Статистическая механика классического релятивистского газа с учетом флуктуации давления тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Кейта Ибраима

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КЛАССИЧЕСКОГО РЕЛЯТИВИСТСКОГО ГАЗА С УЧЕТОМ ФЛУКТУАЦИИ ДАВЛЕНИЯ

Специальность 01 04 02 — теоретическая фшика

АВТОРЕФЕРАТ

дисссрхации на соискание ученой степени кандидат физикомлюматических наук

Москва ?007

003069358

Работа выполнена на кафедре теорешческоч фишки факультета физико-математических и естественных наук Государственною образовательного учреждения высшего профессиональною образэвания "Российский университет дружбы пародов"

Научный руководитель доктор физико-магематчсских наук,

профессор Рыбаков Юрий Петрович

Научный консультант доктор фи шко-маюмшкчсскнх наук,

профессор Рудой Юрий Григорьевич

Официальные оппонент -док.юр физяко-математич<чких наук,

профессор Морозов Владимир Георгиевич

-кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, доцент Кухарки ко Юрий Александрович

Ведущая оришизация Московский Государственный Университет

им M В Ломоносова (физический факулыст)

Защита диссер1ации состоится 29 мая 2007 года в час его мин

на заседании дисссртациошюю совета К 212 203 01 при Государственном образова1ельном учреждении высшего профессиональною образования "Российским университет дружбы пародов"по адресу 117923, Москва, ул Орджоникид«', 3, зал JW

С диссертациеи можно ознакомиться в Научной библиотеке Государственно го образовательно! о учреждения высшего профессионально! о образования "Российский университет дружбы народов"по адресу 117198, Москва, ул Миклухо-Маклал, 0

Автореферат разослан bis / апреля 2007 года

Ученын секретарь диссертационного совета, кандидат физико-м.иематичсских наук, доцен! Т К Чехлова

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Несмотря на прошедшие уже более ста лег с момшы создания Дж У Гиббсом [1] классической равновесной статистической механики, мноше ее задачи по-прежнему остаются актуальными для теоретической и мпгематиче-скои физики, иосколь <у они или не поддаются точному решению, или вообще не имеют достаточно ясной и общепризнанной постановки

К числу мдач первою ним относится построение статисти ческой механики идеальною газа частиц с зависящей только от импульсов релятивие тской функцией Гами льгот (законом дисперсии) во всем интервале значении импульсов, а к числу задач второго типа вычисление равновесных флуктуации давления в рамках общею подхода Гиббса, причем обе задачи весьма актуальны

Знание термодинамических свойств релятивистских газоч необходимо для ряда практических ппило'КСичй, прежде всею применительно к астрофизическим явлениям н шример, космическим лучам сверхвысоких энертй Кроме того, эти результаты актуальны для реляшвис тскои ядерной физики например, при анализе термодинамической устойчивости срасйерболов, "адроштых мешков"и тп феноменологических моделей Наконец, поправки в ультрарс-лягивистскои области импульсов и/или температур необходимы при анализе физических свойств идеального таза легких (но принципиально не бе «тесовых) частиц например, некоторых видов нейтрино

Проблема флуктуации в физических системах в состоянии тепловою равновесия приобрела зчачительчую актуальность в связи с активным изучением мело- т* микроскопических систем и разработке па их основе нанотехиоло-гий Особый интерес представляют весьма чало изученные флуктуации давления (ФД), определяющие — наряду с флуктуациями -энергии —термодинамическую устойчивость любой системы находящейся в объеме, ограниченной вне твердыми пенками

Длительное время проблема вычисления флуктуации давления не имела последовательно! о решеш'ч :> рамках подхода Гиббса или нуждалась в привлечении каких-либо дополнительных предположений Трудности изучения флуктуации давления обусловлены тем, чю сопрчжечный им термодинамический параметр — объем (т 1кжс способный к флуктуациям) сложным нелинейным образом входит в функцию 1амильгона системы Ряд имеющихся в литературе попыток, предпринятых известными физиками (Фаулср [о], Вергслапд [7], Мгонстср [8), Клейн [17], Тсрлсцкии [5]) пе привел к успеху даже в простейшем случае классического перслятивистского идеального газа

Однако н последние годы наметился резкий перелом в ситуации благодаря весьма общим методам, разработанным Боголюбовым и Зубаревым и давшим ключевые подходы к проблеме флуктуаций давления

Выбор 1емы диссертации обусловлен необходимостью применения полученных общих выражений для флуктуации давления к конкретным моделям термодинамических систем (газам) Предлаюечся па этой основе провес ги 1акл<е изучение термодинамической устойчивости этих систем

Цель работы

Основная цель исследований, проведенных в настоящей диссертации, состоит в том, чтобы построить регулярную теорию возмущений для основных термодинамических реличин классического релятивистского идеального гаи в области как низких TCMnepaiyp (но, разумеется, превышающих 1емиературу квантового вырождения) в нерелятивистскои сбласти импульсов, так и высоких температур мкмвеювенно, в ультрареллтивистской области импульсов Была 1акже ностарлена цель применить к классическому релятивистскому идеальному газу метод кказиередаих Боголюбова [2] в форме теоремы Боголюбова-Зубарева (3] Обобщение этой теоремы было недавно дано в работе Рудою и Суханова [4], развившим оригинальную методику вычисления ф гсуктуаций давления

Для доС1ижения указанных целей в диссертации были поставлены следующие задачи

1 Получение динамических уравнений состояния, или конкретных выражении для динамического давления и динамической сжимаемости для классического релятивиссского идеального газа,

2 Выявление особенное той этих уравнений в предельных случаях однородных (в смысле Эйлера) выражений для функции Гамильтона,

3 Получение термодинамических уравнении сосюяния классического релятивистского идеального газа на основе общей формы статистической суммы,

4 Получение регулярных низкотемпературных (нерслягивистских) и высокотемпературных (улырареля1иьимских) разложений для термодинамических средних величин и их флуктуации,

5 Анализ влияния деформации закона дисперсии свободных реля1ивис i-ских частиц за счет не-лоренцевских слагаемых на термодинамические свойства идеального газа этих частиц

Научная новизна

Научная новизна диссертационной работы определяет' следующими

поло/копиями

1 Впервые в рамках общею подхода статистической механики Гиббса на основе ьегода квазисредних Боюлюбова н обобщу иной теоремы Боголюбова-Зубарева получены и исследованы динамические уравнения состояния, связывающие функцию Гамильтона классического релятивистского идеального 1аза с ею динамическим давлением и динамической сжимаемостпо

2 Показано, что, в огличие от ранее известного случая классическою неррчягивистсюго идеального гязч, в обпкм случае тмрушьекя прямая пропорциональность между давлением и сжимаемость1«, с одной

г троны, и зависящей ог импульсов части функции Гамильтона с дру1 ой, чго связано ( нарушением однородности (в смысле Эйлера) функции Гамильтона в про»:ежуточпой области значении импульсов

3 Показано, чю в ультрарелятнвиетской области указанная однородность и пропорциональность восстанавливаю к я и введено понятие эффективного (зависящего от импульса) показателя однородности

4 Получены и исследованы в общем виде точные выражения для ¡ермоди-намических уравнении состояния, а также получены ре1удярные разложения в низко- и высокотемпературных областях дня основных термодинамических величин, в юм числе равновесных флуктуации давления такою [аза, ко горы'» также впервые найдены в диссер!ации

5 Проведен анализ термодинамических следсший деформации обычною релятивистского закона дисперсии за счет так называемых пе-чорснцсвских слагаемых, обусловленных наличием максимальной, или плаиковскоч, эиер1чч Предсказан г принципиальная возможность наблюдения соошетствующих явлений при температурах значшельно шьке планковскои

Научная и практическая ценность

Полученные в диссертации результаты позволяют глубже понять связь функции Гамильтона системы с се тсрмодишмическими свойствами в рамках статистической механики Гиббса Приводится новый простой метод по отысканию выражении для флуктуяч,ий давления дня сингулярною потенциала отталкивания стенок Большинство существующих работ аппроксимируют

эгсн потенциал с помощью регулярных функций, и с рамках этих аппроксимаций coFppiuj.roюя предельные переходы В настоящей рабо1е не делаются аппроксимации и результаты достигаются с помощью строгого математического аппарата обобщенных функций

Подученные результаты могут быть использованы при интерпретации эьсисримепталыгьгх данных в области космических лучей сверхвысоких энергий, космологических сценариев, релятивистской ядерной физики, а также физики массивных нейтрино

На защиту выносятся следующие основные положении-

1 Па основе общего подхода статистической механчки Гиббса и метода кразиередних Боголюбова проведено комплексное пс следование динамических и термодинамических свойств классического идеального релятивистского газа и выявлены характерные особенности, отличающие ею от нереллтивистского случая

2 Получены общие выражения для основных юрмодииамических величин давления и внуфенней энергии, а также для равновесных флуктуаций лих величин, причем впервые в литературе для флуктуации давления

3 Впервые получено обобщение уравнения состояния, связывающего термодинамическое давление и внугрешною энергию, посредством введения зависящею от температуры эффективного показателя однородности

4 Впервые рассмотрены термодинамические следствия, к которым приводи! деформация обычного релятивистского закона дисперсии свободных частиц за счет так называемых нс-лоронцевских слагаемых

5 Впервые получена зависимость всех термодинамических величин классического идеального релятивистскою газа от произвольного числа трансляционных степеней свободы частицы

Апробация работы

Основные резулыдгы работы доложены на трех Всероссийских конференциях по проблемам математики, фишки и химии (физические секции) (Москва, РУДН, 2005-2007 годы), на научных семинарах па кафедре теорсшческой физики РУДН Так же эт и результаты приня гы в ка' гест ве доклада на IX Международной конференции ФССО-07, секция "Профессиональное физическое образование 2007, 4-8 июня, Санкт-Петербург, РПГУ им А И Герцена

Публикации

Осрогные результаты диссертации опубликованы в ш°сш печатные работах, список коюрых приведен в конце авюреферага

С1рукгура и обьсм диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка научных публикации автора и цитируемой литературы, а также трех приложении

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во сведении обоснована а.нуальносгь темы, рассмотрены предыдущие попытк;, решеьил замечи этой рассчятрпваолоЛ темы, сформулированы цели рабосы и области возможных приложений резул1тахов

Первая глят\> поевяшрча изложению элементов метола Гпббгя построения статистической механики классической синемы Рассмотрена макроскопическая физическая система с фиксированным числом N одинаковых частиц, нмеюпшх / посту пательы ■ < с т. пеней свободы и ограниченных непроницаемыми стенками сосуда Система находится в тепловом равновесии с термостатом при фиксированной абсолютной температуре Т = \/кцР (кп~ постоянная Больцмапа)

Предполасасгся, что система находится в классическом режиме (значительно выше температуры квантового вырождения,) и описывается функцией Гамичьтоиа #л/(д,р, а) = 11^(1', а) Здесь Г = Г, + Гр - 2/Л^-мерное фазовое пространство коордъчаг д и импульсов р всех частиц системы, а — н«бор механических внешних параметров, из коюрых мы будем рассматривать только объем V (для простоты — /-мерного куба)

Постановка и решение проблемы вычисления давления и его флук!уации (ФД) соответствует физической ситуации, когда внелней оксгснеявной обоб щепной координагоп являссся обь^м, а соо1ве1С1вующеи обобщенной силой — давление

ЭН(Г,а)

Рк(Г,а) =--—— (1)

Наряду с дипамическоЛ величиной-—давлением (1) существует еще одна отличная от пуля величина —динамическая сжимаемость ("динамическая упругость"по Гиббсу)

Согласно общим принципам статистического описания равновесных макросистем, абсолютная дисперсия давления определяется с ледующчм образом

(АРУ = Р)2 =- Р- - Р , (3)

где черта сверху обозначает операцию усреднения но функции распределения Гиббса В рамках подхода Гиббса дисперсия давления (3) определяйся соотношением (Хилл [10], Терлснкий [5])

+ (4)

где _

(п дР 1 дгФ _ 1 дФ , -—;

= w = W P=pôv ^^ i5>

Иллермическая сжимаемое 1ь и давление-- обычные термодинамические средние, а динамическая сжимаемость является га,с называемым нетермоди-иамическим средним, которое, по определению, не выражайся в ьидс производных от функции Масье-Плэмкд Ф(P,V) и должно вычислялся специальным образом Проблема сосюит в том, можно ли и если да, ю каким образом вычислить петермодиначическое среднее фу, оставаясь в рамках подхода Гиббса и не привлекая никаких дополнительных предположений

Прежде всего, необходимо ввести объем V в функцию Гамильтона таким образом, чтобы определения (1) и (2) стали содержательными Учтем, что с одной стороны обьем имеет кинематический смысл, т е ограничивает фазовое пространство Гд, с дру1 ой стороны, V имеет и динамический смысл, поскольку стенки сосуда как бы "отталкивают"все падающие них частицы, обеспечивая непроницаемость сосуда

Динамический характер объема V можно учесть добавлением к исходной функции Гамильтона неограниченной системы внешнего сингулярного потенциала 1/(Г, V) огталкчвапия частиц ненками сосуда, равного нулю всюду BHyjpii сосуда, но принимающего сколь угодно большие зиачетш вне сосуда и на поверхности ею стенок

Toi да полную функцию Гп милы она системы в ограниченном объеме следует принять равной

,а) = #(0)(Г,а) + eUv{ g), (С)

причем объем V, в отличие от друшх внешних механических параметров, входит в (6) существенно нелинейным образом, что и приводит к отличию oi нуля производных по V любого порядка

Из общих принципов равпоьесной статистической механики следует, однако, что как давление, так и сжимаемость не должны зависеть от конкретного

вида потенциала сгенок II(Г, V), по только ог вида "свободно.1"функции Гамильтона Ы^°'(Г) в пределе е = 0 в (б)

Следуя идеям меюда квазтредних Боюлюбова, целесообразно вмеето обычных дипамичесчих величин (1)11 (2) р.^ссмахривахь так назыьогмые квазидина\ч1чеекие величины, ¡г именно квазидинамическое давление

Г)= Ьш 1*>( Г)= Ьт (7)

(..—+Щ \ и у )

и квозидииамическую сжимаемость

1ЛП Ьш (В)

(с-(-0)1 дУ I (г—4 0) \ (РУ I

Оказывается, что потенциал стенок играет хотя и необходимую, но вспомо-хахельную роль и полное лью ус1 ранней я из дальнейших вычислений, оправ-дыгая приставку "квази" Однако вычисление величин (7) и (8) от функции Гамнлыона (С) бчаюдаря наличию сингулярного слагаемою С/(Г, V) не является махемагичсски корректной операцией, хак чю для ее проведения 1рсб/е1сч ыьая аиСо процедура регуляризации (в данном случае с по^ещьто статистической суммы как функционала ог Н(Г, У)

Именно указанная процедура регуляризации (см , например, [15]), сводящая и (Г, У) к о.юраюру проектирования, позволяет избежать появления аефизических результатов (а именно, бесконечных значений ФД), возникавшие ранее, например, в рабо!ах Вцмелапда [7] и Фаулера [б]

Во второй 1лапе сформулирован метод явного вычисления правых частей (7) и (8), составляющий содержание обобщенной теоремы Бохолюбова-Зубарева [3] (доказазательстго которой дано в диссертации) Определения (7) и (8) принпмаю1 вид хак называемых динамических уравнений сосюяния ДУС-1 и ДУС-П соответственно

/*»( г) - гГ(р,<1)

1

1У

дп^(р/ А, Л?)

ОХ

0)

1

5(0 (

+

(IV)2

ОН^Цг/Л, А?)

0\

+

д2Н^{р/ А, Ас?)

дХ2

(10)

Вычисляя правые част!! (9) и (10), получим явные выражения для У) и ^'\С1Л>,У), которые, как и предполагалось, определяются только

«свободной» частью функцию Гамильтона //(<7,р) и не зависят от конкретного вида «потенциала стенок» £/(Г, V) Выражения (9) и (10) определены для любых достаючно -.«гладких» функций Гамильтона Н(ц,р), а именно дважды дифференцируемых по своим аргумент.™ р и у Величина Л является параметром каноническою (сохраняющего элемент фазовою объема Л") масштабною преобразования, причем после вычисления производных еле чует всюду положить Л = 1 Для непдеальпои макроскопической сисгсмы функция Гамилыопа Н(д,р) может быть представлена б виде суммы трех сланюмых энергии покоя Еа, кинетической Ик{р) и потенциальной #л(<7) энергий В свою очередь, эти энергии обычно также являются аддитивными по всем «шеищам (Е0 и Нк(рУ) и их нарам Нп(д)) Заметим, что постоянная -энерсия Д) не дает вклада в динамические уравнения состояния системы (9) и (10) для давления и сжип^счоетч, "то ф"з"чеси вчолн^ обосновано

В ряде физически содержательных случаях обе энериш являются однородными (в смысле Эйлера) функциями своих: аргументов с показателями к и I соответственно, так что

Я(А-'р) - А-ЧЦр), Н{Хч) = Х'Н{а) (11)

Для случая (11) ДУС-1 и ДУС-И из (9) и (Ю) принимают вид соответственно

(Р, <7) =[^(Р)-/#(</)] (12)

МР.<?) = ^ПЧР></) + ^к?Н(р) -г /'#(</)

(13)

Усредняя (12) по качоническому ансамблю, приходим к ТДУС-1, имеющему смысл классической теоремы вириала

к I

= —//(,) (14)

Усредняя (13), получаем, соответственно, ТДУС-П

1 (15)

к2Н(р) + 12Н{(1)

дающее конструктивное решение проблемы вычисления ФД в рамках метода Гиббса В частности, для однородной (в смысле Эйлера) ситуации (11) негермодипамическая величина (15) линейно выражается через среднее давление (14) (термодинамическая величина согласно (5)) и среднюю кинетическую и среднюю потенциальную энергии, которые по отдельности являются нсгермоднпамическими величинами (в принятом выше смысле)

В случае идеальной динамической системы имеем, по определению,

//„(<?) = О, Ж Г) ЕЕ Н{ч,р) = Е0 + нк(р) (16)

выражения (12) и (13) для однородного случая принимают следующий простой вид

Р{Р,У) ^ ,Мк{г,У), = (17)

Д* (Ч,р, V) = ±кР(р, V) = ~к2Н, (р, V) (18)

Величина и = к// характеризует данную динамическую систему при описании се динамических и термодинамических свойств как в классическом, так и в квантовом режимах, к является своего рода «показатетем подобия» однородной системы В разделе 2 3 раесчо греп 'ючее общий случай идеального газа (10) с неоднородно!! (в смысле Эйлера) функцией Гамильтона, описывающей общин релятивистский закон связи кинетической энергии и импульса г т !/2

Я(р) = ^ + /Л(р)=[£24(ср)2] , Л(р) = £ЬЛ(р), Мр)-1 + Мр). (19)

где г скорость света г» вакууме, /¿(р) л кк{р) — безразмерные оперши

В этом случае выражения (11)- (13) (и, соответственно, (17) и (18) уже неприменимы, и для получения явного вида динамических уравнений состо-' яния слсдует вернуться к исходным выражениям (9) н (10)

Введем безразмерную переменную для которой в соответствии с (10) имеем

М0 = 1 + М?) = (1 + е)1/\ € = ср/£Ь с ЕЬ 0), Я(0 = £ЬЙ(0 (20)

Тшда вмесчо (17) и (18) получаем динамические уравнения состояния следующего гида

е»

Для //л(?>) которой обычно используются следующие приближенные выражения

(ср) ^ с р

я;ф(р) ~ при — "С 1, псрелятивистсгий(«нр»)нредел, (22)

Н1р(р) ~ ср при 2> 1, улырареля1нвистский(«ур»)предел (23) л0

Очевидно, в обоих предельных случаях (2У) и (23) кинетическая энершя является степенной и потому однородной (в смысле Эйлера) функцией импульса р с показателем однородное 1 и к, равным 2 и 1 соответственно

В третьей главе дано систематизированное изложение основных соотношений, определяющих термодинамические уравнения состояния для произвольной классической системы, в частности для классического идеально™ таза с произвольным законом дисперсии В разделе 3 2 показано, что термическим уравнением состояния во всех згих случаях является уравнение Клапейрона-Менделеева, тогда как калорическое ураггение состояния определяется конкретным видом закона дисперсии и не записиI от объема В частности, для однородных степенных законов дисперсии Нк(р) ~ р* (А — фиксированный показатель однородности) для внутренней энергии выполняете! закон о равнораспределении по степеням свободы, соктасно которому < Нк(р) >~ (//к)кпТ, однако в более общем случае неоднородных законов дисперсии этот закон нарушается

В разделе 3 3 1 записано распределение, впервые полученное Юттнером [Ч] в 1911 году для релятивистскою закона дисперсии (20) и обобщающее хорошо известные распределения Максвелла (1859 г) и Вина (1890 г) для предельных однородных случаев (22) и (23) Нами дано определение ютт-нсровских интегралов /г'"'(а) (по аналогии с максгелловскими, бозеаскими, фермиевскими и тп в статистической механике) и найдена их точная связь со все"и термодинамическими величинами, удобная для построения разложений для этих величин в пределе низких температур а = Т/То « 1 Построены 1акже рекуррентные соотношения для Ь!~пЦа) по индексу ??, выражающиеся через производные от функций Макдональдл по пе]>еменнои п

В разделе 3 3 2 показано, что все обычно используемые термодинамические величины точно выражаются через км(а) с п > —1, одчако динамическая сжимаемость, определяющая ФД, требует знания Л'"'(а) с п = — 3 и не имеет замкнуто! о аналитического выражения

Четвертая глава содержит основные результаты, касающиеся термоди-

намических следствии основных уравнений, сформулированных в глаках 1-3 В разделах 4 1 и 4 2 сформулирована регулярная теория 1 озмущений как в низкотемпературном (а >> 1), так и в высокотемпературном (а << 1) пределах

В пределе а » 1 возможны два эквивалентных способа вычислении

• использование асимптотики входящих в точные выражения функций Макдональда К(у,а), где и = (1/2)(/ — 1), причем а —> оо,

• построение разложений юттпсровских интегралов (п -любое) по степеням /г[т'(а) только с положительными тп (обычно до от = 2)

В пределе а << 1 эффективен только второй способ, поскольку в этом пределе отсу гсгвует точное аналитическое представление для статистиче< кой

суммы, н задача построения разложений дли /¿("'(а) при а —> 0 становится весьма 1 ромоздкой (см диссертации)

В обоих предельных случаях вычислены в явном виде коэффициенты разложения дли термодинамических средних (выражающихся через статистическую сумму и ее производные), а также для нетермодинамического среднею средней динамической сжимаемости, которая вместе с обычной 113огсрчи"с-ской сжимаемостью определяет флук гуации давления Новым по сравнению с уже известными результатами является отыскание зависимости коэффициентов разложений от размерности / координатной части фазового просграясша, в [9] (см также [14, 10]) всюду полагается / = 3

Для средней энергии Н(Т) = Е0 < /«(£) >= Ео + Н/,(Т) получаем

Нк(Т) « н1°\т)

г+ ¿±11: 2 Г Т0

= ^ = (24)

разумеется, Н^\Т) совпадав-! с выражением для средней кинет веской энергии нерелаiирштского ид-м. Максвелла (к — '2,ьир = 2/Л.тс

Нк{15) -- А'-Ц -ы р к

Как видчо, низшая поправка положительна, чю физически соответствует росту средней кинетической энергии юза с ростом температуры

Дифференцируя по Т выражение (24), находим дня теплоемкости Су(Т)

СИТ) = С^{ 1 + Ш с<0) ^ лн^т) = 1 (25)

Низшая по Т/То поправка к Су(Т) имеет тот же знак, что и соответствующая поправка к //л(Т) в (¿4), по с вдвое большим коэффициентом Блаюдаря чюй поправке теплоемкость 1аза приобретает температурную зависимость (в низшем приближении— лнпеппую), причем как Су(Т), так и 11Су(Т)//1Т — положительные величины, что обеспечивает выполнение условии 1ермодина-мичсскоп устойчивости системы

Рассмотрим низшую поправку к барокалорнческому уравнению сосхоя-ния — зависимоеш среднего давления Р(Т) от плогности средней кшгетиче-ской энергии Ик(Т) Поскольку при достаточно низких температурах И/,(Т) ~ Н1''(Т) ~ Т, а давление Р строю пропорционально температуре при всех У, зависимость Р^Нк) в этой области является линейной

Однако по мере повышения температуры Н^Т) в соответствии с (21) растет быстрее Т, так что линейная зависимость между Р(Т) и 'Яц(Г) может

нарушаться, из сказанного рыше ясно, что поправка к этой зависимое га будет отрицательной по знаку

Формально эту поправку можно получить, испоиьзуч барокалоричсское уравнение состояния, что дает окончательно

Р=^Е0 <кк> [1-(1/2)(1+кнр) < !гк >], Р(Н,) =

(26)

причем поправка низшего порядка по Н^/Еа к давлению в (26) имеет коэффициент, равный но величине, но противоположный по знаку коэффициенту в аналогичной поправке по Т/То к внутренней энер1 ли в (24)

В том же низшем приближении по Т/Та, что и (26), получаем флуктуации давления < {АР)2 >, 1ак чю

(27)

Откуда видно, поправка низшего порядка к флукгуациям давления имеет коэффициент Ю1 о же (отрицательного) знака, что и ап.иьл ьчп погф<.вка к давлению, и при этом втрое превосходит ее по величине

В разделе 4 2 рассмотрен вопрос термодинамической устойчивости «таза Вина» — ипсапьпого гаи безмассовых частиц {Еи = КцТо = 0, а = 0) —с точ ки зрения ее зависимости от размерности / (в [18| рассмотрен только случай ) = Для обеспечения подобной устойчивости несЧ>ходпмо, чтобы в пределе а = 0 существовали и имели конечное значение ютгнеровекпе интегралы

а), определяющие основные термодинамические величины и их флуктуации

Введя обозначение Х(п>(./\а) = а)/А<0)(/, а)„ имеем по определению

Н(/, а) = £оХ(1)(/,«). Су(/,а) = £0*{Х<2>(/, а) - и(1)(/,а)]2}

Р(/,а) = #[х(1)(Ла)-Х(-1)(/,а) 1 =

/У1 2 ] У (28)

Д.//(/, а) = ± [х(,)(/, а) - Х<-3)(/, «)],

*<">(/, а) - а- [£(/, г,, а) + п)а>+"] / [£(/, 0, а) + 5(/, 0)а'],

Высокотемпературные разложения для величин (28) с учетом низших поправочных членов по степеням а имеют вид

Средняя энергия II(f,a), Н™(Т) = Я(/, 0) ■= /к„Т

fl~5(l,0)a+[5(l,0) + (l,-l)Ja-> //(/,-) = 2,0)«2 (29)

U + I«2

Теплоемкость Cv(f,a), C¡}\T) = Cv(/,0) = fl4J

fl — [3S(1,0) + 2S(1, l)]a2 1 + S(2,0)o2 (30)

1-У

Величина ЯУР(Т) — If(f, 0) точно совпадает с выражением дня средней (кинет ичеегчои) эти рт тчт улыраррлятивистското газа Вина (А — 1, /:ур — 1//),

//*(/?) - \njkbT

к fl к

Поправка второю порядка малости по а = То/Т < 1 в форме (29) так же, как и в случае низкотемпературною разложения, положительна, что физически соответствует росту средней эпертии с увеличением -энергии покоя E<¡

Аналогично, низшая поправка по а к теплоемкости в (30) при / — 2 и 3 также имеет т торой порядок малости, отличаясь от поправки к средней энергии линч» знаком Естественно, Су' совпадает с выражением дтя теплоемкости газа Вина с к = 1, тс

CV - -NIi, - ~NfkD = сonsf h. к

и не зависит от температуры 7', j.ivictum, чю как Су(Т), ык и Л7у(7')/с/Т положительны

Давление/температура P(f,a) = кц'Г/V при всех fuá

Давление/ кинетическая энергия P(/,IIK), Рур(/, Щр) -= (кур/К)Нур

[1-5(1,-1)№,/Як№) Р(/, Як) = PylV, Н™) < 1 - 2(Ео/Щр) (31)

[(50)1 - /Н?)

Сжимаемость Д'^(/,о)

А(?(/,«) = АФУ"{1 - S(j, -3)а'} (32)

Поправки к предельному ультрарелятивистскому лтаченшо сжимаемости = 0) = (куР/К)У,ур при а = 0 начинаются с а{ и так же, как и для

1G

давления имеют отрицательный знак Таким образом, высокотемпературные поправки не нарушают термодинамической устойчивоеш системы, поскольку они, очевидно, не могут изменить знак флуктуации средней энергии (30) и средне! о давления (32)

Раздел 4 3 обобщает результаты, полученные ранее в разделах 4 1 и 12, посредством введения эффективного показателя однородности к(Т), позволяющего записать калорические уравнения состояния релятивистскою !аза в форме

EK(T) = ukBT, = = const, (33)

с заменой в ней к -> к(Т)

2>к>1, к(0) = 2, к{ оо) = 1,

dk(T) (РИТ) „ (34)

Эта запись модифицирует закон равнораспределения (33), выполняющийся для предельных случаев однородной функции Гамильтона и приводит к TeMiiepaiypnoH зависимости геилоемкосш, а именно к монотонному возрастанию (при фиксированном значении/) величины

Cv(T)/kBf « 1 /ЦТ), (35)

от значения 1 /2 ло значения 1

Аналогично, барокалорическое уравнение состояния, связывающее давление газ.* Р с внутренней энергией Ек (без учета энергии покоя) сохраняет квазилиненныи вид

р{Е-] ТУШУ (36)

и описывает убывающее поведение для низкоэпеотетичес кой ветви(Ек << Ео) и возрастающее - длч высокоэнерютической ветви (Ек >> Во) с двумя точками перегиба между "однородными"асимпготами для к — 2 и к — 1

Предлагаемый способ учета релятивистских поправок к термодинамике классического идеально! о газа Максвелла или Вина вполне аналогичен хорошо и местному способу учета квантовых поправок посредством введения эффективного числа степеней свободы f(T) В обоих случаях температурный "кроссовер"происходиг в области температур, близких к характеристической То = Еа/кц, где в нашем случае Eq - энергия покоя частицы, в частности, для безмассовых час т иц То = 0 и А (У) = 1

В разделе 4 4 дано обобщение развиваемого подхода на случай, когда закон дисперсии (19) обобщается с учетом так называемых "не-лорснцевских"

слагаемых (о возможной целесообразности их учета в об пасти сверхвысоких энергий (см , например [11-13]) В простейшем случае в улырарелягьы стскои области ср >> Е(, закон дисперсии имеет вид

е(Р) ~ 40>(Р) + 42)(Р) + ддго. (>>7)

где лорспневские слагаемые обозначены штдсеом Ь, а А— безразмерный параметр порядка 1

= = ДЬ'(р)зЛА*|£ (38)

Таким образом, в теорию идеальною классического 1азя наряду с "индчридуалынлм"парамстроч Ео входит универсальный параметр планков-екая энергия Ёр и, соответственно, планковек^я температура Тр — Т^./кц Соответственно, разло^ е"чя для тер»«одича\шч " ьич величин счачоъчпч "двух температурными" высокотемпературными по параметру Т/7ц и низкотемпературным", по нзраметру Т/Тр

Обыч1!ые(лоренцсвскяе) сниаемые обусловливают вклады в калорическое уравнение состояния, убывающие с ростом Т, тогда как не-лоренцевские — напротив, возрастающие, причем их влияние становится сущеовспиым при температурах То << Т << Тр Соответствующее изменение температурного поведения внутренней энерши и теплоемкости может наблюдайся в области, близчои к Т'ччериуре кроссовера

± ~ 14 и - Ч\ {'а*г) .

причем для безмассовых час пщ Г* = 0 при 7о = 0, тогда как, например, для протонов 7'0 = Ю^К, так что для 7р = 10"К находим Т* ~ 10,иК Очевидно, ь общем случхе Т0 << Т* << Тр, так что предполлаемое п^руии ние гюренц-симметрпи мол-ет обусловти ь энергетические и температурные аномалии при энергиях и температурах значительно ниже планковс ких, эю может представлять интерес, в частости, нри интерпретации наблюдаемых данных по космическим лучам сверхвысоких энершй (см |11-13|)

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и обсуждаются пути дпьнейшего развития рассмотренного в работе крута идей

В приложениях 1, 2 и 3 даны соотве!Ственно основные определения метода квазчередних Боголюбова, доказательство обобщенной теоремы Боголюбова-Зубарева, а также детали вывода формулы тогтгеровс ких нн!е1ралов в 1лаве 4 диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в рабо газ;

• Л1 ЮГ Рудой, II Кейта Метод квазисреднчх Боголюбова и его применение к выводу термодинамических флукгуаций давления в теории Гиббса //Сборник тезисов ХЫ Всероссийской конференции по проблемам математики, физики и химии Физические секции 2005, 1'5-22 апреля Москва, РУДН С 65

® Л2 10 Г Рудой, И Кейта Статистическая механика классического идеального газа релятивистских частиц //Сборник тезисов XL.II Всероссийской конференции тю проблемам математики, физики п хпмшч Секции физики 2006, 17-21 апреля Москва, РУДН С 4

в АЗ ЮГ Р}дои, И Кейта Потравой к гер"Эдчна>*н"ескому урмчето состояния идеального газа частиц, обусловленные нарушением лоренц-ипварнантности при высоких энерпшх //Сборник тезисов ХЫП Всероссийской конференции по проблемам магемашки, физики и химии Секции физики 2007, 23-27 апреля Москва, РУДН С 78

в А4 Ю Г Рудой, И Кента Термодинамические уравнения с »стояния классического идеального газа и их обобщение посредством "эс [)фекгнв-иых" параметров I Релятивистское обобщение//Физическое образование в вузах 2007 13, №1 С 22-36

в А5 Ю Г Рудой, И Кейта Термодинамическое давление и его флуктуации для классического идеального 1аза релятивистских части ц //Вестник Росс ун-та дружбы народов Серия "Физико-матсматиче„кие науки" 2007 Л»1 10с

• АО 10 Г Рудой, И Кейта Релятивис1ское обобщение связи д< вдения и внутренней энергии в курсе общей физики //Сборник научнг.л трудов IX Международной конференции ФССО-07 Секция "Профессгюналыгое физическое образование" 2007, 4-8 июня С -Петербург, РПГУ' им А И Герцена 4с

Список цитированной литературы

1 J W Gibbs Elementary Principles m Statistical Mechanics N Y С Scnbner's Sons, 1902 [Дж У Гиббс Основные принципы cianicm-ческои механики Серпя "Knpccnvi пэуг и rtp г англ под ред Д II Зу барева, М Наука, 1982 158 с ]

2 II Н Боголюбов Квазисреднне в ¡адачах статистической механики Пренриш ОИЯИ Д-781, ЛТФ ОИЯИ, Дубна, 1961 [см также II II Боголюбов Квазисреднне в задачах статистиче ской механики Серия "Классики науки Собрание научных трудое в 12 томах Том VI М Наука, 2006 156 с ]

3 Д Н Зубарев Неравновесная статистическая механика М Наука 1971 312 с

4 ЮГРудои, А Д Суханов Термодинамические флукгуацни в подходах Гибаса и Эйнштейна // Уопе<и физ наук 2000 170, 1Ш С 1265-2296

5 Я II Терлецкий Ссатис тическая физика 3-е изд М Высшая школа, 1991 3">0 с

6 R Н Fowler Statistical mechanics 2nd ed Cambridge, CUP, 1936

7 H WcigclanJ // Oct Kfil Norske Vidcnsk Forh 1955 28 P 106

8 A Minister Fluctuations en pression//Piiy&ica I960 ¿b P 1117-1123 |см также А Мюнстер Теория флумуаций, в сб Термодинамика необратимых процеесов, нер е ашл иод ред ДII Зубарева, М ИЛ 1962 С 36-145]

9 Г Juttncr Das Maxwclbchc Се^ t7 dcr Gcbcln.indigkeitsvcrtcilung m der Relativtborie //Annalcn d Physik 1911 31 S 856 882

10 T Хилл Статисгичеа ач механика, пер cam л под ред С В Тябликова С 123 М ИЛ, 1930 1Г5 с М , Аюмиздал, 1960 140 с

11 ДА Киржчнц, В А Чечин Космические лучи сверхвысоких энергий н возможное обобщение релчтивистскон теории //Ядерная физика -197215, выя 5 - с 1051-1058

12 Т .lacobson ct al Lorcnt7 viol if ion at high energy concepts, phenomena and astiophysical constraints //arXiv astro-ph/0505267 v 2, 2005

13 ЕВ Дсрищев, В В Кочаровскии, Вл В Кочаровский Космические ускорители для чассиц сверхвысоких -энергий / /Успехи физ наук -2007 -177, №3 -с 323-330

I'1 И Л Квасников Термодинамика и статистическая фшика Том 1 Теория равновесных ciicicm гл 2, § 8 М Изд-во МГУ 1991 768 с

15 В С Владимиров Обобщенные функции в математической физике М Наука, 1976 280 с

16 П Ландсберг Идеальные релятивистские классическиЧ н квантовый газы В кн Задачи по термодинамике и статистической физике (под ред П Ландсберга), гл 5, пер под ред И П Базарова, М Мир, 1974 С 156-164

17 М J Klein Pressure tluetuations //Physica 1900 ¿6 P 1073-1079

18 VV Glasei Zur Theorie des idealen Gaocn // Ann Jen d Physik 1935 94 S 317-328

19 Длс Л Спидол Рст?и1°истский ia-з, чер с дн^л под ред ДА. Фрзнк Каменецкого

СИ печатано в ООО «Оргссрвис—2000» Подписано в печать 26 04 07 Объем 1,25 п л Формат60хЭД/16 Тираж!00экз Заказ №26/04-5Т 115419, Москва, Орджоникидзе, 3

Введение

Глава 1. Функция Гамильтона, метод Гиббса и уравнения состояния

1.1 Динамические величины и уравнения состояния.

1.2 Средние значения и флуктуации. Леммы Гиббса.

1.3 Проблема вычисления флуктуаций давления.

1.4 Давление и сжимаемость как квазидинамические величины.

Глава 2. Динамические уравнения состояния

2.1 Обобщенная теорема Боголюбова—Зубарева

2.2 Общие выражения для систем с однородной функцией Гамильтона

2.2.1 Неидеальные системы

2.2.2 Идеальные газы.

2.3 Классический релятивистский идеальный газ.

Глава 3. Термодинамические уравнения состояния. Точные соотношения

3.1 Общие соотношения

3.2 Соотношения для классического идеального газа.

3.2.1 Общий неоднородный случай.

3.2.2 Предельные однородные случаи.

3.3 Классический релятивистский идеальный газ.

3.3.1 Общие соотношения.

3.3.2 Низкотемпературное представление. Точные формулы.

Глава 4. Приближенные термодинамические уравнения состояния классического релятивистского идеального газа

4.1 Низкотемпературное разложение.

4.2 Высокотемпературное разложение.

4.3 Эффективный показатель однородности и релятивистские поправки к термодинамическим уравнениям состояния

4.4 Деформированный (не-лоренцев) закон дисперсии и двухтемпературное разложение.

4.4.1 Модифицированный закон дисперсии.

4.4.2 Динамический анализ следствий модифицированного закона дисперсии

4.4.3 Термодинамический анализ следствий модифицированного закона дисперсии.

4.4.4 Численные оценки.

Рисунки к диссертации !.

Несмотря на прошедшие уже более ста лет с момента создания Дж. У. Гиббсом [1] классической равновесной статистической механики, многие ее задачи по-прежнему остаются актуальными для теоретической и математической физики, поскольку они или не поддаются точному решению, или вообще не имеют достаточно ясной и общепризнанной постановки.

К числу задач первого типа относится построение статистической механики идеального газа частиц с зависящей только от импульсов релятивистской функцией Гамильтона (законом дисперсии) во всем интервале значений импульсов, а к числу задач второго типа вычисление равновесных флуктуаций давления в рамках общего подхода Гиббса, причем обе задачи весьма актуальны и рассмотрены нами в данной диссертации.

Основная цель исследований, проведенных в настоящей диссертации, состоит в том, чтобы построить регулярную теорию возмущений для основных термодинамических величин классического релятивистского идеального газа в области как низких температур (но превышающих температуру квантового вырождения) в нерелятивистской области импульсов, так и высоких температур соответственно, в ультрарелятивистской области импульсов.

Знание термодинамических свойств релятивистских газов необходимо для ряда практических приложений, прежде всего применительно к астрофизическим явлениям например, космическим лучам сверхвысоких энергий. Кроме того, эти результаты актуальны для релятивистской ядерной физики например, при анализе термодинамической устойчивости фаейерболов, "адронных мешков"и т.п. феноменологических моделей. Наконец, поправки в ультрарелятивистской области импульсов и/или температур необходимы при анализе физических свойств идеального газа легких (но принципиально не безмассовых) частиц например, некоторых видов нейтрино. к

Проблема флуктуаций в физических системах в состоянии теплового равновесия приобрела значительную актуальность в связи с активным изучением мезо- и микроскопических систем и разработке на их основе на-нотехнологий. Знание флуктуаций дает основу для изучения термодинамической устойчивости этих систем как тепловой, так и механической. Особый интерес представляют весьма мало изученные флуктуации давления (ФД), определяющие — наряду с флуктуациями энергии — термодинамическую устойчивость любой физической системы, объем которой ограничен извне твердыми стенками.

Длительное время проблема вычисления флуктуаций давления не имела последовательного решения в рамках подхода Гиббса или нуждалась в привлечении каких-либо дополнительных предположений. Трудности изучения флуктуаций давления обусловлены тем, что сопряженный им термодинамический параметр — объем (также способный к флуктуациям) сложным нелинейным образом входит в функцию Гамильтона системы. Ряд имеющихся в литературе попыток, предпринятых известными физиками (Фаулер [5], Вергеланд [6], Клейн [7], Мюнстер [4], Терлецкий [2]), не привел к успеху даже в простейшем случае классического нерелятивистского идеального газа.

В соответствии с перечисленными общими проблемами, в диссертации были поставлены следующие конкретные задачи:

1. Получение динамических уравнений состояния для динамического давления и динамической сжимаемости для классического релятивистского идеального газа.

2. Выявление особенностей этих уравнений состояния в предельных случаях однородных (в смысле Эйлера) выражений для функции Гамильтона.

3. Получение термодинамических уравнений состояния классического релятивистского идеального газа на основе общего вида статистической суммы.

4. Получение регулярных низкотемпературных (нерелятивистских) и высокотемпературных (ультрарелятивистских) разложений для термодинамических средних величин и их флуктуаций.

5. Анализ влияния деформации закона дисперсии свободных релятивистских частиц за счет не-лоренцевских слагаемых на термодинамические свойства идеального газа этих частиц.

В соответствии с перечисленными выше целями и задачами диссертация построена следующим образом. В главе 1 кратко формулируются основные элементы метода статистической механики Гиббса, причем особый акцент сделан на вычисление не только средних значений, но и флуктуаций основных динамических величин (раздел 1.2). В разделе 1.3 изложены трудности, связанные с имевшимися ранее в литературе попытками нахождения флуктуаций давления.

Особое внимание уделяется корректному введению в метод Гиббса квазидинамических понятий объема, давления и сжимаемости (раздел 1.4), которое опирается на идеи метода квазисредних Боголюбова [8] (его краткое описание дано в Приложении 1).

В главе 2 приведена обобщенная теорема Боголюбова—Зубарева [10] (доказательство, полученное в работе Рудого и Суханова [3], находится в Приложении 2) и дано ее приложение к получению динамических уравнений состояний для классического релятивистского идеального газа (КРИГ)(раздел 2.3), а также дан анализ предельных случаев, соответствующих однородным (в смысле Эйлера) законам дисперсии (раздел 2.2). Обобщенная теорема Боголюбова—Зубарева [3, 8, 10] позволяет получить выражение для динамического давления и его флуктуаций через первые и вторые производные от функции Гамильтона. Поэтому при вычислении температурных средних значений этих величин удается в противоположность высказанному ранее мнению ряда авторитетных исследователей [2, 4, 5, 6] полностью оставаться в рамках канонического подхода Гиббса.

Глава 3 посвящена получению термодинамических уравнений состояния, или равновесных средних значений динамических величин, а также их флуктуаций как в общем виде, так и конкретно для КРИГ в предельных однородных случаях (раздел 3.2.2) и в общем неоднородном случае (раздел 3.2.1). В разделах 3.1 и 3.2 рассмотрены наиболее важные и употребительные виды уравнений состояния (УС) для классического идеального газа с произвольным законом дисперсии.

Наряду со средними значениями внутренней энергии и давления релятивистского газа в диссертации рассмотрены (раздел 3.2) также и флуктуации этих величин: теплоемкость при постоянном объеме и средняя динамическая сжимаемость, причем последняя величина получена нами для КРИГ впервые. Существенно, что средняя сжимаемость относится к числу так называемых нетермодинамических средних, которые в отличие от обычных средних не могут быть получены посредством дифференцирования найденной для системы статистической суммы и требуют специального вычисления.

В разделе 3.1 показано, что термическое УС всегда имеет вид уравнения Клапейрона—Менделеева и устанавливает линейную связь между давлением и температурой. Показано также, что в отличие от термического УС калорическое и барокалорическое УС устанавливают линейную связь между внутренней энергией и температурой (и, соответственно, давлением и внутренней энергией) только в предельных случаях однородного (в смысле Эйлера) вида зависящей только от импульсов функции Гамильтона. В разделе 3.3.1 все полученные термодинамические соотношения конкретизируются для случая КРИГ, а в разделе 3.3.2 приведены точные формулы, удобные для построения низкотемпературных разложений.

В главе 4 на основе общих выражений, полученных в главе 3, построены низко- и высокотемпературные разложения (разделы 4.1 и 4.2) для термических и калорических величин, а также для их равновесных тепловых флуктуаций. По аналогии с обычным, или фиксированным, показателем однородности для закона дисперсии, в диссертации введено и использовано (раздел 4.3) понятие эффективного, или зависящего от температуры, показателя однородности. Это понятие позволяет интерполировать барокалорическое уравнения состояния КРИГ в промежуточную область температур, сохраняя его привычный квазилинейный вид. Кроме того, эффективный показатель однородности оказывается весьма простым образом связан с теплоемкостью КРИГ и потому может быть определен экспериментально.

Важное значение для построения статистической механики КРИГ имеет раздел 4.4, где для КРИГ строится "двухтемпературное"разложение; оно обусловлено появлением в теории свободного квантового поля дополнительного энергетического (и, следовательно, температурного) параметра, который описывает возможное нарушение лоренц-инвариантности указанной теории. Ранее неизвестным в литературе является проведенный в разделе 4.4 анализ термодинамических следствий "деформации"обычного релятивистского закона дисперсии за счет так называемых не-лоренцевских слагаемых.

Предполагаемое (см., например, [21-23]) нарушение лоренц-симметрии очень мало, поскольку оно определяется отношением энергии частицы к энергии Планка. Однако, как показано в диссертации (разделы 4.4.3), это нарушение может оказывать влияние на термодинамические свойства газа при значительно меньших (по сравнению с планковскими) энергиях и температурах. В частности, этим обстоятельством обусловлены возможные практические приложения полученных в диссертации результатов (разделы 4.4.4), прежде всего к астрофизическим явлениям например, космическим лучам сверхвысоких энергий.

Аналогично, барокалорическое уравнение с эффективным показателем однородности может найти применение в ряде космологических моделей в рамках общерелятивистских теорий гравитации. Кроме того, результаты диссертации могут быть использованы в релятивистской ядерной физике например, при анализе термодинамической устойчивости фаейер-болов, "адронных мешков"и т.п. феноменологических моделей.

Наконец, рассчитанные в диссертации поправки в ультрарелятивистской области импульсов и/или температур (с учетом также не-лоренцевских слагаемых) могут быть полезны при анализе физических свойств идеального газа легких, в том числе безмассовых, частиц например, фотонов и различных видов нейтрино.

Основные результаты работы доложены на трех Всероссийских конференциях по проблемам математики, физики и химии (физические секции) (Москва, РУДН, 2005-2007 годы), на научных семинарах на кафедре теоретической физики РУДН. Также эти результаты приняты в качестве доклада на IX Международной конференции ФССО-07. Секция "Профессиональное физическое образование". 2007, 4-8 июня. Санкт-Петербург, РПГУ им. А.И. Герцена

Основные результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка научных публикаций автора и цитируемой литературы, а также трех приложений.

выводы

В заключении диссертации сформулированы основные результаты диссертации:

1. На основе общего подхода статистической механики Гиббса и метода квазисредних Боголюбова проведено комплексное исследование динамических и термодинамических свойств классического идеального релятивистского газа и выявлены характерные особенности, отличающие его от нерелятивистского случая.

2. Получены общие выражения для основных термодинамических величин давления и внутренней энергии, а также для равновесных флук-туаций этих величин, причем впервые в литературе для флуктуаций давления.

3. Впервые получено обобщение уравнения состояния, связывающего термодинамическое давление и внутреннюю энергию, посредством введения зависящего от температуры эффективного показателя однородности.

4. Впервые рассмотрены термодинамические следствия, к которым приводит деформация обычного релятивистского закона дисперсии свободных частиц за счет так называемых не-лоренцевских слагаемых.

5. Впервые получена зависимость всех термодинамических величин классического идеального релятивистского газа от произвольного числа трансляционных степеней свободы частицы. on

Научная новизна

Научная новизна диссертационной работы определяется следующими положениями:

1. Впервые в рамках общего подхода статистической механики Гиббса на основе метода квазисредних Боголюбова и обобщенной теоремы Боголюбова—Зубарева получены и исследованы динамические уравнения состояния, связывающие функцию Гамильтона классического релятивистского идеального газа с его динамическим давлением и динамической сжимаемостью.

2. Показано, что, в отличие от ранее известного случая классического нерелятивистского идеального газа, в общем случае нарушается прямая пропорциональность между давлением и сжимаемостью, с одной стороны, и зависящей от импульсов части функции Гамильтона с другой, что связано с нарушением однородности (в смысле Эйлера) функции Гамильтона в промежуточной области значений импульсов.

3. Показано, что в ультрарелятивистской области указанная однородность и пропорциональность восстанавливаются и введено понятие эффективного (зависящего от импульса) показателя однородности.

4. Получены и исследованы в общем виде точные выражения для термодинамических уравнений состояния, а также получены регулярные разложения в низко- и высокотемпературных областях для основных термодинамических величин, в том числе равновесных флуктуаций давления такого газа, которые также впервые найдены в диссертации.

5. Проведен анализ термодинамических следствий деформации обычного релятивистского закона дисперсии за счет так называемых не-лоренцевских слагаемых, обусловленных наличием максимальной, или планковской, энергии. Предсказана принципиальная возможность наблюдения соответствующих явлений при температурах значительно ниже планковской.

Научная и практическая ценность

Полученные в диссертации результаты позволяют глубже понять связь функции Гамильтона системы с ее термодинамическими свойствами в рамках статистической механики Гиббса. Приводится новый простой метод по отысканию выражений для флуктуаций давления для сингулярного потенциала отталкивания стенок. Большинство существующих работ аппроксимируют этот потенциал с помощью регулярных функций, и в рамках этих аппроксимаций совершаются предельные переходы. В настоящей работе не делаются аппроксимации и результаты достигаются с помощью строгого математического аппарата обобщенных функций.

Полученные результаты могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных в области космических лучей сверхвысоких энергий, космологических сценариев, релятивистской ядерной физики, а также физики массивных нейтрино.

1. J. W. Gibbs. Elementary Principles in Statistical Mechanics. N. Y.: C. Scribner's Sons, 1902. Дж. У. Гиббс. Основные принципы статистической механики. Серия "Классики науки", пер. с англ. под ред. Д. Н. Зубарева, М.: Наука, 1982. 158 е.]

2. Я. П. Терлецкий. Статистическая физика. 3-е изд., М.: Высшая школа. 1994,350 стр.

3. Ю. Г. Рудой, А. Д. Суханов. Термодинамические флуктуации в подходах Гиббса и Эйнштейна. //Успехи физических наук, т. 170, вып. 12, 2000, с.1265-1296

4. A. Munster. Fluctuations en pression //Physica 1960. 26. P.1117-1123. См. также А.Мюнстер. Теория флуктуаций, в сб. Термодинамика необратимых процессов, пер. с англ. под ред. Д.Н.Зубарева, М.: ИЛ. 1962. С. 36-145.

5. R. Н. Fowler. Statistical Mechanics. 2nd ed., Cambridge: Cambridge University Press, 1936.6J H. Wergeland. // Det. Kgl. Norske Vidensk. Forh. 1955 28. P. 106.

6. M. J. Klein. Pressure fluctuations //Physica 1960. 26. P. 1073-1079.

7. H. H. Боголюбов. Квазисредние в задачах статистической механики. Препринт ОИЯИ Д-781, ЛТФ ОИЯИ, Дубна, 1961.

8. См. также Н. Н. Боголюбов. Квазисредние в задачах статистической механики. Серия "Классики науки", Собрание научных трудов в 12 томах. Том VI. М.: Наука, 2006. 156 с.

9. В. С. Владимиров. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976. 280 с.

10. Д. Н. Зубарев. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971. 312 с.

11. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Статистическая физика 4.1. Изд 3-ье. М.:Наука, 1976. 583 с.

12. И. А. Квасников. Термодинамика и статистическая физика. Том 1. Теория равновесных систем, гл. 2, § 8. М.: Изд-во МГУ. 1991. 768 с.

13. F. Juttner. Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie //Annalen d. Physik 1911. 34. S. 856-882.

14. F. Juttner. Die relativistische Quantentheorie des idealen Gases // Ann. d. Phys., 1928, V. 47, S. 542-566.

15. W. Glaser. Zur Theorie des idealen Gasen // Annalen d. Physik 1935. 94. S. 317-328.

16. X. -Г. Шёпф. От Кирхгофа до Планка., М.: Мир, 1981. 190 с.

17. П. Ландсберг. Идеальные релятивистские классический и квантовый газы. В кн. Задачи по термодинамике и статистической физике (под ред. П. Ландсберга), гл. 5, пер. под ред. И.П. Базарова, М.: Мир, 1974. С. 156-164.

18. В. А. Диткин, А. П. Прудников. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматлит, 1961. 524 с.

19. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. М.: ГИТТЛ, 1953. 379 с.

20. Т. Хилл. Статистическая механика, пер. с англ. под ред. С.В. Тябли-кова. С. 123. М.: ИЛ, 1960. 485 с.

21. Д. А. Киржниц, В. А. Чечин. Космические лучи сверхвысоких энергий и возможное обобщение релятивистской теории //Ядерная физика. -1972.-15, вып. 5 с. 1051-1058

22. Т. Jacobson. et al. Lorentz violation at high energy: concepts, phenomena and astrophysical constraints.//arXiv: astro-ph/0505267 v. 2, 2005.

23. E. В. Дерищев, В. В. Кочаровский, ВЛ. В. Кочаровский. Космические ускорители для частиц сверхвысоких энергий //Успехи физ.наук.-2007.-177, №3.-с.323-330

24. Дж. Л. Синдж. Релятивистский газ, пер. с англ. под ред. Д.А. Франк Каменецкого. М., Атомиздат, 1960. 140 с.