Статистические методы решения неаддитивных задач теории переноса излучений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Р Г Б ОД

1 2 СЕН..Ю

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЛАШ1А

Александр Владимирович

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕАДДИТИВНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИИ

01.01.07 - вычислительная математика 01.04.16 - физика атомного ядра и элементарных частиц

ДИССЕРТАЦИЯ

в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1994

Работа выполнена на кафедре статистического моделирования Санкт-Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН

доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук, ст.н.с.

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН, г.Москва

Защита состоится "Я7-" ^ 1994 г. в<5>~^часов на заседании специализированного совета Д.063.57.30 по защи1 диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Санк1 Петербургском государственном университете по адресу: 19890-Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл. 2, математик! механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотек Санкт-Петербургского государственного университета по адрес; Санкт-Петербург, Университетская набережная, д.7/9.

v

Диссертация разослана " 1994 г.

Г.А. Михайло Р.Н. Мироши В.А. Сакови

Ученый секретарь специализированного совета

Ю.А. Сушков

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Статистические методы (иначе - метод !те-Карло, статистическое моделирование) давно и успешно примемся для решения вычислительных задач теории переноса ионизирукь : излучений в веществе. При этом главное внимание традиционно шяется линейным радиационным характеристикам (р.х.), т.е. вели-[ам, представимым в виде линейного функционала от решения линей-•о уравнения переноса излучения. Но класс линейных характеристик является исчерпывающим', поскольку решение даке самого общего :внения переноса не является исчерпывающей характеристикой поля учения. Будучи лишь одночастичной функцией распределения, оно шение) не содержит всей информации о флуктуациях и корреляциях я, структуре треков частиц. С другой стороны, выход оа пределы ейных характеристик диктуется потребностями практики. Существо нелинейными (т.е. не выранагацимися через линейные) являются личные характеристики флуктуаций поля чосг.щ, игращие цент-ьную роль в задачах микродозиметрии, радиобиологии и радааци-ой Оезопаности, радиационной дефектоскопии, физики высоких ргий и космических лучей, теории шумов ядерного реактора, аственно нелинейные р. х. появляются в задачах определения эзаний реальных детекторов излучения, выхода радиационно-рцированных эффектов. Нелинейными становятся любые линейные актеристики поля излучения в случайно-неоднородных средах,после зднения их по реализациям среды. Наконец, к математически блнз-нелинейным задачам приводит анализ флуктуаций и ускорение схо-зсти монте-карловских оценок на маркбвеких цепях.

В принципе, нелинейные р.х., как и линейные, мокно. пытаться ¡читывать исходя из их вероятностного смысла, имитируя заданный [вйный процесс переноса частиц (что н делается в большинстве •ладных работ). Но такой гишмщионтй подход нередко оказавает-ювершенно неэффективным и дзке нереализуемым, как это имеет •о, например, в задачах микродозиматрип и радиобиологии, где ¡читываемые характеристики обусловлены очень редкими попаданп-частиц в некоторую малую мишень, или в задачах физики косми-их лучей, где приходятся рассматривать каскады с чрезвычайно шим числом частиц. Для преодоления такого рода трудностей тре-ся разработка нешашзциочных методов и пренде всего статисти-их, сыгравших и играющих выдающуюся роль в решении сложных

линейных задач переноса излучения.

К сожалению, к нелинейным характеристикам неприменим накол ленный арсенал неимитационных статистических методов расчет линейных характеристик, в собственные метода были развиты совер шенно. недостаточно. В значительной мере это яв-шлось следствие! недостаточного развития'математического аппарата нелинейных р.х. существенно более сложного, чем линейных. Вместе это суцкстренж сдер!..:-ало прогресс в указанных вьшзе приложениях. Поэтому Оыле поставлена следушая

Цель работа. Построить математические модели ьогможн::

болев ¡з'лрокого класса не линейных р.х.; иа их "основе разработать ¿те статистические некмитационные метода расчета этих характеристик; конкретизировать и реализовать методы в вида алгоритмов и гглгсотов программ; решить с помоцыс разработанных моделей и прог-

ряд актуальных задач микродозимэтрии, радиобиолога., радиационной безопасности, дефектоскопии, физики высоких энергий, метода '.'снт^--Карло.'

Состояние вопроса н подхода. Мы используем наиболее последовательный статистический подход, согласно которому процесс распространения частиц в веществе рассматривается как марковский, ветвящийся случайный процесс с дискретным или непрерывным временам (дискретная и непрерывная модели переноса), а р.х. интерпретируются как вероятностные характеристики функционалов, от таких процессов. В такой постановке любая линейная р.х. есть математическое ожидание (м.о.) функционала простейвего, аддитивного (по времени и фазовому пространству), типа; нелинейность же р.х. обусловлена либо неаддитивностью функционала, либо нелинейностью вероятностной харзктернстйки (использованием не м.о.), либо и тем и другим. Поскольку все вероятностные характеристики вырезаются в конечном счете через м.о., ш предложили принять в качестве общей вероятностной модели основных (первичных) р.х. математическое опадание функционала от ветвящегося процесса, модел-грукщего заданный процесс переноса излучения (3,9]. Всякая р.х. либо является основной, либо однозначно выракается через таковую (или таковые). Поэтому, не граничивая оспноста, мы рассматриваем только основные р.х. , называя их просто характеристиками или р.х. Нелинейные характеристики мы называем не аддитивными, подчеркивая, тем секым, принятую для них вероятностную интерпретацию: м.о. нэаддотЕкных функционалов.

Неаддитивные характеристики изучались, начиная с работ Пала, та, Яноии, С.М.Ермакова, в основном, в работах по статистичес-! теории ядерных реакторов, физике космических лучей, микродози-'рии, методу Монте-Карло. В них с учетом специфики рассматривае-■о процесса переноса, получены -выражения для распределений и >вых (двух) моментов конкретных аддитивных функционалов, првкде 'Го, числа частиц в заданной области фазового пространства в :сированный. момент времени. Более общие результаты были получены |.Учайкиным (некоторые - с,нашим участием), который, в частнос-записал представление для функции распределения произвольного "столкновительно-трековом" классе) аддитивного функционала и троил теорию неаддитивных функционалов "мгновенного" типа ределяемых состоянием процесса в единственный фиксированный ент времени).

Вместе с тем в теории неаддитивных характеристик имелись ественные проблемы и пробелы. Не были выделены классы неадци-ных функционалов, достаточно общие для приложений (включающие гновенные) и, в то же время, допускающие содериательные резуль-ы. Не было математических моделей, единообразно описывающих все значительное большинство встречающихся на практике неаддитив-характеристик. Многие результаты имели "физический уровень огости", недостаточный для формулировки условий применимости рабатываешх алгоритмов.

Мокно указать лишь на единицы работ в теории метода Моктв-ло, предшествовавших нашим работам по неимитационным алгоритмам неаддитивных характеристик. Поезде всего это пионерские работы .Учайкина, построившего оценку второго момента аддитивного фун-энала от ветвящегося процесса переноса, п Г.А.Михайлогпредавшего оценки для билинейных функционалов от решений уравнения эноса. Ряд узконаправленных алгоритмов был предложен в приклад-работах, особенно, в микродозиметрии. Помимо ориентирован-ги на конкретную характеристику эти алгоритмы существенно эаются на конкретные достаточно сильные допущения о процессе шоса и условиях облучения.

Научная новизна.

I. Введен и подробно исследован новый класс, т.н., сишетрич-функционалов от общего ветвящегося процесса с дискретным вре->м, м.о. которых (называемых ниже симметричными характеристика-

ми) практически исчерпывают все физически измерите или наблзада мне р.х.. На основе введенного понятая размерности симметрично функционала предложена классификация р.х. по степени их невддати кости.

2. Построен ряд новых общих математических моделей для наа дативных симметричных характеристик, в том числе: интегральн представление через репенио системы интегральных уравнений д м.о. произвольного момента аддитивного функционала, три Сол обоих интегральных представления - "прямое", "сопрязенноэ" "смешанное" - для произвольной симметричной характеристик! Доказаны необходимые теорема об условиях корректной применимое представлений.

3. Получены две новых вероятностных представления и сформул: рованы достаточные условия их корректной применимости для прои: вольней флуктуацжшной характеристики (м.о. детерминированной $yi кции от аддитивного функционала) в непрерывной модели перенос частиц, удобные для разработки неимитационных статистических моте дов.

4. На основе полученных представлений разработан целый ря новых : еимитационннх статистических методов расчета нваддативш р.х.: три весовые оценки на траекториях ветвящегося процесс обцего вида для одновременного расчета моментов различных порядке произвольного а.ф.; две весовые оценки нь траекториях специальны "один раз ветвящихся" процессов' для расчета произвольных двумерны с.х.; алгоритм расчета осреднениях характеристик поля излучения с случайными неоднородности;!; два невесовых двухшаговых метода дл расчета ф.х. локального тш (с а.ф., сосредоточенным в мало области поглотителя); одноэагоЕый новесовоЗ метод расчета докаль ных ф.х. Во всех случаях сформулированы и доказаны условия несмэ ценности.и существования дисперсии.

5. Сформулирован и доказан ряд теорем об асимптотике функцп распределения аддитивных и "весовых" функционалов от марковской цепи, позволивших впервые определить параметры предельных распределений наиболее употребимых в линейных задачах переноса части монте-карловских оценок с. бесконечной дисперсией и разработат! практические способы расчета статистических погрешностей этш оценок.

6. Предложен новый 0615га подход к ускорению сходимости алгоритмов о бесконечной дисперсией, основанный на лучзей по сравнение

зыборочннм средним оценка м.о., использупщей опрпорнуа информа-о об асимптотике монте-карловских оценок. В его рамках рззребо-г конкретный асимптотически несмещенный и эффективный ускоренный год с нормальной сходимостью, вклнгчашцй оценку погрешности.

7. На базе имевшихся в литературе разработаны 4 новые схеш зтпстического моделирования процзсса переноса злэктронно-фотон-"о излучения в веществе, перекрывающие диапазон энергий от 10 эВ Ю9 ЫэВ, отличающиеся друг от друга степэньв группировки столк-зений, используемыми приближениями для .сечзшй взаимодействий, 'оритмека моделирования элементов траекторий. На основэ этих !м и наших неикитационных методов разработаны конкретные алго-тм расчета ваянейзих неаддитивных р.х.. Алгоритмы реализованы в >х полностью оригинальных пакетах програтал, впервые ориентировок на решение широкого круга как аддитивных так и неаддитивных кладных задач 7П.

8. С понощью разработанных моделей, катодов и программ гучен ряд новых результатов в области микро и нанодозиметрот, Еиобиологии, радиационной безопасности, фазгаст высоких энергий, рационной дефектоскопии. В частности:

Рассчитаны-таблица специальных функций отклика и определены юЕия, позволяйте вычислять основные, микродозиметрические (актеристикн электронно-фотонных полей простым интегрированием к функций со спектром частиц. На основе проведенных исслэдо-ай отмечен ряд особенностей в поведении мзкродозпмзтрическлх

ЮКТЭрИСТЕК.

Установлен ряд закономерностей в отношения распределения !ла ионизация в ипзенях нвнокэтрзческйх размеров.

Сформулированы принципа пониззцнопного метода определения ■лощенной анергии в нанодозЕме1^зпи, .введены и рассчитаны новые рационные параметры для практического его использования.

ЦредЛопш и обоснован ноеый "спектрометрический" подход к нке качества излучения, более адекватный и универсальный по внешда с известны:.® подходами.

Исходя из имеющихся результатов го выходу ■ хромосомных рраций рассчитаны необходимые функции отклика- для определения осительной биологической эффективности электронно-фотонного учения в рамках спектрометрического подхода. ' С их помощью ведены систематические исследования качества фотонных полей' и ановлен ряд общих фактов, в частности, свпдетельствунцих в

пользу пересмотра действующих норм радиационной безопасности.

Предложена двухпараметрическая компьютерная модель для ра чета радиационного выхода двунитевых разрывов ДНК в живых клетка Найдены значения параметров, обеспечивающих удовлетворительна описание имеющихся экспериментальных данных.

Разработан новый метод компьютерной оценки выявляемое дефектов в радиографических и интроскопических системах радиацио! ной дефектоскопиии. Выполнены исследования выявляемое™ в конкре'. пых системах, отмочен ряд закономерностей.

Осуществлены рекордные по целому ряду факторов расчеты лине! ных и флуктуационных характеристик электромагнитных каскадс сверхвысоких энергий.

Практическая значимость работы. Построенные математически модели делают возможным использование средств математики м исследования неаддитивных р.х. и разработки эффективных методов и расчета. Разработанные метода расчета являются эффективным инстру ментом решения широкого круга встречающихся на практике неаддитив них задач переноса излучений. Созданные пакеты программ позволяю выполнять конкретные расчеты линейных и флуктуационных характер« стик электронного, фотонного и ионного излучений в иироком дизпа зоне энергий в гетерогенных средах. Решенные неаддативяые задач] микродозиметрии, радиобиологии, радиационной безопасности, дефектоскопии, физики высоких энергий являются практически значимым! для этих областей.

Наши методы и программы использовались и используются пр! решении прикладных задач в ЦНИИ радиационной безоиасносп космических объектов (Москва), ОШй (Дубна), ИФВЭ (Серпухов), Институте космических исследований РАН (Москва), Уральском научно-практическом центре радиационной медицины (Челябинск), Федерально* ракетном центре '(Миасс), Санкт-Петербургском, Челябинском, Омскок государственном университетах, Томском политехническом университете, Геттингенском (Германия) и Гентском (Бельгия) университетах, Институте радиационной дозиметрии (Прага), Институте радиобиологии (Нойерберг, Германия).

Аяробащш работы. Результаты исследований были представлены на пяти Всесоюзных совещаниях и двух Всесоюзных школах-семинарах по методам Монте-Карло(1974-1991), пяти Всесоюзных конференциях по задщте от ионизирувдих излучений ядерно-техшческих установок

1974-1989 гг), пяти Всесоюзных конференциях по микродозиметрии 1979-1992 гг), двух Всесоюзных совещаниях по вторичному электрон-эму излучению (1985,1989), Всесоюзном совещании по атмосферной тгике (1977).

Результаты представлялись на шести мевдународных конференциях совещаниях: 11-м симпозиуме по микродозиметрии (Гатлинбург, США, 392), Совещании по индивидуальному мониторингу ионизирующего злучения (Виллиген, Швейцария, 1993), 25-ой конференции Европей-сого радиобиологического общества (Стогкольм, Швеция, 1993), эвещании по развитию монте-карловских программам в области пере-)са излучения (Исси ле Мулено, Франция, 1993), 18-ой Грэевской >нференции по радиационному поражению ДНК (Бат, Великобритания, 594), 8-ой конференции по радиационной защите (Арлингтон, США, )94), Совещании по математическим методам и программным средствам моделировании (Санкт-Петербург, 1994).^

Результаты докладывались и обсундались на семинарах в Москов-:ом, Санкт-Петербургском, Челябинском, Алтайском госуниверсите-ix, в ТПИ, МИФИ, №5, НИИМР. ЛСШ, ОНЯИ, ВЦ СО АН СССР, ФЭИ.ЛМЯФ, нтском университете" (Бельгия),Радиобиологическом отделе медицин-:ого исследовательского центра (Оксфорд) и других организациях.

Вклад автора. Математячваше модели и методы расчета неадци-вных характеристик, ускорение сходимости монте-карловских алго-тмов с бесконечной дисперсией (пункты 1-4, 6 "Новизны") преданы и математически обоснованы автором. В их практическую рвали-цию и решение конкретных задач (пункты 7,8, частично .6) внесли ачительный вклад аспиранты О.Н.Васильев, Д.С.Бурмистров,

A.Бигильдеев, Д.Л.Данилов. Автор здесь играл ведущую роль в становке задач, математических выводах, анализе результатов и писании совместных работ. В работе по анализу флуктуация оценок бесконечной ди Персией (пункт 5), выполненной совместно с проф.

B.Учайкиным, автору принадлежат доказательства теорем и основные шинные расчеты.

Публикации. По теме диссертации опубликовано около 70 работ, которых в приводимый список основных публикаций включены яография С9], 39 статей, вышедших в центральных п мевдународных цаниях, тезисы 4 докладов мевдународных и 2 докладов - Всесоюзных зференций.

СОДЕРШШ РАБОТЫ

Некоторые сокращения, обозначения, определения

Термины: м.о.- математическое окидание, п.н.- почти наверное; п.п.- процесс переноса, в.ц.- ветвящаяся цепь; а.ф.,с.ф.~ аддитивный и симметричный фугоционалы; р.х.,а.х.,ф.х.,с.х. - радиационная, аддитивная, флуктуационная и симметричная характеристики.

Символы: р - вероятность, М - м.о., О - дисперсия. Для любого

'\-п?(ак'ак+1.....ап'' а1к-1пЭ(а1к'в1к+1.....V'

аякс1ак+1 ...йап, |ак-п1аак+ак+1 + --'+вп' Хл{> ~ индикатор мнокест-

рз А. ], 2 - интегрирование и суммирование по всей области возмоя-

1

т

него изменения переменных. £ , £ -п-кратное суммирование от

1 ->п 1 -*п

т

1 до г. I! в пределах множества индексов I; Е'. £' - то ке

1->п 1-*п

самое, но по попарно несовпадающим индексам при З^к); £ е

Е' » С, если множество слагаемых пусто.

Пространства, функции, мэры. Все вводимые конечномерные пространства являются подмножествами ^(-с»,»)" либо Нн{1,2,...), либо произведениями таких подмнонеств. Всякая функция в таком пространстве V полагается Зц-измвримой, где Вц - о-алгебра боре-левских подмножеств и, если - семейство всех подмножеств и,

если - произведение о-алгебр 3 ®...йВ , если <и=<и »...»ч .,

1 к . Всякая мера в "и полагается определенной на 8Ц. Функция, определенная в (чьд^), являющаяся мерой при любом фиксированном х«?ы к Вц-измеримой функцией при любом А«Зц, именуется ядром в <ы. Банаховы пространства:. В*(и) - пространство ограниченных функций чм? с нормой . = шр|£(и)|, В (и) - пространство конечных мер 8..-Е

(а-аддитивных со знаком) с нормой: |ц|в = |ц| (и).

I. Математические модели р.х.

1.1, Вероятностные шитационные цодела а классификация р.х.

Принятыми, наиболее адекватными моделями процесса распространения в веществе невзаимодействующих друг с другом частиц, способными учесть их размножение и взаимопревращение, являются общие ветвящиеся марковские случайные процессы с непрерывным н дискретным вре-

нем, кратко называемые далее процессом переноса (п.п.) и ветвя-йся цепью (в.ц.). Реализация п.п. начинается с рождения (незави-мым) источником случайного числа частии в фазовом пространстве юцесса я в течение заданного времени наблюдения-ттсй. Каждая час-:ца затем независимо от других порождает каскад частиц (дерево, твь), составленный из чередующихся прямолинейных свободных про-гов и точечных, мгновенных столкновений, в которых рождается учайное число новых частиц. Фазовое пространство я в общем слу-е есть множество к»ф>е»д возможного изменения Фазовых координат стицы х=(г,П,Е,а), включающих ее пространственное положение правление движения СШ>, энергию Ъж и сорт аел.

Роль вре?лени в в.ц. играет номер поколения. Ее реализация чгашется с рождения источником в фазовом пространстве в.ц. (обо-ачаемого далее, в силу традиций, также я) случайного числа эле-нясв 1-го поколения. Каждый элемент затем рождает элементы 2-го колония и т.д. до вырождения. Закон рождения дочергах элементов висит только от фазовой координаты родительского - этим обеспе-ваются основные свойства в.ц.: однородность, марковость, йезави-I,гость ветЕей. Переход от п.п. к в.ц. неоднозначен. Он определя-ся способом описания непрерывных траекторий частиц совокупностью скретных элементов (составляющих реализации в.ц.), которыми гут быть, например, столкновения частиц, их свободные пробеги, т частицы в моменты "входа" в столкновение или "выхода" из го. Выбор интерпретации элемента в.ц. и набора параметров, ставляющих его фазовую координату должен обеспечивать

полнение указанных выше свойств в.ц.. .

Основными объектами исследования настоящей работы являются э. различных числовых (со значениями в Я4 функционален, от п.п. г в.ц., принимаемые наш в качестве исходйых моделей для р.х., рез которые д^терминированно выражаются любые характеристики яя излучения и многие величины, характеризующие радиационные &екты. Мы ограничили круг рассматриваемых функционалов тремя эссами, практически исчерпывающими потребности практики и, в то время, позволяющими получать содержательные результаты.

Первый класс образуют простейшие т.н. аддитивные функционалы .ф.), именуемые в физической литературе показаниями аддитивного сектора (часто просто детектора). Соответствующие р.х. мы назы-зм также аддитивными (а.х.). А.ф. от в.ц. имеет вид суммы по ш элементам реализации:

<Р « ЕВД.), (1)

1

где Ь - заданная функция »-К, Хх - (фазовые) координаты элементов. А.ф. от п.п., по наиболее общему конструктивному определению (сформулированному нами в 132)) "имеет вид суммы- 4-х компонент: ф=ф0+ф<;г+фй+фг,, где "столкновительная" компонента есть сумма по всем столкновениям реализации п.п.: фс= £Ьс(г1), - параметры

1-го столкновения; "трековая" компонента есть суша по всем свободным пробегам: ф^еГЬ^Х Ш.^сИ, тг1 ХА - временной интервал - 1 1

1-го пробега и координаты частицы на нем; "мгновенная" компонента есть сумма по вс«м имеющимся частицам в фиксированные моменты "детектирования" 0={в1,8г,...,вт>«и, п.<а>: (р0-ЕЬв(Х1,Т1), Х±,Т1 -

координаты и время детектирования- 1-ой частицы; "поверхностная" компонента есть сумма по всем пересечениям • частицами заданной "детектирующей" кусочно-гладкой поверхности 7«К5: ФГ=Е\},(К1,Т1),

Х1,Т1- координаты и время 1-го пересечения. Отметим, что всякий а.ф. от п.п. мозйт быть представлен в виде а.ф. от соответствующей в.ц. при надлежащем выборе конструкции ее. элемента. Класс а.х., по-существу, совпадает с классом линейных характеристик поля излучения: все а.х. - линейны, и всякая линейная физически измеримая характеристика представкма в виде м.о. а.ф.

Второй из выделенных классов содержит больиую группу практически значимых неаддитизннх функционалов.Его образуют функционалы, представимые в виде композиции н(ф), некоторой детерминированной кусочно-непрерывной функции и а.ф. <р от п.п. ш в.ц.. М.о.

таких функционалов' ш называем флу'туационкыли р.х. (ф.х.). Через них, в частности, выражаются все вероятностные характеристики а.ф. - моменты, распределения, характеристические функции и т.д..

Третий, наиболее общий класс, включающий, в частности, оба предыдущих, составляют введенные нами в [3,9] сил&етричныэ функционалы (с.ф.) от в.ц. Функционал называется симметричным, если он инвариантен по отношению к любым перестановкам элементов в реализации. Всякому с.ф. можно сопоставить нвкоторуи функцию ф в пространства точечных распределений « (содержащем неупорядоченные наборы (распредалекая) элементов из ») и определить его как ф(Х), где Х=Х. т - реализация в.ц., рассматриваемая как точка в ». Если

~ „ Nr

,ф. ф=ф(Х) при всех Хек прэдставляэтся в виде Е Е' 0_(х. • ).

г.= 1 i " 11 "*1п 1-п

10 Qn - функции к -R, N«», то такой функционал называется конеч-мерным, а минимальное число II, допускающее такое представление, ого размерностью. В противном случав размерность функционала N »лагается бесконечной. Отмени, что характеристическое свойство •ф. суть формализация специфики взаимодействия ионизиругхцих час-:ц с веществом, результат которого не мокет зависать от способа горядочения частиц. В этом ста еле м.о. с.ф. является исчергш-¡ющей моделью физически измеримых р.х. Будем называть такие фактеристшш тзг_"-;в силлепрмсьии (с.х.) и применять к ним поня-;э размерности. Последняя классифицирует с.ф. и с.х. по степени )аддитивности. Одномерность эквивалентна аддитивности. Неадди-шные с.х. - нелинейны.

Для всякой в.ц. далее используются обозначения: ц,г(А), ц(А) -¡ело элементов, принадлежащих Аск, в к-м к во всех поколениях;

- общее число элементов в k-м и во всех поколени-

:; J^X^, Xj^Xj.i-k,- - координаты элементов всех а k-го поколе-

1й; Р , м - вероятность и м.о. на в.ц. со специальным но-1 -п 1 -»п ~

1учайным входом: X1=x1_kn. Всякую в.ц. мокно задать, указав либо ш исходных распределения вероятностей - начальное:

.'г1=п,Х1«А »...»"А }, и переходное (закон ветвления):

!:<т;г=п,Хгс-А1«...»Ап} (п=0,1,..., А■=«, x<s«), - либо фэкториальные

)менты этих распределений (точнее, случайных мэр ц и ц2 для. за-ишого и специального, Х^х, входов). Исходные распределения и их жторшльные моменты далее обозначаются одинаковыми символами, но ¡определения отмечаются штрихом. В.ц., имеющая начальное )

переходное P„(x,A1_fn) распределения обозначаются как (а;р).

1.2. Замкнутые представления для моментоз й распределений ф. от в.ц. Вашейгики неаддативными р.х., для которых удается >строить замкнутые представления, являются выспие моменты а.ф.. С шшм участием получено несколько таких представлений (1,9,11,14, )]. Нике приведен наиболее общий и строгий результат, полученный 1МИ В С 301.

ТЕОРЕМА 1. Uojuskr порядка Kell а.ф. (1) сш в.ц. (з;р) сущесл-iem. и вырахается формулой

и/= Е Е П Ф'!«!^ (2)

через еШия&зннио 6 В*(к) рашзтя стяжая* ураЗнэиий

)+ Е Е [¡п11 |]С{а^..)Ш(х)3П"|а^1с1«

^(х.ЛЦ.*) П ¡ЛДх^ + Ш(х)]п, п=Л,2,...И,

если: Л)Ы2*гВ)р(Р*)<1, С)|Р14|«», Б)|8к|«э. При. этол,

В этих формулах к далее суммирование, отмеченное условии,а вида 10^,,!=;;, распространяется на все наборы натураль-

ных индексов у довло творящие этим условиям; С(а1 ) а

|а1^кП/(К!а11...а,_1), Р* - линейный интегральный оператор в В (и) с ядро?,; р,, р(Р*) - его спектральный радиус. |Рп|н вир р^Сх,-^.^),

Ожетгш, что в задачах переноса ионизирувдих частиц - нейтронов, здектронок, фотонов, ионов - условия С), Б) вапояняятся для лззш: Есй, поскольку число частиц, пропзводаах, поточшпхм (за конечное время), и- число частиц, образующихся в отдельных столдювонляг, огрслачею, н следовательно:.

1 • га" * п6

У словлэ Б) выполняется для электронов, фотонов, ионов, а таю® для нейронов в подарптЕчэскях системах.

Прл 11=1 формула (2),(3) дазт пзЕэстнне линейные представления 1-го ког^знта через функцию "ценности" - решение линейного

интегрального уравнения. Момент порядка ИМ представляется нелинейным Функционалом от решения систем II линейных зацэпапщяхоя уравнений.

Рсспредэлэндэ вероятностей а.ф. от в.ц. в обцем случае моют бить представлено в елдэ нелинейного функционала от решения едиы-стпзшюго, но нелинейного уравнения (для произвольного а.ф. запи-' санного В.В.Уча&сагым). В отсутствие разкноаэнпя уравнение становится лпнеЗлшл; если источник - единичный (п.н., ^=1), то становится лзшзйаца фдащаонал. В типичном душ конте-карловскнх оценок случво, когда выполняется в то н другое, ¡.а получили следующий результат 193:

ТЕОШМ г. Вусгг.ь д.ц. (а;р) и а.ф. (1) ап нее удовлетворят

юj.cûtm: з' =0, ; p' =0, n>1 ; hjO. Тсг^а:

s^H ) + f s, (dx)f(q-li<x' )|s' ). q>0,

ьл

q

«qs{z: ^,h(-)<q>, a фушхрля f(q(x}=

p^{<p-h(x)?q,t2>0} u совпадает с ияярашонт* р&хгтпл урзВнекияг

f(q|x) = р,(х,« > + f р^.сй'Шя-ЬСЩх').

ÎT

Q

1.3. Эггишутаз ггэдстааиягя длл с.s. ГЛ-о. а.ф. (I) о? з.ц. ¡бщего типа (я;р) допускает двсгствэкноэ врэдстзЕЛокпэ, упс;.:г:нез-:зося сопрякэнкоо - через ценность ç п пг:з:со - через рсспрздзло-

Е9 чтила злвкзнтоз з.ц. ¡а1 (АН-;ц{А): f-t^/и, (dz)h(z)=fa1 <dz)$(z).

topa п и функция <?. явллзтся, соотеэтстгзкпо, едетствсстггт а

S — Й —

!(«) я В (:.') р:г;зурггнзшй n^F г^+з, и ^Р^+Ь, бел;:-|,<£В(«) и hsB'(tf), p(Pt)<i (P, - лггогральпнй оператор з с

¡дрем pt. В îuracco с.ф. ш кгяуп глуСокса обос-энпо отого «снсип-зского результата [3,9]. -

* л»

Пусть g некоторое отсбрагзтка «-Н. КсЕэтксг'.эр^нэ сг^этртягцэ

1УЕКЦШ1 Snte, )= Е " S' et*! ,-г )» s г=!1, нсзспем

^=1 — 1 -1: -

:-фуккцля.з этого отсбрзсзкпя.

Т20Ш1А 3. И.о. с.ф. ф pazcopiocm 1rs» сп (в;р) 0cmyc::zrrt

'всйсгЛекноэ прздсгс&лениз:

Ну = JV^i-JW^ = Д (4)

■до ю , 5 - Tt-dymwfm <руккии£ 9 u М-ф, сссг£е?лг£жно, а п-.юра

п т ~

и(А1-и)-М 2' I (S. )...!. (л. ) и соЗгядсгг. с фсапсриа^ъ?^и,

а 1-п i л, А

1->п

■ххлеюаси -0.ц. (случайной лзры ц). При. Н«я яаяЗоэ прздеходлениэ праведливо, если она cyyscziïjen, cyupczZcBcDois 2-го олебусг. гл ■уи^еггвавевая 1-го. Прл Зля спрпЗо&шбосга* иаяЗсго пред-шаЗлзкия дсюясяочны их оОсолълноя exodusoezib и 6ъ'ро:£а.еласг.ъ б.ц.

Сизическая суть тоорэкн - слэдувдоя. Сзкторпэлыкэ иог.'эзтп .ц. - исчершвещвм образом характеризует поле чаежц:. зззя и , =t,...n, mosso еичнслпть (в газадратурах) левуп Iî-мэрзун с.х. того поля. С другой стороны, набор функций фп> п=1,...N, поззо-яет вычислять значения соотнетствь'кцза Пчлерной с.х. для лтэбого

- ю -

источника излучения. Сормулы (4) при N=1 дают канонические прямое и сопряженное представления. Мы используем эту терминологию и в случае N>1. Функции фп мы назвал;! многочастичными ценностями, а факториальные моменты шп (в духе статистической физики) - многочастичными роспродел9Ниями в.ц. (или поля частиц).

Кспользуя специально разработащшй метод осреднения функционалов от в.ц. (опирающийся на специальную формулировку марковского свойства в.ц. через м.о. функционалов и на представления их в виде •¿тластичиских. уравнений) ш получили замкнутое представления как для распределений тп, п^Н, так и ценностей ф лкбой размерности

Им» и порядка п-1.....К. Представления Еырзааэт тп, ф через реае-

!<;:я систем линейных интегральных уравнений, которые при п=Н=1 падаит с каноническими уравнениями для ш,, ф . В общем случае ураипения имеют существенно более слогзшй вид. Но ядра этих уравнений ныроядены - представляют собой произведения ядра р (слод-с::.ие независимости эволюции элементов в.ц.), в результате чего рт.ипшя уравнений, а следовательно, распределения гап, ценности фп и само м.о. мер удается выразить в квадратурах через функцшо Грша канонических уравнений. Приведем здесь результат для Мф.

ТЕОРЕКА 4. Пуапь б.ц.(з;р) и с.ф. ф размерности Н<® удовлеъ-усиодиял: р(Р1)<1, |Р 1 <о>. |5^г}ск>, г.=1,...,К. Тогда

о(Эе Ро=0, о функция g1(x,Л) является единалвен-

ша решением кахдого из уравнений

8, (х,А)=/8, (х.йх' )р1 (х' ,А)+1д(х), (х.АЬ/р, (х.йГ (х' ,А)+1д(х),

б В (к) и В* (к) при любых хе» и Ас^, соответственно. Функция п>1, рекуррекгло вырааазпся через § :

+

к

При эпол: Г ^(х,А± ^ ) = мх Г I, (Х± )...! (X. ).

г1-П * 1 п 1 п п 1.4. Еероятяостныэ сехаетаццонвие иодзяа ф.х. от п.в. Непрерывная модель переноса излучения, пль, как и дискретная, в.ц.,

упускает построение замкнутых представлений, теперь, интагро-диф-оренциальных, для моментов и вероятностных распределений а.ф. и, ледовательно, для произвольной ф.х.. Ш записывали и исследовали акие представления для произвольного столкновительного а.ф.(Ч^Ф ) специального функционала, выранандего поглощенную энергию в аданной области в к [11,14,16,20]. Замкнутые представления -аяный самостоятельный результат, но с точки зрения разработки татистических алгоритмов он является промежуточным к построению еобходамых вероятностных моделей. В работе 1323 нам удалось,' шуя запись замкнутых представлений и, тем самым, избегая лишних граничений, построить две общих неимитационных вероятностных одели для ф.х. от п.п., позволивших разработать эффективные этоды решения широкого круга неаддитивкых задач (см. пп.2.3-2.в). бе модели интегрально связывают искомую ф.х. Мв(ф) с м.о. других лучайных величин. Нике предполагается источник единичным. Для сновных ф.х. - моментов, распределений - это несущественно: они егко пересчитываются к неединичному случаю в обычном для реальных сточников, "пуассоновском", приближении.

В первой из предложенных моделей ф.х. выражается через поток астиц <3(2,Т,) (точнее, дифференциальную плотность штока,возможно, Зобщенную):

М8(ф)-(®,?.)+(«.Р1.,)+ Е (Ф,Рэ)1;+/(Ф.1,),)йТ. (5)

1;<з9 у '

цесь и далее скобки (,) обозначают интегрирование по я»тг Гйх=Е^Л"<}гсШЕ), индексы у скобок указывают на переменные, по

а

зторым интегрирование не осуществляется. "Функции отклика" 1=?а(хД), а=с,гг,0,7, имеют следупшй вероятностный смысл:

Гс - М^о[8(ф)-Л(Ф1>1. Ш^М^'(Ф), (б)

Рб = (1/7>Мг418(ф)-б(ф-110)]1 ш |Пау|Мз11[в(ф)-8(ф-й>,)].

да М^ - символы осреднения для двух (семейств) п.п.,

гличввдихся от заданного п.п. только входом: реализации первого

зчинаются со старт частицы из точки х в момент X, второго - со

юлкнавения частицы в точке х в момент 1;; суммирование Е3

юпространяется на все частицы, выходящие из этого начального

голкновения, ц>±~ вклады в функционал ф от них; о = о(г,Е,а,г) -

жроскопическое сечение взаимодействия, V = т(Е,а) - скорость

(стицы, Ь = Ь (х,1;), п - внеиняя нормаль к детектирующей & & /

поверхности 7, g' - производная g.

ТЕОРЕМА 5. Представление (5) справедливо, если:

I) функции o,Utr,hg,h - ограничена в к«тг, 2) g(0)=0, 3) для лххЗо-

п п

го тШ суцэакду&я гглкое С <«, чко |g( Eq. )|«С П(lg(q,)|+1), q.eR,

" - i=l i=1

4) функция Mxig(<p) - ограничена 8 u непрерывна novxu всюду no

начальному распределению п.п.. При htr/Q дополнительно требуется:

5) производные g' , g" существует и удовлеггЗоржт условию 3), а функции Mxtg' fipj, Mtg" f<pJ- ограничены в ««я.

Замечания. 1. Условие 3) - слабое: Оно выполняется, например, для ограничо1шых функций, любых полиномов, экспоненты. 2. Правую часть ',5) можно' формально записать как введя сингулярную

m

а-умши» откачка P=P+F, ? ^р +F , где o,,(t)= £ <Mt-e ),

О w ™ - / / С. - X

jo 'г,)ф(г)ог з J\j>ir)d7. 3. Зормулы и теорема прст.евш, рззумеет-г

оя, и к аддитивной характеристике мер (g(q)sq). Тогда (5) переходит в обычный линейный Функционал от потока Ф.

Во второй модели ф.х. выражается через (возможно обобщенные) поток Ф и плотность источников п.п. (начальное распределение) s=s(x,t). Выделим, произвольно, в к область W с кусочно-гладкой границей w ,множество сортов частиц разобьем на две группы: &=B+G.

ТЕОРЕМА 6. Пуспъ выполнятся условия хшорелы 5, и поток-Q непрерывен по г почт в каждой точке поверхности и" . Тогда:

Mg«p)= Е {j(a,g) dr-/<0,0a_.g) + J<®,i) dr + J"(<i>,F) dr. (7)

acB(Y! W' > И G?SV?

где 1 (x,t) = M^oU.tHI^aJg^bE^ia^g^)] + IG(a)Pnc(x,t),.

g(x,t) = Mxtg(q>).

Заметим, что представление (7) является новым и для аддитивных характеристик Мер. Для них око переходит в представление "пространственной канальной теории", если G=o, источники сосредоточены в R\w, а вклада ъ. - в W.

1.5. Редуцнрованша додала ф.х.. Свойства симметрии в конкретных задачах позволяют упрощать (редуцировать) полученные представления. В дискротнс учае редукция не меняет формы представлений (в частности, приведенных в пл. 1.2, 1.3), она сводится к сокращению фазового пространства з.ц. к и упрощению конкретного вида входящих в формулы величин (зк.рк и т.д.). В непрерывном случае меняются сами представления, в частности,

Еюрмулы (Б)-(Т). В наших работах [II, 14,16,33] и Др. получен ряд зедуцировашшх представлений, отвэчазщих различным свойствам

ж.мэтрии и их сочета;шям. Наиболее принципиальным! из рассмотренных являются следующие свойства симметрии:

1. Стационарность а.ф. и срэди (независимость функций а,По,htr> Y от времени и h^sQ на supp Ф - носителе потока Ф.

2. Однородность (инвариантность по г) сечений о, потока Ф и рункции источника з на ¡зирр F - носителе фушсщш отклика Р.

з. Изохротюсть функции F или функций Ф,з на supp F.

4. Равновесность вторичного излучения некоторых сортов на supp F.'

-Одновретшоэ наличке первых трех свойств позволяет снизить гратность интегралов в (Б), (7) до одного:

<g((p) = ЩФвдаРа(Б)аЕ = Ej®a(E)fa(E)dE+ z j3a(E)Ka(E)dE, (8), (9)

а .си а«=В

•де Фа(Е)зДФ(г,Я,Е,аД)с1ПсИ;, - (действующий, потоковый)

:пектр частиц сорта а в области действия а.ф. - проекция зирр? ta к); se - спектр источника в (аналогичный интеграл от э); 'a,fa,ka - новые функция отклика, зависшее только от экерпя! и

юрта частиц. Например, Fa(E) s (1/4-)/JF(r,n,2,a,t)drdn, где t -шбой момент из интервала стационарности F.

Если наличествует и свойство 4, то гагата уменьшить количество ленов в суммах (8), (9), выразив спектры равновесных частиц через центры неравновесных. Вместо (8) тогда, например, получается:

Mg(9)-£jen(E)Kn(E)dE, (10)

п

де эффеюх&кые функции отклика sn сеязшш с фундахенпалькьеги, Fa, араганкем:

ггп(Е) = Г (Е) + an(r,E)£jge(E' |r,E,n)Fe(E' )dE', (11 )

е

ндексы п,е здесь обозначают сорта неравновесных и равновесных аегхгц, соответственно; ge(E' |г,2,п) - спектр деградации частиц яда е, не имэкщих неравновесных прэдзестЕЭнников, от столкновения астицы вида п анергии Е в точке г.

Разумеется,частицы, находящиеся в состоянии,равновесия, могут ассматриваться как неравновесные, явно учитываться в сукмэ (10). оэтому возможна варианты использования формул (10),(11), отлзчаю-иэся разбившем набора всех сортов а на группы равновесных и нз-авновесных. В предельном случае, когда все сорта отнесены к нэ-авновеешм, формул! (10),(11) дают исходный вариант (8) с

2. Нешштационные статистические иетода расчета шаддитавных р.х.

Ясно, что неаддитивные характеристики можно пытаться рассчитывать (и это часто делается) простой реализацией их имитационных моделей, статистическим осреднением соответствующих функционалов (п.1.1); ясно также, что такой имитационный подход часто неэффективен и даже нереализуем. Серьезные трудности возникают, например, когда функционал представляет собой отклик на маловероятное попа-.".':!!>.• чпотпц в некоторую область поглотителя (малый или удаленный л- .екч'ор) или когда образуется очень большое число вторичных чл.-пщ (высокие энергии, цепная реакция). Для преодоления такого трудностей мы, используя построе'.жю нами математические, гододи (гл.1), разработали ряд общих статистических неиматациошшх !:.<тодов вычисления нэзддпшвкых характеристик всех рассматриваемых "лшов.'"Методы можно условно подразделить на весовые, реализующие идою "существенной выборки", и яе&есовы&, использующие специальные неимитациошше вероятностные модели.

2.1. Весовые оценки с.х. Весовые метода можно рассматривать кок далекие и весьма нетривиальные обобщения известного монте-карловского подхода к расчету аддитивной характеристики м<р, состоящий в переходе от исходной в.ц. (и.в.ц.) с заданным на ней исходным а.ф. ф, (I) к другой модифицированной в.ц. (м.в.ц.) с другим, уже неаддитивным, функционалом (монте-карловской оценкой) Ф,. в котором, каждое слагаемое ЩХ^) умножено на некоторый мульти-р гивный вес (элемента) 0(1), обеспочивавдий несмещенность: МУ1 -Мф. В работах (3,93 мы построили на траекториях специальных, вообще говоря, немарковских ("один раз ветвящихся") процессов два оценки, "по поглощениям" и "по столкновениям", для расчета произвольных двумерных с.х. Сформулировали условия несмещенности и конечности дисперсии. На основе оценки по столкновениям был разработан алгоритм расчета осредненных характеристик поля излучения в среде со случайными неоднородностями, который был конкретизирован и использован в исследованиях распространения фотонного излучения в дисперсных средах (43.

2.2. Весовые оценки моментов. Определенным неудобством для практического использования указанных выше двух оценок является качественное отличив м.в.ц. от и.в.ц., приводящее к невозможности непрерывного перехода к имитации. Этот недостаток преодолен нами в

зрпл кз трех еосовых оценок (12,30,311, предяссппчвштх доя рас-зта произвольного момента а.ф. (I) от произвольной и.в.ц.

з;р). Копдая оценка строится нп траекториях некоторой м.з.ц.(з;р) Зцэго типа, определенной в том кэ фазовом пространство -л, но ико-дэй другие начальное и переходное распределения з',р'. Все cmi эзволяют достаточно легко управлять ветпленнам и.в.ц. .вести односменный коррелированный счет kcí/qhtod различных порядков,доста-ушо удобны для практической реализации. В проведенных'численных -аналитических исследованиях быхд получены выиграет со времени гетз по сравнению с к/ктецией в несколько порядков [21,30,31,43].

Всо тря оценки понзита M<frJ пмэют в:щ ÍI-крзтной cyiпо всея гементагд реализации м.з.ц.:

Z П ), Г=1,г,3, , (12)

отличаются друг от друга услоЕШГ.21 кз с? :е данности (огрошпешш.-л з выбор м.в.ц.) и выражениям:! для ¿ного'«юплчного Ceca т их записи в дополнение к обозначениям принятым в п.1.1 сведем звые: <it_>ri> - совокупность предшественников олзмэнтов _ri, зндый ее элемент nie er среди своих потоков хотя бы один элзкент

5 h-n' ^t^^^i^Vn1 ECJ3Í fn' Z-n - 33 T0 I[GK

«g^ обозначается абсолютная непрерывность in относительно

.е.* существование функции (•) |^П->Я (производной Радсна -

модема Г по г^), допускагсщей при всех .'ц^ои представление:

i(Ai-n,= Ес'" ИЗРЫ зависят от

»которого параметра q, то штаг?: d^ín(q) или cM^íq, •).

TE0FE1A 7. Сунвционал ф/,1'. (12), егг л.б.ц. (з;р) yczeyswwü сценкой II-го ло.?£кю а.ф. (1) от и.б.ц. (з;р), если: i въаюдняаяся условия пеорехы 1,

> Зп«Зп, 11=1,2,...,II U P¿(X,')«fT ПеН, ХеЯ,

» П Л'?: )' г0э

- число элемекхюд 1-го поколения из <i1_,lj>+f - uz коордгхш-í, v .д.. . - 1юличесп0о и координаты элеязгеков, дочерних к 3-.*у.

«i / ч \ _

Шгогочастлчного вас Q^ ' может быть представлен в алгорлтки->ски более удобной форме, а если Xsl, то вырваен через "одаоча-

стачные" веса \ что радикально упрощает одновременный расчет разных моментов. Условие РП«РП требует сохранения у м.в.ц. такого яэ как у и.в.ц. множества возможных значений числа дочерних элементов, в частности максимального их числа, V . Это обстоитель-ство становится ограничительным в задачах с большими vv¡ax, например в исследованиях ядерных высокоэнергетических каскадов, где v мошт достигать десятков и сотен. В оценке срАг) это ограни-

шах

ченке снято.

ТЕОРЕМА в. Функционал Ф^2', (12), ол л.в.ц. (з;р) является ■неслещекной оценкой N-го лолекга. а.ф. (1) ст. и.в.ц. (з;р), если:

1) Выполняются условия пеорехи 1,

2) зп«ап и рп(х,-)«рп(х,'), п=1,2.....Я, хся,

3) п ори'1*3*3^'

где Я, У. . - во ло, чао в теореле 7, V., X., , . - количество и

координаты элелпеав. дочерних к 3-лу, пршюдлеях.¡&х <11_н> + .

Оценка ф^2) менее ограничительна чем ф^1 }, но более сложна в реализации (в отличие от О,',1 5 многочастичные веса * не Еыра^а-зется черео одночастичкш прп ;). этот недостаток преодолен в оценке ц>{,3> ценой сужения класса допустит м.в.ц.; они дол:иы обладать определенным свойством, присущем реальному процессу переноса частиц.

Пусть а) олбмант в.ц. состоит из двух подэлементов - "входного" и "выходного", так что хз(х''»«";-■ б)розденне начальных элементов (источником) и дочерних (родительским элементом) разделяется на 2 этапа: сначала рогдазтея входшэ подэлокенты в соответствии с заданными распределениями ^(Д'^), п^Н, , затем казднй из них, независимо, в соответствия с. заданным распределением Г(х',А*), х'^я', А"<=«*, либо гибнет, либо раздает 1 выходной годэлешнт.том самым,достраивая себя до полного элемента. Такую в.ц. будем называть расцепляющейся, распределения ^п' Ч;. .^отнесем к и.в.ц., соответствующие распределения м.в.ц. обозначим %'п, Г . По-прэйнеку, факторпальныэ момзнты обозначаются как и распределения, но без птрихов, Р* - интегральный оператор в с ядром р, (х.А)^, (х.сЗх' ,<1х')Гд(х'х') -

1-м факториалышм моментом перехода расщэилявдэйся и.в.ц..

ТЕОШ1А 9. Функционал (12), оя расцепляющейся л.в.ц.

является неслеирнной ецзшеей 11-го лолешз. а.ф. (1) от расцеп-

¿яо;'?Сся и.в.ц., если:

I) р(Р*)<1, вир ^(«^„Х» <«;=*'),

3) о^и,^)^^) П ^г(Х^х-),

V*«' » • (X' » -), П=1,2,...И, Х'еК',

\(3 ),

. - количества элехеклов 1-го поколения из <1. „> и

1 1 -»и *

гаорЗикски их входных тюЭэлех&няов.

2.3. Кевзсовйв дб7хгзгсп:э кзтода расчета Л.г.. Существует ряд гоаддативных задач, для решения которых весовой подход плохо.при-жособлен из-за необходимости слкеком сильной модификации и.в.ц. и юзникавдих, вследствии этого, чрезмерных флуктуаций весов. Прэзде ¡сего - это'упоминавшееся задачи с "малым детектором", трудные из-;а "проблем попадания", играэдиэ центральную роль в микродсзимат-ми, радиобиологии, дефектоскопия л других областях, где изучаются юдиационные эффекты,обусловленные воздействием излучения на малые увстЕителыше структуры - элемента кпфосхем, кристалла А^Вг в отоэмульсип, ядра гизых клеток и т.п. Именно для резвый такого ода задач был; разработаны и условно применены представленные гаи з пл. 2.4-2.6 нввесовые метода [11,14-20,22,343.

Методы основаны на использования общих вероятностных моделей ля ф.х. Нв(Ф) от п.п., представленных в п.1.4 (далее активно ис-ользуэтся обозначения пл.1.1,1.4,1.5)." !*з этих моделей непосред-твенно вытекает несколько дзухяаговых схем расчета ф.х., связан-ах с предварительным расчетом потока Ф'(стандартная задача теории эреноса излучений) ели функций отклика (статистическим мо-

элированием). Практическая реализация схем осуществима лишь в оп-здэлешшх дополнительных условиях, обеспечивающих инвариантность этока и/или функций отклика по некоторым фазовым переменным, поз-эляющей снизить кратность интегралов в (5),(7). Рассматривая раз-1в условия, выбирая по-разному множества ЯГ,В,С в формуле (7), жно получить целое семейство конкретных двухшаговых алгоритмов.

Указанным выще задачам отвэчаэт слэдувдее условие А: А.ф. ф ютонарен и локализован в (хсиой) односвязной ой/хкяш У<=к ткрооСъеле, л/о). Иныхи словат, функции не зависит оя

узхеш и обрспирххпся в ноль вне V, Ь^^о. Тогда функция отклика - стационарна и быстро спадает за пределам! м/о. йствительно, согласно (6), при г/У-Т^г^О, а осредняемая в Рс

случайная бэличина не равна ну л» только тогда, когда начальной столкновение оказывается размножением и, при этом, не менее двух треков от образуются в столкногешш частиц достигают м/о V. При удалении от V такие события становятся все менее вероятными как из-за уменыавЕкя угловых размеров м/о, так н уменьшения доли ро::-дапалхся частиц, способных ого достигнуть.Такая квазилокальнссть функции отклика F позволяет в болтом числе указанных прило1:ак-: считать выполненные: следукщтэ условия: В: О/коскбуеп акреагмвс^ь jl/q P-F=>V, Оиагстг.р которой в .таЗо-а сечскии не превосходив нескольких диалэг.рав £/о, вне которой лот.у.о пренебречь значениями функции огглиша. Fc (т.е. полазить I -?=0). В: Внутри к ¿охно пренебречь простр&'.ственнил иаленениел потока О и платности источника с. Для указанных приложений весьма характерно также выполнение условия Г: илеет леагю либо цилиндрическая. си.г,лекрия л/о V либо азилутгшънал сиялешрия углового распределения функций Ф,а, и дазэ условия Д: илееп' леско либо сферичеаххч сши&прия ,z/o V -uuöo изояропносяъ углового распределения фуш^ий О, а.

В условиях ¿-В краткость интегралов (5),(7) !*.оглт быть снигв-на до трах (по порекэшшм Q г. Е), при дополнительном выполнении Г - до двух, а при выполнении Л - до одной (по Е). осуществили соответствуйте редукция разработал;! ряд двухиоговкх алгоритмов под об1Д/1?л наэвашшм "метода флуктуедсоккого детектора" (ФД) [14, 16,19,20]. Ош^зеы крзтко два главных метода, ОД-I и ФД-2, в условиях А,Б,В,Д для столшоватслыюС ф,х. (<р=<р0, h^eh^sO).

2.4. Натод СД-I вытекает из представления (5). В принятых условиях ф.х. полностью определяется спектрами частиц всех сортов в м/о V, Оа(Е), и 'новхы функция.'.^ отклика а«л:

МЕ(Ф)=»Е(Ф ) (фордуло (8) в скобочных обозначениях интегралов по

а

Е). Возкокш 3 двухшаговце схема вычисления зтих интегралов.

1. IIa 1-м саге вычисляется спектры Оа любым известным методом, па 2-м - оцениваются ы.о.,

о (г Е )S (Е ) » tgW-fgiV^]. (13)

на траекториях п.п., начинающихся со столкновения в огр частицы фиксированного сорта а со случайными параметрами а0г(г0,П0,Е0), распределенными с лгсбой заданной плотностью ра, строго положительной на R?«®«suppFe.

2.На I-гл Еаго вычисляется фушада отклика ?а(Е) по формуле (13) с

уН , Е0=Е (р:кр«®->й), на 2-м используется любая монте-карловская ценна линейного функционала от потока.

3. На 1-м шаге вычисляются и Фа и на 2-м - любым .методом ерется интеграл.

2-ую и 3-ю схемы целесообразно применять, когда среда в кр днородна. Тогда вид функций отклика для наядой ф.х. определяется олько размерами и Ееществом области V (но не источником излучения геометрией поглотителя), и табулирование ?а позволяет радикально простить расчеты для достаточно широкого круга задач.

2.5. Метод ФД-2 вытекает из представления (7). В принятых словиях при Ясж М8(<р>=Е(Фв,Га)+ Е (за.) (формула (9) в ско-

а о«ЕВ

очных обозначениях), где за(Е) - спектр источника в V, 1а,-эвые функции отклика. Реализация и эффективность метода сущест-¡нно зависит от выбора группы сортов частиц ВсА и области "I. В руппу В не следует включать частицы с большими по сравнению с ззмерами V свободны?^ пробегами. В практических расчетах ш шнаем в В все сорта заряженных частиц, а в С=а\В - нейтральных, зименее громоздким метод выглядит при ИЫкр.

Нак. и в ОД-1 возможны 3 двухшаговые схемы реализации ФД-2, вязанные с предварительным расчетом либо спектов Фа, либо функций гклика Г ,ка, либо и тех и других. В 1-м случае используется:

+ М«Р °а (Дтор^дТ(Е°) ^ 1а (а)е(Ф)-Е°1а (а1 (Ф^^)),

[е м.о. ма<5, Мд < вычисляются на траекториях п.п., начинающихся | старта частицы сорта а, соответственно, из области \1 и с ее верхности ЧУ'; параметры частицы г;0=(г0,П0,Е0) распределены с данными плотностями ^ и р^, строго положительными на ИМЭ'зиррР^ XI' «о*зирр?а.

2.6. Метод 05Д. Исходя из моделей (5)-(7), рандомизируя пото-Фа и интегралы, можно строить и одношаговые алгоритмы. Если

ле излучения в достаточно большой окрестности м/о пространствен-одномерно, то в рамках этих алгоритмов, как и двухпаговых, уда-ся преодолеть проблему попадания в задачах воздействия на м/о, е. удовлетворящих условию А (п.2.3), одновременно ослабив тре-

бование В. Мы разработали .такой алгоритм для плоских задач (23], когда наряду с условиями А,В выполняется условие Е: СуцестЗуея цилинЗр СзС (С1сК,Сгср12), в напорол Функции оа,Фй,а01 инвари-

антны в поперечных направлениях (т.е. по трансляциям в С ), Оиалетр которого лного больше лансилалъного виалапра области сг о поперечных сечениях.

Алгоритм назван методом 05Д (однопаговый СД). Он построен на основе модели (7) с включением в группу сортов В всех зарякенккх частиц, выбором: поток 0£> рандомизирован монте-карловской

оценкой по пересечениям. В (23 3 приведен вариант для внешнего облучения (точнее, для случая Б-0,геУ,йеВ). НИ1-;о, дабы избегать загромождения идеи метода деталями, мы изложи его, дополнительно предположив однородность шля в ер (т.о. условие В). Тогда несмещенной оценкой ф.х. М§(ч>) в расчете на I кспуиькную источником в С частику является фушеционал

V" ^ V-1в 1ак(Ф(^)) 1 11А

'на траекториях сладчхцай конструкции. Какдая траектория состоит из основного трека - аналоговой реализации заданного процесса переноса - и дополнительных треков, отличающихся от основного только начало;.', строящихся в ответ на каждое пересечение в С частица;,« основного трока плоскости проходящей через центр и/о. Обозначим: рк5(Пк,Ек,ак) - параметры частицы в момент Н-го пересечения. Если с^сС, то моделируется дополнительный трек Вк, начинающийся со столкновения частицы с парамграми рк в случайной точка, равномерно распределенной в кр. Если а^В, то наряду с Вк независимо моделируется дополнительна. трек Ак, начинагэдйся со старта частицы с параметра;®! рк из случайной точчи, равномерно распре деленной но поверхности области е . в формуле суммирование идет по всем пересечениям плоскости г=с осногнг.л треком, ак=1кр1 »

Ьк=1кг'°1'/'1\к1' " проекция на ось z, ~ внепшяя" нормаль к поверхности в точке начала трека А^, ок^а(гк,Ек), ¡к:, ( -плоцадь Ер, - объем кр, ф(Ак),ф(Вк) - значения функционала о на треках ф(Ак),ф(31£).

2.7. Использование группировки столкновений в расчетах ф.х. Заданный процесс переноса моаэт быть реализован с разной стеяаньэ адекватности. Ввиду отсутствия надежных дтлнах по дифХзренцизльнкм сечениям взаимодействия заряженных частиц с Фдьпанства'А ведоств в

:бдасти магах перо дач энергия (особенно для гакзкозноргекгчесша частиц), в связи с недостаточной адекватностью для таких частиц •юдели п.п. в кондонсировашщх средах, с цель» ускорения счета, «конец, часто приходится трзэкторхи зарлхонных чвстиц моделировать огрублешю, используя различные схемы группировки столкновений. В таких групповых коде лях явно моделируются только столкнове-шя некоторого выделенного типа - ударные (катастрофические), зсталыше - скользящие (некатастрос^ическиэ) - приближенно учитывается ни переходах меиду ударными столкновениям. Группировка, зообще говоря, требует модзфпсаця! рсзраСотснных невосоьых методов зссчета ф.х., вследствие воомо?шого поругания слэдуиках дзух обязательных условий пркгэнкмости методов: I) заданный а.ф. от исход-юго п.л. долнон определяться в групповой модели с достаточной точностью; 2) система констант взе:ж>язйствая групповой модели вмяиа быть достаточна для реализации метода.

Первое условие наругается, например, для вагзюго а.ф. - числа юнизаций молекул среда в м/о, но мззгэт Сыть выполнено для очень ¡а::яого а.ф. - поглощенной в м/о энергии, основного из рэссмат-¡квеегах в наша счетных nporpa\2.:ax о группировкой (гл.4). Второе 'словиэ существенно нарушается в методе ФД-I (точнее в приведенном ■неэ варианте для столкновительного а.ф.), но выполняется (з пре-:ебрэ:::знии малозначащими для основных приложений членами) в мето-;ах ОД-2 и 05Д, которые, т.о., остаются приме^сяжи в расчетах |.х. поглощенной энергии з групповых моделях.

Метол ФД-I тюяно такге сделать применимым, если записать ого ля поверхностно-стодккозительпого а.ф.., каковым является погло-.енная энергия в групповых моделях. В работах - [15,17,18] ии редлокили другой путь, связанный с обобщением исходных моделей .::. на более общий чем п.п. ветвящийся процесс с непрерывным ременем, в ра?.иах которого удается описать .некоторые групповые одели. Этот обобщенный п.п. (о.п.п.) отличается от п.п. только озмояностью непрерывного детер?лшшрованного изменения энергии астицы на свободном пробеге, по-прешему прямолинейном. Изменение кергин на пути з определяется заданной функцией потерь ß3ßa(r,E) уравнением: ЭЕ/Эз=*р. При снижении энергии частицы нег:э заданного эрога прослеяивания Е частица считается поглощенной.

Представления (5),(7) остаются справедливыми в модели о.п.п., поглощенная энергия Q - аддитивным функционалом (столкновитель-э-трековым). Эти два обстоятельства позволили сформулировать

групповые аналоги методой ФД-1, ФД-2 роочота ф.х. М8(<3> в модели о.п.п. Новые формулы ФД-1, например, отличаются от старых наличием дополнительных членов: в (8) добавляется )Фа)в(Е(.),

а в (13) - и.о. Н^ ■ ) е' (0>* где 8 ' Щ^^олная е;

- то кб, что и в (14).

3. Статистические алгоритма с бесконечной дцспарсиеО.

Анализ флуктуация и ускорение сходашоста.

Построенные математические модели неаддитивных характеристик могут использоваться не только для решения физических задач переноса излучения. Имея общий характер, очи применимы ко многим задачам, связанным с марковскими процессами. Мы применили их к анализу флуктуация, оценке погрешностей и ускорению сходимости в известной монте-карловской (м-к) схеме Неймана-Улама решения линейных интегральных уравнений, превде в»го, уравнений переноса излучения. Мы рассматривали наиболее трудный и малоисследованный случай 'алгоритмов с бесконечной дисперсией.

3.1. Анализ фяуктуецкй в оценка пегрэшюотей. Вычисление в этой схеме л1шейного функционала I от ращения уравнения состоит в моделирования достаточно большого числа N независимых траекторий марковской цепи, вычислении на них значений некоторого функционала (м-к оценки) С» имеющего м.о. м?=1, и оценивании по выборке

(£ч.....?ы) этого м.о. В практических задачах для оценивания М£

-1й

используется исключительно выборочное среднее ' Е распре-

и 1

деление которого мо^эт быть оценено с помощью классических предельных теорем. Если 0?<®, и следовательно, предельное распределение нормально, то проблема (срзг достаточно больпшх К) сводится к оценке О?.. При 05«» предельное распределение есть устойчивый закон, параметра которого определяются асимптотикой функции распределения Р^) функционала В частности, если и

1-Р(Ч)=сч-в+0(я-л-°''), q■мc. (15)

где с,а'>0, ае(1,2), то функция распределения центрированного и

нормированного среднего (?н-м£)/ом при Ы-«> слабо сходится к функции распределения устойчивого зшсона с характеристической функцией

JeltqdGfj(q)=exp{-|t(°l[1-l'3lgn(t )tg(ra/2) ]). (1.6)

и нормировочными мжеттеля;от

0Н s jrí1-1/a)(c.c0(a))1A\ c0«x)sic/T2 Г (a) sin (та/2)), (17)

В работах (5,9) мы исследовали асимптотику функций распределения F(q) м-к оценок наиболее применимых в задачах переноса

т

частиц: аддитивного типа (I), Е h(X.), и "весового" типа,

ч < 1=)

Ii 1-1

С=Ф. - Е Q,h(X ), Q =w (X ) П w(X,,X. ), заданных на траекториях

(неветвящейся) обрыватаэйпя марковской цепи X, ,Х2.....Х1 . Исходя

из теоремы 2 нами доказан ряд теорем, устанавливающих сеязь неаду асимптотикой F и свойствами начального распределения а(А) цс.л, ее переходкой вероятности р(х,А), функций h.Wj,??. Приведем здесь центральный результат.

ТЕОРЕМА 10. Пусть фу>ищия h неоярицряелъна u h, - некоторая ее лахораняа, h, (х)>1 ,хея; «q={x:x^,h(x)Stq); w^íx'.xe*,!^ (x»q). Пусть при некоторых положительных поспояннах в,а,а' ,ß,ß' глкиг, чяо р<а, ß' <а'¡?(a-ß)/(1+<x>, ß'ia-ß-a' (а+а' ), некоторой функции a1 (x)=0(h^(x)),хек, и постоянней aQ¡£) выполнятся условия:

p(x,*q)=0(h/¡!(x)q-c'), p(x,»q)=a1(x)q-a+0(h^+'?(x)q-o-z:'),x^,qe(0,c0);

s(»^)=0(q-e), 3(»q)=aoq-a+0(q-i'"a'), qe(0,ra);

Jp(x,dx' )h®(x' )=0(1 ),x<=»; p(?)<1. Тогда для аддитивного функционала ср uzsem zeevio

P(9^q>=-l-F(q)=cq-^+0(q"ö~°' ),q«(0.o>), csrag+JnKdxJa^x)), (18) где п - единственное в 3*(«) редкие уравнения

ш(а) = jn(ctr )р(х' ,а) + s(а) (19)

Аналогичный результат получен вили в 19] а для весовых оценок Фет с ограниченны;«! весами Q±. Требования этих теорем, в частности, выполняется при весьма общих физических допущениях для известных "локальных" оценок потока частиц, вклзчвя хорозо известную и сиро-ко применяемую оценку штока в точке (Kalos П., Ермаков С.М. и Золотухин В.Г., IS63r.), для которой а=3/2. Теорв?гы для таких оценок вместо с формулеш (16),(17) дшя прзбд^-эннув сценку

функции распределения выборочного среднего Т„:

бесконечно уточняющуюся при Н-оо.

Наиболее очевидным практачекаш прикэнешюм этого результата является разработка методов оценки статистической-погресности м-к алгоритмов с бесконечной дисперсией, что и было сделано и подробно езлогйно (сокоестно с В.В.Учайказагм в [6,3}) для локальной оценки Калоса. Отметим здесь любопытный факт. При асимптотическая

статистическая погрешность, определяемая параметром о }, выражается через линейный функционал от решения линэйюго интегрального уравнения (формулы (1Т)-(19)), в то время кок е более простом случае, аналогичный параметр, т.о. (0£/И)1/г, выражается более слоено - чорез лшейнкй к билинейный функционалы (формулы (2), (3)). Ниез описано другое, кинзе очевиддное, но, видамо, более вагиое пригоезшв результата (20).

3.2. Ускоренно ежодакоато к-к влгоратиов с бесконечной дисперсией. Прлздшшалиши недостатком таких алгоритмов является медленная сходимость: их статистическая погрешность асимптотически убывает с ростом объема выборки К медленное закона ¡Г1/г, справед-лхшого при конечной дисперсии. Стандартный способ ускорения сходимости состоит в замене функционала I на другой, с тем со и.о., но другой асимптотикой функция распрэделения, желательно гарантирующей существование дпепереш. Как правило, эта замена приводит к 'радикальному изуэнзшш п услоаношо счетных программ, часто, с потерей та универсальности. Напрпкэр, все предложенные рецепты ускорения локальной оценки Калоса зависят от координат точки наблюдения, что существенно затрудняет одновременный расчет потока в нескольких точках. Нал подход С443, прпмэккай к любой неотрицательной оценке £ с асимптотикой типа (15), состоит в замене выборочного среднего £и на другую оценку и.о. м5, имеющую лучвую сходимость за счет использования информации, заключенной в (15). Сама • оценка £ остается неизменной, что позволяет без всяздах изменений, использовать шдэлирунЕдае ее программ.

Разобьем походную выборку (££ы) из 11=п-ш реализаций £ на т 'недаресекавддхся груш по п реализаций. Вычислив в каздой груша срэдпэо арготическое, составим из них новую выборку:

(!_,.... Д_>. - (1/п> Ч' 3=1,..:,т. (21)

п' ГШ . ПЗ . ^ з.мЗ-Пп+Т1

Сушения распределения ов одемептоз fnJ, согласно (20), при слабо сходится к устойчзпзсму распределении (q-p.)/o) с

неизвестными параметрами сдвига и мэсптаба а~а,л-

Предложенный нк/a ускоренный г.этод Монте-Карло основывается на двух сценках:

.....V .....W 3 iJníi)'

(22)

.....V = ^ 0*(5n1.....w s см

1=1 +a

Первая предназначена для вычисления искомого и.о. M ;, втзрая - ее

стандартного отклонения (DfA*)1/2. В (22) ïn(1) - 1-ая порядуэвая статистика Еыборхи (21); - веса наилучшей линейной несме-

цэнноЯ сценки (Ллойда ) параметров сдвига и рласштаба распределения

G на двзмды цензургфовеяноа (по типу II) гчборко из п эдемэн-* ?» ?

топ; а,Ь - парвмэтрц цонзур:-фовш21я (а^0,Ь>1 ,а+Ь<а), с£=оц /ос. Значения l1,31,c/J но зависят от разбора гругл п и вырагззтся через м.о. и коварисцка ссрядюснх статистая zuöop-ci аз стандартного устсйтгвого заясна 0 . Сдэдукг.зл тзоремз устзяааетгэт асимптотические сеойствэ оцзнсх (22). (нэсмгзязгость и гуйяктпввость ) и мязшэлыеге порядки убысгняя та смэг.зигй,

TE0TZÏA 11. При .асСых е>0, 0<Xt<1, 0<.\2<1-X1 CjnoMtíisnca:

1. MU* = MC + о{п~н+£), n-co (œl+a'/a-l/a),

рсбно.:ерно no п>а+Ь при условии а/еОл,, b/nöA.2, и ö.tn лхйого 4vj:cvcc6c:<-íozo и>а+Ь при условии , ;

2. Ks*//dÍF = l+ofiT0'''0*'5), ibe, .ir'ого п>а+Ь при а?.2, Ъ>3/а;

3. lin lin DíIVD = 1

irr-o rj-кэ

при цс-нгуриробоши: a=[rA.,), b=tn&2]. Здесь íxl - целая. чееггь x, Drc - Hvzt&a zpozauß Кралерс-Тао длл линейных uccxe^swzix оценок ларадЕгра сЗеига paenpstЯвления Ga (при неизвасшнол гаяхтоЗэ а) при оСъвл$ выйорт а и у:х2саннол цензурировании.

Укапем на три ваггыг достоинства нгзего ускоренного метода по сравнена) со стандартным (пепользутщем выборочное ерзднеэ) и по сравнения с сСггвина гдатодаггя ускорения (тат-шзасн конструкцию оцэнхя £)- I- "зтод гглеет нормальную асимптотику убывания погреш-

ности: 0(1Г1/г). 2. Метод может бить реализован на Оазе существующих программ, использующих стандартный метод с сохранением его достоинств: простоты, возмовдости одновременного счета многих величин и т.д. 3. Метод содержит в себе простой параллельный и высокоаффективный спосоО оценки статистической погрешности.

Мы рассчитали и затабулировали необходимые для реализации метода с а=3/2 значения весов 1±,з1,и множителя ср для различных размеров групп (т=5,10,15,20) и различных параметров цензурирования а,Ь [451. Чиссленные исследования на модельной выборке (т.о. из б показали, что у ко при т=15,20 распределение оценки ц* достаточно близко к нормальному, чтобы можно было использовать правило "двух - трех сипл". Эффективность оценки (ем=Бнс/Оц*) с ростом т быстро приближается к 1 и даже при т=5 е^О.7. Кратность выигрыаэ во времени счета по сравнению со стандартным методом при 99% уровне достоверности доверительных интервалов составила около 23 при т=5 и 47 при т=20.

Мы применили метод к вычислению потока излучения в точке на основе локальной оценки Калоса [44,45]. В задаче, имеющей аналитическое решение, мы проанализировали скорость убывания смещения Д=|МЦ*-М| | в зависимости от размера групп п. При всех ш и п>50 обнаружился степенной закон убывания смещения: Д ~ п~* с достаточно высокими и слабо зависящими от параметров га,а,Ь показателям зе=0.8-0.9, что существенно превышает теоретическую нижнюю границу, даваемую теоремой 11 (£0.457).

4. Прогр£И£1ая реализация разработанных ыатодов

Большинство разработанных методов расчета неаддитивных р.х. реализованы в значительном числе программ. Нике представляются последние версии трех наших главных пакетов программ: ТРИОН [22, 24,34], КАСКАД-5 [26,43], ХНАУ [29], предназначенных для расчета разнообразных линейных и флуктуационных характеристик переноса излучений разных видов в однородных и гетерогенных средах. В создании какдого пакета мокно выделить 3 принципиальных этапа: I) разработку (или выбор) модели более или менее адекватной имитации процесса переноса излучения, включающей способы расчета или кошилляции констант взаимодействия и методы моделирования отдельных элементов траекторий частиц; 2) конкретизацию общих методов для рассматриваемых излучения и характеристик; 3) разра-

Сотку ебцеЯ структуры пакета, оОъэдинякгяей основные программы (вычислителышо, модедяругов) п вслспоготвлыше, обеспечивающие достаточно удобное управление пакетом. останавливаемся здесь только на первых двух этапах и только на расчетах неаддптпвгшх р.х.; достаточно яяроно представленные в каздом пакете шглтацн-ошш9 л неикитациошшэ метода расчета аддитивных (линейных) р.х. более или менее -градационны. В отношение третьего этапа отметим лиаь, что все три пакета обоспочиваат: ревение разных задач, отличакдихся рассчитываемая! характеристиками и методаг.а та оценки, диалоговый ввод-вывод, архивирование и просмотр результате», продолжение прерванного счета, вклзчэтше новых задач и .др.

4.1. Пакет 1РП0Н. Виды излучения - электроны в диапазона энергий Юг2»10б эВ; фотоны, Ю3-2«Ю° зВ; ионы с аюятш номе-ргг.гл ^10 и энергиями 0.3зд/3-200 МэВ/нухлон. Геометрия среды -пластина, цилиндр, иар. Вещество сред; - вода, возмохно нодклмче-ппз других легких веществ. Основные рассчитываклае характерист-гки - линейные функционалы от потока час тиц, вероятностные распределения и моменты (1-ый и 2-ой) поглощенней знорпгз и числа ионизаций в м/о сферической и цилиндрической форм с диаметром с!з=1 гам. Основные приложения - :ляродози:гэтр:ы1, радиобиология, радиационная безопасность.

Моделирование переноса излучения осуществляется по схеме "индивидуальных столзсловений": моделируются все свободные пробега ц каадый шет взаимодействия с образованием вторичинх частиц. Учитывается все типы взаимодействия, доиниирут^ие в.указанных диапазонах энергий: фотоионизация и ксмптсновсксэ рассеяние для фото-ноз, возбуждение я ионизация молекул-среду электронами и ионами, упругое рассеяние электронов, испускание - "С::о"- электронов. Сечения взаимодействия рассчитываются в газовом приближении с использованием имеющихся в литературе экспериментальных данных. Для заряженных частиц используется, в . основное, борновскоэ приближение. При гаде даровании отдельных актов взаимодействия применяются различные сочетания катодов "обратных функций" и "отказов". Моделирование ионизаций внутренних оболочек молекул осуществляется имитацией ектэ соударения налетаггцей заряженной частицы с атомным электроном с учетом его движения и связи с ядром. Траектории строятся по лексикографической схеме. Подробности «одели излогоны в [22,24].

Для расчета каздоЗ ф.х. в пакетэ реализованы методы ОД-1 и

ФД-2 в предположениях А,Б,В,Д (см. пп.2.3-2.5). Самым ограничительным из них является условие Б, требование: Га=0 вне области Кр. К!ы приняли: , где Уе - окружающий и/о V слой равномер-

ной толщины е. Для лучшего удовлетворения указанного требования, сшшения соответствующей систематической погрешности, этот параметр необходимо увеличивать, для уменьшения статистической погрешности - уменьшать. Проведенные численные и аналитические исследования показали, что для рассматриваемых ф.х. и излучений систематическая погрешность 1-5 % достигается: при еСс! для нанометра-ческих диаметров м/о и при е*£) для микрометрических и больших.

Метод ОД-2 реализован в наименее громоздком виде, когда к группе В отнесены электроны и коны. Распределения ра>Ра>с1а в формулах (13),(14) т полагаем равномерными по г,О и пропорциональными осра,за,Фа, соответственно, по Е. Оба метода реализованы во всех трех схемах, изложенных в п.2.4.

Отметим, что реализация двух разных методов для одних и тех же величин позволяет осуществлять взаимную проверку расчетов (что особенно важно при включении в пакет новых задач), выбирать для кавдого расчета более эффективный метод. Опыт показывает, что, как правило, метод ©Д-1 несколько предпочтительней в расчетах моментов, а ФД-2 - распределений.

4.2. Пакет КЛСКДД-5. Виды излучения - фотоны, электроны, позитроны е диапазоне энергий 1СГ2-109 ЫзВ. Геометрия- среды -многослойная пластина, цилиндр, разбитый по радиусу и высоте на однородные по составу кольцевые зоны. Вещества зон - любые, чистые и смеси в любом агрегатном состоянии, основные рассчитываемые характеристики - линейные функционалы от потока часлщ, моменты (1-ые и 2-ые) числа пересечений частицами заданных поверхностей, поглощенной энергии в заданных областях с характерными размерами от нескольких микрон до метров, других аддитивных функционалов. Основные прилокения - радиационная защита, дозиметрия к микродозиметрия, дефектоскопия, физика высоких энергий и космических, лучей.

Моделирование переноса фотонов осуществляется по схеме индивидуальных столкновений с учетом комптоновского рассеяния (с выбиванием электрона), образования электронно-позитронных пар и фотоэффекта на всех атомных оболочках с испусканием характеристических квантов, фото и "Оае"-электронов. Необходимые константы взаимодействия, в основном, интерполируются из полуэмпирических

данных. Сечения образования пар в области высоких энергий ГэВ) рассчитываются с учетом эффекта Ландау - Померанчука по теории Мпгдала. При моделироавшши когштоновского рассеяния используется дифференциальное сечение Клейна - Нкшины - Таила, фотоэффекта -распределение Заутера, нкзкоэнергетического образования пар -дифференциальное сечение Бете - Гайтлера с поправками и распределение Борселино, высокоэнергетического образования пар - дифференциальное сечение №1гдэла.

Моделирование траекторий заряженных частиц осуцэствляетс.г1 я грушевой модели, развитой нами на основе "модели rpynmipo.vii' малых передач энергии", разработанной (для электронов сравнительно низких энергий) А.М. Кольчулскшм и A.B. Пляпешниксяым с нагим теоретически участием 12). Явно моделируются только аннигиляции позитронов ¡при "спуске" их за установленный энергетический порог просле^згзния Е ) и кстсхрофинесюю .олкновения - ионизацксрике и радиационные взаимодействия, в которых гнбзтаЗ электрон (т.е. сиеста меньшую энерппо) и тормозной квант получают опертой висе установленных порогов разделеки Si a соответственно.

Пробег частицы до катастрофического столкновения или ухода за порог Ее моделируется в приближения непрерывного замедления с использованием идеология метода "максимального сечения", используемого для моделирования свободного пробега в неоднородных среда?.. Если длина пробега оказывается больше некоторой длины отрезка Д1 то моделируются фазовые координаты частицы в конце этого отрозка и из этой точки вновь разыгрывается пробег. Длина Д1 рассчитывается исходя лз требования: изменение констант взаимодействия и средшй угол отклонения на отрезке не долг-зш превосходить заданных малых величин, что позволяет с контролируемой погрэспостьи использовать упоминавшееся приближение в резыгрызэ пробега п имеющиеся результаты Teopini переноса электронов для моделирования изменения параметров частиц на отрезке. Для изменения энергии мы используем распределение типа Ландау - Вавилова, для угловых отклонений -распре деление Мольер, для продояьшх н поперечных смещений - распределения типа Якга - Спенсера я Ферми,' подправленные на более точные результаты по моментам. Полученные для однородной среды эта распределения неприменимы прп переходе через границы зон з гетерогенной среде. Поэтому при приближении к границе ш уменьшаем (с заданной кратностью) длину отрезка я пренебрегаем исхрпзлением на нем траектории. На границе кн осуществляем С-рассэяниэ - фиксируем

конец отрезка и начинаем повей с тега го параметрами.

Ионизационные катастрофические столкновения моделируется исходя нз дифференциального сечения Меллера, око х;е используется для расчета соответствующих полна* сечений и тормозных способнос-ностей. В области низких анергий ГэВ) для моделирования радиационных квтострофяческпх столкновений и расчета соответствукщи. сечений и тормозных способностей используется дифференциальное сечение Бете-Гайтлера с поправками, в том числа на полуэмпиричес-кке полные радиационные тормозные способности; направление фотона разыгрывается из распределения Шпффа. В области высоких энергий учитывается эффект Ландау-Покэранчука потеории Мигдала. Полная ионизационная тормозная способность рассчитывается по формуле Бете-Блоха с поправками.

В пакете реализованы три неимитоцпонных алгоритма одновременного расчета 1-го и 2-го моментов а.ф., основанных на весовых оценках (п.2.2) и методе ОФД (п.2.е), соответственно.

Первый алгоритм предназначен для расчета моментов числа пересечений заданных (детектирующих) поверхностей частицами электромагнитных каскадов, главным образом высоко и сверхвысоковнергетич-ных, которые из-за огромного числа частиц трудно или дане невоз-когко имитировать на ЗБ'Л. Второй алгоритм предназначен для расчета моментов поглоданной энергии в выделенных (чувствительных) областях, главным образом, оптически тонких по одному из направлений, когда имитация неэффективна из-за очень малого числа фотонных взаимодействуй в шх. Третий алгоритм предназначен для расчета в плоской геометрии моментов -поглощенной энергии в выделанных областях, главным образом, очень малых (*Шясл) .когда Емитация и весовые методы практически невоз^огны из-за проблемы попадаяпя (см.п.2.3).

Весовые оценкп 1-го момента, ф|0), 1в,:евт обычный для метода Монте-Карло вид однократной сукка (форлула (12) при N=1), вычисление которой кокет производиться одновременно с лексикографическим построением каскада, требувдим запоминания очень незначительной информации о прзднеторпи. В случае высших моментов подобный алгоритм невозможен из-за многократности суммы (12). Непосредственное, поэлементное, ее вычисление требует запоминание весьма значительной информации . о каскаде, что существенно ограничивает возможности в увеличении энергии частиц. Нами (совместно с Д.С.Бургпстровым) разработан и реализован достаточно нетривиальный алгоритм построения оценок использующий

лексикографическую схему моделирования каскада и суммирование по более крупным чем элементы структурам каскада. Алгоритм позволяет экономить оперативную память ЭВМ в типичных для физики высоких энергий ситуациях, когда число регистрируемых частиц составляет малую часть частиц каскада. В наших расчетах, для самых больших каскадов, экономия памяти достигала 4+5 порядков.

Модификация траекторий в первом алгоритме (оценка ^1 ) заключается ео введении искусственного поглощения в фотонных и катастрофических столкновениях без изменения полных сечений взаимодействия. Вероятность такого поглощения монет задаваться зависящим от фазовых координат элемента и его одночастичного весь В действующем пакете реализована достаточно елокная зависимость, уменьшающая поглощение в области больших энергий (где мало частиц) и в области больших весов (для уменьшения их флуктуаций) я увеличивающая его для частиц, имввдих .луп вероятность достижения детектирующих поверхностей.

Модификация траекторий во втором алгоритме (оценка <p,!(3 ' ) заключается в искусственном увеличении полных сечений взаимодействия фотонов в оптически тонких чувствительных областях. Сечение устанавливается зависящим от направления двигения фотона так, чтобы соответствующая оптическая толщина области была не менее заданной величины .

Метод ОФД в третьем алгоритме реализован без предположения В об однородности поля в и/о V и при Rp=V. Последнее, как показали численные исследования, приводит к менее чем 1% систематической погрешности, как и в методах ФД в ТРНОНо для микронных а/о.

4.3. Пакет XRAY. Виды излучения - фотоны, электроны в диапазоне энергий 0.001-2 МэВ. Геометрия среды - многослойная пластина, цилиндр, разбитый по радиусу и высоте на однородные по составу кольцевые зоны. Вещества зон - любые, чистые и смеси в любом агрегатном состоянии. Основные рассчитываемые характеристики - линейные функционалы от потока частиц, моменты (1-ые и 2-ые) и распределения поглощенной энергии в заданных областях с характерными размерами мкм. Основные приложения - радиационная защита и безопасность, дозиметрия и микродозиметрая.

Моделирование переноса фотонов осуществляется по схеме индивидуальных столкновений как в КАСКАДе, но без учета образования электронно-позитронных пар. Моделирование траекторий электронов

осуществляется в одной из двух групповых моделей. В первой, более детальной, в качестве ударных столкновений приняты ионизации с энергией выбитого электрона выше заданного порога Ее и все упругие рассеяния. Ыезду столкновениями электрон 'движется прямолинейно, непрерывно теряя энергию за счет возбуждений и скользящих иониза-ций. Тормозное излучение не учитывается. Ударные ионизации моделируется в соответствен с дифференциальным сечением Меллера, а упругие рассощзш - сечением Резерфорда, экранированным по Мольер при Е>20 кэВ ц по Бергеру при Е<20 кэВ. Полная тормозная способность рассчитывается по формуле Бете-Блоха с поправка;,а. Подробности модели и ее обоснование изложены в [15,173.

В качестве второй, ' более "быстрой", модели реализована упрощенная схема групгшровзш малых передач энергии. От реализованной в КАСКАДе она отличается не учетом тормозного излучения, пренебрежением продольных и поперечных смещений электронов ко отрезке, использованием на нем приближения непрерывного замедления. Указанные упрощения в значительной мере компенсируются использованием меньших длин отрезка А1.

Первая модель предназначена, главным образом, для расчета моментов и распределений поглощенной энергии в м/о микронных размеров. Она имеет конструкцию о.п.п. и в ее рамках реалазозаны группошо аналоги методов СД-1 и ФД-2 (п.2.7). Как и в ТРИОНе мл приняли, что есть 1.1/0 с округакщш его слоем равномерной толщины е, к группе В отнесли зарягенныэ частицы (электроны), розыгрыш направлений и координат первичных частиц осуществляем из равномерного распределения. Как п в ТРИОНе оказалось, что принятие 6=0 приводит к не более чем 1® погрешности.

Вторая модель используется для имитационных расчетов п оценки линейных характеристик весовыми методами.

5. Результаты рс^егш Еэзддатизпых радиационных задач.

Разработанные математические модели, методы и программы нашли приложения при решении значительного числа неаддативных задач микро и нанодозшетрии, радиобиологии, радиационной защиты и безопасности, физики космических лучей, дефектоскопии. Нами и другими специалистами выполнено значительное число конкретных расчетов, получены и результаты достаточно общего характера, значимые для указанных областей. Нигга кы останавливаемся только на таких назшх

результатах.

5.1. Гйпсродозхплзтричесгие характеристики. Стандартными для штродозиметрни (м/д) являются условия при-которых I) рассматрива-ег.и^а ютфообъем (м/о) находится в однородной зоне поглотителя на расстоянии более (2-3)d от ее границы (d - диаметр м/о), 2) d«X (X - характерный масштаб пространственного изменения потока частиц в окрестности м/о), 3) м/о либо симметричен, либо случайно изотропно ориентирован, либо поток в окрестности м/о близок к изотропному). В этих условиях применимы редуцированные представления (8)-(10), и фундаментальные характеристики м/д - распределение f(q) и моментч q поглощенной в м/о энергии Q в рзсчоте на одно событие (т.е. на одну испуганную частицу, внесшую еклзд.в Q) - определяются только спектра.™ частиц Фа в окрестности м/о и функция?::: отклика (ф.о.) F . Если se м/о находится в условия^ равновесия для некоторых сортов, частиц (что такгэ является стандартным для м/д), то достаточно знать спектры лишь неравновесных частиц Фп и соответствующие

зфЕектиЕниэ ф.о. гг . Ф.о. ne зависят от источника, состава и

п о п

гескетрип поглотителя, а~определяются только веществом и геометрией îл/о, видом м/д характеристики. 3 связи с такой универсальностью мы предложили табулировать ф.о. для наиболее распространенных м/о и(м/д характеристик, и тем самым, сводить их расчет к процедуре аналогичной расчету поглощенной дозы.

Используя XHAY ьи составили таблицы электронных ф.о. для расчета первых двух моментов поглощенной энергии и вероятности осуществления события в сферических и/о диаметром 2-16 мкм [1Т1. В (131 'лы затабулировали эффективные фотонные ф.о. ~<г для расчета этих se

характеристик (вычислением интеграла . С помощью

этих таблиц мы рассчитали моменты в зависимости а) от глубины залегания м/о в водном фантоме, облучаемом моноэнергетическими и тормозными источниками, и 0) от энергии фотонов в мокоэнергетичес-сих фотонных полях (191. Бнл обнаружен ряд качественных особэн-»остей, в частности, немонотонность зависимости б) - рис.1. Здесь гаображэнн вэяш и зксперилентальные данные (Kliauga P., Dvorak R. ladlat.Res.,1578,73) по т.н. частотам ур и досоекм yd средни?« шнейной энергии (y^q^l, y^q^/^i), i - средняя хорда м/о). [ва широких пика на кривой объясняются сущэстгенным различием пектроз вторичных электронов, роздаздахся в результате двух роцэссов - комптоновского н фото эффэктоз, п различной энерге-

4и —

Уг.Уо. кэВ/мкы

■»"«■»»»гп— " » Г + + + + ♦ \ Л Г /\ Г-ГИ1Т1 '■■ ХКАУ зксп.*

// \Уо

/ ♦ \уг N. * '

1 14 1 111.1 ..¿..л,.. I >1и1

1 10 ^ 100 1000 энергия фотоноз, кзБ

Рис.1. Частотное, у„,и дозовое, средние линейной внергии для сферических и/о диаметром 4 мкы и фотонных моноенергетических полях в воде.

(УУг/УУ)г

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

..... элек.ЮкэВ .... фот.1.

ооова 'н ЗЭОЕЭВ

..... Н 1МэВ

*»»*» Н 5МэВ ♦♦♦♦♦ Н 20МэВ

/С ЮМЭВ/Е Не 5МэВ/н' формула

10

- нить с)=2ны

----сфера с)=31ш

• • • ^п

+ + + р»

1.1Н,20МэВ ■ 2.'гС,10МэВ/н

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ГЪ число ионизаций. п

Рис.2. Распределение числа ионизаций I п соответствующее распределение Пуассона р для' нитевидного и сферического" и/о с одинаковой средней хордой 2нм в двух ионных полях в воде.

____ лпэ-подход

—— мд-подход сы—подход эксперимент

10 , 100 диаметр и/о. нм

10 , 100 10! анергия фотонов, кэЬ

Рис.3. "Флуктуационное VI" второго - порядка в единицах средней внергии ибнообразования И для сферически! и/о в различных радиационных полях в воде.

Рис.4. Относительная биологическая вффективноеть (0БЭ) и коэффициент качества (КК) для моноенергетических фотонных полей.

тической областью действия этих процессов. Отметал, что не" им--расчетного и-теоретического обосноваши такой особенности, автс: эксперимента не решились заявить о ной, .несмотря на достаточ; четкое ее проявление в эксперименте.

5.2. статастяка псвазвтй в пппссСъеиах. Ваанейзей пусков причиной больпинства радиобиологических эффектов является иониз ция в субклеточных и макромолекулярных структурах ¡слетки - моле к-лах ДНК, нуклеоссмах, хроматиноЕых нитях и т.п., - в селзи с ■ актуальны исследования вероятностных распределений 'сюда иониз г iv.«. в различных м/о нзнометрических размеров г тканеэквивалентных -дах. Наиболее точные я систематические исследования в дашюм i; .. рпзлении выполнены нами с помощью программы TFH0H 116,22,34,38,4 , 42]. В результате установлен ряд закономерностей в отнесении ра-_-псе делений 1 =f4v=n) числа ионизаиий *' в отдельных событиях ¡гак-.

г п

зашш (т.е. в расчете на одну испущеь./я источником частицу, жги-щяровавяуп ионизации в м/о) для сферических и нитэеидных м/о в воде в однородных полях* фотонного электронного и ионного излучения. Установлены, в частности, следующие общие, не зависящие от фор:,ai м/о и вида излучения, факты (38,401:

I. Форма "ианонетричесних" Í качественно отлична от "гдперо-метрических". Вследствие ведущей роли вторичных электронов для первых характерны максимум при п=1 н монотонное спадание с ростом п (рис.2.). 2. Пуассоновское распределение р с такой se как у Г„

от со п п

нормировкой и и.о. ( Е Р =1, Г hd =i-tv) всегда угэ чем Í : отнозе-

п=1 п п=1 п

шм дисперсий rsDj/D >1. При Mv^lO значение г монет достигать ICO

и более. 3. При Mv-1 (или d-0, d - диаметр м/о) Í -рп. причем скорость сходимости тем выше, чем меньше п (см. рис.2). Область применимости пуассоновской аппроксимации по критерию г^2 ограничена значениями mv$1.5-2, что соответствует средним хордам КЗнм для низких ЛПЭ и Н(1-2)км - для высоких (пот 4Не, 12С):

Во всех наших расчетах распределения Г в цилиндрических (в изотропном поле) и сферических м/о, смеищих одинаковую средняя хорду, оказались близки мезду собой (рте.2 это хоропо иллюстрирует), а том числе и на хвостах распределений и для бесконечного цилиндра (нити). Последнее особенно неожиданно, поскольку асимптотики распределений хорд нити и шара радикально отличны. Для объяснения мы предположили, что больщие отклонения в числе понизаций v получаатся, преимущественно, не за счет выпадения больших хорд, а

- а -

в результате случайного выпадания больших V при любых хордах.

5.3. поепзсцмхжада 13тод в ееподоеп^-этрпп. Основным предположением традиционного ионизационного метода (Т1Е-1) определения поглощенной энергии, кироко используемого как в экспертентах с применением пропорциональных счетчиков н ионизационных камер, так к в расчетах, является прямая пропорциональность мезду анергией 0, поглощенной в заданной мпгони, и числом ионизаций в пей: СИ,'<7, где й - средняя енергия новообразования ("К-уаШа"). Строго говоря зто

приближение верно лииь в среднем, СН«Г, при налички однородности радиационного поля в окрестности киденп. В 137,39,46), используя

ТРИОН, мы оценили область прпмэцимзстк ТШ как для определения а в неоднородных полях, так п характеристик флуктуащй. О-в одаород-ных. Предложили точные формулы, связывакциэ распределения к моменты <2 с аналогичными характеристиками .1, а так1е формулы коррекции различных данных, получаемых в рамках ТИМ. В частности, для корректного определения моментов мы предлагаем использовать:

а(к)= = , к=1,2,..., где и .т"0 -

к-ые. кумулянты а п J за экспознцша, е^- к-ыз моменты 0 н о в одном событии энергопоглощошш н ионизации, соотеэгстёзнко. Величины 1(7 , К - но зависящие от дозы ноше радиационные параметра.'

В однородном поло но зависит от размеров и формы к/о и совпадает с 17 - поэтов мы назвали параметры при к>1 "флуктуацг,-ошшха К". Они угэ заЕисят от фора п разборов к/о. Ка исследовали поведение вагвейсего из них, П'2, в зависимости от диаметра й сферического ы/о в однородных радиационных полях различного качества (рассматривалась более десятка различных электронных, фотонных к ионных полей). Оказалось (см. рис.З), что отношение 'Г,'г/Г; удивительно слабо зависит от впда и энергии излучения; оно монотонно растет от значения «0.8 при с1-1 га, выхода на 1 при й~100 ем. Все результаты могул1 сыть с погрешностью менее 53 аппроксимированы

универсальной формулой: (Р£Л?)г=1-ехр{-(с1/1.09)°'33}, <нм).

Тем самым рекается задача определения дисперсии поглощенной энергии по дисперсии числа иокизацпй в однородных полях.

Параметр И, равный среднему числу событий анергопоглоцэния, приходящихся на одно событие ионизации, характеризует степень неэквивалентности этих событий (до* нас не отмечавшаяся). Она сущвст-

векна в нанометрпческой области. Выполненные расчеты псиазали, что Е достигает значений 1.7-1.8 для й=1нм, и существешю отличается от 1 да~е для й~1ССнм.

5.4, Спэ.тгрс"етр:г:асгсгЛ подход г. оцаяко пзчества излучения и пвдукцял радяацгговпах сф£актса. Фундаментальной проблемой радиационной физики является определение возмогно более шроких классов радиационно-индуцировашшх эффектов и установление в каядом возможно более простой измеримой радиационной характеристики - радиационной (физической) меры воздействия излучения, - однозначно ре де лягай выход всех эффектоз в своем классе. В (23,33,35,26; .мг изучали эту проблему для эффектов, обусловленных воздействием чьо -т:щ на малые структурные элемента облучаемого объекта - элементы электронных микросхем, кристаллы АгВг 'в фотоэмульсии, структуры завой клетки и т.п. Применяя теория ф.х. (пп.1.4, 1.5) к самым обеим мнкродозияэтричесхим моделям таю: эффектов, пряэла к заключению, что весьма универсальной радиационной мэре" для них (эффектов) является набор действуп^к спектров частзщ всех сортов (О } в точке наблюдения (в oicpecTiiocni (стани).

Этот вывод далеко пз очэепдон, поскольку для рассматриваемых аффектов (з силу малости «пеней) существенны флуктуации радиационного поля и структура трокез частиц; еыход эф5октов, поэтов, неаддитшзен и, следовательно (пз результатов гл.1), он не определяется никакой линейкой характеристикой. ни поглепэнной дозой,, ira спектра?^, ни дз~э двозды дифференциальным потоком <3(r,0,E,a,t). Только при некоторых услснпях (сформулнропанных в [33) и, более сбстрзктно, з п. 1.5 как у сложил 1-3) информации, содерпадейся в (Оа>, сказывается достаточно для определения выхода. И только потому, что реализация этпх услсппй весьма характерна для многих систем (особенно биологических), спектры (Оа) оказывается достаточно универсальной радиационной мэрой. При равновесии"вторичных частиц некоторых сортов в качестве радиационной мэры вместо полного набора С«За1 кожа пртаять набор только неравновесных спектров {<5„}.

Наиболее просто спектры {©а> определяет линейные эффекта, составляла прзнцшгаально вагшуэ группу эффектов, выход которых пропорционален поглоценпыой дозе. Внход любого линейного эффекта описывается формулой (8) ила более общей, учитываЕцей возможность равновесия, формулой (10), в которых фундаментальные, Fa. и эффективные, гзп, функции отклика (связанна мезду собой соотношением

— 4.4 —

(II)) определяются только природой эффекта. Они могут быть найдены решением обратной задачи, исходя из экспериментов с различными источниками, или рассчитаны, исходя из имеющейся количественной модели. В рамках рассмотренной нами в [33] обобщенной микродозиметрической модели выход линейного эффекта есть некоторая ф.х. М£(ф), для которой эфективны развитые методы ФД.

Изложенный подход мы назвали спектрометрическим (СМ) и применили его к оценке относительной биологической эффективности (ОБЭ) и предложил! твкге использовать для оценки коэффициента качества (КК) излучения. Последний, по-существу, является результатом неформализованного осреднения ОВЗ по некоторому множеству р/б эффектов, и поэтому ОБЭ и КК оказываются одинаково связанными со спектрами:

И = В-1 £ рп(Е)гп(Е)йЕ, Б = £ рп(Е)с!Е. (23)

XI п

Здесь, для удобства, вместо потоковых спектров ш используем однозначно с ними связанные дозовые спектры Бп в точке наблюдения; суммирование идет по группе неравновесных частиц (п), Б - поглощенная доза, отвечающая спектрам Бп. Ф.о. гп определяются: I) эффектом, а для Л=КК вффектага: и правилами осреднения, 2) выбором стандартного (ссылочного) радиационного поля, для которого И=1, 3) разбиением всех сортов частиц на группы равновесных и неравновесных (связь месду ф.о. гп, отвечающим различным разбиениям дается формулой (II)). Таким образом, радиационной мерой ОБЭ и КК, иными словами, мерой качества излучения в СМ-подходе является произвольно нормированный набор действующих спектров неравновесных частиц в точке наблюдения.

СМ подход к оценке ОБЭ и КК обладает серьезными преимуществами (подробно изложенными в [33]) перед двумя главными альтернативами - ЛПЭ и КД (микродозиметрическим) подходами, что позволило нам предложить его в качестве новой возможной системы оценки качества излучения в радиационной безопасности [28,35,36].

5.5. ОВЭ и коэффициенты качества вдектронно-фотоншх полей. Накопленный радиобиологией экспериментальный материал однозначно свидетельствуют, что биологическая эффективность электронно-фотонного излучения существенно зависит от вида источника и условий облучения. Но до сих пор это различие не отражено ни в национальных нормах радиационной безопасности (НРБ-76), ни в рекомендациях мевдународного комитета по радиационной защите (1СКР). Одной из

причин, несомненно, является непригодность ЛПЭ-подхода, принятого ICRP и НРБ для оценки качества редкоионкзируюцвго излучения.

Мы применили к оценке качества электронно-фотонного излучения наи СМ-подход, приняв в качестве биологического теста выход хромосомных аберрация в лта$оцитах крови человека [28,33,35,36]. Этот эффект хорошо коррелирует с другим вашими эффектами, включая канцерогенез, он является одним из главных эффектов принимаемых во внимание при регламентации КК. При фотонном облучении, в условиях электронного равновесия, в суммах (23) остается единственный -фотонный - член с ф.о. г (Е), совпадащей со значениями R (б нашем случав ОБЭ) в моноэнергетических фотонных полях. Используя имеющиеся экспериментальные результаты, применяя микродозиметрическую модель (в области Е>10кэВ), метод ФД-I и программы XRAY (в (33 5) и THICK (в (35)), мы рассчитали ОБЭ г в диапазоне I-I250 кэВ. На рис.4 она представлена по отношению к (стандартному) 1-25 МэВ-нсму фотонному полю (Со-60) и сопоставлена с ОБЭ, полученными в рамках ВД-подхода на основе тех г;е что и у нас экспериментальных данных и с КК, полученными в рачках ЛПЭ-подхода на основе зависимости КК от ЛГО, принятой в НРБ-76. Здесь не'представлена характерная экспериментальная точка ОБЭ (Virslk et al. Int.J.Radiat.Biol.,1980, 38"). МД-кривая при ЕЯОкэЗ взята из доклада меадународной комиссии по радиационным единицам и измерениям (ICRU-40), при Е<10кзВ - она рассчитывалась с помощью ТРИОНа по тем г:е данным. С помощью ф.о. г , программ КАСКАД и XRAY мы рассчитали ОБЭ различных полэй создаваемых изотопными, тормозными и рентгеновскими источниками.

Проведенные исследования, в частности, показали. I. Качество фотонных полей существенно зависит от спектра: в диапазоне I-I250 кэВ ОБЭ моноэнвргетическкх полей уменьшается примерно в 4.5 раза, шея локальный максиму}« в области 30-100 кэВ, связанный с переходом от доминирования фотоэффекта к доминированию комптоновского рассеяния; ОБЭ от рентгеновских источников (100-250кВ) составляют 2-2.5; ОБЭ в поглотителе, заметно меняется с глубиной: от моно-четочнаков наблюдается рост, от рентгеновских и тормозных - спад. 2. Источник Со:60 более приемлем в качестве стандартного, чем рентгеновские источники. 3. Применение ЛПЭ и МД подходов наталкивается на больше трудности при описании качества электронно-фотонных полей в достаточно широком диапазоне энергий.

5.6. Оцаняа выхода двунптешх рззрнзез ДНК (ноназацпезная

кошьитерная кодель деуштешх разрешав ДНК}. Пакет ТРИОН позволяет строить компьютерные модели радаационно-индуцированных биологических эффектов, опираясь на корректные представления о физической стадии биологического действия излучения, избегая сомнительных допущений традиционных "формульных" моделей и, тем самым, уменьшая количество свободных параметров. В 122,34,42 3 мы рассмотрели одну такую, модель для оценки выхода двунитевых разрывов I (ДР) молекул ДНК в клетках, безусловно важнейшего эффекта молекулярной радиобиологии.

Модель опирается на достаточно признанные представления о ионизационной первопричине разрывов ДНК. В соответствии с ниш мы связали ДР с событиями многократной ионизации в нитевидной изотропно ориентированной мишени диаметром' (1=2-3 нм в воде. Используя ТРИОН мы исследовали простейший, пороговый вариант модели, когда" ДР ассоциируются только с теми событиями, в которых число иониза-ций равно или превышает•некоторое критическое значение п. Оказалось (см. рис.5), что. одно значение п=6 (при <1=2.6 нм , что соответствует пересчитанному на плотность воды диаметру ДНК) обеспечивает удовлетворительное,описание измеренного выхода ДР У в дрожжевых ¡слетках (РгапкепЬегя ег а1.,1п1.^.Иа<11аг.В1о1.,1936,50 & 1990,. 57), клетках млекопитаидих" (Каир' ег а1.,5Шс!1а В1орЬуз1са, 1932, 83 & 1983,93) и опухолевых клетках (В1ос11ег, 1988,54), облученных различными фотонными (в энергетическом диапазоне 0.28-1250 кэВ)- и ионными (в'ЛПЭ диапазоне 10-150 кэВ/мкм) источниками. Выход У в модели и экспериментах пропорционален поглощенной дозе и массе ДНК, и поэтому на рис.5 он нормирован на единицы этих величин. На наш взгляд, описание столь разнородных экспериментов фактически однопараметрической моделью свидетельствует об определенной адекватности модели.и не формальности параметра.

5.7. Оценка Ешшяяеыости дефектов в интроскопических системах. В работах £23,273 мы применили метод ОЗЩ (п.2.6) и программу КАСКДД-5 к исследованию проблемы выявляемости малого дефекта в радиографических и интроскопических системах фотонной дефектоскопии. В таких системах детектором излучения является чувствительный экран (рентгеновская пленка, сцинтиллятор и др.) располагающийся позади облучаемого.объекта. Дефект отображается на экране как размытое пятно маскируемое флуктуациснными пятнами. Для исследования выявляемости, поэтому, -необходимо определять как среднее

30,

, 10-,г Грэй 'Дальтон"'

»i if«»| i1 г i /1г»ч ' т 1 »-i »nwi ■ i » »i пиг

20t

о о о о о Frankenberg,4Ну,у ооо»» Kampf,Eichorn, Не + ♦ ♦ ♦ ♦ Blocher, Не

Kampf, 0

10'

.С

юо

10

100 1000

энергия фотонов, кэ] ЛПЭ ионов, кэВ/ыкы

доза п экране, Грэй

Fue.5. Теоретический (кривые) и Рис.6. Характеристики р,г выяв-аксперкменталышй (точки) еыход ляемости дефекта о1«1мм а шп

двукитевых разрывов ДНК Y клетках,облучаемых фотонами (7) и легкими ионами.

роскотшческой системе о различными значениями параметров (Н,см;Е,МэВ): 1-(5;3! ,2-(Ю;3 ), 3-(5;15), 4-(10;15).

10„ k 20 глубина t, к.е.

'¿¿1.....ö:'i........; ......va0 *

радиусы r.r'.r", cn

Рис.7. Глубинные характеристики электромагнитных каскадов I и III. Точки - КЛСКАД-5, сплошная кривая - формула Грейзена. пунктир - формула Учайгаша.

Рис.8.Радиальные ьарактеристики электромагнитных каскадов II и III на глубже 17.8 и 5.04 см, соотв. Кривая 2 - Zhang et al., остальные - КДСКАД-5.

значение Tai; и вероятностное распределение поглощенной энергии в малых областях экрана (и/о), вырезаемых проекцией дефекта (мы предполагаем, что сигнал о дефекте пропорционален поглоче;лой в м/о энергии). Аналоговое моделирование здесь практически неосуществимо из-за проблемы попадштя; метод кэ ОФД в сочетании с теорией возмущения оказался успешным.

Мы рассматривали упрощенную интроскопическую систему составленную из двух пластин - просвечиваемый объект из Ре и экран из Nal толщиной 1мм, - облучаемых однородным мононаправленным пучком тормозного излучения. В качестве дефекта рассматривалась цилиндрическая полость 0 IíImm вблизи облучаемой поверхности. Был рассмотрен ряд вариантов,- отличающихся толщиной объекта Н и максимальной энергией фотонов Е. В качестве характеристик выявляемое™ дефекта рассчитывались (в прибливенки нормальной распределенности сигнала) отношение сигнал/шум г и вероятность правильного' обнару-кения р в зависимости от поглощенной дозы в экране. Результаты расчетов четырех вариантов системы приведены на рис.'6.

Наряду с конкретными результатами, в работах 123,27) наш предложены некоторые общие формулы и рекомендации. В частности предложена' некоторая измеримая "мера выявляемости", т.н. эффективная доза, которая намного лучше чем поглощенная доза определяет выявляемость дефектов.

5.8. Оцапка характеристик электромагнитных каскадов сверхвысоких энергвй. Решение современных проблем физики высоких энергий и космических лучей приводит к необходимости оценивать линейные и флуктуационные характеристики чрезвычайно больших электромагнитных (електронно-позитронно-фотонных) каскадов с- отношением энергии первичной частицы к порогу прослеживания E0/Et=lo8-io10 и более, с числом частиц в каскаде 10б-10.р и выше. Имитационное решение таких задач практически невозможно, предпринимавшиеся попытки использования неимитационного моделирования были ограничены только линейными характеристика:,и. Наши методы и алгоритмы, реализованные в программе КАСКАД-5,впервые позволили методу Монте-Карло проникнуть в указанную выше область, сохранив его основные преимущества: возможность максимального учета геометрии задачи и имеющихся данных по процессам взаимодействия частиц с веществом (26,433.

На рис.7*8 представлены результаты трех расчетов: 1,11,111. В случае I каскад порождался электроном и развивался в однородном

воздухе, Е^Ю^ЛэВ, Et=1MsB. Случай II отличается от I средой (свинец) и уникальным диапазоном энергий: Ео=109МэВ, Ег=О.ШэВ. Расчет III моделирует эксперимент физики космических лучей с рент-геноэмульсионной камерой. Рассматривалась двухфазная воздуишо-сви-нцовая среда с плоской горизонтальной границей раздела, расположенной на высоте 4380 м над уровнем моря. Плотность Еоздуха полагалась переменной и рассчитывалась в реалистической модели "американской атмосферы". Первичная частица стартовала вертикально вниз с высоты 1500 м над поверхностью свинца. Е0=7-Ю^эВ, Et=0.1MaB.

На рис.7 приведены средние значения n(t) и стандартные отклонения s(t) числа заряженных частиц,пересекших перпендикулярную оси каскада "детектирующую" плоскость на глубине t (в каскадных единицах, к.е.), отсчитываемой в случаях 1,11 от точки старта, в случае III - от поверхности свинца; (1к.е. равна 0.56см в свинце и 284м в воздухе нормальной плотности); на рис.8 представлены поверхностная плотность í(r) числа таких пересечений на расстоянии г от оси и их стандартное отклонение с(г',г") в кольце с радиусам! г',г".

Имеющиеся в литературе данные позволили провести сопоставления только в случаях 1,11. В 1-м мы использовали известную аппроксимацию Грейзена для n(t) и эмпирическую формулу У^айкина для s(t)/n(t); во 11-м - интерполяционную формулу для Í (г), полученную C.Zhang et al. (Nucl.Instr.Heth.ln Phya.Res.,1989,á283) на основе систематических расчетов на мощном компьютере (CRAY-2) "неполным" двухэтапным методом Монте-Карло, непригодным для расчета флуктуа-ций. Ная весовой метод'позволил рассчитать í(r) за один шаг с одновременным расчетом флуктуационных характеристик на персональном компьютере (АТ-386).

Расчет III еще более сложен, его вполне моашо отнести к рекордным: E0/Et«101°, гетерогенная среда с переменной плотностью одной из фаз, учтены все основные процессы взаимодействия (включая очень трудные для численных методов фото и комптон эффекты, эффект Ландау-Псмеранчука), рассчитаны флуктуации, расчет произведен без промежуточных этапов на персональном компьютере.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ, СЖЕЛШССаШНШ: ПО ТШЗ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лаппа А.В.,Кольчуккин А.Ы.,Учайкин В.В. Интегральные уравне-~ шля для вероятностных характеристик функционалов, заданных на тра-

- екториях марковской цепи. - В кн.: Катоды Уонте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Новосибирск, 1974, с.114-121.

2. Пляяшшников А.В.,Лаша A.B. .Кольчугжин A.M. Моделирование переноса электронов с использованием вложенных марковских цепей. -Там Ее, с.283-288.

3. Лаппа A.B. Представление и оценка методом Ионте-Карло математического ожидания неаддитивных функционалов одного класса от общего ветвящегося процесса. - ВИНИТИ, 1975, деп.рук. N3596-75, 40с.

4. Лаппа A.B.«Учайкин В.В..Кольчускш A.M..Суслик А.З. Метод рандомизации сечений в расчетах прохождения частиц через неодно-роднуи среду. - В кн.: Статистическое моделирование в математической физике. Новосибирск, 1976, с.17-26.

5. Учайкий В.В..Лаппа A.B. Цр^енение вероятностных уравнений к анализу !.юнтв-карловсккх оценок с бесконечной дисперсией. - Там еэ, с.65-74.

6. Учайкин В.В.,Лаппа A.B. Статистичекая погрешость локальной оцешсн в задачах теории переноса. - Там еэ, с.75-83.

7. Беляев А.Н.,Лаппа A.B. Моделирование процесса разрушения твердых тел под действием могших Емпульсных пучков электронов методом Конте-Карло. - еизика твердого тела, 1976, т.18, N11, с.3534-3536.

8. Волков В.Г..КольчускнЕ А.И.,Лаппа A.B.Штейн U.U. Исследование радиационных полей узко-коллимировашых источников гамма-излучения. - Изв.вузов СССР, Сизина, 1977, 111, с.99-103.

9. Учайкпн В.В.,Лаппа A.B. Вероятностные задачи в теории переноса. - Томск, сзд-во Томского университетJ, 1978, 138с.

10. Лаппа A.B. .Учайквн В.В. О замкнутом аналитическом представлении характеристик микродозиметрии и радиационного воздействия. -В кн.: Третье Всесоазноа совещание по микродозиштрни. Тезисы докладов. Ц.ДйШ, 1979, с.15-16.

11.- Лаппа A.B. Математическое описание к метод расчета флуктуа-ций энергопоглощения в малых объемах вещества, облучаемого ионизирующими частицами. - Изв.вузов СССР, Физика, 1934, N9, с.13-18..

12. Лаша A.B. Оценки для высших моментов аддитивных величин в каскадных процессах переноса частиц. - В кн.: Методы Цонте-Карло в

вычислительной математика и математической физике. Новосибирск, 1985, с.301-304.

13. Лотта A.B..Васильев О.Н. Применение метода флуктуанионного детектора к расчету мккродозкметрическнх характеристик от фотонных источников. - 3 кн.: Материалы V Всесоюзного совещания по мккродо-зкметрии. Тезисы докладов. М..ЫИФИ, 1986, с.80-81

14. Лаппа A.B., Замкнутое математическое описание мнкродозимет-раческих характеристик я методы их расчета. - В кн.: Материалы 5 Всесоюзного совещания по мякродозиметрпи. Том 2. Обзорно-проблемные доклада. M.,?£i£H, 1987, С.1С0-119.

15. Лаппа A.B..Бурмистров Д.С..Васильев О.Н. Метод расчета флуктуацией ЭЕвргопоглсэднпя электронно-фотонного из луче mm а модели с элементами группировки столкновений. -' Изв.вузов СССР. Спзика, 1987, кз, с.89-94.

16. Ленда A.B. .Васильев О.Н..Бурмистров Д.С. Математическое описание а метод расчета фяуктуацзенпых харектерпстас воздействия покиззруггзх чсстац на «алые чувствительные элемента в облучаемых системах. - ВИНИТИ, 1S87, деп.рук, N4650-387.

17. Лапта А.В.,Бур;глстроз Д.С..Васильев О.Н. Ргсчот гакоодози-метряческях характеристик в воде, облучаемой электрезгт и гаммз-гсзапта'ся. - Изв.вузоз СССР, Физика, 1963, 112, с.77-82.

18. Лаппа А.В.,Бурмистров Д.С.,Васяльзз О.Н. Расчет микродозл-мэтрэтеских .характеристик электронно-фотонного излучения методом флуктуационного детектора с использованием группировки электронных столкновений. - 3 кн.: Шкродозггэтрия п ее применение з радгобяо-лопга. (Труды 5 Всесоюзного ссвэцанпя по кзкродозгаэтряз) И., ИБО, 1588, с.120-124.

19. Лаппа A.B.,Васильев О.Н. Применение метода флуктуацпенного детектора к расчету гпкродозилэтрпчеекпх характеристик от фэтенных источников. - Там г.э, с 125-128.

20. Лаппа A.B. .Васильев О.Н. .Бурлстроз Д.С. ГГетод флуктуаыисп-ного детектора для расчета фяуктуацкЗ аддатлпнах характеристик чонызирувдго излучения в гакроебьемах. - Там га, с.129-135.

21. Лаппа A.B..Гргппш D.H. Расчет моггаятоз переданной энергия в газовых полостях с использованием сущестзэзной выборка. - Вопросы атомной наука и технгшз: Обдая п ядзрзая фгзика, 1SS8, внп.3(43), с.13-15.

22.-Лаппа A.B. .Езпьлъдзов S.A..Бурглхстров Д. С.,Васильев О.Н. Пакет программ ТНЮН для расчета характеристик радзацаошого

воздействия и его применения в микродозиметрии и радиобиологии. -В кн.: -Микродозиметрия (Сборник лекций б Всесоюзного совещания -семинара). Часть II. Ы..МИФИ. 1989, с.235-261.

23. Лаппа А.В.,Бурмистров Д.С. Метод расчета квантовых флуктуация и зыявляемости дефектов в радиографических и интроскопических системах. - Дефектоскопия, 1989, N11, с.29-38.

24. Лаппа A.B..Бигильдеев Е.А..Бурмистров Д.С..Васильев О.Н. Пакет программ ТРИОН для расчета линейных и флуктуационных характеристик воздействия ионного и электронного излучений на материалы. - В кн.: Пятая Всесоюзная научная конференция по защите от ионизирующих излучений ядерно-технических установок. Протвино, ИФВЭ, 1990, с.101-108.

25. Лаппа A.B..Бурмистров Д.С. Весовой метод Монте-Карло для расчета средних и флуктуационных характеристик высокоэнергетических каскадов. - Там &а, с.109-114.

26. Лаппа А.В.,Бурмистров Д.С. Новая версия пакета программ КАСКАД для расчета линейных и флуктуационных характеристик электронно-фотонных полей в диапазоне энергий 0.01-Ю9 МэВ. - Там зве, С.115-12Т.

27. Лаппа А.В.,Бурмистров Д.С. Флуктуации энергопоглощения в материалах за защитой и выход радиационных пороговых эффектов. -Там до, с.132-136.

28. Лашв A.B. .Васильев О.Н. Расчет эквивалентной дозы и коэффициентов качества электронно-фотонного излучения.-Там же,с. 139-147".

29. Лаппа А.В.Дадыева З.М. .Бурмистров Д.С. «Васильев О.Н. Пакет прикладных программ XHAY для расчета электронно-фотонных шлей в диапазоне энергий.1-1 ООО кэВ. - Там же, с.148-152.

30. Лаппа A.B. Весовая оценка метода Монте-Карло для расчета высших моментов аддитивных характеристик переноса частиц с размножением. - Журнал Вычислительной математики и математической физики, 1990, Т.ЗО. N1, с.122-134.

31. Лаппа А.В.,Бурмистров Д.С. "Основная" оценка высших моментов аддитивных функционалов в каскадных процессах переноса частиц. - В кн: Метода Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Часть 2. Новосибирск, 1991, с. 69-72.

32. Лаппа A.B. Вероятностные модели для двухшаговых алгоритмов расчета флуктуационных характеристик переноса излучения. - Там же, с.73-76.

33. Лаппа A.B.,Васильев О.Н. Влияние спектра излучения на выход

радиационных эффектов, ОБЭ и коэффициенты качества. - Атомная энергия. 1991, Т.70, HI, с.36-42.

34. Lappa A.V..Blgildeev E.A..Burnistrov D.S..Vasllyev O.N. "Trlon" Code for Radiation-Action Calculations and Its Appllcatlci In Hicrodosymetry and Radioblology. - Radiation Environmental Biophysics. 1993. v.32, "Hi, pp.1-19.

35. Lappa A.V..Vasllyev O.H. On the Probien of Electron-Photon Fields Quality Factors. - In: Individual Monitoring of Ionising Radiation: The topact of Recent ICRP and ICRU Publications. Workshop. Book of Abstracts. P3I 7illigen (Switzerland), 1993,p.III.17.

36. Lappa A.V..Vasllyev O.H. Spectrometric Approach to the Problem of Radiation Quality. RBEs and Quality Factora of Electron-Photon Fields. - In: 25th Annual Meeting of the European Society for Radiation Biology. Abstracts. Stockholm, ESRB, 1993, p.POl:06.

37. Еигильдевв E.A. ,'Лалпа A.B. Ионизационный метод определения поглощенней энергии в макрообъемах нанометрическях размеров. - В кн.: .Микродозиметрия. Сборник трудов VII Совещания стран СНГ по макродозиметрии. Часть I. М.,МйФИ, 1993, с.147-164.

38. Лаппа A.B..Бигильдеев S.A. Статистика ионизаций в сферических и нитевидных гяжрообъемах наномэтрзческих диаметров. - Там да, часть II, С.20-29.

39. Blgildeev Е.A..Lappa A.V. Determination of Energy Deposited In Nanometer Sites irons Ionization Data. - Radiation Protection Dosimetry, 1994, v.52, p.73-76.

40. Lappa A.7..Blgildeev E.A. Ionization Statistics in Spherical and Thread-like Nanometer Sites. Ibid, p.85-88.

41. 1зрра A.V.,Blgildeev E.A..Bargatin Y. Estimation of DNA Dcuble-Strand Breaks Yield cn the Basis of-an Ionization Computer L'od&j.. - In: 18th Gray Conference on Radiation Damage In DNA. Abstracts. Bath (UK),-1994, report КЗ.

42. Blgildeev E.A.,Lappa A.V..Ulchallk V. Comparative Analysis of Ionization Statistics in Ifencmetric Sites for Liquid and Gaseous STater. - Ibid, report H5.

43. Lappa A.V. .Buralstrov D.S. CASCADB-5 Honte Carlo Code for Calculation of Average and Fluctuation Characteristic of Electron-Photon Transport. - In: Proc. of 8th. International Conference on Radiation Shielding. April 24-28, -1994, Arlington, Texas, DSA, v.2, p.1338-1345.

44. Lappa A.V. Accsleratlcn of Convergence of Honte Carlo

Methods Possessing Infinite Variance. - In: International Workshop on Mathematical Methods and Tools in Computer Simulation. Kay 24-28, 1994, Saint Petersburg, p.54-56.

45. lappa A.V.,Danilov D.I. The Accelerated Monte Carlo Method with Characteristic Index a=3/2. - Ibid, p.56-57.

46. Bigildeev E.A.,Lappa A.V. Precise Ionization Method ior DelcTO-nation oi Energy Deposited in Small Sites ol Irradiated Objects. - Radiation Research, 1994, v.139, p.327-333.