Статистическое моделирование поля оптического излучения в системе океан-атмосфера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Г'Гз од

• АКАДЕМИЯ НАУК РОССИИ " СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

УДК 519.245

РАКИМГУЛОВ КАЗБЕК БЕКБУЛАТОВИЧ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЯ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СИСТЕМЕ ОКЕАН - АТМОСФЕРА

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

НОВОСИБИРСК - 1993

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Каргин Б.А.

Официальные опоненты:

доктор физико-математических наук, Титов Г.А. кандидат физико-математических наук Войтишек A.B.

Ведущая организация:

Институт космических исследований АН Казахстана, г. Алмэты Защита состоится .gl 993 года в на

заседании Специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кандидата наук при Вычислительном центре Сибирского отделения Российской АН по адресу:

630090, г. Новосибирск-90, проспект акад. Лаврентьева 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале ВЦ СОТАЯ (Новосибирск-90, проспект акад. Лаврентьева 6).

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук Ю.И. Кузнецов

Автореферат разослан

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача расчета поля электромагнитного излучения, отраженного и преломленного морской поверхностью, возникает при разработке и оптимизации методов дистанционного зондирования моря, а также при решении целого ряда научных и прикладных проблем оптики моря. Математическая суть этой задачи заключается в вычислении некоторых функционалов от решения уравнения переноса излучения, заданных, вообще говоря, на случайном поле, каковым является взволнованная морская поверхность.

Наиболее часто при решении такой задачи методом Монте-Карло для описания взволнованной поверхности моря принимается, так называемая фацетная модель, в которой граница раздела вода-воздух представляет собой случайную поверхность, составленную из набора элементарных площадок, центры которых лежат е одной плоскости, а нормали к ним распределены в соответствии с.заданной одноточечной функцией распределения при нулевой взаимной корреляцией ео Есех точках поверхности. Указанная модель дает хорошее приближение и очень просто моделируется. Вместе с тем следует отметить, что для нее недостаточно развита теория локальных оценок, являющихся важнейшим инструментом статистического моделирования и построение которых является весьма насущной проблемой.

Существует круг задач, для которых является важным учет таких явлений как затенение и переотражение излучения элементами поверхности, которые отсутствуют в фацетной модели. Наиболее естественным для учета указанных эффектов представляется выбор в качестве границы раздела Еода-воздух реализаций случайной поверхности. При этом большая трудоемкость алгоритмов, связанных с непосредственным моделированием поверхности, делает актуальным также и вопрос разработки более эффективных методов решения подобных задач.

Цель работы. Автор ставил своей целью продолжить рабо-

ты, связанные о применением методов Монте-Карло для решения задач переноса излучения в системе океан-атмосфера.

Основные направления исследования состоят в следующем:

- получить локальные оценки для расчетов методом Монте-Карло с использованием фацетной модели поверхности;

- разработать весовой алгоритм для модели со случайной границей раздела вода-воздух;

- получить для указанного метода локальные оценки для расчета средней интенсивности в атмосфере;

- провести численные эксперименты для сравнения двух моделей морской поверхности.

Научная новизна и практическая ценность. Получены неизвестные ранее локальные по направлению, двойная локальная по направлению "из-под поверхности" и двойная локальная "из-под поверхности" в точку оценки для расчета средней интенсивности излучения в атмосфере для фацетной модели взволнованной поверхности и для модели со случайной коррелированной границей раздела. Для последней модели разработан весовой алгоритм моделирования поля оптического излучения в системе океан-атмосфера. Проведены численные эксперименты по сравнению деух указанных выше моделей поверхности и эффективности локальной оценки и двойной локальной оценки.

Учитывая то обстоятельство, что локальные оценки являются эффективнейшим инструментам при решении звдвч теории переноса, а также то, что при практических расчетах две модели поверхности, рассмотренные в диссертации, имеют очень широкое применение (особенно это касается фацетной модели), можно сделать вывод, что результаты представленной работы являются определенным еклвдом в теорию и практику методов Монте-Карло. Кроме того следует отметить, что все результаты диссертации могут быть применены не только в атмосферной оптике, но и при решении задач теории переноса излучения в многослойных средах с разными коэффициентами преломления.

Публикации. По результатам, представленным в диссертации опубликовано 5 работ автора [1-5].

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (1987,1990 гг.), конференции молодых ученых ВЦ СОАН СССР (1989 г.) и на семинаре ВЦ СОАН "Статистическое моделирование в физике".

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 34 наименований. Общий объем работы - 99 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава носит вводный характер и состоит из трех параграфов. В § 1.1 в общем виде описывается задача переноса излучения в плоско-параллельной системе океан-атмосфера. В параграфе 1.2 получено интегральное уравнение Фред-гольма второго рода с обобщенным ядром относительно плотности столкновений Т

Г = К Г + ф. (1 )

Ставится задача определения среднего значения по реализациям случайного поля С, каковым является граница раздела, линейного функционала от плотности столкновений:

Л = < и С С) > = < (Г,ф) >, ср » 0.

Основные сведения из теории методов Монте-Карло, касающиеся численного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода изложены § 1.3.

Вторая глава посвящена статистическому моделированию поля оптического излучения в системе океан-атмосфера с фэ-цетной моделью границы раздела вода-воздух. В параграфе 2.1. описывается фацетная модель или модель Кокса-Манка, в которой предполагается, что водная поверхность состоит из элементарных площадок (фацетов), центры которых находятся на одном уровне z = Ь., а уклоны распределены с заданной плотностью распределения р(ах,ау), где zx и зу - тангенсы углов между площадкой и осями X и У соответственно. При

этом считается, что распределение уклонов в двух различных точках не зависят друг от друга, а также обычно предполагают, что плотность р(г ) ~ нормальная. Далее в этом пара-

л ¿у

графе обсуждаются нюансы данной модели при ее применении для

моделирования методом Монте-Карло процесса переноса в

системе океан-атмосфера.

В § 2.2 выведены локальные по направлению оценки для расчета значения функционала

и = < X Г(г,3) б(2-а*)е(3-3*)(3\й)/а(г*)<3гй3 >, (2)

где

г = (х,у,г), К =(0,0,1), 3 е П = С б е Р3 : |3|=1),

3 е = { 3 е П : (3,й) > 0 },

а(г) - коэффициент ослабления в точке г. С учетом теоремы оптической взаимности указанные оценки

позволяют расчитывать среднюю по реализациям случайной по*

верхности интенсивность излучения на уровне а = г в направлении 3* е горизонтально-однородной атмосфере, освещенной бесконечно широким параллельным потоком солнечного излучения. Оценки имеют следующий вид

= й(о),а(и*,3))е т<г'г) - , (3)

г/2(1-(-*

2/ 2(1-(3 ,3)) преломления

<5!(И?(3,з(3*,3)) )е

■3-.Р1(а(а*,й)), (4)

в случае отражения, а в случае преломления

(3,з(3*,3))

(1-(3*,3)г>)

где

+у -2г>(ш

(г,3) - точка столкновения фотона с поверхностью; г - точка пересечения луча . г. + ш I, с плоскостью ; т(г,г*) - оптическое расстояние между точками г■ и .?*;

а

з(сГ,ш) - значение нормали з, при котором Еектор 0.1 отражается (или преломляется) по законам лучевой оптики в вектор 3*:

ш - ш

з = -— ■ ■ — - для отражения, (5)

У2(1-(ш,ы))

гад - oj

-X±vz-2v(V>* ,ы)

- для преломления; (6)

V - коэффициент преломления воды относительно воздуха; Г?(ш,а(«*,б) - коэффициент отражения Френеля; р (з) = р (з,й)~ плотность распределения нормали к поверхности, которая с учетом замечаний, сделанных в §2.1, имеет вид усеченного нормального распределения. При этом отбрасываются те нормали, которые не обеспечивают физичного взаимодействия с поверхностью фотона, падающего в направлении а.

При получении оценок (3) и (4) производились замет переменных, соответствующие выражениям (5) и (6), якобианы которых вычислены в § 2.4 и равны 1

J = - -_ - в случае отражения, (7)

г/2П-(£о*,й')) '

(V - (Ш*,Ш'))1'2

J = ■ ■■ - у - в случае преломления. (8)

VÍ+v2-2v(3*,ü')

Параграф 2.3 посвящен, так называемым, двойным локальным оценкам "из-под поверности". Оценка для вычисления функционала (2) представлена в Еиде интеграла по распределениям нормали з:

1 (3*,а) _ _ а (г")

L(x") =J- —- _ [í-R(-oj (-ai ,з), s) - -

v2 (-uf-5 ,з),з) o(r")

Q,

7

I

g(f",H) -т(г",г') -т(г',г*) _

2ic

e e p^ajda, (Э)

который предлагается оценивать по одному узлу. В (9) од(г") - коэффициент рассеяния в точке г"; g(r",p.) - индикатрисса рассеяния в Еоде, р.= (ш",-ш^-u*,з);.

Более подробно, применение оценки (9) состоит в следующем. Пусть очередное столкновение под водой произошло в точке х" = (г",3"). Тогда из плотности р4 (s,-3*) разыгрывается нормаль з, вычисляется вектор -ш^-й*,s) (3^3,3) -вектор, полученный в результате преломления Еектора аз в точке с нормалью з) и находится вспомогательная точка г' пересечения луча г" - tu^-3*, а ) с плоскостью z = h границы раздела двух сред. Затем фиксируем точку_ пересечения г* луча г* + tu* с плоскостью z = z* и делаем вклад, равный подынтегральному выражению в L(x"), который необходимо затем умножить на Бесовой множитель

Далее в этом параграфе получена двойная локальная оценка "из-под поверхности" для расчета интенсивности в заданной точке х* = (г*,3*) в атмофере, которая имеет вид

- -Tir' ?*ï О (г") g(r",n)

L(хи,х ) = [1-R(n,s )]е 'г >—2--»

о(г") 2%

-т(г",?') pfs*,n) v - (3*,3') » е „ ... , (Ю)

I* /-■ 3'

i* . -»*

У1+"

1+г> -2v(3 ,3' ) где г' = ?"- to5*, n = (г' - г")/|г' - ?"[

vn - ш

Ц = (Ш",П), 3 =

v(+v2-2i>(3*,n)

to - расстояние от точки г* до плоскости z = h в направлении -3*.

В главе 3 изложен весовой метод Монте-Карло для моделирования шля оптического излучения в системе океан-атмосфера со случайной границей раздела. Глава состоит из четырех параграфов.

Параграф 3.1 посвящен описанию модели водной поверхности, в качестве которой Еыбрано однородное гауссовское поле с заданным маргинальным распределением и корреляционной функцией.

В параграфе 3.2 излагается непосредственно сам весовой метод, суть которого состоит в приближенной замене непрерывного случайного шля конечномерными нормальными векторами возвышений и нормалей з(?х к поверхности. Специфика при этом состоит в том, что данные вектора не строятся априори (что было бы одним из методов приближенного моделирования поверхности), а моделируются "по мере необходимости" вместе с движением фотона. При атом, естественно, плотность распределения высоты поверхности и нормали в каждой последующей точке является условной и зависит от уже

выбранных значений высот и нормалей. Далее через С^ будет обозначаться вектор ( £(г. .) , а(г. .) ).

Детали моделирования траекторий и вычисления весовых сомножителей подробно обсувдаются в § 3.3. Для пояснения же алгоритма опишем здесь процедуру выбора случайной точки пересечения траектории движения фотона с поверхностью.

В этом случае, как хорошо видно, плотность распределения

-+

высоты в точке ^ зависит от этой точки, которая

еще неизвестна. Тогда предлагается производить выбор высоты из произвольной плотности р(С^), а затем, когда будет определена точка г. компенсировать данное несоответствие

^ 9 1

весовым сомножителем.

Г1Д

И завершает третью главу § 3.4, в котором получены локальные оценки, аналогичные приведенным в главе 2.

Для оценки функционала (2) получена следующая оценка. После 1-го столкновения с поверхностью соответствующий вклад имеет вид

= J .....С,) ш^.з^д))

Р1 .....ф

I а* - С(гхд)|

X'

е РЛ8(Г .....(II)

где г = + ы

1(3*. 2)|

( ы*- )/ у2[ 1+(3*,ы.)], при отражении;

э(г .) х»1

С ( 0) - й1)/ у 2[ Ь

I (а. -а*)/|(31 - а*

V)|, при преломлении;

М3.,а(г ,))= 11 1,1

Г?(й-,з(? •)), при отражении; 1 х»1

(й*,3) 1

(ш1?а) V

- (ц?(ш.,з(г •)), при преломлении;

и2 1 X'1

Р(г.,г*1з(г • ......С ) - вероятность незатенения

1 1)1 1 1 ' I

х>

Л*

отрезка [г^г ] при условии изеэстных значений а(гх

,...,С1; - весовой множитель; J - якобиан соответствующей замены (для отражения (7) и для преломления (8)).

Оценка, аналогичная (9) в данном случае строится следующим образом. Пусть очередное столкновение под водой произошло в точке х^ = (г",3"). Тогда вначале из некоторой

плотности р(С'). конкретный вид которой будет обсуждаться ниже, выбирается значение С высоты поверхности и нормаль а. Затем вычисляется Еектор -й^-й*,!) и по формуле

г' = г" - -Uw.

на плоскости z = С находится промежуточная точка г'. Затем вычисляется ввсоеой множитель

W = Р^^СК^.-.-.ф/рК) (12)

ri

и, исходя из соотношения

г = г' - t, - (г'-а/(й*,й),

на плоскости z = z* находится конечная точка г, в которую делается еклбд, равный

1 (Й*,В) _ Од (Г")

L(x") = - —- _ _ [1-R(4af4J*,a),s)3 - *

v '3)'3) а(г"}

g(r",|1) -х(г",г') -т(г' ,г)

Р^.гЧС'.С^.....■

' Р(г',г|С',С1_1.....1Л) • да • и', (13)

где w - вес частицы.

При выборе точки г' предлагается использовать ту же рекурсивную процедуру, что и при поиске точки пересечения луча с поверхностью при моделировании траекторий. При этом в качестве начальной плотности предлагается

Р(С') = где

Г1

г# = г" - ^ = (Ь - г")/(-й^-3\1с),1с).

Двойная локальная оценка из-под поверхности в точку для оценки интенсивности излучения в заданной точке фазового пространства х* = (г*,й*) строится следующим образом. -

Вначале, исходя из плотности р(С'), разыгрывается значение С' высоты поверхности в промежуточной точке г' (для получения С' предлагается вновь воспользоваться рекурсивной процедурой из §3.3) и затем делается вклад

- -Tí?' г*) ая(г") g(?",|i) -т(г",г')

L(x",x ) = [1-R(ñ,3 )]е т(г 'г --е

о(гн) 2%

w • w' v - (ш*,ш')

"з po'ic.q^.....ф

+vi£-2v(S*',ü5')

« Pír^.r'ic'.q^.....q) Pír-.r'ic.q^.....с,),

где г' = г*- to3*, ñ = (г' - г")/|г' - ?"|,

то - ш

|1 = (Ш",П), 3 =

V?' - весовой сомножитель, появляющийся в результате моделирования С'• В случае невозможности вычислить з* 1_(х",х*) = 0.

Вопросы, связанные с вычислением вероятности незатенения, а также результаты численных экспериментов, выполненные на основе глав 2 и 3, приведены в четвертой главе.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выеоды. Для расчета среднего значения функционалов, слабо учитывающих эффекты затенения и переотражения, а также коррелированность взволнованной поверхности, либо при наличии слабой корреляции данной поверхности, фацетная модель, при ее простой организации и менее сложных локальных оценках, бесспорно выигрывает перед моделью коррелированной поверхности. Вместе с тем несомненно и то, что для определенного круга задач представляется предпочтительным использование второй модели морской поверхности. Это касается, например, зондирования океана под большим углом визирования

или при учете излучения, приходящего от определенных слоев океана для сильно коррелированной границы Еода-Еоздух.

Кроме того, результаты численных экспериментов наглядно показывают несомненное превосходство в эффективности двойной локальной оценки над обычной локальной оценкой, что впрочем интуитивно было ясно заранее.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для фацетной модели океан-атмосфера получены локальные по направлению, двойная локальная по направлению "из-под поверхности" и двойная локальная "из-под поверхности" в точку оценки для расчета средней интенсивности излучения в атмосфере.

2. Представлен весовой алгоритм моделирования поля оптического излучения в системе океан-атмосфера со случайной границей раздела вода-Еоздух. Для указанного алгоритма получены локальные по направлению, двойная локальная по направлению "из-под поверхности" и двойная локальная "из-под поверхности" в точку оценки для расчета средней интенсивности излучения в атмосфере.

3. Проведены численные эксперименты по сравнению двух указанных выше моделей поверхности с последующим качественным анализом полученных результатов, а также сравнение эффективности обычной локальной оценки и двойной локальной оценки.

Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н. Карги-ну Б.А., под чьим руководством была выполнена данная работа.

Искреннюю благодарность автор выражает к.ф.-м.н. Ухино-ву O.A. за плодотворное сотрудничество; к.ф.-м.н. Пригарину С.М. и Кантер P.P. за полезные обсуждения результатов работы, сотрудникам отдела статистического моделирования в физике и всем тем, кто поддерживал автора при выполнении настоящей работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кэргин Б.А., Ракимгулов К.Б. Весовой метод Монте-Карло для моделирования поля оптического излучения в системе океан-атмосфера.- Новосибирск, 1990, 34 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 911)

2. Kargin В.A., Rakimgulov К.В. A weigting Monte Carlo method for modelling the optical radiation field in the, ocean-atmosphere eyatem. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, v.7, N3, pp.221-240, 1992.

3. Ракимгулов К.Б., Ухинов С.А. О локальных оценках в фа-цетной модели океан-атмосфера. // Методы статистического моделирования.- Новосибирск, 1991, с.58-64.

4. Кантер P.P., Каргин Б.А., Пригарин С.М., Ракимгулов К.Б. Статистическое моделирование в стохастических задачах оптики атмосферы и океана. // Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики".- Новосибирск, 1987, с.92.

5. Кантер P.P., Каргин Б.А., Пригарин С.М., Ракимгулов К.Б. Методы Монте-Карло для расчетов поля оптического излучения вблизи случайной границы раздела двух сред. // Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики".- Новосибирск, 1990, с.70-71.