Статистико-термодинамическое исследование размерных эффектов ультрадисперсных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Современное состояние проблемы исследования ультрадисперсных систем.Метастабильные фазовые состояния! анализ термодинамики и кинетики гомогенной нуклеации

§1. Современное состояние,перспективы развития основ физики ультрадисперсных систем,получение ультрадисперсных систем и их использование в практике.

1.Современное состояние проблемы исследования ультрадисперсных систем.

2.Получение ультрадисперсных систем и пути формирования материалов с ультрадисперсной структурой.

3.Практическое использование ультрадисперсных систем.

§2. Метастабильные фазовые состояния,теория гомогенной нуклеации в однокомпонентной системе

4.Стабильные,метастабильные и лабильные фазовые состояния.

5.Классическая теория гомогенной нуклеации.

6.Неравновесный фактор поправки

7.Кинетическое рассмотрение Зельдовича-Френкеля.

8.Трансляционно-вралцательный парадокс.

9.Зависимость поверхностного натяжения от размера зародыша.

10.Классическая жидкокапельная модель нуклеации с учетом размерного эффекта поверхностного натяжения.

11.Подход Хилла к термодинамическому описанию малых систем.

Глава 2. Статистико-термодинамическое описание межфазной области жидкость - пар.

§1. Плоская граница раздела фаз.

12.Реальный плоский межфазный слой.

13.Гипотетическая система.

§2. Термодинамика жидкого сферического микрокластера.

14.Реальная система.

15.Гипотетическая система.

16.Условие выбора гипотетической жидкости.

17.Выбор положения разделяющей поверхности.

18.Зависимость поверхностного натяжения от эквимолекулярного размера микрокластера, полученная на основе расчетов кластерных структур методом Монте - Карло.

Глава 3, Статистико-квазитермодинамическое описание.

19.Связь статистико-квазитермодинамики с термодинамикой и статистической физикой.

20.Квадратично-градиентная теория.

21.Статистико-квазитермодинамическое рассмотрение системы с плоской межфазной областью.

22 .Статистико-квазитермодинамика жидкого сферического микрокластера.

23.Численный расчет профилей плотности и основных компонент тензора давлений в плоской и искривленной интерфазах на основе квадратично-градиентного приближения статистико-квазитермодина-мической теории.

Глава 4. Следствия учета размерных эффектов II рода.

24.Термодинамическая оценка минимального размера конкурирующей фазы.

25.Зависимость равновесного давления пара от радиуса зародышевой капли.

26.Оценка времени жизни жидкой капли в паре.

27.Анализ релаксационных процессов нуклеации при хемосорбции.

28.Оценка избыточной энергии малой частицы.

Разрешение проблемы получения и применения ультрадисперсных сред в настоящее время является одним из условий развития новой техники в различных отраслях народного хозяйства.Основу всех методов получения ультрадисперсных систем составляют фундаментальные исследования по физико-химии и кинетике фазовых превращений.Выбор областей применения ультрадисперсных систем определяется знанием их свойств,резко отличающихся от свойств вещества в обычном массивном состоянии.В силу этого проблема изучения размерных эффектов различных свойств ультрадисперсных систем является очень актуальной.

Цель работы. Сложившаяся к началу исследования ситуация требует проведения более детального статистико-термодинамического анализа размерных эффектов различных свойств ультрадисперсных систем и,прежде всего,поверхностного натяжения,определения размерных границ проявления эффектов I и II рода,а также размерной границы применимости статистической термодинамики к описанию подобных систем. Данная цель повлекла за собой решение следующих задач:

- проведение статистико-квазитермодинамического расчета равновесных профилей плотности и основных компонент тензора давлений в плоской интерфазе и межфазной области жидкая капля- пересыщенный пар на основе квадратично-градиентного приближения функционала плотности;

- расчет интегральных характеристик указанных профилей и статистико-квазитермодинамическая оценка размерного эффекта поверхностного натяжения;

- выработка замкнутой методики термодинамической оценки минимального размера конкурирующей фазы;

- получение зависимости равновесного давления пара от радиуса зародышевой капли с учетом размерного эффекта поверхностного натяжения;

- анализ следствий введения размерных эффектов в описание кинетики фазовых превращений : оценка размерного эффекта барьера нуклеации, оценка времени жизни жидкой капли в паре,анализ релаксационных процессов нуклеации с учетом хемосорбции.

Диссертация состоит из введения,четырех глав,выводов,четырех приложений и списка цитируемой литературы,включающего 147 названий.Она изложена на 198 страницах машинописного текста,содержит 27 рисунков и 3 таблицы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Представлен метод определения зависимости поверхностного натяжения от эквимолекулярного размера микрокластеров на основе данных расчетов методом Монте-Карло. Проведен анализ причин рассогласования результата применения представленного метода - возрастающего при уменьшении размера поверхностного натяжения - с основными положениями относительно хода этой зависимости в области малых размеров, вытекающими из общего статистико-термодинамического анализа. Сделан вывод о некорректности использования данных расчетов равновесных кластерных структур при получении термодинамически равновесных характеристик в силу различия в понимании равновесия в рамках статистико-термодинамического описания, с одной стороны, и в численных МС - экспериментах, с другой.

2. Развит согласованный статистико-квазитермодинамический метод расчета профилей плотности и компонент тензора давлений в плоской интерфазе и межфазной области сферическая жидкая капля - пересыщенный пар на основе квадратично-градиентного приближения функционала плотности. Впервые получено выражение для тензора давлений, согласованное с квадратично-градиентным приближением плотности свободной энергии негомогенной системы и показана некорректность применения тензоров другого типа, к примеру, квадратично-градиентного приближения тензора Ирвинга-Кирквуда, согласованное с которым квадратично-градиентное приближение плотности свободной энергии Гельмгольца не удовлетворяет условию изотропии среды.

3. На основе предложенного метода произведен расчет плоской и искривленной интерфаз жидкость - пар в широком диапозоне температур и пересыщений пара аргона. Выполнена оценка размерного эффекта II рода поверхностного натяжения. Предложен аналитический вид зависимости поверхностного натяжения от размера, содержащей один подгоночный параметр.

4. Сформулирована спинодальная методика оценки этого параметра, а также оценки минимального размера конкурирующей фазы как размерной границы применимости статистико-термодинамического подхода к описанию ультрадисперсных систем.

5. Обнаружена связь знака и величины плоского параметра Толмена с ассиметрией основных термодинамических функций плотности вещества, к примеру химического потенциала, в двухфазной области. Получены аппроксимационные выражения для профилей плотности и компонент согласованного тензора давлений в плоской интерфазе, а также для их интегральных характеристик с учетом указанной ассиметрии функций состояния.

6. Показано, что учет размерных эффектов II рода отражается на условиях равновесий и в конечном счете приводит к понижению барьеров нуклеации. Проведено обобщение уравнения Гиббса-Томсона.

7. Найдены аналитические выражения для оценки времени жизни малых частиц конкурирующей фазы. Показана необходимость и определяющая роль учета размерных эффектов II рода при проведении такой оценки.

8. Выявлены характерные особенности протекания процесса нуклеации при хемосорбции.

9. Произведена оценка избыточной энергии ультрадисперсных частиц. Показано, что определяющий вклад в избыточную энергию дает эффект растяжения вещества частицы по сравнению с макроскопическим веществом в тех же условиях. Результаты оценки хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Диссертационная работа выполнена в ИМЕТ АН СССР. Автор благодарит О.С.Мергеляна и В.Б.Федорова за чуткое научное руководство, помощь и поддержку на всех этапах работы, своих коллег и соавторов И.Д.Морохова, М.Х.Шоршорова, Е.Г.Калашникова, А.Я.Бабенко, П.В.Калиту за интересное и плодотворное сотрудничество, А.И.русанова за полезное обсуждение и ценные замечания.

1. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей.-Л.: Наука,1975, 592 с.

2. Зельдович Я.Б. -ЖЭТФ,1942,т.12,с.525-538.

3. Hill T.l. Journ.Phys.Chem. 1952, v.56, p.526-531.

4. Hill T.L. Joum.Chem.Phys., 1952,v. 20,№I,p. I4I-I44. 5* Hill T.L. - Journ.Chem.Phys., 1962, v.36,№12,p.153-165.

5. Hill T.L. -J Thermodynamics of Small Systems. -Benjamin N.-Y.,

6. Part I.,1963;Part II.,1964.

7. FycaHOB А.И.- Успехи Химии,1964,т.33,вып.7,с.873-899.

8. Бусанов А.И. Фазовые равновесия и поверхностные явления.-Л.: Химия,1967,270 с.

9. Русанов А.И.,ЩукинЕ.Д.,Ребиндер П.А. Коллоидный журнал,1968, т.30,№4,с.573-580.

10. Русанов А.И. ,Куни Ф.М. »Щукин Е.Д. ,Ребиндер П.А. Коллоидный журнал,1968,т.ЗО,№5,с.735-743.

11. И.русанов А.И,,Куни Ф.М.,Щукин Е.Д.,Ребиндер П.А. Коллоидныйжурнал,1968,т.30,№5,с.744-753. 12.1^санов А.И. Термодинамика поверхностных явлений.- Л.:Изд.Л1У, 1960,180 с.

12. Русанов А.И.,Куни Ф.М. Докл.АН СССР,1969,т.185,ГР2,с.386-389.

13. Rusanov A.I.»Brodskaya E.N.-Journ.Colloid Interface Sci.¿977t v. 62,№3, p. 542-555.

14. Куни Ф.М. ,1^гсанов А.И.- В кн.¡Современная теория капиллярности. /К 100-летию теории капиллярности Гйббса/.,Л.»Химия,1980,344 е.,с.162-213.

15. Ребиндер П.А. Избранные труды.Физико-химическая механика.-М.: Наука,1979,381 с.

16. Щукин Е.Д.,Амелина Е.А. ,Яминский В.В. -Докл.АН СССР,1981,т.258, №2,с.419-423.

17. Николис Г.,Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных систе-мах.-М.: Мир,1977,512 с.19.3адумкин С.Н. ЖФХ,1961,т.35,№12,с.2818-2819.20.3адумкин С.Н. В кн.:Поверхностные явления в расплавах и возникающих из них твердых фазах. Нальчик,1965,с.12-29.

18. Щербаков Л.М. Коллоидный журнал, 1952,т. 14,№5,с.379.

19. Щербаков Л.М. Коллоидный журнал,1958,т.20,№4,с.502-506.

20. Щербаков JI.M. Коллоидный журнал, 1958,т.20,№6,с.759-760.

21. Щербаков Л.М.,Рыков В.И. Коллоидный журнал,1961,т.23,N32, с.221-227.

22. Щербаков Л.М. В кн.:Исследование в области поверхностных сил. М., Наука,1964,с.17-25.26 .Щербаков Л.М.,Терешин В.А. В кн.:Поверхностные явления в расплавах и возникающих из них твердых фазах. Нальчик,1965, с.157-161.

23. Щербаков Л.М. Докл. АН СССР, 1966,т. 168,с.388-391.

24. Скрипов В.П. Метастабильная жидкость.-М.: Наука,1972.

25. Байдаков В.Г.,Скрипов В.П. »Каверин A.M.,Хвостов К.В. Докл. АН СССР, 1981,т.260,№4,с.858-861.

26. Ермаков Г.В. 1БТ,1978,т.16,вып.2,в.294-298.

27. Ермаков Г.В.»Семенова Н.М. ТВТ,1979,т.17,вып.3,с.552-556.

28. Ермаков Г.В.»Семенова Н.М. В кн.:Фазовые превращения и неравновесные процессы./Сборник статей/. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1980,с.81-84.

29. Морохов И.Д.,Трусов Л.И.,Чижик С.П. Ультрадисперсные металлические среды.-М.: Атомиздат,1977.

30. Морохов И.Д.,Петинов В.И.,Трусов Л.И.,Петрунин В.Ф. УНФ,1981, т.133,вып.4,с.653-692.

31. Богомолов В.Н. ФТТ»1972,т.14,вып.9,с.2599-2703.

32. Богомолов В.Н. УНФ,1978,т.124,вып.I,с.171-182.

33. Богомолов В.Н. Поверхностная энергия кластеров металлов и свойства электронных оболочек атомов./Препринт №859/.-Л. им. А.Ф.Иоффе.,1983,с.12.

34. Мержанов А.Г. В кн.:Процессы горения в химической технологии и металлургии. Черноголовка,1978,с.5-29.

35. Троицкий В.Н. В сб.:Синтез в низкотемпературной плазме ИНХС АН СССР, М.: Наука, 1980,с.4-24; Троицкий В.Н.,Гребцов В.М., Гуров C.B., там же,с.51-70.

36. Морохов И.Д.,Трусов Л.И.,Лаповок В.Н. Физические явления в ультрадисперсных средах.-М.: Атомиздат,1983.

37. Гегузин Я.Е. Физика спекания.-М.: Наука,1984.

38. Болдырев В.В. Кинетика и катализ, 1974,т.13,в.6,с.14П-1421.

39. Яковлев E.H.»Капитанов Е.В. Поверхность.Физика,химия,механика. 1983,№4,с.101.

40. Федоров В.В. »Шоршоров М.Х.»Хакимова Д.К. Углерод и его взаимодействие с металлами.- М.: Металлургия,1978,224 с.

41. Федоров В.Б. ,Курдюмов В.Г. »Хакимова Д.К. и др. Докл.АН СССР, 1983,т.269,№4,с.885-888.

42. Федоров В.Б. »Хакимова Д.К. ,Петруничев В.А. и др. Порошковая металлургия,1981,№9,с.10-13.

43. Федоров В.Б. »Хакимова Д.К. »Калашников Е.Г. и др. Докл.АН СССР, 1983,т.269,№1,с.163-166.

44. Елютин В.П.»Костиков В.И. В сб.конструкционные материалы наоснове углерода. Сборник трудов л.9, М., Металлургия,1974, с.183-190.

45. Митин B.C.»Васильев В.А. В сб.:Проблемы порошковой металлургии /Материалы Всесоюзной конференции/. АН СССР. Межведомственный коорд. совет в Ленинграде, Д., Наука, 1982,с.59-66.

46. Трефилов В.И.,Мильман Ю.В.,Фирстов С.А. Физические основы прочности тугоплавких металлов.-Киев: Наукова Думка,1975,315с.

47. Яламов Ю.И. и др. Докл. АН СССР, 1980,т.254,N32,343 с.

48. Яламов Ю.И. и др. Докл. АН СССР, 1981,т.258,№5,с.1106.

49. Тананаев И.В.,Морохов И.Д. »Федоров В.Б. ,Малюкова JI.B.- Изв. АН СССР. Неорг. материалы, 1984, т. 20,!Р6, с. 1026-1033.

50. Тананаев И.В. Вестн. АН СССР,1972,№2,с.21-29.59. buyten P.R. ,Bulthuis J.,Bove£ W.M.M.J.,Р1ошЪ L.

51. Joum.Chem.Fhys. ,1983, v .78,№4, P .1712-1721.

52. Tanaka H., Nakwiishi K., Wat »nable N. -Joum.Chem.Phya. ,1983, ▼ .78,№5, p .2629-2634.

53. Mountain R.D.,Basu P.K. Journ.Chem.Phys. 1983, v.78,№12,P .7318-7322.62. bee J.K.,Barker J.A.»Abraham P.P. Journ.Chem.Phys. 1973, v.58,№8, p .3166-3180.

54. Hansen J. -P., Veriet L. -Phys. Review ,1969, v .184,№1,p .151-161.

55. Hale B.N.,Ward R.S.-J.Statist.Ph .,1982, v.28,№3,.> .487-495.

56. Nishioka К. Phys. Review ,I977,AI6,N°5, p.2I43-2I52.

57. Малюкова JI.В.,Калита П.В. В сб.: Материалы У1 конференции молодых ученых Ун-та Дружбы народов. /Мат.,физ.,хим./. УДН. М., 4.1.,1983,с.14-17.

58. Гиббс Дж.В. Термодинамика. Статистическая механика.-М.: Наука, 1982,584с.

59. Федоров В.Б. ,Морохов И.Д.,Тюркин Ю.В. и др. Поверхность. Физика,химия, механика.,1983,№4,с.123-130.

60. Федоров В.Б.,Гурский H.A. »Калашников Е.Т. Порошковая металлургия .,1981tW3,с.56-59.

61. Федоров В.Б.,Шоршоров М.Х.,Морохов И.Д. ,Малюкова JI.B. В сб.: 1У Всесоюзное совещание "Диаграммы состояния металлических систем. /Тезисы докладов/". М., Наука,1982,с.134.

62. Федоров В.Б.Калашников Е.Г.,Малюкова Л.В., Морохов И.Д. В кн.: Диаграммы состояния в материаловедении./Сборник научных трудов/. Киев, Наукова Думка,1984.

63. Морохов И.Д.,Зубов В.И.,Федоров В.Б. Докл. АН СССР, 1983, T.269,fPI,c.I0I-I04.

64. Кордонский В.М. ,Курдюмов Г.В.,Перкас М.Д. ФММД963, т.15, вып.2,с.244-250.

65. Федюкин В.К. Термоциклическая обработка сталей и чугунов. -Л.: Изд.Л1У,1977.

66. Фришберг И.В.,Кватер Л.И.,Кузьмин Б.Н. ,Грибовский C.B. Газофазный метод получения порошков -М.: Наука,1978,222с.

67. Семенченко В.К. Избранные главы теоретической физики.-М.: Просвещение.,1966,396с./см.с.67/.

68. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.Н. Термодинамика и молеку-лфная физика.-М.: Наука, 1975,552 с. /см.с.443/.

69. Физический энциклопедический словарь.-М.: Сов. энциклопедия, 1984,944 с.

70. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть I -М.: Наука,1976,584 с.

71. Sundquist B.E.,0riani R.A. Journ.Chem.Phys.,1962, v.36.№10, p.2604-2616.8I.0riani R.A.,Sundquist B.E. Journ.Chem.Phys.,1963, v.38,№9, p.2082-2089.

72. Volraer M.,Weber A. Z.Phys.Chem. ,1926, v.119, p.277.

73. Binder K., Stauffer D. Advances in Physics., 1976, v.25,№4, p.343-396.

74. Becker P.,Doring W. Ann. Phys. ,1935, v.24,№5, p.719.

75. Reiss H. Ind. Eng. Chem. ,1952, v.44, p.1286.

76. Barnard A. Proc. Roy. Soc. ,1953, v.220, p.132.

77. Gerlach R.L. Journ.Chem.Phys. ,1969, v.51, p.2196.

78. Дерягин Б.В. Докл. АН СССР, 1970,т.ИЗ,с.1096.

79. Дерягин Б.В. ЮТХ,1973,т.10,с.279.

80. Федер Д. В сб.: Гетерогенное горение., М., Мир,1967.91.bothe J., Pound G.M. Journ.Chem.Phys., 1962, v.36,N®, p.2080.

81. Корценштейн H.M. Исследование неравновесной конденсации в химически реагирующих системах./Дис. канд. техн. наук/ЭНИН АН СССР. М.,1979,170 с.

82. Хирс Д.,Паунд Г. Испарение и конденсация. -М.: Металлургия, 1966.

83. Reiss H.,Katz J.L. Journ.Chem.Phys.,1967, v.46,№7, p.2496-2499.

84. Reiss H.,Katz J.L.,Kolen E.R. Journ.Chem.Phys.,1968, v.48,№12, p.5553.

85. Баханов В.П.,Буйков М.В.- Украинский журнал.,1969,т.13.,вып.5, с.761.97.bin J. Journ.Chem.Phys. ,1968, v.48,№9, p.4128-4130.

86. Burton J.J. -Acta Metallurgica ,1972, v.21., p.1225-1232.

87. Pound J.M. »"Nishioka K.,Lothe J. Surface Chemistryand Colloids ,I972,№I, p.147-188.100 •Van-der-Vaais J.D. ,Konstamra Ph. Lehrbuch der

88. Thermodynamic.,Vol.1. Mass and Suchtelen,Leipzig ,1908.;

89. Van-der-Vaals J.D. Z. Phys. Chera .,1894, v.13, p.657.1.» Walton D. Journ.Chera.Phys. ,1962, v.37, p.2I82-2I88.

90. Walton D. Philos. Mag. ,1962, v.7, P.I67I-I679.103 •Gerlach R.L.,Rhodin T.N.-Sur.ScL*I970, v.19, p.403.

91. Рыбин E.H.,Панкратова M.E.,Коган Я.И. ЖФХ,1977,т.51,вып.5,с.1036-1040. j05.Kirkwood J.G.,Buff P. Journ.Chem.Phys.,1949, V.I7, p.338.

92. Buff P.P. Journ.Chem.Phys. ,1951, v.I9,IPI2, p.I59I.

93. Koenig P.O. Journ.Chem.Phys. ,1950, V.I8, p.449.

94. Tolman R.C. Journ.Chem.Phys. ,1949, v.17, p.333.

95. Chem. Phys., 1981, v.75,№6, p.3986-4002.113 •Rushbrooke G.S. Proc. Roy. Coc.,Edinburg ,1940, v.60,182.

96. Binder К. Journ.Chem.Phys.,1975,v.63,p.2265-2266.

97. Abraham F.F.,Barker J.A. Journ.Chem.Phys.,1975,v.63, p.2266-2267.

98. Vogelsberger V.W.,Marx G.-Z.Phys.Chem.,1976,v.257,N3, p.580-586.

99. Vogelsberger V.W. Z.Phys.Chem.,1977,v.258,N4,p.763-773.

100. Vogelsberger W. Chem.Phys.Lett.,1980,v.74,N1,p.143-146.

101. Vogelsberger W. Chem.Phys.Lett.,1982,v.85,p.365-368.

102. Щербаков JI.M,,Матвеев B.A. В кн.: Исследования в области поверхностных сил /Под ред.Б.В.Дерягина/.М.: Наука,1967, с.491-498.

103. Burton J.J.,Briant C.L. Adv.Colloid Interface Sei.,1977, v.7,p.131-203 .

104. Abraham F.F. -Journ.Appl.Phys.,1968,v.39,p.3287-3293.

105. Hamill P.,Stauffer D.,Kiang C.S. Chem.Phys.Lett.,1974, v.28,p.209-212.

106. Петровский B.A. ЖФХ ,1981,т.55,IP I0,c.25I2-25I6.

107. Band W. Journ.Chem.Phys.,1939,v.7,p.324-326;1940,v.8, p.20-23*1941,v.9,p.123-128.

108. Ann W.S.,Jhon M.S.,Pak H.,Chang.S. Journ.Colloid Interface Sei.,1972,v.38,p.605-608.

109. Rao M.,Berne B.J. Mol.Fhys. ,1979,v.37,p.455-461.

110. Zimmels Y. Journ.Colloid and Interface Sei.,1976,v.57, p.446-450.

111. Bongiorno V.»Scriven L.E.,Davis H.T. Journ.Colloid and Interface Sei.,1976,v.57,N3,p.462-475.

112. Bongiorno V.,Davis H.T., Phys.Review A,1975,v.12,N5, p.2213-2224.

113. Davis H.T.,Scriven L.E. Journ.Statistical Phys.,1981,v.24, N1,p.243-268.

114. McCoy B.P.,Davis H.T. Phys.Review A ,1979,v.20,N3,p.1201-1207.

115. Carey B.S.»Scriven L.E.,Davis H.T. AIChE Journ.,1978,v.24, N6,p.1076-1080.

116. Rayleigh L. Philos.Mag.,1892,v.33,p.209.

117. Cahn J.W.,Hilliard J.E. Journ.Chem.Phys.,1953,v.28,N2,p.258-267.

118. Yang A.J.M.,Fleming 111 P.D.,Gibbs J.H. Journ.Chem.Phys., 1976,v.64,N9,p.3732-3747.

119. Fleming 111 P.D.,Yang A.J.M.,Gibbs J.H. Journ.Chem.Phys., 1976,v.65,N1,p.7-17.

120. Toxvard S. Journ.Chem.Phys.,1971,v.55,p.3116.

121. Carey B.S.,Scriven L.E.,Davis H.T. Journ.Chem.Phys.,1978, v.69,p.5040.

122. Irving J.H.,Kirkwood J.G. Journ.Chem.Phys.,1950,v.18,N6, p.817-829.

123. Федоров В.Б. «Малюкова Л .В. »Калашников Е.Г. ЖФХ,1985,т.59, IP I .

124. Малгокова Л.В.»Федоров В.Б. В Сб.: Материалы У1 конференции молодых ученых Ун-та дружбы народов./Мат. ,физ. f хим./,Ч.1,УДН, М,1983,с.2-5.

125. Малюкова Л.В. В кн.: Проблемы статистической и квантовой физики. /Сб-к научннх трудов/.,У.ПР,М., 1983,с.47-52.