Способы повышения точности численного решения параболического уравнения для прогнозирования характеристик поля УКВ над морем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ВАУЛИН ИВАН НИКОЛАЕВИЧ

Способы повышения точности численного решения параболического уравнения для прогнозирования характеристик поля УКВ над морем

Специальность 01.04 03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

003163568

Томск-2008

Работа выполнена в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Научный руководитель - доктор технических наук, доцент

Лкулиничев Юрий Павлович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

Гошмн Геннадий Георгиевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Надеев Александр Иванович

Ведущая организация - Сибирский федеральный университет, Институт инженерной физики и радиоэлектроники, г Красноярск

Защита состоится 19 февраля 2008 г в 9 часов на заседании диссертационного совета Д 212 268 04 при Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники (ТУ СУР) по адресу 634050, г Томск, пр. Ленина 40, ауд 203

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университете систем управления и радиоэлектроники

Автореферат разослан «_» ____2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.268 04

Акулиничев Ю П

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Восьмидесятые годы XX века явились периодом подведения итогов теоретических и эксперимен гальных исследований в области распространения радиоволн (РРВ) До этого времени задачи прогнозирования характеристик электромагнитного поля в зонах прямой видимости, полутени и загоризонтной зоне решались инженерными эмпирическими методами. Конец 70-х является периодом создания первой системы прогнозирования IREPS (Integrated Refractive Effects Prediction System) Последующим развитием этой системы явилась система EREPS Методы прогноза в этих системах были, в основном, полуэмпирическими лучевыми

Последнее десятилетие ознаменовалось разработкой ряда методов непосредственного численного решения волновых уравнений, описывающих распространение радиоволн в неоднородной тропосфере над неровной поверхностью земли В конце 90-х была создана более совершенная система AREPS (Advanced Refractive Effects Prediction System), в значительной степени определившая пути развития других подобных систем Первая в России система прогнозирования, основанная примерно на тех же принципах, была создана в ТУСУРе. В разработке этой системы принимал участие автор

Исходными данными для расчета ожидаемой напряженности поля в прямоугольной области «дальность - высота над поверхностью земли», расположенной в заданном направлении от источника, являются характеристики источника излучения (мощность, форма диаграммы направленности антенны, ее высота над поверхностью земли и т п.), высотные профили индекса преломления воздуха во всех точках трассы, рельеф и электрические свойства подстилающей поверхности

Обе системы оперативного прогнозирования состоят из двух частей подсистемы измерения и обработки данных, характеризующих текущее состояние тропосферы и подстилающей поверхности, и программного комплекса, с помощью которого производится непосредственно расчет зон радиовидимости

Пространственная область расчета разбивается на зоны, в каждой из которых применяется наиболее подходящая модель распространения радиоволн. При этом расчет проводится в двумерной области, т.к для морских трасс можно считать, что среда распространения и водная поверхность однородны поперек трассы, и проводить расчет для заданного азимута

даиьность

Рис 1. Комбинированная модель распространения в системе AREPS

В зоне «плоская земля» (ПЗ на рис.1) вблизи источника до расстояния в 2 - 3 км используется лучевая модель распространения, т.е. значения поля рассчитываются аналитически. Здесь влияние неоднородностей тропосферы можно не учитывать, а поверхность земли считать плоской. В зоне ГО используются формулы геометрической оптики; при этом учитывается сферичность Земли и неоднородность тропосферы. В области полутени и загоризонтной области до высоты 4 км - область основного сосредоточения неоднородностей •- проводится численное решение параболического уравнения (зона ПУ). В зоне РО (расширенная оптика) используются эмпирические соотношения геометрической оптики. Результаты прогнозирования выдаются в виде различных диаграмм (см. рис.2).

Центральное место в программном комплексе занимают методы численного решения ПУ: метод преобразования Фурье и схема Кранка-Николсок (К.-Н.). Как показывают исследования, начиная с определенной дальности, ошибки, обусловленные численным решением ПУ, мо1уг на порядок превышать все остальные ошибки, возникающие в ходе прогнозирования. Поэтому одной из проблем является обеспечение высокой точности методов и допустимого объема вычислений. Другой немаловажной проблемой является оценка достоверности прогноза в реальных условиях.

Цель работы заключалась в проведении теоретических и экспериментальных исследований, направленных на повышение точности результатов прогнозирования системы и оценку их достоверности.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести обзор и сравнительный анализ возможных методов численного решения ПУ и выявить факторы, определяющие их точность.

2. Провести многопараметрическую оптимизацию схемы Кранка-Николсон с целью подбора оптимальных, с точки зрения точности расчетов, значений весовых коэффициентов, шагов по дальности и высоте.

3. Исследовать и предложить методы выбора коэффициентов численных разностных схем высокого порядка аппроксимации.

4. Изучить способы введения верхнего граничного условия для метода Фурье, а также предложить пути их усовершенствования с целью повышения точности расчета.

ю з> » че аз » го о*«

Рис.2. Фрагмент диаграммы множителя

ослабления в плоскости «дальность-высота», рассчитанная системой ТУСУРа

5 Использовать имеющиеся экспериментальные данные и провести специальные натурные испытания с целью оценки эффективности прогнозирования зон радиовидимости Научная новизна:

1 Проведена оптимизация схемы К -Н, т е для ряда исходных данных расчета предложены оптимальные значения коэффициентов схемы, величин шагов по дальности и высоте, при которых обеспечивается минимум интегральной квадрати ческой погрешности (ИКП) расчета поля Показано, что

— при фиксированной высоте точки наблюдения точность схемы К -Н значительно возрастает, когда расстояние от источника превышает некоторое значение;

— на относительно большой дальности вычислений точность оптимизированной схемы К -Н превосходит точность метода Фурье, который до сих пор считался наиболее точным методом численного решения ПУ

2 Оценена точность вычислений для разных способов выбора значений параметров симметричных неявных разностных схем высших порядков аппроксимации и даны рекомендации по их использованию

3 Исследовано влияние на точность прогнозирования значений параметров поглощающего слоя, который используется для задания верхнего граничного условия при численном решении ПУ методом Фурье Предложены более удачные значения параметров этого слоя.

4 Предложен новый вариант схемы комбинированной модели распространения радиоволн над поверхностью Земли.

5 Впервые в России проведен эксперимент по оценке эффективности методов прогнозирования с одновременным измерением уровня сигнала и свойств тропосферы практически в одной географической точке пространства и показано, что возможно прогнозирование зон радиовидимости в условиях прямой видимости и полутени с ошибкой, не превышающей 5 дБ

Личный вклад автора- проведение многопараметрической оптимизации схемы Кранка-Николсон, исследование влияния поглощающих слоев на точность расчетов, разработка новой комбинированной модели распространения Также личный вклад автора состоял, в реализации и проведении большинства исследований, сборе и обработке экспериментальных данных, в непосредственном участии в получении и анализе экспериментальных данных Практическая значимость результатов работы определяется их направленностью на повышение точности численных методов, достоверности прогноза и оперативности современных систем прогнозирования Также результаты работы используются в системе, созданной в НИИ РТС ТУСУРа. Конечным практическим результатом является повышение эффективности примененения радиотехнических комплексов, используемых в морском флоте, в телекоммуникационных и иных системах, путем более обоснованного планирования режимов их работы Основные результаты используются при выполнении ряда НИР в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие науч-

ного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» и по заказам промышленных предприятий, а также в учебном процессе ТУСУРа при разработке лекционных курсов по дисциплинам «Электродинамика и распространение радио волн» и «Радиосистемы передачи информации» Научные положения, выносимые на защиту.

1 Введение реальной часта в весовые коэффициенты схемы Кранка-Николсон при численном решении ПУ позволяет увеличить точность расчета множителя ослабления 6ei увеличения вычислительных за фат

2 Существует интервал высот, для которого оптимизированная схема Кранка-Николсон при численном решении ПУ на большой дальности обеспечивает более высокую точность, чем метод быстрого преобразования Фурье, при равных вычислительных затрагах

3 Возможно оперативное прогнозирование ожидаемого значения множителя ослабления в зонах прямой видимости и полутени с ошибкой, не превышающей 5 дЬ.

Апробация работы. Результаты выполненных исследований докладывались и обсуждались на XL Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс Физика» (НГУ, г Новосибирск 2000 г); Региональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР - 2003» (ТУСУР, г. Томск, 2003 г.), XLIII Международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс Физика» (НГ'У, г Новосибирск, 2005 г.), Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов «Научная сессия ТУСУР -2005» (ТУСУР, г Томск, 2005 г), XXI Всероссийской научной конференции Распространение радиоволн <МарГТУ, г Йошкар-Ола, 2005 г), Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР - 2006» (ТУСУР, г Томск, 2006 г), Всероссийской научно технической конференции молодых ученых и студентов «Современные проблемы радиоэлектроники» (ИПЦ КГТУ, г Красноярск, 2005 г ) Публикации. По материалам диссертации опубликованы 1 статья в журнале, входящем в перечень ВАК, 3 статьи в сборниках научных трудов, 8 статей в сборниках конференций

Объем диссертация. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 180 страниц машинописного текста, 92 рисунков, 22 таблиц Список литературы включает 100 работ отечественных и зарубежных авторов

Содержание работы

Введение. Системы оперативного прогнозирования (СП) позволяют оценивать зону уверенного приема для различных источников радиоизлучения Подобные системы представляют интерес не только с научной точки зрения, но и в плане их использования в системах связи, телекоммуникации, морского флота и др, что уже успешно практикуется в различных странах мира

Первая глава. В 1987 году Space and Naval Warfare Systems Centei (SSC) (США) выпустил первую, пригодную для бортового применения, систему прогнозирования IREPS. При этом использовалась модель РРВ, включающая, в основном, лучевые методы. В начале XXI века там же разработана более совершенная система Advanced Refractive Effects Prediction System (AREPS) в начале XXI века, ключевым моментом в математической модели которой является численное решение ПУ В СССР также были попытки создания подобных систем, например система PEAPS, но исследования не были доведены до практической реализации. В университете Джона Хопкинса в США, начиная с 1980 г, разрабатывается другая система - Tropospheric Electromagnetic Parabolic Equation Routine (TEMPER) Эта СП позволяет проводить более точные расчеты, чем AREPS, но при этом в некоторых случаях уступает по объему вычислений в 200 раз Это связано с тем, что вдоль всей трассы используется только численное решение ПУ, а лучевые методы не используются

Т о., основным математическим инструментом, весьма удобным и пригодным для применения при наличии существенных неоднородностей на трассе, во всех современных СП является численное решение двумерного ПУ для комплексной огибающей U(Xr7) напряженности E(X,2ï)=U(X,Z)exp(ikX) электрического или магнитного поля

210~6iV(X,2)+Z/a3li7(X,Z) = 0, (1) оХ 3Z

где X - координата на оси, направленной вдоль трассы по «выпрямленной» поверхности Земли (горизонтальная дальность), Z •- высота точки наблюдения над поверхностью Земли, N(X,Z) - поле индекса преломления тропосферы, аъ = 8,5 106 м - эквивалентный радиус Земли.

На практике для численного решения (1) в области 0 < X < A Q<Z< H вводится расчетная сетка (см. рисЗ) с ячейками AX&Z, где tsX-DIM и Д2 = H/N - величины шагов квантования непрерывных функций V(X,Z) и N(X,Z) по дальности и высоте соответственно. Задав во всех узлах сетки на линии Х = 0, что соответствует, например, апертуре антенны, значения функции Un(0) = i/(0,nAZ) и, используя один и тот же алгоритм, например метод Фурье, последовательно, шаг за шагом, находят значения этой функции во всех узлах сетки Un(l) = U(àX,n&Z), i/„(2) = i/(2AX,«AZ) . при X=àX, X -- 2ЛХ и так далее до Х -D

В дальнейшем, чтобы не проводить многократных одинаковых расчетов, используются нормированные значения параметров

* = XI ЛХгаах, Z = Z! Д^юх, 8.Х = АХ/ДХпих, ÔZ = AZ/ AZmax, Р = в/Вшах, d-DJ ДХщах, h = HI AZroax, 8s = SjcSz, где h, d, Sx, 8z, P - соответственно относительные высота, дальность, шаг по дальности, шаг по высоте, угол, под которым распространяется плоская волна относительно оси Ох, 5s - относительный размер ячейки (величина, обратная относительному объему вычислений),

=к/(2Втяк), А?Ггоах=А,/^^ах- максимальные значения шагов из теоремы отсчетов. Ввиду того, чго ПУ является малоугловым приближением уравнением Гельмгольца, Втвх < 0,2+0,25 рад

ПУ в относительных величинах имеет вид

е'(х, г)С/ (х,г)

dU(x,z) _ / л

дх

VU(x,z) '

dz7-

в„

(2)

где £'(л,г) ~ 2 1 СГ^Щх^} - отклонение относительной диэлектрической проницаемости тропосферно! о воздуха от единицы

7.

Z=//=JVÄZ

U,d 0)

z=о

верхняя граница расчетной области

U„(my~b'( тАХ, пА7) }az

ж

U(0, Э) г—■ нижняя граница расчетной области -----1—-1-г - X^м

А'=0 дальность Х=Б=МАХ

Рис.3 Введение сетки вдоль заданной трассы при численном решении ПУ

Как в системе AREPS, так и в системе ТУСУРа для решения ПУ используется метод преобразования Фурье (split-step Fourier method), суть которого заключается в следующем На каждом шаге по дальности производятся вычисления вида

U(x + &x,z) ■= w(z)exp[(2m&t/Blm ) 1<Г* M&z)] r'{£0(ß)F{i/(*,z)}},

где F{U(x,z)}= S(ß) - j U(x, z) exp(-inßz)ck - Фурье-образ,

#0(ß) - частотная характеристика (ЧХ), описывающая распространение плоской волны на расстояние St, под углом ß к оси Ох (см (5)), w(z) - погло щающий слой, M(z) - высотный профиль модуля приведенного коэффициента преломления (М-кривая или профиль индекса рефракции) Поглощающий слой задается в виде окна Хеннинга

1 -Ас+Ас cos(7t(и - NJHN-NJ), Nc<n<N- 1, (3)

где Ас - амплитуда поглощающего слоя, для окна Хеннинга Ас - 0,5, wn- 1 в рабочей области 0<n<Nc

Метод Фурье обладает рядом недостатков, не позволяет производить расчет поля в области пространства произвольной формы, трудность введения граничных условий и др Конкурирующей данному методу является схема Кранка-Николсон (К -Н }, которая лишена перечисленных недостатков.

Суть схемы К -Н. заключается в следующем. В (2) производные заменяются соответствующими конечными разностями, в результате чего составляется система уравнений вида

где g = 6х/2;ябг2 - весовой коэффициент схемы Кранка-Николсон, * - знак комплексного сопряжения

Зная значения поля на т-м шаге по дальности и решая систему уравнений (4) методом прогонки, находят все значения поля на следующем, то есть (да*- 1)-м, шаге.

Основной недостаток схемы К.-Н. - это низкая точность метода Т.о., основными критериями эффективности СП являются, точность методов, достоверность прогноза, объем вычислений

Вторая глава. Численным методам характерны три вида погрешностей, которые имеют место даже при проведении расчетов для свободного пространства погрешность задания начальных условий, погрешность дискретизации; ошибки округления. В этом разделе исследуется точность численных методов, определяемая погрешностью дискретизации. Чтобы оценить эту точность относительно аналитического решения, все исследования проводились для безграничного вакуума (свободного пространства, е'(х,г) = 0 в (2))

В данных исследованиях каждому численному методу ставится в соответствие линейный инвариантный во времени фильтр с соответствующей комплексной частотной характеристикой. В основном в работе анализируются фазочастотные характеристики (ФЧХ) фильтров. На входе фильтра - известные отсчеты электромагнитного поля II„(т), на выходе - искомые 1/„(т+1) При этом составляющие фурье-образа (т.е. спектра) поля и„(т) отождествляются с однородными плоскими волнами, распространяющимися под углами Р к оси Ох, где (3 - пространственные частоты, понятие которых определяется в фурье-оптике.

Эталоном является идеальный фильтр, соответствующий аналитическому решению в свободном пространстве, а в качестве источника излучения используется «элементарный источник», т е единственный ненулевой отсчет на оси Ог при х = 0 Этот источник эквивалентен антенне с прямоугольной диаграммой направленности в диапазоне углов - 1 < Э < - 1.

Сравнивая отклик исследуемого фильтра, представляющий собой функцию Грина, с идеальной функцией Грина, можно судить о точности исследуемого численного метода. При этом количественным критерием служит интегральная квадратическая погрешность (ИКП), которая является детерминированным аналогом среднеквадратической ошибки (СКО):

а = (ПО(п)-Ой(п)\2 )/(|К?0(«)|2 ),

и=0 и=0

где <30 и О - соответственно идеальная и исследуемая функции Грина на дальности £>,

Анализ точности метода Фурье

Несмотря на активное использование метода Фурье в современных СП, в литературе достаточно слабо освещен вопрос о его точности; неявно предполагается, что ошибки метода ничтожно малы В данной работе показывается, что подобные допущения не всегда оправданы

Для идеальной схемы передаточная функция имеет вид

*0(р) = ехр(-ш|32&), (5)

Для целого набора углов ¡3/ при 0 < / < I (/,» N так, что можно считать Р/ непрерывной переменной), были получены значения дискретной ЧХ метода Фурье Кь которая имеет более сложный вид Было показано, что ФЧХ метода Фурье отличается от ФЧХ идеальной схемы даже при Р = 0 При уменьшении количества отсчетов N вдоль оси Ог точность метода падает Также и модуль ЧХ отличается от идеального, что тоже приводит к погрешностям метода Так, например, при /> = 2000000Л, Д2Г=7А, АХ= 26А, Ль =" 8й/5г = 43, для метода Фурье ИКП составляет около 10 дБ При этом единственным выходом является увеличение количества отсчетов Щ что приводит к увеличению объема вычислений В этом случае еще неизбежно сказывается влияние верхних граничных условий, задаваемых с помощью поглощающего слоя.

Повышение точности схемы Кранка-Николсон (К.-Н.) Точность схемы К.-Н не зависит от количества отсчетов но при этом остается достаточной лишь на относительно малой дальности. Поэтому в данной работе предлагаются меры по усовершенствованию этого метода Для схемы К -И ЧХ имеет вид

К®) [1 + 2$(1 - соз(яр5г))] / [1 + 2/(1 - соа(яР&:))]. (6)

Наличием второй точки стационарной фазы в ФЧХ схемы К.-Н. и объясняется низкая точность метода (см рис 4(3)) Так при А, = 0,1 м, А2Г= 1 м и ДА'= 20 м уже на дальности £> = 5кмсг~5дБ Ав проведенном эксперименте (см гл 4) было показано, что итоговая ошибка, вызванная неточностью измерений уровня сигнала и индекса преломления, составляет 1-1,2 дБ То, необходимость повышения точности схемы К -Н очевидна

Если приравнять (6) к (5), то можно получить выражение

Я(РМ1 - *о(Р))/(2 - ЭДяОД). (7)

Это выражение отличается от обычного весового коэффициента схемы К -Н (см (4)) тем, что оно не чисто мнимое И действительно, если искусственно добавить в весовой коэффициент g в (4) реальную часть g„ ФЧХ схемы К -Н улучшается (рис,4(2)) Функция Грина также приближается к идеальной

Т о, в данной работе предлагается способ увеличения точности схемы К-Н без увеличения вычислительных затрат [3]

Далее была проведена оптимизация вычислительных параметров (&с, 5г и gr) схемы К -Н. по критерию минимума ИКП (см рис 5) [7] Ширина полосы расчета вдоль оси Ог фиксировалась, при этом использовалось нелокальное граничное условие (ГУ)» которое обеспечивает практически идеальное согласование

На рис 5 можно наблюдать интересный результат увеличение точности расчетов на большой дальности Это связано с тем, что ФЧХ схемы К -Н совпадает с ФЧХ идеальной схемы в области (5 -- 0, а при ограничении ширины полосы расчета лучи, для которых ¡3 » 0, «отсекаются»

Рис 5 Зависимость ИКП от относительной дальности для различных размеров ячейки для схемы К-Н (к = 256, ~ НЬг) 1 - 8я = 1, = 0, 8/. = 1 (обычная схема К -Н ), 2 - 5$ = 1,3 - 5в -- 0,5,4 = 0,2, 5 - бе = 0,1,6 - 5ч = 0,05

То, в области относительно небольших высот (N¡,<100) и большой дальности (¿> 500) оптимизированная схема К-Н. относительно метода Фурье имеет преимущество как с точки зрения точное ги, так и объема вычислений Например, при 0=15 105Х, ДЛ'=26Х, Д2 = 6 7А; Х = 0,1м; Ртах = 3°, Л'ь = 91, для оптимизированной схемы К-Н о = 0,81 104 дБ, а для метода Фурье, чтобы обеспечить точность а = 0,9 дБ, необходим объем вычислений в 16 раз больший Правда, по некоторым оценкам, использование нелокального ГУ повысить объем вычислений схемы К -Н примерно в 2 раза

ф рад

1/"

Уг

00 02 04 06 08 Р,<Я Рис 4 ФЧХ при Я = 0,1 м, Втях = 2°, АА" = 9,35, £> = 82 м: 1 — идеальная схема, 2-схемаК-Н #=-0,10718, Дг= 1,43 м, 3 - схема К.-Н £г = 0, 1,43 м

Разностные схемы высших порядков аппроксимации

По аналогии с (4) можно получить систему уравнений для схем более высоко порядка аппроксимации (многоточечные схемы):

X g*(^,(m+l)+aU"г+!)) -&о £40»+ О = X 8£иит)+иит)) - &Шт\

где 2Р- порядок (4/42)-точечной схемы

Основной трудностью при этом является достаточно обоснованный выбор весовых коэффициентов gl

В данной работе было предложено в качестве использовать коэффициенты разложения ряда Фурье идеальной ЧХ (5) При этом ФЧХ такой схемы будет максимально близка к идеальной ФЧХ во всем диапазоне углов распространения Р = - 1-Ч, хотя будеч отличаться от нее при Э - 0, что приводит к недопустимым ошибкам при </>15. Поэтому, несмотря на го, что многоточечные схемы точнее схемы К--Н , такие схемы можно применять лишь на относительной дальности с! < Ю-15 [4]

Третья глава. Для метода Фурье единственным вариантом верхнего граничного условия (ВГУ) является введение поглощающего слоя (3), представляющего собой искусственные вычислительные операций, которые нужны для того, чтобы ограничить область расчета по высоте При этом поглощающий слой должен обеспечивать условия излучения Зоммерфельда - позволять всей энергии, приходящей снизу к границы, уходить в бесконечность Вопросы о том, как именно сказывается использование поклощающего слоя на точности численного решения ПУ, насколько известно, количественно не исследовались

В этом разделе исследуется поглощающий слой вида (3) Влияние Земли не учитывается, поэтому граничное условие вводится одинаково сверху и снизу. Погрешности оценивались путем сравнения в безграничной среде ноля (/У-*», идеальные условия) с полем, рассчитанным при конечных значениях N с использованием поглощающею слоя Исследование проводилось для двух численных методов решения ПУ - метода Фурье и схемы К.-Н

Установлено, что использование слоя с меньшим погонным гю1 лощением, чем при традиционном использовании окна Хеннинга, позволяет уменьшить отражения от границы для обоих методов Более удобной характеристикой при этом является амплитуда функции поглощения Ас Вычислительный эксперимент показывает, что минимум ИКП для метода Фурье достигается при амплитуде Лс = 0,04 (Л = 0.1 м, О = 15 105А, Ь2. — 10А,). а для схемы К ~Н при Ас = 0,005, при этом точность схемы К-Н оказывается на порядок выше Это говорит о гом, что дпя схемы К.-Н. можно использовать поглощающий слой с меньшей толщиной, чем для метода Фурье, т е сократить объем вычислений. Правда, это справедливо в тех случаях, когда шаги по дальности и высоте для обоих методов используются одинаковые

Проведенные исследования показывают, что ошибка, вызванная неидеальностью поглощающего слоя, если он занимает четверть полосы расчета по высоте, искажает результаты расчетов напряженности поля не более чем на 0,1-0,3 дБ на расстояниях до 300 км (А. ■= 0,1м, АХ = ЛАГтах, А2 = Л2тах, Л'ь й 1024) Но в отдельных случаях для этого приходится подбирать значения Л0 слоя до начала расчета

Четвертая глава. Этот раздел посвящен вопросам тестирования системы и достоверности прогноза в реальных условиях Сразу отметим, что обе системы - АКЕРв и комплекс ТУСУРа - для всех длин волн для модели стандартной радиоатмосферы дают отличное совпадение данных расчета множителя ослабления с данными, вытекающими из модели В А Фока

Первым этапом оценки работоспособности системы был подбор литературных данных о сопряженных измерениях уровня сигнала и высотных профилей индекса преломления, что является достаточно трудной задачей

На рис 6 приведены результаты прогноза полных потерь на трассе и результаты измерений из статьи Апс1егьоп При этом стационарный приемник и передатчик находились на берегу, а на удаляющейся лодке находился уголковый отражатель и метеозонд Сравнение с экспериментальными данными расчетных значений, полученных системой ТУСУРа, показывает, что среднее значение модуля ошибки составляет 4,73 дБ, что на сегодняшний момент является неплохим результатом. Для АКЕР5 результаты немного лучше Аналогичные сравнения высотных зависимостей были проведены и для данных из других статей, в которых протяженность трассы досгшала 130 км При этом среднее значение модуля ошибки для систем АКЕР8 и ТУСУРа также не превышает 5 дБ.

И, наконец, имеются результаты эксперимента, проведенного НИИ РТС в 1987 г на трассе протяженностью в 495 км (Охотское море) Передатчик находился на берегу на высоте 30 м, приемник располагался на судне на высоте 15 м, на котором производилось аэрологическое зондирование, частота - ЗГГц Совпадение высотных зависимостей на больших расстояниях оказалось намного хуже (ошибка порядка 10 дБ), что объясняется использованием неадаптивной модели дальнего тропосферного рассеяния, при этом производился расчет лишь среднего уровня сигнала [12]

1 3 10 30 D км

Рис 6 Сравнение результатов прогноза на высоте 21,5 м для частоты 9,415 ГГц 1 -измерения в эксперименте, 2 - результат расчетов системой ТУ СУР, 3 - результат расчетов системой AREPS

Небольшое количество литературных данных оказалось недостаточным, чтобы уверенно говорить о достоверности прогноза комплекса ТУСУРа и АКЕРБ Поэтому в августе 2005 г. был проведен специальный эксперимент на Кулундинском озере (Алтайский край) при непосредственном участии автора.

Ввиду отсутствия адекватной модели учета рассеянной составляющей, целью эксперимента было проведение измерений в зоне прямой видимости Отличительной особенностью эксперимента являлась возможность быстрого перемещения по высоте над озером не только измерителя радиометеорологических параметров, но и СВЧ-передатчика измерительной радиолинии 3-см диапазона, приемник этой линии оставался неподвижным на берегу. Для одновременного измерения обоих высотных профилей (индекса преломления и множителя ослабления) аппаратура поднималась привязным аэростатом с борта моторной лодки, которая удалялась на расстояние до 12 км от приемника При этом информация о профиле индекса преломления передавалась по УКВ радиоканалу на бортовой компьютер

-40 -20 0 /\дБ 320 330 340 350ЛМЧ-ед

Рис.7. Высотные зависимости множителя ослабления (а) и индекса преломления (б): 1 - прогноз системой ТУСУРа при аппроксимации профиля, 2 - прогноз по фактическому профилю, 3 - экспериментальные данные, 4 - аппроксимированный профиль 5 - измеренный профиль

Все измеренные высотные профили множителя ослабления по результатам сравнения с расчетными ожидаемыми профилями были отсортированы по группам, соответствующим распространению в стандартной радиоатмосфере и распространению в волноводе испарения При сравнении результатов прогноза с результатами измерений было обнаружено, что во всех рассчитанных профилях завышена высота расположения первого минимума и занижен уровень сигнала в максимуме первого лепестка. Одной из причин этого мог быть тот факт, что использование малоинерционных датчиков метеопараметров при невысокой скорости подъема и спуска (около 0,5 м/с) приводи г к тому, что датчик регистрирует даже самые мелкомасштабные случайные вариации индекса преломления При прогнозировании предполагается, что все эти неоднородности существуют в неизменном виде вдоль всей трассы, что существенно

искажает результаты расчета Поэтому далее профили подвергались линейно ломаной аппроксимации, шнорируя при этом вариации с масштабами менее 3-5 м и с интенсивностью менее 1 М-ед Усреднение проводилось в 2-м интервалах по высоте На рис 7 приведен один из результатов лих исследований.

Далее были получены статистические характеристики достоверности прогноза фактического уровня сигнала в нижних лепестках профиля по выборке, состоящей из двенадцати профилей Систематическая ошибка даже при прогнозировании величины нижнего лепестка, наиболее подверженного влиянию изменяющихся условий РРВ, составляет всего - 0,32 дБ Среднее значение модуля разности «прогноз-факт» и его среднеквадратическое значение тоже принимают максимальные значения для нижнего лепестка профиля и имеют соответственно значения 1,48 и 1,77 дБ при использовании измеренного профиля, и 1,06, 1,42 дБ при использовании аппроксимированного профиля. Аппроксимация позволила увеличить коэффициент корреляции от 0,45 до 0,8 Была оценена и суммарная ошибка, обусловленная погрешностями измерения уровня сигнала и влиянием ошибок при измерении индекса преломления, она составила 1-1,2 дБ

Подобные оценки проведены и для системы АШЗРЗ Более того, все они были проделаны с использованием специальной программы, в которой реализуется тот же метод Фурье, но для достижения предельной точности вычислений использованы весьма малые значения шагов (15-30 м по дальности и 0,050,07 м по высоте). Результаты, полученные гремя методами, совпадают в пределах точности индикации [10].

Основные результаты работы. Разработана методология повышения точности, достоверности и оперативности современных систем прогнозирования. Получены оптимальные значения расчетных параметров при оценке зоны уверенного приема источников радиоизлучения, которые могут быть использованы не только в системах оперативного прогнозирования, но и в радиолокационных системах и средствах связи с целью повышения их эффективности. При этом было показано, что.

1) проведение расчета зон радиовидимости для областей пространства большой протяженности в условиях наличия неоднородностей в тропосферы можно проводить не только с помощью метода Фурье, но и с помощью схемы Кранка-Николсон,

2) при использовании схемы Кранка-Николсон с целью расчета ноля на относительно большой дальности точность прошозирования повышается относительно метода Фурье, который до сих пор считается наиболее точным численным методом решения параболического уравнения;

3) более грамотное задание формы поглощающего слоя при задании верхнего граничного условия позволяет сократить объем вычислений практически без потерь точности, увеличивая при этом оперативность системы,

4) возможно оперативное прогнозирование зон радиовидимости в реальных условиях в зоне полутени с ошибкой, не превышающей 5 дБ. А в условиях

прямой видимости среднеквадратическая ошибка не превышает 2 дБ. При этом ошибка, обусловленная погрешностями измерения уровня сигнала и влиянием ошибок при измерении высотного профиля индекса преломления, составляла (1-1,2) дБ.

По теме диссертации опубликованы следующие работы: 1 Акулиничев Ю П Пространственно - временная изменчивость пространственных спектров высотных профилей индекса преломления/ Ю.П Акулиничев, M Е Ровкин, Л В. Павлова, И Н. Ваулин // Труды XX Все-рос. науч. конф. «Распространение радиоволн» 2-4 июля 2002 г - H Новгород. 'Галам, 2002 - С 182-183

2. Абрамов П В. Нелокальные граничные условия при решении параболического уравнения / П.В Абрамов, И H Ваулин // Материалы XL Международной науч студ конф. «Студент и научно-технический прогресс Физика» -Новосибирск. НГУ, 2000 - С. 96-97

3. Абрамов П В Выбор коэффициентов схемы Кранка - Николсон численного решения параболического уравнения / П В. Абрамов, Ю П Акулиничев, И.Н Ваулин // Научная сессия ТУ СУР - 2003: Материалы региональной научно-технической конференции. - Томск, 2003. - Ч 1 - С 3-5.

4 Ваулин И Н. Погрешности многоточечных симметричных схем численного решения параболического волнового уравнения // Материалы XLUI Международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» Физика - Новосибирск: Новосиб. гос ун-т, 2005. - С. 86

5. Ваулин И.Н. Экспериментальная проверка при решении параболического волнового уравнения // Научная сессия ТУ СУР - 2005• Материалы Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов, Томск, 26-28 апреля 2005 г.- Томск Издательство ТУСУРа, 2005 -С. 52-54

6. Акулиничев Ю.П. Параболическое волновое уравнение, согласованное с условиями распространения радиоволн в нормальной атмосфере / Ю.П. Акулиничев, M Е Ровкин, И.Н Ваулин // Распространение радиоволн сборник докладов XXI Всероссийской научной конференции В 2-х т. Йошкар Ола, 25-27 мая 2005 г - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2005. - Т.2 -С 268-271

7 Акулиничев Ю П. Предельная точность схемы Кранка-Николсон при численном решении параболического волнового уравнения / ЮП Акулиничев, M Е Ровкин, И.Н. Ваулин // Распространение радиоволн: сб. докл. XXI всерос науч конф, Йошкар-Ола, 25-27 мая 2005 г В 2 т - Йошкар-Ола МарГТУ. 2005 -Т 2 -С. 272-276

8. Акулиничев Ю П. Анализ суточной изменчивости характеристик радиовидимости для районов Мирового океана / Ю.П. Акулиничев, M Е. Ровкин, И H Ваулин// Научная сессия ТУСУР-2006" Материалы всерос науч.-техн конф студентов, аспирантов и молодых ученых, Томск, 4-7 мая 2006 г -Томск- В-Спектр, 2006 - Ч 1. - С 65-69.

9 Ваулин И.Н Оценка угла приходи и группового времени запаздывания радиоволк по результатам численного решения параболического уравнения/ И.Н Ваулин, А.В Новиков // Научная сессия ТУСУР-2007 материалы докладов Всероссийскай научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Тематический выпуск «Системная интеграция и безопасность»- Томск, 3-7 мая 2007 г - Томск: Изд-во «В-Спектр», 2007.- Ч 1. С.16-20

10. Ровкин М Е Совместное измерение вертикальных профилей индекса рефракции и множителя ослабления сигнала 3-см диапазона над водной поверхностью / М.Е. Ровкин, Ю.Г1. Акулинечев, В А Хлусов, В Н Ковалев,

B.А Бутько, Л В Павлова, И Н. Ваулин, Д.В.Пурик// Доклады ТУСУРа-Томск,2005,-№4.-С 61-67

11 Ваулин И.Н. Анализ суточной изменчивости характеристик радиовидимости для районов Мирового океана / И Н Ваулин, Ю П Акулиничев // Современные проблемы радиоэлектроники. Сб научн тр / Под ред. А И Громыко, А В Сарафанова, Отв за вып. В.И. Ризуненко - Красноярск ИПЦ ЮТУ, 2005

12. Акулиничев Ю П Оценка эффективности прогнозирования зон радиовидимости по имеющимся экспериментальным данным/ Ю.П Акулиничев, И Н Ваулин, М Е Ровкин// Изв вузов Физика - 2007 - Т 50, №5 -

C. 87-92

Тираж 80. Заказ № 18 Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40

Введение.

1 Современные системы прогнозирования (СП).

1.1 Общий обзор СП.

1.2 Обзор моделей распространения радиоволн.

1.3 Подсистема сбора данных о текущем состоянии среды распространения.

2 Способы повышения точности численных методов прогнозирования характеристик поля УКВ над морем.

2.1 Методы исследований.

2.2 Анализ точности метода Фурье.

2.3 Повышение точности схемы Кранка-Николсон.

2.3.1 Анализ точности схемы Кранка-Николсон.

2.3.2 Повышение точности схемы Кранка-Николсон.

2.3.3 Оптимизация схемы Кранка-Николсон.

2.3.4 Точность схемы Кранка-Николсон при расчете направления прихода волн, времени запаздывания сигнала.

2.4 Разностные схемы высших порядков аппроксимации.

3 Граничные условия.

3.1 Нижнее граничное условие.

3.2 Верхнее граничное условие метода Фурье.

4 Экспериментальная проверка эффективности прогнозирования зон радиовидимости.

4.1 Проверка по литературным данным.

4.2 Специальный эксперимент ТУСУРа.

4.2.1 Обоснование методики проведения эксперимента.

4.2.2 Радиометеорологические условия.

4.2.3 Высотно-дистанционные зависимости уровня сигнала.

4.2.4 Сравнение результатов измерений и прогноза.

4.3 Оценка ожидаемой точности прогноза.

Актуальность темы. Восьмидесятые годы XX века явились периодом подведения итогов теоретических и экспериментальных исследований в области распространения радиоволн (РРВ). До этого времени задачи прогнозирования характеристик электромагнитного поля в зонах прямой видимости, полутени и загоризонтной зоне решались инженерными эмпирическими методами. Конец 70-х является периодом создания первой системы прогнозирования IREPS (Integrated Refractive Effects Prediction System). Последующим развитием этой системы явилась система EREPS. Методы прогноза в этих системах были, в основном, полу эмпирическими лучевыми.

Последнее десятилетие ознаменовалось разработкой ряда методов непосредственного численного решения волновых уравнений, описывающих распространение радиоволн в неоднородной тропосфере над неровной поверхностью земли. В конце 90-х была создана более совершенная система AREPS (Advanced Refractive Effects Prediction System), в значительной степени определившая пути развития других подобных систем. Первая в России система прогнозирования, основанная примерно на тех же принципах, была создана в ТУСУРе. В разработке этой системы принимал участие автор.

Исходными данными для расчета ожидаемой напряженности поля в прямоугольной области «дальность - высота над поверхностью земли», расположенной в заданном направлении от источника, являются: характеристики источника излучения (мощность, форма диаграммы направленности антенны, её высота над поверхностью земли и т.п.), высотные профили коэффициента преломления воздуха во всех точках трассы, форма рельефа и электрические свойства подстилающей поверхности.

Обе системы оперативного прогнозирования состоят из двух частей: подсистемы измерения и обработки данных, характеризующих текущее состояние тропосферы и подстилающей поверхности, и программного комплекса, с помощью которого производится непосредственно расчет зон радиовидимости.

Пространственная область расчета разбивается на зоны, в каждой из которых применяется наиболее подходящая модель распространения радиоволн. При этом расчет проводится в двумерной области, т.к. для морских трасс можно считать, что среда распространения и водная поверхность однородны поперек трассы, и проводить расчет для заданного азимута.

В зоне «плоская земля» (ПЗ на рис Л) вблизи источника до расстояния в 2 - 3 км используется лучевая модель распространения, т.е. значения поля рассчитываются аналитически. Здесь влияние неодно-родностей тропосферы можно не учитывать, а поверхность земли считать плоской. В зоне ГО используются формулы геометрической оптики; при этом учитываются сферичность Земли и неоднородность тропосферы. В области полутени и загоризонтной области до высоты 4 км - области основного сосредоточения неоднородностей - проводится численное решение параболического уравнения (зона ПУ). В зоне РО (расширенная оптика) используются эмпирические соотношения геометрической оптики. Результаты прогнозирования выдаются в виде различных диаграмм (см. рис,2).

Центральное место в программном комплексе занимают методы численного решения ПУ. Как показывают исследования, начиная с определенной дальности ошибки, обусловленные численным решением ПУ, могут на порядок превышать все остальные ошибки, возникающие в ходе прогнозирования. Поэтому одной из проблем является обеспечение высокой точности численных дальность

Рис.1. Комбинированная модель распространения в системе AREPS

ТО O/tv

Рис.2, Диаграмма радиовидимости (множитель ослабления в плоскости «дальность-высота»), рассчитанная системой ТУСУРа методов. Другой немаловажной проблемой является оценка достоверности прогноза в реальных условиях, которую можно провести только по результатам экспериментальных исследований.

Цель работы: проведение теоретических и экспериментальных исследований, направленных на повышение точности результатов прогнозирования системы и оценку их достоверности.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести обзор и сравнительный анализ возможных методов численного решения ПУ и выявить факторы, определяющие их точность.

2. Провести многопараметрическую оптимизацию схемы Кранка-Николсон с целью подбора оптимальных, с точки зрения точности расчетов, значений весовых коэффициентов, шагов по дальности и высоте.

3. Исследовать и предложить методы выбора коэффициентов численных разностных схем высокого порядка аппроксимации.

4. Изучить способы введения верхнего граничного условия для метода Фурье, а также предложить пути их усовершенствования с целью повышения точности расчета.

5. Использовать имеющиеся экспериментальные данные одновременных измерений высотных профилей коэффициента преломления и уровня сигнала, и провести специальные натурные испытания с целью оценки эффективности прогнозирования зон радиовидимости.

Методы исследований. Достижение поставленной цели и перечисленных задач основано на применении теории обработки сигналов к анализу и разработке численных схем. Для сравнения точности различных численных схем использовалась методика функций Грина.

Научная новизна:

1. Проведена оптимизация схемы Кранка-Николсон, т.е. для ряда исходных данных расчета предложены оптимальные значения коэффициентов схемы, величин шагов по дальности и высоте, при которых обеспечивается минимум интегральной квадратической погрешности (ИКП) расчета поля. Показано, что: при фиксированной высоте точки наблюдения точность схемы Кран-ка-Николсон значительно возрастает, когда расстояние от источника превышает некоторое значение; на относительно большой дальности вычислений точность оптимизированной схемы Кранка-Николсон превосходит точность метода Фурье, который до сих пор считался самым точным методом численного решения ПУ.

2. Оценена точность вычислений для разных способов выбора значений параметров вычислительных схем Кранка-Николсон высших порядков аппроксимации и даны рекомендации по их использованию.

3. Исследовано влияние на точность прогнозирования значений параметров поглощающего слоя, который используется для задания верхнего граничного условия при численном решении ПУ методом Фурье. Предложены более удачные формы и значения параметров этого слоя.

4. Предложен новый вариант комбинированной модели распространения радиоволн над поверхностью Земли.

5. Впервые в России проведен эксперимент по оценке эффективности методов прогнозирования и показано, что возможно прогнозирование зон радиовидимости в условиях прямой видимости и полутени с ошибкой, не превышающей 5 дБ.

Личный вклад автора: проведение многопараметрической оптимизации схемы Кранка-Николсон, исследование влияния поглощающих слоёв на точность прогнозирования, разработка новой комбинированной модели распространения. Также личный вклад автора состоял: в реализации и проведении большинства исследований, в непосредственном участии при анализе, сборе, обработке и получении экспериментальных данных.

Практическая ценность работы определяется ее направленностью на решение вопросов повышения достоверности прогнозирования при помощи комплекса ТУСУРа, разрабатываемого в НИИ РТС. Результаты работы представляют интерес не только с научной точки зрения и процесса обучения, но и в плане их использования в радиотехнических системах с целью повышения надежности их работы. Основные выводы, полученные в ходе работы, позволяют реально оценивать возможности таких современных систем оперативного прогнозирования характеристик поля УКВ над морем, как AREPS, TEMPER, комплекс ТУСУРа и давать определенные рекомендации по целесообразности их приобретения и использования в морском флоте, в телекоммуникационных системах и системах связи.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Введение реальной части в весовые коэффициенты схемы Кранка-Николсон при численном решении ПУ позволяет увеличить точность расчета множителя ослабления без увеличения вычислительных затрат.

2. Существует интервал высот, для которого оптимизированная схема Кранка-Николсон при численном решении ПУ на большой дальности обеспечивает более высокую точность, чем метод быстрого преобразования Фурье, при равных вычислительных затратах.

3. Возможно оперативное прогнозирование ожидаемого значения множителя ослабления в зонах прямой видимости и полутени с ошибкой, не превышающей 5 дБ.

Апробация работы. Результаты выполненных исследований докладывались и обсуждались на: XL Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс: Физика» (НГУ, г. Новосибирск: 2000 г.); Региональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР - 2003» (ТУСУР, г. Томск, 2003 г.); XLIII Международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс: Физика» (НГУ, г. Новосибирск, 2005 г.); Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов «Научная сессия ТУСУР - 2005» (ТУСУР, г. Томск, 2005 г.); XXI Всероссийской научной конференции Распространение радиоволн (МарГТУ, г. Йошкар-Ола, 2005 г.); Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2006» (ТУСУР, г. Томск, 2006 г.); Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и студентов «Современные проблемы радиоэлектроники» (ИПЦ КГТУ, г. Красноярск, 2005 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы: 1 статья в журнале, входящем в перечень ВАК, 3 статьи в сборниках научных трудов, 8 статей в сборниках конференций.

Объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 180 страниц машинописного текста, 92 рисунков, 22 таблиц. Список литературы включает 100 работ отечественных и зарубежных авторов.

Выводы

Таким образом, самым простым методом введения неровной земной поверхности в расчет поля является метод маскирования трассы. Но данный метод может быть включен в расчет наиболее успешно при решении ПУ с помощью схемы Кранка-Николсон (К.-Н.). При решении ПУ методом Фурье использование маскирования трассы будет нецелесообразным, т.к. при этом количество узлов расчетной сетки по высоте будет меняться с каждым шагом по дальности, что исключает эффективное применение БПФ (т.к. для БПФ необходимо иметь количество узлов по высоте равным степени двойки). По-видимому, при решении задач прогнозирования с помощью схемы К.-Н. маскирование трассы будет наиболее подходящим способом учета земной поверхности, т.к. ошибки, вносимые при этом в расчет, по некоторым данным [85], не существенны. По предварительным оценкам автора основную погрешность вносят «ступеньки», находящиеся вблизи источника излучения.

При решении ПУ методом Фурье всё же видится наиболее оправданным применение криволинейных координат. Предположительно, основные погрешности в этом случае будут связаны с тем, что при этом нарушается условие перпендикулярности вертикальных линий расчетной сетки к земной поверхности. Это приводит к тому, что применение условия (3.1) будет не вполне корректным.

3.2 Верхнее граничное условие метода Фурье

Как отмечалось выше, верхнее граничное условие вводится с помощью искусственных вычислительных операций, которые нужны для того, чтобы ограничить область расчета по высоте. Верхняя граница должна представлять на конечной дистанции условия излучения Зоммерфельда [86] — она должна быть абсолютно прозрачной, позволяющей всей энергии, приходящей снизу к границе, уходить в бесконечность.

Простейшие реализации ограничения области расчета при моделировании с помощью параболического уравнения основывались на поглощающих слоях, которые хорошо работают для малых углов распространения относительно оси Ох, но становятся неприемлемыми для.больших углов относительно горизонта [6]. Вообще, существуют и другие способы задания верхнего граничного условия, такие, как идеально согласованный слой (perfectly matched layer) [88], нелокальное граничное условие [80, 81, 84]; тем не менее поглощающие слои, ввиду простоты их реализации, всё еще являются самой популярной технологией ограничения области расчета. Особенно отметим тот факт, что для метода Фурье поглощающий слой является единственной возможностью задания верхнего граничного условия, в то время как для схемы Кранка-Николсон (К.-Н.) возможны и другие варианты.

В данном разделе предлагаются рекомендации по улучшению точности расчетов при введении верхнего граничного условия в виде поглощающего слоя.

Наиболее известным вариантом поглощающего слоя является окно Хе-нинга [6]. По сути, поглощающий слой - это функция от высоты при фиксированной дальности, на которую умножают значения электромагнитного поля в узлах сетки. Данная функция должна в основной расчетной области принимать значение единицы, а на границе плавно уменьшаться.

Недостаток использования таких поглощающих слоев — это то, что уровень сигнала с расстоянием начинает убывать по экспоненте, а не по закону Иг. На большой дальности это приводит к заметным ошибкам. То есть, влияние поглощающего слоя на точность расчетов с помощью численных схем очевидно. Есть множество работ, посвященных исследованию поглощающих слоёв при их использовании в паре с другими методами [87]. Тем не менее, вопросы о том, как именно сказывается использование поглощающего слоя на точности численного решения ПУ, как лучше выбрать параметры слоя, насколько известно, количественно не исследовались. Именно этим вопросам посвящен данный подраздел.

Влияние граничного условия в виде поглощающего слоя на точность расчетов

Ниже анализируется влияние верхнего граничного условия на расчет поля методом Фурье и с помощью схемы К.-Н. Влияние земли учитываться не будет, поэтому граничное условие вводится одинаково сверху и снизу. В качестве граничного условия будем использовать косинусную модель искусственного поглощающего слоя (3.7) (рис.3.6). Весовые коэффициенты поглощения имеют вид n-Nc) w{n) = 1 - Ас + А ■ cos дляNc<n<N, (3.7)

N-Nc л где Ас — амплитуда функции поглощения, w(n) = 1 в рабочей области 0 < п < Nc.

Обычно в качестве функции поглощения win) используют окно Хеннин-га, для которого в предыдущей формуле Ас = 1/2.

Ширину поглощающего слоя будем считать фиксированной и равной четвертой части рабочей области. Характер затухания имеет закон косинуса, в этом случае отсутствуют резкие переходы и минимизируются отражения. Амплитуду косинусоиды Ас будем называть амплитудой функции поглощения. l коэффициент поглощения

0.5 0 N полоса расчета

Рис.3.6. Распределение коэффициентов поглощения в полосе расчета при амплитудах функции поглощения: 1 — Ас = 0,1;

2-Ас = 0,3; 3 -Ас = 0,5

Поглощающий слой для двух методов вводится одинаково: умножаем поле в узлах сетки на коэффициенты поглощения (3.7). Погрешности оценим, сравнивая поле в безграничной среде (7V->оо, идеальные условия) с полем, рассчитанным при конечных значениях N с использованием поглощающего слоя. Для этого будем вычислять ИКП а (2.8), |г| (2.9) и аг (2.16). Чем меньше а, тем точнее проведен расчет, тем лучше поглощающий слой.

Сначала приведем результаты, полученные для метода Фурье. В расчете использовались следующие величины параметров: А, = 0,1 м, AZ — 1 м. Для тес

17 тового расчета (N->оо) взяли 131072 = 2 точек по вертикали. Из теоремы отсчетов для спектра получили максимальную дальность, на которой начинает

1П проявляться наличие границ. Она составляет 2 м. Чтобы надежно исключить влияние граничных условий, расчетная дальность была взята много меньше — 150 км. Результаты расчетов показаны на рис.3.7.

Ширина четной функции Грина составляет примерно 15000 точек, что соответствует в нашем случае 15 км. Теперь уменьшим полосу расчета до N = 4096 и введем поглощающий слой снизу и сверху, шириной в четверть полосы расчета (рис.3.6). О степени совпадения графиков будем судить по а. полоса расчета

В процессе проведения исследований была замечена интересная особенность: если характеристика поглощающего слоя имеет большую амплитуду, то отражения велики, и в полосе расчета возникают характерные выбросы, связанные с интерференцией волн. При уменьшении амплитуды функции поглощения, интенсивность отражений уменьшается и а уменьшается (рис.3.8).

Вычислительный эксперимент показывает, что максимум \г\ достигается при амплитуде 0,04 (так же на рис.3.8). На рис.3.9 показаны результаты расчета модуля напряженности поля с использованием поглощающего слоя при N— 4096 и АХ= 200 м, тестового расчета и функция затухания в слое.

При этом |г| = 0,9998, то есть очень высокий, а аг= 0,018. Это связано и с тем, что фазы функций в полосе расчета практически не отличаются. На рис.3.10 показана разность фаз для идеальной и расчетной функций.

Практически аналогичные оценки были сделаны для схемы К.-Н. Количество уравнений в системе равно количеству точек по вертикали без учета двух крайних точек, задающих верхнее и нижнее граничные условия. Вычисления разбиваются на два этапа: прямая и обратная прогонка. Во время прямой прогонки вычисляются промежуточные коэффициенты, а во время обратной рекурсивно вычисляется поле в узлах сетки.

В расчете использовались следующие параметры: А, = 0Дм, AZ=2m, АХ= 8 м, количество шагов 7000. Для тестового расчета (идеальный случай) взяли 1000 точек по вертикали. В этом случае можно считать, что граничные условия не повлияют на решение (см. рис.3.11), т.к. распределение поля еще не достигает границ.

Затем количество точек уменьшили до 200 и ввели поглощающий слой. Результаты вычислений показаны на рис.3.12.

Для этого случая |г| в полосе расчета составляет 0,995 (стг = 0,1). Причем, как видно из рисунка, отличие проявляется только по краям, в центре полосы графики хорошо совпадают.

1.5

Нормированная j амплитуда поля

0.5 0

0 2000 4000 6000 8000 1 104 Ширина полосы

Рис.3.7. Тестовый расчет для Фурье-метода (дальность 150 км) ст

0.3206047 0.3206043 0.3206039 0.3206035

0 0.1 0.2 0.3 ас Рис.3.8. Зависимость ст от амплитуды функции поглощения

При амплитуде поглощающего слоя 0,005, |г| = 0,999996 (стг = 0,003). Т.е. для схемы К.-Н. можно задавать толщину поглощающего слоя меньше, чем для метода Фурье, при этом амплитуда функции поглощения для схемы К.-Н. должна быть меньше. Это объясняется наличием мнимых источников излучения для метода Фурье, обусловленных применением технологии дискретного преобразования Фурье. Если амплитуду уменьшать дальше, то корреляция уменьшается. Фаза в этом случае очень хорошо совпадает во всей полосе.

Отметим, что при значительном уменьшении полосы расчета и, соответственно, объема вычислений, результаты очень незначительно отличаются от полоса

Рис.3.9. Тестовый расчет функции Грина и расчет с поглощающим слоем на дальности 150 км при амплитуде функции поглощения 0,04: 1 - расчет с поглощающим слоем; 2 - тестовый расчет; 3 - характеристика поглощающего слоя

Рис.3.10. Разность фаз идеальной и расчетной функций: 1 - в рабочей области; 2 - за пределами рабочей области тестовых расчетов (рис.3.14). Т.е., слой весьма точно имитирует отсутствующее в расчетах бесконечное пространство, куда уходят радиоволны. Следует также сказать об амплитуде функции поглощения. Вначале предполагалось, что ее величина на каждом шаге будет 0,5; но, как показали результаты, чем больше шагов делается, тем меньше должна быть амплитуда поглощающего слоя на каждом шаге. Это связано с тем, что характеристики поглощения на каждом шаге перемножаются, и при большом количестве шагов и небольшой амплитуде функции поглощения, в итоге, получим плавное затухание поля в слое, практически до нуля.

В табл.3.1-3.3 приведены значения ИКП, допускаемой при расчете напряженности поля методом преобразования Фурье с использованием поглощающего слоя (25% от полосы расчета) при различных значениях параметров вычислительной схемы.

Интересна особенность табл.3.1: когда уменьшается полоса расчета, то увеличивается |/*| (хотя предположительно должно быть наоборот). Причем, как показал дополнительный расчет, это не связано с неоптимальностью амплитуды функции поглощения. Это «эффект большой дальности», который был отмечен в предыдущих разделах при проведении оптимизации схемы К.-Н. Это влияние отсутствия выбросов на краях функции Грина, т.е., уменьшая полосу расчета, прячем нежелательные выбросы G

0.12 амплитуда поля 0.1

0.08

0.06

0.04

0.02 J

0 0 200 400 600 800 1000 ширина полосы

Рис.3.11. Тестовый расчет для схемы К.-Н. (дальность 56 км) в поглощающем слое.

Уменьшение точности расчета при уменьшении шага по дальности (табл.3.3) - результат влияния поглощающего слоя; видно, что для АХ= 400 м значение Ас = 0,04 уже не является оптимальным. Как показал дополнительный расчет, оптимально подобранная амплитуда для каждого значения ДА' приводит к тому, что результаты будут отличаться незначительно. Все эти данные показывают, что ошибка, вызванная неидеальностью поглощающего слоя, если он занимает четверть полосы расчета по высоте, искажает результаты расчетов напряженности поля не более чем на 0,1 - 0,3 дБ на расстояниях до 300 км. Но в отдельных случаях для этого приходится до начала расчета подбирать наилучшие значения. Подводя итоги анализа ошибок разного вида, обусловленных неидеальностью численного алгоритма решения ПУ в неоднородной тропосфере, следует иметь в виду, что величину этих ошибок можно сделать сколь угодно малой при увеличении объема вычислений. Даже при достаточно экономном задании значений параметров возможно обеспечить суммарную ИКП вычислений в пределах 0,5. 1 дБ, что меньше величин ошибок, обусловленных другими причинами, главной из которых является недостаточно детальное знание структуры высотной зависимости индекса преломления на всех участках трассы. G

Рис.3.12. Тестовый расчет функций Грина при ширине 1000 точек и расчет с поглощающим слоем при ширине полосы расчета 200 точек (Ас — 0,5): 1 - расчет с поглощающим слоем, 2 - тестовый расчет, 3 - характеристика поглощающего слоя, доходит до единицы, как на рис.3.6

250

Рис.3.13. Модуль поля для идеального расчета и расчета с поглощающим слоем амплитуда функции поглощения 0,005)

2

Разность фаз 0

250

Рис.3.14. Разность фаз полей точечных источников для идеального расчета и расчета с поглощающим слоем (амплитуда функции поглощения 0,005) Табл.3 Л - Зависимость |г| и аг от ширины полосы расчета N при фиксированной дальности

N 1024 2048 4096

Ас 0,04 0,04 0,04 /0,05 /0,02

И 0,999929 0,999828 0,999704 / 0,999657 / 0,999663 аг 0,011885 0,018551 0,024318 / 0,026172 / 0,025943

Табл.3.2 - Зависимость |г| и аг от дальности при фиксированной полосе расчета N= 2048, шаге по дальности 200 м и амплитуде функции поглощения 0,04/0,05/0,02

D, м 50 150 300

Ас 0,04 / 0,05 / 0,02 0,04 0,04

И 0,999765 / 0,999727 / 0,999538 0,999828 0,999937

0,021668 / 0,023346 / 0,030382 0,018551 0,011259

Табл. 3.3 - Зависимость |г| и аг от шага по дальности при фиксированной дальности 150 км, полосе расчета ТУ =2048 и амплитуде функции поглощения 0,04/0,08

АХ, м 50 100 200 400

Ас 0,04 0,04 0,04 0,04/0,08

И 0,999275 0,999598 0,999828 0,996336 / 0,999825

СТг 0,038075 0,028343 0,018551 0,085521 /0,017824

Заключение

В результате данной работы были предложены усовершенствования численных методов, позволяющие в определенных случаях повысить оперативность и точность систем прогнозирования. Так например, было показано, что в условиях, когда необходимо оценить зону уверенного приема в области небольших высот и большой дальности, применение оптимизированной схемы Кранка-Николсон (К.-Н.) может на порядок повышать точность расчетов и на порядок сократить объем вычислений, повышая при этом оперативность системы.

Также была оценена работоспособность системы прогнозирования ТУ-СУРа. В этих целях в 2005 г. был специально проведен эксперимент, в котором система обеспечила точность прогноза около 1 дБ. В работе были даны оценки ожидаемой точности прогнозирования и рекомендации по усовершенствованию системы.

В ходе данной работы были получены следующие научные результаты:

1. Путем оптимизации схемы К.-Н. удалось значительно расширить ее область применимости. Для ряда исходных данных расчета предложены оптимальные значения коэффициентов схемы, величин шагов по дальности и высоте, при которых обеспечивается минимум интегральной квадратической погрешности (ИКП) расчета поля. Показано, что: при фиксированной высоте точки наблюдения точность схемы К.-Н. значительно возрастает, когда расстояние от источника превышает некоторое значение (относительная дальность bd > 500); на относительно большой дальности вычислений (bd> 500) точность оптимизированной схемы (К.-Н.) превосходит точность метода Фурье, который до сих пор считался самым точным методом численного решения параболического уравнения (ПУ).

В результате исследований было получено семейство графиков, позволяющих найти оптимальные параметры этой вычислительной схемы - шаги по высоте и дальности, значения весовых коэффициентов. При этом точность метода значительно повышается и ИКП может быть порядка ЫО"4 дБ на дальности 300 км при Х = 0,1 м и ширине ДН в 2°, а при использовании обычной схемы К.-Н. ИКП > 3 дБ. Самая низкая точность этой схемы получается на «средней дальности»; но даже наихудшая точность не превышает 0,72 дБ для относительного объема вычислений 5s = 0,05.

2. Предложен достаточно обоснованный метод выбора весовых коэффициентов разностных вычислительных схем высших порядков аппроксимации. Оценена точность вычислений при использовании этих схем и даны рекомендации по их использованию. Путем прямых вычислений было отмечено, что нет особого смысла использовать схемы с порядком аппроксимации больше 10 (22-ти точечная схема), т.к. при этом не наблюдается значительное увеличение точности расчетов, а вычислительные затраты возрастают. Точность такой схемы выше точности схемы К.-Н. Так, при длине волны А, = 0,1 модальности D = 2 км и относительном шаге по дальности 5л: = 0,5 ошибка для обычной схемы К.-Н. составила 4,9 дБ, а для 22-х точечной схемы 3,2 дБ.

Несмотря на то, что- точность расчетов возрастает при увеличении порядка аппроксимации схемы, такие схемы можно применять лишь на относительно небольшой дальности до d= 10, т.к. точность остаётся недостаточной при использовании описанных методик подбора весовых коэффициентов.

3. Исследовано влияние на точность прогнозирования значений параметров поглощающего слоя, который используется для задания верхнего граничного условия при численном решении ПУ методом Фурье. Предложены более удачные значения параметров этого слоя.

Было установлено, что уменьшение вычислительных затрат при использовании поглощающего слоя с определенными параметрами может проводиться почти без потерь точности. При этом можно использовать обычное окно Хеннинга, хотя при достаточно большом количестве шагов по дальности (>1500) и достаточно малом количестве узлов сетки по высоте (<512) следует уменьшить амплитуду поглощения Ас примерно в 10 раз. При этом ИКП, обусловленная несовершенством поглощающего слоя, не должна превышать 0,5-1 дБ.

4. Предложен более совершенный вариант схемы комбинированной модели распространения радиоволн, в котором помимо метода Фурье используется и оптимизированная схема Кранка-Николсон.

Предлагается использовать новую комбинированную модель распространения радиоволн. При этом в существующей модели зону, где решается ПУ, следует разбить на две подзоны: в первой подзоне использовать численное решение, полученное методом Фурье (на относительно небольшой дальности этот метод дает достаточно точные результаты); а, начиная с относительной дальности dd = 500, проводить расчет с помощью оптимизированной схемы Кранка-Николсон, где ее точность превышает точность метода Фурье.

5. Впервые в России проведен эксперимент по оценке эффективности методов прогнозирования с одновременным измерением уровня сигнала и значений параметров тропосферы в одной и той же точке пространства и показано, что возможно прогнозирование зон радиовидимости в условиях прямой видимости и полутени с ошибкой, не превышающей 5 дБ.

В 2005 г. в районе Кулундинского озера был специально проведен эксперимент с целью оценки работоспособности системы диагностики ТУСУРа. При этом применялась уникальная методика одновременного измерения уровня сигнала и индекса преломления практически в одной точке пространства. Было показано, что возможно прогнозирование на дальности порядка 10 км с точностью < 1 дБ. Оценка достижимой точности по литературным данным увеличивает эту цифру до 5 дБ.

Полученные результаты учтены при разработке в ТУСУРе системы прогнозирования характеристик поля УКВ над морем по данным радиометеорологических измерений: Основные результаты диссертационной работы опубликовано в [89-100].

1. Hitney H.V. and Richter J.H. Integrated Refractive Effects Prediction System (IREPS) H.V. Hitney, J.H. Richter// Nav. Eng. J. 1976, Apr. Vol. 88, 2. P. 257-262.

2. Белоброва М.В. Пакет программ для оценки условий распространения радиоволн УКВ-диапазона в пограничном слое атмосферы над морем/ М.В. Белоброва, А.В. Кукушкин, М.Б. Левин, Я.А. Фастовский Препринт. РИ АН УССР. Харьков, 1989. 31. 39. 3. AREPS 2.0 User Guide. Space and Naval Warfare Systems Center. San Diego, February 2000 [Электронный ресурс]. San Diego: SSC, 2000, Feb. Режим доступа: http://areps.spawar.navy.mil

3. PattersonW.L. Advanced Refractive Effects Prediction System (AREPS)// Radar Conference, 2007 IEEE, 17-20 April 2007. 2007. P. 891-895.

4. Brookner E. AREPS and TEMPER Getting Familiar with these Powerful Propagation Software Tools E. Brookner, P.-R. Comely, F.L. Yuchoi Radar Conference, 2007 IEEE 17-20 April 2007. 2007. P. 1034-1043.

5. Levy M. Parabolic equation methods for electromagnetic wave propagation. London: The IEE, 2000. 336 p.

6. СамарскийA.A. Введение

7. Barrios А.Е. Parabolic Equation Modeling in Horizontally Inhomogeneous Environments// IEEE Trans. Ant. and Prop.- 1992, July.- Vol.40, 7 P. 791-797.

8. Sailors D.R. Advanced Propagation Model (АРМ) Computer Software Configuration Item (CSCI) Documents [Электронный ресурс]: TECHNICAL DOCUMENT 3033 Approved for public release: distribution is unlimited D.R. Sailors, A.E. Barrios, W.L.Patterson, H.V. Hitney. 1998, August.- Режим доступа: http://areps.spawar.navy.mil t t

9. Dockery D. Modeling Electromagnetic Wave propagation in the Troposphere Using the Parabolic Equation// IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1988. Vol. 36, 10. P. 1464-1470.

10. Marcus S. A Hybrid (Finite Difference Surface Greens Function) Method for Computing Transmission Losses in an Inhomogeneous Atmosphere Over Irregular Terrain IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1992. Vol. 40, 1 2 P 1451-1458.

11. Thews E.R. Scattering and Propagation Impacts on Shipboard Radar Systems E.R. Thews, G.D. Dockery IEEE International Radar Conference, 7-10 May 1990 Record of the IEEE 1990 International. 1990. P. 401-408.

12. Хитни Г.В. Распространение радиоволн в тропосфере: Обзор Г.В. Хитни, Ю.Х. Рихтер, [и др.] ТИИЭР. 1985. Т. 73, 2. 106-127.

13. Кукушкин А.В. Загоризонтное распространение ультракоротких радиоволн над морем (Обзор) А.В. Кукушкин, В.Д. Фрейлихер, И.М. Фукс Изв. вузов. Радиофизика. 1987. Т. XXX, 7. 811-840.

14. Самарский А.А. Численные методы: Учеб. пособие для вузов/ А.А. Самарский, А.В. Рулин. М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. 432 с.

16. Фарлоу Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: Учебное пособие для вузов: Пер. с англ. Фарлоу; пер. А.И. Плис, ред. СИ. Похожаев. М.: Мир, 1985. 383[1] с ил. 18. YeeK.S. Conformal finite-difference time-domain (FDTD) with overlapping grids K.S. Yee, J.S. Chen, A.H. Chang IEEE Trans. Ant. and Propag. 1992. Vol. 40, 9. P. 1068-1075.

17. СаульевВ.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физмат, изд., 1960. 324 с.

18. Грудинская Г.П. Распространение радиоволн: Учеб. пособие для радиотехн. спец. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Высш. школа, 1975. 280 с.

19. Калинин А.И. Распространение радиоволн и работа радиолиний/ А.И. Калинин, Е.Л. Черенкова. М.: Связь, 1971. 450 с.

20. Справочник по радиолокации. Т.

21. Основы радиолокации/ Под ред. М. Сколника; пер. с англ. под ред. Я.С. Ицхоки. М.: Сов. радио, 1976. -204 с.

22. Васин В.В. Справочник задачник по радиолокации В.В. Васин, Б.М. Степанов. М Сов. радио, 1977. 320 с.

23. Лутченко А.А. Решение некоторых задач распространения радиоволн над земной поверхностью методом сеток А.А. Лутченко, Н.П. Тихомиров Проблемы дифракции и распространения волн.- Вып. 2 2 М.: Изд. Ленинградского Университета, 1989.- 130-140.

24. Бейкер Дж. Аппроксимации Паде: Пер. с англ. Дж. Бейкер, П. ГрейвсМоррис. М.: Мир, 1986. 502 с.

25. Марпл-мл. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 584 с.

26. Фортран 77 для ПЭВМ ЕС: Справ, изд. З.С. Брич, Д.В. Капилевич, НА. Клецкова. М.: Финансы и статистика, 1991. 288 с.

27. Бартеньев О.В. Visual Fortran: новые возможности. М.: Диалог-МИФИ, 1999.-304 с.

28. Штыков В.В. FORTRAN WIN32 API: Создание программного интерфейса для Windows средствами современного Фортрана. М.: Диалог-МИФИ, 2001.-304 с.

30. Краснопевцев Е.А. Математические методы физики. Избранные вопросы:Учебник для вузов Е.А. Краснопевцев. Новосибирск: НГТУ, 2003. 242, [2] с ил.

31. Кравцов Ю.А. Геометрическая оптика неоднородных сред Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов М.: Наука, 1980. 304 с.

32. Сейдж Э. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении Э. Сейдж, Дж. Меле. М.: Связь, 1976. 496 с.

33. Ярлыков М.С. Марковская теория оценивания случайных процессов М.С. Ярлыков, М.А. Миронов. М.: Радио и связь, 1993. 464 с.

34. Голев К.В. Расчет дальности действия радиолокационных станций. М.: Сов. радио, 1962. 204 с.

35. Kuttler J.R. Theoretical description of parabolic approximation Fourier splitstep method of representing electromagnetic propagation in the troposphere J.R. Kuttler, G.D. Dockery Radio Science. 1991, March-April. Vol. 26, 2. P. 381-393.

36. Черный Ф.Б. Распространение радиоволн. Изд. 2-е, доп. и переработ. М.: Сов. Радио, 1972. 464 с.

37. Smith Е.К. The Constants in the Equation for Atmospheric Refractive Index at Radio Frequencies/ E.K.Smith, S. Weintraub.// Proc. I R E 1953.№ 8 P 1035-1037.

38. Радиосвязь. Термины и определения [Текст]: ГОСТ 24375-80*- Изд. окт. 1986 с Изм. 1 (ИУС.1986. №6) введ. 01.01.82.

39. Долуханов М.П. Распространение радиоволн. М.: Связь, 1972. 336 с.

40. Ульянов Б.И. Антенны. Л.: СУДПРОМ ГИЗ, 1975. 232 с.

41. Ямпольский В.Г. Антенны и ЭМС В.Г. Ямпольский, О.П. Фролов. М.: Радио и связь, 1983. 272 с.

42. Kizhner L.I. Periodical Variations of the Refractive Index in Different Vol.41, Regions of the World [Текст] L.I. Kizhner, V.L Slutsky, L.V. Pavlova Wave Propagation and Remote Sensing: Proceedings of the 7th URSI Comission F Open Symposium. Ahmedabad, India, 1995, 20-24 Nov.

43. Радиоклиматический тропосферный атлас Тихого океана Под ред. Г.С. Шарыгина. Томск: Томск, гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР), 2000. 171 с.

44. Ducting Climatology Summary (DCS) Program Version 2.0 21 [Электронный ресурс] Naval Command, Control and Ocean Surveillance Center RDT&E: Division Code 543, CA 92152-7385. San Diego, 1992, January.- Программное обеспечение. Систем, требования: ПК 486 или выше; Windows 95-98.

45. Ровкин М.Е. Программа расчета характеристик поля УКВ по измеренному высотному профилю показателя преломления М.Е. Ровкин, Ю.П. Акулиничев, М.П. Козлов Труды XX Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн», 2-4 июля 2002 года, Нижний Новгород. Н.Новгород: Талам, 2002. 493-94.

46. Беспалов Д.П. Психрометрические таблицы Д.П. Беспалов, В.Н. Козлов, Л.Т. Матвеев Л.: Гидрометиздат, 1972. 236 с.

47. Anderson K.D. Radar Detection of Low-Altitude Targets in Maritime Environment// IEEE Transactions on Antennas and Propagation.- 1995, June. Vol. 43, 6 P 609-613.

48. ВержбицскийB.M. Основы численных методов: Учебник для вузов/ В.М. Вержбицский. М.: Высш. шк., 2002. 840 с.

49. Barrios А.Е. A Terrain Parabolic Equation Model for Propagation in the Troposphere IEEE Trans. Ant. and Prop. 1994, January. Vol. 42, 1. P. 9

50. Akbarpour R. Ray-Tracing and Parabolic Equation Methods in the Modeling of a Tropospheric Microwave Link R. Akbarpour, A.R. Webster IEEE Trans, on Ant. and Prop. 2005, November. Vol. 53, 11. P. 3785-3791.

51. Sevgi L. A MATLAB-Based Two-Dimensional Parabolic Equation Radiowave Propagation Package L. Sevgi, Qagatay Ulu§ik, Funda Akleman. IEEE Antennas and Propagation Magazine. 2005. Vol. 47, 4. P. 164-175.

52. Измерение коэффициента преломления воздуха в атмосфере при. помощи самолетного рефрактометра Вестник информации. 1954. 5. 1-3.

53. Кадыров А. Автокорреляционные функции распределения вертикального градиента показателя преломления воздуха и метеоэлементов при распространении сантиметровых волн на горной трассе под малыми углами места/ А. Кадыров, А. Аманов Всесоюз. совещ. по рефракции электромагнитных волн в атмосфере: Тез. докл. Томск, 1983. 136—138.

54. Бородин В.Г. Обнаружение условий волноводного распространения УКВ над морем с помощью лидара/ В.Г.Бородин, В.А.Букин, С Ю Столярчук, В.А. Тяпкин// Радиотехника и электроника.- 1985.- Т. 30, 6 12191221. 58. Бин Б.Р. Радиометеорология Б.Р. Бин, Е.Дж. Даттон; Пер. с англ. Т.И. Арсеньен. Л.: ГМИ, 1971. 362 с.

55. Jeske Н. Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im cm-bus m-Band uber dem Meer unter besonderer Berucksichtigung der meteorologischen Bedingungen in der maritimen Grenzschicht Hamburg, geophus. Einzelschr. 1 9 6 5 6 P 160.

56. Измерение флуктуации коэффициента преломления в тропосфере. Вестник информации. 1953. 13. 1-3. 61.0гураИ. Моделирование конвекции// Динамика погоды/ Под ред. Манабе. Л.: ГМИ., 1988. С 383417.

57. Красюк Н.П. [и др] Влияние тропосферы и подстилающей поверхности на работу РЛС. М.: Радио и связь, 1988.

58. Гаврилов А.С. Метод расчета структуры приводного слоя атмосферы применительно к задачам радиолокации над океаном А.С. Гаврилов, Ю.С. Петров Рассеяние и дифракция радиолокационных сигналов и их информативность: сб. тр. Л.: СЗПИ, 1984. 31—36.

59. Paulus R.A. Practical application of an evaporation duct model Radio Sci.1985. Vol. 20, 4. P. 887-896.

60. Глушенкова А.А. Временная устойчивость и пространственная протяженность атмосферных волноводов над океаном А.А. Глушенкова,

61. Craig К.Н. Roots of the mode eguation for propagation on an elevated duct 14the Int. Conf. Antennas and Propag. (ЮАР 85), Ceventry, 16-19 Apr. 1

63. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В 2 кн. Кн. 1 Б.Р. Левин. М.: Сов. радио, 1966. 728 с ил.

64. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника: монография В.И. Тихонов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.

65. Пинус Н.З. О вертикальном профиле структурной характеристики коэффициента преломления света в тропосфере и стратосфере Известия АН СССР. ФАО. 1985. Т. 21, 1. 90-93.

66. Гаврилов А.С. Расчет турбулентных характеристик, определяющих ослабление радиоволн А.С. Гаврилов, С М Пономарева, В.И. Радикевич Физика и исследование атмосферы. 1977. 62. 2128.

67. Градиент индекса преломления над акваторией Мирового океана [Текст]: отчет о НИР «Градиент-ТГУ» (сводный заключ.) Томский государственный университет (ТГУ); рук. Слуцкий В.И. Томск, 1986. 130 с. 72.[ Текст отчета о НИР]: отчет о НИР «ТЕВЛИ-РВО» (сводный заключ.)/ Томский государственный университет (ТГУ); рук. от ДВНИГМИ: М.Р. Гарбер; рук. от Приморскгидромета: Г.В. Диденко. Томск, 1989. 61 с.

68. Абарыков В:Н. К вопросу прогнозирования дифракционного-поля на радиотрассах в диапазоне УКВ В.Н. Абарыков, А.С. Батороев Распространение радиоволн: сб. докл. XXI Всероссийской научной конференции, Йошкар-Ола, 2527 мая 2005 г: в 2 т. Йошкар-Ола: МарГТУ, 2005. Т.1. 302-305

69. Donohue D.J. Modeling Radar Propagation Over Terrain D.J. Donohue, J.R.Kuttler// Jonhs Hopkins APL Technical D i g e s t 1997.- Vol.18, 2 P. 279-287.

70. Davis B.A. Diffraction by a Randomly Rough Knife Edge IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2002, December. Vol. 50, 12. P.1769-1778.

71. Coleman C.J. Kirchhoff Integral Approach to Estimating Propagation in an Environment With Nonhomogeneous Atmosphere and Complex Boundaries IEEE Transactions on Antennas and Propagation.- 2005, October.- Vol.53, 1 0 P.3174-3179.

72. Janaswamy R.A Curvilinear Coordinate-Based Split-Step Parabolic Equation Method for Propagation Predictions over Terrain IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1998, July. Vol. 46, 7. P. 1089-1097.

73. Beilis A. Coupled mode analysis of multiple rough surface scattering A. Beilis, F.D. Tappert J. Acout, Soc. Am. 1979, Sept. Vol. 66, 3. P. 811826.

74. Dockery G.D., Kuttler J.R. An Improved Impedance-Boundary Algorithm for Fourier Split-Step Solution of the Parabolic Wave Equation D.G. Daniel, J.R. Kuttler// IEEE Transactions on Antennas and Propagation.- 1996, D e c Vol. 44, 12. P. 1592-1599.

75. Ehrhardt M. Discrete Transparent Boundary Conditions for Wide Angle Parabolic Equations for Non-Vanishing Starting Fields Journal of Computational Acoustics. -2005, March. 4.

76. Ehrhardt M. Solution to the Discrete Airy Equation: Application to Parabolic Equation Calculations Ehrhardt M., R.E. Mickens Journal of Computational and Applied Mathematics. 2004, Nov. Vol. 172, Issue 1. P. 183-206.

77. Боровиков B.A. Геометрическая теория дифракции B.A. Боровиков, Б.Е. Кинбер. М.: Связь, 1978. 247 с.

78. Борн М. Основы оптики М. Борн, Э. Вольф. М.: Наука, 1970. 855 с.

79. Ehrhardt М. Solutions to the Discrete Airy Equation: Application to Parabolic Equation Calculations M. Ehrhardt, R.E. Mickens J. Comput. Appl. Math. 2004.-Vol. 172, Issue l P 183-206.

80. Zelley C.A. Three-Dimensional Parabolic Equation Applied to VHF/UHF Propagation over Irregular Terrain C.A. Zelley, C.C. Constantinou IEEE Transactions on Antennas and Propagation.- 1999, Oct.- Vol. 47, 1 0 P. 1586-1596. 86. Нефёдов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах Е.И. Нефёдов. М.: Наука, 1979. 272 с.

81. Tirkas P.A. Higher Order Absorbing Boundary Conditions for the FiniteDifference Time-Domain Method P.A. Tirkas, C.A. Balanis, R.A. Renaut IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1992, Oct. Vol. 40, 10. P. 1215— 1222.

82. Berenger J.-P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves//J. Сотр. Phys.-1994.-Vol. 114.-P. 185-200.

83. Акулиничев Ю.П. Пространственно временная изменчивость пространственных спектров высотных профилей индекса преломления/ Ю.П. Акулиничев, М.Е. Ровкин, Л.В. Павлова, И.Н. Ваулин Труды XX Всерос. науч. конф. «Распространение радиоволн», 2 4 тр. Н Новгород: Талам, 2002. 182-183.

84. Абрамов П.В Нелокальные граничные условия при решении параболического уравнения П.В. Абрамов, И.Н. Ваулин Материалы XL Международной науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс: Физика». Новосибирск: НГУ, 2000. 96-97.

85. Абрамов П.В Выбор коэффициентов схемы Кранка Николсон численного решения параболического уравнения П.В. Абрамов, Ю.П. Акулиничев, И.Н. Ваулин Научная сессия ТУ СУР 2003: Материалы региональной научно-технической конференции. Томск, 2003. 4.1. 3-5.

86. Ваулин И.Н. Погрешности многоточечных симметричных схем численного решения параболического волнового уравнения Материалы XLIII Международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Физика-Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2005. 86. июля 2002г.: сб. науч.

87. Акулиничев Ю.П. Параболическое волновое уравнение, согласованное с условиями распространения радиоволн в нормальной атмосфере Ю.П. Акулиничев, М:Е. Ровкин, И.Н. Ваулин Распространение радиоволн: сборник докладов XXI Всероссийской научной конференции. В 2-х т. ЙошкарОла, 25-27 мая 2005 г. Йошкар-Ола: МарГТУ, 2005. Т.2. 268-271.

88. Акулиничев Ю.П. Предельная точность схемы Кранка-Николсон при численном решении параболического волнового уравнения Ю.П. Акулиничев, М.Е. Ровкин, И.Н. Ваулин Распространение радиоволн: сб. докл. XXI всерос. науч. конф., Йошкар-Ола, 25-27 мая 2005 г. В 2 т. Йошкар-Ола: МарГТУ, 2005. Т. 2. 272-276.

89. Акулиничев Ю.П. Анализ суточной изменчивости характеристик радиовидимости для районов Мирового океана Ю.П. Акулиничев, М.Е. Ровкин, И.Н: Ваулин Научная сессия ТУСУР-2006: Материалы всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых, Томск, 4-7 мая 2006 г. Томск: В-Спектр, 2006. 4.1. 65-69.

90. Ваулин И.Н. Оценка угла прихода и группового времени запаздывания радиоволн по результатам численного решения параболического уравнения/ И.Н. Ваулин, А.В. Новиков Научная сессия ТУСУР-2007: материалы докладов Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Тематический выпуск «Системная интеграция и безопасность»: Томск, 3-7 мая 2007 г Томск: Изд-во «В-Спектр», 2007.- 4 1 16-20.

91. Ровкин М.Е. Совместное измерение вертикальных профилей индекса рефракции и множителя ослабления сигнала 3-см диапазона над водной поверхностью М.Е. Ровкин, Ю.П. Акулиничев, В.А. Хлусов, В:Н. Ковалев,

92. Ваулин И.Н. Анализ суточной изменчивости характеристик радиовидимости для районов Мирового океана И.Н. Ваулин, Ю.П. Акулиничев Современные проблемы радиоэлектроники: Сб. научн. тр. Под ред. А.И. Громыко, А.В. Сарафанова; Отв. за вып. В.И. Ризуненко. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2005.

93. Акулиничев Ю.П. Оценка эффективности прогнозирования зон радиовидимости по имеющимся экспериментальным данным Ю.П. Акулиничев, И.Н. Ваулин, М.Е. Ровкин Изв. вузов. Физика. Томск, 2007. Т. 50, 5. 87-92.