Статистические и экстремальные свойства цепных дробей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Список обозначений.

Введение

Глава I. Задача В.И. Арнольда

§1 Таблицы Евклида.

§2 Соответствие Хейльбронна.

§3 Вспомогательные преобразования.

§4 Применение оценок сумм Клостермана.

§5 Применение преобразования Абеля.

§6 Асимптотическая формула для задачи В.И. Арнольда

Глава II. Теорема Валена

§1 Локальные минимумы полных решеток.

§2 Теорема Валена для двумерных решеток

§3 Минимальные базисы и матрицы

§4 Теорема Валена для приведенных матриц первого типа

§5 Теорема Валена для приведенных матриц второго типа

§6 Теорема Валена для минимальных базисов и совместных приближений.

Напомним (см. [1]), что иррациональному числу а соответствует разложение в бесконечную цепную дробь а = (0.1) в том смысле что а = lim[i0;fi,. i—*oo

Пусть ап = [0;Jn+i,£n+2,.] и х G [0,1]. Обозначим через Fn(x) меру множества всех иррациональных чисел а, для которых ап ^ х. Из переписки Гаусса с Лапласом известно, что он доказал теорему, в силу которой limFn(x)=log2(l + x) = 1°g1(1'ia:). n-юо log 2

Доказательство Гаусса не было опубликовано. И только в 1928 году появилась работа P.O. Кузьмина (см. [1]) с доказательством асимптотической формулы

Fn(x) = log2(l + х) + 0(е-Лу/"), где Л некоторая абсолютная положительная константа.

Более сильный результат в этом направлении получил французский математик П. Леви (1929г). Последнюю точку поставил К.И. Бабенко (1978, [2]). Он доказал существование бесконечной убывающей к нулю последовательности чисел с и соответствующей последовательности аналитических функций фк{х), для которых оо ад = iog2(i+х)+Фк{х)\пк. к=1

При этом Ai = —0.30366---

В 1935 году А.Я. Хинчин (см. [1]) доказал следующий результат.

Пусть /(г) — неотрицательная функция натурального аргумента г, и пусть существуют такие положительные постоянные С и 8', что

Тогда для всех иррациональных чисел а из интервала (0,1) с разложением (0.1), за исключением самое большее множества меры нуль,

Отсюда легко следует, что для любой интегрируемой по Риману функции g : [0,1] С и ак = [0; tk+i, tk+2,. ]

Для функции g, совпадающей с характеристической функцией отрезка [0, х] в [0,1], это равенство приобретает вид

В работе [3] Хейльбронн впервые исследовал подобного рода вопросы для конечных цепных дробей. В частности, он доказал асимптотичег) < CV1/2"S (г = 1,2,.).

0.2) скую формулу

Y.^Ha/d) = iflog (l + щ^зу) dlogd + O (dcrlM). (0.3)

Позднее, Портер [4] выделил второй главный член в (0.3) с оценкой остаточного как 0£(d5/6+£) для любого е > 0.

Аргументы Хейльбронна [3] и Портера [4] позволяют доказать асимптотическое равенство

У) sx{a/d) = ^\og{l+x)d\ogd + 0(d), (0.4) z—' 7Г равномерное по х 6 [0,1]. Поскольку sw(r) = si(r)-si(r), то из (0.4) непосредственно следует результат Хейльбронна (0.3).

В связи с проблемой "малых знаменателей" в небесной механике и теорией динамических систем, В.И. Арнольд (см. [5]) сформулировал задачу об асимптотическом поведении суммы

NX(R) = Y1 a2+d2^R2 a,deN при Д —► оо. Ее можно переписать в виде

J2 sx(a/d).

Isbd<R 1 ^a^VR2-d2

Мы не можем вычислить внутреннюю сумму с помощью (0.4), поскольку а пробегает отрезок, длина которого, вообще говоря, не кратна d. В работе [б] эта трудность была впервые преодолена с помощью оценок сумм Клостермана. При этом существенно использовалось внешнее усреднение по d. Чуть позднее, в работе [7], была доказана асимптотическая формула

-А

Nx{R) = -\og(l + x)R2\o%R + 0{R2).

7Г

0.5)

В ней оценка остаточного члена на \/log R лучше по сравнению с [6].

Поскольку количество дробей a/d с а2 + d2 ^ R2 асимптотически равно то среднее значение длины цепной дроби s(a/d) в рассматриваемой области (при х = 1) ведет себя как

Кроме того, в качестве следствия получается асимптотическое выражение для относительной частоты встречаемости натурального к в качестве неполных частных рассматриваемых цепных дробей. Полное и подробное доказательство асимптотической формулы (0.5) излагается в главе

1. Хинчин А.Я. Цепные дроби J J Москва, 1978, С.111.

2. Бабенко К.И. Об одной задаче Гаусса. // ДАН СССР, 1978, Т.238, №5, С.1021-1024.

3. Heilbronn Н. On the average length of a class of finite continued fractions in Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis, Berlin, VEB, 1968, pp.89-96.

4. Porter J.W. On a theorem of Heilbronn // Mathematika, 1975, V22, N1, pp.20-28.

5. Задачи Арнольда // Москва, ФАЗИС, 2000, С.94.

6. Авдеева М.О., Быковский В.А. Решение задачи Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина // Владивосток, Дальнаука, 2002, Препринт.

7. Авдеева М.О. Статистические свойства конечных цепных дробей // Чебышевский сборник, Тула, 2003, Т.4, В.1.

8. Быковский В.А. Теорема Валена для двумерных подходящих дробей // Мат. заметки, 1999, Т.66, №1, С.30-37.

9. Вороной Г.Ф. Собрание сочинений // Т.1, Киев, 1952.

10. Minkowski Н. Generalisation de la theorie des fraction continues // Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure, 1896, V.13, №2, P.41.

11. Касселс Дж.В. Введение в геометрию чисел // Москва, Мир, 1995, С.421.

12. T.Estermann On Kloostermann's sum // Mathematika 8, 1961, P.83-86.

13. Виноградов И.М. Основы теории чисел // Москва, 1953, С.180.

14. Горкуша О. А. Минимальные базисы трехмерных полных решеток // Матем. заметки. 2001, Т.69, Вып.З, С.353-362.

15. Авдеева М.О. Свойства двумерных решеток // Математическое моделирование: методы и приложения. Сб.научных трудов. Хабо-ровск: ХГПУ, 2000, С.90

16. Авдеева М.О. Распределение неполных частных в конечных цепных дробях // Владивосток: Дальнаука, 2000, препринт /ДВО РАН, ХО ИПМ №4

17. Авдеева М.О. Свойства примитивных целочисленных решеток // Математическое моделирование. Сб.научных трудов.^Хаборовск: ХГПУ, 2001, С.4

18. Авдеева М.О. Об аналоге теоремы Валена для трехмерных решеток // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: Дальнаука, 2001, С.69.

19. Авдеева М.О. Об одном свойстве базисов Минковского // Математические модели, методы и приложения. Сб.научных трудов. Хабо-ровск, ХГПУ, 2002, С.4

20. Авдеева М.О., Быковский В.А. Постоянная Валена для совместных приближений пары чисел // Владивосток: Дальнаука, 2002, препринт /ДВО РАН, ХО ИПМ №7