Унитарная подгруппа мультиплитикативной группы группового кольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Т.Г. ШЕВЧЕНКО

- На правах рукописи

САКАЧ Аттила Андреевич

УНИТАРНАЯ ПОДГРУППА МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ГРУППЫ ГРУППОВОГО КОЛЬЦА

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев —1992

КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Т.Г. ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи

САКАЧ Аттила Андреевич

УНИТАРНАЯ ПОДГРУППА МУЛЬТИПЛИКАТНВНОИ ГРУППЫ ГРУППОВОГО КОЛЬЦА

01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат • диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1992

Д4РС Г1Н»И{1»

5.-:Ж',"/ I -}

¡■ ■■I. I -тдел ! •сртаций I;.

Работа выполнена на кафедре алгебры Ужгородского государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических наук.

профе ссор БОВДИ A.A.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических наук,

профессор АРТАМОНОВ Б.А.

- кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник СЫСАК Я.П.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Институт математики АН БССР

Защита диссертации состоится "£/о " 1992 г.

,, 0* . /

в /у час. на заседании специализированного совета К 06с.!&.'.*

по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Киевском государственном университете имени Т.Г.Шевченко по адресу: 252127, г. КиеЕ, пр.. Ак. В.М.Глушкова, 6, КГУ, корпус механико-математического факультета, ауд. 9 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан " 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Групповые кольца, возникшие в начала нашего Еека в связи с изучением теории представлений конечных групп, на протяжении последних. десятилетий стали интенсивно развивающиеся самостоятельным разделом современной алгебры. Развитие теории групповых колец стимулируется потребностями не только самой алгебры, ко и других областей математики: алгебраической топологии, теории кодирования, передачи информация и-др.

Одним из центральных направлений з теории групповых колец является исследование мультипликативной группы UÍKG) группового кольца KG. Проблематика этой теории в основном выросла из работ Г.Хигмэна и С.Д.Берманэ. Интенсивное и систематическое развитие теории мультипликативных груш групповых колец началось в 60-е годы и продолжается до настоящего времени. Состояние предмета достаточно полно изложено в монографиях А.А.Бовда "Мультипликативная группа целочисленного группового кольца"1 и С.К.Се-гала "Избранные вопросы групповых колец"2.

В связи с задачами алгебраической топологии и унитарной K-теории С.П.Новиковым была поставлена проблема изучения /-унитарной подгруппы мультипликативной группы группового кольца.

Диссертация посвящена изучению строегшя унитарной подгруппы мультипликативной группы коммутативного группового кольца.

1. Бовди A.A. Мультипликативная группа целочисленного группового кольца // Ужгород, ун-т. - Ужгород, 1987. - Деп. в УкрНИИНТИ 24.G9.87, J6 2712-УК-87.

-• Sehgal S.K. Topics In group rings. - New York and Basel: M.DekXer, 1978. - 250 p.

л ■ '

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Описание строения и нахождение базиса укитар ной подгруппы мультипликативной группы группового кольца'кокеч ной абелевой группы, а также исследование унитарной подгрупп мультипликативной группы группового кольца произвольной абеле вой группы над коммутативным кольцом характеристики р.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Бее результаты дие сертации, выносимые на защиту, являются новыми. Работа носи теоретический характер, ее результаты могут Сыть применены пр исследовании строения мультипликативной группы группоьсго кол! на, ее унитарной подгруппы, а также быть использованы пр чтении специальных курссЕ по алгебре.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Б диссертации используются ме тоды, относящиеся к теории групп, теории полей и теории труп повых колец. ■'

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на 'XVII (Кишинев, 1985) и XIX (Львов, 1987) Всесоюзных алгебраически конференциях, на 2-й Международной конференции по алгебр (Барнаул, 1991), на алгебраическом семинаре Института матема тики Венгерской АН (1990), на научно-исследовательском семинар лаборатории алгебры Института математики Белорусской АН (1991) на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и матема тической логики Киевского госуниверситета (1991), на конферек циях молодых, ученых и специалистов Ужгородского государствен ного университета, а также на семинарах кафедры алгебры Укго родского госуниверситета.

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в работах И]-[6]. список которых приведен в конце автореферата.

*

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация изложена на 87 стра-щах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, >збитых на параграфы, и списка литературы.. Библиография вклю-ieт 30 наименований работ отечественных и зарубежных авторов."

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены краткий обзор исследований по тематике ссертации, постановка задач и краткое описание содержания para.

Пусть U(KG) - мультипликативная группа группового кольца KG.

ждому элементу х = ) a g кольца KG сопоставим элемент eta 3

= 5 a g"1. Тогда отображение х—+х* является антаавтамор-e€ a

змсм 2-го порядка кольца KG и называется инволюцией. Элемент из нормированной мультипликативной группы

V (KG ) = С a я с U (KG) I т~ а = 1 >

«ÎQ S SÎOS

зывается унитарным, если обратный элемент и"1 совпадает с ¿ментом и*. Множество всех унитарных элементов группы V(KG) разует подгруппу, которая называется унитарной подгруппой /ппы V(KG) и обозначается через Vt(KG). Пусть G - абелвва группа, Gp - подгруппа р-х степеней ее гментов, GCpl = С gçG|gp=l } - нижний слой группы G я х -

жзвольное порядковое число. Подгруппа Gp группы G опрело

мется трансфпнитной индукцией следупцим образом: Gp =G, С+1 х

= (GP )р ив случае предельного порядкового числа т -

с v . т Т+1

=■ ПС". Мощность базиса факторгруппы Gp [p]/Gp Ср],

как векторного пространства над полем СР(р) из р элементов, называется т-м инвариантом Ульма-Капланского /Т(С) группы С относительно простого числа р.

Из теории абелевых групп хорошо известно, что инварианты Ульма-Капланского составляют полную систему инвариантов счетных редуцированных р-групп, то есть две такие' группы изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие инварианты Ульма-Капланского этих групп совпадают. Поэтому основное внимание е диссертации уделено вычислению инвариантов Ульмэ-Капльнского силовской р-подгруплы Кр(КС) унитарной подгруппы У^(КС) в случае, когда КС - групповое кольцо аоелевой группы С над кольцом К характеристики р.

В первой главе диссертации описывается строение группы ТМКС) е случае конечной абелевой группы Б.

Задача описания строения и нахождения базиса унитарной подгруппы мультипликативной группы групповой алгебры конечной абелевой р-группы над конечным полем характеристики р была предложена С.П.Новиковым.

Пусть С - силовская р-подгруппа конечной абелевой группы С=С>Р и К - коммутативное кольцо с единицей характеристики р и без нилытотентных элементов. Доказывается, что группа ^(КС) представляется в виде прямого произведения V (КС) = V (КР) - И (КО,

т т Р

где 1? (КО - силовская р-подгруппа группы (КС). Число /0(С)+ +/,(С)+/2(С)+••• называется р-рангом группы С.

Теорема 1. Пусть р - нечетное простое число, С - силовская р-подгруппа конечной абелевой группы С=ѻРи К.- поле из рт элементов. Тогда силовская р-подгруппа Ир(КС) группы У^(Кв)

т

редставима в виде прямого произведения циклических р-групп, ричем:

1) р-ранг группы Т7р(КО) равен ||Р| (|С|-|СР|);

2) /^ИрШЗП - ||Р| (|Ср1|-2|Ср1+1| + |Ср1+2|) (1=0.1,2.•••);

1|р1(1с1-1)

3) группа Я (КО имеет порядок ¡Кг

Теорема 2. Пусть С - силовская 2-подгруппа конечной абвле-зй группы С=ѫРи К - поле из 2т элементов. Тогда силовская -подгруппа Я,(Ей; группы (Кв) представима в виде прямого юизведения циклических 2-групп,- причем:

1) 2-ранг группы Wг ГКО) равен

| (¡Р| (|С| -1С21 )■»-|СГ2] | + |С2[2] ¡-2);

2) И^КО-С-Б и /0(П)=10-гг1+г2-/0(С)-/1(С)+ш(¡с[211-1). /1(Б)=г1- (1-1,2,...). .

е | (|?К|Сг3Н)-|Сг1[2]|+П (5=0,1,2,. • О;

3) порядок группы И?(КС) равен

;(!?! (1с1-1 )4-(с[г]|-1 )

2

1

|Сг[2]!¡К|2

Строение группы VI (Кй)' в случае бесконечного кольца К зледовано в третьей главе.

Из этих двух теорем и сделанного выше замечания следует, что ! описания группы У^ДО) групповой алгебры конечной абелевой или остается исследовать унитарную подгруппу нормированной ьтишшкативной групш полупростой групповой алгебры. Пусть G - конечная абелева группа показателя ш, - чяслс

элементов порядка с! группы С, К(е4) - расширение поля К, полученное присоединением первообразного корня еа й-ой степей из единицы и па - степень этого расширения над полем К. Еел] Л,, • • • ,с1г=т - все неединичные делители числа т, то прямое прои: ведение групп Н.'«•••»£[. будем обозначать символом | | Н .

1 г dl.Ti.dlM

Теорема 3. Пусть КС - полупростая групповая алгебра конечной абелевой группы С. Тогда

<1| т. й> 1 а

и группа Нй имеет следующее строение:

1) Н£ - элементарная .абелева группа порядка 2 ;

2) если <1>2 и отображение в& —» £й~1 не является автоморфизмом поля к(ей) над К, то на представляется е Еиде прямого произведения экземпляров групп, изоморфных мульда

типликативной груше и(К(ей)) поля К(ей):

3) если же й>2. .и ей —<> ей-1 - автоморфизм поля К(ва) над К, то Нд является прямым произведением экземпляров

с1

групп, изоморфных факторгруппе и(К(ей)) / ТККле^е^1 )

В частности, для конечного поля К получается

■Теорема 4. Пусть Кй - полупростая групповая алгебра конечной абелевой группы С показателя ш над полем К из q элементов. Тогда

у.(КС) = ПН

<11 т. <1> 1

и группа имеет следущее строение:

г

1) Н - элементарная абелева группа порядка 2 ;

1

рП ,

2) если d>2, п. - четное число и q (mod d), то Ha -

q ^ d

t

прямое произведение экземпляров циклических групп по-

а

1

• jn.

рядка i+qc

3) если d>2 и п. - нечетное число или для четного п.

Q d

1

2nd

q ii-l (mod d), то Hd является прямым произведением

t, n,

—- экземпляров циклических груш порядка q -1. d

Отметим, что в случае |K|=q степень расширения nd совпадает с мультипликативным порядком числа q по модулю d.

Вторая глвва посвящена описанию минимальной системы образующих элементов силовской р-подгруппы w (KG) группы v^(KG) в случае, когда G - конечная абелева груша и К - конечное поле.

Пусть С=<а1 >«•••»<а > - разложение- силовской р-подгруппы С конечной абелевой группы G=C»F в прямое произведение циклических груш и q - порядок элемента а,. Тогда множество {а1,-"<,&п) называется базисом группы G. Обозначим через L(C) -, множество всех таких n-мерных целочисленных векторов а=(а1,■••,а •••,0), компоненты которых а4 принимают значения 0,1,• •«,4,-1 и среди чисел .а, •"••л хотя бц ^ не делится на р. Р.Сэндлинг доказал, что элементы множества

а1 а

{ ха = 1 + (а,-1) • < • (an-1) n | otL(C) )

образуют базис нормированной мультипликативной группы V(KC) групповой алгебры конечной абелевой группы С над полем К из р элементов. Распространим этот результат на силовскую р-под-грушгу Vp(KG) группы V(KG) следующим образом. Известно, что

ю

каждое конечное пола ' К из рт элементов обладает базисом вида

е, ер,«", ерт_1 (есК) над своим простым подполем 0Г(р) из р элементов.

Теорема 5. Пусть С - силовская р-подгруппа конечной абелевой

группы С=ѫРи К поле из рт элементов. Элементы множества

1 а, а

В(С)=Сх(1,8,аЫ+бр 8(а,-1 У 1 ..-(ап-1 ) п |0«Ц«2п-1, аеЬ(О)

образуют базис силовской р-подгруппы Ур(КС) группы У(КС).

При помощи этой теоремы укажем базис- силовской р-подгруппы Чр(К0) унитарной подгруппы У^(КС).

Теорема б. Пусть р - нечетное простое число, С - силовскзя р-подгруппа конечной абелевой группы С=С»?. ,

Е - подмножество множества ?\Р121, имеющее единственный представитель в каждом множестве- вида

В(0 = < ха.&.а)* | х(1,8.а)еВ(С), gíE >

и

В0(О = { х(1.в.а)* хЦ.в.аГ1 | •х(1,в.о)€В(С), gí?l2),

- нечетное число }.

* и

• Тогда элемента множества Вф(С) = В(С) и В0(О образуют базис силовской р-подгруппы йр(КС) группы У^ДО).

Более трудной оказалась задача нахождения базиса группы Яр(К(1) в случае р=2. Однако и в этом случае удалось подучить полное описание базисных элементов группы *2(КС).

Очевидно, что если С - груша показателя 2, то V (КС)=У(КС) и базис группы 7ф(КС) совпадает с базисом В(С) группы V(КС). Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что показатель группы

С больше чем 2.

Пусть N(C) - множество всех таких n-мерных векторов а = (а,,>".а ) t (0,---,0), компоненты которых а, принимают

значения 0 или q -1. Легко видеть, что множество

.__а а

Т(С) = { 1 + > 'к и +а,) • • • (1 +а ) n I v е к > CUNTC ) а ' п а

является подгруппой группы W„(K0) и элементы множества

а, а .

В, (С; = { ; + <1 ->-а,) ' • • • (1+а ) п I atN(C), >0,1. • • ■ ,m-1 )

* < П

образуют гтзуппы Т(С).

Построим индуктивно такое подмножество L (С) в L(C), чтобы элементы вида .г<1,а)*х(!>а}"? (х(1,а)<В(С)} принадлежали базису группы v^ (КС):

I) если С - циклическая группа порядка qlP то при q <4 множество 1^(0 является пустым множеством, а при q >4

(С)={а=(41+1)11=1,•••.jq.-l};

II) если n>1, q,>2 и q2='"=qn=2. то

L<(C)={(4l+1,0....,'0)|l=1,...,jq1-1} U

U {(21-1,а2,•••.ап)|1=1,•••,|q1-i. а2* • • ча^О);

III) если n=2, q^* и q2=4, то

L/C) = {(41+1,<x,) 11=1, ••-,^5,-1, а2=0,1,2,3) U U {(1 ,а2)|а2=1,2,3) U {(41-1 »1 ) 11=1. — } U U ((г1,! )|Kl<t) U'Ua^SJIa^tmod 4) и а^г1-! (1<Ш)};

lv) если же п>1, q1=2t>2,- q,£q2»'•->qn. qs_,>QE=2 и для группы C=<a2>«•••«<an> построено множество L/C), то множество L^(С) состоит из всех таких векторов (a1,a2,"*,an)€L(C), для которых выполняется одно из следущих условий:

1)а,=0 и (^..-..aJiLJC);

2) at=l и 02+- • -+ап>0;

3) а^г1-! (1<Ш), (а2."-,ап)еЬ,(С);

4) а,^1-! (ККЮ и ас{т](г,,т1(31.---,т)(!5-1 >},

где т)',0,• ■ • ,0,1,0,• • • .0) (1 стоит в Л-й позиции);

5) а^г1 (1<1<г), (с^. —

6) а^г1 (ККП и а€{'п(2)1т)(3,.-",т)1а"п>:

Т) а,^1-! (ККЩ, (а2,---,ап)Ш(С) и аз+..-+ап>0;

8) о,я1 {.той 4), а,>1 ;

9) а,=3(»кхг 4), а^г1-! (1<Ш) и (а.,,• • • ,ап)еЬ(С). Теорема 9. Пусть К - пола из 2т элементов.

- -т-1

е,е ,•••.е2 - базис поля К над СГ(2) (при т=1 считаем, что е=1), С - силовская 2-подгруппа, конечной абелевой группы С=С«Р, В - подмножество множества Р\С1>. имеющее единственный представитель в каждом множества вида

В(0 = { ха.В.а)" хЦ.в.а)"1 | х(1;в.а)сВ(0. >. 1^(0) - построенное выше множество,

В^С) = { х(1,1 ,сО* х(1,1.а)"1 | Оа<т, ий. аеЬф(С) ) . и при т>1 положим

в2(0) = { а+е^а+а^Га+е^И+а^Г1 | Оа<т-1, а^гМ ).' а при т=1 считаем, что В2(С)=0. Тогда элементы множества

В^О = (а1|а12/1. 1=1,..-,п} и В(0 и ВТ(С) и В, (С) и В2(С)

образуют базис силовской 2-подгруппы ??2(КС) группы Ч^ (КО.

В третьей главе диссертации вычисляются инварианты Ульма-Капланского силовской р-подгруппы группы (КС) в- случае, когда КС - бесконечное групповое кольцо абелевой группы С над коммутативным кольцом К характеристики р.

Пусть С - аОелеЕЗ группа, 1 - произвольное порядковое чист

ло и' Ср - определенная выше подгруппа группы С. Аналогично

г 1

группе Ср определяем подкольцо Ка=кр кольца К. Кольцо К

называется р-делимым, если К, = К.

Теорема 10. Пусть, г - произвольное порядковое число, К -коммутативное кольцо характеристики р с единицей и бег нильпо-

тенткых элементов, Р - максимальная делимая подгруппа силовской

т т 1

р-подгруппы 5 абелевой группы С. а^=Сг . , КТ=КР и V -

склоЕская р-подгруппа нормированной мультипликативной группы

7=7(КС; группового кольца КС. Предположим, что Е случае РЛ •

кольцо К р-делимо, и если р=2, то К без делителей нуля. Тогда

1-й инвариант Ульма-Капланского /»■(№) силовской р-подгруппы

к =й' (КС) группы 7 =7 (КС) относительно простого числа р харак-р р * *

теризуется так: ^

1) если Ст=Ст+1 или Зт=:. то /т(«р)=/т(7р)=0;

2) если и хотя бы одно из кардинальных чисел ¡К,' и 'Ст| бесконечно, то

=

\ /т(7р)=тах{|КТ|,¡С„|}, когда р>2, лах-Г |К|, IОI}, когда р=2 и т=0.

Д. (7г )=яах( | К„;, | Сг \}, когда р=2. т>0 и , ,

/Т(С), ' когда р=2, 1>0иСх+1=1;

3) если же .'а кольце Кт и группа. С„. конечны, то

С I (СТ:£Т)1!£Х!-2|5Т+, МЗт+2| )1ояр|Кх|, когда р>2, Г0-211+Гг-/,(3)+(|Б[2]|-1)1ов2|К|, когда р=2 и 1=0, Гт-2Га+1+Тт+г+/т(Б)-/т+,(2), когда р=2 и т>0.

где гг=|([Сг:БтН!Бт|-1 )-|Зт[211+1 )1овг|Кт|.

■Г /У! 1 = р

ЛИТЕРАТУРА

1. Бовди A.A., Сакач A.A. Унитарная подгруппа мультипликативной группы модулярной групповой алгебры конечных абелевых р-групп // XIX Всесоюзная алгебраическая конференция: Тезисы сообщ. - Львов, 1987. - Ч. 1. - С. 28.

2. Бовди A.A., Сакач A.A. Унитарная подгруппа мультипликативной группы модулярной групповой алгебры конечной абелевой р-группы//Мат. заметки. - 1989. - Т. 44, Вып. 6. - С. 23-29.

3. Сакач A.A. Унитарная подгруппа -мультипликативной группы групповой алгебры конечной абелевой группы // IV конференция молодых ученых Ужгород, ун-та: Тезисы доклздов. -Ужгород, 1989. - С. 206.

4. Сакач A.A. Унитарная подгруппз мультипликативной группы групповой алгебры конечной абелевой группы. 1 // Укторол. ун-т. - Ужгород, 1989. - 14 с. Деп. в УкрНКЖШ 06.12.89,

* 2792-Ук89.

• 5. Сакач A.A. Унитарная подгруппа мультипликативной группы групповой алгебры конечной абелевой группы. 2 // Ужгород, ун-т. - Ужгород, 1991. - 18 с. Деп. в УкрКИИНТИ 27.03.91.

* 376-УК91.

6. Сакач A.A..Унитарная подгруппа мультипликативной группы модулярного коммутативного группового кольца // Ужгород, ун-т. - Ужгород, 1991. - 17 с. - Деп. в УкрНШГГИ 5.08.91 *110Т-Ук91.