Специальный комплекс программ для решения и исследования задач линейной алгебры в генераторе программ "Поле-3" тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.10 ВАК РФ

ВВВДЕНИЕ.

Г Л А В А I. ТЕХНОЛОГИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ЗАДАЧ РАСЧЕТА

ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В УСЛОВИЯХ ГП СЕРИИ "ПОЛЕ"

1.1. Основная система R - функций.

1.2. Краевая задача и структура ее решения

1.3. Применение метода R - функций при расчете физико-механических полей

1.4. Источники и типы задач алгебры.

1.5. Основные принципы построения автоматизированной системы (ГП) "Поле-3".

Г Л А В А П. РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ В УСЛОВИЯХ ЭКСПЛУАТАЦИИ ГП "ПОЛЕ-3"

2.1. Язык заданий.'.

2.2. Системное наполнение.

2.3. Функциональное наполнение.

2.4. Формирование матриц.

2.5. Архив методов алгебры.

2.6. Эксплуатационные возможности сегмента обработки матриц.

Г Л А В А Ш. ТЕСТИРОВАНИЕ МАТРИЦ.

3.1. Применение R» - функций к построению матриц

3.2. Применение тестовых матриц цри решении задач алгебры.

3.3. Эксплуатационные возможности блока тестовых матриц.

ХХУ1 съезд КПСС на одиннадцатую пятилетку поставил задачу еще большего подчинения развития науки и техники решению экономических и социальных задач советского общества, ускорению перевода экономики на путь интенсивного развития, повышению эффективности общественного производства. В связи о этим необходимо расширить автоматизацию цроектно-консарукторских и научно-исследовательских работ с црименением электронно-вычислительной техники, развивать математическую теорию, повышать эффективность ее использования в прикладных целях, совершенствовать вычислительную технику, ее элементную базу и математическое обеспечение

I].

С увеличением парка ЭВМ возникла проблема повышения эффективности их использования. Критерием эффективности использования ЭВМ становится время, затрачиваемое на решение задачи от ее постановки до получения результатов в надлежащей форме.

То программное обеспечение, которое поставляется вместе с ЭВМ не может удовлетворить многогранные потребности практики. В связи с этим во многих организациях под руководством видных советских ученых академиков А.А. Дородницына, А.А. Самарского,

A.Н. Тихонова, Н.Н. Яненко и членов - корреспондентов Ш СССР Н.Н. Говоруна, А.П. Ершова, Н.Н. Моисеева ведутся работы по созданию комплексов программ и специализированного математического обеспечения, направленного на решение актуальных народнохозяйственных задач, требующих быстрого и качественного решения. Интересные научные результаты в этом направлении получены

B.В. Воеводиным, В.П. Ильиным, А.Н. Коноваловым, И.Н. Молчановым, В.Л. Рвачевым, И.В. Сергиенко, Б.Г. ТаммОм, Э.Х. Тыугу, И.В. Вельбицким и др.

Особо важное значение имеет создание автоматизированных проблемно-ориентированных пакетов программ (Генераторов Программ) [2,3] , основанных на принципе интеграции ресурсов ЭВМ, программных средств обслуживания задач, специфики отдельных компонент общесистемного математического обеспечения. Генераг-торы црограмм (И) реализуют более рациональную организацию ведения диалога с пользователями, позволяющую скрыть от них сложный процесс управления передачи информации между ГП, ОС и внешней средой и упростить входные языки. При этом возможность обращения к машине помогает пользователю найти за цриемлемое время нужное решение при условии оперирования относительно небольшим числом параметров и вариантов решения задачи [4] .

В качестве примеров специализированных систем црограширо-вания можно цривести:

- пакеты црограмм для решения задач линейной алгебры [5-8];

- пакет npoipaMM численного интегрирования [ 9 ] ;

- пакет программ "Вектор-I" [ю] для одного класса дискретной оптимизации;

- пакеты црограмм для решения задач, относящихся к определенным областям науки и техники [П-1б].

Среди проблем, на которые должны быть сориентированы автоматизированные пакеты программ, особое место занимают разработки цредназначенные для решения краевых задач математической физики [17] . Дело в том, что с проблемой математической физики тесно связан широкий круг научно-технических направлений как у нас в саране, так и за рубежом. Это цроблемы электростатики и электродинамики, теории упругости и пластичности, теплофизики, гидродинамики, теории фильтрации и многие другие [16, 17-30] .

Можно без преувеличения отметить, что принципиально наиболее сложными цроблемами в этих научных направлениях являются именно краевые задачи математической физики, связанные с расчетом и исследованием тех или иных физико-механических полей в Характерной особенностью полей является их зависимость как от вида уравнений и краевых условий, так и от геометрических форм, имеющих в реальных конструкциях часто весьма сложную конфигурацию, которую необходимо учитывать при составлении разрешающего алгоритма.

В последние годы наряду с такими эффективными методами решения краевых задач как сеточные, конечных элементов и др., получил широкое распространение предложенный B.JI. Рвачевым структурный метод [31] , который в сочетании с вариационными, а также некоторыми аналитическими методами, например интегральных преобразований и др., позволил решать широкий круг задач математической физики [32-37] .

Структурный метод (метод Ц - функций) позволяет решить задачу построения пучка функций, цринимающих в точках границы области заданные значения. Входящее в структуру решения уравнение границы области строится с помощью И - функций [38], позволяющих все данные о геометрической форме цревращать в четкую математическую формулу, которую легко задать ЭВМ. Простота метода R, - функций делает его широко доступным, а возможность использования типовых структур и стандартных базисных областей позволяет црименять методы системного программирования. Этот метод позволяет строить структурные формулы для краевых задач с различными типами зраничных условий и всему процессу построения координатных последовательностей придать рекуррентный характер.

В Институте цроблем машиностроения Ш УССР к настоящему времени уже созданы и эксплуатируются ори версии генераторов программ СГП) серии "Поле", базовым математическим аппаратом которых, является структурный метод (метод Q. - функций), который оказался весьма удобным цри автоматизации решения широкого класса краевых задач для областей сложной формы со сложным характером граничных условий.

Следует отметить, что в генераторе црограмм заложены возможности, позволяющие отыскивать неопределенные компоненты структуры решения не только вариационными методами Ритца, Бубнова - Галеркина и др., но и раз ноет,но - аналитическими методами с новыми подходами, позволяющими исключить из вычислительного процесса вычисление производных как от неопределенных ком-, понеш?, так и от функций Ю , СО^ , с помощью которых учитываются геометрические компоненты краевой задачи. С другой стороны, при отыскании неопределенных компонент структуры можно осуществить разбиение рассматриваемой области на характерные зоны, руководствуясь, как и в методе конечных элементов, геометрическими и физическими соображениями о поведении решения, т.е. так называемый региональный подход [39 ] .

Щ "Поле" - система црограммных модулей с гибкой и открытой для изменения структурой. Программные модули координируются управляющей программой, которая по заданию пользователя, написанному на входном языке, сходным с естественным математическим, создает вычислительную схему реализации задания, и затем увязывает соответствующие программные модули в программу [40 ] .

Выработанные цринщшы построения генераторов программ серии "Поле" позволяют ставить задание генератору как в виде приказа решить конкретную паевую задачу из заданного класса, так и в виде ряда предписаний, позволяющих сформулировать новый алгоритм решения задачи.

Таким образом, для работы с генератором программ "Поле" остается выполнить только некоторый подготовительный этап с минимальными требованиями, относящимися к постановке задачи и описанию формы области и ее граничных участков [42] .

Цри редукции задач математической физики от непрерывных аргументов к дискретным в конечном итоге получаются алгебраические уравнения той или иной структуры [43 ] . При решении краевых задач прямыми методами как вариационными, так и црсекционными получается один и тот же вычислительный алгоритм, который сводится к решению систем алгебраических уравнений. Отсюда следует, что главными цри разработке программирующих систем и пакетов црограмм в математической физике являются воцросы о формировании матриц упомянутых систем уравнений и о решении этих систем (или решении задач на собственные значения). Немаловажными являются, конечно, и другие воцросы, касающиеся обработки и оценки полученных результатов, сервиса, дисциплины работы с пакетом и др. [44] .

Системы алгебраических уравнений, к которым цриводят цря-мые методы, сводя бесконечномерную краевую задачу к конечномерной, должны достаточно полно вобрать в себя всю информацию, содержащуюся в постановке краевой задачи. Главная трудность при этом заключается в том, что наряду с аналитической информацией об уравнениях и Даевых условиях, в постановке краевой задачи присутствует и информация геометрического характера о форме области, в которой ищется решение, форме участков границы, на которых заданы краевые условия и др.

Второй вопрос, касающийся решения систем получаемых алгебраических уравнений, связан с их обусловленностью, которая, как правило, является хорошей для разреженных матриц и плохой -да плотно заполненных.

Известно, что при применении сеточных методов (в их классическом варианте) цриходят к хорошим системам уравнений, однако значительные трудности возникают при учете геометрической информации и заданных краевых условий [45] . Метод конечных элементов и возник из стремления, сохранив достоинства сеточного метода - хорощую обусловленность систем, получить достаточно эффективные средства для привязки к геометрическим формам областей произвольного вида. Однако цри этом возник ряд других цроблем, связанных с формализацией процесса дискретизации и зависимостью от нее результатов решения задачи, учетом краевых условий, большим объемом вычислений и получаемых результатов в виде таблиц, которые трудно использовать при проведении расчетов, необходимых для принятия инженерных решений и т.д. [46] .

Этих недостатков лишены классические вариационные методы, в которых в качестве апцр океимационного аппарата используются не сплайны, как в методе конечных элементов, а те или иные классические полиномы. Однако, с одной стороны, до последнего времени не было универсальных методов, позволяющих цри построении базисных функций обеспечить удовлетворение краевых условий, а с другой - цри таком подходе получались плотно заполненные матрицы, обусловленность которых быстро ухудшалась с ростом размерности аппроксимирующих цространств. Эти трудности считались цринципиальными и сдерживали применение вариационных методов цри решении краевых задач. Оказалось, однако, что их можно цреодолеть на основе теории Ц - функций [31,38]. В качествеаппроксимационного аппарата можно использовать как классические полиномы, так и функции с локальным носителем (сплайны, атомарные функции [34] ).

Решение задач алгебры является одним из сегментов единого пакета решения задач математической физики в условиях ГП "Поле" и поэтому обладает своей спецификой и оцределенными трудностями , некоторые из которых перечислим:

- все известные пакеты црограмм по линейной алгебре разрабатывались для их индивидуального использования, поэтому без серьезных переделок они не могут быть включены в более общие пакеты, так и в ГП серии "Поле";

- отдельные модули по решению конкретных задач обработки матриц, имеющиеся в библиотеках стандартного математического обеспечения ЭВМ не обладают црограммной совместностью с ГП серии "Поле", т.к. имеют разное количество формальных параметров и их назначение;

- существующие црозраммы в большинстве своем не снабжены модулями, производящими диагностику матриц, а в их описаниях отсутствуют указания об области оптимального црименения конкретной црозраммы;

- практически отсутствуют программы для решения систем большого порядка с профильными матрицами и еще трудней обстоят дела с обобщенными задачами на собственные значения с разреженными матрицами больших порядков (1000 и более).

В связи с вышейзложенным возникла необходимость в создании специального математического обеспечения, которое бы не только пощшвало цредметную область задач математической физики, решаемых в условиях ГП серии "Поле", но и автоматически стыковалось со всем вычислительным цроцессом.

В настоящее время библиотекой модулей ГП серии "Поле" адекватно покрывается цредметная область задач алгебры, возникающих при решении задач расчета полей различной физико-механической природы.

Предметная область данного сегмента состоит из

1) формирования соответствующих 1фаевым задачам матриц;

2) решения систем линейных алгебраических уравнений;

3) решения обобщенной проблемы собственных значений;

4) решения нелинейной цроОлемы собственных значений для полиномиальных матриц [48] .

Данная диссертационная работа: посвящена математическому обеспечению задач линейной алгебры, возникающих цри расчете полей различной физической црироды,в условиях эксплуатации генератора црограмм (ГП) "Поле-3".

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и цриложения.

В первой главе приводится основная система R - функций, рассматриваются вопросы математической постановки задач расчета физических полей, делается краткое описание структурно-вариационного метода рещения задачи, решается задача обтекания бесконечного цилиндра, для которой автор построил структурную формулу, делается анализ источников и типов вычислительных задач алгебры, возникающих цри редукции задач математической физики, излагаются основные принципы построения автоматизированной системы программирования "Поле-3", базовым математическим аппаратом которой является метод й - функций.

Вторая глава посвящена воцросам реализации задач алгебры в ГП "Поле-3. Приводится

- язык заданий блока матричной алгебры;

- функциональное и системное наполнение вышеуказанного блока;

- банк модулей, реализующих различные задачи алгебры.

Все это иллюстрируется конкретными примерами решения задач математической физики.

В третьей главе рассматривается цроблема тестирования матриц в ГП "Поле-3". Метод Ц - функций позволил создать блок тестовых матриц, в котором матрицы задаются специализированными формулами, учитывающими не только конфигурацию матриц, но и законы изменения элементов матриц. На таких матрицах легко осуществляется проверка работы отдельных модулей по решению задач алгебры, а также ставятся численные эксперименты, подтверждающие теоретические выводы, касающиеся достоверности получаемых решений.

В цриложении цриведены листинги с фрагментами текстов цро-цедур, реализующих методы решения задач алгебры, результаты решения некоторых задач математической физики в виде распечатки коэффициентов и таблиц искомой функции, цримеры тестовых матриц различных конфигураций в виде картин линий уровня, построенных на ЯШУ.

Система программ решения задач алгебры реализована в ГП "Поле-3" и оцробована цри решении реальных задач математической физики в условиях ГП "Поле-3" на ЭВМ БЭСМ-6 в мониторной системе Дубна.

Бри реализации математического обеспечения задач алгебры использовались материалы учебных и справочных пособий по линейной алгебре [49-57 ] , а также по программированию [58-61 ] , рассматривались некоторые аспекты языков программирования и методов в реализации [ев-и] , учитываюсь вопросы элективно™ создания машинно-независимых проблемных программ [72-79] .

- 12

Г I А В A I

ТЕХНОЛОГИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ЗАДАЧ РАСЧЕТА ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В УСЛОВИЯХ ГП СЕРИИ "ПОЛЕ"

Краевые задачи для уравнений с частными производными представляют собой одно из наиболее важных направлений в современной прикладной математике. С ними связаны исследование и расчет различных физико-механических полей [32-39] , и в этом состоит главная цричина того постоянного интереса, который проявляют к ним специалисты, работающие в самых различных областях науки и техники. Особенно актуальной является разработка таких методов решения краевых задач, которые имели бы универсальный характер и не требовали от исследователя (как цравило, не математика) знания тонких воцросов теории. Кроме того, универсальность обусловливает возможность привлечения методов системного программирования, что имеет существенное значение для автоматизации научных исследований в области краевых задач.

Это обстоятельство учтено цри разработке црограширущих систем серии "Поле" [44] , основной теоретической базой которых выбран метод R. - функций.

I.I. Основная система R, - функций

Одна из важных цроблем, которая решена В.Л. Рвачевым с помощью R. - функций, относится к области аналитической геометрии. Речь идет о посароении уравнений вида 60 (х) - О для заданных геометрических объектов. Известно, нацример, что душ сферы радиуса й с центром в начале координат можно на

Йй Z z 2. Г\

- ХА - ЗС ^ - осj = 0 • Левая часть этого уравнения, которую обозначим со (ос),СС={х1} X* х5 \ » в0 ВНУТрентах точках сферы - положительна, на ее границе - равна нулю, а вне - отрицательна. Метод И - функций предлагает способ построения и для сложных областей уравнений границ, "равноправных1 с уравнением сферы. Для таких, нацример, объектов, как усеченный конус с цилиндрическим отверстием, многоугольники и многогранники, головка цилиндра двигателя внутреннего сгорания, двутавр и т.п. сложных тел и фигур оказывается возможным строить уравнение вида СО(Х)-0 , где со (х) - формула, имеющая, подобно формуле ft2-X*- » ВИД единого аналитического выражения, не содержащего каких бы то нибыло "склеек","сшивок", заданий функций со Сх) разными формулами в разных подобластях и т.п. Поскольку в диссертационной работе используется метод Л - функций при построении сложных геометрических объектов, то не излагая теоретической стороны метода, покажем на цримере, как он работает цри написании границ сложных областей.

Пусть требуется написать уравнение границы области Q , изображенной на рис. I, где АО Б - синусоида хг= бьггх,, » А&и ВС - отрезки прямых -ЗГ и х,, =5Г соответственно . DSF - парабола ОС^ ~ Xi о •

Интересующую нас область О можно получить воспользовавшись логической формулой

С?=СО,ГЮг)П(05и0Д (I.I.I) где ПД - символы операций пересечения, объединения и дополнения множеств, а О^ , Ог , Q3 и 0А называются "опорными областями" и задаются неравенствами:

Q= ( х< ) - область, расположенная выше синусоиды X^siinoc^;

Q « - вертикальная полоса, ограниченная прямыми х4 - ; (X - Хг ^ 0 ) - часть плоскости, расположенная ниже горизонтальной пря-^ мой Хг = 5Г ;

О, ~ - часть плоскости, расположенная внутри параболы х* + f •

От формулы (I.I.I) перейдем к искомой функции со (X) , заменив Q. (Л -12.5,4 ) левыми частями соответствующих им не

I ' ' равенств, символ П заменим на символ t\Q , символ U -на символ V0 . Символы AQ , V0 и называются соответственно R - конъюнкция, R - дизъюнкция ий- отрицание [3l] и цредставляются формулами xV0y = х*у * Jx2+y2 , (1.1.2) cc = - X.

В данном цримере уравнение границы 3 О получим в виде

30={cocx)s[cxa-6taх<)Л0 СЗГг-х')] А

Ae[C3T-xOVe )]«0}. (I.I.3)

Воспользовавшись формулами (I.I.2) можно в (I.I.3) перейти к привычной элементарной функции. фи создании автоматизированных систем формулы (I.I.3) с учетом (I.I.2) легко реализуемы и поэтому не надо переходить к записи элементарной функции.

В работе [31] рассмотрены различные особые ситуации, которые могут возникнуть цри построении уравнений границ областей сложной формы (появление точек недифференцируемости внутри или вне области, образование "оврагов" и т.п.). Учет таких особенностей имеет важное значение цри построении приближенных решений краевых задач.

Кроме того, можно строить такие уравнения сложных геометрических объектов, которые удовлетворяют нормализованноети

Зсо| i (I.I.4)

Щю или некоторым другим условиям.

Результаты, полученные В.Л. Рвачевым в области аналитической геометрии, нашли приложение в области краевых задач, а также использованы для построения тестовых матриц систем алгебраических уравнений, возникающих цри решении задач расчета физико-механических полей.

Результаты работы внедрены в генераторе программ "Поле-3" Института цроблем машиностроения АН УССР, отчет о научно-исследовательской работе по теме В 56-78 : 'Разработка пакета алгоритмов и программ, реализующих метод R - функций для двумерных задач математической физики",У гос. регистрации: 78069289; в версии ГП "Поле-3" для ЕС ЭВМ в Харьковском авиационном институте; в версии ГП "Поле-3" на ВЦ СО АН СССР г. Новосибирск и в Днепропетровском госуниверситете.

Данное математическое обеспечение разрабатывается в рамках тематического плана Института цроблем машиностроения АН УССР: бюджетная тема № 69, № ГР 80023021 "Развитие математической теории R - функций и создание автоматизированного цро-граммного обеспечения современных ЭВМ для решения задач исследования, расчета и оптимизации физико-механических полей", руководитель академик АН УССР Рвачев В.Л., 1979-1983 г., постановление Президиума АН УССР от 16.02.79 г. №81.

Автор выражает благодарность всем участникам разработки генератора программ серии "Поле", и в особенности своему научному руководителю академику АН УССР Рвачеву Владимиру Логвиновичу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан пакет по линейной алгебре, функциональное наполнение которого, адекватно покрывает цредметную область генератора программ "Поле-3", цредназначенного для расчета полей различной физической црироды и включает:

- формирование систем линейных алгебраических уравнений;

- решение систем линейных алгебраических уравнений с различными матрицами;

- решение задач на собственные значения для регулярного и квадратичного пучка.

2. Разработан и реализован входной язык, обеспечивающий постановку задач алгебры в естественном для математики виде.

3. Создан цроцессор директивы по решению задач линейной алгебры, связанный с генератором црограмм посредством управляющей программы монитор. Созданы свои транслятор и компилятор. Интерфейс между рабочим комплексом программ генератора и пакета по линейной алгебре осуществляется с помощью сменного блока управления.

4. Создан блок тестовых матриц, математической основой которого является метод R. - функций. Матрицы строятся цри помощи специализированных формул, которые несут информацию о геометрии матриц и законах изменения их элементов. Это позволяет оперативно тестировать алгоритмы, программы и пакеты программ по линейной алгебре на квазиреальных задачах в условиях реальной конкретной ЭВМ.

5. Предложенные результаты реализованы в системном наполнении генератора цро1рамм "Поле-3", который в течении 5 лет успешно эксплуатируется в Институте цроблем машиностроения АН УССР цри решении задач математической физики на ЭВМ БЭСМ-6.

Содержание диссертационной работы отражено в публикациях [36 , 37 , 90 , 91, 92].

1. Материалы Ш1 съезда КПСС. - М.: Политиздат, 1981. -223 с.

2. Тыугу Э.Х. Генератор црограмм в модульной системе црограм-мирования. Кибернетика, 1974, № 6, с. 74-78.

3. Тамм Б.Г., Тыугу Э.Х. О создании цроблемно-ориентированного программного обеспечения. Кибернетика, 1975, № 4, с.76-85.

4. Перевозчикова О.Л., Ющенко Е.Л. Проблемы реализации современных языков программирования. Киев: Знание, 1980. - 28с.

5. Воеводин В.В. 0 пакете программирования задач линейной алгебры. В кн. Математическое обеспечение ЭВМ. Киев: ИК АН УССР, 1972, с. 107-108.

6. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д., Кириченко М.Н. Об одном пакете программ для решения систем линейных алгебраических уравнений. Кибернетика, 1972, Jfc I, с. 127-133.

7. Матричная алгебра и линейная алгебра: Сборник научных црограмм на ФОРЗРАНе. М.: Статистика, 1974. - вып. 2. - 224с.

8. Еремин А.Ю., Марьяшкин Н.Я. Пакет программ SPARSE для решения систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами. М.: ВЦ АН СССР, 1978. - 31 с.

9. Бахвалов Н.С. Численный анализ на Ф0Р1РАНе. М.: МГУ, 1974, вып. 8, с. 4-8.

10. Гуляницкий Л.Ф. и др. Пакет программ Вектор-1. Программирование, 1976, № 2, с. 42-54.

11. Башмачников А.И., Загацкий Б.А. и др. ФЙХАР модульная система программирования для реакторных расчетов. - В кн.: Труды Ш семинара по комплексам црограмм математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973, с. 17-26.

12. Говорун Н.Н. и др. Модульная система црограммщювания обработки фильмовой информации. В кн.: Труды Ш семинара по комплексам црограмм математической физики. Новосибирск: ВЦ

13. СО АН СССР, 1973, с. 34-41.

14. Гримзе Л.Б., Морозов Н.Ф., Ривкицц В.Я. Пакеты црограмм для решения некоторых задач механики сплошной среды. В кн.: Труды Ш семинара по комплексам программ математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973, с. 42-47.

15. Система црограммирования Приз / М.И. Кахро, М.А. Мяннисалу, Ю.П. Саан, Э.Х. Тыугу. Программирование, 1976, I,с. 38-46.

16. Тамм Б.Г., Тыугу Э.Х. Пакеты с генерацией программ. В кн.: Структура и организация пакетов црограмм. Тез. докл. Тбилиси: ВЦ АН Гр.СОР, 1976, с. 14-15.

17. Camp,6e££ 3.В. A paogaam, package frог the DlalckEet uo6lem utiltv axiatfy symmetric boundary conditions. Com^ut. Pfiys. Commnns,1975, 9, Л5, fi. 285-296

18. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский А.А. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1978, 18,2, с. 458-467.

19. Еремин А.Ю., Марьяшкин Н.Я. Пакет црограмм F Б М S для решения эллиптических краевых задач методом конечных элементов. М.: ВЦ АН СССР, 1981. - 50 с.

20. Ильин В.Н. Численные методы решения задач электр ооптики.-Новосибирск: Наука, 1974, 204 с.

21. Воцросы автоматизации решения задач фильтрации на ЭВМ / И.И. Ляшко, И.В. Сергиенко, Г.Е. Мистецкий, В.В. Скопец-кий.- Киев: Наук, думка, 1977. 288 с.

22. Ляшко И.Й., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. и др. Разработка одной автоматизированной системы прикладных цро1рамм. -Управляющие системы и машины, 1976, № 2, с. 42-47.

23. Прохур Ю.З. О разработке одной автоматизированной системы прикладных црограмм. В кн.: 1У Всесоюз. семинара по комплексам црограмм мат. физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976, с. 97-103.

24. Парасюк И.Н., Сергиенко И.В. К воцросу построения оптимальной системы программных модулей АСОД. Кибернетика, 1976, № 2, с. ЗМВ.

25. Сергиенко И.В., Парасюк И.Н., Тукалевская И.й. Автоматизированная система обработки данных. Киев: Наук, думка, 1976. - 256 с.

26. TcKomas C.L. POTENT a package the raimericat solution оf fiolentiat problems in getteral Ыо - dimen&ionat regions .-h,.:

27. Sofftutare for UurnetLcat Vflathenialics. A cad. Paess. 1975, p. 515-336.

28. Рвачев В.Л. Методы алгебры логики в математической физике.-Киев: Наук, душа, 1974. 259 с.

29. Рвачев В.Л., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости дан неклассических областей. Киев: Наук, думка, 1977. - 295 с.

30. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах. Киев: Наук, думка, 1976. - 288 с.

31. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Неклассические методы теории цриближений в краевых задачах. Киев: Наук, думка, 1979.196 с.

32. Рвачев В.Л., Шейко Т.И. К теории электрических полей цри М1Д течениях в каналах сложной формы. - Магнитная гидродинамика, 1976, & 3, с. 43-49.

33. Манько Г.П., Суворова И.Г. Об одной внешней задаче гидродинамики. Вестн. Харьков, политехи, ин-та. Краевые задачи математической физики, 1976, 16 113, вып. 3, с. 33-36.

34. Суворова И.Г. К расчету физических полей в неограниченных областях со сложной внутренней границей. Харьков, 1979. - 9 с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 2689 - 79 Деп.

35. Рвачев В.Л. Геометрические приложения алгебры логики. -Киев: Техника, 1976. 212 с.

36. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена. Киев: Наук.думка, 1978. - 138 с.

37. Рвачев В.Л., Манько Г.П. Автоматизация программирования в краевых задачах.-Киев:Наук.думка, 1983. 360 с.

38. Крылов В.И., Бобков В.В. ,Монастырный П.И. Вычислительные методы, том П. М.: Наука, 1977. - 399 с.

39. Манько Г.П. Язык директив для ГП "Поле-3", Харьков,1979. -72с.-(Прецринт АН УССР. Ин-т цробл.машиностроения,№143).

40. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. - 535 с.

41. Рвачев В.Л., Манько Г.П. Генераторы црограмм серии "Поле" для решения задач математической физики.-В кн.Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск:АНССCP СО.ВЦ Ин-т теоретич.и прикладной механики,1981,12,ЖВ,с.79-104.

42. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных цроизводных. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 487 с.

43. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М.: Мир, 1977. 349 с.

44. Рвачев В.Л., Манько Г.П., Федько В.В. Реализация решенияiзадач линейной алгебры в условиях генератора программ "Поле". В кн.: Математические методы кибернетики. Киев: Наук.думка, 1980, с. 3-14.

45. Кублановская В.Н. К спектральной задаче для полиномиальных пучков матриц. Зап. науч. семинаров ЛОМИ, Л.: Наука, 1978, 80, с. 83-97.

46. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963. - 600 с.

47. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. - 303 с.

48. Дж. X. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 564 с.

49. Дж. Форсайт, К. Молер. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. - 167 с.

50. Р. Тьюарсон. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977. - 189 с.

51. Программное обеспечение ЭВМ Мир-1 и Мир-2: В 3-х т. /

52. Под ред. И.Н. Молчанова. Киев: Наук, думка, 1976. - т.1 -250 с.

53. Фаддеев Д.К., Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Зап. науч. семинаров ЛОМИ, Л.: Наука, 1975, 54, с. 3-228.

54. Вычислительные методы линейной алгебры: Библиогр. указ. 1828-1974 гг. /Под ред. В.В. Воеводина. Новосибирск, 1976. - 418 с.

55. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. - 389 с.

56. Лебедев В.Н. Введение в системы црограммирования. М.: Статистика, 1975. - 312 с.

57. Криницкий Н.А., Миронов Г.А., Фролов Г.Д. Программирование и алгоритмические языки. М.: Наука, 1975. - 436 с.

58. Салтыков А.И., Макаренко Г.И. Программирование на языке ФОРТРАН. М.: Наука, 1976. - 255 с.61,62,63,6467