Статистическая механика системы вихрей в тонких сверхпроводящих пленках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ



Институт Физики Высоких давлений им. Л.Ф. Верещагина Российской Академии наук

Статистическая механика системы вихрей в тонких сверхпроводящих пленках

Специальность: 01.04.07 - Физика твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Ирз Денис Юрьевич

Научный руководитель д.ф.-м.н. Е.Е.Тареева

Троицк - 1999

Оглавление

1. Введение 2

2. Статистическая механика: представление через континуальный интеграл 13

1. Статистическая механика кулоновских систем..............13

2. Представление статсуммы при помощи континуального интеграла ............................................................23

3. Диаграммное разложение по степеням активности.....28

4. Разложение ио плотности........................................32

3. Вихри в тонкой сверхпроводящей пленке: уравнения Гинзбурга-Ландау 42

1. Уравнения Гинзбурга-Ландау для пленки конечной толщины 42

2. Конечность размера кора вихря................................47

4. Вихри в тонкой пленке: модель и статистическое описание. 58

1. Модель системы вихрей в тонкой пленке......................58

2. Вычисление статсуммы системы в пределе бесконечно тонкой пленки........................................................62

3. Влияние изгиба вихрей..........................................65

4. Учет конечности размера ядра вихря.............71

5. Обсуждение результатов 76

1. Пример эксперимента с реальной тонкой сверхпроводящей пленкой............................................................76

2. Выражение для плотности свободных вихрей........76

6. Заключение 94

7. Список основных публикаций по теме диссертации 97 Список литературы 98

1. Введение

Хорошо известно, что в фазовой диаграмме сверхпроводников второго рода имеется состояние, называемое смешанным. В этой фазе образец находится в сверхпроводящем состоянии, однако в него может проникать магнитное поле. Возможность такого состояния была впервые предсказана Абрикосовым в 1957 году [1], и в дальнейшем была подтверждена на эксперименте.

Оказалось, что магнитное поле проникает в сверхпроводящий образец в виде вихрей, каждый из которых несет в себе один квант магнитного потока. Обнаруженные вихревые решения уравнений Гизбурга-Ландау для случая массивного сверхпроводника получили название Абри-косовских вихрей. Результат, полученный Абрикосовым привлек внимание по двум причинам: с точки зрения физики конденсированного состояния это было предсказание неизвестного до тех пор состояния вещества. Вместе с тем, полученный результат являлся самоценным и с математической точки зрения: было получено топологически нетривиальное (то есть солитонное) решение системы нелинейных уравнений Гинзбурга-Ландау, широко применяемых в теоретической физике.

Начальной точкой развитой в 1950 году теории Гинзбурга-Ландау (ГЛ) [2] является свободная энергия ГЛ, в которой роль переменного параметра играет волновал функция ф сверхпроводящих электронов. Основная идея теории ГЛ состоит в минимизации свободной энергии относительно волновой функции ф и магнитного поля Н. В отсутствие тока волновая функция является постоянной в пространстве, причем ее абсолютное значение равно нулю для нормальной фазы и отлично от нуля в сверхпроводящей фазе. В свою очередь, как это хорошо известно, магнитное поле Н отлично от нуля лишь в нормальной фазе, в то время как в сверхпроводящей фазе оно отсутствует. Как было показано в первых работах еще Гинзбургом и Ландау, на границе сверхпроводящей и нормальной фаз наблюдается некоторое переходное состояние, в котором волновая функция и магнитное поле изменяются от ненулевого значения до нуля. Характерным масшатабом, на котором измененяется волновая функция является £ - длина когерентности, а характерным масштабом для изменения магнитного поля является Л - глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник. Оба эти парметра являются основными параметрами теории ГЛ. Эти величины можно измерить на эксперименте, а можно получить и из микроскопической теории [3]. В оригинальной работе [2], Гинзбург и Ландау полагали, что А -С благодаря чему они получили положительное значение энергии единицы поверхности границы между сверхпроводящей и нормальной фазами. Это было справедливо для известных тогда сверхпроводников. В работе [1] Абрикосов предположил существование в природе материалов с £ А.

В результате им было получено отрицательное значение для энергии разделения фаз. Кроме того, линеаризовав подходящим образом уравнения. Абрикосов получил решение в виде изолированного вихря. Вихрь представляет собой область пространства, в которой вокруг нормального (не сверхпроводящего) кора размера порядка циркулирует сверхпроводящий ток. Магнитное поле проникает в сверхпроводящую фазу на глубину порядка Л, причем магнитный поток, который переносится одним вихрем, равен одному кванту магнитного потока '~р0 в сверхпроводящей фазе.

Абрикосовские вихри оказались объектом интересным как для теоретиков. так и для экспериментаторов, работающих в области сверхпроводимости. в связи с чем сразу после работы Абрикосова появилось большое количество работ, посвященных исследованию как общих свойств сверхпроводников второго рода, так и отдельно свойств вихрей. Сильный толчок получили исследования свойств вихревых решений уравнений Гинзбурга-Ландау в образцах с различной геометрией [4]. Так например были исследованы свойства вихря, расположенного перпендикулярно границе сверхпроводящей фазы [5], найдено решение для вихря в тонкой (¿(-образной) пленке [6], исследована форма вихря вблизи границы пленки [7]. Чен и Ценг исследовали взаимодействие вихрей с примесями [8], Буздин и Фейнберг решали уравнения для случая вихрей в слоистых структурах [9]. Также опубликовано большое количество работ, посвященных исследованию формы нормального кора вихря путем численного решения нелинейных уравнений (см. например [10]).

Оказалось, что в сверхпроводниках второго рода вихри образуют треугольную двумерную решетку, которая разрушается в магнитном поле, превышающем некоторое критическое значение Яс2. Можно также определить взаимодействие между вихрями, которое оказалось экспоненциально убывающим на больших расстояниях для случая массивных сверхпроводников. Для случая же тонких пленок, подробно исследованного Пирлом и Клемом [6, 11], определяющим масштабом длины оказалась некоторая эффективная двумерная глубина проникновения Л = 2\2 / ¿. Собственная энергия вихря оказалась пропорциональной 1п(Л/£), а взаимодействие между вихрями - логарифмическим на расстояниях меньших Л, и убывающим обратно пропорционально растоянию на масштабе г > Л. К началу 80-х годов Абрикосовкий вихрь практически стал классическим примером солитонного решения уравнений Гинзбурга-Ландау [12].

Очередной всплеск интереса к вихрям в сверхпроводниках второго рода возник с открытием высокотемпературной сверхпроводимости. Оказалось, что сверхпроводимость второго рода является типичным свойством для ВТСП. Вместе с тем выяснилось, что благодаря высокой температуре сверхпроводящего перехода в ВТСП, у сверхпроводников

проявляются новые свойства связаные с Абрикосовской решеткой. Так например оказалось, что решетка вихрей при определенной температуре может начать плавиться, образуя другие - менее упорядоченные фазы. К таким фазам следует прежде всего отнести жидкость вихрей, а также связанные с наличием случайных примесей вихревое стекло (Vortex-glass) [13] и, предсказанные Нельсоном и Винокуром, стекла Бозе (Bose-glass) [14]. Для вихревого стекла основным свойством является фиксирование вихрей отдельными точечными примесями в случайных местах. В стекле Бозе примеси предполагаются цилиндрическими, так что вихри крепятся к центрам пиннинга вдоль участков значительной длины.

Еще одной особенностью многих высокотемпературных сверхпроводников таких как Bi2Sr2CaCu208 или TI2BCL2CаСщОз является их слоистая структура. Благодаря этому свойства вихрей в значительной степени определяются величиной внешнего магнитного поля. Так например в отсутствие магнитного поля и при достаточно высоких температурах [15], температурные флуктуации ослабляют или даже полностью разрушают Джозефсоновское связывание между сверхпроводящими слоями, так что система становится двумерной или квазидвумерной в том смысле, что различные слои можно считать независящими друг от друга двумерными системами. Каждую из таких систем можно рассматривать как сверхпроводящую пленку, содержащую двумерные вихри.

Решение уравнений Гинзбурга-Ландау для тонкой пленки представляет собой достаточно сложную проблему. Сложность задачи связана в значительной степени с нелинейностью уравнений. Прежде всего, следует заметить, что используемые обычно приближения справедливы в области больших (г А) расстояний от центра вихря [11]. При этом кор вихря предполагается бесконечно тонким, что неизбежно приводит к неопределенности собственной энергии вихря и к сингулярности межвихревого взаимодействия на малых расстояниях. На практике для того, чтобы оценить энергию вихря, при вычислении соответствующего выражения прибегают к обрезанию расходимости в центре вихря и добавлению слагаемого, соответствующего энергии конденсации внутри нормального кора. Размер кора предполагается равным по порядку величины длине когерентности £ теории Гинзбурга-Ландау (подробнее об этом см. главу 3 настоящей работы). Тем самым, выражение для собственной энергии вихря оказывается зависящим от некоторого вариационного параметра, характеризующего реальный размер кора. Как показано в главе 5, от этого параметра могут зависеть не только количественные термодинамические характеристики системы в целом, но и качественный вид наблюдаемого в системе фазового перехода.

Потенциал взаимодействия частиц, расходящийся на малых расстояниях, хотя и является типичным свойством для рассматриваемых в

статистической физике систем, в данном случае, очевидно, не является физически вполне корректным. Энергия взаимодействия вихрей при их приближении на малые расстояния определяется не только электромагнитным взаимодействием токов, но и энергией взаимодействия нормальных коров (то есть волновых функций ф{г) на границе нормальной и сверхпроводящей фаз). В самом деле, при взаимном приближении вихрей их, строго говоря, нельзя считать независимыми частицами. Вместо этого необходимо исследовать уравнения Гинзбурга-Ландау для системы в целом, рассматривая пару вихрей как единое решение уравнений. Потенциал взаимодействия вихрей при этом представляет собой энергию пары вихрей как функцию расстояния между их центрами.

В главах 3 и 4 предложено качественное решение этой проблемы основанное на модификации потенциала взаимодействия на малых расстояниях. При этом, в отличие от других работ, использующих аналогичный метод, в данном случае, благодаря предложенному в главе 4 критерию, связывающему энергию взаимодействия и собственную энергию вихря, не возникает дополнительного параметра, определяющего взаимодействие на малых расстояниях.

Другим явлением, которое может оказать влияние на термодинамические свойства системы, является изгиб вихревых нитей. Это явление хорошо изучено в случае массивного образца, где, как отмечено выше, оно порождает новые фазы. Теоретическое рассмотрение "мягких" вихрей основывается на аналогии выражения для свободной энергии вихрей с Фейнмановской формулировкой квантовой механики посредством континуальных интегралов [16]. В случае достаточно тонкой пленки с1 -С А изгиб вихрей даже в нулевом магнитном поле должен быть незначителен. Это открывает возможность для упрощения техники, развитой для случая массивного сверхпроводника. Для этого достаточно применить к свободной энергии аналог квазиклассического приближения. Это сделано в главе 4, где получена поправка к свободной энергии пленки, обусловленая изгибом вихревых нитей. С учетом метода, при помощи которого этот результат получен, эту поправку мы будем называть "квазиклассической". Однако оказалось, что для большинства пленок эта поправка слишком мала и не оказвает существенного влияния на термодинамические свойства реальных пленок. Этот результат является вполне ожидаемым для пленок, толщина которых меньше длины когерентности, так как именно длиной когерентности определяется возможность изгиба вихрей. Вместе с тем, возможно существование достаточно толстых пленок, для которых эта поправка может оказаться существенной.

Тонкие сверхпроводящие пленки интересны не только благодаря слоистой структуре ВТСП, но и благодаря тому, что они представляют собой возможность для теоретического, и, что особенно важно, экспе-

риментального изучения двумерных систем. Для многих пленок интервал температур, в котором они находятся в смешанном (вихревом) состоянии достаточно велик, так как магнитное поле, перпендикулярное поверхности пленки, проникает в нее даже при достаточно низких температурах [17]. Кроме того, интересным свойством пеленок оказался тот факт, что во многих случаях в них даже при отсутствии магнитного поля, возможно зарождение пар вихрь-антивихрь. Такие пары могут зарождаться на правах термодинамических флуктуаций благодаря тому, что при достаточно малом размере пары ее энергия оказывается сравнимой с тепературой в ВТСП. Все это позволяет рассматривать систему вихрей в тонкой сверхпроводящей пленке, как объект для изучения процессов, происходящих в двумерных системах.

Как уже упоминалось выше, в случае тонкой пленки решение уравнений ГЛ дает логарифмическое взаимодействие между вихрями вплоть до достаточно больших расстояний порядка двумерной глубины проникновения А. В связи с этим система двумерных вихрей часто рассматривается как двумерный кулоновский газ, то есть система частиц на плоскости, взаимодействующих по логарифмическму закону. Интерес к физике кулоновского газа в двух измерерниях велик благодаря тому, что именно в этой системе имеет место специфический переход типа металл-изолятор, называемый переходом Березинского-Костерлица-Таулеса, впервые предсказанным в работах [18, 19, 20].

Фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулеса (БКТ) играет важную роль в теории упорядочивания двумерных систем с непрерывной симметрией. Существует большое количество таких систем: пла-нарные магнетики [18], двумерные кристаллы [21], массивы Джозефсо-новских контактов, сверхтекучие и сверхпроводящие пленки, и.т.д. Эти системы при низких температурах образуют упорядоченную (или квази-упорядоченную) фазу, характеризующуюся корреляциями, спадающими на больших расстояниях по степенному закону. Однако, при повышении температуры, (квази-) дальний порядок разрушается из-за диссоциации пар, которая происходит при фазовом переходе БКТ. В интересующем нас случае, вихри, которые при достаточно большой температуре образуют неупорядоченную жидкость, при понижении температуры спариваются и образуют вихревые пары вихрь-антивихрь. Как и всякий фазовый переход, фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулеса может исследоваться различными методами классической статистической физики.

Статистическая механика кулоновских систем в двух и трех измерениях представлет собой важную часть классической статистической физики [22, 23]. Еще в начале века, Дебаем и Хюккелем [24] были получены результаты для свободной энергии равновесной кулоновской плазмы в трех измерениях. Позднее эта теория была модифицирована Бьерру-

мом [25] и применена Фишером [26] для анализа критических свойств кулоновских систем.

С точки зрения статистической физики проблема состоит в том, что кулоновский потенциал в трех измерениях убывает достаточно слабо, так что стандартным образом вычисляемые вириальные коэффициенты оказываются расходящимися. В связи с этим для вычисления свободной энергии используется так называемое кольцевое приближение, при котором для сумирования выбирается определенная последовательность диаграмм. Преимущества и недостатки различных методов вычисления свободной энергии кулоновского газа обсуждаются в главе 2.

Для случая двух измерений проблема оказывается еще более сложной из-за того, что Кулоновский потенциал при d = 2 логарифмически возрастает на бесконечности. Благодаря этому даже интегралы, получающиеся для свободной энергии в кольцевом приближении, расходятся. В связи с этим, для теоретического рассмотрения перехода БКТ в двумерном кулоновском газе, как правило, используется ренормгрупповой подход [27]. Этот метод позволяет предсказать температуру перехода и описать поведение плотности свободных частиц в системе в области высоких температур. В ренормгрупповом подходе существенным образом используется строго логарифмический вид потенциала взаимодествия частиц. Это значит, что его невозможн�