Спектры колебаний доменных границ в ферромагнетиках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.09 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ им. П.Л. КАПИЦЫ

На правах рукописи ШИМОХИН Игорь Анатольевич

УДК 537.621:538.221

СПЕКТРЫ КОЛЕБАНИЙ ДОМЕННЫХ ГРАНИЦ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ

о

(01.04.09 — физика низких температур)

Автореферат диссертации на"соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л.ДЛандау РАН

Научный руководитель — доктор физико-математических наук Михайлов A.B.

Официальные оппсченты:

доктор физико-математических наук Боровик А.Е. (Физико-технический институт низких температур АН Украины)

кандидат физико-математических наук Сыногач В.Т. (Институт физики твердого тела РАН )

Ведущая организация — Институт физики металлов УрО РАН

Защита состоится " т " а-о->г1Л990 г. в часов на

заседании специализироьанного совета.Д^ЮЗ.04.01 при Институте физических проблем им. -ПЛ. Капицы по адресу: 117973 ГСП-1 Москова В-334, ул. Косыгина, \ ИФП РАН.

С. диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ им. Л.Д. Ландау АН СССР

Автореферат разослан ".¿" 199^г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор

физико-математических наук „

. ■ j^.A. Прозорова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ-

Актульносч. темы Решению задачи о спектре колебаний доменных границ в фер-.(агнетиках посвящено большое количество теоретических и :перименталышх работ.. Интерес к этой проблеме объясняется I, что без учета процессов вг шмодейстшш различных типов ментарных возбуждений невозможно ^последовательное описа-1 механизмов, определяющих перераспределение и диссипацию ■рпш, что в свою -очередь определяет 'многие фундаментные свонстав ферромагнетика. 'В 'последнее время этот инее еще более усилился -в связи (С ¡возможностью практического шенения доменных -границ и ¡нх 'внутренней структуры (бло-скнх линий) в за.юмшшюш'гх устройствах ЭВМ с комплексом :окгх параметров.

! то же время задача о 'нахождении ¡спектра колебаний домен-с границ в ферромагнетиках >не ¡решена достаточно полно, еющиеся в литературе (результаты ¡получены, в основном, ферромагнетиков с -'большим -фактором качества С>, в то мя как наибольший .оксперимештальныц интерес представляют [езо - пттриевые 'гранаты -с достаточно малыми значениями аметра С?. 'Бо-.зе -общие (результаты, справедливые для всех получены лишь дли 'одного 'выделенного направления распрос-нения 'колебаний. /До «сих >пор «не было целостного пред-зления «о-спектре «возбуждений -доменных границ: неизвестно (ее 'количество -ветвей 'з -спектре; неясно их поведение в гаточно 'широком ^диапазоне длин -волн, так как результаты готся только 'в длинноволновое 'и коротковолновом пределах.

¡Цепь'.ртСбошш ;елыо диссертационной ¡ра'боты -являлось изучение

спектра 'колебаний •уедишли.-й блоховской доменной границы в одноосном ■ ферромагнетике

спектра 'колебаний ¡130° доменной стенки в кубическом ферромагнетике х 'отрнцатеяглгон 'константой кубической анизо-

!1

тропии при наличии дополнительной одноосной аиизотропн

Объясняется это тем, чтсо случай одноосной анизотропии являет наиболее простым и красивым по постановке задачи, а случ; кубического ферромагнетика со слабой одноосной аиизотропн является хорошей моделью железо - иттриевых гранатов, к торые на данный момент представляют лаибольшнй интерес экспериментальной и практической точек зрения.

Научная ьовизна

« Предложен численный алгоритм, позволяющий находи спектр локализованных колебаний уединенных доменных гр ииц в одноосных ферромагнетиках для любых значений фа тора качества и для любого направления и величины во

I нового вектора. "

• С .помощью численного счета получен общий вид спект колебаний.домешюй стенки в одноосном ферромагнетике д

! больших и малых значений Q, показана зависимость спе тра от направления волнового-вектора. Определено обш количество ветвей спектра. Подтверждено существовап

• высокочастотно;"! ветви, найденной Гшшнским. Найда новые, неизвестные рднее, высокочастотные ветви спект{ попадающие в зону, запрещенную для объемных сшшов: волн, при некоторых значениях волновою вектора. Buacnei рамки' применимости имеющихся теоретических результате

в Получена длинноволновая асимптотика низкочастотной вет спектра колебаний доменной границы в одноосном ферромг нстике, справедливая для любого значения фактора качсст Q и любого направления волнового вектора,

е "Получена длинноволновая • асимптотика ветви Гшшнско] справедливая для любого направления волнового вектс; Гшшнским зга ветвь- была найдена в длинноволновом ri; деле для любых значения фактора качествано лишь д выделенного «¿Правления волнового вектора. .

1редложен • численный алгоритм, позволяющий находить :пектр колебаний 180°. доменных .границ в кубических фер-зомагнетш'пх с дополнительной одноосной анизотропией.

2 помощью численного счета найден спектр колебаний 180° ' (омекной границы в' кубическом ферромагнетике с отри-детбльной .константой кубической анизотропии при наличии 1 »днаоснои анизотропии для значений параметров, соответству- ' отцпх реальным образцам железо. - иттриевых гранатов. 1олучепо, что в длинноволновой области спектр состоит из j le-mpex ветвей: , - '

1. низкочастотной, безщедевой ветви изшбных колебаний, . .

2. ветви колебаний 71° и 109" субдомешшх стенок относи- ; тельно друг друга, приводящих к колебаниям толщины ;

стенки, " .

3. ветви, соответствующей в одноосном случае ветви Гилин-1 ,

ского, '

4. новой, неизв ;тной ранее высокочастотной ветви.

1оказано, что для всех направлений волнового вектора к, . :роме 'перпепдпкул5грного оси легкого намагничивания, 1 пектр пизкочас~огной ветви имеет корневую сингулярность [рй к —> 0. 'Осталшше ветви, а также низкочастотная ветвь упомянутом выше направлении, имеют линейную длинно-олновую асимптотику. ' .

Тайдеп -главный, корневой член в длинноволновом разл'оже-:тт дпсперсиошгого соотношения, соответствующего низко-" ' ■астотной •ветви, для ферромагнетиков с малым фактором-ачества.

»актитеска-я 'ценность

'езулмрты диссертации могут быть применены при объясне-ни экспертглспталышх результатов, получаемых при изучена -магпиттплх явлений, связанных с динамикой ломенимл ратщ.

з

в Численный алгоритм, разработанный в диссертации, может быть использован для нахождения собственных чисел самосопряженных операторов высокою порядка.

' Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на

• семинарах ИТФ им. Л.Д. Ландау,

« семинарах ИФТТ,

• Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Черноголовка, 1989),

• IV Kiev International Workshop on Nonlinear Processes in Physics . ( Киев, 1989),

• III Potsdam - V Kiev International Workshop on Nonlinear Processes in Physics (Potsdam, NY USA,' 1991),

• Rocky Mountain Nonlinear Experience (Boulder, CO USA, 1991),

I .

о семинаре Института Физических Проблем, t

Структура н объем диссертации

.Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Приводится список' цитируемой литературы. Диссертация содержит страницей, рисунков 2/.

'ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ'РАБОТЫ

Во »ведении обосновывается выбор, темы диссертации и приводится ее краткое содержание по главам.

Перпая глава диссертации содержит краткий обзор существующих теоретических и экспериментальных результатов, выводы, сделанные на основании отого обзора,'и постановку задачи диссертационной работы.

Вторая глава диссертации содержит описаиисеялгорнтма численного решения задачи о нахЬждешш спег.гра колебаний доменной границы-в одноосном ферромагнетике и результаты числеяного'моделировании. '

D первом разделе предлагается математическая формулиров-

а задачи. . Исходными уравнениями при описаний движения

ектора на- агничс шости М и собственного поля магнитных мо-

[ентов Н являются уравнения Ландау - Лифшица и уравнения

1аксв^лла в мапштостатическом приближении:

1 • 1 цМ = а[М,АМ]+р'М-п)1М,Н] + [Н>¥}, (1)

f • (Я + 4тгМ) =0, VxÍ = 0, (2)

где а и /3 - константы обменного взаимодействия и ани-этропии, 7 - гиромагнитное отношение, а единичный вектор п пределяет ось легкого намагничивания. Рассматриваются малые'. гклонения вектора намагниченности от состояния, соответству-ицего точному решению системы {)), (2), описывающего плос-уга блоховскую доменную стенку:

м°х = содц°/5у М° = 0, М° = Ar0tanh(y/5), IIo = 0, Í

где Мо - намах личенность насыщения, a S = у/а/0 - толщина змеиной стенки. Система координат выбрана так, что вектор = (0,0,1). Для о.того М представляется в виде: 1

М = М° + т, ' |тп| < М0,

и полагается, что возмущение . m предСтавляёт собой нлоскуго >лну с волновым вектором k=z(kx,kt) и частоты П, лока.'.изо-тную в окрестности доменной стенки (т.е. исчезающунэ при делении от нее). Далее вводятся безразмерные переменные

тх = Моа(£) cos(kxx + кгг — fit) tanh(£),

ту = 'Mob(£)s'm(kxx + кгг — Qt),

—тг = Moa(^) cos(fcxx + кгг — fit)/ cosh(f),

ф = М0\/а/?/(£) sin[кхх + кгг - fii), H = Уф,

П = ЦЗМ0ш, кх — кх8, K, = kt6, у = 6£,

при этом учтено условие М2 = M¿. В этих переменных шеаризованные уравнения (1), (2) имеют вид:

н i 2 . , к, — K.j;sinh(í) .

а = (1+я ■- +ш6 - cosh(e) * ■

= +«¡Г

.) • Q cosh{£) Q

В новых переменных задача о нахождении спектра колебанш доменной стенки формулируется следующим образом: в трехмерном пространстве с коордш'атами (кх, к2,ш) требуется i гай ti такие точки, в которых система уравнений (3) обладает решением, стремящимся к нулю при £ —* ±оо. Это множество то' чек и представляет собой спектр возбуждений доменной стенки Спектр зависит только от одного параметра Q.

В данном разделе обсуждаются также свойства симметрш спектра возбуждений доменной стенки.

Во втором разделе описан численный.'алгоритм, позволяющие находить спектр локализованных колебаний доменной стенки i одноосном ферромагнетике для любых значений фактора качест ва и для любого направления и величины волнового вектора 1'ешаемаи задача сводится к задаче нахождения собственны: чисел ц> == ш(кх,кг) системы обыкновенных дифференциальны: уравнений шестого порядка с краевыми условиями, заданным) как условие стремления решений к нулю при £ —» ±оо. Задач; усложняется наличием среди решений системы (3) экспонен циальпо растущих, причем с существенно различныим показа тьлямн, 'что заставляет отнести решаемую задачу к разряд "жестких" задач. Это налагает дополнительные требования разностным методам решения дифференциальных уравнений. < другой стороны, рассматриваемая задача о нахождешп: собствен них чисел oj облегчается тем, что заранее известен сравнительн небольшой отрезок, в котором лежат все интересующие нас соб ств'еннь'ге числа, так как они находятся в зоне, запрещенной дл объемных спиновых волк, границы которой легко вычисляютс! Предлагаемый в работе .численный алгоритм является модпфика цией метода пристрелки, когда собственное чн^ло. находится л условия существования такого решения системы (3), которое щ> £ —» rtóo' раскладывается ' по убывающем на соответствуют^

бесконечности функциям из фундаментальной системы решений • асимптотичёской системы уравнений

о" = (1 + к2)а + иЬ± кх/,

Ь" = (1 + к2)Ь + ша + /',

/" = ^Kxa + ^b' + K2f,

в которую переходит система (3), если в ней оставить лишь не исчезающие при £ —» ±оо коэффициенты.

Ь третьем разделе приводятся результаты численного моделирования. С помощью численного счета получен общий вид спектра колебаний доменной стенки в одноосном ферромагнетике в широком диапазоне длин волнового вектора для б льших и малых значений Q, ьоказана зависимость спектра от направления волнового вектора. Определено общее количество ветвей спектра. Найдена корневая сингулярность в поведении низкочастотной ветви для всех направлений волнового вектора, отличного от направления, перпендикулярного оси анизотропии. Подтверждено существование высокочастотной ветви, найденной Гилинским. Найдены . новые, неизвестные . ранее, высокочастотные ветви спектра, попадающие, в зону, запрещенную для объемных спиновых волн, при некоторых значениях волнового вектора. Выяснены рамки- применимости имеющихся теоретических результатов. Оказалось, • в частности, что результаты, полученные в длинноволновом пределе, справедливы при добавочном условии <5/с-С Q, что при малых Q (в железо - -иприевом гранате Q ~ 10~2) существенно ограничивает возможность их применения.

Третья глава диссертации посвящена аналитическому определению спектра колебаний доменной стенки в одноосном ферромагнетике в длинноволновом пределе.

'В'первом разделе находится длинноволновая 'асимптотика низкочастотной . ветви. Для этого от исходной системы уравнений (3) с помощью функции Грина "

G(e - ç) = -i- ехр(-к|$ - i|), 0« - к2 G = б(£ - ç).

осуществляется переход к системе интегро-дифференциальных уравнений

к cost? — sin t?sinh(í) r+оо _л|^_{|.соз1? — sin i? sinh(?) , . 2Q~ J-со 6 1 ¡^¡hfrj

~ sign(£ - ?)b(f)]df,

Анализ системы уравнений (4), (5) показывает, что асимптотическое разложение для функций а(£), Ь(£) при малых к предстакимо в виде

■а = —4тгг + /са1 + 0(к3/2),

Ь = +/сЬ2 + 0(к3/2), (6)

" и) = Ai(i?, Q)s/K + A2(t?, Q)/c + 0(/f3/2),.

причем.

. * * ai = ^i(t9,Q)tanh(e)exp(-K/í(i?,Q)|e|),

h = B^Í.Q)/cosh(fl, (7)

( 62 = tráh(0 exp(-fc/i(tf ,Q)|e|) + , Q)/cosb(0

где ц - параметр, требующий определения. Подстановка (6), (7) в (4), (5) и анализ системы, получаемой из системы (4), (5) исключением интегральных членов, при £ —> ±ос дают необходимое количество соотношений, позволяющих определить ц и

А»: ' •

= VQ + втЩ А ___ jcos^) I '

11 . y/QTl ' 1 \Z3^Q+"l)(Q + einVj)'

•Таким образом, получена следующая длиннопол/Топая асимптотика для спектра низкочастотных возбуждений в одноосном

ферромагнетике

~8k. | cos(t?)|

Ù = 7/3 Л/0

Q 1)(Q + sin2($)) '

Мы сравнили этот результат с численным решениём (3) и обнаружили прекрасное совпадение при малых к и любых Q, д.

Во втором разделе находится длинноволновая асимптотика ветви Гилинского. Анализ численных результатов показывает, что в этом случае решение системы уравнений (4), (5) (нужно искать в виде:

си(к) = + ко)1 Ч-..., a = aj + + /c(oJ + а\) + ..., b = bïbbl + k{b\ + b\)+...,

где а\, Ь\ являются функциями, исчезающими на расстоянии £ ~ 1 /к, а а\, Ъ\ - на расстоянии £ ~ 1, t = 1,2, причем функции bj(Î) являются четными rto £ функциями, так

что

ûi(0 = Ai+'o(«), ь°1{а) = в1+о(к).

В соответствии с видом асимптотик, отсюда следует'

Ь?Ш = Bi exp(-HÎi) + 0{к), С -» ±». ...

Выписанного выше достаточно, чтобы, не- определяя точного вида функций оценить, с точносыо.дЬ 0(к) вклад

этих функции в интегральные члены в системе уравнений (4), (5), что, в свою очередь, позволяет определить д, и выразить Вг, , через Л\. В частности, Находим

причем долж!го выполняться условие

- + aîn(tf) - 1 >0. (8)

V

'Таким образом мы получили, что спектр колебаний доменной

/ = ±1.

Условие (8) показывает, что колебания с u° = 1 существуют лишь в области, где sin(i?) >0. В области, где < 0,

высокочастотная ветвь начинается с частоты ы° = —1. Так как спектр колебаний доменной стенки инвариантен относительно замены ui —+ —и>, к —* —к, то, следовательно, достаточно рассмотреть случай и0= 1.

Анализируя вклад найденных функций в интегральные члены в первом порядке по к, можно показать, что функции aj, 6} должны быть представленны в виде

aJ = aev + a„a tanh(£), b{ = be„ + b0ú t япЬ(£),

где aeo, a0dd, Ьеи, Ь0ц являются четными по £ функциями и при £ —» ±оо стремятся к нулю как ехр(—/í/c|£|). Этого достаточно, чтобы найти w1. Окончательно имеем

w(k) = l + R 8m(t?) + 0(fc2), (9)

Q

■ Aía = \¡{l + 1/(2<?))(1 ± v/T+4Щ,

= d/dz{d/dzlnT(z)), Г(г) - Гамма - функция. .Когда i? = ir/2 выражение (9) полносьтю совпадает с известным результатом Гилинского. В диссертации представлено сравнений угловой зависимости ы = w(t9), вычисленной с помощью . формулы (9), с угловой зависимостью, полученной в результате численного счета по описанному в диссертации алгоритму при Q — 0.05, к = 5х10~5. Как видно из этого сравнения, результаты _ совпадают с бйлыпой точностью. •

Ниже. приводится выражение для закона дисперсйн., в размерных переменных.

п = ..«„(.¡„Mb№ (i + feg« (, +«х

I и

Четвертая гЛава посвящена изучению спектра колебаний 180^ доменной стенки в кубическом ферромагнетике с отрицательной константой кубической анизотропии.

В первом разделе приводится математическая формулировка задачи. Так же как и в одноосном случае исходными урав-1 нениям;, являются уравнения Ландау - Лифшица и уравнения Максвелла в магнитостатическом приближении. Энергия анизотропии определяется соотношением I

' -а = ^{MlMl + MiMl + MtMl) + ^1(1 -^f-).

Рассматривается блоховская доменная стенка, расположенная так, что вектор нормали к стенке параллелен направлению [0,1,1], тогда как п = (1,1,1)/\/3. Удобно вместо вектора М ввести единичный вектор S, S2 = 1 и перейти к такой системе координат, что ось Z лежит вдоль оси кубической ани1-зотропии, совпадающей с осью легкого намагничивания, а ось У перпендикулярна плоскости стенки. В новых координатах п = (0,0,1) и анизотропийный вклад во внутреннюю энергий представляется в виде:

гиа = + 4S34 + 4v/2Sj3S3 + 65t2S22 - 12>/2SiSfSs + *( 1 - 532)],

1л '

Точное решение исходных уравнений, описывающее блоховскую доменную стенку, было найдено Лилли и в терминах введенных нами векторов S, Н представляется в виде:. '. - ■ i

где

\/г2 + 9г .

а = —--, . о = \

8 + г . \

l^i|(8 + r) с =

12а ' 8 +г

Д (6у) = а зш11(&у) + с, Издаются малые возбуждения доменной стенки.: Для этого вектора 3 и Н представляются в виде

3 = Б0 + я,' 1з|<1, Н = М,йЪгф; ' |

п

и предполагается, что в, ф являются плоскими волнами с врлновым вектором к = (кх,кг) и частотой ÍL Далее вводятся ■ безразмерные переменные:

а, = cos^z + к2г - fit),

ву = ^(í)sin(/CiX -f кгг — (It),

-8г = S°$[$)cos{kxx + k,z-ílt),

ф = 2abf{£)sin(Kxx + к2г — fit),

i

_ 2^ab2 , . „ , £

и = —77—w, bx = r¡bs\nv, /с, = nocosv, y ~ М, b

Йерёменные Ф и Ф характеризуют отклонение вектора S от точного решения (10) в плоскости доменной стенки и поперек нее соответственно. В этих переменных линеаризованные уравнения Лрндпу - Лифшица и Максвелла имеют вид:

£>1Ф = и>Ф-г?Г(£,1?)/,

1>2Ф = шФ + /', (И)

/" -ч7 = ^(Ф ЧчГ(е,л)Ф),

_ (З + г)!^! _ cos^-sini?A(0

ti дифференциальные операторы Di, D¡ имеют вид:

П - tl+n2 6(о2 + с2 — 1) — 2 — 6сД(£)

- ^-í1^--ГТдЩ*--

16сД(е)-8(аг4-с2-1) (1 + Д(£)2)2 ь

п - .£ Í, 3(д2-f сг — 1) — 2 + 6сД(£)

~ dC2"1 Г" I + Д(С)2

4-

(1 + д(еи2 1

Проблема отыскания спектра колебаний доменной стенки в кубическом ферромагнетике свелась, как и в одиоосном случае,

аг'

t-де

к задаче о нахождении таких точек в пространстве с коордн-| натами и), в которых система уравнений (11) допускает

решения, стремящиеся к нулю при £ —► ±оо. Такой набор точек и является спектром возбуждений доменной стенки. Заметим, что в данном случае он зависит от параметров фи г. !

Во втором разделе предложена модификация численного алгоритма, позволяющая находить сп-ктр колебаний доменной стенки в кубическом ферромагнетике. Показано, что в данной случае задача становится существенно сложнее и требует на: ож-дение асимптотических решений с гораздо большей точностью. Это можно сделать путем разложения коэффициентов системы уравнений (11) в ряд по степеням ехр(— £о) Д°, в случае ф яг 0.05, шестого члена и определения фундаментальной системы решений полученной системы. Эта задача, простая формально, практически невыполнима вручную. В данной работе была пред^ ложена программа на языке аналитических вычислений, позволившая осуществить такую схему нахождения асимптотик с требуемой точностью в формульном виде. | При решениь соответствующих задач Коши потребовалось также применение специальных методов решения "жестких" задач. Конкретно в'данной работе был реализован метод Гира. | В третьем разделе приводятся результаты численного счета. Численно спектр возбуждений доменной границы в кубическом ферромагнетике изучался при значениях параметров ф = 3.4-10~г и г = 3.8 • Ю-2, которые взяты из экспериментальных работ и соответствуют реальным образцам железо - иттриевык гранатов. В наиболее интересной длинноволновой области спек* тра найдено четыре ветви, соответствующие локализованным колебаниям доменной стенки. Низкочастотная ветвй, как й раньше, соответствует изгибной Голдстоуновской. моде коле-бпни"'. Ста ветвь, как и в одноосном случае, имеет корневую сингулярность пр-1 г] —* 0 при любом направлении волновогЪ пектора, отличного от = 0. В направлении г}г ~ 0 низкочастотная ветвь имеет линейный закон дисперсии. Наличие. ■сорневой особенности у низкочастотш л ветви з кубическом фер-

рома гнетшее в данной работе доказано впервые. По результатам Численного счета видно, что усложнение свойств анизотропии ферромагнетика слабо сказывается на характере корневой особенности. Полученный результат является объяснением экспериментально обнаруженной аномально высокой скорости распространения волны колебаний доменной стенки в реальном образце железо - иттриевого фаната в направлении т)х = 0.

Вторая ветвь имеет щель и соответствует колебаниям 71° и 109° субдоменных стенок относительно друг друга, приводящих к колебаниям толщины 180° стенки. 'Напомним, что в одноосном случае колебаний, соответствующих колебанию толщины

ртенки, не реализуется. Имеется теоретическая работа Хо-» *

Денкова, в которой была сделана пс пытка определить щель, соответствующую данной ветви. К сожалению, полученный'

iaM результат не Подтверждается Численным моделированием, [меленный анализ 'собственных функций показал, что теория развитая ХоденковЬШ 'построена на неверном предположении. Л именно, автор пренебрег вкладом в решение ехр(—£/\/Q), который йвл&ется определяющим для данной ветви (в отличие от низкочастотно». ветви).

'йетвь существует при'0 <'ß < гг. Эта ветвь соответсву-ет вВ-ftlta 'ГиЛинского в одноосном случае. !Ее наличие в спек-ре кубического ферромагнетика в данной работе получено впервые. Характер поведения этой ветаи вполне соответствует одноосному случаю, что означает вероятность существования такой ¿етви для всех блоховских стенок, независимо от реальной анизотропии ферромагнетика.

Четвертая ветвь является наиболее высокочастотной и существует лишь в узкой области углов вблизи д ~ п/2, "пока щель в спектре колебаний объемных спиновых волн остается достаточно большой.

I В работе приводятся рисунки на которых'показаны собственные функции 82, S3, соответствующие каурой моде колебаний вектора S. На этом' же рисунке представлены две 'различные фазы колебания компоненты S3, позволяющие наглядно пред-

ставить характер колебания. < ,

Приводится сравнение полученных результатов с имеющимися' экспериментальными результатами.

В четвертом разделе аналитически определяется длинноволновая асимптотика низкочастотной ветви. Используемый для этого метод аналогичен развитому в случае одноосной анизотропии.. Но рассматриваемая здесь проблема значительно сложнее и на заключительном этапе решения потребовалось предположение) <3 « 1 для того, чтобы получить главный, корневой вклад в члшшоволпопую асимптотику низкочастотной ветви. Така же, как и в одноосном случае делается переход от исходных уравиенш" к системе иптегро - дифференциальных урапНеттпй

пгФ =» «Ф + X е->^1[Г(<;, ¿)<%) - - с)Ф(с)№, (12)

При г] = 0 эта система уравнений имеет точное решение

Анализ вклада точного решения в интегральные члены показывает, что асимптотическое разложение собственных функций Ф, Ф и собственного числа и> имеет вид:

ы — +

Ф = Ф0 + + о[г}), Ф =

причем из асимптотического поведения решений следует, что ; VI -!- Д(£)2

, • VI+ д(о* • ■■■•■-.

где АиВ2 не зависят от а функции Фь Фг стремятся к нулю при £ —» со как Исключая из уравнений (12)

интегральные члены путем дополнительного дифференцирования г|о £ и анализируя полученную систему при £ —+ ±оо, получаем

=

0 + 8Ш1?

.В одноосном случае 0ыстроубывающие функции, соответствующие функциям Ф|, $1, Ф2, удалось найти точно, что позволило определить и^ для любых значений параметра ф• В данном фучае замкнутое решение найти не удается, но при малом <5 решение для Ф1 может быть представлено в виде ряда:

... ■ =

I

Соотношение на и>1 получается в процессе решения как условие разрешимости некоторого уравнения на функцию Ф^

I О^А ^"-т- 2Лр соз2 $

п=о а2(1 + <5) ((? + Вт $)

где

_ созЩ) созЬ(£) ^

" ~ 1 + Д(£)2 1 + Д(£)2 Интегралы в левой части уравнения (13) могут быть представлены в элементарных функциях, но нам не удалось выразить результат в компактной форме.

При малых <3 и малых а (в сл} чае железо - иттриевых |ранатов а ~ Ю-2) главный член в правой части имеет вид:

• 1

Л = ^(1 + с1аа"1(с)) + 0(1). (14)

I Таким образом, при ф 1, а С 1 и любых V мы имеем

(Полученный результат совпадает с результатом, полученным для одноосного случая,, если ф —► 0, г —* оо. В работе приводится сравнение угловой зависимости и> — ы(1?), вычисленной с по-Цощыо формул (15), (14) с угловой зависимостью, полученной в

результате численного счета по описанному выше алгоритму при Q = 3.4-10~2, г = 3.8-Ю-2. Показано, что результаты совпадают с большой точностью.

В заключении кратко приведены основные результаты работу.

На защиту выносятся следующие основные результаты

„ ■''''!

в С помощью численного счета по .редложенному. в диссертации алгоритму получен общий вид спектра колебаний доменной стенки в одноосном ферромагнетике. Показана зависимость спектра от величины фактора качества Q ii направления волнового вектора. Определено общее количест- . во ветвей спектра. Подтверждено существование высокочастотной ветви, найденной Гилинским. Найдены новые, неиз| вестные ранее, высокочастотные ветви спектра, попадающий в зону, запрещенную для объемных спиновых волн* при некоторых значениях волнового вектора. Выяснены рамки применимости имеющихся теоретически результатов.

о Получена длинноволновая асимптотика низкочастотной ветзи спектра колебаний "доменной границы в одноосном ферромаг-t нетике, справедливая для любого значения фактора качества Q и любого направления волнового вектора.

о Получена длинноволновая асимптотика ветзи Гилипского^ справедлив,"« для любого направления волнового вектора.

о С помощью численного счета по предложенному в дне-» сертации алгоритму найден спектр колебаний 180° доменной границы п кубическом ферромагнетике с отрицательной константой кубической анизотропии при налнчи,! дополнительной одноосной анизотропии для значений параметров соответствующих . реальным образцам железо - нттриевых гранатов.1 Получено, что в длинночолневой области спектр: состоит из ■'етырех петвем: ,

L {птксчпстотиой, бегнцетчоей печаи пзгибиых. колебаний,

2. ветви сале&ший" 71" if 105'' субдомешгьтх стенок относительно . друг друга, приводящих к колебаниям толщины .180° стенки,-

3. ветви, ^соответствующей в одноосном случае ветви Гилин-. ского,

• 4. новой, высокочастотной ветви.

Последние две ветви в спектре кубического ферромагнетика найдены впервые. Показано, что для всех направлений волнового вектора к, кроме перпендикулярного оси легкого намагничивания, спектр низкочастотной ветви имеет корневую сингулярность при к —► Ю. Остальные ветви, а также низкочастотная ветвь в упомянутом выше направлении, имеют. линейную длинноволновую •аст.тптотпку.

в Найден главный, корневой члеп в длинноволновом разложении дпсперси оттого соотношения, соответствующего низко-частотасй uêteti, для ферромагнетиков с малым фактором каадзсгта. . .

ôcnoïi'iTbïe результаты диссертации

.»публикованы в следующих работах:

1. Михайлов A.B., Шимохин И.А., О спектре возбуждений доменной границы в одноосном ферромагнетике \\ ЖЭТФ, 1990, 97, 1966

2. Shimokhin I.A., On\he Gilnskii Branch of the Spectrum of Excitation of a Domain Wall in Uniaxial Ferromagnetics, \\ Phys. Stat. Sol. (b), 1991,16T, 243.

3. Mikhailov. A.V., Shimokhin I.A., Spectrum of 180° Bloch-Туре Domain Wall Excitations in YIG, \\ Preprint ISI, Italy, 1991.

1Я