О стабилизации программных движений неавтономных управляемых механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

БЕЗГЛАСНЫЙ Сергей Павлович

О СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 1998

Работа выполнена в Ульяновском государственном университете. Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Официальные ошюненты: доктор физико-математических нау

Ведушая организация - Вычислительный центр РАН

Защита диссертации состоится "10" апреля 1998 года в 16 часе на заседании диссертационного совета по механике N 1 при Моско] ском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу 119899, Москва, Воробьевы горы, МРУ, механико-математическв факультет, ауд, 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-мат матического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан " " «-^.а Р / Сс, 1993 г. Ученый секретарь

профессор А.С. Андреев

профессор Ю.Ф. Голубев доктор физико-математических нау профессор И.А. Мухаметэянов

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Д.В. Трещев

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В середине 20-го столетия получила большое развитие теория оптимальных процессов управляемых динамических систем, которая охватывает широкий круг проблем прикладного характера. Среди этих проблем важное значение имеет поставленная A.M. Летовым проблема аналитического конструирования регуляторов. Развивая идеи A.M. Летова, H.H. Красовский разработал теорию оптимальной стабилизации управляемых движений, которая имеет тесную связь с общей задачей об устойчивости движения. Методы исследования проблем оптимальной стабилизации переплетаются с классическими методами теории устойчивости Ляпунова.

Задачи о стабилизации нелинейных систем в дальнейшем исследовались многими авторами, в том числе В.В. Румянцевым, В.И. Воротниковым, В.И. Зубовым, В.Б.Колмановским, A.C. Галиуллиным, И.А. Мухаметзяновым, Л.Ф. Акуленко, В.А.Колосовым, A.C. Ози-ранером и другими учеными.

Имеющиеся теоремы об оптимальной стабилизации нестационарных нелинейпых систем основаны на использовании знакоопределенной функции Ляпунова, имеющей знакоопределенную производную.. Однако существует ряд задач, в которых построение таких функций оказывается невозможным. Разработка и применение новых методов решения задач о стабилизации и об оптимальной стабилизации управляемых систем на основе предельных уравнений и знакоопре-деленной функции, имеющей знакопостоянную производную, позволяют расширить класс решаемых прикладных задач. Одновременно представляется эффективной в исследованиях по стабилизации постановка задачи о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления. В отличие от оптимальной стабилизации, где качество управления оценивается минимумом некоторого функционала, в данной постановке это качество определяется наперед заданной

оценкой функционала.

Цель работы.

Разработка новых методов решения задач о стабилизации и об оптимальной стабилизации управляемых систем по всем и по части переменных.

Применение получаемых методов к решению задач о стабилизации программных движений управляемых механических систем.

Научная новизна.

Получены новые теоремы о достаточных условиях об оптимальной стабилизации и стабилизации с гарантированной оценкой качества управления по всем и по части переменных.

Определены новые методы построения управляющих сил, решающих задачу о стабилизации программных движений управляемых механических систем.

Положения, выносимые на защиту. Автором защищаются следующие научные положения:

1. Новые, методы решения задач о стабилизации и об оптимальной стабилизации по всем переменным и по части переменных для управляемых систем, основанные на применении функций Ляпунова со знакопостоянными производными.

2. Результаты исследования задач о стабилизации программных движений управляемых механических систем.

3. Результаты исследования задач о стабилизации программных движений математического маятника, тяжелого твердого тела с закрепленной точкой, симметричного твердого тела, закрепленного на подвижной платформе, и спутника на плоской эллиптической орбите.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы при решении различных прикладных задач о стабилизации движений, для построения систем программных движений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и

обсуждались на:

- 17-19-ой Конференциях Молодых Ученых (Москва, МГУ, 1995, 1996, 1997 гг.);

- Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1996 год);

- 11-й Международной конференции по проблемам теоретической кибернетики (Ульяновск, 1996 год);

- Международной 7-ой Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" ( Казань, КАИ, 1997 год );

- Региональной конференции "Фундаментальные проблемы математики и механики" (г. Ульяновск, 1996 г.);

- III-V ежегодной научно-практической конференции Ульяновского госуниверситета (1994, 1995, 1996 гг.);

- семинаре по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ под руководством акад. РАН В.В. Румянцева и проф. A.B. Карапетяна (декабрь 1996 г.);

- семинаре по механике относительного движения в МГУ под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. Ю.Ф. Голубева (декабрь 1996 г.).

Личный вклад автора. Постановка задачи о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления из раздела 1.1, дополнительные предположения и теоретические построения из раздела 1.2 первой главы, раздела 2.2 второй главы разработаны совместно с A.C. Андреевым. Все результаты диссертации (кроме теоремы 1.2.3 раздела 1.2) получены автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 15 работах, список которых помещен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 107 наименований источников отечественных и зарубежнцх авторов. Общий объем - 111 страниц

машинописного текста.

Содержание работы

Во введении дается краткий обзор имеющихся работ по данной теме и краткое изложение полученных в диссертации результатов.

В первой главе излагаются результаты исследований задач об оптимальной стабилизации и о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления.

Рассматривается управляемая система

x = X(t,x,u), (1)

где х 6 Rn, и е Rr. ||а;|| = [х\ + + ••• + я')?. Правая часть (1) X(t,x,u) (X(t.0,0) = 0) определена для некоторого класса U = {u(t, х) : u(t, 0) = 0} управлений u(t, х) € C(G), G = R+x Г (R+ = [0,+оо[, Г = {||х|| < Н, Н = const > 0}), непрерывна и удовлетворяет в G условиям существования и единственности решений.

Оценкой качества управления этой системы служит значение интеграла

с»

1 = 1 W(t, x{t], u[f]) di, W{t, x, и) > 0. (2)

to

Вводятся следующие определения.

Определение 1.1. Управляющее воздействие и = u°(t,x) называется стабилизирующим с гарантированной оценкой качества управления P(t,x), если оно обеспечивает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения х = 0 системы (1), и на каждом управляемом движении x°(t), x°(t0) = хо справедливо неравенство:

оо

/ = / W{t, u°[í]) dt < P(t0, so). (3)

и

Пусть 1 правая часть (1) Xo(t, х) = X(t, х, u°(t, х)) и подынтегральная функция в (2) W°(t,x) = W(t,x,u°(t,x)) для некоторогс

1 Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы// ПММ. - 1984. - Т.48. Вып.2. - С.225-232.

u°(t,x) € U удовлетворяют на каждом компакте К условиям

||X0(i,z)||<A/i, \\X°(t,x2)-X%t,x1)\\<vK\\x2-x1\\; (4) \\W°(t,x)\\<VK, ||W°(*,z2)-^0(f,zi)ll (5)

где \к = A(JiT), vK = ^ = V(K)> l1 к = М-^) - некото-

рые константы. Тогда функции X°(t, ж) и W"c(i, а;) удовлетворяют в области G условиям предкомпактности в некоторых функциональных пространствах и Fq 2 и системе уравнений (1) х = X°(t,x) сопоставляется семейство предельных систем х — <&(i, а;), а функции W°(t,x) — семейство предельных функций n(t,x), где

, t 1 t ФЦ,х) = lim { X\tn+т, х) dr), Q(t, х) = - ( lim f WQ(tn+r, x) dr).

ai ^r.—ocJ j dtvn—zej /

и 0

Обозначим через V = Vit, .т), V € Cl(G R) функцию Ляпунова, через B[V,t,x,u] следующее выражение:

dV /ЭУ\Т B[V,t,x,u) = X{t,x,u) + W(t,x,u),

где символ ( )т обозначает операцию транспонирования.

Определение 1.2. 3 Пусть tt —► +оо есть некоторая последовательность, t € R и с € R — некоторые значения. Множество V^l(t,c) есть множество точек х £ Г, для каждой из которых существует последовательность xj. —> х, такая что

lim V(tk + t,xk) - с

k—оо

На основе такого построеппя получены следующие теоремы.

Теорема 1.2.2. Пусть для системы (1) существуют функция Ляпунова V(t, х) € CX(G), Vfjt, 0) = 0, и управление и = u°(t, х) £ U, такие, что:

2Artstein Z. Topological dynamics of ас ordinary equations//J.Differ. Equat.- 1977.-V.23. N.2. -P. 216-223.

3Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем// ПММ. - 1979. - Т.43. Вып.5. - С.796-805.

1) функция V(t, х) определенно-положительна, допускает бесконечно малый высший предел;

2) функция B[V,t,x,u°(t,x)] < 0;

3) правая часть системы (1) X°(t,x) — X(i, x,u°(t,x)) и функция W°(t, х) = W(t. х, u°(t. х)) удовлетворяют условиям (4) и (5);

4) для любой предельной к (Х°, Wa) пары (Ф, П) множество а:) = 0} не содержит решений предельной системы х = Фо(£, х). кроме

х = 0.

Тогда u°{t,x) - стабилизирующее управление с гарантированной оценкой качества управления Р(Ь},хц) = V(to, Хп). При этом невозмущенное движение х = 0 равномерно асимптотически устойчиво.

Теорема 1.2.4. Пусть для системы (1) существуют функция Ляпунова V(t,x) G C^G), V(i, 0) = 0, и управление и = uPit. х) £ U, такие, что:

1) функция V(t,x) определенно-положительна;

2) существуют числа Но и Н\ (0 < Я0 < Hi). такие, что sup(F(i, х) при t > 0, ||х|| < Н0) < ai(Hi);

3) функция B[V,t,x,u°(t,x)] < 0;

4) правая часть системы (1) X°(t,x) = X(t,x,u°(t,x)) и функция W°(t,x) = W(t,x,u°(t,x)) удовлетворяют условиям (4) и (Б);

5) существует хотя бы одна последовательность —> -foo, для которой предельная к (Х°, W0) пара (Ф°, Q0) и соответствующее множество с) будут таковы, что для любого с = со = const > 0 множество {V^^ijc) : с = с0} fl{n°(t, ж) = 0} не содержит решений предельной системы х = Ф°(t,x).

Тогда uü(t,x) - стабилизирующее управление с гарантированной оценкой качества управления P(tо,хо) = V(io, При этом движение х = 0 асимптотически устойчиво равномерно по xq.

Теорема 1.2.6. Пусть для системы (1) существуют функция Ляпунова V(t,x) G C\G), V(i,0) = 0, и управление и = u°(i,x) € U, такие, что:

1) функция V(t,x) определенно-положительна;

2) существуют числа Н0 и Н\ (0 < #о < Hi),такие, что sup(V(i, х)

при t > О, ||ar|[ < Но) < ai(Яг);

3.1) функция В\у, í, х, u°(t, х)] = О,

3.2) B[V, í, х, u°(t, ж)] < B[V, t, х, u*(t, ж)] для любого другого управления u*(t,x) 6 U, обеспечивающего асимптотическую устойчивость нулевого решения; при этом на движениях x*[í] системы справедливо V"0 = limV(í,a:0(t,to,xo)) > V* = limV(í, x*(t, t0, x0)) при t —> +oo в предположении, что эти пределы существуют;

4) правая часть системы (1) X°(t,x) = X(t,x,vP(t,x)) и функция Wü{t,x) = W(t,x,u°(t,x)) удовлетворяют условиям (4) и (5);

5) для любой предельной к (Xo, W°) пары (Ф°, и соответствующего множества с) множество {V^l{t,c) : с = си = const > 0} х) — 0} не содержит решений предельной системы х — <&0(t,x), кроме х — 0.

Тогда u°(t, х) - стабилизирующее управление, решающее задачу об оптимальной стабилизации для системы (1). При этом выполняется соотношение

оо оо

Io = j w(t, х, u°(t, х)) dt = min j W(t, x, u*(t, x)) dt = V(t0, x0) - Vo,

ta to

для любого u*(t,x) Е U, решающего задачу о стабилизации невозмущенного движения х = 0.

Вышеизложенные теоремы развивают и обобщают результаты H.H. Красовского, В.В. Румянцева и других авторов об оптимальной стабилизации, определяют достаточные условия стабилизации с гарантированной оценкой качества управления.

Эффективность предложенных теорем показана на решении ряда механических примеров. Исследована задача о стабилизации произвольных нестационарных программных движений математического маятника с неподвижной точкой подвеса.

Рассмотрена задача об использовании гравитационного момента для стабилизации управляемого плоского вращательного движения спутника на эллиптической'орбите. Получены управления, стабилизирующие программное движение спутника и указана гарантиро-

ванная оценка некоторого их качества.

Во второй главе излагаются результаты исследований задачи об оптимальной стабилизации и о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления по части неременных.

Рассматривается управляемая система

х = Х^,х,и), (6)

где х — (у, г) 6 й",!/ 6 В,"1, г е Я" (т > > 0,п = т + я); правая часть (6) Х(1,х,и) (Аг(£,0,0) — 0) определена для некоторого класса и = {«(^я) 0) = 0} управлений и(г, ж) £ С(С), С? = Д+хГ (В^ = [0, +ос[, Г = {||у|| < Н,Н = сопвг > 0, ||*|| < +оо}), и при каждом и & II непрерывна и удовлетворяет в С? условиям существования, единственности и г— продолжимости решений.

Определение 2.1. Управляющее воздействие и — и°^,х) называется у—стабилизирующим с гарантированной оценкой качества управления Р(1:, х), если оно обеспечивает асимптотическую у—устойчивость невозмущенного движения х — 0 системы (6), и на каждом управляемом движении = Щ выполнено нера-

венство:

00

/ = ] ШЦ,х°[1],и0[г})(И < Р^а,х0). (7)

<0

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2.4. Пусть для системы (6) с (2) существуют функция Ляпунова У(*, х) 6 С"1^), У(^0) = 0 и управление и = х) £ и, такие, что:

1) решения системы (6) при и = и°{1,х) из области Г0 = {[|х']| < Щ < Н\ ограничены по г;

2) функция У (2, х) определенно-положительна по у, У (г, х) >

<и(1Ы1);

3) существует число Н\ (Я0 < Щ < Н),такое, что эир(У(*, х) при t>0, ||г|| < Н0) < а](Я,);

4) функция В [У, X, и0 (г, а;)] < 0;

5) правая часть системы (6) Х°{1,х) = Х(1;, х, х)) и функция

= удовлетворяют условиям (4) и (5);

6) существует хотя бы одна последовательность, для которой каждая предельная к W°) пара (Фо, ^о) и соответствующее множество с) таковы, что для любого с = со = const > 0 множество {V-1 (t, с) : с = Со} Л{По(Лх) — 0} не содержит решений предельной системы х — Ф0(*, х).

Тогда u°(i, х) - ¡/-стабилизирующее управление с гарантированной оценкой качества управления P(to,XQ) = V(to,xo). При этом движение х = 0 асимптотически ¡/-устойчиво равномерно по xq.

Теорема 2.2.5. Пусть для системы (6) с (2) существуют функция Ляпунова V(t,x) е C^G), V(t, 0) = 0 и управление и = u°(t,x) £ U, такие, что:

1) решения системы (6) при и = u°(t,x) из области Го = {||ж|| < Но < Н) равномерно ограничены по г;

2) функция V(t, х) определенно-положительна по у;

3) функция V(t,x) допускает бесконечно малый высший предел по всем переменным;

4) функция B[V, t, х, u°(t, х)} < 0;

5) правая часть системы (6) X°(t,x) — X(t,x,u°(t,x)) и функция W°(t, х) = W(t,x, u°(t,x)) удовлетворяют условиям (4) и (5);

6) каждая предельная совокупность (Фо, V*, По) такова, что {V*(t, х) = с: с> 0}х) — 0} не содержит решений предельной системы

X - Ф0(<, ж).

Тогда u°(t,x) - «/-стабилизирующее управление для системы (6) с гарантированной оценкой качества управления P(io, xq) — V(io>xq). При этом движение х = 0 системы (6) равномерно асимптотически ¡/-устойчиво.

Далее в главе доказаны аналогичные теоремы, в которых условие ограниченности движений по неконтролируемым координатам г заменяется определенным условием относительно системы и функции Ляпунова при ЦгЦ —► оо.

Получены также новые теоремы, решающие задачу об оптимальной ¡/-стабилизации. Эти теоремы являются следствиями теорем о

стабилизации с гарантированной оценкой качества.

Представленные теоремы обобщают и развивают соответствующие результаты из работ В.В. Румянцева, А.С.Озиранера и других авторов.

В качестве примера решена задача о стабилизации вертикальных вращений симметричного тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг точки, закрепленной на платформе, совершающей вертикальные колебания.

В третьей главе излагаются результаты по исследованию задачи о стабилизации программных нестационарных движений управляемой механической системы.

В первом разделе приводится постановка задачи. Рассматривается управляемая голономная механическая система с нестационарными связями,

где д £ Л", 4 € Яп — обобщенные координаты и скорости (вектор-столбцы). Кинетическая пред ставима в виде Т = Т^ + Т\ -Ь То, где Тг = |дтА(2, q)q, Т\ = Вт(1^)д. Матрица размерности п х п,

симметрична и удовлетворяет

где Е — единичная п х n-матрица. B(t, q) — n-вектор-столбец; Tq = To{t, q) — скалярная функция. Действующие на систему силы Q представляют собой сумму сил Qi, стабилизирующих заданное движение системы и внешних сил Q2. Движение системы рассматривается на множестве G = R+ хГ, Г = {||g|| < H, ||g|| < Н,Н > 0 — const}. Предполагается, что уравнения (8) удовлетворяют условиям существования и единственности решений в области G.

Определение 3.1. Программным (желаемым) движением системы (8) назовем пару (r(t), r(t)), где r(t) — ограниченная, дважды непрерывно дифференцируемая n-мерная вектор-функция, являющаяся решением системы уравнений (8) при Qi = 0.

Поставим задачу о стабилизации программного движе-

(8)

а0Е < A(i,q) < ахЕ (0 < ай < - const), (9)

ния: указать управление С>\ и условия на силы С}% (исходя из их вида), при которых программное движение (г(¿), г(£)) системы (8) будет асимптотически устойчиво.

Решение поставленной задачи путем линейной замены переменных сводится к задаче о стабилизации нулевого положения равновесия неавтономной лагранжевой системы.

Разрешим систему (8) относительно обобщепных скоростей: dq

а

' . дВ дТо Л (10)

^ А-1 { „ дА -г = ~м ~ -гг

dt I dt

дВ дВ1 dqT dq

dt dq

где компоненты Mi — квадратичные формы скоростей.

Пусть С и D — две симметричные матрицы, удовлетворяющие

cqE < С = const < с\Е (со < cj — const)] (11)

ID(t, <?)| < dxE (0 < di - const); (12)

дА

2D -f -щ > ctoE (0<qo-const). (13)

Пусть правые части системы (10) для любого H < оо ограничены и удовлетворяют в G условиям Липшица равномерно по q, q относительно t.

Предположим, что на систему (8) действуют диссипативные силы —F(t,q)q (F = FT, F > 0), гироскопические G(t,q)q (GT = —G) и потенциальные силы с потенциалом П = II(t, q), то есть

Q2 = -F(t,q)q + G(t,q)q-^. (14)

Причем

дА

2F + —>a0E (0 <а0-const). (15)

Теорема 3.3.1. Пусть для системы (8) Q = Q1 + Q2, Q2 из (14), справедливы следующие условия:

1) матрицы С и F удовлетворяют условиям (11), (15).

2) потенциальная энергия' системы такова, что

]-qTCq + П(*,д) > А(||д||) > 0, dïï/dt < 0;

Тогда управление

п дВ т Гп

решает задачу о стабилизации программного движения q = q = О системы (8). При этом устойчивость равномерная асимптотическая.

Теорема 3.3.2. Пусть для системы (8) Q = Q1 + Q2, Qi из (14), справедливы следующие условия:

1) потенциальная энергия системы есть определенно-положительная функция по переменным q, H(í, q) > /¡(||í/¡|) > 0, а ее частная производная по времени ОП/dt < 0;

2) положение равновесия q = q = 0 является изолированным;

3) матрица F удовлетворяет условиям (15).

Тогда управление

Л дВ дТо

решает задачу о стабилизации программного движения q — q = 0 системы (8). При этом устойчивость равномерная асимптотическая.

Теорема 3.3.3. Пусть для системы (8) Q = Q1 + Q2, Qi из (14), справедливы следующие условия:

1) матрицы С — C(t), D и F удовлетворяют условиям (11), (12) и

дА

D + 2F + ~>a0E (0 < ао — const): ot ~

2) положение равновесия q = q = 0 является изолированным;

3) потенциальная энергия системы удовлетворяет условиям

1 qTCq + П(í, q) - T0(í, q) > ft(||g||) > 0,

2 dt

Тогда управление

(\qTC(t)q-T0(t,q) + U(t,q)^ <Q.

f)R

решает задачу о стабилизации программного движения д = q = О системы (8). При этом устойчивость равномерная асимптотическая.

Получены также аналогичные теоремы о стабилизации программных движений по части переменных.

Решены задачи о стабилизации программных движений математического маятника с подвижной точкой подвеса и твердого тела с одной неподвижной точкой.

Заключение. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1. Доказаны новые теоремы о достаточных условиях задач стабилизации (оптимальной, с гарантированной оценкой качества управления) управляемых нестационарных двпженпй.

2. Получены аналогичные теоремы о стабилизации по части переменных как при условии ограниченности так и при неограниченности движений по неконтролируемым координатам.

3.Представлены новые решения задачи о стабилизации программных движений управляемых механических систем.

4. В задаче о стабилизации с интегральным критерием качества предложен новый метод определения подынтегральной функции, при которой заданный тип управляющих воздействий будет гарантировать заданную оценку функционала.

5. Исследованы задачи о стабилизации произвольных программных движений математического маятника с закрепленной и перемещающейся точкой подвеса.

6. Решены задачи о стабилизации программных движений твердого тела с одной закрепленной точкой, вертикальных вращений симметричного тяжелого твердого тела с точкой, закрепленной на платформе, совершающей вертикальные колебания.

7. Решена задача о стабилизации управляемого плоского вращательного движения спутника на эллиптической орбите.

По теме диссертации, опубликованы следующие работы: 1. Андреев A.C., Безгласный С.П. К задаче управления вращательным движением твердого тела// Тезисы Международной конфе-

ренции "Пространство, время, тяготение" - Санкт-Петербург, Россия, 23-28 мая 1994 г. - С.83

2. Андреев A.C., Безгласный С.П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления// ПММ. -1997. - Т.61. Вып.1. - С.44-51.

3. Безгласный С.П. Стабилизация программных движений механических систем// Тезисы Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". Киев: Киевский гос. университет, 16-20 мая 1994 г. - С.9-10.

4. Безгласный С.П. Стабилизация программных движений механических систем// Тезисы третьей ежегодной научно-практической конференции студентов и аспирантов Уф МГУ. - Ульяновск: УфМ-ГУ, 22 апреля 1994 г. - С. 5 -

5. Безгласный С.П. О стабилизации управляемых механических систем с гарантированной оценкой качества управления// Тезисы украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". - Киев: Киевский гос. университет, 15-19 мая 1995 г. -С.11.

6. Безгласный С.П. О стабилизации механических систем с гарантированной оценкой качества управления// Тезисы четвертой ежегодной научно-практической конференции студентов и аспирантов Уф МГУ. - Ульяновск-.УфМГУ, 21 апреля 1995 г. - С.4-5.

7. Безгласный С.П. О стабилизации по части переменных программных движений управляемых механических систем.//Тезисы докладов студентов и аспирантов на пятой ежегодной научно-практиче« конференции УлГУ.- Ульяновск: УлГУ, 27 апреля 1996 г. - С.З.

8. Безгласный С.П. Стабилизация механических систем с гарантированной оценкой качества управления // Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. - Ульяновск: УлГУ, 1996 г. Вып.1. Часть 1. - С.33-39.

9. Безгласный С.П. О стабилизации по части переменных с гарантированной оценкой качества управления//Тезисы докладов 11-ой Международной конференции по проблемам теоретической киберне-

гики. - Ульяновск: УлГУ, 10-1-1 июня 19% г. - U.2U-21.

10. Безгласный С.П. О стабилизации положения равновесия управляемой механической системы//Тезисы докладов Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". - Донецк, Украина, 2-6 сентября 1996 г. - С. 10-11.

11. Безгласный С.П. О стабилизации программных движений Ла-гранжевых систем // Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. - Ульяновск: УлГУ, 1996 г. Вып.2. -С.9.

12. Безгласный С.П. Стабилизация нестационарных программных движений математического маятника// Тезисы Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". Киев: Киевский гос. университет, 19-23 мая 1997 г. - С.8.

13. Безгласный С.П. О стабилизации движений неавтономной системы// Тез. докл. 7-ой Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". - Казань: КАИ, 10-13 июня 1997 г. - С.8.

14. Bezglasnyi S. On stabilization of program motions of controlled mechanical systems// Proceedings of the 22 Yugoslav Congress of theoretical and appliedmechanics - Vrnjacka Banja, June 2 - June 7, 1997. - P.107-112.

15. Безгласный С.П. К задаче о стабилизации нестационарных программных движений математического маятника// Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. -Ульяновск: УлГУ, 1997 г. Вып.4. - С. 19-23.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант N 96-01-01067) и стипендиальной поддержке программы стипендий Президента РФ для обучения за рубежом (1997 г.), фонда Сороса (грант ISSEP А96-2646).