Сплетения в мультипликативных группах модулярных групповых алгебр 2-групп максимального класса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ їм. Т. Г. ШЕВЧЕНКА

#' Э - . .

Г На правах рукопису

» ч V •

, КОНОВАЛОВ Олександр Борисович

ВІНЦЕВІ ДОБУТКИ

+ .

У МУЛЬТИПЛІКАТИВНИХ ГРУПАХ МОДУЛЛРНИХ ГРУПОВИХ АЛГЕБР 2-ГРУП МАКСИМАЛЬНОГО КЛАСУ

01.01.06 > алгебра і теорія чисел

Автореферат дисертації на здобуття Наукового ступеня кандидата фіоико-математнчних наук

Київ — 1995

Дисертаиісю с рукопис. . '

Робота викопана у відділі алгебри Інституту математики ІІАН України. .

Науковий керівник:

доктор фіоико-математичних паук СИСАК ЯЛІ.

Офіційні опоненти:

доктор фтико-математичннх паук, професор ГУДИНО К ГГ. М.,

к аі і дидач фіо нко- м атом » т и чи их наук ВОДНДРЧУК К). В.

Провідна установа:

Дніпропетровський державний університет.

П

і/ { "І

Захист відбудеться 199.^. року о годиго на

оасідаїші спєціаліпованої вченої ради Д.01.01.01 по присуджешш вченого ступеня кандидата фіоп по математичних наук /ірн Київському університеті ім. 'Глряса Шевченка оа адресою: 252127, Київ, проспект академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

•З дисертацією можна оппайомміигл, в бібліо'іпці Київського університету ім. 'Ікраса Шевченка. ,

Автореферат ропіокшо

року.

Вченим секретар сііоцііиіЬовіїної ради

9

/Ли

С. >\. 0вг'іенки

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертація присвячена дослідженню модуляр-пнх групових алгебр 2-груп максимального класу. У роботі розглядаються питання, пов’яоані о одержанням у мультиплікатигніп групі U{KG) медулярної групової алгебрп 2-групн G максимального класу секції, яка ізоморфна вінцевому добутку С2 wr G1 групи порядку 2 о ко-мутантом цієї 2-групи максимального класу (тут і далі С„ - циклічна . група порядку я).

Питання одержання віяпешіх добутків рівних видів як підгруп або секцій групп U[KG) вирішувалось у роботах Д. Коулмена, Д. Пассма-ва, А. А. Бовді, А. Шалева, А. Манна, Ч. Багінського та інших авторів. Одержання вінцевого добутку саме ваду Сі шС дозволяє оцішт-тп онпоу клас пільпотентності cW(A'G) групп U(KG), оскільки клас йільпотентвості вказаного вінцевого добутку дорівнює індексу нільпо* тептності i(G') фундаментального ідеалу групової алгебри KG', А. Ша-яев у роботі (7) довів, що у випадку р ф 2 така секція Існує, якщо ко* мутант груші G шіхлічипн, або G — группа класу 2, комутант якої &ШС,%СГ

Впоитенпл класу нільнотентпості мультнплікатпвяої група групо-' вог алгебри у свою чергу пов’язане 6 обчисленням таких характеристик, як верхній та нижній лієвські індекси пільпотентності групових алгебр, оскільки для модулярнпх групових алгебр cl U(G) « ii{G) - І <

Iі(G)—1 < )G'|. Бхандарі та Пассі (1) довели, шо ці індекеп співпадають, коли р > 3. Верхній лквськнй індекс аільпотентяості досить докладно рооігпядався у роботах С. Дженніигса, І. В. С. Ппесі, Д. Паесмаиа, Д. О-гАла, А. Шалева., Ф. Левпяа та іаїшх авторів, і тому їх співпадіння с дуже корисним фактом.

На відміну під лісвського індексу нільпогентності групово» алгебрп, обчислення її ступеню розв'язності dlA'C г значно складнішим, та до

90-х років ее було відомо специфічних методів його визначення, за винятком результатів Левіва та Розенбергера Ял я лісвських метабелевпх, а також Шарми та Срівастави для ліевськнх центрально метабеяевих групових кілець [9], Шарма та Срівастааа розглядали дієвські центрально метабелеві групові кільця над полями непарної характеристики. Вони довели, що якщо групове кільце Кй над полей характеристики р > З лієвськп центрально метабелеве, то С абелева, а для р — 3 одержали умови, Якім повинна задовольняти неабелева група, групове кільце якої є лієвськп центрально метабелевим. Наступний крок у цьому Напрямку був зроблений Д. Шалевом, «кий одержав ряд обмежень дл* сіІЛЧЗ.

Більшість результатів, одержаних у напрямках, близьких до теми дисертації, у тому числі яаведепі вище, належить до випадків, холи характеристика ПОДО « не дорівнює 2. Тому досить актуальне дослідження становища ирн р=2 та встановлення можливості їх розповсюджена* на цей ввдадрк.

Мета роботи. Рсноаца мета дисертації полягає у дослідженні мр-дуляряих груяорях алгебр 2-груя максимального класу та їх мульти-плікатявних груд, та одержанні дл* вказаних об’єктів тверджень, аналогічних відомим т* р > «Ярема реостатам Пїажфа «рв.*|йю-дения віийєвогр добутку у мультгрплікативиу групу групової алгебри та про сціицадаии* сШ(С) з |С| тоді в тільки тоді, коди комутант С циклічний, Бхандарі та Пассі про співпадавші верхнього та нижнього лігвських індексів нільпотентропі групових алгебр про р > 3, Шарми та Срівас тави про лігвгьку центральну метабсзгвість групових алгебр, та інших.

Методі! дослідження. Результати роботи отримані шляхом застосування методів теорії груп та трудових кілець. Для доведення існування секції, яка ізом(>[>фна вінцевому добутку, розвинута спеціальна техніка, яка дозволяє знайти утворюючі елементи підгрупи групи СГ{КЄ\,

з

фактор-група якої ізоморфна вінцевому добутку.

Наукова новизна. В дж ї ртаційнін роботі автором отримані нові теоретичні результати, оокрема:

— досліджено структуру нормованої мультиплікативндї групи І.’((?)

модулярннх групових алгебр 2-груп максимального класу; вивчено ряд співвідношень між її елементами, а також введені автором відображення норми та спряження; ,

— встановлено, шо мультпплікатппна група V(Кй) медулярної гру- * пової алгебри довільної 2-групп максимального класу містить як секцію вінцевий добуток групи Порядку 2 о комутантом цієї 2-груии максимального' класу, що дає можливість обчислити клас нільпотентності групи

ЩКО;

— встановлено, шо для довільної 2-групи максимального класу співпадають верхній та нижній лієиські індекси нільпотентності групових алгебр, та обчислені їх значення;

— обчислено лісвськин ступінь розв’язності вказаних групових алгебр, та встановлена іх лієвська центральна метабслевість, якщо порядок 2-групи максимального класу дорівнює 16 або більше;

— одержано верхню оцінку ступеня розв’язності мультиплікативної *

групи вказаних групових алгебр. ■

Теоретична і практична цінність.,Робота мас теоретичний характер. Її результати можуть бути використані у подальших дослідженнях о теорії групових кілець.

Апробації роботи. Результати дисертації доповідались на третій міжна|юдній конференції о алгебри пам’яті М. І. Каргаполова (Красноярськ, Ю93), міжнародніи'науковіп конференції, присп'яченій 100-річчю а дня нарожд' їшя Н. Г. Чеботарьопа (Казань. 1994), Всеукраїнській конференції молодих вчених (Київський державний уніве|и птет, 1991). науковій конференції викладачів та епівробітіткіп ^Запорізького ;і''р-

жавного університету (1994),.міжнародній конференції "Групп та групові кільця” (Польша, Гпівіце, 1994), а також на наукових семінарах Інституту математики Національної Академії Наук України та Київського державного університету.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 4 роботах, список яких приведений в кінці автореферату.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 82 сторінках набраного у редакторі тексту, та складається

о вступу, трьох розділів, що містять 8 параграфів, додатку та списку літератури, що містить 84 найменування.

Основний оміст дисертаціТ

У вступі дається стислий огляд досліджень, близьких до темп дисертації, обгрунтовується актуальність дисертаційної темп, а також викладаються основні результати, що виносяться на пахпет.

В першому розділі досліджуються властивості медулярних групових алгебр 2-груи максимального класу та їх мультиплікативних груп, загальні для усіх трьох видів 2-груп максимального класу, тобто діедраль-ної, кваоідіедральної груп та групи узагальнених кватерніонів. Ці групи позначаються відповідно £)„, 5„ та С}п, де 2" — порядок групи, та оада-ютьгя наступними співвідношеннями:

(а, 61 а3" 15= 1, і»2 = 1, = н~'),

5„ е (а, 61 а3 ' = 1,6* 1,Ь~1аЬ = п~1',г ’),

Яв “ (а,6|пг '1 ** 1,62 = в£' \Ь~1аЬ = а-1).

де п > 3 (прп такому випиаченні £>з п 5з співпадакіть).

Нехай А'£? — групова алгебра групи <7 над полем.А' характеристики р, та Д(<?),= Д — її фундаментальний ідеал. Мультипликативна група групової алгебри, яка позначається І'{І\С). дорівнює КС \ Д(С).

Нормована мультпплікатнвна група U(G) складається о элементов впду 1 + х, де х Є Д. Структура'групп U(G) = 1 + A(G) визначає структуру усієї груші U(KG), яка є прямим добутком А'* х U(G), де А'* — мультпплікатпвна група поля А'. ’ ..

Доведення вкладення вінцевого добутку у групу 17(G) може бутп ове-депо до випадку, коли поле К складається о двох елементів, оскільки якщо вінцевий добуток вкладено у групу U(KG)% де К — просте підполе поля К характеристикп 2, то його вкладено також і у групу U(KG). При ‘ цьому припущенні із властивостей фундаментального ідеалу випливає, що довжина элемента групи V(G) = 1 -f Д повинна бути непарним числом. Далі, кожний элемент групової алгебри KG може бути єдиним чином записаний у вигляді х = хгЬ, де сума х^ — а’1 + а** +,.. + а^‘ напивається к-ю компонентою элемента х. ■

Позначимо через а элемент Ь~'аЬ групи G, а для х = а1* + ,.. + а’™ через х позначимо Ь~1хЬ = а’1 + ... + а'т. Далі, для х = х\ + хф через і позначимо элемент 6-1хЬ = 2| + xjb. Тоді відображення їм ї - автоморфізм групової алгебрп KG, який напивается спряженням, а элемент і називається спряженим з х. Элемент х називається само спряженим. якщо х = х. Безпосередньо із визначення випливає, що елемент гру- .• пової алгебри комутує з елементом Ь € G тоді й тільки тоді, коли він є самоспряжошш. Окрім того, виявляється, що самоспряжсні елементи комутують між собою.

Введення понять компонент та спряження дозволяє одержати правило множення злементів KG : (/і + /їЬ)(А| + hjb) =* (fihі + }Фіа) + (Лйі + №г)Ь, де п - 1 для Д, та S„, a xtt? для Q„.

У третьому параграфі‘за допомогою того правила доводяться теорема 1.5, яка містить правпло зяахождення обернених елементів у групі U(G).

Теорема 1.5 Нехай / = /і + /гЬ Є 1/(С). Тоді / 1 = (/і + /гИЯ-1, Ле Л = /і/і + /2/20, а = 1 для В„ та 5П, а = Ь*' для (}п.

Наслідок 1.1 о цієї теореми має важливе значення для побудови ізоморфної вінцевому добутку секції у групі 1/(АЧ?). Він використовується для пошуку елементів групп II(Є), прп спряженні за допомогою яких са-моспряженнй элемент переходить у самоспряженип.

Наслідок 1.1 Нехай /, А Є {/(<?),/ = /і + /гЬ,Л = Лі + Нф, и А = її

— самоспряжений елемент. Нехай Д = /»/і + /2/2» > де а = 1 для Д, и 5П, а — Ь2 для ()„. Тоді елемент /_| А/ — її +.*аЬ обчислюється за формулами<і = Лі + Л2(/ і/2 + /і/а)аЛ_1,<2 = Лї(/? +

Під час доведення теореми 1.5 та наслідку 1.1 виникає гомоморфізм уэ ; {/'(б) —* У({о)) : її + хф >-+ ції 4-12*20 , де а 1 для Д, та 5„, а = Ь2 для ф„, який називається нормою. Його образ лежить у перетину центра групової алгебри А'(? з груповою алгеброю К (а), а ядро містить комутант групи II(Є).

У другому розділі розглядаються модулярні групові алгебра діед-ральної та квазідіедральної груп. У Першому параграфі оа допомогою наслідку 1.1 о теореми 1.5 ведеться пошук обмежень, що мають бути накладеними на елемент у групи 17(6) для того, щоб елемент у~хху, де х Є І!(Є) — самоспряжений елемент, також був самоспряженнм. Наприклад, це так, коли сума компонент У\ + у? с самоспряженпм елементом групової алгебри К («). Якщо при цьому вимагати, щоб (уі+У2)2 = 1, то виявляється, що такий елемент буде самоспряженим, якщо його норма дорівнює одиниці. Ще ефективнішим опиняється розглядання множпни Н(Є) = {А, + /і2Ь € У{С) |Лі,+ Кг — 1}, яка утворює підгрупу. Обмеження норми на підгрупу Н{Є), яке позначається V. та для зручності також називається нормою, має ряд цінних властивостей: норма элемента /і + /2Ь групп Н{О дорівнює 1 + /і + /і- ядро обмеження норми

на підгрупу ЩС?) співпадає і множиною самоспряжених елементів групи #(<?), для яких правило множення приймає вод

(/і + /їЬ)(/іі 4-ЛгЬ) = (1 + /і + Лі) + (/і + /н)Ь- (1)

У другому параграфі завершується побудова в Я(<3) секції, ізоморфної вінцевому добутку СішС, та доводиться теорема 2.2.

Теорема 2.2 Нехай Є — діедральна або квазідіедральиа 2-група, К Є

— і? групова алгебра над полем К характеристики 2. Тоді у групу 11(0) вкладено вінцевий добуток СгшС групи порядку 2 з комутан-том групи Є.

Для доведення теореми 2.2 необхідно ряд допоміжних тверждень. У підгрупі Н(Є) розглянемо елемент А наступного виду: А = о + (1 +а)Ь. Його норма дорівнює 1 + а + а, звідки ф{А2П'г) = 1, і тому А2"'1 — самоспряженпй элемент порядку 2. З іншого боку, Ак при к < 2"~2 не дорівнює одиниці та не комутує з Ь, оскільки його норма нетривіальна. Далі у параграфі доведено, що порядок елемента А дорівнює саме 2П_І.

Таким чином, елементи Ь,Ьл,Ьл\- • *' попарно відмінні, са-

моспряжені, та належать до #(<?), і тому 5 = (Ь,ЬЛ,ЬЛ', • • • *') „

— елементарна абелева група.

Далі доводиться, що елементи виду (И* можна вправити через норму элемента А наступним чином: Ьл> — \ + Я* + де к = 1,2,..., 2П_5, та Й — ір(А). Цей факт та вказане вище правило множення (1) елементів з Кетф дозволяють довести, що група 5 розкладається у прямий добуток (Ь) х (іИ) х (Ь*') х • • • х (Ьл'п

Так(?м чином, група V(С) містить напівпрямин добуток .Г групи 5 на циклічну груп./ (А), яку породжує елемент А = п+(1+а )6, порядок якого дорівнює 2П“І, п крім того, Аг 3 комутує з Ь. Тоді вінцевий добуток Сз^тС ізоморфний факторгрупі /"/(А2"’), та теорема доведена.

Головним предметом третього розділу є група узагальнених ква-терніонів; останній параграф присв’ячено наслідкам з теорем 2.2, 3.3 про вкладення вінцевого добутку, та деяким іншим характеристикам модулярних групових алгебр 2-груп максимального класу.

У теоремі 3.1 обчислюється нижній лієвський індекс нільпотентності *ь(С), звідки оа співвідношенням сі [/(Є) = ^с(С) — 1 одержуємо клас нільпотентності групи и (Є).

Теорема 3.1 Нехай (7 — група узагальнених коатерніонів, /\Ч? - и групова алгебра над полем характеристики 2. Тоді с1С/(С) = \С\,

Знання с\и(0 дозволяє довести теорему 3.2 про достатні умови для комутування о 6 елемента Аг \ де А Є С/(<5) — елемент порядку 2"-1.

.Теорема 3.2 Нехай <7 — група узагальнених коатерніонів, А — елемент групи !/(<?) порядку 2"-1, де ЬА ЬАІ = ЬАІ ЬА‘ для довільних і, ^ та Ьл> = А-‘ЬА{, Ь € <7. Тоді Аг~’ комутирує з Ь.

Необхідність цієї теоремп обумовлена тим, що у випадку групи узагальнених кватерніадів утруднено одержаная підмножнни, аналогічної підгрупі Н(Є), на який існувала би подібна до описаної у другому розділі характеризапія елементів за значенням їх норми. В доведенні теореми 3.2 використані дві леми, остання з яких також потрібна для доведення теореми 3.3 про вкладення вінцевого добутку. Вони затверджують, що в умовах теореми 3.2 {Ь,А, • ■ ■, А)2 = 1 і (Ь,А, , .4, Л2"1) = (6,Л, ,А)

* * к+2т

для будь-яких Іг, т. '

Обчисливши нпжнііі лієвський індекс нільпотентності, можна зробити висновок, що у випадку групи узагальнених кватерніонів експоненти груп Є та и(КС) співпадають. Це випливає з теореми про співпадіння експонент груп Є та ІЦКС). якщо (А(С?) < ї + (р — І)//-1, дер' = ехрб, яка належить А. Шалеву. 1 ‘

У другому параграфі третього розділу побудовапа підгрупа групи ЩКЄ), фактор-група якої ізоморфна вінцевому добутку СічітС. Під пас розгляду діедральної та кваоідіедральної груп, як один о утворюючих елементів такої підгрупи, був взятий елемент А — а 4- (1 + а)Ь, де а2"’1 = 1. Якщо Є — група узагальнених кватерніонів, то спряження за допомогою елемента а+(1+«)Ь в загальному випадку вже не переводить самоспряжений елемент групи (/((?) в самоспряжений (але виявляється, що для групи порядку не вище 16 він не тільки має цю властивість, а ще й може бути взятий як утворюючий елемент групи II (Є)).

У випадку довільної 2-груші узагальнених кватерніонів таку властивість має елемент А = а2"'3+| 4- (1 + а)Ь, де ат ' = 1. Дійсно, якщо Н — самоспряжений, то за наслідком 1.1 друга компонента елемента А-,ЛА дорівнює /і2(а2"',4-о2"’,+24-а2"',-2)і^(Л)_1 та також самоспряжена. Далі, <р(А) = 14- а2"’,+1 4- в2"’’-1, звідки огсі А > 2"~2. З іншого боку, як доведено у минулому параграфі, експоненти груп (? та 1}(КС) співпадають,

і тому опі А < 2”_|. Аналогічно випадку діедральної та квазідіедральної груп, доводиться, що порядок елемента А дорівнює саме 2"-1.

Далі робиться висновок, що А1 при к < 2"~2 не комутують о Ь, оскільки (И* = /3 53 (Ь2Л)‘4-(Ь2Я)іЬ, де/3 = в2""1+14-а~2" ’424-а~2" *-2

Іа — 1

та Л = «ДА).

Параграф завершує основна теорема третього розділу:

Теорема 3.3 Нехай <7 — 2-група узагальнених кватерніонів, КЄ • іГ групова алгебра над полем характеристики 2. Тоді в групу І!(Є) вкладено вінцевий добуток С'ітктС групи порідку 2 з комутантом групи в.

Доведення засновано на розгляді у групі І/(Є) підгрупи

РЇ = {Ь,ЬЛ.ЬЛ\---УҐ"'")(Л), ■

дс Ь Є С,А = а2"'41 4- (І 4- а)Ь. Нехай тепер F5 = Г|/(/*2)(А2" ’). Тоді

сіі'г < сі [/(С), а о їх співпадіння буде виплітати, що ^ = С^чітС.

Дійсно, нехай М — СїwrG' та сіГ» = 2"~а = СІМ. Припустимо, що Г2 ^ М. Тоді існус підгрупа Я <і Л/ така, що Так як

|£(Л/)| = 2, то 2(ЛІ) С N. Тоді сі/^ < сі А/, та одержано протиріччя.

Для обмеження оннау сі F2 показано, що комутатор (Ь,А... Д) у групі

и (Є) не належить до підгрупи {№)(А*"~*).

У третьому параграфі доводиться ряд наслідків о теорем про вкладення вінцевого добутку, а також розглядаються лієвськші ступінь ро-ов’яоності групової алгебри КС та ступінь розв'язності груші II(КС).

Вкладення у групу І!(КС) вінцевого добутку групи порядку 2 з ко-мутантом групи Є дас можливість визначити її клас нільиотевггності, оскільки клас нільпотгнтності такого вінцевого добутку дорівнює |С»'| = <(Я) [3), а, о іншого боку, сі V(Є) < [Є '| [8] (у цей же час, після зробленого Ду [4] підтвердження гіпотези Джсннінгса, виказаної у (5), для цього також може бути використане співвідношення сШ(в) == іі(Є) — 1).

Наслідок 3.2 Нехай С — 2-група максимального класу, АС - « групова алгебра над полем характеристику 2. Тоді сШ(С) = |С'|.

Визначимо у асоціативній алгебрі П ідеали Л^ та Я*"* наступним чином: ЛІ"! — ідеал, утворений усіма (лівовормованими) лієвськпми комутаторами |лг|,*г, •••,*„], аг і е Я, тоді як Л*"* гадається індуктивно: Л*’* = Л, Я*"41* — асоціативний ідеал, утворений множиною лігвських комутаторів [Л<П>,Я). Зрооуміло, що для всякого я Я*”* О Л^. Окрім того, для модулярних групових алгебр скінченних р-груп я 0.

Верхній та ножній лквсьіі індекси нільпотмітності визначаються наступним чинон (нескінченні значення також дозволяються):

</(Я) = тш{п: ДМ = 0}, ^(Л) = тт{п : Я*"’ *= 0}.

Ми Користуємось позначеннями 1і(С) та Iі(С) замість 1і(КС) та 1І(КЄ) відповідно.

Наслідок 3.3 розповсюджу? на 2-групн максимального класу результат Бхандарі та Пассі про співпадіння верхнього та нижнього лісвськнх індексів пільпотентності, коли р > 3 {1].

Наслідок 3.3 Нехай Є — 2-група максимального класу, - и групова алгебра над полем характеристики 2. Тоді їі(С) = <*"(<?).

Цей наслідок випливає з рівності с1С/((л) = (Сж'| та послідовності нерівностей сіС/(Сг) = <і.(С) — 1 < ^(Є) — 1 < \С\. '

Далі, співпадіння експонент груп <7 та и(КС), яке було доведено для групи узагальнених кватериіонів, може бути аналогічним чином розповсюджено на довільні 2-групп максимального класу.

Наслідок 3.4 Нехай С — 2-группа максимального класу, КС - гї групова алгебра над полем характеристики 2. Тоді ехр<? = ехрС/(А'<7).

Т^єба додати, що це також випливає з теореми, доведеної у роботі Бо-вді та Лакатоша {2), згідно з якою для скінченної р-груни э циклічним, комутантом експоненти груп Є та £/(<?) співпадають, якщо не співпадають експоненти групи Є та її комутанта.

Для більшої повноти картини варто згадати ще одну характеристику

- індекс пільпотентності фундаментального ідеалу <(С), який може бути обчислений безпосередньо. За формулою, що доведена Кошнтані для /((?) у випадку нецпклічної групи <7 порядку р”, яка містить циклічну підгрупу індексу р, маємо, що ї(<7) =* р"~1 +р - 1 = 2П_1 + 1.

Решта розділу присвячена ліевському ступеню розв’язності групової алгебри КЄ та ступеню розв’язності групи Е/(АЧ7). У асоціативному кільці Я визначимо ідеали «5(0>(/ї) = Я,6<П)(Л) =

Кільце Я наливается лієвськи розв’язним ступеня п, якщо 6^п\Я) = 0, та 6<п~'ЦЯ) ф 0. Ступінь ліевської {юзв’язності асоціативного кільця Я мп будемо позначати <І1 П. Аналогічно для групп О будемо позначати

ряд хомутактів 6,0)(G) — G,^(G) = та ступінь

розв'язності dlG.

У випадку групи порядку 8 KG та U(KG) с відповідно лієвськи ме-табелсвою та мстабе левою. Теорема 3.4 свідчить, що, як і у випадку р — 3, некомутативність групо G також можлива лри розповсюдженні на випадок р = 2 результатів Шарни та Срівастави [9] про те, що групова алгебра при р > 3 с лісвськп центрально метабелевою тільки тоді, коли група G абелева, у той час ях при р = 3 це можливо також і для векомутативних груп оа деяких додаткових умов.

'ІЬорема 3.4 Нехай G — 2-група максимального класу порядку 2", де п > З, К — поле характеристики 2. Тоді групова алгебра KG лієвськи центрально метабелева.

У доведенні теореми використана наступна формула для обчислення ліонських комутаторів: -

[хі + хгЬ, у\ -f уф] = (z7if2 + Їгу-2)Ь7 + ((*і + *і)№ + *г(рі + Уі))Ь.

На відміну від лісвсьхого ступеня розв’язності, для dl U(KG) одержано тільки обмеження. Беопосереднс обчислення комутаторів по аналогії а останньою теоремою у цьому випадку утруднено. Ткк, користуючись їеорешюі.5, одержуємо, що комутатор (xt+rjh, yi+yjb) Є G' дорівнює

( хіітИі + £\*7У№ + *г!/2 +

{хіхяу№ + xfafo +^riVtfo + хіїіуіУі + +

(хі2і$№ + ft -f *i{?fh + + .

'{3i*iVth+ *iSiih + + *i*a-Z'a*/tJ/2)b2) ї») ^(.іТ'уКуГ1-

Окрім toto, V(G)' С Kenp, і тому V(G)" С (Kriy)'. Зп допомогою ііцуяшї ступінь розв'язності груші V{1\G) можнп обмежити числом п —І. де 2* — порядок групи G.

Тэорема 3.5 Нехай Є 2-група максимального класу порядку 2", К Є

- її групова алгебра над полем характеристики. 2. Тоді <11II(КЄ) < я — 1. .

Доведення засновано иа розгляді ізоморфізму факторгрупп С/(о2* ’) та групи діедра 0*_|.

Одержані характеристики групових алгебр 2-груп максимального класу та їх обмеження можуть бутп зведені у таблицю.

Таблиця — характеристики групових алгебр 2-груп максимального класу. (2" — порядок групи Є).

сі и (в) <і(С) і'-(С) ехр С'(АЦ) КО) сії КЄ аі и(Щ

2п-2 2"'2 + 1 2п~3 +1 2п-| 2"-' +1 2, п = 3 3, п > 3 не более п — 1

У додатку наведені результати обчислень ряду слемеатіп підгруп, фактор-група яких ізоморфна вінцевому добутку СітС, для груп діедра та узагальнених кватерніонів порядків 16 та 32. Т\>еба зауважити, що згідно о представленнями групи 1/(<7) для 2-груп порядку не вище 16, одержаними Сендлінгом [б]. Л = о + (1 + а)б€ одним з утворюючих елементів групії 1Т(Є), якщо <7 — 2-група максимального класу порядку 8 *ш 16. Таж, коли |(7'| == 8, група ЬГ(С) утворюється елементами а,Ь Є Є та Л, а яжшо |С'| =16, — ше й елементом 1 + (<і4 - 1 )«Г

На з включення аотор вважає приємним обов'язком висловити щиру вдячність науковому керівникові Ярослапу Піюкоповлчу Сисаку за повсякчасну підтримку, інтерес та увагу до робити.

Список цитованої літератури

[1] Bhandari А. К., Passi І. В. S. Lie-nilpotency indices of group algebras. // Bull.Loudon Math.Soc. - 1992. - 24. - P.68-70.

[2] Bovdi A., Lakatos P. On the exponent of the group of normalized units of a modular group algebras. // Publ.Math.Debrecen. - 1993. - 42, N.3-4. - P.409-415.

[3] Buckley J. T. Polynomial functions and wreath products. // 111. J. Math. - 1970. - 14. - P.274-282.

[4J Du X. The centers of radical ring. // Can ad. Math. Bull. - 1992. - 35.

- P.174-179.

(5] Jennings S. A. Radical rings with nilpotent associated groups. // TVans. Roy. Soc. Canada. - 1955. - 49, Ser.lll. - P.31-38.

{6} Sandling R. Presentations for unit group of modular group algebras of groups of order 16. // Math.Comp. - October 1992. - 59, N.200. -P.689-701.

[7) Shalev A. The nilpotency class of the unit group of a modular group algebra I. // Isr. J. Math. - 1990. - 70. - P.257-266.

[8] Sharma R.Kt Bist V. A note on Lie nilpote»». group rings. // Bull. Austral. Math. Soc. - 1992. - 45. - P.503-50G.

|9] Sharma R. K., Srivastava J. B. Lie centrally inptnbrliii.il group rings. // J.AIgebra. - 1992. - 151. - P.476-486.

Основні положення дисертації опубліковані у таких роботах:

1. Коновалов Л. Б. О классе нильпотентности мультипликативной Группы модулярной групповой алгебры группы дпэдра порядка 2". // Третья международная конференция по алгебре памяти М. И. Каргаполова. Красноярск, 23-28 авг. 1993 г.: Tea. докл. -"Инопроф”, Красноярск, 1993. - С.160.

2. Коновалов А.В. О вложении сплетеная в мультипликативную группу модулярной групповой алгебры дпядральиой и к влопдиэдраль-ной групп порядка 2". // Алгебра и анализ. Tea. докл. Междупар. науч. конф., посвященной ІООьлетию со дня рождения Н. Г. Чебо-тарспа, 5-Й июня 1994 г., Капань. - Иод-во Калан, ун-та, Капань.

- 1994. - 4.1. Теория чисел, группы, алгебры Ли, кольпа и модула, теория рекурсии. - С.53-54.

3. Konovalov A-В. Wreath products in tfce unit group of modular group algebras of 2-groups of rnaximaj class. Ц Groups and group rings. Abstracts. Gliwico, Poland, 20-23 September, 1994.

4. Коновалов А. Б. О классе нильпотентности мультипликативной группы модулярной групповой алгебры 2-группы дпэдра. // Укр. мат. жури. - 1995. - 47, N.I. - С.39-45.

Коновалов А.В. "Сплетения в мультипликативных группах модулярных групповых алгебр 2-групп максимального класса,”. Диссертация на соискание ученой степени кандидата фиапко-математнческих наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Рукопись. Институт математики НАН Украины, Киев, 1995.

Работа посвящена научению модулярных групповых алгебр 2-групп максимального класса я установлению возможности распространения на эти групповые алгебры ряда утверждений, имеющих место прп нечетном р. . -

В диссертации установлено существование в мультипликативной группе модулярной групповой алгебры 2-группы максимального класса секции, изоморфной сплетеною группы порядка 2 с коммутантом этой 2-группы. ,

Следствия, полученные по этого реоультата, позволяют вычислить такие характеристики этих групповых алгебр, как клас г нильпотентности, экспоненту в длину разрешимости мультипликативной группы, в также верхний а шгжнттн лпевегне ппденгы нильпотентности групповой алгебры в длину ее лневской разрешимости.

Konovalov A.B. ” Wreath products in the unit group of modular group algebras of 2-groups of maximal class”. Candidate of Science in Physics and Mathematics Degree thesis. Speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Manuscript. Institute of Mathematics of the Ukrainian National Academy of Sciences, Kyiv, 1995. .

The thesis is devoted to studying of modular group algebras of 2-groups of maximal class and obtaining analogues of some valid for p ф 2 statements for this group algebras.

It is proved that the unit group of modular group algebra of 2-group of maximal class possess a section izomorphic to the wreath product of group of order two with the commutator subgroup of this 2-group.

This allows to obtain the nilpotency class, exponent and solvability length of the unit group, as well as the upper and lower lie nilpotency indices of the group algebra and it’s lie solvability length.

Ключові слопа: групова алгебра, мультпплікатшша група, вінцевий добуток, спряжеппя, самоспряженість, норма, компоиепта, клас пільпо-тентності, Depxnill (цижпш) лієвськин індекс нільпотентпості.