Среднеквадратичный синтез на допустимых множествах, определяемых условиями реализации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГ6 о

2 3 МАР ад

санкт-петербургский государственный ушёршвг

На правах рукописи удк 519.876,2

ШАГАНОВА Ольга Игоревна

ОРЩЕКВ№АТИ<ЙШ СИНТЕЗ НА ДОПУСТИШХ МНОЖЕСТВАХ^ ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ УСЛОВИЯМИ РЕАЛИЗАЦИИ

61.01.09 - математическая кибернетика; 01-'.01>. - системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учЗной степени Кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1994

Работа выполнена на факультет прикладной матвматшш -11 ррфщэссов., упраалв}шя Санкт-Петербургского государственного

универститэта

- Научные руководитель: кандидат технических наук, ,

ДоаеШ В.И.Веремей

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.П.Жабко (Санкт-Петербург),

кандидат 'физико-математических наук, Б.В.Лороф&ев (Тула)

<.8^дуща«)1ор1,аниэвшш5 Центральный научно-исследовательский

институт '•Аврора" (Санкт-Петербург)

АЗдата сосзадтся "/9 м 1994 г.", в А часов

на заседании одеодалйэйровгащого совета К-063.5Т.!6 по .при суждению ученой степени кандидата фиайко-датема-таческих. наук при: Сэнкт-Петербургскоц государственном университете Ш; §дре.су :СанкТгПвтербург«Васильевский остров,10 лйнийадом 33.

С. Диссертацией Можно ознакомиться 6 фундаментальной библиотеке СПбПГ им. А,М,горького (Санкт-Петербург, Университетская набережная, ДОМ 7/9)..

Автореферат разослан * У п -¿¿/¿¿^д 1994 г.

Ученый секретарь спе"иализированногс совета

В.ФьГорьковоб

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Современный этзп развития техники, технологии, различных автоматизированных систем управления техническими, биологическими и другими объектами предполагает широкое применение математических методов анализа и синтеза сложных динамических объектов и управляющих устройств.

Учет специфики конкретной ситуации, дополнительных условий и ограничений, возникающих в практических приложениях, может дать существенно лучший результат как при реализации синтезируемых регуляторов, так и при формировании вычислительных схем их расчета. Это определяет возникновение новых проблем в рассматриваемом направлении, а следовательно и новых подходов к их решению. Невозможность непосредственного применения уже существующих методов решения задач в рассматриваемом направ-.энии связана с наличием следующих особенностей:

1. Неадекватность представления реального объекта простыми математическими моделями, а также сужение множества допустимых альтернатив за счет учета ограничений и условий, дополнительных по отношению к требованию устойчивости.

2. Трудности реализации методов (алгоритмов) оптимального синтеза на базе имеющихся средств вычислительной техники.

3. Трудности реализации результатов оптимального синтеза -математических моделей оптимальных регуляторов - с помощью реальных технических устройств.

Целью работы является проведение исследований, направ ленных на развитие математических методов среднеквадратичной оптимизации динамических систем.Разрабатываемые методы ориентированы на выполнение комплекса дополнительных требований, предъявляемых к синтезируемым регуляторам, помимо требования устойчивости.

Метода исследований-В работе используются классические и современные методы анализа и синтеза динамических слсгем "травления, базирующиеся на фундаментальны:, трудах А.М.Яётови, В.И.Зубова, В.Е.Солодсениковз, Н.Винера, В.С.Пугач ва. Построение и исс. здо-вагже математических моделей объектов управления и ■ интззируемых регуляторов осуществляется с .привлечением соврес•■иного аппарата математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных

уравнений, высшей алгебры, спектральной теории случайных функций.

Научная новизна. Основное внимание в работе уделяется следующим направлен!"лм исследований:

- разработка методов синтеза регуляторов, доставляющих минимум среднеквадратичному критерию качества с учетом особой сложности динамических режимов и требований, предъявляемых к ним при проектировании, исследовании и функционировании систем управления морскими подвижными объектами;

- адаптация подхода, принятого в среднеквадратичной оптимизации,к решению задач управления движением судов с модификацией методов и алгоритмов, учитывающей специфику конкретной ситуации;

- разработка аналитических методов синтеза оптимальных регуляторов с учетом заданной спектральной плотности ошибки измерения вектора состояния неполного ранга, построение соответствующих вычислительных алгоритмов;

- исследование проблемы синтеза регуляторов, минимизирующих среднеквадратичное отклонение регулируемой координаты при различных ограничениях на зоны линейности в канале управления, определение условий, при которых линеаризация приводит к потере адекватности модели объекту.

Практическая ценность результатов диссертации определяется тем,что,будучи использованы на различных.этапах разработки систем автоматизированного управления техническими объектами, они позволяют на этапе проектирования эффективнее проводить анализ динамических свойств объекта, выбирать .структуру управления в мак-сималт-ном соответствии с заданными требованиями и ограничениями, а также упростить вычислительные процедуры синтеза оптимальных регуляторов,адаптируя их к возможностям,предоставляемым современными вычислительными средствами. Полученные в диссертационной работе результаты позволили построить комплекс программ для автоматизации процесса проектирования систем автоматического управления, существенно повышающий эффективность и качество выполняемых работ.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также еб. отдельные части и полученные результаты докладывались VII и VIII Всесоюзных научно-технических конференциях "Проблемы комплексной автоматизации судовых технических средств" (г.Ленинград, 1989 г.и 1992 г.), на семинарах кафедр теории систем управления и математического моделирования энергетических систем и НШ Вычислительной матема-

тики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 печатных работы.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трйх глав, заключения и списка литературы, включающего 91 наименование. Объем работы составляет 130 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность решаемой проб-емы, сформулированы цель и направления исследований, приведено краткое содержание диссертационной работы, осуществлена общая постановка решаемых в диссертационной работе задач, а также проведен анализ соответствующих научных работ по теме исследований.

В качестве моделей объектов управления в работе приняты системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

х ■ Р(х,и,ф) , (1)

заданные на положительной полуоси времени teto,«»). Здесь xeR"-вектор состояния объекта (отклонение движения от программного), u<eR1- управление, фей1- возмущение, Р — n-мерная вектор-функция с непрерывными и дифференцируемыми по всем аргументам компонентами в окрестности положения равновесия хго.ино.ф^о. в качестве регулятора рассматривается устройство с математической -оделью ¿ида и = P[W(D)x] , \2)

где D=d/dt -оператор дифференцирования,. W(D)=W1 (D)/W (D) - передаточная матрица линейной части регулятора, компоненты которой -дробно-рациональные функции от D.

Если функция Р обладает \<зт же свойствами, что и Р, то можно линеаризовать замкнутую систему (1),(2) р окрестности .голо-жения равновесия. Будем считать, что уравнения ликь..ного прибли жения для объекта к регулятора соответственно . ..гемт вид

X = Ах ^bu + C(0(t>, • (3)

u = W'DJX,

- б -

где A,b,c - матрицы с постоянными коэффициентами. Регуляторы вида (4), обеспечивающие устойчивость линейного приближения (3),(4), Оудем называть стабилизирующими,отоздествляя их множество в дальнейшем с соответствующим множеством Я0 их передаточных матриц W.

На движениях системы (1),(2) зададим некоторый неотрицательный функционал

Jn = Jn(x(t),u(t)) = Jn(W), (5)

который при прочих равных условиях зависит от выбора передаточной матрицы W(D) регулятора (2).

Определение 1. Задачей аналитического синтеза линейных регуляторов будем называть задачу

J = J (W) —»- inî (S)

n п we£20

о поиске оптимального по отношению к Jn регулятора, стабилизирующего линейное приближение (3),(4).

В частном случае, если функция <p(t) является стационарным случайным процессом, обладающим эргодическим свойством и нулевым математическим ожиданием, то функционал (5), характеризующий качество процесса стабилизации в системе (3), (4), естественно принять в Биде

т

J = 11m 1 f[x' (t)Rx(t)+c^ua(t;)]dt = <x'Rx>+c'<u2> T-œ T J 0

О

Здесь К - положительно-определенная матрица с постоянными компонентами, с0=сопз1;.

Нетрудно показать, что ю

а = «пи) = | Гр?(и),о]8 (со)бы, . (7)

о ф

гда

Г = с' [-Е5аьА-Ь»(-Зш)] Л[ЕЗш-А-ЪЯ(3<о)Зс +

+ с®|Я(>)[В№)-А-Ь111Г(Зи)] 1с|,

Э (и) - спектральная плотность возмущения ф.

Определение 2. Задачей среднеквадратичного синтеза для системы (3),(4) будем называть задачу

J = <1 (Я) —* 1Ш (8)

' п п

где ЛИ) определяется формулой (7).

В силу особенностей практического применения результатов среднеквадратичной оптимизации, в отличив от классической по-

становки задачи синтеза в виде (8), в диссертации осногюв внимание уделяется исследованиям, связанным с поиском решения на множествах более узких, чем Г20.

Определение 3. Среднеквадратичным синтезом на допустимых множествах, определяемых условиями реализации, будем называть задачи вида

•Г - ,1 (И) — ЛШ. , (9)

п п иеп

где соответствующее сужение области устойчиваэти,определя-

емое конкретной задачей.

В работе рассматриваются различные варианты задания множества П* в соответствии со следующими основными направлениям' исследований:

- разработка методов синтеза регуляторов, доставляю. ;их минимум среднеквадратичному критерию качества с учетом особой сложности динамических режимов и требований, предъявляемых к ним при проектировании., исследовании и функционировании систем управления морскими подвижными объектами;

- адаптация подхода, принятого в среднеквадратичной оптимизации,к решению задач управления движением судов с модификацией методов и алгоритмов, учитывающей специфику конкретной ситуации;

- разработка аналитических методов синтеза оптимальных регуляторов с учетом заданной спектральной плотности ошибки измерения вектора состояния неполного ранга, построение соответствующих вычислительных алгоритмов;

- исследорание проблемы синтеза регуляторов, минимизирующих среднеквадратичное отклонение регулируемой координаты пи различных ограничениях на зона линейности в канале управления,определение условий, при которых линеаризация приводит к потере адекватности модели объекту.

Первое сужение множества й0 определяется ограничениями на динамические характеристики различных режимов функционирования объекта. Обозначим через 7=(71) вект. р параметров,которые контролируются в процессе движения. Пусть У0 1=1заданнгЧ исходя из технических соображений вектор огранк .ений на параметры V, т.е.требуется, чтобы ^КУ х для г^О, 1=1,2,.... Тогда множество П* можно определить следующим образом

= {W€£20J IVt|<VQi, 1=1,2----}

При синтезе оптимальных регуляторов для систем управления со случайными возмущениями и помехами в канале управления количество измеряемых величин вообще говоря меньше, чем размерность вектора состояний. Указанное обстоятельство приводит к сужению множества допустимых управлений, т.е.

Q* = {я<#01 W*=WH. где W%i2

где у=Нх - уравнение измерителя,ft -множество произвольных дробно-рациональных функций. '.

При рассмотрении задачи синтеза с существенно нелинейными элементами кроме гурвицевости характеристического полинома линейного приближения замкнутой системы необходимо потребовать ограниченность решения х* нелинейной, системы на всем интервале вре-ни t^O, т.е. ..■.'•'•'.•. "■■'.'■'

П* = ¡|x"(t,u,t)iKM, Vt^Q, M=const<oo, <u2Xkj.

Конкретизация решаемых задач осуществляется в каждой главе для рассматриваемых„ситуаций..

Пешая глава посвящена разработке методов . синтеза тзегулято-ров, доставляющих.минимум'среднеквадратичному критерию качества с учетом специфики.морских подвижных объектов. Рассмотрены две задачи, тесно связанные между, собой, :а именно: задача фильтрации волновой помехи в канале управления, судном и задача повышения точности стабилизации Судна на заданном курсе. Указанные задачи сформулированы для реального морского подвитого объекта с учетом комплекса требований к качеству функционирования в различных динамических режимах. В качестве 'возможных режимов движения объекта (3), определяемых конкретным видом возмущения <p(t),рассмотрим следующие. •■•„. . ; / ..■'■/

1 .Собственное (невозмущенное) движение объекта(режим отработки командной поправки). Этот режим возникает в результате подачи командного сигнала (поправки) x* (mil,п) через регулятор,например в виде u=k х„+...+k (х -x*).,,+k х .Введение х* должно.обеспечить

11 га Л1 д. ,п п - га

выход ш - ой компоненты вектора состояния на необходимый уровень xm0= Ilm xn(t) при t^co'. При этом предполагается,что q>(t)s<p (t)=0, х(0)=0, ö(0)=0. ,Характеристиками данного1 режима будем считать: перерегулирование -по m - рй координате :

XP = [aup |xa(t)HzB0U/|xn0l ;

длительность переходного процесса

Т = inf{ t :Vt>t , |f х (t )-х ] /X [< 0.05» ;

kl ra ift ku 7ftu

максимальное отклонение управления или интеграл от его квадрата

т

u = supju(t)| или и = Г u(t)dt.

t->00 ЧЭ

2.Движение объекта при ступенчатом возмущении.Этот режим возникает в результате воздействия на объект возмущения ср(1;)нфо1 (t) при условиях x(Q)=0,ö(0)=0,tp0=const. Характеристиками данного движения примем установившееся значение ш - ой координаты

ху = lim ]х (t)| , га t-«o ™

а также максимальное отклонение этой координаты

х" = з и р | х (t) |. n t€(o.»i *

3.Движение объекта при стационарном волнении моря.Данный режим возникает при воздействии на объект ветро-волновых возмущений случайного характера,которые будем описывать функцией cp(t),такой, что <p(t)- стационарный эргодический случайный процесс с известной дробно-рациональной чётной спектральной плотностью S|u) и нулевым математическим ожиданием. Будем считать, что этот режим характеризуется величинами среднеквадратичных функционалов

J = Ilm / х'(t)Rx(t)dt, J = Ilm-J ue(t)dt ,

Т-»со о о

определяющими точность стабилизации и энергетические затраты ка управление соответственно.

В рамках данной работы, функции Р в системе (1) являются кусочно - линейными с конечным числом течек. отсутствия первой производной типовыми нелинейностями, которые в.простейшем случае вырождаются в линейную зависимость. Необходимость учета нелинейных характеристик Р. обусловлена реальными ограничениями, определяемыми конструктивными особенностями объекта. В параграфе 1.1 сформулирован ряд теорем, позволяющих обосновать выбор структуры регулятора, что необходимо ввиду.сложности задачи, и задано множество допустимых регуляторов, определяемое конструктивными особенностями морских систем управления... ^ Фиксированная структура регулятора позволяет оптимизировать значение функционала по иско-!*ь'м параметрам при неизменных Сэзоеых характеристиках, к которым относятся собственное движение, астатизм по некоторой координате и т.д. 3 пункте 1.2 найдено' точное печение,поставленной зздзт^.

произведена сценка степеней передаточных матриц с учетом выбранной структуры. На основе полученных результатов, в пункте '.3 предложен метод квазиоптимального выбора регулятора,дающий существенные упрощения при алгоритмизации и написании прикладных программ по сравнению с оптимальным синтезом. Рассмотрен пример расчета реальной систлш управления подводной лодкой, приведены графики, демонстрирующие изменение качества функционирования объекта в различных реззшах в-зависимости от выбора закона управления.

Во второй главе решается задача синтеза оптимального регулятора при наличии случайной ошибки измерений в канале управления. Данная задача рассмотрена для случая вырожденности матрицы спектральных плотностей возмущающего воздействия и ошибки измерений, для которого решение в частотной области ранее не было получено. Введем в рассмотрение множество Р дробно-рациональных функций Ф, аналитических в правой полуплоскости. Пусть каждой ФеР соответствует WiQ0 и наоборот.Доказана следующая теорема.

Теорема 2.1 Решением задачи

J = J (5?) -min, ' It?

является дробно-рациональная функция

Т-„(з) ■ B*RC(s)<iT(s)cN T,(-3)+R(s)B(s)'Ii(s)T (з)

0°(s) = - --------- ,(10)

ü(a)N3(s) G(-s >N3(-s

где полином G(s) имеет корш в левой полуплоскости и определяется

из соотношения

ü(s)G(-3) =B*(-s)RB(S> + СдА(з)ьктЗ).

Здесь A(s)=det(Es-A);B';}=A(s)(E~-A)-1b;C<s)=A(s)(Es-A)-1c. I'yp-вицезы полиномы N,(s),N (s),™,(s),T (s) - результат факторизации спектров Sv(a)=Ni?<3)/T(B{s>, N^ (з)Н, (-s,, T^ T1 (s)T1 (-s); L (s)-- N (g)/T is), K = N (s)K f-s>, I = T,(3)I (-s). Полином

ф 9 i т (p'1

N (s) им'.'вт корни б левой полуплоскости и является числителем факторизоЕаннсгс спектра процесса rut); полином L(s) - гурвицев и такой, что .

:.,3b(-s) = A(s)Ai-s); полкомкгльнпй вектор C(s) имеет еид

С;Е) = P71cA(s); полгком и It, ло"уч2стгя *• результате Ф&ктсризации

D(s)Dt-s).- dT;s!a(-s); пхишок R ■: s) гздз&тся формулой

Д в (-вж, (-8) В* (-р, )ЙС(р. )йт(р, )с11 (р. )Т,(-р,) й(3) = _ \ -2--1-1-1-;—1—ь-1 ^

РГ3 В(р1)Ь(р1)Т1(р1)Ш{-р1)Н3(-р1)]

р1,1=1.....к,-корни произведения полиномов 0(-з)1$3(-з) (предполагаем, что они простые), причем'деление в правой части (10) на негурвицевы полиномы 0(-э),И3(-з) .осуществляется нацело.

Приведенная теорзма служит основой расчетного алгоритма поиска решения задачи синтеза оптимального регулятора при неполном измерении вектора состояния и вырожденности "комбинированкой" матрицы спектральных плотностей возмущающего воздействия и ошибки измерения.Соответствующая постановка актуальна во многих технических приложениях, в т.ч. при решении проблемы синтеза регуляторов для морских подвижных объектов, представленной в первой главе . Для разработанного, метола сформирован алгоритм синтеза оптимального регулятора, позволяющий получить решение в аналитическом виде и проводить исследование поведения объекта при полной и неполной информации о векторе состояния в автоматизированном режиме. В параграфе 2.3 приводится теорема, позволяющая сформировать расчетный алгоритм поиска оптимального решения в рассматриваемой задаче.

В главе 3 исследуются вопросы, связанные с необходимостью учета различного рода нэлшейностей (ограничений на зону линейности) в канале управления различными объектами, в том числе - морскими судами. Подобные ограничения реально существуют в любой системе управления и требуют тщательного рассмотрения. 3 параграфе 3.1 осуществляется постановка и обсуждение проблема. В следующем параграфе решается задача оптимального выбора коэффициентов компенсатора, представляющего собой обратную связь по возмущению. Доказана следующая теорема.

Теорема 3.2 Средний квадрат процесса х(1) для замкнутой системы, где полином А (Б) - гурвицев, может быть представлен соотношением

аГ*Чг IV) г -»/я-гмгяе т (и)

~ * 1"(В>Ф Ш- ]« |----И5- +

г*- 1 J ^^ I |А(Зи)|г

г s-,

+ ---г С1ш

J|A(3u)|z

1 ^'[.«.»к-'^ад

n=£*~<«

где

г S_«o)

•dw

WkJ

1 °° 1 ■ Sk(u>=~2n Jrk<,c)costn(ix, Sn(w)=-2jj J (W(T)W(-T)rkCc))ncoswtdx.B

-CO -1»

ft 3-кусочно-гладкая симметричная функция с конечным числом точек разрыва ( '-1) - й производной,причем f^f] -дельта-функция'либо суша дельта-функций.

Следует отметить, что аналитическое решение задачи о поиске оптимума на множестве Q* представляется крайне сложным. Рассмотрим приближение к нему, основанное на фиксации структуры искомой передаточной функции W(s) (назначении степеней числителя и знаменателя) и выделении вектора helE1 варьируемых параметров.

При этом поставим задачу о поиске оптимального вектора h, минимизирующего функционзл

J = J[W(D,h)3 = J(h)—* Ш

где

Ыц = | hei1! и € й* |

Предлагается алгоритм синтеза оптимального компенсатора, построенный на основе сформулироваишх теорем. Далее рассматривав ютсд конкретные варианты задания нелинейности в еидэ срезки и зоны нечувствительности* -и доказывается существов.лие решения по-си ленной задачи для данных ограничений на зоны линейности для любых физически реализуемых объектов. в параграфе 3.3 решается задача с выбором регулятора в вида обратной связи по состоянию. Разработан алгоритм синтеза в соответствии с полученным решением. Предложены также у -роенные подходы к оценке влияния нелинейности на функционирование система и для построения регуляторов с учетом дополнительных ограничений, сформулированы соответствующие алго-Рэгсмо. рен>' примеры проанализированы случаи,когда приме-Чг-нле у.гт:яа статистической линеаризации для приближенного учета келжейности не дает удовлетворительных результатов. э последнем гсетъей тла^ гтгедлежен метод вычисления свертки дсоЗ-

но-рациональных четных функций, позволяющий автоматизировать этот процесс.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие. 1. На примере задачи многорежимной стабилизации морских судов показана актуальность рассматриваемой в работе проблемы среднеквадратичного синтеза на допустимых множествах, являющихся сужением области устойчивости.

2.Обоснована структура закона управления судном в рассматриваемых режимах,позволяющая оптимизировать процессы стабилизации с учетом комплекса статических и динамических требований и ограничений.

3. Предложены методы поиска оптимальных и квазиопткмальных варьируемых элементов закона управления, приведены расчетные схемы, реализующие эти методы и примеры расчета.

4.Выполнены исследования,связанные с решением в частотной области задачи среднеквадратичного синтеза с учетом погрешностей случайного характера в канале измерения. Предложен новый способ параметризации множества допустимых регуляторов.

5. Показаны теоремы.обосновывающие аналитический метод поиска оптимального решения.при неполноте ранга матрицы спектральных плотностей возмущений, указана возможность неединственности оптимального регулятора.

6. Построен новый алгоритм синтеза оптимальных регуляторов для объектов.имеющих в своем составе существенно нелинейные элементы, ограничивающие зоны линейности их характеристик.

7. Выявлены условия,при которых применение линеаризующих подходов непригодно. Предложены оценки необходимости перехода от полностью линеаризованной модели к модели, сохраняющей нелинейные элементы.

8. Доказана теорема, позволяющая уточнить метод статистической линеаризации при синтезе закона управления за счет учета спектральной плотности входа нелинейного ЗЕена.

Основные результаты диссертации отражены в следукаих опубликованных работах:

t. Версией Е.И..Шаганова 0.". Способ фильтрации волновой помехи в канале управления судном.- Тезисы докладов на VII Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы комплексной автоматизации судовых технических средств". Л., 1989, с.68-69.

2. Шаганова O.K. Выбор коэффициента усиления нелинейного компенсатора. Вестник ЛГУ,серия математика, механика, астрономия, выпуск 1, N4, 1992, с. 82.

о. Шаганова 0.И. Частотный метод синтеза регуляторов для систем со случайным возмущением при наличии ошибок в измерениях координат. Теория систем управления-СПб. Изд-во С.-Петербургского университета, 1992, с. 178-186, (Вопросы механики и процессов управлек я, вып. 15).

4. Шаганова О.й. Синтез оптимальной фильтрующей коррекции алгоритма стабилизации морских подвижных объектов. - Тезисы докладов на VII Всесоюзной научно - технической конференции "Проблемы комплексной автоматизации судовых технических средств".

1991, с.4?.