Параболические факторизации редуктивных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Синчук Сергей Сергеевич

Параболические факторизации редуктивных групп

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

З ОКГ 2013

Санкт-Петербург 2013

005534130

005534130

Работа выполнена па кафедре высшей алгебры и теории чисел математнко-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ВАВИЛОВ Николай Александрович

Официальные оппоненты: ПАНИН Иван Александрович,

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Санкт-Петербургское отделение

Математического института им. В. А. Стеклова РАН, главный научный сотрудник

СТЕПАНОВ Алексей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент Санкт-Пстсрбургский государстве!Iный электротехничсский университет «ЛЭТП» им. В. И. Ульянова (Ленина), доцент

Ведущая организация: Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

Защита состоится 2-3 ОС* 2013 г. в часов на заседании совета Д 212.232.29 при

Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 10 линия В.О., д. 33/35, ауд. 74.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан_2013 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.232.29

доктор физ.-мат. наук, профессор

Нежинский В Л'

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Проблема стабилизации в алгебраической К-теории заключается в нахождении условий на кольцо R. достаточных для биективности отображений K¡(n, R) ->• K¿(n+ l,ñ) между нестабильными К-функторами. Данную задачу можно условно разделить на четыре частных подзадачи, каждая из которых изучалась в отдельном контексте:

• сюръективная стабилизация Ki;

• инъективная стабилизация Ki и сюръективная стабилизация Кг;

• инъективная стабилизация Кг;

• стабилизация для функторов K¿, г > 2.

Впервые проблема стабилизации для линейного Ki-функтора рассматривалась X. Бассом в работе "К-theory and stable algebra" 19G4 года. Басс доказал, что для конечной алгебры А над нетеровым коммутативным кольцом R размерности Крулля d и произвольного идеала I < А отображение Ki(d+ \,А,1) —» I<i(d + 2, А, I), индуцированное естественным вложением линейных групп

оказывается сюръективным. Последнее утверждение можно сформулировать в виде равенства:

Кроме того, Бассом была высказана гипотеза, что при тех же предположениях на основное кольцо имеет место инъективность отображения

Данная гипотеза была доказана Бассом в совместной с Дж. Милнором и Ж.-П. Серром классической работе "Solution of the congruence subgroup problem for SL„, (n > 3) and Sp2„, (n > 2)". Позднее JI. Васерштейн передоказал данную гипотезу, существенно упростив первоначальное доказательство Басса.

GL(d + 2, А, I) = E(d + 2, А, I) ■ GL(d + 1, А, I).

1<і(с/ + 2, А, I) ->■ I<i(d + 3,А,1)

или, что то же самое:

GL(d + 2, А, I) П E(d + З, Л, I) = Е(d + 2, А, I).

В монографии "Алгебраическая K-теория" Басе сформулировал вопрос о нахождении достаточных условий для биективности отображений Ki-функтороп, индуцированных вложениями полупростых алгебраических групп. При этом Басс предлагал формулировать такие условия в терминах размерности Крулля основного кольца и размерностей максимальных расще-пимых торов.

Пусть Ф - приведенная система корней ранга > 2, а R - произвольное коммутативное кольцо. Обозначим через С(Ф, —) односвязную аффинную групповую схему Шсоалле-Демазюра типа Ф. Иными словами, рассматривается представимый функтор из категории коммутативных колец в категорию групп такой, что группа С(Ф, С) является односвязной расщепимой комплексной алгебраической группой типа Ф.

Для произвольного коммутативного кольца R и систем корней Ф, не содержащих неприводимых компонент ранга 1, в группе С(Ф, R) можно выбрать нормальную подгруппу Е(Ф, R), называемую элементарной подгруппой. Как абстрактная группа, Е(Ф, R) порождается элементарными корневыми унипотентами ta(0 для а €Е Ф, £ G R.

Группой Стейиберга St^, R) называется группа, заданная формальными образующими ха(£) и набором тождеств, моделирующим элементарные соотношения между элементами fQ(£):

= + 62),

Мб), */»(&)] = П Xi*+jß(Naen&l), аф-ß-

za+j/ЗеФ, i,j>О

В данной формуле через Naßij обозначены некоторые целочисленные константы, называемые структурными константами группы Шсвалле.

Рассмотрим отображение ip: Я^Ф, R) —> С(Ф,Д), сопоставляющее каждой образующей ха(£) элемент ia(0- Нестабильные Ki и К.2-функторы, промоделированные по группам Шсвалле, определяются как коядро и ядро гомоморфизма (р:

1 —К2(Ф, R) —St^, R) R) —► 1<1(Ф, R) —► 1.

В частном случае Ф = Ап имеем:

G(A„, R) = SL(n + 1, Я), Е(А„, R) = E(n + 1, Я),

Ki(An, R) = SI<i(n + 1, R) = SL(n + 1, R)/E(n + 1, R).

Если Ф = An,B„,C„,Dn - одна из классических серий систем корней, а Z = G, St, Е, Ki, то можно определить стабильную группу R) как

4

индуктивный предел соответствующих групп конечного ранга относительно семейства гомоморфизмов, индуцированных вложениями Ф; Ф;+ь

2(Ф,Я)= lim г{Фп,К).

п-*+эс

Отметим, что К1(АЭ0, R) совпадает со специальной группой УайтхсдаБК^Я), a St(A0C, R) - со стабильной группой Стейнберга St(R).

Р. Стейнберг в работе "Générateurs, relations et revêtements de groupes algébriques" 19G2 года доказал сюръсктивность отображений в : K2($i,F) —ï КгСФш,^) Для m > I, классических Ф и произвольного поля F. В работе [4] X. Мацумото при тех же предположениях доказал биективность в. Результат Стейнберга о сюръективной стабилизации был обобщен М. Стейном на случай групп над полулокальными коммутативными кольцами, а К. Деннис и М. Стейн перенесли на коммутативные локальные кольца и теорему Мацумото. Кроме того, в работе "Stability for Кг" К. Деннисом была доказана теорема о сюръективной стабилизации для линейного Кг-функтора при условии на стабильный ранг основного кольца.

Общие результаты об пнъективной стабилизации для линейных Кг-функторов были получены В. ван дер Калленом и независимо А. Суслиным и М. Туленбаевым (см. [1]). Позднее М. Кольстер усилил результат Сусли-на и Туленбаева, доказав в данном контексте теорему о пред стабилизации. Кольстер исходил из похожих идей, но использовал другую факторизацию для группы Стейнберга.

В работе [5| М. Стейн получил простое единообразное доказательство теоремы Денниса и одновременно теоремы об пнъективной стабилизации Ki в более широком контексте расщепимых групп Шсвалле над кольцами. Стейном, кроме того, были найдены условия достаточные для сюръективно-сти отображений К-функторов, индуцированных вложениями классических групп Шсвалле. В работах 1980 -1990 Е. Плоткин обобщил результаты Стейна на случай вложений исключительных групп Шевалле, а также скрученных групп. В контексте унитарных и эрмитовых групп над кольцами с инволюцией, обобщающих классические группы Шевалле, достаточные условия для стабилизации Ki и Кг-функторов были найдены в работах Э. Бака, JI. Ва-ссрштейна, М. Салиани и Н. Э. Мустафы-Заде (см. [2]).

Результаты о стабилизации высших К-функторов Володина, промоделированных по классическим группам, были получены А. Суслиным и И. Паниным. При этом теоремы о стабилизации Ki и Кг не передоказываются в данных работах, а используются в качестве базы индукции. Стабилизация высших К-функторов тесно связана с проблемой гомологической

стабилизации для классических групп, изучавшейся К. Вогтманн, Р. Чарни, В. ван дер Калленом, X. Маазеном и Б. Мирзаи.

В серии недавних работ Р. Pao и его ученики улучшили теорему об инъективной стабилизации I<i для линейных и симплсктичсских групп, рассматриваемых над классом геометрически регулярных алгебр над совершенным Ci-полем. В частности, из результатов Pao следует, что отображения Ki(Ф;, R) —»■ Ki($/+i, R) для колец R из рассматриваемого класса биективны уже при I > dim(ií) в случае Ф; = А;, и 21 > шах(3, dim(ñ) + 1) в случае Ф; = Q. При этом Pao было показано, что для четных ортогональных групп улучшить классические результаты о стабилизации, вообще говоря, нельзя.

Основным ингредиентом, используемым в доказательстве стабилизационных теорем из работ [1], [2], является некоторая групповая факторизация, которая формулируется в терминах параболических подгрупп. Дадим краткий обзор классических треугольных разложений, обобщением которых являются данные факторизации. Напомним, что через В(Ф, R) обозначается стандартная борелевская подгруппа группы С(Ф, R), содержащая максимальный расщепимый торТ(Ф, Л), а через В~(Ф, R) - борелевская подгруппа С(Ф, R). противоположная к В(Ф, R). Унипотентные радикалы группВ(Ф, R) и В"(Ф, R) обозначаются через ГГ(Ф, R) и и~(Ф, R).

В теории групп Шсвалле над полями важнейшую роль играет разло-жепие Брюа, которое утверждает, что С(Ф, К) = и(Ф, К) -]Ч(Ф, К) -ХДФ, К). В формуле выше через М(Ф, К) обозначен алгебраический нормализатор тора Т(Ф, К), совпадающий с абстрактным нормализатором в случае поля \К\ > 4. Само разложение Брюа на группы над кольцами не обобщается, но в простейших ситуациях известны аналогичные треугольные факторизации с большим количеством множителей.

Классически известно, что для полулокального кольца R выполнено разложение Гаусса:

R) = Т(Ф, R) ■ и(Ф, R) ■ U"(Ф, R) ■ и(Ф, R) = В(Ф, R) ■ U"(Ф, R) ■ и(Ф, R).

По существу, разложение Гаусса вытекает уже из результатов SGAIII, а прямое элементарное доказательство приведено, например, в работах М. Стсйна и Э. Абс и К. Судзуки.

Другим примером треугольной факторизации является недавний результат А. Смоленского, Б. Сури и Н. Вавилова, который для кольца R стабильного ранга 1 утверждает, что

Е(Ф, R) = и(Ф, R) ■ 1Г(Ф, R) ■ и(Ф, R) ■ 1Г(Ф, R).

Разложения Брюа и Гаусса допускают обобщение на случай стабильных классических групп: Р. Шарпом в работах 1972 и 1980 года для произ-

6

вольного кольца Д было получено разложение:

Д) = ©(Ф«,, Д) • ^(Фос, Д) • ЩФ«,, Д) • и-(Фю, Д).

Здесь через \У(Ф, Д) обозначена подгруппа Б^Ф, Д), порожденная элементами йЦ1) = жа(1)х_а(-1)ага(1) для а 6 Ф.

С другой стороны, для колец размерности > 1 группы С(Ф, Д) конечного ранга, вообще говоря, не допускают подобных разложений в терминах элементарных образующих. Это связано со следующими обстоятельствами.

• Во-первых, группа С(Ф, Д) не обязана порождаться элементарными образующими, так что вместо в(Ф, Д) заведомо нужно рассматривать элементарную подгруппу Е(Ф, Д).

• Однако даже в тех случаях, когда группа С(Ф, Д) порождается элементарными образующими, она не обязана иметь по отношению к ним конечную ширину. Как показал В. ван дер Каллен, простейшим примером такого кольца является кольцо Д = С[х]. А именно, уже специальная линейная группа БЦЗ, <С[ж]) не имеет конечной ширины по отношению к элементарным трансвекциям.

Сформулируем теперь два наиболее известных варианта параболических факторизация, которые для групп вЦп, Д), БЦга, Д) и Е(п, Д) формулируются в терминах стабильного ранга кольца Д. Грубо говоря, это совсем слабые формы разложений Брюа и Гаусса, которые допускают обобщение на произвольные конечномерные кольца.

В доказательстве еюръективной стабилизации для функтора Кх используется разложение Басса—Кольстсра, которое утверждает, что при эг(Д) < п имеет место равенство:

вЦп, Д) = вЦп - 1, Д) • и„_1 • и".! • и„_1 • и^.

Как и выше, группа СЬ(п — 1, Д) рассматривается как подгруппа в СЬ(п, Д) посредством отображения стабилизации, а группы ип-1 и и~_! — это унипо-тентные радикалы противоположных параболических подгрупп Рп-\ и Р~_

В доказательстве инъективной стабилизации для функтора Кх и еюръективной стабилизации для функтора Кг используется разложение Деиниса—Васерштейиа, которое утверждает, что при вг(Д) < п — 1 группа Стейнберга допускает разложение Д) = Р ■ Хр • <5, где Р = StPl и Ц = 81Р„ — параболические подгруппы группы Стейнберга, — корневая подгруппа, соответствующая корню /3 = —а\ — ... — ап.

Цель работы. Основная цель настоящей работы состоит в получении новых, не рассматривавшихся ранее, разложений типа Денниса-Вассрштейна групп Стейнберга, а также получении аналогов таких разложений в контексте относительных групп Шевалле и унитарных групп. Кроме того, мы изучаем приложения подобных разложений к проблеме стабилизации I<i и К2-функторов.

Методы исследований. Вычисления в настоящей работе производятся с использованием техники работ X. Мацумото, М. Стейна, А. Суслина и М. Туленбаева, в частности, существенным образом используются элементарные соотношения между корневыми унипотентами и т.н. «стабильные» вычисления в представлениях групп Шевалле, т.е. вычисления с вектором старшего весового подпространства.

Основные результаты. В диссертации получены следующие результаты.

1. Сформулированы и доказаны относительные аналоги разложения Денниса— Вассрштейна в контексте классических групп при естественных условиях стабильности.

2. Получены новые разложения типа Денниса—Вассрштейна для групп Стейнберга конечного ранга.

3. Улучшен результат работы [2] об инъективной стабилизацииKUi и сюръ-ективной стабилизации KU2.

4. Дано алгебраическое определение Кз и относительного 1<2-функторов, промоделированных по группам Шевалле конечного ранга, а также дана их топологическая интерпретация.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в младшей алгебраической К-теории, структурной теории групп Шевалле и унитарных групп.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были изложены на следующих конференциях и семинарах:

1. "Groups and Their Actions", Бендлево, Польша, 2010;

2. "International Conference Mathematics and Applications, UEL", Хошимин, Вьетнам, 2011;

3. "Third Conference and Workshop on Group Theory", Тегеран, Иран, 2011;

4. "Algebraic Groups and Related Structures", Санкт-Петербург, 2012;

8

5. "ATM Workshop on Classical and Non-stable Algebraic K-theory". Мумбай, Индия, 2013.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах автора [6|-[12], приведенных в конце автореферата. Четыре из них [С]-[9] вышли в журналах, входящих в список ВАК.

Работы [б], [7] написаны в соавторстве. В [6| диссертанту принадлежат основные результаты, а соавтору — постановка задачи и введение. В [7] диссертанту принадлежат параграфы 2-9, а соавтору — постановка задачи, введение и параграфы 1, 10.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав (первая глава содержит 3 параграфа, вторая — 4 параграфа, третья — 3 параграфа, четвертая — Б параграфов) и списка литературы, содержащего ЮС наименований. Объем диссертации -- 9G страниц.

Содержание работы

Данная работа находится на стыке теории групп Шсвалле и младшей алгебраической К-тсории. Основной текст диссертационной работы состоит из введения и четырех глав.

В первой главе кратко изложены основные определения и конструкции, относящиеся к теории групп Шсвалле, гиперболическим унитарным группам и группам Стейнберга.

Введем обозначение St(<3>, R, I) для ядра отображения Б^Ф, R) —> St(Ф, /2/7"), индуцированного канонической проекцией R —> R/I.

Предположим, что в Ф выбран порядок, определяющий систему простых корней П = {ai,..., ai}. Для аЕФ мы обозначаем через m,i(a) коэффи-

I

циент в разложении а по простым корням, т.е. а = ^ mi(a)aj. Для индекса

¡=1

г = 1,... ,1 определим г-е стандартное параболическое подмножество корней в Ф, его редуктивпую и специальную части:

Si := {а £ Ф | тщ(а) > 0},

Д, := {а £ Ф ! т,(а) = 0}, (1)

Е; := {а G Ф | тпг(а) > 0}.

Обозначим через StL,-^, R, I) образ в St^,R,I) группы St(Д;,Д,/) относительно отображения групп Стейнберга, индуцированного вложением Ai С Ф, через и±(Ф,7) - подгруппы, порожденные корневыми элементами Ха(0 Аля а G Ç € Л, а через StPi(<î>,R,I) - подгруппу, порожденную StU(<S>, R,I) И 0;(Ф,/).

Во второй главе приведен краткий обзор известных условий стабильности, конкретизирована их взаимосвязь, а также определены новые условия стабильности, формулирующиеся в терминах действия унипотентных радикалов на весовых диаграммах базисных представлений групп Шевалле. Данные условия обобщают условие Бака на относительные группы Шевалле и терминальные параболические подгруппы. Мы называем их условиями «типа Бака».

Сформулируем классическое определение стабильного ранга кольца, восходящее к Бассу. Пусть Я - произвольное ассоциативное кольцо, а / - его двусторонний идеал. Строка (ах,... ,ап) € "Я называется I-упимодулярпой, если элементы а\ — 1, аг, ■ • • ап содержатся в идеале I, а а\,...,ап порождают кольцо Я как правый идем. Напомним, что стабильным рангом йг(Я, I) пары (Я, I) называется наименьшее натуральное число п такое, что всякая 7-унимодулярная строка а = (а\,... а„+1) длины п + 1 оказывается I-стабильной, иными словами, можно выбрать такие Ь\,... ,Ьп Е I, что

(а! + а„+1&ъ ..., а„ + ап+1Ьп) € "Я —

также /-унимодулярна. Если Я = то число п называют стабильным рангом кольца Я и обозначают через .у г (Л).

Пусть теперь Я - коммутативное кольцо, тг - неприводимое базисное представление группы Шевалле в(Ф, Я) со старшим весом /х на свободном Я-модуле V, элементы которого интерпретированы как столбцы высоты с№т(У) с коэффициентами из Я. Обозначим через 11тй(Ф, /л, Я, /) подмножество V, состоящее из 7-ушшодулярных столбцов, а через итво(Ф, Я, I) - подмножество 7-унимодулярных столбцов, содержащихся в орбите вектора старшего веса под действием относительной элементарной подгруппы Е(Ф, Я, /). Ясно, что итз0(Ф, ¡1, Я, /) С иш.ч(Ф, ц, Я, /). Сформулируем теперь определение условия «типа Бака».

Определение 1. Пусть Г - некоторое подмножество весов Л(7г), содержащее старший вес ц. Мы говорим, что коммутативное кольцо Я удовлетворяет условию типа Бака В(Ф, /х, Г, Я, I), если для произвольного столбца V 6 ишзо(Ф, Ц, Я, /) можно найти унипотентный радикал д £ И(Ф, /) такой, что компоненты столбца л(д)у, проиндексированные весами из подмножества Г, образуют 7-унимодулярный столбец высоты |Г|.

Именно в терминах этого условия сформулированы основные технические леммы четвертой главы, обобщающие методы М. Стейна, А. Суслина и М. Туленбаева из работ [1|, [5] на произвольные группы Шевалле.

Пример 2. Рассмотрим случай Ф = А/, /х = оть Предположим, что веса представления (А;, отх) имеют нумерацию 1,... ,1,1+1. Очевидно, что условие В(А;, Оть {1,.. .,1},Я, I) вытекает из условия йг(Л, I) < I.

Пример 3. Рассмотрим случай Ф = Б;, /х = -со\. Предположим, что веса представления (Б;,^) имеют нумерацию 1,... ,1,-1,..., —1. Можно показать, что условие хл\, {1,Я,1) превращается в частный случай определения стабильного ранга форменного кольца из работы [2] и вытекает из оценки аБг(Д) < / — 1 для любого коммутативного кольца Я и идеала 7.

В третьей главе определяются относительные группы Стейнберга, нестабильные 1<з и относительные К2-функторы в контексте групп Шевалле конечного ранга, а также доказываются их некоторые простейшие свойства.

Пусть Я — коммутативное кольцо с единицей, I — его -идеал, О = Я у. л/1 Я — «удвоение» кольца Я относительно I. Элементы £> можно интерпретировать как упорядоченные пары элементов кольца Л, сравнимых между собой по модулю I.

Определение 4. Определим относительную группу Стейнберга, относительный К2-функтор и Кз-функтор при помощи формул:

Здесь через 0 х / и / х 0 обозначены идеалы Б, состоящие из упорядоченных пар (0, х) и (ж,0) для х £ I, через р обозначена каноническая проекция, а Б^Ф,/?, 7) обозначает нормальное замыкание подгруппы Э^Ф, порож-деннной корневыми унипотентами уровня 3 в группе в^Ф, О). Сформулируем теперь основной результат третьей главы.

Теорема 5. Предположим, что справедливы ыедующис условия.

1. Тривиальны первые и вторые гомологии групп Э^Ф, Я), в^Ф, И).

2. Имеет место включение /<Гг(Ф, О) С Сеп^Э^Ф, Ю)). Тогда выполнены следующие утверэюдения.

• Существует точная последовательность

Би(Ф, Я, I) := Э^Ф, ДОх /)/[31(Ф, ДОх I), Б^Ф, Д/х 0)], К2(Ф, Я, I) := Кег(ср : Б^Ф, Я, I) С(Ф, Я, I)), Кз(Ф,Я) := Н3(81(Ф,Д,/),г).

К3(Ф,Я)--К3(Ф,Я//)

К2(Ф, Я, I) — К2(Ф, Я)-- К2(Ф, я/1)

1<1 (ф, Я, I) — 1<1(Ф, Я) —1<1 (ф, я/1).

• Младшие К-фупкторы, промоделированные по группам Шевалле, допускают интерпретацию в терминах гомотопических групп топологического пространства X = В С(Ф, Д)щф щ-'

К;(Ф,Д) = ъ(Х), г = 1,2,3.

Как было показано М. Стейном, условие тривиальности первых и вторых гомологий группы Стейнбсрга выполнено для систем корней Ф == А;, В/, С;, ранга ! > 4 и для всех остальных Ф ранга > 5. Для Ф = Аз, Б4, р4 первое условие выполняется тогда и только тогда, когда кольцо Д не имеет поля вычетов Рг, а для Ф = Вз - когда Д не имеет полей вычетов F2 и Рз.

Второе свойство, также назывемое свойством «центральности Кг», было доказано В. ван дер Калленом для систем корней Ф = А; ранга > 3 и произвольного кольца Д. Если стабильный ранг Д достаточно мал по сравнению с рангом Ф, то данное свойство вытекает, кроме того, из теоремы о сюръек-тивной стабилизации К2(Ф, Д) (см. [5]). Для систем корней Ф, отличных от А;, и произвольного кольца Д центральность К2 является одной из гипотез в теории групп Шевалле над кольцами.

Таким образом, из результатов М. Стейна и В. ван дер Каллена следует, что условия 1.2 теоремы 5 заведомо выполняются для систем корней Ф = А; для ¡>4и любой пары (Д,I).

Перейдем теперь к обзору результатов четвертой главы работы.

Пусть Д - коммутативное кольцо с единицей, I - его идеал, а Ф/ = АьВ,,Сг,Бг - одна из классических систем корней. Следующий результат переносит теорему 2.5 работы [5] на относительные группы Стейнберга.

Теорема 6. Пусть Ф; - классическая система корней. Предположим, что аг(Д, /) <1—1 для Ф = А;,В;,С/; и вг(Д,/) <1 — 2 для Ф = О;. В случае Ф( = В;, О; предположим дополнительно, что выполнено условие типа Бака В(01-1,ги\, {1,...,/— 1}, Д, /) (см. пример 3). Тогда относительная группа Стейнберга Б^Ф, Д, I) совпадает со своим подмножеством:

81Р1(Ф/, Д, I) ■ (Ог(Ф/, I) П и,"(Фь I)) • 81Р/(ФЬ Д, I).

Из данного разложения для группы Стейнберга мы выводим следующее утверждение, обобщающее теорему 3.1 работы [5] на относительные группы.

Теорема 7. В условиях предыдущей теоремы предположим дополнительно для Ф; = В;, С;, Б;, что бг(Д, I) <1 — 2. Тогда отображение стабилизации 1<1(Ф;_1,Д,/) —> 1<1(Ф;,Д,/) ииеективпо. а отображение Кг(Ф/-1, Я, I) у Кг(Ф/,Д,/) - сюръективно.

Следующая теорема доставляет ряд новых разложений типа Денниса—Васерштейна групп Стейнберга.

Теорема 8. • Предположим, что Ф; - неприводимая классическая система корней, а г, s - пара натуральных чисел, 1 < s < г < I, d = dist(ar,as) - расстояние на диаграмме Дыпкипа между вергии-ными, соответствующими простым корням ar, as, а sr(R) < d. Тогда группа Стейнберга St^;, R) совпадает со своим подмножеством:

Ar, = stpr№, R) ■ (и-(Ф;, Л) П 0;(Ф;, Л)) • StP,№, Л)-

• Для исключительных систем корней равенство R) = Ars имеет

место при условиях па кольцо R, перечисленных в следующей таблице:

№ Ф/ {r,s} условие на R

1. Ei, 1 = 6,7,8 {2,0 sr (Л) <1-3

2. Ef, / = 6,7,8 {1.0 asr(Л) <1-2

3. f4 {1,4} sr (Л) < 2

4- g2 {1,2} sr(Л) < 1

В некоторых случаях разложение Денниса- Васерштейна позволяет описать ядро предстабилизации Ki-функтора.

Следствие 9. Пусть Л - коммутативное кольцо, I > 2, Ф; = В;, С/, а sr(Л) < I. Тогда ядро отображения стабилизации R) Ki(Фг+i, /?)

порождается образом группы Ker(Ki(A„_2, Л) —> Ki(A„_i, Я)) при отображении Ki-групп, индуцированном вложением Ап-\ Ф„.

Наконец, в последнем разделе четвертой главы мы показываем, что доказательство М. Стейна из работы [5] может быть перенесено на гиперболические унитарные группы. Это позволяет доказать стабилизацию для унитарных Ki и 1<2-функторов при более слабых условиях на основное кольцо Л по сравнению с результатами, формулирующимися в терминах форменного стабильного ранга (ср. [2]).

Напомним определение гиперболических унитарных групп. Пусть Л -произвольное ассоциативное кольцо с инволюцией, Л - некоторый центральный элемент Л, такой, что АЛ = 1, а Л - форменный параметр на Л, соответствующий Л, т.е. аддитивная подгруппа Л, удовлетворяющая свойствам аЛй С Л для а £ Л и Amin С Л С Лтах, где

Amin = {а — Аа | а € R}, Лтах = {а | а € Л, а = —Ха}.

Рассмотрим свободный Я-модуль V = Я2" ранга 2п и зададим на нём по-луторалинсйную форму /(и, у) — ¿¿1^—1 + ... + ипУ-п. Гиперболическая унитарная группа 11(2п, Я, Л) определяется как подгруппа элементов вЦ^) = СЬ(2п,Я), сохраняющих Л-эрмитову форму /г(и, г;) = /(и, у) + А ¡{у, и) и Л-квадратичную форму = /(у, у) + Л.

В группе и(2п, Л, Л) можно выбрать корневые элементы 7у(£) для 1 < г Ф 3 < 2п и рассмотреть порожденную ими группу Е11(2га, Я, Л), называемую элелкнтарной унитарной группой. Далее можно определить унитарную группу Стсйпбсрга 8Ш(2п, Я, Л) как группу заданную формальными образующими и соотношениями, моделирующими простейшие соотно-

шения между Ту(^). Унитарный 1<1 -функтор определяется как множество классов смежности

Ки^п, Я, Л) = и(2п, Я, Л)/ Еи(2п, Я, Л),

а унитарны'й К ^-функтор Киг(2гг, Я, Л) как ядро канонической проекции 8Ш(2п, Я, Л) ->■ и(2п, Я, Л).

Теорема 10. Допустим, что п ^ 3, а вг(Я) < п — 2. Тогда группа Стейн-берга ЭШ(2п, Я, Л) может быть представлена в виде произведения трех своих подгрупп:

8Ш(2тг, Я, Л) = 8ШРГ1(2гг, Я, Л) • 8Ши~(2п, Я, Л) • ЯШР^п, Я, Л)

Здесь 8ШР„(2п, Я, Л) обозначает подгруппу 8Ш(2п, Я, Л), порожденную элементами для г > 0, ЭШР^п, Я, Л) подгруппу, порожденную элементами для г ф —1, ] ф 1, а 8Ши~(2п,Я,Л) — для г < 0 <2В качестве следствия из данной теоремы мы выводим следующий результат.

Теорема 11. Допустим, что п > 3, а вг(Я) < тг — 2, тогда отображение

01,„_1: ЮМтг - 1, Я, Л) -» Ки^тг, Я, Л) инвекгпивпо, а отображение

02,„-1: Ки2(п - 1, Я, Л) Ки2(п, Я, Л),

индуцированное гомоморфизмом групп 8Ш(2п — 2, Я, Л) —> 8Ш(2п, Я, Л), сюръективно. Кроме того, для любого форменного идеала (7, Г) выполнено равенство:

Еи(2п, Я, 7, Г) П и(2п - 2,7, Г) = Еи(2п - 2, Я, 7, Г).

Список цитированной литературы

[1] А. А. Суслил, М. С. Туленбаев, Теорема о стабилизации дляК^-фупктора Милнора. Зап. науч. семин. ЛОМИ, 04, (197G), 131-152.

[2] А. Bäk, V. A. Pctrov, G. Tang, Stability for quadratic Kb K-theory, 30, 1 (2003), 1-11.

[3] J.-L. Loday, Cohomologie et groupes de Steinberg relatifs. J. Algebra, 54, (1978), 178-202.

[4] H. Matsumoto, Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés. Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. 4, 2 (1909), 1-02.

[5] M. R. Stein, Stability theorems for Ki, K2 and related functors modeled on Chevalley groups. Japan J. Math., 4, 1 (1978), 77-108.

Статьи автора по теме диссертации в журналах, рекомендованных ВАК:

[6| Н. А. Вавилов, С. С. Синчук, Разложения типа Денниса— Васерштейна. Зап. научи, семин. ПОМИ, 375, (2010), 48 00.

[7| Н. А. Вавилов, С. С. Синчук, Параболические факторизации рас-щепимых классических групп. Алгебра и анализ, 23, 4 (2011), 1-30.

[8] S. Sinchuk, Injective stability for unitary Ki, revisited. J. K-theory, 11. 2 (2013), 233-242.

[9] С. Синчук, Улучшенная стабилизация для нечетной ортогональной группы. Зап. научн. семин. ПОМИ, 414. (2013). 181-192.

Другие публикации автора по теме диссертации:

[10] N. Vavilov, S. Sinchuk, Parabolic factorizations of classical groups. Международная конференция "Groups and Their Actions", Bçdlewo, Poland, (2010), c. 40-41, Тезисы докладов.

[11] N. Vavilov, S. Sinchuk, Parabolic factorizations of classical groups. Международная конференция "Third Conference and Workshop on Group Theory", Tehran, Iran (2011), c. 172-175, Тезисы докладов.

[12] S. Sinchuk, Dennis- Vaserstein type decompositions. Международная конференция "Algebraic Groups and Related Structures'', Санкт-Петербург, (2012), с. 22, Тезисы докладов.

Подписано в печать 10.09.13 Формат 60х84'/16 Цифровая Печ. л. 1.0 Тираж 100 Заказ 07/09 печать

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

04201362159

Синчук Сергей Сергеевич Параболические факторизации редуктивных групп

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Н. А. Вавилов

Санкт-Петербург — 2013

Содержание

Введение 3

1 Основные определения и конструкции 15

1.1 Группы Шевалле..................................................16

1.2 Предварительные сведения о группах Стейнберга............22

1.3 Гиперболические унитарные группы............................28

2 Условия стабильности 35

2.1 Стабильный ранг..................................................35

2.2 Абсолютный стабильный ранг ..................................40

2.3 Стабильный ранг форменных колец............................41

2.4 Условия стабильности типа Бака................................45

3 Относительные группы Стейнберга 48

3.1 Релятивизация Стейна............................................49

3.2 Определение относительных групп Стейнберга................51

3.3 Свойства относительных групп Стейнберга....................54

4 Разложения типа Денниса—Васерштейна и их приложения 59

4.1 Основная редукция................................................59

4.2 Стабилизация относительных Кх, К2............................70

4.3 Параболические факторизации групп Стейнберга............72

4.4 Предстабилизация К^В/,/?) и К].(С/, Я)........................76

4.5 Улучшенная стабилизация К111 и К112..........................78

Список литературы 87

Введение

Проблема стабилизации в алгебраической К-теории заключается в нахождении достаточных условий на кольцо Я, при выполнении которых отображения Кг(п, Я) —> К¿(п + 1 ,Я) между нестабильными К-функторами оказываются изоморфизмами. Данную задачу можно условно разделить на четыре частных подзадачи, каждая из которых рассматривалась в отдельном контексте:

• сюръективная стабилизация К1;

• инъективная стабилизация К1 и сюръективная стабилизация К2;

• инъективная стабилизация К2;

• стабилизация для функторов К^, г > 2.

Впервые проблема стабилизации для линейного К^-функтора была затронута X. Бассом в работе [39]. Басс доказал, что для конечной алгебры А над нетеровым коммутативным кольцом Я размерности Крулля (I и произвольного идеала I < А отображение К\((1 + 1, А, I) —» К\((1 4- 2, А,1), индуцированное естественным вложением линейных групп

оказывается сюръективным. Последнее утверждение можно сформулировать в виде равенства

вЦй + 2, А, I) = Е{й + 2, А, I) ■ вЦе* + 1, А, /).

Кроме того, Бассом была высказана гипотеза, что при тех же предположениях на основное кольцо имеет место инъективность отображения

К+ 2, А, I) ->- Ki(d + 3, А, /),

или, что то же самое,

GL(d + 2, А, I) П Е(d + 3, А, I) = Е(d + 2, А, I).

Данная гипотеза была доказана Бассом в совместной с Дж. Милнором и Ж.-П. Серром классической работе [2]. Позднее в [10] JL Васерштейн передоказал данную гипотезу, существенно упростив первоначальное доказательство Басса.

В монографии [1] Бассом была сформулирована общая проблема о нахождении достаточных условий для биективности отображений Ki-функ-торов, индуцированных вложениями полупростых алгебраических групп. При этом Басс предлагал формулировать такие условия в терминах размерности Крулля основного кольца и размерностей максимальных расще-пимых торов.

Пусть Ф - приведенная система корней ранга > 2, а R - произвольное коммутативное кольцо. Обозначим через С(Ф, —) односвязную аффинную групповую схему Шевалле-Демазюра типа Ф. Для систем корней Ф, не содержащих неприводимых компонент ранга 1, и произвольного коммутативного кольца R в группе С(Ф, R) можно выбрать нормальную подгруппу Е(Ф,/?), называемую элементарной подгруппой. Элементарная подгруппа Е(Ф,Д) порождается элементарными корневыми унипотентами ta(£) для а € Ф, £ G R.

Группа Стейнберга St^, R) определяется как группа, заданная формальными образующими жа(£) и соотношениями Стейнберга, т.е. тожде-

ствами, моделирующими простейшие соотношения между элементами Рассмотрим отображение <р : St(<i>, R) —> R), сопоставляющее каждой образующей ха(£) элемент £а(£). Нестабильные Ki и Кг-группы промоделированные по группам Шевалле определяются как коядро и ядро <р\

К1(Ф, R) = Сзс(Ф, R)/Е(Ф, Я), К2(Ф, R) = Ker(St($, R) С(Ф, R)).

В частном случае Ф = Ап имеем

G(An, R) = SL (n + 1, R), Е(А„, R) = Е(га + 1,R),

Ki (А n,R) = SKi(ra + 1, Д) = SL(n + 1,R)/E(n + l,R).

Пусть Ф = An, Bn, Cn, Dn - одна из классических серий систем корней. Для Z = G, St, Е, Ki определим стабильные группы Z(Фоо, R) как индуктивный предел соответствующих нестабильных групп относительно семейства гомоморфизмов, индуцированных вложениями систем корней Ф/ ^ Ф/+1:

г{Ф,R)= lim г(Фп,Я).

n—»+oo

Отметим, что К^А«,, R) совпадает со специальной группой Уайтхеда SKi(i?), а St (А оо,/2) - со стабильной группой Стейнберга St (R), рассматриваемой в алгебраической К-теории.

Стабилизация для Кг-функторов, индуцированых вложениями групп Шевалле над полями, изучалась Р. Стейнбергом в [94]. Стейнберг доказал сюръективность отображений

0:К2{Ф17К)-+К2(Фт,К)

для т > I, классических Ф и произвольного поля К. В работе [74] X. Ма-цумото проверил в данном контексте и инъективность 0. Результат Стейнберга о сюръективной стабилизации был обобщен в [92] М. Стейном на случай групп над полулокальными коммутативными кольцами, а К. Деннис и

М. Стейн в [48] перенесли на коммутативные локальные кольца и теорему Мацумото об инъективной стабилизации. В [47] К. Деннисом была доказана теорема о сюръективной стабилизации для линейного К2 при условии на стабильный ранг. Похожий результат был анонсирован без доказательства Васерштейном в [14].

Первые общие результаты об инъективной стабилизации для абсолютного линейного Кг-функтора были получены В. ван дер Кал леном в [58], и независимо от него А. Суслиным и М. Туленбаевым в [29]. В первой работе использовалось условие на размерность Крулля, а во второй - менее ограничительное условие стабильного ранга. В [29], кроме того, появилось и значительно упрощенное доказательство теоремы Денниса о сюръективной стабилизации для К2. Позднее в [68] М. Кольстер доказал усиленную версию теоремы Суслина и Туленбаева, исходя из похожих идей, но используя другую факторизацию для линейной группы Стейнберга. Метод Кольстера, в частности, позволил явно вычислить ядро предстабилизации для К2-функторов за шаг до наступления биективной стабилизации.

М. Стейном в работе [93] было найдено простое доказательство сюръективной стабилизации для К2 и инъективной стабилизации Кх для целого ряда вложений простых групп Шевалле. Им же были получены теоремы о сюръективной стабилизации К4 для классических групп, формулируемые в терминах обычного (для Ф = А;, С/) и абсолютного (для Ф = В/, Б;) стабильного ранга. Наконец, сюръективная стабилизация для Кх-функтора, промоделированного по исключительным группам Шевалле и скрученным группам, систематически изучалась Е. Плоткиным. Достаточные условия, формулируемые в терминах абсолютного стабильного ранга, были найдены в [22], [23]. Позднее в [79] было получено более точное условие на кольцо

R, при котором отображение Ki(Eg, R) —> Ki(E7, R) оказывается сюръек-тивным.

Таким образом, к середине 1990-х годов частный случай поставленной Бассом проблемы о стабилизации отображений Ki-функторов, индуцированных вложениями простых расщепимых групп оказался почти полностью изученным.

Проблема стабилизации Ki для унитарных и эрмитовых групп над кольцами с инволюцией, обобщающих классические группы Шевалле, изучалась в работах Э. Бака, JI. Васерштейна и Марии Салиани, начиная с конца 1960-х годов (см. [31], [11], [69, § VI.4]). В [18] Н. Э. Мустафа-Заде анонсировал без доказательства результат о сюръективной стабилизации унитарного Кг-функтора при условии на унитарный стабильный ранг. В 2000-х годах Э. Баком было найдено менее ограничительное по сравнению с унитарным стабильным рангом условие стабильности, пригодное для изучения унитарного Ki, - т.н. стабильный ранг форменных колец. В терминах именно этого условия были сформулированы основные результаты работ [21], [36] и [37].

Результаты о стабилизации высших К-функторов Володина, промоделированных по классическим группам, были получены А. Суслиным и И. Паниным. При этом теоремы о стабилизации Ki и Кг не передоказываются в данных работах, а используются в качестве базы индукции. Стабилизация высших К-функторов тесно связана с проблемой гомологической стабилизации для классических групп, изучавшейся К. Вогтманн, Р. Чарни, В. ван дер Калленом, X. Маазеном и Б. Мирзаи.

В недавних работах [33], [41], [42], [43], [82], [83] Р. Pao и его ученики улучшили теорему об инъективной стабилизации Ki для линейных и

симплектических групп, рассматриваемых над классом геометрически регулярных алгебр над совершенным Ci-полем. В частности, из результатов Pao следует, что отображения Кх(Ф/, R) —>■ К1(Ф/+1, R) для колец R из рассматриваемого класса биективны уже при I > dim(R) в случае Ф/ = и 21 > max(3, dim(i?) + 1) в случае Ф/ = С/. При этом Pao было показано, что для четных ортогональных групп улучшить классические результаты о стабилизации, вообще говоря, нельзя.

Основная цель настоящей работы состоит в получении новых, не рассматривавшихся ранее, разложений типа Денниса Васерштейна групп Стейн-берга, а также получении аналогов таких разложений в контексте относительных групп Шевалле и унитарных групп. Кроме того, мы изучаем приложения подобных разложений к проблеме стабилизации Ki и Кг^ функторов. Дадим краткий обзор треугольных и параболических факторизации, обобщением которых являются данные разложения.

Напомним, что через В(Ф, R) обозначается стандартная борелевская подгруппа группы С(Ф, /?,), содержащая максимальный расщепимый тор Т(Ф,/?), а через В~(Ф,/2) - борелевская подгруппа С(Ф,Д), противоположная кВ(Ф,Д). Унипотентные радикалы групп В(Ф, R) и В~(Ф, R) обозначаются через и(Ф, R) и Т_Г~(Ф, R).

В теории групп Шевалле над полями важнейшую роль играет разложение Брюа которое утверждает, что С(Ф, К) = и(Ф, К) ■ ]М(Ф, К) ■ и(Ф, К). В формуле выше через ]М(Ф, К) обозначен алгебраический нормализатор тора Т(Ф, К), совпадающий с абстрактным нормализатором в случае поля \К\ > 4. Само разложение Брюа на группы над кольцами не обобщается, но в простейших ситуациях известны аналогичные треугольные факторизации с большим количеством множителей.

Классически известно, что для полулокального кольца Я выполнено разложение Гаусса

С(Ф, Я) = Т(Ф, Д)-и(Ф, Я)-1Г(Ф, Д)-и(Ф, Я) = В(Ф, Я)-1Г(Ф, Д)-и(Ф, я).

По существу, разложение Гаусса вытекает уже из результатов БСАШ, а прямое элементарное доказательство приведено, например, в работах М. Стей-на и Э. Абе и К. Судзуки.

Другим примером треугольной факторизации является недавний результат Б. Сури, Н. Вавилова и А. Смоленского, который для кольца Я стабильного ранга 1 утверждает, что

Е(Ф, Я) = и(Ф, Я) • 1Г(Ф, Я) ■ и(Ф, Я) ■ 1П(Ф, Я).

Разложения Брюа и Гаусса допускают обобщение на случай стабильных классических групп: Р. Шарпом в работах 1972 и 1980 года для произвольного кольца Я было получено разложение

Э^Фоо, Я) = ЩФоо, Я) ■ Ш(Фоо, Я) ■ и(Фоо, Я) • ХГСФоо, Я).

Здесь через \У(Ф, Я) обозначена подгруппа Б^Ф, Я), порожденная элементами г£а(1) = ха(1)х-а(—1)ха(1) для аеФ.

С другой стороны, для колец размерности > 1 группы С(Ф, Я) конечного ранга, вообще говоря, не допускают никаких подобных разложений в терминах элементарных образующих. Это связано со следующими обстоятельствами.

• Во-первых, поскольку группа С(Ф, Я) не обязана порождаться элементарными образующими, вместо С(Ф, Я) здесь заведомо нужно рассматривать ее элементарную подгруппу Е(Ф, Я).

• Но даже в тех случаях, когда группа С(Ф, Я) порождается элементарными образующими, она может не иметь по отношению к ним конечную ширину. Как показал В. ван дер Каллен (см. [62]), простейшим примером такого кольца является кольцо Я = С [ж]. А именно, уже специальная линейная группа ЭЬ(3, С [ж]) не имеет конечной ширины по отношению к элементарным трансвекциям.

Это означает, что нетривиальные обобщения разложений Брюа и Гаусса выполняются лишь при каких-то дополнительных условиях на кольцо и должны формулироваться в каких-то других терминах. Среди таких обобщений наиболее известны параболические факторизации - т.е. разложения, формулирующиеся в терминах условий стабильности и параболических подгрупп. Разумеется, до [74], [93] термин "параболические подгруппы" в этом контексте не произносился и все вычисления описывались как явные разложения матриц.

Укажем теперь два наиболее известных варианта параболических фак-торизаций, которые для групп СЬ(п, Я), БЦп, Я) и Е(п, Я) формулируются в терминах стабильного ранга зг(Л) кольца Я. Грубо говоря, это совсем слабые формы разложений Брюа и Гаусса, которые допускают обобщение на произвольные конечномерные кольца.

В доказательстве сюръективной стабилизации для функтора Кх используется разложение Басса—Кольстера, которое утверждает, что при п > вг(Я) имеет место равенство

СЦп, Я) = СЦп - 1, Я) ■ и• • ип_! ■ •

Как и выше, группа вЦп—1, Я) рассматривается как подгруппа в СЦп, Я) посредством отображения стабилизации, а группы \1п-\ и — это уни-

потентные радикалы противоположных параболических подгрупп Рп~\ и Рп~1 — данные группы определяются в параграфе 1.2. Это разложение было, по существу, открыто X. Бассом в [39].

В доказательстве инъективной стабилизации для функтора Ка и сюръ-ективной стабилизации для функтора К 2 используется разложение Денниса Васерштейна, которое утверждает, что при п > зг(й) + 1 группа Стейнбер-га допускает разложение Б^Ап, В) = Р ■ Хр • <5, где Р = и = 81РП — параболические подгруппы группы Стейнберга, а Хр — корневая подгруппа, соответствующая корню ¡3 = —«1 — ... — ап.

В настоящей работе мы получаем обобщения разложений Денниса— Васерштейна для случая относительных групп Шевалле и гиперболических унитарных групп. В качестве следствия мы выводим теоремы о стабилизации для относительных К1 и Кг-функторов.

Перечислим наши основные результаты.

В первой главе работы кратко изложены основные определения и конструкции, относящиеся к группам Шевалле над коммутативными кольцами и гиперболическим унитарным группам над кольцами с инволюцией.

Во второй главе мы даём обзор изучавшихся ранее в литературе условий стабильности, конкретизируем их взаимосвязь, и определяем новый класс условий стабильности, обобщающих условия Бака на относительные группы Шевалле и произвольные терминальные параболические подгруппы. Мы называем такие условия условиями «типа Бака».

Основная цель третьей главы - определить относительные групп Стейнберга и функторы Кг(Ф, В., /), Кз(Ф, В) в контексте групп Шевалле конечного ранга и исследовать их простейшие свойства. Мы показываем, что основные результаты работ [51], [71], описывающие в алгебраических тер-

минах стабильные Кз и относительные Кг-функторы, можно перенести на системы корней Ф конечного ранга.

Перечислим основные результаты четвертой главы. Теорема 31 доставляет ряд относительных разложений типа Денниса-Васерштейна при естественных условиях стабильности, определенных в главе 2.

Теорема А. Относительная группа Стейнберга Б^Ф/, Я, I) совпадает со своим подмножеством

81Р1(Ф,, Я, I) • (иг(Ф;, /) П Ог(Ф/, /)) ■ 81Р,(Ф,, Я, I)

при условиях на кольцо Я и идеал I, перечисленных в следующей таблице.

ф/ 1 случай I = Я случай I ф Я

А; 1 > 2 8г(Д) <1-1 вг (Я, I) <1-1

В/ 1 > 2 вг(Д) < / - 1, либо В^Я, 0) 8г((Д,1,0);(/,0)) <1-2

Сг 1 > 2 вг(Д) <1-1 8г(Д, I) <1-1

VI 1 > 3 8г(Д) <1-2, либо В1-1(Я, 0) 8г((Я,1,0);(/,0)) <1-2

Из данной теоремы мы выводим теорему 32 о стабилизации для младших относительных К-функторов, обобщающую теорему 3.1 работы [93] на относительные группы.

Теорема В. Предположим, что выполнено одно из следующих условий

• Ф = А; и вГ(Я, I) <1-1,

• Ф = СI и вт{Я, I) <1-2,

• Ф = Вг, Б/ и 8г((Я, 1,0); (/, 0)) < I - 2.

Тогда выполнены следующее утверждения:

отображение бкьФг_1^Фг : Кх(Ф/_1, R, I) -Л Кх(Фi,R,I) инъективно, отображение 9к2,ф1_1^ф1 ■ К2(Ф/-1, R, I) —> К2(Ф/,Д,/) сюръективно.

Ещё один результат главы 4 - теорема 34, в которой получен ряд новых, не рассматривавшихся ранее, разложений типа Денниса Васерштейна групп Стейнберга.

Теорема С. 1. Пусть г, s - пара натуральных чисел, таких, что 1 < s < г < I, Ф/ - неприводимая классическая система корней, d = dist(ar, as) - расстояние на диаграмме Дынкина между вершинами, соответствующими простым корням ar, aS; а sr(R) < d. Тогда группа Стейнберга St^/,jR) совпадает со своим подмножеством

Ärs = StP^z, R) ■ (и-(Ф/, R) п и;(фЬ R]) ■ StPsib, R).

2. Для исключительных систем корней равенство St(Ф/, R) = Ars имеет место при условиях на кольцо R, перечисленных в следующей таблице.

№ Ф i {r,s} условие на R

1. Е1, 1 = 6,7,8 {2,/} sr(R) <1-3

2. Еь / = 6,7,8 {U} sv(R, 1,0) <1-2

3. f4 {1,4} sr(R) < 2

1 g2 {1,2} sr(Д) < 1

В разделе 4.5 мы доказываем инъективную стабилизацию для КИх и сюръективную стабилизацию для КИг, используя вычисление, аналогичное вычислению М. Стейна из работы [93]. При этом условие, накладываемое нами на основное кольцо R, оказывается более слабым по сравнению

со всеми известными до настоящего момента результатами. В частности, следующая теорема одновременно улучшает [37, ТЬ. 4.3], [69, ТЬ. У1.4.7.1], [57, ТЬ. 9.1.10], [11, Т. 2