Специальные асимптотические методы исследования высокомодовых стационарных режимов в системах с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0054«

На правах рукоппси

Малозёмова Дарья Владимировна

Специальные асимптотические методы исследования высокомодовых стационарных режимов в системах с распределенными параметрами

01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

1 О НОЯ 2011

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2011

005001293

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

доктор физико-математических наук, профессор Колесов Андрей Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор Розов Николай Христович

доктор физико-математических наук, профессор Кубышкин Евгений Павлович

Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых

Защита состоится ноября 2011 г. в часов № минут на заседа-

нии диссертационного совета Д 212.002.05 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова по адресу: г. Ярославль, ул.Полушкина роща, д.1.

Автореферат разослан "Л " 0 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета " ^ Глызин С.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В диссертационной работе рассматриваются специальные алгоритмы исследования феномена буферности в приложении к различным задачам, начиная от моделей из механики до моделей из математической физики.

О феномене буферности принято говорить в случае, когда в фазовом пространстве некоторой динамической системы при подходящем выборе параметров можно гарантировать сосуществование любого фиксированного числа однотипных аттракторов (состояний равновесия, циклов, торов и т.д.).

Впервые этот феномен был отмечен еще в работах Витта х, однако точная математическая постановка и соответствующий аналитический аппарат был разработан гораздо позднее в работах Колесова Ю.С., Мищенко Е.Ф., Колесова А.Ю., Розова Н.Х.2,3

Понятие «буферность» предполагает наличие некого бифуркационного процесса, в результате которого происходит неограниченное увеличение числа сосуществующих аттракторов. Упомянутый процесс характерен, главным образом, для систем с распределенными параметрами, хотя может наблюдаться и в системах с конечным числом степеней свободы.

Зачастую, реализация в системе феномена буферности приводит к сильному усложнению динамики системы с изменением параметров. В таких системах возникают так называемые диссипативные структуры, т.е. устойчивые самоподдерживающиеся образования с характерными пространственно-временными формами. Подобные структуры представляют интерес для исследователей, изучающих вопросы происхождения жизни, проблемы пред-биологической эволюции и морфогенеза, они также могут быть интересны в связи с изучением законов популяционной динамики и т. д. Следует отметить, что для возникновения подобного феномена система с необходимостью должна быть открытой, а ее математическая модель — нелинейной.

'Витт A.A. Распределенные автоколебательные системы /У Жури, технич. физ. 1934. — Т. 4, К' 1. — С. 144-157.

2Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А. 10., Розов Н. X. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

5Колесов А. Ю.: Розов Н. X. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 408 с.

Цель работы

Целью предпринятых автором исследований являлись разработка, адаптация и применение универсальных асимптотических методов анализа динамических систем различной природы, позволяющих получить строгие аналитические результаты о реализации в изучаемых системах феномена буферное™.

Методы исследований

В диссертационной работе используются специальные асимптотические методы для исследования быстро осциллирующих устойчивых режимов. В их основе лежит классический метод нормальных форм и так называемый метод самоподобия, сущность которого поясняется в тексте диссертационной работы.

Положения, выносимые на защиту

1. Для уравнения с полутора степенями свободы были проведены исследования, позволяющие обосновать утверждение о реализации гамиль-тонового сценария буферности. То есть показано, что при подходящем выборе параметров в его фазовом пространстве существует любое наперед заданное конечное число устойчивых периодических решений как вращательного так и колебательного типа.

2. Для дифференциально-разностного уравнения второго порядка, описывающего работу [ЮЬ-генератора с запаздыванием в цепи обратной связи показано, что с увеличением параметра запаздывания происходит каскад бифуркаций, в результате которых может сосуществовать сколь угодно большое количество устойчивых циклов.

3. Для специальных обобщений уравнения Свифта-Хоэнберга с граничными условиями типа Дирихле установлено, что при увеличении длины промежутка изменения пространственной переменной и при фиксированной достаточно малой надкритичности количество сосуществующих устойчивых состояний равновесия у этих краевых задач неограниченно растет.

Научная новизна

Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в том, что феномен буферности был обнаружен для нового класса краевых задач и динамических систем с запаздыванием. Эти результаты представляются новым и интересным дополнением уже существующих на данный момент исследований, посвященных феномену буферности.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Методы, применяемые в в данной работе, могут быть использованы в дальнейших исследованиях сложного поведения нелинейных краевых задач и систем дифференциально-разностных уравнений, связанного с мультистабильностыо.

Материм диссертации представляет интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений, нелинейной динамики и хаоса. Работа может быть востребована во многих отечественных и международных математических центрах, где ведутся исследования, связанные с дифференциальными уравнениями и их приложениями.

Апробация результатов

Основные результаты работы докладывались на научном семинаре, проводимом научно-образовательным центром ЯрГУ "Нелинейная динамика", а также на семинаре кафедры дифференциальных уравнений МГУ в октябре 2009, а обсуждались на научных конференциях:

1) Воронежская математическая школа Крейна, январь 2008 года;

2) III Международная конференция, посвященная 85-летию Л.Д. Кудрявцева, март 2008;

3) 61-ая научно-техническая конференция студентов, магистрантов, и аспирантов, посвященная 1000-летию Ярославля, апрель 2008;

4) Международная конференция научно-образовательных центров, посвященная 10-летию программы ВЕНЕ в октябре 2008 года;

5) Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи НТТМ-2009, 24-27 июня:

6) Семинар кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова "Качественная теория дифференциальных уравнений", Москва, 9 октября 2009 г.

7) XLVIII Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 10-14 апреля 2010;

8) Nonlinear Dynamics on Networks, Киев, июль 5-9 2010;

9) Research group "Dynamics and synchronization of complex systems", Research Seminar, Humboldt-Universität zu Berlin, October 11, 2010.

10) First German-Russian Interdisciplinary Workshop on the Structure and Dynamics of Matter, Berlin, October 18-20, 2010.

11) Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля науки, РГСУ, Москва, сентябрь 24, 2011.

Исследования по теме диссертационной работы были отмечены дипломом за победу во Внутривузовском конкурсе инновационных проектов аспирантов и студентов по приоритетным направлениям науки и техники "Молодежь и наука" 2009, медалью "Лауреат ВВЦ" Всероссийской выставки научно-технического творчества молодежи НТТМ-2009, а так же дипломом за первое место во Всероссийском конкурсе научно-исслеовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всеросий-ского фестиваля науки по направлению "Дифференциальные уравнения и функциональный анализ" 2011.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 10 работах, из них 4 статьи в научных журналах списка ВАК и 6 тезисов докладов, 2 из них опубликованы в тезисах международных конференций.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Диссертация содержит 17 рисунков. Общий объем диссертации составляет 79 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении описана сущность исследуемого явления, постановка всех рассмотренных задач, приводится общая характеристика работы, а также изложено содержание диссертации по главам п краткий обзор литературы по тематике диссертации.

Первая глава посвящена изучению дифференциального уравнения маятникового типа следующего вида:

х + ех + sinx = eacosvt, (1)

где 0 < £ < 1, а > 0, и > 0.

В пункте 1.1 описывается постановка задачи и обсуждаются физический смысл, кратко упоминаются уже известные особенности динамики подобных систем, а также формулируется результат исследований системы (1) в виде теоремы 1.

При е = 0 исследуемое уравнение обращается в уравнение математического маятника, которое, как известно, обладает помимо обычных (колебательных) периодических решений x(t), x(t + Т) = x(t), Т > 0 ещё и вращательными периодическими движениями x(t), для которых x(t +Т) = x(t) + 2irm, при некотором целом га ф 0.

В связи с этим вводятся в рассмотрение две серии множеств. Через П* обозначим совокупность наборов параметров (е, а, и), при которых уравнение (1) имеет не менее п различных устойчивых колебательных периодических решений, а через обозначим аналогичное множество для вращательных периодических движений.

Теорема 1.1 Множество fi* Л при любом п 6 N не пусто.

Доказательство приведенной теоремы проводится в пунктах 1.2 и 1.3 отдельно для вращательных и колебательных решений соответственно. Общая схема исследований одинакова и заключается в следующем.

Поскольку в фазовом пространстве невозмущенной системы (1) существует сепаратрисный контур, заполненный замкнутыми траекториями периодических решений, то при периодическом возмущении среди замкнутых кривых невозмущенной гамильтоновой системы выделяются резонансные уровни. После подходящих замен производится переход к системе, для которой достаточно просто выписывается условие существование неподвижных точек у отображения Пуанкаре. Используя асимптотические методы, удается установить факт наличия счетного множества начальных условий, порождающих в исходной системе колебательные и вращательные решения.

Анализ устойчивости полученных решений на основе асимптотических методов позволил сделать вывод, что периодические решения, как в случае вращательных, так и в случае колебательных решений, рождаются парами в результате бифуркации типа седло-узел в окрестности разрушившегося сепаратриссного контура автономной системы х + sin х — 0.

В пункте 1.4 обсуждаются проведенные численные исследования, демонстрирующие возникающие в связи с буферностью мультистабильность и пе-

реходный хаос. Также даётся физическая интерпретация данного феномена для системы (1) и описываются общие закономерности феномена буферно-сти.

Во второй главе вводится в рассмотрение некоторый аналог генератора с ЯСЬС-распределенными параметрами в цепи обратной связи и с нелинейным элементом лампового типа. В пункте 2.1 описывается физический объект исследований, выводится изучаемая математическая модель и формулируется главный результат, который затем и доказывается.

Объектом анализа главы 2 является дифференциально-разностное уравнение второго порядка

х + ах + х = Е(кх(г-в)), (2)

где О < а < \/2, Сч >0, — любое, а

Е(х) = -X + С1Х2 + ах3 + ...

В качестве пространства на.чальных условий (2) берётся С[—в, 0] х К и ставится вопрос о существовании и устойчивости его периодических решений, бифурцирующих из нуля при увеличении параметра в.

Теорема 2.2 Пусть значение параметра 0 < а < у/2 фиксировано. Для любого наперед заданною натурального п существуют значения положительных параметров к < 1 и запаздывания 9, что в системе существует не менее п устойчивых периодических решений.

Доказательство приведенной теоремы распадается на несколько частей. Пункте 2.2 излагается линейный анализ устойчивости нулевого состояния равновесия.

Анализ корней вида А = ш, ш > 0 характеристического уравнения

Х2 + аХ + 1 + ке-хо = 0 (3)

показал, что при

(а, к) е {(а, к) | 0 < а < л/2, - ^ < к < 1},

где а>о = т/1 — а2/2, уравнение (3), имеет на полуоси ш > 0 ровно два корня

— (¿д ± у/к2 + Ц) — 1. Более того, исходное уравнение (3) может иметь на мнимой оси только корни А = ±гш_ или А = ±гы+ при запаздываниях, равных соответственно

где у?* = arceos ((w| - Vj/k), n — 0,1,2,...

Приходим к выводу, что область неустойчивости но параметру в нулевого решения уравнения (2) имеет ячеистый вид

00

*e(J(<9+0-)- (5)

п-0

Заметим, что поскольку с ростом п фигурирующие в (5) интервалы начинают пересекаться во все большем числе, то при в —► оо ненулевое состояние равновесия заведомо неустойчиво и степень его неустойчивости неограниченно растет.

Рис. 1. Схематическое изображение области (2.2.5) неустойчивости нулевого решения.

Однако при увеличении в состав корней уравнения (3), находящихся в полуплоскости Re А > 0, постоянно обновляется. Следовательно при в —* оо в уравнении (2) должна происходить бесконечная последовательность бифуркаций рождения и смерти периодических решений.

В пункте 2.2 обсуждается вопрос о существовании и устойчивости периодических решений. Из асимптотических разложений показывается, что при фиксированном а и при дополнительном предположении

ft = fco + £,0<e«l. (6)

где fco = V1 — Uq, естественно положить

в = в0 + 5 Ve, (7)

где параметр 5, порядка единицы, отвечает за изменение 0 на интервале

ШШе)).

В уравнении (2) производилась замена времени

T = Wo(£,Ó)t, Uq(€,Ó) =ш0+ у/ёи1(0)+£ш2(0) + ..., (8)

где шо = у/1 — а2/2, что позволило искать его периодическое решение в виде ряда по целым степеням у/Е :

г = V¿xo{t) + £Х1(т) + ег'2х2{т) + £2Х3(г) + .., Х0(т) = е [eÍT + е~% (9)

где £ = - неизвестная вещественная постоянная, подлежащая определению вместе с постоянными u/j, uj^, -■■ в ходе алгоритма, а функции Xj(r), j ^ 1, периодичны по г с периодом 2тт.

Лемма 2.1 При выполнении условий (6), (7) и при всех е, 6, удовлетворяющих неравенствам

О < е ^ е0| -Д+(е) < S < Д_(е), (10)

уравнение (2) имеет экспоненциально орбитальпо устойчивый цикл

х = х0(т,£,6), dr/dt = cJo(e,S), (11)

a?0(7-, е, 0; шь(е,тД±(е)) = w±(e), (12)

где 2ж—периодическая по т функция xq(t,£,5) и частота и>а(е,б) раскладываются в ряды (св), (9), сходящиеся равномерно по S из любого фиксированного отрезка

[Ma] С (-Д., Д.). (13)

Полагая, далее,

хп(т,в,е) = x0{r,e,S)\s=Srim, шп{в,е) = w0(M)li=i„(fl,£), (14) где 6п(6,е) находится из соотношения

2тг

в = п—~— + е0 + уДб, (15)

W0(£,О)

приходим к следующему утверждению.

Теорема 2.3 Пусть выполнено условие (6). Тогда найдется такое достаточно малое £о > 0, что при всех 0 < £ ^ £о на каждом из интервалов

в+(е)<в<в-(£), п= 1,2,..., (16)

уравнение (2) имеет цикл

х = хп(т,в,е), dr/dt = шп(в,е). (17)

Заметим, что поскольку параметры е и в независимы, то при фиксированном е > 0 и при в —> оо количество сосуществующих циклов (17) неограниченно увеличивается (имеет порядок у/ё в). При этом, однако их состав

постоянно обновляется, так как каждый цикл существует лишь в ячейке (16). Тем самым, при в —» оо наблюдается бесконечная последовательность бифуркаций их рождения и смерти.

В пункте 2.4 формулируется результат, решающий вопрос об устойчивости построенных выше циклов. Для этого предлагается зафиксировать произвольно два числа ¿1 и ¿2, удовлетворяющие неравенствам

-Д./>/3 < <51 < 52 < Д./л/З, (18)

и положим при п = 1,2,...

27Г

0'„(Е) = П . + во + у/е, (19)

2тг

0*'(е) = п +в0 + Ъу/ё. (20)

Теорема 2.4 Пусть выполнено условие (6). Тогда найдется достаточно малое = £0(^1,^2) > 0 такое, что при всех 0 < с ^ е0 и при каждом п > 0 цикл (17) уравнения (2) экспоненциально орбитально устойчив на отрезке

в'п{е) ^ в ^ 0»(е). (21)

Доказательство этой теоремы основано на анализе мультипликаторов линеаризованной на периодическом решении хп(т,9,е) системы и разделяется на два этапа. Первым делом доказывается, что у системы при любом п нет мультипликаторов, принадлежащих области

{Л е С : |А| ^ 1, Л ф 1}.

Наличие одного мультипликатора Л = 1 очевидно, поэтому в дальнейшем требуется доказывать его единственность и простоту. Доказательство основывается на рассмотрении асимптотик по двум независимо стремящимся к нулю величинам: исходного параметра задачи £ и комплексной величины г, введенной специально и отвечающей за приближение корней к А = 1.

Подведем итог. Проведенный в главе 2 анализ показывает, что при фиксированном е > 0 и при в —> оо отрезки (21) начинают пересекаться во все большем количестве, а, значит, у рассматриваемой системы неограниченно растет число сосуществующих устойчивых циклов (17). Причем состав циклов при росте запаздывания постоянно обновляется, так как каждый из них

"живет" лишь в ячейке (16). Стоит также отметить, что все периодические решения (17) получаются с помощью описанного выше принципа подобия из одного уникального цикла (11).

Упомянутые выводы были проиллюстрированы результатами численных исследований. Результаты наблюдений демонстрируют эволюцию устойчивых периодических решений системы при последовательном изменении величины запаздывания в и фиксированных значениях параметров а и к

Третья глава посвящена изучению обобщения пространственно-одномерного уравнения Свифта-Хоэнберга, а именно нелинейному параболическому уравнению вида

дtw = £w-{l + дlfw + f{w), (22)

где ¿^0, 0 ^ х I, ги = ги^,х) — вещественная скалярная функция, удовлетворяющая граничным условиям

Их=о = = 1*=° = = 0. (23)

<9( = 9/9/, дх = д/дх, е — положительный параметр (надкритичность). Относительно функции /(ш) предполагаем, что Дги) 6 С°° нечётна и /'(0) = 0, /"'(0)/3! = а < 0.

После выполнения в краевой задаче (22), (23) замены тгх/1 —> х, уравнение примет вид

дt■w=ew-(l + vдl)2w + f(w), (24)

го|*=о = Их=тг = 1х=о = дЩх^* = 0, (25)

где и = тг2/г2.

о о

Фазовым пространством для данной задачи служит И^ (0, тг), где — замыкание в метрике соболевского пространства И^ (0, 7г) линеала гладких функций, удовлетворяющих граничным условиям (25). Нас интересует существование и устойчивость ее пространственно неоднородных состояний равновесия (так называемых диссипативных структур), бифурцирующих из нуля при уменьшении параметра и и при фиксированной надкритичности £, подчиненной требованиям

0<£< 1.

Линейный анализ устойчивости состояния равновесия ги ~ 0 задачи (25), (24) показал, что при

«О^.^).*«-^ (26)

п—1

оно экспоненциально неустойчиво.

В пункте 2.2 делается дополнительное предположение что

О < е « 1, V = 1 + 6у/е, 6 € (-1,1), (27)

где параметр <5, имеющий порядок единицы, отвечает за изменение V на требуемом интервале (^-(е), "+(£))-

Для отыскания диссипативных структур краевой задачи (24), (25) при условиях (27) используется аналог стандартного одночастотпого метода, т.е. подставим в (24), (25) ряд по целым степеням у/ё вида

ю — у/ёт\{х) + е-Ш2{х) + з(х) + .... ги^х) = ^¡пх, (28)

где £о~ неизвестная "амплитуда".

Теорема 3.5 При выполнении условий (21) краевая задача (24) имеет две экспоненциально устойчивые диссипативные структуры:

ю\(х, 5, е) = гио(х, 5, е), и)2{х,5,£) = и)а(ж — х,5,е), (29)

гоо(х,-1,е) = ш0{х,1,е) = 0, (30)

о

где функция ыо(х, 6, е) допускает (в метрике пространства ^(О,"")) равномерное по <5 из любого фиксированного отрезка [¿ь^г] € (—1,1) асимптотическое представление (28).

Из установленной теоремы и обсуждаемого в пункте 3.2 принципа подобия немедленно получаем следующее утверждение.

Теорема 3.6 Найдется такое достаточно малое £о € (0,1), что при любом фиксированном е £ (0, ед] и при каждом натуральном п на соответствующем интервале (г/_(е)/п2, г/+(е)/п2) изменения параметра V краевая задача (24) имеет пару диссипативных структур

V, е) = ги0(пх, 5„(г/, е), е), ги2(х, и, е) - ги0(7г - пх, 5п{ь>, е), е), (31)

где

■ *„(./, е) = (п21/-1)Д/£. (32)

Поскольку в данной теореме параметры £01' независимы, то при фиксированном е > 0 и при V —* 0 количество сосуществующих диссипативных структур (31) неограниченно увеличивается (имеет порядок ч/е/г/). При

этом их состав постоянно обновляется, так как каждая пара состояния равновесия (31) существует лишь в своей ячейке. Тем самым, при V —> 0 наблюдается бесконечная последовательность бифуркаций их рождения и смерти.

В пункте 3.3 изучается вопрос об устойчивости найденных стационарных решений (31). Фиксируем произвольно два числа <5) и 62, удовлетворяющие неравенствам

-1/у/З <51<д2< 1/>/5. (33)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.7 Найдется такое достаточно малое £о = £о(<5ь ¿2) £ (0,1), что при всех 0 < е < е0 и при каждом п > 1 пара диссипативных структур (31), (32) краевой задачи (24) экспоненциально устойчива на отрезке

{(1 + 51^)/п2,{1+62^Д)/п2} (34)

изменения параметра V.

Для доказательства фиксируется произвольно номер п и на состоянии равновесия № = и, г) линеаризуется краевая задача (24). Затем выполняется замена пх —> х и ищутся ее решения в форме Эйлера, т.е. в виде ы = И{х) ехр(М). В результате для определения к(х) и возможных значений А € С приходим к спектральной задаче

-(1 + (1 + ¿>/е)с£)2Л + (е + Г(и>0(х, <5, е)))Л = АЛ, (35)

%=() = = о = ФАх=п* = 0, (36)

где ш0{х.61е) - функция из (29), а параметр 6 задан равенством 5 = 6п([/,5)(см. (32)). Проблема устойчивости пары состояний равновесия (31), (32) свелась к анализу расположения спектра задачи (35), (36). В связи с этим обратим внимание, что в силу самосопряженности фигурирующего в левой части уравнения (35) дифференциального оператора этот спектр состоит из счетного числа действительных собственных значений.

Наряду с задачей (35), (36) рассматривается вспомогательную краевая задача

-(1 + д2)2Н = А/г, /г|х=сы7г = ЭЩХ=0,ПП = О,

получающаяся из исходной при г = 0. Непосредственная проверка показывает, что ее собственные значения имеют вид

А(л) = -(1 - г2)2, г = т/п, гп = 1,..., (37)

а отвечающие им собственные функции задаются равенствами ю = зт(тх/п),тп > 0. Из формул (37) вытекает, что равномерно по п все пределы при е —+ 0 собственных значений задачи (35), (36) лежат на полуоси (—оо,0]. Однако, в силу того, что Л(г)|2-1 = 0, заведомо существуют и так называемые критические точки спектра, стремящиеся к нулю при £ —> 0,71 —> оо. Ясно, что именно от их знаков зависит в конечном итоге устойчивость интересующих нас состояний равновесия.

При построении асимптотики критических собственных значений существенно то обстоятельство, что при е — 0 отвечающие им собственные функции

Н = вт(1 + 2 = к/п, к (38)

можно представить в виде

к = ^(х) соз(ла;) + Ь,2(х) зт(гх), (39)

М1)!^ о,т = ^1^1(^)11=0,7Г1 <9х/12(х)|1=о,тг = (40)

Предлагается искать их в указанном виде и при е > 0. Подставляя выражение (39) в уравнение (35), получаем новую систему с двумя параметрами: непрерывным е и дискретным г. Однако изучать полученную систему, дополнив её естественными граничными условиями, удобнее в более общем случае, а именно когда г меняется непрерывно на некотором отрезке \г\ ^ го, где ¿о > 0 достаточно мало. То же самое относится и к параметру <5: считаем, что он независимо от п,£,1/ непрерывно меняется на отрезке [¿1, ¿2] (см. (33)).

Для полученной системы производится асимптотический расчет собственных значений задачи стремящихся к нулю при е, г —* 0 на основании которого и делается вывод о справедливости теоремы об устойчивости.

Следует отметить, что отрезки (34), как и исходные интервалы (1/_(е)/п2, (е)/п2), с ростом п начинают пересекаться во все большем числе. А это значит, что при любом фиксированном достаточно малом е > 0 и при и —» 0 наряду с ростом общего числа сосуществующих диссипативных структур (31), (32) неограниченно увеличивается и количество устойчивых среди них. Точнее говоря, теорема 3.7 гарантирует сосуществование порядка (¿2 — ¿1)/(2у/й) устойчивых состояний равновесия. Тем самым, установлено, что при V -+ 0 в рамках краевой задачи (22) реализуется хорошо известное явление буферности.

Проведению численных исследований системы посвящен пункт 3.4. Результаты численных исследований носят по большому счету иллюстративный характер. Попутно обсуждаются вопросы связанный с выбором под-

Рис. 2. Найденные стационарные решения при е — 0.2,1/ = 2.5, /V = 50 и последовательным изменением параметра пи начиная с 3.5 до 1.5. v = 3

ходящей дискретизации исходной непрерывной задачи и проблем, которые могут возникнуть в противном случае.

В частности в данном случае мы пользовались следующими приближенными представлениями частных производных по х

N*

dwJx=nk/N « (£) - 4wk+i(t) + 6i0fc_i(i) + tofc_2(i)),

N3

&u>x\x=*k/N ~ -^{Wk+2{t) - 2wk+l(t) + 2wk-i(t) - wk-2{t)), N2

dwx\x=nk/N к —£(wk+i(t) - 2wk(t) + wk-i(t)), N2

dwx\x=Jtk/N « — (wjfc+i(i) - w,t-i(i)),

где Wfc(i) = w(t, x)\x=nk/N> k = 0,1,..., N. В результате для переменных wk(t) приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

wk = {e- 1 )wk - 2v(wk+i - 2wk + wk~i) - i>2(tuk+2 - 4i0fc+i + 6wk--4u/fc_i + - w^wfc+i - wk)27c/N, k = 0,1,..., N,

где wQ = 0, wN - 0, iy_i = —wi, Wn-i = —wn+\,v = WV2/7r2.

Получившаяся конечномерная схема представляет собой модель исходной задачи (22). Она была изучена с помощью программы Tracer 3.70. По происходившим в системе бифуркационным процессам можно сделать вывод, что феномен буферности наблюдается не только при значения параметров асимптотически близких к критическим, но и когда они имеют величины порядка 1.

В четвертой главе так же как и в предыдущей рассматривается модификация уравнения Свифта-Хоэнберга с нулевыми граничными условиями типа Дирихле на концах конечного отрезка, а именно

дгИ) — еи> — (1 +ид1)2и> — тдхю, (41)

где V > 0, I ^ 0,0 ^ х < I, ги = х) — вещественная скалярная функция, удовлетворяющая граничным условиям

Ч*=о = И*=* = ЗхИх=о = = 0, (42)

Зг = с?/3£, <ЭХ = д/дх, £ — положительный параметр (надкритичность).

Как и раньше нас интересует существование и устойчивость ее пространственно неоднородных состояний равновесия, бифурцирующих из нуля при уменьшении параметра и и при фиксированной надкритичности е, подчиненной требованиям

О <£ < 1.

Поскольку внесенные в модель изменения затрагивают лишь нелинейные слагаемые, результаты линейного анализа устойчивости нулевого состояния равновесия, проведенного для задачи (25), (24) остаются справедливыми и для этой задачи.

Аналогично предыдущей главе пункт 4.2 посвящен локальной постановке задачи. Будем считать, что

0<£«1, 1/ = 1 + 6у/£, 5 е (-1,1), (43)

где параметр 6, имеющий порядок единицы, отвечает за изменение V на требуемом интервале (г/_(е), ^+(£)).

Для отыскания диссипативных структур краевой задачи (41), (42) при условиях (43) воспользуемся следующим разложением искомого стационарного решения в ряд

гу = уДги\{х) + £-шг(х) + £3/2ю3(х) +..., у}\(х) = ^тя, (44)

где — неизвестная "амплитуда", далее однозначно определяемая.

Теорема 4.8 При выполнении условий (43) краевая задача (41) имеет две экспоненциально устойчивые диссипативные структуры:

ь>1(х, 5, е) = и>0(х, 6, е), ги2(х, 5, е) — гио(7Г - х, 6, £), (45)

и>0(х,-1,е) = и>0(х, 1,е) = 0, (46)

где функция тц(х, 5,е) допускает (в метрике пространства И^ (О, тг)) равномерное по 6 из любого фиксированного отрезка [<^,¿2] € (—1,1) асимптотическое представление (44)-

Из установленной теоремы и принципа подобия немедленно получаем следующее утверждение.

Теорема 4.9 Найдется такое достаточно малое £о € (0,1), что при любом фиксированном е € (0, £о] и яри каждом натуральном п на соответствующем интервале (1/_(е)/п2, г/+(е)/п2) изменения параметра и краевая задача (41) гшеет пару диссипативных структур

ш1(х,и,е)=ю0{пх,ёп(и,б),£), т2п(х,и,£) = и>0(тг - пх, 5п(и,е),е), (47)

где

<Ц1Ле) = (Л-1)/^. (48)

Фиксируем произвольно два числа ¿1 и ¿2, удовлетворяющие неравенствам

-1/л/З < ¿1 < 52 < 1/л/З. (49)

Как и для случая обобщенного уравнения Свифта-Хоэнберга удается доказать следующее утверждение.

Теорема 4.10 Найдется такое достаточно малое £о = £о(<5ъ<Ь) € (0,1), что при всех 0 < £ < £о и пРи каждом п ^ 1 пара диссипативных структур (47), (48) краевой задачи (41) экспоненциально устойчива па отрезке

[(1 + б1у/е)/п2, (1 + б2\Д)/п2} (50)

изменения параметра V.

Следует отметить, что отрезки устойчивости рождающихся состояний равновесия, с ростом п начинают пересекаться во все большем числе. А это значит, что при любом фиксированном достаточно малом е > 0 и при и —» 0 наряду с ростом общего числа сосуществующих диссипативных структур (47), (48) неограниченно увеличивается и количество устойчивых среди них. Точнее говоря, теорема 4.10 гарантирует сосуществование порядка (¿2 — <?1)/(2д/г/) устойчивых состояний равновесия. Тем самым, установлено, что при 1/-»Ов рамках краевой задачи (41) реализуется хорошо известное явление буферности.

Для рассматриваемой в этой главе задачи проводятся аналогичные пункту 4 предыдущей главы численные исследования. Удается наблюдать порождаемую буферностью мультистабильность.

ШЖ

Рис. 3. Найденные стационарные решения при s = 0.2, и = 2.5, N = 50.

С помощью программы Tracer 3.70 при значениях параметров е — 0.2, v = 2.5 были обнаружены решения, графики которых приведены на рис. 4-5.

Рис. 4. Найденные стационарные решения при е = 0.2, У = 2.5, N = 50.

Можно также отметить, что в системе явно наблюдается существование периодических решений, претерпевающих при изменении параметров бифуркацию удвоения периода(графики этих решений приведены в диссертационной работе). Их возникновение следствие особенностей глобальной динамики.

Публикации по теме диссертации4 Публикации в журналах из списка ВАК

1. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в одном уравнении маятникового типа/ Д. В. Сандуляк// Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т. 14, № 2. - С. 68-74.

2. Сапдуляк, Д. В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием/ Д. В. Сандуляк// Модели1ктание и анализ информационных систем. 2008. Т. 15. № 2. - С. 18-25.

3. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием/Д.В. Сандуляк// Дифференциальные уравнения. - 2009. — Т. 45, № И - С. 1664-1666.

4. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в обобщенном уравнении Свифта-ХоэнЪерга/Д.В.Сандуляк// Моделирование и анализ информационных систем. — 2010. Т. 17, № 1. С. 83-92.

Прочие публикации

5. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в одном уравнении маятникового типа/ Д. В. Сандуляк // Сборник лучших студенческих научных работ городского конкурса 2007 года "Ярославль на пороге тысячелетия". — Ярославль. 2007. — С. 1119.

6. Сандуляк, Д. В.Гамильтонов сценарий явления буферности в уравнении маятникового типа//Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 122

7. Сапдуляк, Д. В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием/ Д. В. Сандуляк // Сборник лучших студенческих научных работ городского конкурса "Ярославль на пороге тысячелетия". — Ярославль, 2008. — С. 29-38.

8. Сандуляк, Д. В.Гамильтонов сценарий явления буферности в уравнении маятникового типа. /Д.В. Сандуляк // Тезисы докладов 3-й международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования поев. 85-летию Л.Д.Кудрявцева. — М.: МФТИ, 2008. С.317

У. Сандуляк, Д. В. Гамильтонов сценарий явления буферности в уравнении маятникового типа /Д. В. Сапдуляк // Шестьдесят первая научно-техническая конференция студентов, магистров и аспирантов. Тезисы докладов. — Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2008. - С. 317

10. Сапдуляк, Д. В. Численные исследования явления буферности в уравнении однократного PCL-генератора с запаздыванием в цепи обратной связи/Д. В. Сандуляк //Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов.— Ярославль, 2008 — Вып. 9. — С. 72.

^Фамилия Салдуляк н сня'ш с заключением браки, изменена, сонска-толсм на фамилию Мало.чГ:моиа

Подписано в печать 19.10.11. Формат 60x84/16. Бумага оф. Отпечатано на ризографе.

Тираж 100 экз. Заказ 27/11. Отдел оперативной полиграфии ЯрГУ 150000, Ярославль, ул. Советская ,14.

ВВЕДЕНИЕ

1. Явление буферности в уравнениях с полутора степенями свободы

1.1. Постановка задачи.

1.2. Доказательство существования и устойчивости вращательных периодических решений.

1.3. Существование и устойчивость колебательных периодических решений.

1.4. Численные исследования.

2. Высокочастотные автоколебания в уравнениях с запаздыванием

2.1. Постановка задачи

2.2. Линейный анализ.

2.3. Существование периодических решений

2.4. Исследование устойчивости.

Высокомодовые аттракторы обобщенного уравнения Свифта-Хоэнберга

3.1. Общая постановка проблемы.

3.2. Локальная постановка задачи.

3.3. Исследование устойчивости.

3.4. Фрагменты численного анализа.

4. Высокомодовые аттракторы уравнения Свифта-Хоэнберга с квадратичной нелинейностью

4.1. Постановка задачи.

4.2. Локальная постановка задачи.

4.3. Исследование устойчивости.

4.4. Численные исследования.

В диссертационной работе рассматриваются специальные алгоритмы исследования феномена буферности в приложении к различным задачам начиная от моделей из механики до моделей из гидродинамики.

О феномене буферности принято говорить в случае, когда в фазовом пространстве некоторой динамической системы при подходящем выборе параметров можно гарантировать сосуществование любого фиксированного числа однотипных аттракторов (состояний равновесия, циклов, торов и т.д.).

Особо остановимся на различии таких понятий, как буферность и муль-тистабильность. Напомним, что мультистабильность означает сосуществование в фазовом пространстве системы сразу нескольких аттракторов. Далее, представим себе ситуацию, когда в некоторой системе при любом допустимом изменении параметров реализуется ровно сто устойчивых циклов. Ясно, что здесь мы имеем дело с мультистабильностью. Однако буферности в данной системе не будет, так как, и это ключевой момент, понятие «буферность» предполагает наличие некого бифуркационного процесса, в результате которого происходит неограниченное увеличение числа сосуществующих аттракторов. Упомянутый процесс характерен, главным образом, для систем с распределенными параметрами, хотя, как будет показано ниже, может наблюдаться и в системах с конечным числом степеней свободы.

Разумеется, в случае сосуществования небольшого числа устойчивых состояний равновесия или циклов буферность свидетельствует о наличии «порядка». Однако если их число излишне велико, то может происходить спонтанный переход системы с одного устойчивого стационара на другой под действием случайных возмущений начальных условий. В подобной ситуации говорят, что в динамической системе реализуется флуктуационный хаос.

Из результатов известной работы А.А.Витта [1], а так же из значительно боле поздних работ [2-6] следует, что буферность представляет собой универсальное нелинейное явление, возникающее в математических моделях из различных областей естествознания: радиофизики, механики, экологии, нелинейной оптики, теории горения и т.д. Поэтому весьма актуальна проблема изучения типовых сценариев накапливания аттракторов в различных динамических системах. К настоящему времени удалось выявить три таких сценария: в первую очередь это сценарий Витта, являющийся наиболее распространённым, а также тьюрингский и гамильтонов механизмы накапливания аттракторов.

Ситуация, в которой реализуется механизм Витта, заключается в следующем. Представим, что в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия некоторой динамической системы имеет место критический случай счетного числа чисто мнимых собственных значений, а при изменении каких-либо входящих в эту систему параметров происходит последовательное смещение точек спектра в правую комплексную полуплоскость. Тогда, как установлено в уже упоминавшихся работах [1-6], чаще всего в такой системе наблюдается феномен буферности в простейшем его варианте: происходит неограниченное накапливание устойчивых циклов, причем каждый отдельно взятый цикл рождается из нулевого состояния равновесия неустойчивым, а затем обретает устойчивость, подрастая по амплитуде.

Тьюрингский механизм отличается от механизма Витта по существу лишь тем, что каждый индивидуальный цикл(или состояние равновесия) при изменении управляющих параметров сначала обретает устойчивость, а затем снова её теряет. Таким образом, хотя общее число аттракторов и увеличивается, но их состав постоянно обновляется. Как показано в монографии [6], данная ситуация реализуется главным образом в системах типа реакция-диффузия при пропорциональном уменьшении коэффициентов диффузии, но может возникать и в системах с запаздыванием при неограниченном увеличении времени запаздывания. В частности, с ней сталкиваемся при рассмотрении известной модели «брюсселятор», изучавшейся ещё А.Тьюрингом [7] (отсюда название - тьюрингский механизм).

Описанные сценарии накапливания аттракторов характерны, естественно, только для систем с бесконечномерным фазовым пространством. Что же касается конечномерных систем, то в них простейшим механизмом возникновения буфености является, по всей видимости, так называемый гамильтонов сценарий, проиллюстрированный в [6] на ряде двумерных отображений из механики. Суть этого сценария состоит в следующем.

Рассмотрим сначала некоторую гамильтонову или консервативную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с полутора или более степенями свободы. Согласно выработанным к настоящему времени общим представлениям о динамике таких систем хаотическое движение в них сосуществует со счетным числом так называемых островков устойчивости, примыкающих к эллиптическим состояниям равновесия или циклам. Предположим, далее, что наша система возмущена малыми добавками, обеспечивающими её диссипативность. Тогда некоторые из упомянутых состояний равновесия или циклов могут стать асимптотически устойчивыми и, что самое главное, количество последних может неограниченно увеличиваться при стремлении возмущений к нулю. А это как раз и означает, что в рассматриваемой системе наблюдается явление буферности, механизм возникновения которого уместно назвать гамильтоновым.

Следует заметить, что гамильтонов механизм несмотря на его простоту ранее был наименее изученным. Кроме уже упоминавшихся двумерных отображений до выхода [8] он не был подкреплен какими-либо другими содержательными примерами.

В данной работе приводится результаты, дополняющие исследования [8] гамильтонового сценария для уравнения с полутора степенями свободы. А именно, изучалась следующая классическая задача механики маятникового типа с периодическими по времени малыми добавками: х + ех + sin х = еа cos 1st, где 0 < е < 1, а > 0, у > 0. Для указанной задачи ставится вопрос о существовании в ней устойчивых периодических решений как вращательного, так и колебательного типов. Применение специфических асимптотических методов позволило установить, что в системе реализуется гамильтонов сценарий буферности. Строгий, но локальный результат был несколько расширен численным тестированием модели при значениях параметров, отстоящих от критических. Были получены портреты периодических решений при некоторых фиксированных значениях параметров.

Помимо изучения модели, демонстрирующей простейший гамильтонов сценарий возникновения буферности, основное внимание уделено системам с тьюрингским механизмом накопления аттракторов. В частности следующий описываемый в работе результат посвящен изучению дифференциально-разностных уравнений второго порядка описывающих работу RCL-генератора с запаздыванием в цепи обратной связи. x + ax + x = F(kx(t-e)), (0.0.1) где F(x) = —х + с\х2 + с2£3 + ., 0 < а < у/2, с2 > 0, с\ — любое. В данной задаче особый интерес представляет возможность использовать подобие возникающих периодических решений при изучении их устойчивости.

Существенный интерес представляют изучение сложных систем, в которых буферность связана с процессами спонтанного нарушения высокой степени симметрии их макроскопического состояния. В результате подобных процессов возникают так называемые диссипативные структуры, т.е. устойчивые самоподдерживающиеся образования с характерными пространственно-временными формами. Подобные структуры представляют интерес для исследователей различных специальностей. Биологов они интересуют в связи с вопросом происхождения жизни, с проблемами пред-биологической эволюции, морфогенеза; экологов — в связи с изучением законов функционирования биоценозов; физиков — в связи с возможностью создания новых типов автогенераторов на распределенных структурах и т. д. Следует отметить, что для возникновения феномена самопроизвольного нарушения симметрии с понижением ее степени система с необходимостью должна быть открытой, а ее математическая модель — нелинейной.

В предлагаемой работе проводится исследование феноменологических моделей гидродинамики, описывающих микроциркуляции в неравномерно нагреваемых жидкостях или газах. Для исследуемых систем, представляющих собой модификации уравнения Свифта-Хоэнберга, был установлен тью-рингский механизм накопления неоднородных стационарных решений при подходящем изменении управляющего параметра. дгт = еги-(1 + д2х)2т + /Н, (0.0.2) д^ = еги - (1 + д1)2и> - тдхт, (0.0.3) где ¿^0, 0 ^ х ^ I, ги = ги^,х) — вещественная скалярная функция, удовлетворяющая граничным условиям

Н*=о = Мх=1 = = д2хт\х=1 = 0. (0.0.4) дг = д/д1,дх = д/дх, е— положительный параметр (надкритичность). Относительно функции /(го) предполагаем, что /(ги) € С°° нечётна и /'(0) = 0, /'"(0)/3! = а < 0.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Методы, применяемые в в данной работе, могут быть использованы в дальнейших исследованиях сложного поведения нелинейных краевых задач и систем дифференциально-разностных уравнений, связанного с мультистабильностью.

Материал диссертации представляет интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений, нелинейной динамики и хаоса. Работа может быть востребована во многих отечественных и международных математических центрах, где ведутся исследования, связанные с дифференциальными уравнениями и их приложениями.

Апробация результатов

Основные результаты работы докладывались на научном семинаре, проводимом научно-образовательным центром ЯрГУ "Нелинейная динамика а также на семинаре кафедры дифференциальных уравнений МГУ в октябре 2009, и обсуждались на научных конференциях:

1) Воронежская математическая школа имени Крейна, январь 2008 года;

2) III Международная конференция, посвященная 85-летию Л.Д.Кудрявцева, март 2008;

3) 61-ая научно-техническая конференция студентов, магистрантов, и аспирантов, посвященная 1000-летию Ярославля, апрель 2008;

4) BRHE 2008 Summer Training Language Camp, Тамбов, июль;

5) Международная конференция научно-образовательных центров, посвященная 10-летию программы BRHE в октябре 2008 года;

6) Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи НТТМ-2009, 24-27 июня;

7) XLVIII Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 10-14 апреля 2010;

8) Nonlinear Dynamics on Networks, Киев, июль 5-9 2010;

9) First German-Russian Interdisciplinary Workshop on the Structure and Dynamics of Matter, Berlin, October 18-20, 2010;

10)Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля науки, РГСУ, Москва, сентябрь 24, 2011.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 10 работах, из них 4 статьи в научных журналах списка ВАК и 6 тезисов докладов, 2 из них опубликованы международными конференциями.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Диссертация содержит 17 рисунков. Общий объем диссертации составляет 79 страниц.

Заключение

В заключение перечислим основные результаты полученные в работе.

1) Для уравнения с полутора степенями свободы были проведены исследования, позволяющие обосновать утверждение о реализации гамиль-тонового сценария буферности. То есть показано, что при подходящем выборе параметров в его фазовом пространстве существует любое наперед заданное конечное число устойчивых периодических решений как вращательного так и колебательного типа.

2) Для дифференциально-разностного уравнения второго порядка, описывающего работу 11СЬ-генератора с запаздыванием в цепи обратной связи показано, что с увеличением параметра запаздывания происходит каскад бифуркаций, в результате которых может сосуществовать сколь угодно большое количество устойчивых циклов.

3) Для специальных обобщений уравнения Свифта-Хоэнберга с граничными условиями типа Дирихле установлено, что при увеличении длины промежутка изменения пространственной переменной и при фиксированной достаточно малой надкритичности количество сосуществующих устойчивых состояний равновесия у этих краевых задач неограниченно растет.

Выражаю глубочайшую благодарность своему научному руководителю А.Ю.Колесову, во-первых, как моему преподавателю, благодаря которому в своё время я увлеклась изучением дифференциальных уравнений, во-вторых, как деятельному ученому, за обилие поставленных передо мной исследовательских задач, и в третьих, как профессионалу высокого уровня, работа с которым не только приносит удовольствие, но и дает образцы, формирует ориентиры научной деятельности.

Так же хотелось бы поблагодарить С.Д.Глызина за неизменные энтузиазм, доброжелательность и терпение, неоднократно проявленные им в многочисленных научных беседах.

Цитированная литература

1. Витт A.A. Распределенные автоколебательные системы /A.A. Витт// Журн. технич. физики. - 1934. - Т.4. №1. - С. 144 - 157.

2. Колесов А.Ю. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений ¡А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов//Тр. МИАН им. В. А. Стеклова - Т. 222 -М., 1998.

3. Колесов А.Ю. Специфика автоколебательных процессов в резонансных гиперболических системах/Л.Ю. Колесов, Н.Х. Розов, В.Г. Сушко// Фундамент, и прикл. математика. 1999. — Т. 5, № 2 — С. 437 — 473.

4. Колесов А.Ю. Явление буферности в резонансных системах нелинейных гиперболических уравнений /А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов // УМН. 2000. - Т.55, Вып. 2(332) - С. 95 - 120.

5. Колесов А.Ю. Явление буферности в распределенных механических системах/А. Я). Колесов, Н.Х. Розов // ПММ. 2001. - Т. 65. Вып. 2. -С. 183 - 198.

6. Мищенко Е.Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией /Е.Ф. Мищенко, В.А. Садовничий, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов//М., 2005.

7. Turing A. The chemical basis of morphogenesis /А. Turing //Phil.Trans. Roy. Soc. Lond. - 1952. - V. 237. - P. 37 - 72.

8. Глызип С.Д. Явление буферности в системах с полутора степенями свободы / С.Д. Глызип, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов// Ж.вычисл.матем.и матем.физ. - 2006. - Т. 46, Вып.9 - С. 1582 - 1593.

9. Морозов А.Д. Резонансы, цыклы и хаос в квазиконсервативных системах /А.Д. Морозов//М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика"; Институт компьютерных исследований, 2005.

10. Ландау JI.Д. Теоретическая физика. Т.1. Механика /Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц //М., 1988.

11. Уиттекер Э.Т. Курс современного анализа. 4.2. Трансцендентные функции Теоретическая физика /Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон// М.: Физматлит, 1963.

12. Колесов А.Ю. Явление буферности в RCLG-автогенераторе: теоретический анализ и результаты эксперимента / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Тр. МИАН. - 2001. - Т. 233. - С. 153 - 207.

13. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний / С.П. Стрелков // М.: Наука. — 1964.

14. Азъян Ю.М. Об автоколебаниях в системе с запаздывающей обратной связью /Ю.М. Азьян, В.В. Мигулин// Радиотехника и электроника. — 1965. - Т.1, № 4. - С. 418 - 427.

15. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений /Дж. Хейл // М.: Мир, 1984.

16. Swift J. Hydrodynamic fluctuations at the convective instability/J. Swift, P.S. Hohenberg// Phys. Rev. - 1977. - V. A15, № 1 - P. 319 - 328.

17. Haken, H. Advanced synergetics /Н. Haken//Berlin - N.Y. Springer, 1983.

18. Гетлинг, A.B. Конвекция Релея-Бенара /A.B. /Ъшшмг//М.:Эдиториал УРСС, 1999.

19. Tlidi, М. Transverse patterns in nancsent optical bistability/M. Tlidi, M. Georgiou, P. Mandel// Phys. Rev. - 1993. - V. 48, № 5. - P. 4605-4609.

20. Lega, J. Swift-Hohenberg equation for lasers/ J. Lega, J. V. Moloney, A. Newell// Phys. Rev. - 1994. - V. 73. - P. 2978 - 2981.

21. Гленсдорф, П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций/Я. Гленсдорф, И. Пригоэюин// М.:Наука. — 1974.

22. Митропольский, Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной меха-нике/Ю.А. Митропольский, О.В. Лыков//М.гНаука. — 1973.

23. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2008611464. Пакет программ для анализа динамических систем "Tracer"/ Глызин Д. С. (RU). - Заявка 2008610548. Дата поступления 14 февраля 2008 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24 марта 2008 г.

Публикации по теме диссертации1

Публикации в журналах из списка ВАК

1. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в одном уравнении маятникового типа/ Д. В. Сандуляк// Моделирование и анализ информационных систем. - 2007. - Т. 14, № 2. - С. 68-74.

2. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием/ Д. В. Сандуляк// Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. - Т. 15, № 2. - С. 18-25.

3. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием/ДБ. Сандуляк// Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т. 45, № И - С. 1664-1666.

4. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в обобщенном уравнении Свифта-Хоэнберга/Д. В. Сандуляк// Моделирование и анализ информационных систем. - 2010. - Т. 17, № 1. - С. 83-92.

Прочие публикации

5. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в одном уравнении маятникового типа/ Д. В. Сандуляк // Сборник лучших студенческих научных работ городского конкурса 2007 года "Ярославль на пороге тысячелетия". — Ярославль, 2007. — С. 11-19.

1 Фамилия Сандуляк в связи с заключением брака изменена соискателем на фамилию Малозёмова

6. Сапдуляк, Д. В. Гамильтонов сценарий явления буферности в уравнении маятникового типа//Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна. Тезисы докладов. — Воронеж: ВорГУ, 2008 — С. 122

7. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием/ Д. В. Сандуляк // Сборник лучших студенческих научных работ городского конкурса "Ярославль на пороге тысячелетия". — Ярославль, 2008. - С. 29-38.

8. Сандуляк, Д. В. Гамильтонов сценарий явления буферности в уравнении маятникового типа /Д. В. Сандуляк // Тезисы докладов 3-й международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования поев. 85-летию Л.Д.Кудрявцева. — М.: МФТИ, 2008. — С.317

9. Сандуляк, Д. В. Гамильтонов сценарий явления буферности в уравнении маятникового типа /Д. В. Сандуляк // Шестьдесят первая научно-техническая конференция студентов, магистров и аспирантов. Тезисы докладов. — Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2008. — С. 317

10. Сандуляк, Д. В. Численные исследования явления буферности в уравнении однократного 11СЬ-генератора с запаздыванием в цепи обратной связи/Д. В. Сандуляк //Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов.— Ярославль, 2008 — Вып. 9. — С. 72.