Статический расчет простых и комбинированных оболочечных конструкций МКЭ тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

С/

005006330

Сагдатуллин Марат Камилевич

СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПРОСТЫХ И КОМБИНИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ МКЭ

Специальность 01.02.04 - «Механика деформируемого твердого тела»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 ДЕК 2011

Казань - 2011

005006330

Работа выполнена на кафедре теоретической механики ФГАОУ ВПО Казанского (Приволжского) федерального университета.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор ¡Голованов Александр Иванович кандидат физико-математических наук, доцент Бережной Дмитрий Валерьевич

доктор физико-математических наук, профессор Паймушин Виталий Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Чекмарев Дмитрий Тимофеевич

Ведущая организация:

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Защита состоится 28 декабря 2011 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного Совета Д 212.081.11 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.

Отзывы на автореферат в одном экземпляре, заверенные печатью, просим высылать по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан «£5~» 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доцент *(/ Саченков А. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При создании современных технических конструкций и строительных сооружений в качестве силовых элементов достаточно широко применяются тонкостенные подконструкции, состоящие из пластин и оболочек. Их применение позволяет существенно снизить материалоемкость всей конструкции с сохранением требуемых прочностных и жесткостных характеристик. При этом технологические условия эксплуатации требуют использование конструкций сложной геометрии. Данное обстоятельство приводит к необходимости наработки схем предварительного анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкостенных конструкций.

Следует отметить, что при расчете тонкостенных конструкций получение достоверных результатов сопряжено с определенными трудностями. Прежде всего, здесь возникает проблема выбора конечного элемента (КЭ), позволяющего получить не только достаточную точность при минимальной стоимости расчета, но и применяемого для широкого класса задач. Если для пластин имеется набор надежных КЭ, способных адекватно описывать механику их деформирования при любом нагружении, то для оболочек, в частности непологих, ситуация иная. В литературных источниках описано множество элементов, которые сравниваются между собой в тестовых расчетах, и оказывается, что каждый из них имеет ограниченную область применения. Это настораживает инженеров, ведущих практические расчеты реальных конструкций, поскольку для успешного выбора конкретного элемента из множества описанных в литературе, необходимо иметь опыт работы с ними и ясно представлять возможности каждого из элементов. Это требует высокой квалификации инженера и как механика, и как вычислителя. Вопрос построения физической модели конечного элемента, удовлетворяющего широкому кругу задач является в настоящее время открытым и весьма актуальным. В последнее время наибольшую актуальность получила исследование конечных элементов оболочек, построенных с учетом деформации поперечного сдвига и применяемые для расчета как оболочек средней толщины, так и тонких оболочек.

Целью диссертационной работы является разработка методики построения трехмерного конечного элемента сплошной среды, позволяющего моделировать комбинированные конструкции, состоящие из трехмерных тел и оболочек средней толщины при однослойной аппроксимации по толщине, как в линейной, так и в нелинейной постановках. Обычно КЭ оболочек средней толщины строятся с использованием степеней свободы, определенных в узлах срединной поверхности и включающих углы поворота нормального волокна. Как правило, КЭ с угловыми степенями свободы демонстрируют хорошую точность и эффективны в расчетах оболочек малой и средней толщин. Однако их использование весьма затруднительно при моделировании сопряжений оболочек с массивными трехмерными телами, так как

необходимо выражать узловые перемещения трехмерных элементов через углы поворота оболочечных КЭ. Поэтому использование специальных элементов оболочек позволяет упростить процедуру стыковки элементов, моделирующих трехмерные и оболочечные подконструкции.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

- На основе использования новых аппроксимаций разработана методика построения трехмерного конечного элемента, позволяющего рассчитывать пластины и оболочки средней толщины;

- На основе соотношений нелинейной механики сплошных сред для предложенного КЭ реализована методика решения геометрически нелинейных задач трехмерных конструкций и оболочек средней толщины;

- На основе предложенного КЭ построено семейство КЭ, позволяющих рассчитывать комбинированные конструкции, состоящие из трехмерных тел, а также ортотропных и многослойных оболочек;

- Проведен расчет руля высоты нового легкомоторного самолета, представляющего собой сложную комбинированную конструкцию.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается строгим математическим обоснованием основных разделов исследований, использованием для расчетов строгих математических методов, сходимостью решений, полученных на основе предложенной методики, тщательным тестированием на всех этапах разработки и реализации численных алгоритмов, многочисленными сравнениями с известными аналитическими и численными решениями. При расчете новой конструкции проведено сравнение с имеющимися экспериментальными данными, которое показывает эффективность предложенной методики расчета.

Практическую ценность составляют представленная в диссертационной работе методика расчета тонкостенных элементов конструкций, алгоритмы построения аппроксимирующих функций. Предложенные в диссертации расчетные алгоритмы для решения задач, как пластин, так и непологих оболочек сложной геометрии, а также полученные результаты могут быть использованы как в учебных, так и в научных целях проектными организациями для инженерных расчетов в области авиастроения, судостроения, машиностроения и т.д.

Основные положения, выносимые на защиту.

- на основе трехмерных соотношений теории упругости предложен и реализован алгоритм построения модифицированного конечного элемента, моделирующего поведение тонкостенных конструкций;

- предложен и реализован алгоритм расчета тонкостенных конструкций с учетом геометрической нелинейности в рамках метода последовательных нагружений;

- реализована методика расчета комбинированных конструкций переменной толщины, состоящих как из трехмерных тел, так и слоистых ортотропных оболочек;

на основе результатов решения многочисленных тестовых задач показана эффективность предложенных методик статического расчета пластин и оболочек как в линейной, так и в геометрически нелинейной постановках; - получены результаты статического расчета руля высоты легкомоторного самолета, проведено сравнение с экспериментом.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на конференциях Казанского (Приволжского) федерального университета «Лобачевские чтения» (г. Казань 2009-2011), на итоговых конференциях Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань 20092010), на XXIII Международной конференции. Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов (г. Санкт Петербург 2009), на шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Математическое моделирование и краевые задачи (г. Самара 2009), на международной научно-технической конференции «Современные проблемы механики» (г. Ташкент 2009), на Международной научно - технической и образовательной конференции (г. Набережные Челны 2010), на второй международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (г. Казань 2009), на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Математическое моделирование и краевые задачи (г. Самара 2010), на восьмой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (г. Казань 2010), на XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011) (г. Алушта 2011), на восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Математическое моделирование и краевые задачи (г. Самара 2011), на XXIV Международной конференции. Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов (г. Санкт Петербург 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 печатных работ, из них 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на

_страницах, содержит_рисунков,_таблиц. Библиография включает

203 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель и приведена научная новизна исследований, показана достоверность и практическая ценность полученных результатов, а также дан краткий обзор литературы.

В первой главе вводятся основные кинематические соотношения механики сплошной среды, и описывается технология построения трехмерного изопараметрического конечного элемента, способного моделировать НДС тонкостенных конструкций.

Вводится в рассмотрение радиус-вектор, определяющий геометрию поверхности в виде

(1)

Определяются базисные вектора и метрические тензора

__ « Ду™ ДУт 8 8 ДИ 8

Рассматривая задачу линейной теории упругости, введем вектор перемещений и градиент вектора перемещений

од

Связь между вектором деформаций е и вектором перемещений V в линейной теории упругости осуществляется в следующем виде

(5)

ГЪ)V, ВЫ, Ж, ЭЛГг

где ет

Теоретические исследования и опыт построения подобных конечных элементов свидетельствуют о «благотворном» влиянии на точность результатов понижения аппроксимаций деформаций поперечного сдвига еп. Опишем технику введения «понижения порядка аппроксимаций» для трехмерного конечного элемента.

Первая «редукция аппроксимации» состоит в исключении переменности этих деформаций по толщине. Получим

Вторая «редукция» направлена на исключение переменности вдоль координат

£,т(7)

Третья модификация предполагает определить деформации еп в виде линейной аппроксимации

по аналогии определим

=[(1+££)+{С+£)£'](££+а2)- (9)

Используем представление закона Гука для изотропного материала, учитывая, что в криволинейном базисе роль единичного тензора играет метрический тензор.

а" = + Ла'С"т )£•„„. (10)

Рассмотрим процедуру учета малости напряжений обжатия. Полученные, таким образом конечно-элементные модели утрачивают характер объемного поведения КЭ и соответствуют специальной теории оболочек.

а9 = 2Иеч + ЛС, (С.....£„„, + + С%) =

== + ЛС0 (//*С""е„,„ + 2 ),

<т„ = 2цеп + Юя {мС">"£.....+ 2//'О-Ч, )• (И)

где

--ЯСУ" /п, п = ],2. (12)

Так как в качестве степеней свободы в рассматриваемом КЭ фигурируют узловые степени свободы на лицевых поверхностях, то фактически в кинематике учитываются возможные обжатия оболочки (изменение ее толщины). Следовательно, в расчетную схему необходимо ввести «упрощенный» закон упругости, связывающий напряжение обжатия <7Н с деформацией обжатия . Для этого введем следующее соотношение

аГ:=Ё£п, (13)

где Е - модуль жесткости на обжатие (в общем случае, он может быть определен из экспериментальных данных). В частности, можно принять

ц{ЪЛ + 2ц)

=-;-•

Я+/1

Запишем в общем виде соотношения упругости

(14)

=!>,„,„£„,„, '-7=1-3 (15)

где

= --- А** = ¿V =

£>а3г3 = = ОаПг ---- = 2 ц8а1 + ЮаЪц'вг\ ^ = = = 0, 0}Ш = Е', (16)

где а,у,3=1,2.

Примем в качестве базового соотношения вариационное уравнение принципа виртуальных работ для однородного и изотропного материала

¡<т*&у = |/ ■ ШУ + \lSOclS, (17)

V V

где V- физический объем, ограниченный поверхностью 5 =5" и Б", 5"п5" = 0, /- вектор заданных внешних объемных сил, Тп- вектор заданных напряжений на части поверхности Б", на которой определены силовые граничные условия. Кинематические условия на части поверхности Б" выполняются за счет специальным образом определенных аппроксимаций.

Интеграл в левой части уравнения виртуальных работ заменяется конечной суммой, то есть

\\\о«8е,4д<1?<1?<1? = (18)

V V /

Рассмотрим один из вариантов свертки в подынтегральном выражении левой части уравнения виртуальных работ

^ = &>8е, = {2цС"»С>" + )£пя8Е, = №¿1/,', (19)

где = + ЛС^в^Е^Е^у/в.

Суммируя значения величин БЦ, вычисленных в системе квадратурных точек, получаем блоки соответствующей модифицированной матрицы жесткости трехмерного восьми узлового КЭ линейной задачи теории упругости. Зная компоненты матрицы жесткости всех конечных элементов тонкостенной конструкции и решив систему линейных алгебраических уравнений, можно определить компоненты перемещений, следовательно, и деформированное состояние всей конструкции.

Рассмотрены несколько тестовых примеров для апробации методики и приводятся сравнения с аналитическими решениями задач

Задача 1. Деформирование пластины под действием равномерного давления д = 1 кГ/см1 и сосредоточенной силы Р = 2000 кГ. Пластина -квадратная со стороной а =100 см и толщиной к = 1 см, со следующими механическими свойствами: модуль Юнга £ = 2-106 кГ/см2, коэффициент Пуассона // = 0.3. Пластина имеет жесткое защемление по всем боковым граням. В силу симметрии была рассмотрена четверть пластины, использовались различные конечно - элементные сетки. Результаты решения данной задачи приведены в таблице 1, где И^ - максимальный прогиб пластины, полученный из приближенного решения.

Таблица ]

Сетка Сетка Сетка Сетка Сетка Сетка Сетка Сетка

2x2 2x2 3x3 3x3 4x4 4x4 5x5 5x5

1V ктасс ТУ У/ кикс "дик) ктасс ''м>д кикс "под

<7 0,68796 0,0046 0,6618 0,0079 0,6751 0,01669 0,6834 0,0254 0,68631

Р 0,61152 0,0042 0,5297 0,009 0,5743 0,0154 0,5909 0,0233 0,5987

Задача 2. Деформирование под действием собственного веса цилиндрической панели, шарнирно-опертой по криволинейным границам и свободными прямолинейными гранями со следующими параметрами (рис. 1). ¿ = 1524 а/, Л = 762 см, Л = 7.62 см, £ = 2.1105 кГ/см2, М =

уЬ = 0.0М кГ/см2.

Рис. 1.

Скорость сходимости решения данной задачи, полученного настоящим конечным элементом, в сравнениях с аналитическим решением и решением обычным «классическим» трехмерным изопараметрическим восьми узловым элементом представлена в таблице 2, где ]№т - максимальный прогиб цилиндрический панели.

Таблица 2

Сетка 4x4 XV кшсс Сетка 4x4 Сетка 5x5 IV икис Сетка 5x5 IV "ЛЮЙ Сетка 10x10 IV К10СТ Сетка 10x10 IV "чад Сетка 13x13 IV кикс Ссгка 13x13 Сетка 20x20 IV класс Сетка 20x20 IV "мод

9,15 0,5758 8,5715 0,7215 8,6834 1,4159 8,9584 1,8847 9,0108 3,0776 9,0595

Задача 3. Рассмапривается полусферическая оболочка с вырезом в полюсе (угол раствора 18") под воздействием самоуравновешенной системы сил (рис. 2). Л = 10.0 см, Л = 0.04 см,

= 6.825 • 107

см

ц = 0.3, Р = \.0кГ.

Рис. 2.

При решении используются модифицированные трехмерные изопараметрические конечные элементы. Результаты решения приведены в таблице 3.

Таблица 3

Щ- Сетка 5x5 IV кюсс Сетка 5x5 IV ''мод Сетка 10x10 XV кчасс Сетка 10x10 V7 "мод Сетка 13x13 IV К-ЮСС Сетка 13x13 Сетка 20x20 XV класс Сетка 20x20

0.093 0.0001 0.0292 0.0004 0.0895 0.0007 0.0925 0.0015 0.0931

Задача 4. Одной из самых распространенных задач является задача об изгибе замкнутой круговой цилиндрической оболочки со свободными торцами под действием самоуравновешенной системы двух сосредоточенных сил (рис. 3). Особенностью этой задачи является близость напряженного состояния к чистому изгибу, что представляет определенные трудности при

использовании МКЭ. Наиболее обширные численные данные накоплены для оболочки со следующими параметрами: Ь = 26.2 см

Л = 12.5 см

Л = 0.238 см

Е=7.4-105-^-см

ц = 0.3125 Р = 45.3кГ

Рис. 3.

В силу наличия трех плоскостей симметрии была рассмотрена восьмая часть цилиндрической оболочки. Результаты решения данной задачи на различных конечно - элементных сетках приведены в таблице 4.

Таблица 4

Сетка 5x5 V/ класс Сетка 5x5 "мод Сетка 10x10 IV кадсс Сспка 10x10 IV "июЛ Сетка 15x15 IV К10СС Сетка 15x15 Сетка 20x20 УУ кшсс Сетка 20x20 IV "лой

0.275 0.0038 0.2 0.0132 а.тъ 0.0267 0.2826 0.0427 0.2842

Предложенная в настоящей главе модифицированная методика построения трехмерного восьмиузлового изопараметрического конечного элемента теории упругости позволяет получить специальный КЭ, при помощи которого вполне реально рассчитывать НДС оболочек средней толщины сложной геометрии с использованием однослойной аппроксимации по толщине.

Вторая глава посвящена исследованию конечных деформаций оболочек средней толщины в криволинейной Лагранжевой системе координат. Реализована методика конечно-элементного геометрически нелинейного расчета тонкостенных конструкций для модели гиперупругого материала Сетха. Рассмотрены числовые примеры.

Расчет тонкостенных конструкций с учетом нелинейностей основывается на шаговых и итерационных методах. Выбор метода и алгоритма, реализующего его, зависит от типа нелинейности. В настоящей работе используется метод последовательных нагружений, который может быть естественно реализован в рамках МКЭ. Процесс деформирования представим в виде последовательности равновесных состояний У,,...У4,У,+1,..УЛ,, где V, и Уд, - области, занимаемые оболочкой в начальном и конечном деформированном состоянии, а У, - произвольное промежуточное состояние. Действующая нагрузка достигается последовательным догружением на каждом шаге, причем количество шагов выбирается так, чтобы на каждом из них задача была квазилинейной. При такой постановке задача сводится к отысканию (£+1) - состояния при уже определенной геометрии и с накопленными напряжениями к - го состояния.

Текущую конфигурацию на к-м шаге нагружения определим в аналогичном виде.

Если ввести в рассмотрение ковариантные компоненты метрических тензоров, то тензор деформации Альманси записывается следующим образом

% 4(4-<?,)■ (2°)

Введем в рассмотрение вектор приращения перемещений

Ак0 = шг-к г = А11'(21) Аналог тензора пространственного градиента скорости будет представлен в виде

(дч)=

ЭДЧ/, ,

I э?

= (22)

Симметричная часть этою тензора имеет вид

(АЧЙ1

'дАкитд"хт +дкх"дАк1/т

(*г"г') = А%(*гиг'). (23)

Аналогичным образом можем записать и вариации.

Запишем известное вариационное уравнение в скоростях напряжений

без учета массовых сил, предварительно сделав переход от (*гт) и Ч'г к приращениям (д'ст) и АкТ„, приняв приращение времени Д/ = 1

ЭУ

= /д^-ЯЛ^" (24)

и ]

В качестве физической модели используем материал Сетха, для которого справедлив закон Гука для тензора деформаций Альманси и распишем для приращения напряжений к - го состояния.

(Д'ст) = 2//(ДМ) + Я(^)[(^)-(А4А)], (25)

где =

Матрицы геометрической жесткости второго и третьего слагаемых соответственно запишутся в следующем дискретном виде

=ч„ Ч'"1-О™ у Л (ад 5% =~ксг«[кА':,кА?пк8,м + 'АГ'ДГ«.....<27)

В результате описанной выше конечно - элементной дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

['*]{д'н}={д(28)

{д'и} - вектор приращения узловых перемещений, ['АГ] - матрица левых частей,

{Д'/>} - вектор приращения узловых сил, {'я] - вектор невязки.

Решая систему линейных алгебраических уравнений и определяя приращения перемещений, находим (/ + 1) конфигурацию и напряжения

Шх! = 'х' + А 'и', <+1<т= к<7+Ак(Т. (29)

В качестве верификации конечно-элементной методики решено несколько тестовых задач.

Задача 5. Рассматривается тестовая задача изгиба полосы в кольцо. Исходя из кинематических соотношений, вычислим а™'" и ст™* в узлах на свободном краю полосы

+ 2М); оГ~(Л + 2М). (30)

Задача рассчитана с использованием предложенной выше методики. Длина полосы ¿ = 200см, толщина к-1см, ширина Ь = 5 см, модуль

К2

упругости £ = 20000—г-, коэффициент Пуассона г = 0. На рис. 4 см

изображено деформированное состояние полосы и несколько промежуточных этапов нагружения.

Рис. 4.

В случае, когда прилагаемая нагрузка разбивается на 1000 шагов нагружения, погрешность численного решения не более 1%. Погрешность могла появиться за счет конечно - элементной аппроксимации исследуемой области.

Задача 6. Рассматривается полусферическая оболочка с вырезом в полюсе под воздействием самоуравновешенной системы сил ^ = 10 ЛкГ и механическими характеристиками задачи 3. Ниже приведен график максимальных перемещений ¿/тя (см) и У^ (см) на каждом шаге нагружения при сетке 20 x 20 в сравнении с решениями других авторов. Изображено деформированное состояние полусферической оболочки при Л = 16 (рис. 5).

Рис. 7.

В третьей главе изложена технология построения многослойного конечного элемента оболочек средней толщины с ортотропными слоями.

.к*

Рис. 5.

Задача 7. Рассматривается растяжение цилиндрической оболочки, путем приложения сосредоточенных сил (рис. 6).

Л = 4.953 см,

/1 = 0.094 см, ^Г " ^«Л??^

£ = 10.35 см,

£ = 10.5 -106 —у,

Ц = 0.3125

Рис. 6.

Максимальное радиальное перемещение получено из аналитического

соотношения XV = [ — -1 • Я = 2.82715 см. Ниже представлены радиальные

"" ^ 2 )

перемещения на каждом шаге нагружения. Деформированное состояние цилиндрической оболочки при Р = 1000 кГ представлено на рис. 7.

Приведена тестовая задача для апробации данного алгоритма и решена реальная задача расчета НДС руля высоты легкомоторного самолета.

Кинематические соотношения и аппроксимации геометрии представлены в главе 1. Обобщенный закон Гука запишем в виде (15). С учетом гипотезы малости напряжений обжатия получим

^фнл^тн

гч РщАзтн

Цт п ^у

(31)

Записанная в таком виде гипотеза малости напряжений обжатия позволяет в явном виде ввести в расчетную схему физические постоянные, как для изотропного, так и для ортотропного тела.

Компоненты матрицы упругости для ортотропного материала запишутся в следующем виде

1

ль;

_1_

Ез

И1з

А>222 ~

2 /

1

АЕ3

Е3

А,™ =

А133 — Аз и ~

1

АЕ, 1

АЕ,

1 /4

кЕг

А122 — Аги —

I У

_ 1 [МуМЗ | I» Е2 Е] J

V ¿1 ^3 .

Аг12 =^12' Азгз =^23' А]31 =С31,

1

(32)

где А = -

1

'\-1HM,-^ц],' £3 2 у

Е\ЕгЕ3 ^

Наиболее часто в практике расчетов многослойных конструкций встречается преобразование коэффициентов матрицы упругости ортотропного тела при повороте системы координат вокруг своей оси Ое3 (которая совпадает с нормалью к плоскости слоя) на угол <р. Преобразование коэффициентов упругости осуществляется следующим образом О" = /?70*Д Так как на практике большинство материалов имеют слоистую структуру с различными по толщине механическими характеристиками, в общем случае не симметричными, то целесообразнее применять многослойный конечный элемент. Значения толщин каждого слоя Ик удобнее задавать в виде их относительных значений

Д,=£.Л=2Л.£Д4=1, (33)

где N - количество слоев.

Межслойные координаты по толщине внутри КЭ можно определить следующим образом

Г, =-1, £ = -1 + 2Д„ = -1 + 2Д, + 2Д2,

При вычислении матрицы жесткости применяется квадратурная формула Гаусса-Лежандра порядка 2х2х А', где N-количество слоев. Таким образом, координаты квадратурных точек в направлении оси

определяются в середине толщины каждого слоя + См)- Тогда

компоненты матрицы жесткости можно вычислить следующим образом

о: = , (35)

где г, с = 1,8, а, Ь, г, у', т,п,о, р = 1,3.

Компоненты напряжений вычисляются в четырех квадратурных точках, определенных в середине каждого слоя и далее экстраполируются в узлы.

Далее приведены результаты решения одной из тестовых задач. Задача 8. Для определения границ применимости описанной выше модели относительно геометрических размеров и различий жесткостных характеристик слоев, с учетом ортотропной структуры материала проводилось сравнение конечно - элементного решения задачи изгиба трехслойной квадратной шарнирно - опертой пластины под синусоидальной нагрузкой (рис. 8). С учетом симметрии рассматривалась четверть пластины. Рассматривалось два варианта укладки слоев: первый - трехслойная с

И 1г И

углами цг = 0 ,90 ,0° и толщинами —,—, — ; вторая - девятислоиная с углами

)х /г И И /г И 1г /г /?

4 2 4

ьу = 0°, 90°, 0°, 90°, 0°, 90°, 0', 90°, 0° и толщинами , , , ......

У 10 8 10 8 10 8 10 8 10

Верификация проводилась с другими приближенными решениями авторов.

£,=£,= 172 ■ 101 МП а,

Е2 =6.9-10,М7а, С23 =1.38 103Шя, С12=С13=3.45-103Л//7<7, Мп =Мз1 =0.01,

лх Ж у г/, = д0 31/1—Ьт—. а Ь

Рис. 8.

В табл. 5 для трехслойного пакета и в табл. 6 - для девятислойного, представлены безразмерные величины

IV =

Яо

4

к

<?о

б=

4С12+-

1

(£,+(1 + 2^2)£2)

где = 1 - интенсивность поперечной нагрузки, а - линейный размер пластины, Ь- толщина пластины.

____Таблица 5

а! И # № (а а ИЛ 1.2'2'2,1 <7* (а а ИЛ {~2'2'2) < И)

100 1,06 0,482 0,0197

20 1,174 0,48 0,0191

10 1,565 0,47 0,02

4 4,117 0,42 0,026

Таблица 6

а/И V/' <

100 1,00183 0,493 0,02

20 1,10338 0,49 0,019

10 1,5 0,5 0,02

Задача 9. Проведен расчет НДС руля высоты легкомоторного самолета. Руль высоты представляет собой сложную оболочечную конструкцию, усиленную нервюрами и лонжероном. С учетом наличия плоскости симметрии рассмотрена половина конструкции. Конечно-элементное разбиение всей конструкции восьмиузловыми элементами изображено на рис. 9.

Рис. 9.

Данная конструкция состоит из четырех различных видов материалов (1 - ткань Т-10-14, 2 - ткань Э-100, 3 - пенопласт, 4 - фанера). Также данная конструкция состоит из 14 различных видов подконструкций, представляющих собой многослойные оболочки с различными упругими постоянными и углами намотки в каждом слое.

На рис. 10 показано наложение кинематических граничных условий на конструкцию.

-1 ш"

иГ;:?

Рис. 10: Схема кинематического закрепления руля высоты. Был проведен ряд расчетов для различных случаев силового нагружения. Для иллюстрации результатов одного из расчетов на рисунке 11 приведено распределение прогибои IV (см) для случая равномерного нагружения по верхней внешней лицевой поверхности руля высоты интенсивностью <7 = 1500 Па.

ъм

1Л7 I» 2.12 145 1.17 1.7

и)

4.25 4.72

Рис. 11: Распределение прогибов.

По результатам экспериментальных данных И',^™ =3.39с«. Заключение.

1. На основе соотношений теории упругости, путем введения новых аппроксимаций, разработан модифицированный трехмерный изопараметрический восьмиузловой конечный элемент, позволяющий рассчитывать как трехмерные тела, так и оболочечные конструкции в широком диапазоне геометрических параметров.

2. Разработана и реализована конечно-элементная методика для решения геометрически нелинейных задач при расчете тонкостенных конструкций в рамках методики пошагового нагружения.

3. На основе предложенного конечного элемента построено семейство конечных элементов, позволяющих в рамках единой модели рассчитывать конструкции, состоящие как из трехмерных тел, так и из оболочек сложной геометрии, в том числе и многослойных.

4. Проведен статический расчет сложной комбинированной конструкции руля высоты легкомоторного самолета и определено его напряженно-

деформированное состояние. Полученные численные результаты достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

Публикации в рекомендованных ВАК изданиях:

1. Голованов А.И. Трехмерный конечный элемент для расчета тонкостенных конструкций / Голованов А.И., Сагдатуллин М.К. II Ученые записки Казанского государственного университета. Серия физ.-мат. наук.-Казань2009.-Т. 151,кн.3,с. 121-129.

2. Голованов А.И. Нелинейная задача о гиперупругом деформировании полилинейного конечного элемента оболочки средней толщины / Голованов А.И., Сагдатуллин М.К И Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№4(16). -С. 39-49.

Публикации в других изданиях:

3. Султанов Л.У. Алгоритмы исследования гиперупругих тел / Султанов Л.У., Сагдатуллин М.К. И Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Математическое моделирование и краевые задачи. - Самара 2009. - С. 260-262.

4. Голованов А.И. Трехмерный КЭ оболочки средней толщины / Голованов А.И., Сагдатуллин М.К. II BEM&FEM 2009, XXIII Международная конференция. Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. - Санкт Петербург 2009. - Т. 1, с. 56-58.

5. Голованов А.И. Трехмерный КЭ оболочки средней толщины / Голованов А.И., Сагдатуллин М.К. Н BEM&FEM 2009, ХХШ Международная конференция. Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. - Санкт Петербург 2009. - Т. 2, с. 116-121.

6. Голованов А.И. Трехмерный КЭ для расчета НДС тонкостенных конструкций / Голованов А.И, Сагдатуллин М.К. II Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского: Материалы Восьмой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2009»; Казань, 1-6 ноября 2009 г.; Казан, матем. об-во. 2009. -Т. 39.-С. 171-173.

7. Голованов А.И. Постановка задачи численного моделирования конечных гиперупругих деформаций МКЭ / Голованов А.И., Сагдатуллин М.К. // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2009. - С. 55 - 67.

8. Голованов А.И. Теоретические основы численного моделирования конечных гиперупругих деформаций МКЭ / Голованов А.И., Сагдатуллин М.К. // Труды международной научно - технической конференции «Современные проблемы механики». - Ташкент 2009. -С. 271-275.

9. Голованов A.M. Построение трехмерного КЭ оболочки в линейной постановке / Голованов AM, Сагдатумин М.К. И Образование и наука - производству. Сборник трудов Международной научно -технической и образовательной конференции. - Набережные Челны: Изд-во Камской госуд. Инж.- экон. акад., 2010. - книга 1, часть 1. - С. 25-27.

10. Голованов А.И. Построение трехмерного КЭ для расчета НДС тонкостенных конструкций / Голованов A.M., Сагдатумин М.К. И Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела. Труды Второй международной конференции. Казань, 8-11 декабря

2009 г.-С. 122-125.

11. Голованов А.И. Расчет геометрически нелинейных оболочек средней толщины в базисе деформированного состояния на основе МКЭ / Голованов А.И., Сагдатуллин М.К. II Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения -2010»; Казань, 1-6 октября

2010 г.; Казан. Матем. об-во,- 2010. - Т.40, с. 85-88.

12. Голованов А.И. Трехмерный конечный элемент оболочек средней толщины с учетом обжатия / Голованов A.M., Сагдатуялгт М.К. II Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Математическое моделирование и краевые задачи. - Самара 2010. - С. 115-117.

13. Голованов А.И. Трехмерный КЭ для расчета оболочек средней толщины / Голованов А.И., Сагдатуллин М.К. II Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 2. - Ч.: ГУП, «ИПК «Чувашия», 2010. - С. 34 - 35.

14. Сагдатуллин М.К. Расчет тонкостенных конструкций МКЭ с учетом геометрической нелинейности / Сагдатуллин М.К., Голованов А.И. // Материалы восьмой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения». - Казань, 1 - 5 октября 2010 г. - С. 380-384.

15. Сагдатуллин М.К. Расчет геометрически нелинейных оболочек средней толщины МКЭ / Сагдатуллин М.К, Голованов А.И. |И Материалы XVII

Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 1.-М.: ООО «ТР-принт», 2011.-С. 172- 175.

16. Сагдатуллин М.К. Моделирование геометрически нелинейного деформирования оболочек средней толщины / Сагдатуллин М.К, Саченков А.А. II Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011), 25 - 31 мая 2011 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. - С. 406-408.

17. Сагдатумин М.К. Ортотропный многослойный КЭ оболочек средней толщины / Сагдатуллин М.К. II Труды восьмой Всероссийской научной

ZC

конференции с международным участием. Математическое моделирование и краевые задачи. Часть ].-Самара 2011.-С. 190-193.

18. Сагдатуллин М.К. Расчет НДС многослойных оболочек средней толщины /Сагдатуллин М.К, Бережной Д.В. //Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Десятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения -2011»; Казань, 31 октября-4 ноября 2011 г.; Казан. Матем. об-во,- 2011. - Т.41, с. 249-252.

19. Сагдатуллин М.К. Определение НДС оболочек при конечных деформациях МКЭ / Сагдатуллин М.К, Бережной Д.В. II BEM&FEM 2011, XXIV Международная конференция. Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. - Санкт Петербург 2011. — Т. 1, с. 97-98.

Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО «Астория и К» 420021, г. Казань, ул. Ахтямова, 4-3 тел. 260-44-40,278-98-96

Заказ №356 от 18.11.11г. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,25 Бумага офсет 80 г. Печать ризографическая. Тираж 100 экз.

ВВЕДЕНИЕ.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ГЛАВА 1. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ МКЭ В ЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ.

1.1. Геометрические параметры.

1.2. Соотношения деформаций.

1.3. Метод двойной аппроксимации.

1.4. Гипотеза малости напряжений обжатия.

1.5. Составление матрицы жесткости.

1.6. Вычисление напряжений.

1.7. Числовые примеры.

ГЛАВА 2. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ.

2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ.

2.1.1. Кинематика конечных деформаций.

2.1.2. Физическая модель гиперупругого тела.

2.1.3. Разрешающее уравнение на шаге нагружения.

2.2. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ.

2.2.1. Аппроксимация геометрии.

2.2.2. Материал Сетха.

2.2.3. Числовые примеры.

ГЛАВА 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕХМЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК.

3.1. Конечный элемент для ортотропного материала.

3.2. Многослойный конечный элемент.

3.3. Числовые примеры.

3.4. Расчет руля высоты легкомоторного самолета.

3.5. Переходный конечный элемент.

3.6. Описание пакета прикладных программ.

При создании современных технических конструкций и строительных сооружений в качестве силовых элементов достаточно широко применяются тонкостенные подконструкции, состоящие из пластин и оболочек. Их применение позволяет существенно снизить материалоемкость всей конструкции с сохранением требуемых прочностных и жесткостных характеристик. При этом технологические условия эксплуатации требуют применение конструкций сложной геометрии. Данное обстоятельство приводит к необходимости наработки схем предварительного анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкостенных конструкций.

К настоящему времени проведены значительные фундаментальные и прикладные исследования по механике пластин и оболочек. Вопрос построения математических и физических моделей объектов тонкостенных конструкций, в том числе и неоднородной, слоистой структуры, исследован весьма глубоко и имеется ряд фундаментальных работ и монографий, в которых эта задача изложена во всей своей полноте [2, 7, 8, 20, 27, 28, 33, 71, 86, 91-93]. Большой вклад в создание теории пластин и оболочек внесли отечественные ученые A.B. Александров, H.A. Алфутов, С.А. Амбарцумян, Ю.П. Артюхин, B.JI. Бидерман, И.А. Биргер, В.В. Болотин, В.В. Васильев, H.H. Векуа, В.З. Власов, A.C. Вольмир, К.З. Галимов, Н.С. Ганиев, A.J1. Гольденвейзер, А.Г. Горшков, Э.И. Григолюк, Я.М. Григоренко, A.C. Григорьев, А.Н. Гузь, A.B. Кармишин, Ю.Г. Коноплев, В.А. Кудинов, Э.Э. Лавендел, H.H. Малинин, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, И.Ф. Образцов, П.М. Огибалов, В.В. Петров, В.В. Пикуль, Б.Е. Победря, A.B. Погорелов, Я.С. Подстригач, А.П. Прусаков, А.О. Рассказов, A.B. Саченков, И.Г. Терегулов, А.Г. Угодчиков, А.П. Филин, К.Ф. Черных и другие.

Еще одной важной задачей является разработка методов решения уравнений, описывающих деформирование подконструкций, состоящих из пластин и оболочек. Здесь, как правило, выделяют два больших класса -аналитический и численный. Аналитические решения удается построить лишь для узкого класса задач, ограниченного круга поверхностей и классических граничных условий. Для оболочек сложной геометрии предпочтительным являются численные методы, которые ориентированы на применение ЭВМ. Поскольку целью настоящей работы является развитие численных методов расчета оболочек со сложными геометрическими параметрами, то далее об аналитических методах решения говорить не будем. Среди всего многообразия численных методов выделим несколько групп, а именно: метод граничных элементов (МГЭ), метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных объемов (МКО), вариационно-разностный метод и другие. Развитием и популяризацией этих методов занимались следующие отечественные ученые В.Г. Баженов, А.И. Голованов, A.C. Городецкий, В.И. Гуляев, М.С. Корнишин, Б.Я. Кантор, С.А. Капустин, М.С. Корнишин, В.А. Крысько, Ю.В. Липовцев, A.M. Масленников, В.Н. Паймушин, В.А. Постнов, Р.Б. Рикардс, JI.A. Розин, Я.Г. Савула, A.C. Сахаров, В.И. Феодосьев, М.Н. Серазутдинов, H.H. Шапошников и другие. Некоторые обобщающие результаты их исследований представлены в монографиях [35, 46, 49, 55, 57, 58, 80, 95, 99, 101, 111]. Особенно хочется остановиться на МКЭ, который в настоящее время завоевал большую популярность, как в нашей стране, так и за рубежом. Преимущества его в универсальности, физичности и неограниченной возможности применения к сложным конструкциям при произвольном нагружении и наложении граничных условий. Из зарубежных авторов, которые активно занимались развитием МКЭ для расчета тонкостенных конструкций особенно хотелось бы отметить таких, как Ahmad S., Argyris Y.H., Bathe K.-J., Belytschko T., Clough R.W., Dawe D., Gallager R.H., Hinton E., Hughes T.J.R., Irons B.M., Lee S.W., Morley L.S.D., Oden T., Zienkiewicz О.С. Результаты их исследований описаны в работах [124, 126, 141, 202, 203]. Отметим довольно популярные обзоры оболочечных конечных элементов, предложенные как отечественными [38, 49, 57], так и зарубежными авторами [200].

Большое внимание уделено созданию пакетов прикладных программ (ППП), которые реализуют тот или иной численный алгоритм. Универсальные ППП ориентируются на МКЭ и весьма развиты в плане удобства работы пользователя. Среди отечественных ППП следует упомянуть такие как Лира, Мираж, Сумрак, Спринт, Испа и другие. За рубежом количество ППГ1 весьма велико. Из них наиболее известны ANSYS, MSC /NASTRAN, ABAQUS, COSMOS и другие.

Следует отметить, что при расчете тонкостенных конструкций получение достоверных результатов сопряжено с определенными трудностями. Прежде всего, здесь возникает проблема выбора конечного элемента (КЭ), позволяющего получить не только достаточную точность при минимальной стоимости расчета, но и применяемого для широкого класса задач. Если для пластин имеется набор надежных КЭ, способных адекватно описывать механику их деформирования при любом нагружении, то для оболочек, в частности непологих, ситуация иная. В литературных источниках описано множество элементов, которые сравниваются между собой в тестовых расчетах, и оказывается, что каждый из них имеет ограниченную область применения. Это настораживает инженеров, ведущих практические расчеты реальных конструкций, поскольку для успешного выбора конкретного элемента из множества описанных в литературе, наобходимо иметь опыт работы с ними и ясно представлять возможности каждого из элементов. Это требует высокой квалификации инженера и как механика, и как вычислителя. Вопрос построения физической модели конечного элемента, удовлетворяющего широкому кругу задач является в настоящее время открытым и весьма актуальным. В последнее время наибольшую актуальность получило исследование конечных элементов оболочек, построенных с учетом деформации поперечного сдвига и применяемые для расчета как оболочек средней толщины, так и тонких оболочек. При этом разделяются два больших класса подобных элементов: первый - трехмерные искривленные изопараметрические элементы, построенные на основе уравнений теории упругости, второй - элементы, построенные на основе уравнений теории оболочек с учетом поперечного сдвига типа Тимошенко. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию первого класса задач.

Теория оболочек, учитывающая поперечный сдвиг описывается дифференциальными уравнениями меньшего порядка по сравнению с теорией, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, хотя общий порядок системы остается такой же за счет увеличения числа уравнений. Следствием этого является снижение требований к гладкости решения, которое должно быть лишь непрерывным, что существенно облегчает процесс построения соответствующих аппроксимаций.

Использование изопараметрической техники построения искривленных КЭ, предложенной для решения плоской задачи с успехом было перенесено на трехмерные модели [80], в частности, было предложено по этой схеме расчитывать напряженно-деформированное состояние оболочек малой и средней толщины [32].

Наиболее распространенный способ получения матрицы жесткости основан на применении процессов Ритца или Галеркина для специально кусочно-гладких координатных функций. При этом перемещения точек внутри конечных элементов аппроксимируются интерполяционными полиномами таким образом, чтобы контакт элементов в узловых точках обеспечивал неразрывность функций перемещений во всем теле.

Многолетний опыт решения различных задач механики деформируемых твердых тел на основе МКЭ показал, что указанный вариант МКЭ нередко обладает сравнительно медленной сходимостью, в особенности для оболочек и массивных тел сложных криволинейных форм. Этот факт был отмечен многими авторами [80, 82, 110 и др.]. Они установили, что замедленная сходимость характерна для тех случаев, когда принятый вариант аппроксимации перемещений не позволяет точно описать смещения КЭ как жесткого целого. Различные способы учета свойств жестких смещений элементов, ориентированные на специальные классы задач, изложены в работах

40, 84, 133, 141]. Среди них следует отметить идею явного учета жестких смещений Кантина [81] путем корректировки имеющихся матриц жесткости независимо от способа их вывода. Для ряда задач теории оболочек этот прием позволил существенно уточнить решения задач. Широкое распространение получила методика изопараметрических элементов, предложенная Б.М. Айронсом [159-160], O.K. Зенкевичем [203] и другими авторами для решения двумерных и трехмерных задач теории упругости в перемещениях относительно декартовой (а не криволинейной системы координат).

Характерной особенностью указанных выше методов является то, что все средства сосредотачиваются на точном или приближенном учете в матрицах жесткости свойств КЭ при смещениях его как жесткого целого, оставляя без внимания вопрос о влиянии на точность решений жестких смещений элементарных объемов конечного элемента при его деформации. Следует заметить, что это явление может быть существенным при полиномиальной аппроксимации перемещений.

В [90] излагается алгоритм расчета оболочек вращения и произвольных непологих оболочек в линейной и нелинейной постановках. Для решения проблемы по учету смещений КЭ как жесткого целого предложен новый способ векторной интерполяции перемещений, суть которого заключается в использовании аппроксимирующего выражения непосредственно для вектора перемещений в целом, не для его отдельных компонент.

В задачах исследования пластин на основе допущений Кирхгофа для выполнений условий полноты полиномиальные выражения, аппроксимирующие функции перемещений, должны содержать отличные от нуля коэффициенты при членах, определяющих полный полином не ниже второй степени, что не вызывает каких-либо затруднений при формулировке конкретных моделей. Поэтому одним из основных вопросов, стоящих на пути применения МКЭ в задачах изгиба пластин и оболочек является обеспечение необходимой гладкости функций. Для треугольных элементов необходимые условия совместности могут быть получены лишь с помощью полиномов не ниже пятой степени. Такие элементы (TUBA) предложены Аргирисом в [125].

В приведенном выше семействе КЭ либо условие совместности, либо условие отсутствия деформаций при жестких смещениях, либо оба этих условия удовлетворялись приближенно. Тем не менее, существуют модели КЭ, в которых оба этих условия выполняются точно. Элемент носит название SHEBA и представляет собой изопараметрический треугольный элемент оболочки общего вида, в котором координаты срединной поверхности также, как и все компоненты перемещений аппроксимируются полными полиномами пятой степени. Впервые элемент был предложен Аргирисом [126, 127J. Элемент имеет 63 степени свободы в виде функций, их первых и вторых производных в углах треугольника и нормальных производных функций на срединах сторон элемента.

Отметим, что, возможно, построить аппроксимирующие функции, представляющие смещения элемента как твердого целого и сохраняющие гладкость класса С(0) [84, 133, 141, 149, 177, 187, 189].

Для оболочечных конечных элементов широкое распространение получило использование квадратурных формул пониженного порядка точности, а именно: для билинейного - одноточечной, для квадратичного -четырехточечной (2x2 по Гауссу) и т.д. Как показывают численные расчеты, этот прием увеличивает скорость сходимости на порядок [18, 135, 154, 170, 172, 179, 181, 188, 201].

Суть метода двойной аппроксимации [10, 39, 50, 109, 110] состоит в самостоятельной аппроксимации деформаций (или напряжений) внутри элемента, отдельно от перемещений. При этом если правильно подобрать степени полиномов, то можно весьма снизить величину погрешности. В данной технологии предлагается деформации, по которым вычисляется потенциальная энергия, определять в виде полиномов, степени меньшей, чем получилось бы при простой подстановке пробных функций для перемещений в соотношения деформации.

Конечные элементы, построенные на основе трехмерных уравнений теории упругости в значительной степени можно отнести к конечным элементам оболочек. Действительно, при их построении учитываются основные гипотезы теории оболочек, а именно: напряжения обжатия считаются малыми и перемещения по толщине изменяются линейно, то есть поперечное прямое волокно остается прямым при деформации. При этом учитывается поперечное обжатие, что является достоинством подобных конечных элементов при значительных толщинах и недостатком при малых. Как упоминается в работе [80] «наличие трех степеней свободы в каждом узле приводит к большим коэффициентам жесткости для перемещений по толщине оболочки. Это затрудняет проведение числовых расчетов и может явиться причиной плохой обусловленности системы уравнений, если толщина мала, по сравнению с остальными размерами». Поэтому были предложены схемы и методики построения КЭ оболочек малой и средней толщины без учета поперечного обжатия.

Наиболее известный подобный элемент описан в работе [124J и по фамилии первого автора известен как «элемент Ахмада» или «вырожденный обол очечный элемент». Последнее название связано с представлением оболочки как вырожденного трехмерного тела. Различные варианты построения такого рода элементов описаны в работах [160, 175].

Развитие численных алгоритмов расчета и широкое применение их в практике исследований поведения тонкостенных конструкций создало предпосылки для обоснованного перехода к разработке нелинейных теорий и их реализаций. Во многих перечисленных выше работах с наиболее общих позиций были проанализированы аспекты применения МКЭ для решения задач теории оболочек.

В последние годы, несмотря на успехи в развитии нелинейных оболочечных теорий, при решении большинства практических задач их реализация не дает существенного преимущества перед более примитивными, но физически ясными, методами пошаговой линеаризации. Использование приближенных методов решения нелинейных уравнений само по себе приводит к погрешностям, прогнозировать которые при расчетах сложных объектов весьма трудно. Введение новых конечных элементов отражающих нелинейное поведение среды учитывает зависимость их поведения от перемещений и деформаций в процессе нагружения.

В большинстве случаев, когда деформации элементов подчиняются закону Гука, а перемещения узлов системы велики настолько, что изменением жесткости системы нельзя пренебречь, шаговый метод приложения нагрузки в деформированном состоянии отражает нелинейный характер поведения системы. В этом случае точность, как и в нелинейном расчете, будет определяться только соответствием расчетной модели действительной конструкции.

В работах по нелинейному конечно-элементному анализу оболочек [14, 45, 48, 56, 90, 95 и др.] используется понятие геометрической жесткости элемента при формировании матрицы жесткости (МЖ) системы алгебраических уравнений. Нужно отметить, что для данного конечного элемента дополнительные слагаемые, вводимые в МЖ, зависят от напряжений и градиентов деформаций. Различные способы учета этого эффекта в конечно-элементных постановках решения задач нелинейного поведения систем [55], отражают тем или иным образом, изменение метрики исследуемой расчетной области в результате деформаций системы.

Для расчета конструкций существенно - переменной толщины целесообразно использовать как трехмерные конечные элементы, так и оболочечные элементы. В работах [151, 152, 161, 162, 173, 185, 191, 192] приводятся основные схемы построения семейств переходных элементов, построенных на основе одного конечного элемента, в [193] описывается создание и исследование переходных трехмерных элементов, используемых при решении термоупругих задач, в [103-104, 144] для расчета напряженно -деформированного состояния пространственных конструкций применяется комбинированная модель, где кинематические условия упругого сопряжения с оболочечными элементами учитываются при помощи метода штрафа. В работах [4, 77, 83] необходимые условия сопряжения по границе между трехмерными и оболочечными элементами реализуются путем введения в исходный функционал задачи множителей Лагранжа, параметры которых исключаются из числа варьируемых величин на уровне сборки конструкции.

Имеются работы, описывающие переходные элементы одной структуры, когда к одной грани одного конечного элемента пристыковываются несколько других [88]. В работе [5] описан элемент, состыковывающий трехмерные элементы к элементам толстой оболочки, в [194] описывается переходный элемент трехмерных и осесимметричных структур. Обзор создания переходных элементов приведен в [195].

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 203 наименования и приложения. Изложена на 133 страницах машинописного текста, содержит 19 таблиц и 46 рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций. В ней получены следующие основные результаты.

1. На основе соотношений теории упругости, путем введения новых аппроксимаций, разработан модифицированный трехмерный изопараметрический восьмиузловой конечный элемент, позволяющий рассчитывать как трехмерные тела, так и оболочечные конструкции в широком диапазоне геометрических параметров.

2. Разработана и реализована конечно-элементная методика для решения геометрически нелинейных задач при расчете тонкостенных конструкций в рамках методики пошагового нагружения.

3. На основе предложенного конечного элемента построено семейство конечных элементов, позволяющих в рамках единой модели рассчитывать конструкции, состоящие как из трехмерных тел, так и из оболочек сложной геометрии, в том числе и многослойных.

4. Проведен статический расчет сложной комбинированной конструкции руля высоты легкомоторного самолета и определено его напряженно-деформированное состояние. Полученные численные результаты достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.

109

1. Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев, А.П. Деруга. - М.: Наука, 1978. -288 с.

2. Абовский Н.П. Численные методы в теории упругости и теории оболочек / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев, А.П. Деруга, В.И. Савченков. Красноярск: изд-во Краснояр. ун-та, 1986. - 383 с.

3. Агапов В.П. Четырехугольный многослойный конечный элемент для расчета пластинок и оболочек / В.П. Агапов // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. -№1. - С. 74-76.

4. Адясова Н.М. Некоторые вопросы расчета нелинейных составных конструкций / Н.М. Адясова, С.А. Капустин, JI.C. Яблонко // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1975. - Вып. I - С. 124-135.

5. Александров A.B. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы / A.B. Александров, Б.Я. Лащеников, H.H. Шапошников. М.: Стройиздат, 1983.-488 с.

6. Алфутов H.A. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов / H.A. Алфутов, П. А. Зиновьев, Б.Г. Попов. М.: Машиностроение, 1984. - 264 с.

7. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек / С.А. Амбарцумян -М.: Наука, 1974.-446 с.

8. П.Бакулин В.Н. Об одной конечно-элементной модели слоистой анизотропной оболочки двоякой кривизны / В.Н. Бакулин, В.О. Каледин, B.C. Кривцов // XIII Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек: Сб. ст. -Таллин, 1983. Часть I. - С. 78-83.

9. П.Бакулин В.Н. Алгоритм получения матрицы жесткости конечного элемента анизотропной оболочки / В.Н. Бакулин, B.C. Кривцов, A.A. Рассоха // Известия вузов. Авиационная техника. 1983. - Т.4. - С. 14-18.

10. П.Бакулин В.Н. Метод конечных элементов и голографическая интерферометрия в механике композитов / В.Н. Бакулин, A.A. Рассоха. М.: Машиностроение, 1987. - 312 с.

11. Бандурин Н.Г. Об определении напряженно деформированного состояния тонкостенных оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев // Прикладная механика. -1988. - Т. 24. - № 10. - С. 46-52.

12. Бандурин Н.Г. К расчету сочлененных оболочек с помощью четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев // Расчеты на прочность. Вып. 21. М.: Машиностроение, 1981. - С. 225-236.

13. Бандурин Н.Г. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 к расчету непологих произвольных оболочек / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев, Т.И. Апраксина // Проблемы прочности. -1980.-Т. 5. С. 104-108.

14. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

15. Бережной Д.В. Искривленный конечный элемент пластин и оболочек средней толщины с учетом обжатия / Д.В. Бережной // Труды международной конференции по теории оболочек и пластин. Казань, 1996. - С. 94-99.

16. Богнер Ф. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов / Ф. Богнер, Р. Фокс, J1. Шмит // Ракетная техника и космонавтика. 1967. -Т. 5.-№4.-С. 170-175.

17. Болотин В.В. Механика многослойных конструкций / В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков. М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

18. Бурман Я.З. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах / Я.З. Бурман, Г.А. Артюхин, Б.Я. Зархин. М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.

19. Бусыгин В.Г. Определение матрицы жесткости четырехугольного изопараметрического элемента оболочки / В.Г. Бусыгин // Прочность и устойчивость инженерных конструкций. Вып. 3. Барнаул, 1981. - С. 3-13.

20. Быков Е.В. Расчет многослойных оболочечных конструкций с учетом деформаций поперечных сдвигов / Е.В. Быков, Б.Г. Попов // Расчеты на прочность. Вып. 30. М.: Машиностроение, 1989. - С. 66-87.

21. Вагин П.П. Напряженно деформированное состояние упругих гибких многослойных оболочек / П.П. Вагин, Н.В. Иванова, Г.А. Шишкаренко // Прикладная механика. 1998. - Т. 34. - № 8. - С. 94-102.

22. Вайнберг Д.В. Вывод матрицы жесткости характеристик дискретного элемента произвольной формы / Д.В. Вайнберг, A.C. Сахаров, В.В. Киричевский // Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып. 14. -Киев, 1971.-С. 37-44.

23. Васидзу В. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / В. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542с.

24. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов / В.В. Васильев. -М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

25. Гаврюшин С.С. Численное моделирование и анализ процессов нелинейного деформирования гибких оболочек / С.С. Гаврюшин // Механика твердого тела,- 1994,-№ 1,-С. 109-119.

26. Галиев К.С. О построении универсальной матрицы жесткости в МКЭ / К.С. Галиев, Л.А. Гордон, Л.А. Розин // Известия ВНИИ гидротехники. 1974. -Т. 105.-С. 174-188.

27. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек / К.З. Галимов. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975. 325 с.

28. Галимов К.З. Теория оболочек сложной геометрии / К.З. Галимов, В.Н. Паймушин. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. - 164 с.

29. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. М.: Мир, 1984.-428 с.

30. Германн Л. Метод дискретных элементов для тонких оболочек / Л. Германн, Д. Кэмбелл // Ракетная техника и космонавтика. 1968. - Т. 6. - № 10. - С. 23-29.

31. Голованов А.И. Конечные элементы тонких непологих оболочек. Способы построения / А.И. Голованов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. Н. Новгород, 1991. - С. 58-65.

32. Голованов А.И. Конечные элементы тонких непологих оболочек. Классификация и основные требования / А.И. Голованов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов. Горький, 1990. - С. 86-96.

33. Голованов А.И. О расчете тонких оболочек трехмерными изопараметрическими элементами / А.И. Голованов // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 20. Казань, КГУ, 1990. - С. 134-140.

34. Голованов А.И. Универсальный конечный -элемент тонкой оболочки / А.И. Голованов // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. -Вып. XXV. Казань, 1990. - С. 66-83.

35. Голованов А.И. Исследование явления потери точности при расчете тонких пластин сдвиговыми конечными элементами / А.И. Голованов // Известия вузов. Математика. 1989. - Т. 8. - С. 21-27.

36. Голованов А.И. Сравнительный анализ различных схем расчета оболочек произвольной геометрии методом конечных элементов / А.И. Голованов // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. XXI. Часть I. Казань, 1989.-С. 104-111.

37. Голованов А.И. Конечно элементный расчет оболочек с дискретно -заданной геометрией / А.И. Голованов // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. Вып. XIX. Часть II. - Казань, 1986. С. 69-82.

38. Голованов А.И. Новый конечный элемент для расчета произвольных тонких оболочек / А.И. Голованов // Строительная механика и расчет сооружений. -1986.-Т. 4.-С. 21-23.

39. Голованов А.И. Нелинейный анализ оболочек трехмерными изопараметрическими конечными элементами / А.И. Голованов // Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек. Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 2008. - С. 42-43.

40. Голованов А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной. Казань: «ДАС», 2001. -300с.

41. Голованов А.И. Расчет однородных и слоистых оболочечных конструкций с учетом больших перемещений МКЭ / А.И. Голованов, М.Г. Гуриелидзе, О.Н. Гурьянова // Сб. докл. XIX Междун. конф. по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород, 1999. - С. 45-48.

42. Голованов А.И. Исследование геометрически нелинейного деформирования произвольных многослойных оболочек МКЭ / А.И. Голованов, О.Н. Гурьянова // Механика композиционных материалов и конструкций. -Москва, 2000. Т. 6. - № 3. - С. 419-435.

43. Голованов А.И. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек / А.И. Голованов, М.С. Корнишин. Казань, 1989. - 270 с.

44. Голованов А.И. Изопараметрический конечный элемент композитной оболочки с двойной аппроксимацией деформаций / А.И. Голованов, И.Ю. Красновский // Механика композитных материалов. 1991. - Т. 5. - С. 885890.

45. Голованов А.И. Трехмерный конечный элемент для расчета произвольных оболочек / А.И. Голованов, A.B. Песошин // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 24. Казань, КГУ, 1992. - С. 6-21.

46. Голованов А.И. Новый вариант построения трехмерного конечного элемента для анализа произвольных оболочек / А.И. Голованов, A.B. Песошин // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 22. Казань, КГУ, 1990. - С. 79-90.

47. Голованов А.И. Теоретические основы вычислительной нелинейной механики деформируемых сред. Курс лекций / А.И. Голованов, Л.У. Султанов. Казань: Изд-во казанск. гос. ун-та - 2008. - 165 с.

48. Голованов А.И. Математические модели вычислительной нелинейной механики деформируемых сред / А.И. Голованов, Л.У. Султанов. Казань: Казан, гос. ун-т., 2009. - 465 с.

49. Голованов А.И. Расчет тонкостенных конструкций МКЭ с учетом геометрической и физической нелинейности / А.И. Голованов, О.Н. Тюленева, С. А. Якушин // Сб. докладов «Проблемы прочности и пластичности». Вып. 64. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. - С. 36-40.

50. Голованов А.И. Современные конечно элементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций / А.И. Голованов, A.B. Песошин, О.Н. Тюленева. - Казань: КГУ, 2005. - 442 с.

51. Голованов А.И. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций / А.И. Голованов, О.Н. Тюленева, А.Ф. Шигабутдинов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392 с.

52. Голованов А.И. «Постановка задачи численного моделирования конечных гиперупругих деформаций МКЭ» / А.И. Голованов, М.К. Сагдатуллин //

53. Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2009.-С. 55-67.

54. Голованов А.И. «Теоретические основы численного моделирования конечных гиперупругих деформаций МКЭ» / А.И. Голованов, М.К. Сагдатуллин // Труды международной научно-технической конференции «Современные проблемы механики». Ташкент 2009. - С. 271-275.

55. Голованов А.И. «Трехмерный конечный элемент для расчета тонкостенных конструкций» / А.И. Голованов, М.К. Сагдатуллин // Ученые записки Казанского государственного университета. Серия физ. -мат. наук. Казань 2009.-Т. 151, кн. 3, с. 121-129.

56. Голованов А.И. «Трехмерный конечный элемент оболочек средней толщины с учетом обжатия» / А.И. Голованов, М.К. Сагдатуллин // Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием.

57. Математическое моделирование и краевые задачи. Самара 2010. - С. 115117.

58. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек / А.Л. Гольденвейзер. -М.: Наука, 1976.-512 с.

59. Гончаренко И.Е. Реализация метода конечного элемента для непологих оболочек сложной формы / И.Е. Гончаренко, В.Н. Кислоокий, А.Д. Легостаев, A.C. Сахаров, H.A. Соловей // Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып. 24. Киев, 1974. - С. 16-25.

60. Горбачев К.П. Метод конечных элементов в расчетах прочности / К.П. Горбачев. Л.: Судостроение, 1985. - 156 с.

61. Городецкий A.C. Расчет пространственных тонкостенных конструкций методом конечного элемента / A.C. Городецкий // ЭВМ в исследованиях и проектировании объектов строительства. Киев: Будивельник, 1972. -С. 75-86.

62. Григолюк Э.И. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов М.: Машиностроение, 1988.-288с.

63. Григоренко ЯМ. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью / Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Г.П. Голуб. Киев: Наукова Думка, 1987. 216с.

64. Грин Б. Обобщенные вариационные принципы в методе конечных элементов / Б. Грин, Р. Джонс, Р. Маклей // Ракетная техника и космонавтика. 1969. - Т. 7. - № 7. - С. 47-55.

65. Джордж А. Численное решение больших разреженных систем уравнений / А. Джордж, Дж. Лю. М.: Мир, 1984. - 333 с.

66. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / С.Ю. Еременко. Харьков: «Основа», 1991. - 272 с.

67. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике / О.С. Зенкевич. М.: Мир, 1975.-544 с.

68. Кантин Д. Смещения криволинейных конечных элементов как жесткого целого / Д. Кантин // Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т. 8. - № 7. -С. 84-88.

69. Кантин Д. Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки / Д. Кантин, Р. Клаф // Ракетная техника и космонавтика. 1968. - Т.6. - № 6.-С. 82-88.

70. Капустин С.А. Численный анализ нелинейных квазистатических процессов деформирования составных конструкций / С.А. Капустин // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1979. - Вып. 10. - С. 68-80.

71. Косицын С.Б. Метод построения базисных функций для искривленных конечных элементов с учетом жесткого смещения / С.Б. Косицын // Исследования по строительным конструкциям и их элементам. -М.:ЦНИИСК, 1982.-С. 17-27.

72. Кулагин C.B. Расчет слоистых композитных оболочек МКЭ / C.B. Кулагин // Проблемы динамики и прочности машиностроительных конструкций. -Казань, 1990.-С. 68-83.

73. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1980. -512 с.

74. Никишков Г.П. Сгущение сетки конечных элементов в трехмерном расчете на прочность / Г.П. Никишков, Ю.И. Смирнов // Деформация и разрушение материалов и элементов конструкции ядерных энергетических установок. -Москва, 1986.-С. 42-46.

75. Николаев А.П. К расчету оболочек методом конечного элемента / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин // Строительная механика и расчет сооружений. -1980,-№5.-С. 21-25.

76. Николаев А.П. Расчет оболочек на основе МКЭ в двумерной постановке / А.П. Николаев, Ю.В. Клочков, А.П. Киселев, H.A. Гуреева. Волгоград: ИПК ФГОУ ВПО ВГСХА «Нива», 2009. - 196 с.

77. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек / В.В. Новожилов. J1.: Судпромгиз, 1962. - 432 с.

78. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости / В.В. Новожилов. -М.: ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 212 с.

79. Новожилов В.В. Линейная теория тонких оболочек / В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, Е.И. Михайловский. Л.: Политехника, 1991. - 656 с.

80. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз. -М.: Мир, 1981.-304 с.95.0ден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Д. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

81. Пагано Н. Упругое поведение многослойного двунаправленного композиционного материала / Н. Пагано, С. Хэтфилд // Ракетная техника и космонавтика. 1972.-Т. 10.-№ 7. - С. 98-101.

82. Паймушин В.Н. К проблеме расчета пластин и оболочек со сложным контуром / В.Н. Паймушин // Прикладная механика. 1980. - Т. 16. - № 4. -С. 63-70.

83. Пелех Б.JI. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью / Б.Л. Пелех Киев: Наукова Думка, 1973. - 248 с.

84. Попов Б.Г. Расчет многослойных конструкций вариационно-матричными методами: Учебное пособие / Б.Г. Попов М.: Изд-во МГТУ, 1993. - 294 с.

85. Рассказов А.О. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек / А.О. Рассказов, И.И. Соколовская, H.A. Шульга. Киев: Вища школа, 1986.- 191 с.

86. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

87. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения / Л.А. Розин. С. - Пб.: Изд. СПбГТУ, 1998. - 532 с.

88. Савула Я.Г. Применение комбинированной модели для расчета напряженно деформированного состояния пространственных конструкций / Я.Г. Савула, И.И. Дыяк, A.B. Дубовик // Прикладная механика. - 1989. - Т. 25,-№9.-С. 62-67.

89. Сагдатуллин М.К. «Ортотропный многослойный КЭ оболочек средней толщины» / М.К. Сагдатуллин // Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 1. Самара, 2011. - С. 190-193.

90. Сагдатуллин М.К. «Расчет геометрически нелинейных оболочек среднейтолщины МКЭ» / М.К. Сагдатуллин, А.И. Голованов. // Материалы XVII

91. Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 1. М.: ООО «TP - принт», 2011. - С. 172-175.

92. Сахаров A.C. Метод конечных элементов в механике твердых тел / A.C. Сахаров, В.Н. Кислоокий, В.В. Киричевский, И. Альтенбах, У. Габберт, Ю. Данкерт, X. Кепплер, 3. Кочык. Киев: Вища школа, 1982. - 480 с.

93. Сахаров A.C. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек / A.C. Сахаров, H.A. Соловей // Пространственные конструкции зданий и сооружений. Вып. 3. М.: Стройиздат, 1977.-С. 10-15.

94. Сегерлинд JL Применение метода конечных элементов / JI. Сегерлинд. -М.: Мир, 1979.-392 с.

95. Серазутдинов М.Н. Метод расчета элементов конструкций в виде оболочек / М.Н. Серазутдинов // Известия вузов. Машиностроение. 1989. -Т. 10.-С. 6-10.

96. Скворцов Ю.В., Хазанов Х.С. Нелинейный анализ произвольных оболочечных конструкций с использованием криволинейного изопараметрического элемента / Ю.В. Скворцов, Х.С. Хазанов // Известия вузов. Авиационная техника. 1989. — № 2. - С. 15-19.

97. Скопинский В.Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четырехугольных криволинейных элементов / В.Н. Скопинский // Известия вузов. Машиностроение. 1983. - Т. 5. - С. 16-21.

98. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Д. Фикс. М.: Мир, 1977.-350 с.

99. Сулейманова М.М. К расчету гибких непологих оболочек различного типа методом конечных элементов / М.М. Сулейманова // Прикладная механика.,- 1984.-Т. 20.-№ 1,-С 72-78.

100. Султанов Л.У. «Алгоритмы исследования гиперупругих тел» / Л.У. Султанов, М.К. Сагдатуллин // Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Математическое моделирование и краевые задачи. Самара 2009. - С. 260-262

101. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Съярле. М.: Мир, 1980.-512 с.

102. Терегулов И.Г. Нелинейные задачи теории оболочек и определяющие соотношения / И.Г. Терегулов. Казань: ФЕН, 2000. - 335 с.

103. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский Кригер. - М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

104. Филин А.П. Элементы теории оболочек / А.П. Филин. Л.: Стройиздат, 1987.-384 с.

105. Хечумов Р.А. Применение метода конечных элементов: Учебное пособие для технических вузов / Р.А. Хечумов, X. Кепплер, В.И. Прокопьев // Издательство Ассоциации строительных вузов, 1994. 353 с.

106. Шлычков С.В. Оценка точности расчетной модели напряженно -деформированного состояния тонкостенных элементов музыкальных струнных инструментов. / С.В. Шлычков // Исследовано в России. 2000. -С. 245-262.

107. Ahmad S. Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements / S. Ahmad, B. Irons, O.C. Zienkiewicz // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1970. - V. 2.-№ 3.-P. 419-451.

108. Argyris J.H. The TUBA family of plate elements for the matrix displacement methods / J.H. Argyris, I. Fried, D.W. Scharpf // The Aeronautical Journal. -1968. V. 72. - № 692. - P. 701-709.

109. Argyris J.H. On the application of the SHEBA shell element / J.H. Argyris, N. Lochner // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1972. -V. 1. - № 1-3.-P. 317-347.

110. Argyris J.H. The SHEBA family of shell elements for the matrix displacement method / J.H. Argyris, D.W. Scharpf // The Aeronautical Journal. 1968. - V. 72. -№694.-P. 873-883.

111. Bathe K.-J. A geometric and material nonlinear plate and shell element / K.-J. Bathe, S. Bolourchi // Computers and Structures. 1980. - V. 11. - P. 23-48.

112. Bathe K.-J. A formulation of general shell elements the use of mixed interpolation of tensorial components / K.-J. Bathe, E.N. Dvorkin // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1986. - V. 22. - № 3. - P. 697722.

113. Bathe K.-J. A four-node plate bending element based on Mindlin/Reissner plate theory and mixed interpolation / K.-J. Bathe, E.N. Dvorkin // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1985. - V. 21. - № 2. - P. 367-383.

114. Belytschko T. Stress projection for membrane and shear locking in shell finite elements / T. Belytschko, H. Stolarski, W.K. Liu, N. Carpenter, J.S.J. Ong // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1985. - V. 51. - № 1-3.-P. 221-258.

115. Brebbia C.A. A comparison of recent shallow shell finite element analysis / C.A. Brebbia, J.M.D. Nath // International Journal of Mechanical Sciences. -1970. V. 12. - № 10. - P. 849-857.

116. Cantin G. Rigid-body motions and equilibrium in finite elements / G. Cantin // Finite Element for Thin Shells and Curved Members. New York, 1976. - Ch. 4. -P. 55-61.

117. Chao W.C. Analysis of laminated composite shell using a degenerated 3-D element / W.C. Chao, J.N. Reddy // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1984. - V. 20. - № 10. - P. 1991-2007.

118. Choi C.-K. Stress analysis of shells by reduced integrated nonconforming elements / C.-K. Choi, S.-H. Kim // «Shell, Membranes and Space Frames». Proceeding I ASS symposium. Osaka, 1986.-V. l.-P. 161-168.

119. Choi C.-K. Nonconforming finite element analysis of shells / C.-K. Choi, W.C. Schnobrich // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. 1975. - V. 101. - № EM4. - P. 447-464.

120. Clough R.W. A finite element approximation for the analysis of thin shells / R.W. Clough, R.J. Johnson // International Journal of Solids and Structures. -1968.-V. 4.-№ l.-P. 43-60.

121. Connor J. A stiffness matrix for shallow rectangular shell element / J. Connor, C. Brebbia // Journal of the Engineering Mechanics Division. 1967. - V. 93. -№5.-P. 43-65.

122. Cook R.D. Some elements for analysis of plate bending / R.D. Cook // Journal of the Engineering Mechanics Division. 1972. - V. 98. - № EM6. - P. 14521470.

123. Crisfield M.A. The application of shear-constraint to the generation of plateelements / M.A. Crisfield // Finite Element Methods for Plate and Shell Structures. V. 1: Element Technology.-U.K., 1986. Ch. 6.-P. 153-174.

124. Dawe D.J. Rigid-body motions and strain-displacement equations of curved shell finite elements / D.J. Dawe // International Journal of Mechanical Sciences. -1972. V. 14. - № 9. - P. 569-578.

125. Dupuis D. A curved finite element for thin elastic shells / D. Dupuis, J.-J. Goel // International Journal of Solids and Structures. 1970. - V. 6. - № 11. - P. 1413-1428.

126. Dvorkin E.N. A continuum mechanics based four-node shell element for general non-linear analysis / E.N. Dvorkin, K.-J. Bathe // Engineering Computations. 1984.-V. l.-P. 77-88.

127. EL Hads M. A multigrid finite element method for 3D linear elasticity with application / M. EL Hads, M.A. Lu Dnin, J. Desnay, J.L. Chenot // FEMCAD 88:

128. Proc. 4 th SAS World Cont., Paris, 17-19 Oct., 1988. V. 1. -Numer. Anal. And Comput. Aided Des. - Cournaysur - Marne, 1988. - P. 224-241.

129. Fonder G.A. Studies in doubly-curved elements for shells of revolution / G.A. Fonder // Finite Element for Thin Shells and Curved Members. New York, 1976.-Ch. 7.-P. 113-129.

130. Fraeijs de Veubeke B. Variational principles and the patch test / B. Fraeijs de Veubeke // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1974. -V. 8,-№4.-P. 783-801.

131. Fraeijs de Veubeke B. A conforming finite element for plate bending / B. Fraeijs de Veubeke // International Journal of Solids and Structures. 1968. - V. 4. - № l.-P. 96-108.

132. Fraeijs de Veubeke B. Displacement and equilibrium models in the finite element method / / B. Fraeijs de Veubeke // Stress Analysis. New York, 1965. -P. 145-197.

133. Fried I. Shear in C(0) and C(1) bending finite elements / I. Fried // International Journal of Solids and Structures. 1973. -V. 9. - № 4. - P. 449-460.

134. Fried I. Basic computational problems in the finite element analysis of shells / I. Fried // International Journal of Solids and Structures. 1971. - V. 7. - № 12. -P.1705-1715.

135. Gong Jaonan. Local / global structural analysis by transition elements / Jaonan Gong // Comput. and Struct. 1988. - V.30. - № 4. - P. 831-836.

136. Gubbert Ubricht. Zwanskoppelung von Schalen und 3D finite Elemente -Modellen mittels benalty - Methode / Ubricht Gubbert // Techn. Mech. - 1986. -V. 7. - № 3. - P. 44-51.

137. Helleu T.K. An assessment of the Semiloof shell element / T.K. Helleu // Integration Journal for Numerical Methods in Engineering. 1986. - V. 22. -№ 1. -P.133-151.

138. Hughes T.J.R. Reduced and selective integration techniques in the finite element analysis / T.J.R. Hughes, M. Cohen, M. Haroun // Nuclear Engineering and Design. 1978. - V. 46. - № 1. - P. 203-222.

139. Hughes T.Y.R. Nonlinear finite element analysis of shells: Part I. Three-dimensional shells / T.Y.R. Hughes, W.K. Liu // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1981. - V. 26. - P. 331-362.

140. Hughes T.Y.R. Nonlinear finite element analysis of shells: Part II. Two-dimensional shells / T.Y.R. Hughes, W.K. Liu /'/' Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1981. - V. 27.-P. 167-182.

141. Hughes T.J.R. Finite element based upon Mindlin plate theory with particular reference to the four-node bilinear isoparametric element / T.J.R. Hughes, T.E. Tezduyar // Journal of Applied Mechanics. 1981. - V. 48. - № 3. - P. 587-596.

142. Idelson S. On the use of deep, shallow or flat shell finite elements for the analysis of thin shell structures / S. Idelson // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1981. - V. 26.-№ 1 -3.-P. 321-330.

143. Irons B.M. The Semiloof shell element / B.M. Irons // Finite Element for Thin Shells and Curved Members. New York, 1976. - Ch. 11. - P. 197-222.

144. Irons B.M. A further modification to Ahmad's shell element / B.M. Irons, A. Razzaque // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1973. -V. 5.-№4.-P. 588-589.

145. Jao Jingzni. Transition elements in the finite element method / Jingzni Jao // Tyra jihck)3 cio36ao, Acta mech solida sin. 1985. - № 4. - P. 541-548.

146. Jeyachandrabose C. Construction of transition finite elements for the plane triangular family / C. Jeyachandrabose, J. Kirkhope // Comput. and Struct. 1984. -V. 18. - № 6. - P. 1127-1134.

147. Jones R.F. A curved finite element for general thin shell structures / R.F. Jones //Nuclear Engineering and Design. 1978. - V. 48.-№ 2-3.-P. 415-425.

148. Kamoulakos A. Understanding and improving the reduced integration of Mindlin shell elements / A. Kamoulakos // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1988. - V. 26. - № 9. - P. 2009-2029.

149. Kanok-Nukulchai W. A simple and efficient finite element for general shell analysis / W. Kanok-Nukulchai // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1979. - V. 14. - № 2. - P. 179-200.

150. Kara N. Three dimensional finite element for thick shells of general shape / N. Kara, N. Kumbasar // Int. J. for Physical and Engineering Science. 2001. - V. 52.-P. 1-7.

151. Krätzig W.B. Computational mechanics of nonlinear response of shells / W.B. Krätzig, E. Onate. 1990. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg. - 408 pp.

152. Lee S.W. Experience with finite element modeling of thin plate bending / S.W. Lee, S.C. Wong, L.F. Ruberl // Computers and Structures. 1984. - V. 19. - № 5-6.-P. 746-755.

153. Leonard J.W. Strongly curved finite element for shell analysis / J.W. Leonard, C.-T. Li // Journal of the Engineering Mechanics Division. 1973. - V. 99. -№ 3. - P. 516-535.

154. Malkus D.S. Mixed finite element methods reduced and selective integration techniques: a unification of concepts / D.S. Malkus, T.J.R. Hughes // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1978. - V. 15. - № 1. -P. 63-81.

155. Morley L.S.D. Finite element criteria for some shells / L.S.D. Morley // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1984. - V. 20. - № 9. - P. 1711-1728.

156. Mukhopadhyay D. Isoparametric linear bending element and one-point integration / D. Mukhopadhyay, D.K. Dinker // Computers and Structures. 1978. -V. 9. - № 3. - P. 365-369.

157. Murty A.V. Krishna Combined use of solid of revolution, thin shell, and interphase elements for analysis of cylindrical shells / A.V. Krishna Murty, K.N. Shivakumar // J. Struct. Mech. 1980. - V. 8. - № 1. - P. 43-50.

158. Nagtegaal J.C. On the construction of optimal Mindlin type plate and shell elements / J.C. Nagtegaal, S. Nakazawa, M. Tateishi // Finite Element Methods for Plate and Shell Structures. Volume 1: Element Technology. U.K., 1986. -Ch. 14.-P. 348-364.

159. Onate E. Technique for improving the performance of Ahmad shell elements / E. Onate, E. Hinton, N. Glover // Applied Numerical Modelling. Spain, 1978. -P. 389-399.

160. Panda S. Finite element analysis of laminated composite plates / S. Panda, R. Natarajan // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1979. -V. 14.-№ l.-P. 69-79.

161. Park K.C. A curved C(0) shell element based on assumed natural-coordinate strain / K.C. Park, G.M. Stanley // Journal of Applied Mechanics. 1986. - V. 53.- № 2. P. 278-290.

162. Pedro M.A. Areias A finite-strain quadrilateral shell element based on discrete Kirchhoff-Love constraints / M.A. Areias Pedro, Song Jeong-Hoon and T. Belytschko // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2005. - V. 64. - P. 1166-1206.

163. Pugh C.A. A study of quadrilateral plate bending elements with «reduced» integration / C.A. Pugh, E. Hinton, O.C. Zienkiewicz // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1978. - V. 12. - № 7. - P. 1059-1079.

164. Rhiu J.J. An assumed strain mixed formulation for nonlinear shell / J.J. Rhiu, S.W. Lee // Computational mechanics of nonlinear response of shell. Kratzing W.B., Onate (Eds.), 1990. - P. 237-257.

165. Riks E. Some computational aspect of the stability analysis of nonlinear structures / E. Riks // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.- 1983. V. 47.-P. 219-259.

166. Saleeb A.F. A quadrilateral shell element using a mixed formulation / A.F. Saleeb, T.Y. Chang, W. Graf// Computers and Structures. 1987. - V. 26. - № 5. -P. 787-803.

167. Sander G. A family of conforming finite elements for deep shell analysis / G. Sander, S. Idelson // International Journal for Numerical Methods in Engineering.- 1982. V. 18 - № 3. - P. 363-380.

168. Scholz Eckhard. Kompatible Ubergangselemente fur locale Netzverfeinerungen bei 2D und 3D - Finite - Elemente - Modellen / Eckhard Scholz, Johannes Altenbach // Techn. Mech. - 1985. - V.6. - № 2. - P. 72-78.

169. Scordelis A.C. Computer analysis of cylindrical shells / A.C. Scordelis and K.S. Lo // Journal Am. Concr. Inst. 1964. - V. 61. - P. 539-561.

170. Stolarski H. Shear and membrane locking in curved C(0) elements / H. Stolarski, T. Belytschko // Computer Methods in Applied Mechanic Engineering.- 1983.-V. 41. № 3. - P. 279-296.

171. Stolarski H. Membrane locking and reduced integration for curved elements /

172. H. Stolarski, T. Belytschko // Journal of Applied Mechanics. 1982. - V. 49. - №1.-P. 172-176.

173. Stolarski H. Bending and shear mode decomposition in C(0) structural elements / H. Stolarski, T. Belytschko, N. Carpenter // Journal of Structural Mechanics. -1983.-V. 11. № 2. - P. 153-176.

174. Surana Karan S. Geometrically nonlinear formulation for the curved shell elements / Karan S. Surana // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1983,-V. 19.-P. 581-615.

175. Surana Karan S. Transition finite elements for axisymmetric stress analysis / Karan S. Surana //Int. J. Numer. Meth. Eng. 1980. - V. 15. - № 6. - P. 809-832.

176. Surana Karan S. Geometrically nonlinear formulation for the three dimensional solid shell transition finite elements / Karan S. Surana // Comput. and Struct. -1982. - V. 15. - № 5. - P. 549-566.

177. Surana Karan S. Three dimensional solid shell transition finite elements for heat conduction / Karan S. Surana // Comput. and Struct. - 1987. - V.26. - № 6. -P. 941-950.

178. Surana Karan S. Geometrically nonlinear formulation for the axisymmetric transition finite elements / Karan S. Surana // Comput. and Struct. 1983. - V.17. - № 2. - P.243-255.

179. Surana Karan S. Transition finite elements for three dimensional stress analysis / Karan S. Surana // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1980. - V. 15. - № 7. -P. 991-1020.

180. Sze K.Y. Three dimensional continuum finite element models for plate/shell analysis / K.Y. Sze // Prog. Struct. Engng. Mater. - 2002. - V. 4. - P. 400-407.

181. Tahiani C. Linear and non-linear analysis of thin shallow shells by mixed finite elements / C. Tahiani, L. Lachance // Computers and Structures. 1975. - V. 5. -№2-3.-P. 167-177.

182. Wempner G.A. Finite-element analysis of thin shells / G.A. Wempner, J.T. Oden, D.A. Kross // Journal of the Engineering Mechanics Division. 1968. - V. 94,-№6.-P. 1273-1294.

183. Wempner G.A. A simple and efficient approximation of shells via finite quadrilateral elements / G.A. Wempner, D. Talaslidis, C.-M. Hwang // Journal of Applied Mechanics. 1985. - V. 49.-№ l.-P. 115-120.

184. Yang H.T.Y. A survey of recent shell finite elements / H.T.Y. Yang, S. Saigal, A. Masud, R.K. Kapania // Int. J. for numerical methods in engineering. 2000. -V. 47.-P. 101-127.

185. Zienkiewicz O.C. Reduced integration technique in general analysis of plates and shells / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, J.M. Too // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1971. -V. 3. -№ 2. - P. 275-290.

186. Zienkiewicz O.C. The Finite element method. Fifth edition. V. 1: The basis / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. Butterworth-Heinemann. - 2000. - 689 pp.

187. Zienkiewicz O.C. The Finite element method. Fifth edition. V. 2: Solid mechanics / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. Butterworth-Heinemann. - 2000. -459 pp.