Стабилизация высшей К-теории тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.

§ I. Гомологии групп. Категория пар

§ 2. Спектральные последовательности.

§ 3. Симплициальные множества и гомологическое умножение.

ГЛАВА П. ГОМОЛОГИИ АФФИННЫХ ГРУПП НАД $(<>=>)-КОЛЬЦАМИ.

§ 4. Определение и некоторые свойства -колец.

§ 5. Изоморфизм гомологий линейных и аффинных групп.

ГЛАВА Ш. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДЛЯ GLn НАД

-КОЛЬЦАМИ.

§ б. Симплициальные множества унимодулярних реперов.

§ 7. Основная теорема о стабилизации.».

ГЛАВА 1У. СТАБИЛИЗАЦИЯ И ПРЕДСТАБИЛИЗАЦИЯ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ

КОЛЬЦАМИ.

§ 8. функтор Милнора Кп для локальных колец.

§ 9. Кольцо

§ 10. Теорема о стабилизации для локальных колец.

§ II. Вычисление Ка(А)

i

Теоремы о стабилизации играют важную роль в алгебраической К-теории. Классическими примерами таких теорем служат теорема Серра в [21] , теорема Басса о сокращении (см.[2]), известная проблема Серра, поставленная в середине 50-х годов и решенная в 1976 году независимо Суслиным и Квилленом.

Теоремы о стабилизации К\-функторов утверждают, что последовательность нестабильных К\-групп кольца к

К;>1(Ю-> К^М — . — KV>„(K) — стабилизируется при достаточно больших п . Граница стабильности зависит от ^ и удобно выражается в терминах стабильного ранга г кольца к . В отличие от классических случаев

W-1 и г=2. существуют различные подходы к определению высших нестабильных К -групп, наиболее плодотворными из которых оказались связанные с конструкцией Володина (смЛ8],[22]) и плюс-конструкцией Квиллена (см. [16]).

Изучению стабилизации для функторов и К*, посвящено большое число работ, среди которых мы отметим [2],[6],[71,ГДО!, III], [24].

Основной результат этих работ был обобщен Суслиным в [22] для случая К\-групп Володина, совпадающих с классическими при и : для групп Володина К\>п(/0 при любом I канонический гомоморфизм (А) —=>- у^ п+1 (Д^ сюрьективен при n^ r+i-i и биективен при n> r + i.

Наиболее общие результаты в исследовании стабильности высших К -групп Квиллена (J\) получены Ван дер Калленом в [13] и Суслиным в [22]. Для канонического гомоморфизма

K£n (A) —* K^n+i CM в пеРв0М случае гарантируется сюрьективноеть при n ^ 2л + max. (г-1) ~ 1 и биектив-ность при 2\ + тах(г-Ц1) + 1 , а во втором - сюрьективноеть при n^ max и биективность при n^ max + г+г).

Так как ввиду теоремы Гуревича, стабильность (К) следует из стабильности H\("En(A\Z) (при 1^2. ), то некоторым подходом к изучению стабилизации К -функтора Квиллена является изучение стабилизации последовательности групп гомо-логий , представляющей и значительный самостоятельный интерес.

Теоремы о гомологической стабилизации утверждают, что последовательность канонических гомоморфизмов групп гомологий

Н;(GL, (A),Z) -- Hi(GL,(A\Z)Hi(SLB(A\Zb стабилизируется при достаточно больших п , и определяют границу стабильности в терминах стабильного ранга г кольца к.

Так как стабильность следует из стабильности (А) , то мы получаем для произвольного кольца к границы гомологической стабилизации из вышеприведенных результатов Ван дер Каллена и Суслина. Для различных частных типов колец гомологическая стабилизация исследовалась многими авторами. Наиболее плодотворная техника, связанная с использованием различных симплициальных комплексов, была разработана в [17], [13],[4]. Известен неопубликованный результат Квиллена, состоящий в том, что для поля к , отличного от Га. > канонический гомоморфизм ^ : Щ (GLn(K\Z) (GLtt+< (к\ Т) является изоморфизмом при n^i + i .В работе Суслина [23] показано, что в случае бесконечного поля к канонический гомоморфизм п является изоморфизмом при п^г , а также доказана изоморфность Ип (GLn(M}Z) / НЛ C^Wi CM^Z.) группе КпМ * т*е* исследована предстабилизация гомологической последовательности.

Настоящая диссертация посвщена вопросам гомологической стабилизации в высшей К-теории и состоит из четырех глав, разбитых на параграфы. Нумерация параграфов в диссертации - сквозная. Нумерация пунктов (и формул) отдельная для каждого параграфа и состоит из номера параграфа и номера пункта (или формулы) внутри параграфа.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней собраны некоторые (в основном хорошо известные) определения, конструкции и результаты гомологической алгебры, используемые в дальнейших главах диссертации и носящие общий характер.

Во второй главе вводится понятие -колец как колец, в которых для любого натурального числа п существует семейство из г) элементов такое, что сумма элементов любого его непустого подсемейства обратима. Показано, что класс S^) -колец включает в себя, в частности, локальные кольца с бесконечным полем вычетов и алгебры над ними. Изучается некоторое свойство гомоморфизмов этих колец, позволяющее далее доказать основной результат главы - теорему 5,8, утверждающую, что естественное вложение линейных групп над коммутативными (неокольцами в соответствующие аффинные группы индуцирует изоморфизм гомологий этих групп с целыми коэффициентами. Эти результаты опубликованы автором в работе [25] в 1984 году.

Третья глава посвящена вопросам гомологической стабилизации для S(°°) -колец. В ней на основе результатов предыдущей главы и с использованием методов, разработанных в работах [22],

23], обобщаются полученные в [23) результаты. После изучения свойств гомологий двух симплициальных комплексов проводится исследование спектральных последовательностей некоторого бикомп-лекса, дающее в итоге основной результат диссертации - теорему 7.II, которую можно сформулировать следующим образом: для коммутативного -кольца К , стабильный ранг которого равен y* , канонический гомоморфизм Н ^ —^ Н\ (A\Z) сюръективен при i-vr-1 и биективен при п^г+г . Эти результаты опубликованы автором в работе [26] в 1984 году.

В четвертой главе результаты предыдущей усиливаются и дополняются в частном случае, когда к является коммутативным локальным кольцом с бесконечным полем вычетов. Для таких колец доказывается (в теореме 10.5), что инъективная стабилизация гомологической последовательности происходит на шаг раньше, чем это следует из общей теоремы 7.II, и исследуется предста-билизация этой последовательности. Более точная формулировка: гомоморфизм

П+А (A\Z) еСТЬ И30"* морфизм при n>i , a Hn(GLn(A\Z)/Hn((SLnM(ll\l) = K!lM.

Функтор Милнора Кп для колец вводится и изучается ранее.) Приводится также, в качестве примера применения теоремы 10.5, доказательство в случае описываемых локальных колец А известного результата Ван дер Каллена: Kj,(A) = К" (АУ

Результаты диссертации докладывались на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов Ленинградского отделения Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР и кафедры высшей алгебры и теории чисел ЛГУ им.А.А.Жданова.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [25] , [26] .

1. Басс X. Алгебраическая К-теория. М., Мир, 1973. 591с.

2. Bass Н. K-tbeory and s»+aMe qlg-ebra. Pub\.

3. Bass Ta"Ve"3. The. MUnor oi c\ g-lobalfadcL- Lect Notes Ма1Ц 4 373^.341.^.349-446.

4. Wagoner "З.Ь. &+ab\U"Vy for bomorene.rq| linear g-roup over a ring-. Topology^1976> N45^447-423.

5. Wagoner "3.B. Ecjuwa\ence- o*Y Alg^eJohcuc-K-lVxeor-ves. — сЛ Pure, and AppUed Alg-ebrc^1977> If И j p. 2-45-2.63.

6. Вассерштейн Л.Н. 0 стабилизации общей линейной группы над кольцом. Мат.сб., 1969, т.79, №3, с.405-434.

7. Вассерштейн Л.Н. О стабилизации для ^-функтора Милнора. -Успехи мат.наук, 1975, т.30, № I, с.224.

8. Володин И.А. Алгебраическая К-теория как экстраординарная теория гомологий на категории ассоциативных колец с единицей. Изв.АН СССР, сер.мат., 1971, т.35, №4, с.844-873.

9. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. М.:ИЛ, 1961. 319с.Ю. De-nnis,R. К. &urjectwe s'VciWiU'Vy ^or "Н\е functor Lect. Note^ МсЛЦ 1973 > v.35"3; p. &5-9A.

10. Кс\11е.и van der W. In.e.ci~nve si~qloaUty ■for K^, ~1.ct. Notes 197G 3 v. 554. > p. 77-.

11. Kail en van c\er W, Tbe K^ oi rin<r*=> with many \*n\ts>. ^nn. £>с\ел\1г. Ecole Norm. Sup. 40 ser^e.4Э77> р. 473-54 5Г.

12. Kcxl\e-n van de-r W. И ото \ag-y ibtaUUVy W <g-e.ne.rci\ linear groups. Tnve.*vV\ Ma"VVi. ^ 'ISSO^v.SO, NTSj p-2.G3-2.9S:

13. Картан А.,Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.:ИЛ,1960, 510с.15. Н. d^ Moore e/Vbomo"Vo^\e ) ел SeminRire Солл"\~ап 1354-5-5\He.w York^ Benjamin > 1 9 67.

14. Qluillen b. Higher al^e-trcxac K-iUeory : L. -Le^ Mote^ MafU^ v. p.Ч7-'133.

15. MdQzevi И. Homolo^ s^o^cnUtу ^or -Vbe <g&Y\e.ro\ l\ne.ar g^roup . y UirecM^ 4973. ЮОр.

16. Маклейн С. Гомология. М.: Мир, 1966. 543с.

17. Милнор Дж. Введение в алгебраическую К-теорию. М.: Мир, 1974. 200с.

18. MiUor А\^еЬгалс. G.ory one* Qua cU-hc•^orrns. Ivwe-nt Ka^^ <1370> v. p. 344.

19. Й&гге 'З.-'Р. Modules» prc^e.c."VHs eV espaces,eory. —1.&t. Motes мм-ц

20. Suslin A. A- Homo\c>g-y oi GL^ Charpc.'t'erTst'ic C-iasse-s and MiUor — l—ecti Motes

21. Суслин А.А.,Туленбаев M.C. Теорема о стабилизации для К£-функтора Милнора. Зап.науч.семинаров ЛОМИ, 1976, т.64, с.131-152.

22. Нестеренко Ю.П. Гомологии аффинных групп для некоторого класса колец. В кн.: Кольца и матричные группы, Орджоникидзе, СОГУ, 1984, с.90-97.