мюонного гелия // Сборник тезисов XXIV Съезда по спектроскопии,Москва,Троицк. 2010. Pp. 431-432.

16. Крутов А. А., Мартыненко А. П. Сверхтонкая структура основного состояния мгоониого гелия // Сборник тезисов третьего всероссийского совещания "Прецизионная физика и фундаментальные физические константы Санкт-Петербург. 2010. Р. 36.

17. Krutov A. A., Martynenko А. P. Lamb shift in muonic deuterium atom.2011. arXiv:hep-ph/1107.3080v3.

18. Logunov A. A., Tavkhclidze A. N. Quasi-optical approach in quantum field theory // Nuovo Cimento. 1963. Vol. 29. Pp. 380-399.

19. Арбузов Б. А., Логунов А. А., Тавхелидзе A. H. et al. Квазиоптическая модель и асимптотика амплитуды рассеяния // ЖЭТФ. 1963. Vol. 44. Pp. 1409-1411.

20. Kadyshevsky V. G. Quasipotential Type Equation for the Relativistic Scattering Amplitude // Nucl. Phys. B. 1968. Vol. 6. Pp. 125-148.

21. Логунов А. А., Саврин В. И., Тюрин Н. Е., Хрусталев О. А. Одновременное уравнение для системы двух частиц в квантовой теории поля // ТМФ. 1971. Vol. 6. Pp. 157-165.

22. Garsevanishvili V. R., Matveev V. A., Slepchenko L. A., Tavkhelidze A. N. Quasipotential Theory of High-Energy Hadron Scattering // Phys. Rev. D. 1971. Vol. 4. Pp. 849-861.

23. Фаустов P. H. Уровни энергии и электормагнитные свойства водородоподобных атомов // ЭЧАЯ. 1972. Vol. 3. Pp. 238-268.

24. Скачков Н., Соловцев И. Релятивистское трехмерное описание взаимодействия двух фермионов // ЭЧАЯ. 1978. Vol. 9. Pp. 5-47.

25. Фаустов Р. Квазипотеициальный метод в задаче о связанных состояниях // ТМФ. 1970. Vol. 3. Pp. 240-254.

26. Faustov R. N. Relativistic Wave Function and Form Factors of the Bound System // Ann. Phys. 1973. Vol. 78. Pp. 176-189.

27. Faustov R. N., van Hieu N. Quasi-optical potential in Quantum Field Theory // Nuclear Physics. 1964. Vol. 53. Pp. 337-344.

28. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питасвский Л. П. Квантовая электродинамика. Наука, 1980.

29. Иваненко Д. Д., Соколов А. А. Классическая теория поля. Гос. изд. тех.-теор. лит., 1951.

30. Веселов М., Лабзовский Л. Теория атома. Строение электронных оболочек. Наука-Физматлит, 1986.

31. Zapryagaev S. A., Manakov N. L., Pal'chikov V. G. The Theory of Multiply Charged Ions with One and Two Electrons. Energoamizdat, 1985.

32. Hostler L. Coulomb Green's Function in f-Dimensional Space //J. Math. Phys. 1970. Vol. 11. Pp. 2966-2971.

33. Hameka H. F. On the Use of Green Functions in Atomic and Molecular Calculations. I. The Green Function of the Hydrogen Atom //J. Chem. Phys. 1967. Vol. 47. Pp. 2728-2736.

34. Pachucki K. Theory of the Lamb shift in muonic hydrogen // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 53, no. 4. Pp. 2092-2100.

35. Hostler L., Pratt R. H. Coulomb Green's Function in Closed Form // Phys. Rev. Lett. 1963. Vol. 10, no. 11. Pp. 469-470.

36. Ivanov V. G., Karshenboim S. G. Sum rules and the leading two-loop logarithms corrections in the hydrogen atom Lamb shift. // JETP. 1996. Vol. 82. Pp. 403-408.

37. Romanov S. V. The hyperfine muon-nucleus interaction and P-odd effects in the one-photon 2s—>ls transition of light muonic atoms // Z. Phys. D. 1993. Vol. 28. Pp. 7-21.

38. Swainson R., Drake G. W. F. Lamb shifts and fine-structure splittings for light rnuonic ions: Hyperfinc-structure corrections // Phys. Rev. A. 1986. Vol. 34, no. 1. Pp. 620-623.

39. Mohr P. J., Taylor B. N., Newell D. B. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2006 // Rev. Mod. Phys. 2008. Vol. 80, no. 2. Pp. 633-730.

40. Jackowski K., Jaszunski M., Kamienski B., Wilczek M. NMR frequency and magnetic dipole moment of 3He nucleus //J. Magn. Reson. 2008. Vol. 193. Pp. 147-149.

41. Martynenko A. P., Faustov R. N. Corrections of order (Za)6m2/mfj, in the muonium fine structure // JETP. 1999. Vol. 88. Pp. 672-680.

42. Martynenko A. P. Theory of muonic hydrogen muonic deuterium isotope shift // JETP. 2005. Vol. 101. Pp. 1021-1036.

43. Martynenko A. P., Faustov R. N. Muonic hydrogen ground state hyperfine splitting // JETP. 2004. Vol. 98. Pp. 39-52.

44. Barker W. A., Glover F. N. Reduction of Relativistic Two-Particle Wave Equations to Approximate Forms. Ill // Phys. Rev. 1955. Vol. 99, no. 1. Pp. 317-324.

45. I.Eides M., Grotch H., A.Shelyuto V. Theory of light hydrogenlike atoms // Phys. Rep. 2001. Vol. 342. Pp. 63-261.

46. Sapirstcin J. R., Yennie D. R. in Quantum Electrodynamics, Ed. by T. Ki-noshita. 1990.

47. Erickson G. W., Yennie D. R. Radiative level shifts, I. Formulation and lowest order lamb shift // Ann. Phys. 1965. Vol. 35. Pp. 271-313.

48. Manakov N. L., Nekipelov A. A., Fainshtein A. G. Vacuum polarization by a strong coulomb field and its contribution to the spectra of multiply-charged ions // JETP. 1989. Vol. 95. Pp. 1167-1177.

49. Shabaev V. M., Artemyev A. N., Beier Т., Soff G. Relativistic recoil correction to hydrogen energy levels // J. Phys. B. 19998. Vol. 31. Pp. L337-L346.

50. Artemyev A. N., Shabaev V. M., Yerokhin V. A. Relativistic nuclear recoil corrections to the energy levels of hydrogcnlike and high-Z lithiumlikc atoms in all orders in aZ // Phys. Rev. A. 1995. Vol. 52. Pp. 1884-1894.

51. Golosov E. A., Yelkhovsky A. S., Milshtein A. I., Khriplovich I. B. Order a4(m/M)Roo corrections to hydrogen P levels // JETP. 1995. Vol. 107. Pp. 393-405.

52. Jentschura U., Pachucki K. Higher-order binding corrections to the Lamb shift of 2P states // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54, no. 3. Pp. 1853-1861.

53. Martynenko A. P. Lamb shift in the muonic helium ion // Phys. Rev. A. 2007. Vol. 76. Pp. 012505-1-012505-11.

54. Sick I. Precise root-mean-square radius of He4 // Phys. Rev. C. 2008. Vol. 77, no. 4. P. 041302.

55. Каршенбойм С. Г., Корзинин Е. Ю., Иванов В. Г., Шелюто В. А. Вклад блока рассеяния света на свете в уровни энергии легких мюонных атомов // Письма в ЖЭТФ. 2010. Vol. 92. Pp. 9-15.

56. Orth Н., Arnold К. P., Egan P. О. et al. First Observation of the Ground-State Hyperfine-Structure Resonance of the Muonic Helium Atom // Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 45, no. 18. Pp. 1483-1486.

57. Gardner C. J., Badertscher A., Beer W. et al. Precise Measurement of the Hy-perfine-Structure Interval and Zeeman Effect in the Muonic Helium Atom // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48, no. 17. Pp. 1168-1171.

58. Bethe H. A., Salpeter E. E. Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms. Springer, 1957.

59. Martynenko A. P. Hyperfine Structure of the S Levels of the Muonic Helium Ion // JETP. 2008. Vol. 106. Pp. 690-699.

60. Karshenboim S. G. Precision physics of simple atoms: QED tests, nuclear structure and fundamental constants // Phys. Rep. 2005. Vol. 422. Pp. 1-63.

61. Huang K. N., Hughes V. W. Theoretical hyperfine structure of muonic helium // Phys. Rev. A. 1979. Vol. 20, no. 3. Pp. 706-717.

62. Pachucki K. Hyperfine structure of muonic helium // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 63, no. 3. P. 032508.

63. Borie E. On the hyperfine structure of neutral muonic helium // Z. Phys. A. 1979. Vol. 291. Pp. 107-112.

64. Drachman R. J. Hyperfine structure of muonic helium: excited states //J. Phys. B. 1983. Vol. 16. Pp. L749-L751.

65. Amusia M. Y., Kuchiev M. J., Yakhontov V. L. Computation of the hyperfine structure in the (a-iTe-f atom // J. Phys. B. 1983. Vol. 16. Pp. L71-L75.

66. Drachman R. J. Nonrelativistic hyperfine splitting in muonic helium by adiabatic perturbation theory // Phys. Rev. A. 1980. Vol. 22, no. 4. Pp. 1755-1757.

67. Huang K.-N., Hughes V. W. Theoretical hyperfine structure of the muonic 3#e and AHe atoms // Phys. Rev. A. 1982. Vol. 26, no. 5. Pp. 2330-2333.124

68. Chen M.-K., Hsue C.-S. Theoretical hyperfine structure of the muonic He4 atom // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 40, no. 10. Pp. 5520-5525.

69. Chen M.-K. Correlated wave functions and hyperfine splittings of the 2s state of muonic Яе3'4 atoms // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45, no. 3. Pp. 1479-1492.

70. Frolov A.M. Properties and hyperfine structure of helium-muonic atoms / / Phys. Rev. A. 2000. Vol. 61, no. 2. Pp. 022509-1-022509-7.

71. Krivec R., Mandelzweig V. B. Nonvariational calculation of the hyperfine splitting and other properties of the ground state of the muonic helium atom // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 56, no. 5. Pp. 3614-3622.

72. Фок В. Основы квантовой механики. Наука, 1975.

73. Brodsky S. J., Erickson G. W. Radiative Level Shifts. III. Hyperfine Structure in Hydrogenic Atoms // Phys. Rev. 1966. Vol. 148, no. 1. Pp. 26-46.

74. Kroll N. M., Pollock F. Radiative Corrections to the Hyperfine Structure and the Fine Structure Constant // Phys. Rev. 1951. Vol. 84, no. 3. Pp. 594-595.

75. Karplus R., Klein A., Schwinger J. Electrodynamic Displacement of Atomic Energy Levels // Phys. Rev. 1951. Vol. 84, no. 3. Pp. 597-598.

76. Arnowitt R. Hyperfine Structure of Hydrogen // Phys. Rev. 1953. Vol. 92. Pp. 1002-1009.

77. Breit G. Dirac's Equation and the Spin-Spin Interactions of Two Electrons // Phys. Rev. 1932. Vol. 39, no. 4. Pp. 616-624.

78. Bjorken J. D., Drell S. D. Relativistic Quantum Mechanics. McGraw-Hill, 1964.

79. Chen M.-K. Hyperfine splitting in muonic 4He and 3He atoms: global operator approach // J. Phys. B. 1990. Vol. 23. Pp. 4041-4049.

80. Chen M.-K. Hyperfine splitting for the ground-state muonic 3He atom-corrections up to a2 // J. Phys. B. 1993. Vol. 26. Pp. 2263-2272.

81. Yakhontov V. L., Amusia M. Y. Hyperfine splitting computation in thestate of the exotic {AHe£ — mu~e~)° and (3HeJ — mu~e~)° atoms // J. Phys. B. 1994. Vol. 27. Pp. 3743-3765.

82. Krivec R., Mandelzweig V. B. Nonvariational calculation of the hyperfine splitting and other properties of the ground state of the muonic 3He atom // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 57, no. 6. Pp. 4976-4979.

83. Gladish M., et.al. Hypefrine structure of muonic helium \He // Proceedings of 8th Int. Conf. on Atomic Phys. 1983.

84. Frolov A. M. Two-stage strategy for high-precision variational calculations // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 57, no. 4. Pp. 2436-2439.

85. Korobov V. I. Coulomb three-body bound-state problem: Variational calculations of nonrelativistic energies // Phys. Rev. A. 2000. Vol. 61, no. 6. Pp. 064503-1-064503-3.

86. Martynenko A. P. 25 Hyperfine splitting of muonic hydrogen // Phys. Rev. A. 2005. Vol. 71, no. 2. Pp. 022506-1-022506-11.

87. Elekina E. N., Martynenko A. P. Hyperfine structure of S- and P-wave state in muonic-helium atom // Phys. At. Nucl. 2010. Vol. 73. Pp. 1-10.

88. Grotch H., Yennie D. R. Effective Potential Model for Calculating Nuclear Corrections to the Energy Levels of Hydrogen // Rev. Mod. Phys. 1969. Vol. 41, no. 2. Pp. 350-374.

89. Bodwin G. T., Yennie D. R. Some recoil corrections to the hydrogen hyper-fine splitting // Phys. Rev. D. 1988. Vol. 37. Pp. 498-523.

90. Martynenko A. P., Faustov R. N. Proton polarizability and the Lamb shift in muonic hydrogen // Phys. Atom. Nucl. 2000. Vol. 63. Pp. 845-849.

91. Martynenko A. P., Faustov R. N. Proton polarizability contribution to the hydrogen hyperfine splitting // Phys. Atom. Nucl. 2002. Vol. 65. Pp. 265-270.

92. Faustov R. N., Martynenko A. P. Nuclear structure corrections in the energy spectra of electronic and muonic deuterium // Phys. Rev. A. 2003. Vol. 67, no. 5. Pp. 052506-1-052506-7.

93. McCarthy J. S., Sick I., Whitney R. R. Electromagnetic structure of the helium isotopes // Phys. Rev. C. 1977. Vol. 15, no. 4. Pp. 1396-1414.

94. Morton D. C., Wu Q., Drake G. W. F. Nuclear charge radius for He3 // Phys. Rev. A. 2006. Vol. 73, no. 3. P. 034502.

95. Borie E. Lamb Shift in Light Muonic Atoms // Z. Phys. 1975. Vol. 275. Pp. 347-349.

96. Drake G. W. F., Byer L. L. Lamb shifts and fine-structure splittings for the muonic ions ¡jt-Li, /¿"-Be, and ¡i~-B: A proposed experiment // Phys. Rev. A. 1985. Vol. 32, no. 2. Pp. 713-719.

97. Borie E. Lamb Shift in Light Muonic Atoms Revisited. 2011. arX-iv:physics.atom-ph/1103.1772v4.

98. Kinoshita T., Nio M. Sixth-Order Vacuum-Polarization Contribution to the Lamb Shift of Muonic Hydrogen // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. Pp. 3240-3243.

99. Kinoshita T., Nio M. Accuracy of calculations involving a3 vacuum-polarization diagrams: Muonic hydrogen Lamb shift and muon g — 2 // Phys. Rev. D. 1999. Vol. 60. P. 053008.

100. Karshenboim S. G., Ivanov V. G., Korzinin E. Y., Shelyuto V. A. Nonrela-tivistic contributions of order aPm^c2 to the Lamb shift in muonic hydrogen and deuterium, and in the muonic helium ion // Phys. Rev. A. 2010. Vol. 81, no. 6. P. 060501.

101. Sick I., Trautmann D. On the rms radius of the deutron // Nucl. Phys. A. 1998. Vol. 637. Pp. 559-575.

102. Jentschura U. D. Relativistic reduced-mass and recoil corrections to vacuum polarization in muonic hydrogen, muonic deuterium, and muonic helium ions // Phys. Rev. A. 2011.-Jul. Vol. 84. Pp. 012505-1-012505-6.

103. Baranger M., Dyson F. J., Salpeter E. E. Fourth-Order Vacuum Polarization // Phys. Rev. 1952. Vol. 88. Pp. 680-680.

104. Kinoshita T., Nio M. Erratum: Sixth-Order Vacuum-Polarization Contribution to the Lamb Shift of Muonic Hydrogen Phys.Rev. Lett. 82, 3240. // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 103. P. 079901.

105. Wichmann E. H., Kroll N. M. Vacuum Polarization in a Strong Coulomb Field // Phys. Rev. 1956. Vol. 101, no. 2. Pp. 843-859.

106. Mohr P. J., Plunien G., Soff G. QED corrections in heavy atoms // Phys. Rep. 1998. Vol. 293. Pp. 227-369.

107. Veitia A., Pachucki K. Nuclear recoil effects in antiprotonic and muonic atoms // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 69, no. 4. P. 042501.

108. Friar J. L. Nuclear Finite-Size Effects in Light Muonic Atoms // Ann. Phys. 1979. Vol. 122. Pp. 151-196.

109. Friar J. L., Martorell J., Sprung D. W. L. Nuclear sizes and the isotope shift // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 56, no. 6. Pp. 4579-4586.

110. Lu Y., Rosenfelder R. Nuclear polarization corrections for the S-levels of electronic and muonic deuterium // Phys. Lett. B. 1993. Vol. 319. Pp. 7-12.

111. Friar J. L., Martorell J., Sprung D. W. L. Hadronic vacuum polarization and the Lamb shift // Phys. Rev. A. 1999. Vol. 59, no. 5. Pp. 4061-4063.

112. Pachucki K. Nuclear Structure Corrections in Muonic Deuterium // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 106, no. 19. Pp. 193007-1-193007-4.

113. Khriplovich I.B., Milshtein A. I. Corrections to the Deuterium Hypefrine Structure due to Deuteron Excitations // JETP. 2004. Vol. 98. Pp. 181-185.

114. Eides M. I., Grotch H. Radiative correction to the nuclear-size effect and hydrogen-deuterium isotopic shift // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 56, no. 4. Pp. R2507-R2509.

115. Friar J. L., Payne G. L. Higher-order nuclear-size corrections in atomic hydrogen // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 56, no. 6. Pp. 5173-5175.

116. Eides M. I., Grotch H. Recoil corrections of order (Za6{m/M)m to the hydrogen energy levels recalculated // Phys. Rev. A. 1995. Vol. 55, no. 5. Pp. 3351-3360.

117. Pachucki K., Grotch H. Pure recoil corrections to hydrogen energy levels // Phys. Rev. A. 1995. Vol. 51, no. 3. Pp. 1854-1862.

118. Shabaev V. M. QED theory of the nuclear recoil effect in atoms // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 57, no. 1. Pp. 59-67.

119. Yelkhovsky A. Recoil Correction to Hydrogen Energy Levels:A Revision // JETP. 1998. Vol. 113. P. 865.

120. Lepage G. P., Yennie D. R., Erickson G. W. Radiative Corrections to Nuclear Size Corrections to the Lamb Shift // Phys. Rev. Lett. 1981. Vol. 47, no. 22.

121. Barbieri R., Caffo M., Remiddi E. Fourth-order charge radius of the muon and its contribution to the Lamb shift // Lett. Nuovo Cimento Soc. Ital. Fis. 1973. Vol. 7. Pp. 60-62.

122. Jentschura U. D. Lamb shift in muonic hydrogen I. Verification and update of theoretical predictions // Ann. P. 2011. Vol. 326. Pp. 500-515.

123. Martynenko A. P., Faustov R. N. Hadronic vacuum polarization contribution to the Lamb shift in muonic hydrogen // EPJ direct. 2000. Vol. 1. Pp. 1-6.1. P. 1640.