Стабилизация программных движений планарных неголономных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

1 Введение.

2 Математическая модель неголономных систем управления.

2.1 Кинематическая модель неголономных систем.

2.2 Уравнения Эйлера-Лагранжа неголономных систем.

2.3 Редуцированные уравнения динамики в форме Аппеля.

2.4 Канонические уравнения Гамильтона неголономных механических систем.

3 Планарные неголономные системы управления.

3.1 Структурные свойства.

3.2 Цель управления.

4 Стабилизация кинематической модели движения.

4.1 Васк^ерри^-процедура.

4.2 Стабилизация желаемой траектории.

4.3 Примеры.

4.4 Применение универсальных алгоритмов.

5 Стабилизация динамического расширения.

5.1 Неадаптивная стабилизация.

5.2 Робастная стабилизация.

5.3 Адаптивная стабилизация.

Неголономные ограничения представляют собой неинтегрируемые соотношения, связывающие координаты динамической системы и их скорости [1, 2]. Они возникают, например, при качении без проскаль-зования тела по поверхности. Примером таких ограничений могут служить кинематические связи, наложенные на движение колесных транспортных роботов [3, 4, 5, б, 7, 8, 9, 10], а также соотношения, связывающие угловые координаты и скорости предмета, зажатого и подвергающегося вращению в многопальцевом схвате манипулятора [11]. Неголономные связи могут быть представлены в виде соотношения, выражающего сохранение полного углового момента свободной системы связанных тел [12, 13, 14, 15, 16]. Неголономные связи возникают также при исследовании некоторых квантово- механических задач [17, 2, 18, 19, 20] и анализе макроэкономических моделей [21].

При решении задач синтеза законов управления для неголоном-ных систем приходится сталкиваться со значительной сложностью математических моделей объекта управления обусловленными их нелинейностью, неопределенностью, высоким порядком уравнений и т.п. Необходимость учета нелинейностей вызвана ростом точности описания процессов в современных системах управления, а также тем обстоятельством, что математическая модель рассматриваемых в работе систем может быть представлена только в виде нелинейных систем дифференциальных уравнений. Использование моделей систем управления, линеаризованных в окрестности положения равновесия, может обеспечить лишь локальную стабилизацию движения (см. например [22, 23]). В то же время, математический аппарат нелинейной теории управления, включающий в себя эффективные методы анализа устойчивости в пространстве состояний (метод функций Ляпунова) и недавно развитые геометрические методы анализа структурных свойств нелинейных систем [24, 25, 26] позволяют синтезировать алгоритмы стабилизации, основанные на исходной нелинейной модели.

Другой существенной особенностью построения законов управления неголономными системами, является неопределенность характеристик объекта управления и внешних воздействий, т.е. неполнота информации об их параметрах. Причины неопределенности разнообразны: отсутствие точных математических моделей объекта управления, недостаточность сведений о возможных условиях работы системы и т.д. Одним из наиболее перспективных путей решения проблемы управления сложными системами в условиях неопределенности является применение методов адаптации [27].

Для исследования сложных систем часто применяются методы декомпозиции, состоящие в разделении исходной задачи на ряд более простых подзадач, решаемых независимо. При этом исходная модель объекта управления разбивается на несколько более простых подсистем, а синтез регулятора для каждой подсистемы производится независимо. Одним из приемов декомпозиции, используемом в теории управления, является метод стабилизации каскадных систем [28, 29, 30, 31]. Для решения вопроса о применимости подобных подходов необходим анализ работоспособности синтезированной системы, что может представлять определенные трудности. Цель настоящей работы состоит в разработке и исследовании алгоритмов управления нелинейными неголономными системами, основанных на этом методе. Общая идея этого подхода заключается в последовательном введении новых, специальным образом выбранных координат и последовательном синтезе промежуточных алгоритмов управления. На каждом очередном шаге процедуры синтеза закона стабилизации находится некоторая гладкая функция (виртуальный закон управления), обеспечивающая стабилизацию определенной части координат вектора состояния. Искомое управление определяется на последнем шаге с использованием ранее найденных виртуальных стабилизирующих законов управления.

Традиционно ставятся две задачи управления для неголономных систем: задача стабилизации желаемого положения и задача стабилизации желаемой траектории. Следует отметить, что несмотря на то, что в силу присущей таким системам специфики вторая задача имеет большее практическое значение, основное внимание исследователей было сосредоточено на решении первой. При этом подавляющее большинство предложенных алгоритмов управления было разработано на основе кинематической модели движения неголономных систем. В общем случае кинематическая модель имеет вид афинной системы управления: т х = !(х) +

1=1 где х = (х\,. ., хп) £ Яп ~ вектор состояния и и = (щ,. ., ит) £ Ят - функции входов системы. Векторные поля являются гладкими, линейно независимыми и служат (локальными) генераторами гладкого, регулярного управляемого распределения Д(ж) = 8рап{<71(ж),. ,дт(х)} С Т*В,п для всех точек хЕЯп(х^УсЯп). Систему управления (/, Д) будем называть неголопомной если распределение Д неинволютивно, т.е. для каждой пары векторных полей Х,У £ Д выполнено [Х,У] £ Д, где [•, •] - есть скобка Ли. Систему (/, Д) будем называть полностью неголономной если распределение Д полностью неголономно (см. [32] и обзор [26]).

Линейные однородные неголономные связи, накладываемые на движение динамических систем имеют следующий вид

Wj(x)x = О, где и)] 6 ] = 1,., к - некоторые гладкие линейно независимые ковектора (дифференциальные 1-формы). В этом случае кинематическая модель движения механических систем имеет вид афинной системы управления без вектора неуправляемого сноса: где векторные поля gi служат локальными генераторами управляемого распределения А = ker П, Q, = span {cji,., LJk} , т = п — к.

Легко видеть, что локальный стабилизирующий закон управления для афинной системы управления без вектора неуправляемого сноса не может быть получен с использованием классического метода линеаризации в окрестности желаемого положения ( например начала координат х = 0). Поэтому стабилизирующий закон может быть получен только в классе нелинейных. Известно, что в случае когда управляемое распределение Д неголономной системы управления является полностью неголономным , то теорема Чжоу [33] гарантирует управляемость неголономной системы управления. Тем не менеее, в отличие от случая линейной системы управления, когда управляемость системы эквивалентна ее стабилизируемости гладкой (линейной) обратной связью, рассматриваемая система не может быть стабилизируема гладкой (в некоторой окрестности U С Дп начала координат) обратной связью Uj(x) £ Ck(U,Rm), k > 1, j = 1 ,.,m, поскольку она не удовлетворяет третьему Необходимому критерию стабилизируемости (см. [34, 35] и Приложение, Теорема

Все эти обстоятельства составляют комплекс проблем с которыми сталкиваются разработчики законов управления для решения т i= 1

А.4). задачи стабилизации желаемого положения неголономных систем. Для того, чтобы избежать трудностей, связанных с третьим необходимым условием стабилизируемости Броккета было предложено два основных подхода: построение обратной связи в классе кусочно-гладких функций входаиДя), ^ = 1 ,.,га (см. [4, 36, 37, 38]) и зависящей от времени периодической обратной связи и^^х), ] = 1,. ,т (см. [10, 39, 6, 40, 41, 42]). Связь между этими двумя подходами была вскрыта в работе [43]. Одним из преимуществ первого метода стабилизации по сравнению со вторым является то обстоятельство, что разрывная обратная связь обеспечивает экспоненциальную сходимость. Гибридная стратегия была разработана в работе [44], суть которой заключается в использовании в окрестности начала координат зависящей от времени обратной связи, предложенной в работе [39], и кусочно-гладкой обратной связи вне этой окрестности. Другой гибридный подход был предложен в работе [37]. Характерной особенностью этого подхода является наличие конечного числа переключений, между которыми управление осуществляется с использованием гладкой обратной связи.

Альтернативой вышеприведенным подходам может служить решение задачи конструктивной управляемости, заключающейся в том, чтобы найти измеримые по Лебегу функции входов Uj(t)7 j = 1,., т неголономной системы управления, обеспечивающие перевод замкнутой системы управления из произвольного положения в заданное (см. [45, 46, 3, 5, 47, 8, 48, 49, 11, 50, 51, 52]). Недостатком этого подхода является очевидный факт отсутствия робастности предлагаемых законов управления.

Решение этой задачи пока еще не получено для достаточно общего случая, но имеет важное значение для решения второй классической задачи управления неголономными системами -- задачи стабилизации желаемой траектории. Это связано с тем обстоятельством, что не всякая траектория на конфигурационном пространстве него-лономной системы может служить в качестве желаемой: такая траектория должна удовлетворять неиитегрируемым связям, накладываемым на движение неголономных систем. Это обстоятельство приводит к тому, что предлагаемые законы управления могут обеспечить стабилизацию лищь той части вектора состояния, для которой желаемая траектория движения может быть построена.

Для нахождения стабилизирующих законов не могут быть использованы методы линеаризации афинных систем с использованием нелинейной замены координат и функций входов (см. [25, 26]), поскольку кинематическая модель, которая имеет в этом случае вид не удовлетворяет необходимым условиям применимости этого метода даже в простейших случаях. Однако классические методы линеаризации в окрестности желаемой траектроии могут быть применены для таких систем (см. [23, 22]). Разумеется этот подход может обеспечить лишь локальную стабилизацию. Другой подход основан на использовании нелинейных регуляторов и обеспечивает полу-глобальную стабилизацию для некоторых неголономных динамических систем малой размерности (см. [7, 53] для случая п = 3 и [54, 55, 56] для случая п = 4). Настоящая работа посвящена построению законов управления для класса неголономных систем управления, кинематическая модель которых представляется в виде т 1

-Р1 + Х2Р2 СОя(|/1) щ, х £ В2 х

-Х1Р2 вт(у1) т У

СМ + Х^й'К к п г=1 где (я 1,22) ~ декартовы координаты на плоскости по которой осуществляется движение, у\ - курсовой угол, С = [—Р2,0,. ,0]. Предлагаемые алгоритмы обеспечивают глобальную стабилизации желаемой траектории Ж2г00, У1г(^))-> Рг^) — \/х\г(0 + х\г(0 ~ желаемая скорость движения, ^(О — Уг\{^) ~ желаемый курсовой угол.

Управляющими воздействиями для кинематической модели движения механических систем с линейными однородными неголоном-ными связями являются обобщенные скорости ( точнее, как мы увидим далее, квази-скорости). С практической точки зрения целесообразно выбрать в качестве управляющих воздействий обобщенные моменты. Для того, чтобы учесть динамические аспекты движения введем в матаматическую модель объекта зфавнения динамики в форме Эйлера-Лагранжа. Тогда модель движения представляет собой динамическое расширение кинематической модели:

1т х = /(¿,х) + х е Яп

1=1

МО, в)х + С(ж, X, 0) = П'{х)Х + д{х)(и + £(*)), где М(х, в) - п х п симметричная, положительно определенная для всех х матрица инерции; С(х, £, в) - п-вектор центробежных сил, сил Кориолиса и сил тяжести; 0(х) представляет собой п х т матрицу столбцами которой являются векторы, составляющие базис распределения А(х); представляет собой к х п матрицу строками которой являются ковекторы, составляющие базис кораспределения Х - (п — т)~ вектор множителей Л аг р анж а, II - вектор обобщенных моментов, 0 - г-вектор динамических параметров, £(£) - вектор возмущений в канале управления.

Следует отметить, что лишь небольшая часть работ, посвященных управлению неголономных систем, касается вопроса стабилизации динамической модели этих систем. Решение этой задачи определяется методом исключения неизвестных множителей Лагранжа X], ] = 1,.,А:. Классический метод (см. [57]) или его матричный формализм (см. [58, 59]) приводит к редуцированным уравнениям динамики в форме Лагранжа. Применение этого метода к неголо-номным системам позволяет синтезировать закон управления, обеспечивающий стабилизацию движения лишь в окрестности некоторого многообразия размерности к = гапк£1 [4]. Кроме того, этот метод носит сугубо локальный характер и, следовательно, не может быть применен в задачах синтеза глобальных стабилизирующих регуляторов.

Редуцированные уравнения динамики в форме Аппеля [1] более пригодны для задач стабилизации желаемого положения и желаемой траектории неголономных систем. Использование такого представления ( в квази-скоростях ) позволило решить задачи стабилизации желаемого положения [60] и желаемой траектории [61, 53, 62, 63, 64] для некоторых неголономных систем. В настоящей работе предложено в явном виде преобразование координат, приводящее уравнения Эйлера-Лагранжа к редуцированным уравнениям в форме Аппеля. Этот результат соотносится с методом исключения множителей Лагранжа из уравнений динамики в форме Гамильтона [65]. Предложенный в работе метод редукции уравнений динамики имеет универсальный характер и пригоден не только для неголономных систем но и для голономных и частично неголономных систем.

Задачи управления неголономными системами в условиях наличия постоянно действующих возмущений ранее не рассматривались в литературе. В работе предлагаются алгоритмы робастной стабилизации при равномерно ограниченных возмущениях в канале управления. Предлагаемый подход основан на методе нелинейного демпфирования [66].

11

Адаптивное управление неголономными системами рассматривалось в работе [60]. Известно, что адаптивные алгоритмы самонастройки не обладают робастными свойствами. Наш подход основан на использовании рекурентных целевых неравенств [27, 67] и представляет собой обобщение этого метода на случай непрерывных (не дискретных) моделей динамики. Преимущество этого подхода состоит в том, что предлагаемые алгоритмы адаптивного управления сохраняют свою работоспособность в условиях постоянно действующих равномерно ограниченных возмущений в канале управления.

Основные результаты работы:

1. Предложена замена обобщенных скоростей неголономной динамической системы, обеспечивающая преобразование уравнений Эйлера-Лагранжа к редуцированным уравнениям динамики в форме Аппеля. В отличие от ранее применяемых локальных методов исключения неизвестных множителей Л агранжа, предлагаемый метод применим на всем конфигурационном пространстве (т.е. глобально).

2. В отличие от известных методов локальной стабилизации движения нелинейных неголономных динамических системам, предложен и обоснован метод итеративного синтеза законов управления для задач глобальной ассимптотической стабилизации желаемой траектории движения в условиях отсутствия аддитивных возмущений в канале управления. Предложенные алгоритмы управления обладают робастными свойствами в том смысле, что при наличии аддитивных возмущений в канале управления, но при достаточно больших коэффициентах усиления, они обеспечивают стабилизацию с заданной точностью.

3. Предложен и обоснован метод синтеза адаптивного управления для нелинейных неголономных динамических систем с неизвестными динамическими параметрами, основанный на методе рекурсивных целевых неравенств и представляющий собой его обобщение на случай непрерывных законов подстройки динамических параметров. В отличие от известных методов, этот подход обеспечивает робастностъ предложенных адаптивных законов управления в условиях наличия аддитивных возмущений в канале управления.

6 Заключение

1. Ю.Неймарк и Н.А.Фуфаев, Динамика неголономных систем. Москва: Наука, 1967.

2. R.W.Weber, "Hamiltonian systems with constraints and their meaning in mechanics," Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol. 91, pp. 309-335, 1985.

3. J.Barraquand and J.-C.Latombe, On nonholonomic mobile robots and optimal maneuvering, vol. 3 of Revue d'Intellegence Artiftcielle, pp. 77103. 1989.

4. A.M.Bloch, M.Reyhanoglu, and N.H.McClamroch, "Control and stabilization of nonholonomic dynamic systems," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 37, pp. 1746-1757, 1992.

5. C. de Wit and C.Samson, "Path following of a 2-dof wheeled mobile robot under kinematic constraints," in Proceedings of the 1st European Control Conference, (Grenoble, France), pp. 2084-2088, 1991.

6. J.-M.Coron, "Global asymptotic stabilization for controllable systems without drift," Mathematics of Control, Signals, and Systems, vol. 5, pp. 295-312, 1992.

7. С.В.Гусев и И.А.Макаров , "Стабилизация программного движения транспортного робота с гусеничным шасси," Вестник ЛГУ: Математика , т. 22, стр. 7-10, 1989.

8. J.P.Laumond, Feasible trajectories for mobile robots with kinematic and environment constraints, pp. 346-354. Intelligent Autonomous System, Amsterdam: The Netherlands, 1987.

9. R.Murray and S.Sastry, "Nonholonomic motion planning: Steering using sinusoids," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 38, pp. 700-716, 1993.

10. C.Samson, Velocity and Torque Feedback Control of a Nonholonomic Cart, vol. 162, pp. 125-151. Grenoble,France: Springer-Verlag, Nov 1990.

11. Z.Li and J.Canny, "Motion of two rigid bodies with rolling constraint," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 6, pp. 62-71, 1990.

12. P.S.Krislmaprasad, "Geometric phase and optimal reconfiguration for multibody systems," Proceedings of the AMS, vol. 3, pp. 2440-2444, 1990.

13. P.S.Krishnaprasad, R.Yang, and W.P.Dayawansa, "Control problems on principal bundles and nonholonomic mechanics," in Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control, (Brighton, England), pp. 1133-1138, Dec 1991.

14. J.Marsden, R.Montgomery, and R.Ratiu, Reduction, symmetry, and Berry's phase in mechanics. Memories of the A.M.S, Providence,RI: AMS, 1990.

15. R.Montgomery, "Isoholonomic problems and some applications," Communications on Mathematical Phisics, vol. 128, pp. 565-592, 1990.16. P.S.Krishnaprasad,

16. Eulerian many-body problems, vol. 97 of Contemporary Mathematics, pp. 43-78. Providence,RI: AMS, 1989.

17. P.Dirac, Lectures on quantum mechanics. Belfer Graduate School of Science Monographs, Yeshiva University, 1964.

18. M.V.Berry, "Quantal phase factors accompanying adiabatic changes," Proceedings of the Royal Society of London, vol. 392, no. 1802, pp. 4557, 1984.

19. M.V.Berry, "Classical adiabatic angles and quantal adiabatic phase," Journal of Physics A, vol. 18, pp. 15-27, 1985.

20. A.Shapere and F.Wilczek, Geometric phase in physics. Singapore: World Scientific Publishing, 1988.

21. С.Смейл, "Глобальный анализ и экономика. Оптимум Парето и обобщение теории Морса," в Успехи математических наук, т. 27, стр. 177-187, Москва: Наука, 1972.

22. T.Fraichard, S.V.Gusev, I.A.Makarov, I.Paromtchik, and V.Ya.Yakubovich, "Adaptive control of car-like robot motion," in Proceedings of IEEE Conference on Robotics and Automation, (France), 1998.

23. G.Walsh, D.Tilbury, S.Sastry, R.Murray, and J.P.Laumond, "Stabilization of trajectories for systems with nonholonomic constraints," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 39, no. 1, pp. 216-222, 1994.

24. A. Isidori, Nonlinear control systems. New York: Springer-Verlag, 1989.

25. H.Nijmeijer and A. van der Schaft, Nonlinear Dynamical Control Systems. N.Y.: Springer-Verlag, 1990.

26. И.А.Макаров и А.Л.Фрадков, "Линеаризация неголономных систем управления," Автоматика и Телемеханика, 1, 1996, стр. 316.

27. В.Н.Фомин and А.Л.Фрадков и В.А.Якубович, Адаптивное управление динамическими системами. Москва: Наука, 1981.

28. J.Tsinias, "Sufficient lyapunov-like conditions for stabilization," Mathematics of Control, Signals, and Systems, vol. 2, pp. 343-357, 1989.

29. J.Tsinias, "Versions of sontag's input to state stability condition and the global stabilizability problem," SI AM Journal of Control and Optimization, vol. 31, pp. 928-941, 1993.

30. M.Krstic, I.Kanellakopoulos, and P.Kokotovic, Nonlinear and Adaptive Control Design. Willey-Interscience, 1995.

31. А.А.Колесников, Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления. Москва: Наука, 1987.

32. A.M.Vershik and V.Ya.Gershkovich, "Nonholonomic problems and theory of distributions," Acta Applicandae Mathematicae, vol. 12, pp. 181-209, 1988.

33. W.L.Chow, "Ueber systeme von linearen partiellen differentialgleichungen erster ordnung," Math.Ann., vol. 117, pp. 98-105, 1940.

34. R.W.Brockett, "Asymptotic stability and feedback stabilization," in Differential Geometric Control Theory, R.W.Brockett and R.S.Millmann and H.J.Sussmann (eds.), pp. 181-191, Boston: Birkhauser, 1983.

35. E.Sontag, "Feedback stabilization of nonlinear systems," in Mathematical Theory of Nonlinear Systems, Boston: Birkhauser, 1989.

36. C. de Wit and 0. J.Sordalen, "Exponential stabilization of mobile robots with nonholonomic constraints," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 37, no. 11, pp. 1791-1797, 1992.

37. O.J.Sordalen and O.Egeland, "Exponential stabilization of nonholonomic chained systems," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 40, no. 1, pp. 35-49, 1995.

38. M'Closkey and R.M.Murray, "Exponential stabilization of driftless nonlinear control systems using homogeneous feedback," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 42, no. 5, pp. 614-628, 1997.

39. J.-P.Pomet, "Explicit design of time-varying stabilizing control laws for a class of controllable systems without drift," Systems and Control Letters, vol. 18, no. 2, pp. 147-158, 1992.

40. J.-M.Coron and J.B.Pomet, "A remark on the design of time-varying stabilizing feedback laws for controllable systems without drift," in Proceedings of the IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems Design, (Bordeaux, France), pp. 413-417, June 1992.

41. L.Gurvits and Z.X.Li, "Z.x.li and j.canny," in Progress in nonholonomic motion planning, Kluwer Academic Publisher, 1992.

42. A.R.Teel, R.M.Murray, and G.Walsh, "Nonholonomic control systems: From steering to stabilization with sinusoids," in Proceedings of the 31st IEEE Conference on Decision and Control, (Tucson, Arizona), pp. 1603-1609, Dec 1992.

43. J.-M.Coron and L.Rosier, "A relation between continous time-varying abd discontinous feedback stabilization," Journal of Mathematical Systems, Estimation and Control, vol. 4, pp. 67-84, 1994.

44. J.-P.Pomet, B.Tuillot, G.Bastin, and G.Campion, "A hybrid strategy for the feedback stabilization of nonholonomic control robots," Tech. Rep. 91.74, Centre for Systems Engineering and Applied Mechanics, University Catholique de Louvain, Belgium, 1991.

45. R.W.Brockett, "Control theory and singular riemannian geometry," in P.H.Hilton and G.S. Young, pp. 11-27, New-York: Springer-Verlag, 1982.

46. J.B.Baillieul, "Geometric methods for nonlinear optimal control problems," Journal of Optimization Theory and Application, vol. 25, pp. 519-548, 1978.

47. A.M.Bloch and P.E.Crouch, "On the dynamics and control of nonholonomic systems on riemannian manifolds," in Proceedings of the IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems Design, (Bordeaux, France), pp. 368-372, Jun 1992.

48. J.-P.Laumond and T.Simeon, "Motion planning for a two degrees of freedom mobile robot with towing," in Proceedings of the IEEE International Conference on Control and Application, 1989.

49. R.M.Murray and S.S.Sastry, "Steering nonholonomic systems in chained form," in Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control, (Brighton, England), pp. 1121-1126, Dec 1991.

50. Z.X.Li and J. Eds., Progress in nonholonomic motion planning. Kluwer Academic Publisher, 1992.

51. H. J.Sussmann, "Two new methods for motion planning for controllable systems without drift," in Proceedings of the 2nd European Control Conference, (Grenoble, France), pp. 1501-1506, July 1991.

52. H.J.Sussmann, "Local controllability and motion planning for some classes of systems with drift," in Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control, (Brighton, England), pp. 1110— 1114, Dec 1991.

53. С.В.Гусев и И.А.Макаров, "Алгоритмы стабилизации программных движений транспортных роботов," Известия АН. Техническая кибернетика, т. 2, стр. 220-229, 1993.

54. I.A.Makarov, "Adaptive stabilization of track laying transport robot program motion," in Large-Scale Control Systems, A.l.Fradkov (ed.), Leningrad: IPME, 1990.

55. I.A.Makarov, "Path tracking control for car-like mobile robots," in Proceedings of the IFAC Workshop on Intelligent Autonomous Vehicles, (Southampton, UK), pp. 464-468, April 1993.

56. I.A.Makarov, "Desired trajectory tracking control for nonholonomic mechanical systems: a case study," in Proceedings of the 2nd European Control Conference, (Groningen, The Netherlands), pp. 1444-1447, June 1993.

57. J.Wittenburg, Dynamics of Systems of Rigid Bodies. Stuttgart: B.G.Teubner, 1977.

58. N.H.McClamroch and D.Wang, "Feedback stabilization and tracking of constrained robots," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 33, pp. 419-426, 1988.

59. С.В.Гусев и E.В.Пантелей, "Уравнения динамики и стабилизация программных движений голономных механических систем с дополнительными связями ," Депонир. в ВИНИТИ, 9819-В-88 от 20.07.1988.

60. G.Bastin and G.Campion, "Adaptive control of nonholonomic mechanical systems," in Proceedings of the 1st European Control Conference, (Grenoble, France), pp. 1334-1338, 1991.

61. И.А.Макаров, "Адаптивная стабилизация программного движения транспортного робота с гусеничным шасси," in Адаптивные и экспертные системы в управлении, (Ленинград), pp. 40-42, 1990.

62. S.V.Gusev and I.A.Makarov, "Desired motion adaptive stabilization of track-laying transport robot," in Proc. of the International Workshop on Control System Synthesis: Theory and Applications, (Novosibirsk), pp. 32-36, May 1991.

63. S.V.Gusev and I.A.Makarov, "Adaptive desired trajectory stabilization for mobile robot," in Adaptive control of mechanical systems, A.l.Fradkov (ed.), pp. 24-31, St.Petersburg: IPME, 1992.

64. S.V.Gusev and I.A.Makarov, "On the problem of mobile robots path tracking," in Proceedings of the IEEE/IFAC Workshop on Motion Control for Intelligent Automation, (Perugia, Italy), pp. 365-370, October 1992.

65. B.M.Maschke and A. van der Schaft, "A hamiltonian approach to stabilization of nonholonomic mechanical systems," in Proceedings of the 33th IEEE Conference on Decision and Control, (Lake Buena Vista, USA), pp. 2950-2954, Dec 1994.

66. H.Khalil, Nonlinear Systems. Prentice Hall. 2nd ed., 1996.

67. V.A.Bondarko and V.A.Yakubovich, "The method of recursive aim inequalities in adaptive control theory," International Journal od Adaptive Control and Signal Processing, vol. 6, pp. 141-160, 1992.

68. W.Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. New York: Academic Press, 1975.

69. R.Marino, W.M.Boothby, and D.L.Elliott, "Geometric properties of linearizable control systems," Mathematical Systems Theory, vol. 18, pp. 97-123, 1985.

70. V.I.Arnold, ed., Dynamical systems III. No. 3 in Encyclopedia of Mathematical Science, Berlin: Springer, 1988.

71. R.Rosenberg, Analitical Dynamics. N.Y.: Plenum Press, 1977.

72. V.V.Rumyantsev, "On hamilton's principle for nonholonomic systems," Прикладная математика и механика, vol. 42, pp. 387-399, 1978.

73. А.М.Вершики Л.Д.Фаддеев, Лагранжева механика в инвариантном изложении, pp. 129-141. Проблемы теоретической физики, ЛГУ, 1975.

74. И.А.Макаров и В.А.Коноплев, "Разработка моделей механики и программного продукта в задачах управления шестиногим шагающим аппаратом," Проблемы машиностроения и надежности машин, 1, стр. 73-78, 1992.

75. A.M.Bloch and N.H.McClamroch, "Control of mechanical systems with classical nonholonomic constraints," in Proceedings of the 28th IEEE Conference on Decision and Control, (Tampa, FL), pp. 201-205, 1989.

76. C.I.Byrnes and A.Isidory, "Asymptotic stabilization of minimum phase nonlinear systems," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 10, pp. 1122-1137, 1991.

77. M.Vidyasagar, "Decomposition techniques for large-scale systems with nonadditive interaction: stability and stabilizability," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 25, pp. 773-779, 1980.

78. В.А.Якубович, "Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания," Доклады Академии Наук, т. 343, стр. 172-175, 1995.

79. J.Ackermann, Robust Control: Systems with Uncertain Physical Parameters. London,etc.: Springer-Verlag, 1990.

80. A.Filippov, Differential equations with discontinous right side, vol. 33 of Translations of Mathematical Monographs, pp. 199-231. AMS, 1964.100

81. А.В.Тимофеев, Адаптивное управление программным движением. Москва: Наука, 1980.

82. H.J.Sussmann, "A general theorem on local controllability," SIAM Journal of Control and, Optimization, vol. 25, pp. 158-194, 1987.