Среднеквадратичный анализ на допустимых множествах, определяемых условиями реализации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 519.876.2

ШАГАНОВА Ольга Игоревна

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЙ СИНТЕЗ НА ДОПУСТИМЫХ МНОЖЕСТВАХ,-ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ УСЛОВИЯМИ РЕАЛИЗАЦИИ

01.01.09 - математическая кибернетика; 01.01.11 - системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1994

Работа выполнена на факультете прикладной математики, процессов управления Санкт-Петербургского государственно

■ универститета

Научный руководитель: кандидат технических, наук,

доцент Е.И.Веремей

Официальные оппоненты: доктор физико-математических i

профессор А.П.Жабко (Санкт-Петерк

кандидат физико-математических i Б.В.Дорофеев (Тула)

Ведущая организация: Центральный иаучно-исследовател!

институт "Аврора" (Санкт-ПетерС

Защита состоится " " 1994 Г-> в ÍG

на заседании специализированного совета K-0S3.57.16 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических при'Санкт-Петербургском государственном университете по aja Санкт-Петербург,Васильевский остров, 10 линия,дом 33.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной Сиб ке СПбГУ им. А.М.Горького (Санкт-Петербург, Университетская рекная, дом 7/9).

Автореферат разослан " ^ " Маргпс<_ 1994 г_

УчЗкый секретарь специализивованного соьета , В.Ф.Гогы

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Современный этап развития техники, технологии, различных автоматизированных систем управления техническими, биологическими и другими объектами предполагает широкое применение математических методов анализа и синтеза сложных динамически объектов и управляющих устройств.

Учет специфики конкретной ситуации, дополнительных условий и ограничений, возникающих в практических приложениях, ложег дать существенно лучший результат как при реализации синтьзируемых регуляторов, так и при формировании вычислительных схем их расчета. Это определяет возникновение новых проблем в рассматриваемом направлении, а следовательно и новых подходов к их решению. Невозможность непосредственного применения уже существующих методов решения задач в рассматриваемом направ„.знии связана с наличием следующих особенностей:

1. Неадекватность представления реального объекта простыми математическими моделями, а также сужение множества допустимых альтернатив за счет учета ограничений и условий, дополнительных по отношению к требованию устойчивости.

2. Трудности реализации мзтодов (алгоритмов) оптимального синтеза на базе имеющихся средств вычислительной техники.

3. Трудности реализации результатов оптимального синтеза -математических моделей оптимальных регуляторов - с помощью реальных технических устройств.

Целью работы является проведение исследований, направ ленных на развитие математических методов среднеквадратичной оптимизации динамических систем.Разрабатываемые методы ориентированы на выполнение комплекса дополнительных требований, предъявляемых к синтезируемым регуляторам, помимо требования устойчивости.

Методы исследований.В работе используются классические и современные методы анализа и синтеза динамических, ело¿ем -правления, базирующиеся на фундаментальны: трудах А.М.Л'ётова, В.И.Зубова, В.В.СолодсЕНикова, Н.Винера, В.С.Пугач ва. Построение и исс. .давание матокаткческих моделей объектов управления и интззируешх регуляторов осуществляется с привлечениям соьрег'нного аппарата математического анализа, теории оовкновенных дпф$еренциалышх

уравнений, высшей алгебры, спектральной теории случайных функций.

Научная новизна. Основное внимание в работе уделяется следующим на^равленгям исследований:

- разработка методов синтеза регуляторов, доставляющих минимум среднеквадратичному критерию качества с учетом особой сложности динамических режимов и требований, предъявляемых к ним при проек- . тировании, исследовании и функционировании систем управления морскими подвижными объектами;

- адаптация подхода, принятого в среднеквадратичной оптимизации,к решению задач управления движением судов с модификацией методов и алгоритмов, учитывающей специфику конкретной ситуации;

- разработка аналитических методов синтеза оптимальных регуляторов с учетом заданной':спектральной плотности ошибки измерения вектора состояния неполного ранга, построение 'соответствующих вычислительных алгоритмов;

- исследование проблема синтеза регуляторов, минимизирующих среднеквадратичное отклонение. регулируемой координаты при различных ограничениях на зоны линейности в канале управления, определение условий, при которых линеаризация приводит к потере адекватности модели объекту.

Практическая ценность результатов диссертации определяется тем,что,будучи использованы на различных этапах разработки систем автоматизированного . управления техническими объектами, они позволяют на этапе проектирования эффективнее проводить анализ динамических свойств объекта, выбирать.структуру управления в мак-скмахт-ном соответствии с заданными требованиями и ограничениями, а также упростить вычислительные процедуры синтеза оптимальных регуляторов,адаптируя их к возможностям,предоставляемым современными вычислительными-средствами. Полученные в диссертационной работе результаты позволили построить комплекс программ для автоматизации процесса проектирования систем автоматического управления, существенно повышающий эффективность и качество выполняемых работ.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также е§ отдельные части и полученные результаты докладывались VII и VIII Всесоюзных научно-технических конференциях "Проблемы комплексной автоматизации судовах технических средств" (г.Ленинград, 1989 г.и 1992 г.), нз семинарах кафедр теории систем управления и математического моделирования энергетических систем'и НШ Вычислительной матема-

тики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 печатных работы.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из вв^де-ния, трёх глав, заключения и списка литературы, включающего 91 наименование. Объем работы составляет 130 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность решаемой проблемы, сформулированы цель и направления исследований, приведено краткое содержание диссертационной работы, осуществлена общая постановка решаемых в диссертационной работе задач, а также проведен анализ соответствующих научных работ по теме исследований.

В качестве моделей объектов управления в работе приняты системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

х БЧх/и.ф) , (1)

заданные на положительной полуоси времени ЪеСО.ю). Здесь хейп-вектор состояния объекта (отклонение движения от программного), иеН1- управление, фей1- возмущение, Р — п-мерная вектор-функция с непрерывными и дифференцируемыми по всем аргументам компонентами в окрестности положения равновесия хз0,и=0,ф=а. в качестве регулятора рассматривается устройство с математической "оцелью вида и = Р[УНБ)х], ' .; ' 1.2)

где Б=й/Ш -оператор дифференцирования. '.V (Б) (Б) /41 г (0) - передаточная матрица линейной части регулятора, компоненты которой -дробно-рациональные функции от.Б. • '

Если функция Р обладает же свойствами, что к Р, то можно линеаризовать замкнутую систем! (1),(2) р.окрестности положения равновесия. Будем считать, что уравнения линь.лого прибли жения для объекта к . регулятора соответственно ; ..геют вид

х = Ах +Ьи т С(ОШ, (3)

и = ШВ)х,

- б -

где А,Ь,с - матрицы с постоянными коэффициентами. Регуляторы вида (4), обеспечивающие устойчивость линейного приближения (3),(4), будем называть стабилизирующими,отовдествляя их множество в дальнейшем с соотвегсгвуквдш множеством П0 их передаточных матриц №.

На движениях системы (1),(2) зададим некоторый неотрицательный функционал

«гп = .угт.ит) = «гп(щ, (5)

который при прочих равных условиях зависит от выбора передаточной матрицы Я(Б) регулятора (2).

Определение 1. Задачей аналитического синтеза линейных регуляторов будем называть задачу

Л = 3 (V) —* (6)

п п ща0

о поиске оптимального по отношению к 3 регулятора, стабилизирующего линейное приближение (3),(4).

3 частном случае, если функция ери) является стационарным случайным процессом, обладавшим аргодическим свойством и нулевым математическим ожиданием, то функционал (5), характеризующий качество процесса стабилизации в системе (3), (4), естественно принять в виде

J = Ilm 1 Ггх' (t)Rx(t)+cl;u2U)]dt = <x'Rx>+c;

. Т-оо т J 0 0

ог>

о

Здесь R - положительно-определенная матрица с постоянными компонентами, c0=const.

Нетрудно показать, что ю

J = J(W> = f r[W(u),w]S (ш)с1ш, . (7)

о *

где _1

Г = c'[-EJU-A-bW(-2w)] R[EJübA-bW(3u)]c +

+ c®|W(Ju)[E(3w)-A-bW(3(d)] 1 с |,

S (ш) - спектральная плотность возмущения ф.

Определение 2. Задачей среднеквадратичного синтеза для системы (3),(4) будем называть задачу

J - J (Vi) —Inf (8)

' п п щпо

где J(W) определяется формулой (7).

В силу особенностей практического применения результатов

среднеквадратичной оптимизации, в отличие от классической по-

становки задачи синтеза в виде (8), в диссертации осногсов внимание уделяется исследованиям, связанным с поиском решения на множествах более узких, чем П0.

Определение 3. Среднеквадратичным синтезом на допустимых множествах, определяемых условиями реализации, будем называть задачи вида

= —•» <9>

п " яей

где соответствующее сужение области устойчивости,определя-

емое конкретной задачей.

В работе рассматриваются различные варианты задания множества А* в соответствии со следующими основными направлениям!' исследований:

- разработка методов синтеза регуляторов, доставляю.жх. минимум среднеквадратичному критерию качества с учетом особой сложности динамических режимов и требований, предъявляемых к ним при проектировании, исследовании и функционировании систем управления морским/ подвижными объектами;

- адаптация подхода, принятого в среднеквадратичной оптимизации,к решению задач управления движением судов с модификацией методов и алгоритмов, учитывающей специфику конкретной ситуации;

- разработка аналитических методов синтеза оптимальных регуляторов с учетом заданной спектральной плотности ошибки измерения вектора состояния неполного ранга, построение соответствующих вычислительных алгоритмов;

- исследорание проблемы синтеза регуляторов, минимизирукишх среднеквадратичное отклонение регулируемой координаты гри различных ограничениях на зоны линейности в канале управления,определение условий, при которых линеаризация приводит к потере адекватности модели объекту.

Первое сужение множества П0 определяется ограничениями на динамические характеристики различных режимов функционирования объекта. Обозначим через У=СУ1) вект.р параметров,которые контролируются в процессе движения. Пусть Уо(71>0,1=1,^,...) задана:! исходя из технических соображений вектор огранк .ений на параметры

V, т.е.требуется, чтобы ^К^ для гК), 1=1,2,----Тогда

множество й* можно определить следующим образом

< = {*€«0i IWoi' W.2....}'

При синтезе оптимальных регуляторов для систем управления со случайными возмущениями и помехами в канале управления количество измеряемых величин вообще говоря меньше, чем размерность вектора состояний. Указанное обстоятельство приводит к сужению множества допустимых убавлений, т.е.

ft* = |WÖ20| W"=WH, где Я*€Я

где у=Нх - уравнение измерителя,Я -множество произвольных дробно-рациональных функций.

При рассмотрении задачи синтеза с существенно нелинейными элементами кроме гурвицевости" характеристического полинома линейного приближения замкнутой системы необходимо потребовать ограниченность решения х* нелинейной, системы на всем интервале вре-ни t>Q, т.е. .. .

£2* = j iJxm{t.U,5 )Ц«М, VtSd, M=const«x>, cubs&j. -

Конкре тйзация решаемых задач осуществляется в каждой главе для рассматриваемых .ситуаций., ..

Первая глава посвящена разработке методов , синтеза тэегулято-ров, доставляющих минимум среднеквадратичному критерию качества с учетов специфики морских подвижных объектов. Рассмотрены две задачи, тесно связанные, меаду. собой, . а именно: задача фильтрации волноеой помехи в канале управления судном и-задача повышения точности/стабилизации судна на заданном курсе. Указанные задачи сформулированы для реального морского подвижного объекта с учетом комплекса требований к качеству функционирования.в различных динамических режимах. В.качестве 'возможных режимов движения объекта (3), определяемых конкретным видом возмущения. cp(t),рассмотрим. . следующие.' , ' л;.;..:.■:'' /. '

1.Собственное (невозмущенное) движение объекта(режим отработки командной поправки). Этот режим возникает в результате подачи командного сигнала (поправки) х* (т<=1 ,п) .через регулятор,например в виде u=k,x,+...+k (х -х*)..,+К х .Введение х* должно,обеспечить

11". т JR Ä. ' - .П Л Л

выход ш - ой компоненты вектора состояния на'необходимый уровень xn0= lim xn(t) при t^oo!. При -этом предполагается,что ф.(1; )зф (t)=0, х(0)=0, ö(0)=0. .Характеристиками данного'режима будем считать: перерегулирование .по й -ой координате " '

х£ = I sup |Xa(t)HXn0|]/|*n0l ; длительность переходного процесса

Т = lnijt :Vt5t ,|ix (t)-x i/х „к :

Л Л И. ни по

максимальное отклонение управления или интеграл от его квадрата

т

u = supIи(t)| или и = Г u(t)dt. * t-co в *Ь

2.Движение объекта при ступенчатом возмущении.Этот режим возникает в результате воздействия на объект возмущения cp(t)=<poi(t) при условиях x(Q)=0,ö(0)=0,cpo=const. Характеристиками данного движения цримем установившееся значение m - ой координаты

т? = lim |х (t) | , m t-«e> m

а также максимальное отклонение этой координаты.

х™ = з и р |х(t)|. m t€(o,»; m

3.Движение объекта при.стационарном волнэнии моря.Данный режим возникает при воздействии на объект ветро-волновых возмущений случайного характера,которые будем описывать функцией <p(t),такой, что <p(t)- стационарный зргодический случайный процесс с известной дробно-рациональной чётной спектральной плотностью S^oi) и нулевым математическим ожиданием. Будем считать, что этот резким характеризуется величинами среднеквадратичных функционалов'

т т „

J = Ilm J х' (t)Rx(t)dt, ' J = llin\f u2(t)dt , -

Т-»о> О Г->oo о

определяющими точность стабилизация и энергетические затраты на управление соответственно. •

В рамках данной работы, функции Р в система:(1) являются кусочно - линейными с конечным числом течек , отсутствия первой производной типовыми нелинейностями, которые в. простейшем случае вырождаются в линейную зависимость. Необходимость учета нелинейных характеристик Р обусловлена реальными ограничениями, определяемыми конструктивными особенностями объекта. В.параграфе,1.1 сформулирован ряд .теорем, позволяющих обосновать выбор структуры регулятора, что необходимо ввиду сложности задачи, и задано множес-. тво допустимых регуляторовопределяемое .конструктивными .особенностями. морских систем управления.:.фиксированная структура регулятора позволяет оптимизировать значение функционала-по искомом параметрам при неизменных базовых.--характеристиках, к которым относятся собственное .движение, а'статкзм'по.некоторой координате и т.д. В пункте-1.2 найдено,,' точное'реаенх8.псст2Елекнсй зздзт/.

произведена оценка степеней передаточных матриц с учетом выбранной структуры. На основе полученных результатов, в пункте 1.3 предложен метод квазиоптимального выбора регулятора,дающий существенные упрощения при алгоритмизации и написании прикладных программ по сравнению с оптимальным синтезом. Рассмотрен пример расчета реальной системы управления подводной лодкой, приведена графики, демонстрирующие изменение качества функционирования объекта в различных режимах в -зависимости от выбора закона управления.

Во второй главе решается задача синтеза оптимального регулятора при наличии случайной ошибки измерений в канале управления. Данная задача рассмотрена для случая вырожденности матрицы спектральных плотностей возмущающего воздействия и ошибки измерений, для которого решение в частотной области ранее не было получено. Введем в рассмотрение множество Р дробно-рациональных функций Ф, аналитических в правой полуплоскости. Пусть каждой ФеР соответствует Weiî^ и наоборот.Доказана следующая теорема.

Теорема 2.1 Решением задачи

J = J($) -min, ■ ~ № является дробно-рациональная функция.

Т-„(в) •. B*RC(s)clT(s)cN Т (-q)+R(s)D(s)'L(s)T (s)

Ф*(8) = -------1- >(10)

G(s)N3(s) G <-s)N3(-s ;

где полином G\s) имеет корни в левой полуплоскости и определяется из соотношения

iHs)G(-s) =B*(-s }RB(s) + с®А(з)ь(-з).'

Здесь A(8)=det(Es-A);B.:-)=A(s)(Ew-A)"'!b;C(s)=A(s)(Es-A)~1c. I'yp-вицзвы полиномы й, (s),N„(s),T (s),Г (s) - результат факторизации спектров Sv(s)=N (sj/T^fs), N = î^(з)Нп(-s,, Т = Т1(з)Т1(-s); L (s )-- N (з)/Т• (s), К = H (s)i;!(-s), Т = Т (s)T*(-s). Полином

ф i 1 Ф"1

N (s ) им'.-ет корни в левой полуплоскости и является числителем факторизоЕаннсгс спектр а процесса n(t); полином L(s) - гурвицев и такой, что .

I .з)aj(-s) = A(s)A(-s); полсгемя»льннй Бектор C(s) имеет вид

c;s) = Р ~1 сА I. s ) ; полином !'(£■- по-учзется - результате факторизации

Dis)D(-s) = dT;5!d(-s); л олив ом P.;s) ездзг-тся формулой

^ 0(-зЖ3(-з) В*(-р£)КС(р1 )(1т(р1 )с!?о(р. )Та(-р1) К(3) " " ^ ргз пср^ир^т/р^кн-р^н^я'

р1,1=1,....к,-корни произведения полиномов (~з) (предпола-

гаем, что они простые), причем деление в правой части (10) на негурвицевы полиномы С(-з),К3(-з) осуществляется нацело.

Приведенная теорзма служит основой расчетного алгоритма поиска решения задачи синтеза оптимального регулятора при неполном измерении вектора состояния и вырожденности "комбинированной" матрицы спектральных плотностей возмущающего воздействия и ошибки измерения.Соответствующая постановка актуальна зо многих технических приложениях, в т.ч. при решении проблемы синтеза регуляторов для морских подвижных объектов, представленной в первой главе. Для разработанного метода сформирован алгоритм синтеза оптимального регулятора, позволяющий получить решение в аналитическом виде и проводить исследование поведения объекта при полной и неполной информации о векторе состояния в автоматизированном режиме.В параграфе 2.3 приводится теорема, позволяющая сформировать расчетный алгоритм поиска оптимального решения в рассматриваемой задаче.

В главе 3 исследуются вопросы, связанные с необходимостью учета различного рода нелинейностей (ограничений на зону линейности) в канале управления различными объектами, в том числе - морскими судами. Подобные ограничения реально существуют в любой системе управления и требуют тщательного рассмотрения. В параграфе 3.1 осуществляется постановка и обсуждение проблемы. В следующем параграфе решается задача оптимального выбора коэффициентов компенсатора, представляющего собой обратную связь по возмущению. Доказана следующая теорема.

Теорема 3.2 Средний квадрат процесса х(1;) для замкнутой системы, где полином А (Б) - гурвицев, мокет быть представлен соотношением

<ха> =

С1 I

г-у/г

--^

о

|А№)|

-Л*-!,

-СО

Л °?(ЯЧ.1и)+ИГ(-.1ш))3. (ш)

ЙУ +

У/г_1 1 J ^у^ I |А(Зи)|г

г St(u) ¡|A(3u)|

dcj

= 2 l—00

где

1 00 1 Sfc((J)=-2n ji^CDcosondT, Sn(u)=-2fi j (W(T)W(-T)rkCc))nco3üJi;dT.B

-CO -CO

ft ]-кусочно-гладкая симметричная функция с конечным числом точек разрыва ( '-1) - й производной,причем f^L'l -дельта-функция либо суша дельта-функций.

Следует отметить, что аналитическое решение задачи о поиске оптимума на множестве П* представляется крайне сложным. Рассмотрим приближение к нему, основанное на фиксации структуры искомой передаточной функции W(a) (назначении степеней числителя и знаменателя) и выделении вектора heE1 варьируемых параметров.

При этом поставим задачу о поиске оптимального вектора h, минимизирующего функционал

J = J[W(E,h)] = <J(h)—Inf

где

helHff

iHj, = | hei1! u e ß* | .

Предлагается алгоритм синтеза оптимального компенсатора, построенный на основе сформулироваишх теорем. Далее рассматривав ютсл конкретные варианты задания нелинейности в виде срезки и зоны нечувствительности! .и доказывается существование решения по-ст£ ленной задачи для данных ограничений на зоны линейности для любых физически реализуемых объектов. В параграфе 3.3 решается задача с выбором регулятора в вида обратной, связи по состоянии. Разработан алгоритм синтеза в соответствии с полученным решением. Предложены такяз у 'роценные подходы к оценке влияния нелинейности на функционирование системы и для построения регуляторов с учетом дополнительных ограшнекий, сформулированы соответствующие алгоритмы. Рэесмо.рени примеры/ проанализированы случаи,когда примечание мг"лда статистической линеаризации для приближенного учета нелинейности не дззт удовлетворительных результатов. з последнем щр'-тгрегьей гласЫ предложен метод вычисления свертки дроб-

но-рациональных четных функций, позволяющий автоматизировать этот процесс.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены з итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие. 1. На примере задачи многорежимной стабилизации морских судов показана актуальность рассматриваемой в работе проблемы среднеквадратичного синтеза на допустимых множествах, являющихся сужением области устойчивости.

2.Обоснована структура закона управления судном в рассматриваемых режимах,позволяющая оптимизировать процессы стабилизации с учетом комплекса статических и динамических требований и ограничений.

3. Предложены методы поиска оптимальных и квазиоптимальных варьируемых элементов закона управления, приведены расчетные схемы, реализующие эти методы я примеры расчета.

4.Выполнены исследования,связанные с решением в частотной облзсти задачи среднеквадратичного синтеза с учетом погрешностей случайного характера в канале измерения. Предложен новый способ параметризации множества допустимых регуляторов.

5. Доказаны теоремы,обосновывающие аналитический метод поиска оптимального решения,при неполноте ранга матрицы спектральных плотностей возмущений, укззана возможность неединсгзейности оптимального регулятора.

6. Построен новый алгоритм синтеза оптимальных регуляторов для объектов,имеющих в своем составе,существенно нелинейные элементы, ограничивающие зоны линейности их характеристик...

7. Выявлены условия,при которых применение линеаризующих подходов непригодно. Предложены оценки необходимости перехода от полностью линеаризованной модели к модели, сохраняющей нелинейные элементы.

8. Доказана теорема, позволяющая уточнить метод статистической .пине зризайда при синтезе закона управления за счет учета спектральной плотности входа нелинейного звена.

Основные результаты диссертации отражены в следующих опубликованных работах:

1. ВеремеЯ Е.И..Шаганова О.1'. Способ фильтрации волновой помехи в канале управления судном.- Тезисы докладов на VII Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы комплексной автоматизации судовых технических сгздств". Л., 1989, с.68-69.

2. Шаганова O.K. Выбор коэффициента усиления нелинейного компенсатора. Вестник ЛГУ,серия математика, механика, астрономия, выпуск 1, N4, 1992, з. 82.

3. Шаганова О.И. Частотный метод синтеза регуляторов для систем со случайным возмущением при наличии ошибок в измерениях координат. Теория систем управления-СПб. Изд-во С.-Петербургского университета, 1992, с. 178-186, (Вопросы механики и процессов управлэкя, вып. 15).

4. Шаганова О.И. Синтез оптимальной фильтрующей коррекции алгоритма стабилизации морских подвижных объектов. - Тезисы докладов на VII Всесоюзной научно - технической конференции "Проблемы комплексной автоматизации судовых технических средств", .и., 1S91, с.47.