Стохастические методы описания систем с шумом и проблема излучения частиц в веществе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

;;ГЗ СП

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

4-95-435

На правах рукописи УДК 531.19 + 530.145

ЛАСКИН Николай Вячеславович

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ СИСТЕМ С ШУМОМ И ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ ЧАСТИЦ В ВЕЩЕСТВЕ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 1995

Работа выполнена в Национальном Научном Центре "Харьковский физико-технический институт"

Официальные оппоненты: - член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор В.П. Силин

- доктор физико-математических наук, профессор В.М. Елеонский

- член-корреспондент РАЕН, доктор физико-математических наук, профессор В.А. Базылев

Ведущая организация: Московский Государственный

Университет им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится "13 года в Цр часов на

заседании Специализированного Совёта ДЮ47.01.01 при Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна, Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ.

Автореферат разослан 1995 года.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математических наук

Журавлёв В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие стохастические методы берут свое начало от работ по статистической механике, связанных с описанием броуновского движения. Так, статистический подход Эйнштейна-Смолуховского благодаря последующим исследованиям многих авторов сформировался в стохастический метод, получивший в физической литературе название метода уравнений Фоккера-Планка. Заметную роль при этом сыграли работы Колмогорова, представляющие математическую основу этого метода.

Динамический подход к описанию процесса броуновского движения связан с именем Ланжевена. Предложенное им уравнение со случайной внешней силой привело к новой математической концепции-стохастическому исчислению в альтернативных формулировках Ито и Стратоновича, и созданию на этой основе метода стохастических дифференциальных уравнений. Этот современный метод ориентирован на получение математически строгих результатов, касающихся непрерывных реализаций стохастических процессов, моделирующих эволюцию динамических систем с шумом.

Несколько в ином аспекте модель броуновского движения была привлечена Винером в его попытке обобщить понятие вероятности на ситуации, где "возможные состояния" не могут быть представлены точками некоторой плоскости или области пространства, а имеют характер кривых, описываемых какими-нибудь движущимися объектами. В работах Винера предложена математическая конструкция, позволяющая выполнять усреднение по статистическому множеству траекторий броуновского движения, и именуемая ныне методом интегрирования по траекториям. Появление метода функционального или континуального интегрирования в физике во многом обусловлено исследованиями Фейнмана по квантовой теории. Не зная о результатах Винера, Фейнман независимо пришел к интегралам по траекториям в своей оригинальной формулировке квантовой механики. Причем исходным пунктом для Фейнмана были результаты Дирака, посвященные поиску квантового аналога принципа действия классической механики. Метод континуального интегрирования получил широкое распространение в задачах квантовой теории, статистической физики и теории стохастических процессов. Применение этого метода при рассмотрении стохастических задач обусловлено, в первую очередь, тем, что таким образом

открывается возможность использования аппарата квантовой теории поля для исследования классических систем с шумом.

Таким образом, с одной стороны, появление многих стохастических методов было инициировано работами по статистической физике, а, с другой-современные достижения в исследовании стохастических проблем связаны с применением для их решения аппарата статмеханики и квантовополевой теории. Это обусловливает актуальность построения новых общих методов, которые бы представляли собой развитие идей статистической механики применительно к системам, подверженным влиянию случайных возмущений.

В связи с неослабевающим на протяжении полувека интересом к методу функционального интегрирования, представляется актуальной задача его распространения на области физики, где до настоящего времени он не находил применения.

Цель диссертационной работы - создание новых стохастических методов на основе распространения некоторых идей статистической механики на динамику с шумом, а также применение стохастической концепции броуновского движения и основанного на ней метода интегрирования по траекториям к проблеме излучения быстрых заряженных частиц в веществе.

Научная новизна и практическая ценность работы. Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. К теоретическим результатам следует отнести следующие новые стохастические подходы, разработанные в диссертации:

- метод сокращенного описания стохастических процессов, порождаемых динамикой многочастичной системы в случайном поле;

- метод мультипликации шумов, предложенный для моделирования процесса диффузионного типа в случайно-слоистой структуре;

- функциональный метод исследования систем с внешним шумом, основанный на полученном в диссертации уравнении для характеристического функционала;

В диссертации разработана новая область применения метода интегрирования по траекториям - проблема излучения быстрых заряженных частиц в веществе. Физические результаты, полученные при этом, касаются влияния многократного рассеяния на излучение, вызванное прохождением высокоэнергетичной частицы в среде. Наряду с теоретическим значением, эти результаты носят и прикладной характер, поскольку они доступны экспериментальной проверке на современных ускорителях. Так, предсказанный в диссертации эффект подавления когерентного тормозного излучения реляти-

вистских электронов и позитронов, движущихся в кристаллах, был экспериментально подтвержден на ускорителе в ЦЕРНе.

Диссертационная работа представляет новое научное направление статистической физики, заключающееся в разработке и применении стохастических методов к исследованию систем, подверженных влиянию внешних случайных возмущений, а также к исследованию излучения релятивистских частиц под влиянием случайного воздействия атомов среды.

Основными_результатами_и положениями, определяющими

научную_новизну работы и вынесенными_на_защиту, являются

следующие:

1. Построен новый стохастический метод, представляющий собой развитие идей Боголюбова, сформулированных им в статистической механике, применительно к динамике с шумом. Основой этого нового метода - метода сокращенного описания случайных процессов, послужил установленный в диссертационной работе факт, что в распределениях решений дифференциальных уравнений с внешними флуктуирующими источниками существует режим огрубленного описания, аналогичный кинетическому режиму в динамических задачах статистической физики.

2. Развит метод мультипликации шумов для моделирования диффузионных процессов в случайно-неоднородных средах. На примере двух точно решаемых задач построена и исследована негауссовская диффузия в случайно-слоистых структурах.

3. Метод мультипликации шумов применен для описания кинетики деканалирования, как процесса диффузии в случайно-неоднородной среде.

4. Предложен функциональный подход к исследованию стохастических систем, основанный на новом уравнении для характеристического функционала.

5. На основе предложенного функционального подхода найдены некоторые производящие операторы стохастических тождеств Уорда.

6. Сформулирована концепция броуновского движения в пространстве углов рассеяния для описания процесса многократного рассеяния релятивистских электронов и позитронов, движущихся в конденсированной среде. Это послужило математически корректной основой для применения метода интегралов по траекториям к проблеме нахождения усредненных спектрально-угловых распределений излучения быстрой заряженной частицы в веществе. Получены новые общие выражения для спектрально-угловых и

з

поляризационных характеристик излучения с учетом эффекта многократного рассеяния.

7. Построена теория эффекта подавления когерентного тормозного излучения релятивистских электронов и позитронов, проходящих через ориентированные кристаллы. Сравнение теории и результатов эксперимента, поставленного в ЦЕРНе с целью ее проверки, позволило заключить, что предсказанный эффект подавления когерентного тормозного излучения действительно наблюдался.

8. Стохастическая концепция броуновского движения в пространстве углов рассеяния и метод интегрирования по траекториям распространены на квантово-электродинамическое рассмотрение радиационных процессов в веществе. При этом получены новые общие формулы, описывающие влияние многократного рассеяния на излучение с учетом квантового эффекта отдачи при излучении.

Личный вклад автора является определяющим на всех этапах работы. Все результаты получены либо самим автором, либо при его непосредственном участии.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на I и V Международных симпозиумах по избранным проблемам статистической механики (Дубна,1977,1989), II Международной конференции по прыжковому переносу (Братислава,1987), VI Международной конференции по электронному переносу (Прага, 1989), 13-ой Международной конференции по атомным столкновениям с твердым телом (Орхус, 1989), XVII и XVIII Международных конференциях по физике электронных и атомных столкновений (Брисбен,1991, Орхус,1993), XIV, XVII, XVIII, XXI Всесоюзных совещаниях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (МоскваД984,1987, 1988,1991), Всесоюзном рабочем совещании по статистической физике (Москва,1978), Всесоюзном совещании по современным проблемам статистической физики (Харьков,1991), Республиканских совещаниях по статистической физике (Львов,1982, 1987), а также на научных семинарах, в ДонГУ, ИТФ АН Украины, ХГУ, ХФТИ.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1 - 30].

Структура_и_объем. Диссертационная работа состоит из

введения, шести глав, заключения, двух приложений, списка литературы, включающего 191 наименование; содержит 19 рисунков и изложена на 255 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен обзор исследований, относящихся к рассматриваемым в диссертации проблемам и сформулированы основные научные результаты работы.

В главе 1 развит метод сокращенного описания стохастических процессов.

В разделе 1.1 концепция сокращенного описания, выдвинутая

H.H. Боголюбовым при построении кинетики многочастичной системы на основе обратимых микроскопических уравнений движения (Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике. Избранные труды в трех томах, т.2, "Наукова думка" Киев, 1970) распространена на случайные процессы, определяемые стохастическими дифференциальными уравнениями типа

x = h(x,t), *|<=0 = х(0), (1)

где х(0) - начальные данные, статистика которых задается функцией распределения f0 (х(0)), h(x,t) - случайное поле. Эволюционное

уравнение для функции franJ(x,t) = \dx{0)fQ{x{Ö))S{x-ЛГ(/,л;(0))), где X(t,x(0))-решение задачи (1), имеет вид

id,fra»Ax,t) = Л {t)frnmi(x,t), (2)

здесь A(t) = — idxh(x,t)-оператор Лиувилля. Как показано в разделе

I.1, для широкого круга задач, связанных с описанием многочастичной системы, находящейся во внешнем случайном поле <p(x,t), этот оператор можно представить следующим образом

А (Г) = А (0)+ А (1)(0, Л (1)= idq<p(q,t)a(q),

где А ^ и А ^ соответственно свободный лиувиллиан и лиувиллиан взаимодействия со случайным полем; величины a(q), зависящие от q

как от параметра, несут операторную структуру А

Усредняя уравнение (2) по реализациям поля (р и обозначая это усреднение угловыми скобками <...>, получим эволюционное уравнение для функции распределения /(/)=< >.

<?,/(/) = ЧА <°>/(/) -/■ < Л (1)/™,,С) >= -м(0)/ + ДО.

причем входящая в правую часть этого уравнения величина L{t) связана с корреляционной функцией "частица-поле", определяемой как

fs(qxt{,...,qjs'()=< <p{qx,/,+/)... <p(qs, ts + t)fram,{t) >. (3) следующим соотношением

/,=0-

Функция является аналогом я-частичной функции распределения статистической механики. При больших временах >> Г(),где г0 -временной корреляционный масштаб случайного поля, или характерное время хаотизации) функция распределения /(/) решений стохастических дифференциальных уравнений типа (1), как доказано в разделе 1.1, может быть приближена некоторой

огрубленной функцией распределения /(/)> а корреляционные функции /¡¡(д1(1,...,дх1х',0 становятся функционалами огрубленной функции распределения

/„...,О,-» ;/(0). ДО, -> д/(0).(4)

¡»Т о

что позволяет распространить метод сокращенного описания, используемый в статистической механике, на стохастические системы типа (1) в области / >> г0.

В разделе 1.2 на примере Л^-частичной системы во внешнем случайном поле (р определен оператор эволюции 5"(7) функции

распределения /р(х,1)

NPJA „О*

(5)

здесь Л^=\с1Яср(Я,1)^д- .

у=1т у=1 др]

Основной задачей, решаемой в первой главе диссертации, является нахождение асимптотического при / >> г„ поведения функции /р На языке статистической механики можно сказать, что речь идет об исследовании кинетического этапа эволюции системы.

Когда внешнее поле является гауссовским ^-коррелированным во времени, < (р{Д\Л^)(р{яг (2) >- ~ Ь)' оператор

эволюции может быть представлен таким образом

/

5(0 = ехр/с?гЦг),

о

где

Д г) = е'Л (0)г/.е~'Л (0)^ = / /^ < > а(^) - ^|¿(^)а(<?, )а(д2)

Тогда эволюционное уравнение для /р(х,1) принимает вид уравнения Фоккера-Планка

рк д/рМ д< ф)>д/Р(*,0 _ д Г(Л

д1 т дхк дхк дРк иЧКХ) , и

> У

В общем случае, когда внешнее поле не обладает свойством гауссовости и ¿"-коррелированности во времени, асимптотическая структура оператора 5(/) будет определяться поведением при /—»со зацепляющихся друг за друга интегралов, получающихся при раскрытии Т-экспоненты в формуле (5).

С этой целью в разделе 1.3 посредством следующего рекуррентного соотношения

/=1

Хо= 1»

введены величины ^ , где Т1,...,Т,,) =<(р(т1)...(р(Тх) > -момент "в-ого" порядка поля (р{г). В предположении, что моменты удовлетворяют принципу ослабления корреляций (т.е., если Г[,..., Г/ ~ г, Г/+1,..., Гу ~ т\ то при г- г'-> со среднее распадается на

произведение средних т^) -» (г,,..., Г/)

г- 2"'—>00

О ) имеет место

Теорема. Пусть (т1,...,т/) , где £)/ такая область переменных Г15...,Г/ ,в которой Г} > г2 >...> Г/. и кроме того, т1,...,т/с ~ ги т%+1,...,тI ~ т*. Тогда, если XI удовлетворяет принципу ослабления корреляций, то

¿/(г,,...,^) 0.

г-

Эта теорема показывает, что в области О/ величина ^¡{т^,..., Т/) отлична от нуля только, если г15 г2,..., Г/ отличаются друг от друга не более, чем на радиус корреляции г0 случайного поля. Свойство величин устанавливаемое теоремой, является отправным моментом в исследовании асимптотической структуры оператора эволюции.

Путем выделения и суммирования секулярных во времени членов, появляющихся в ряду теории возмущений по случайному полю, в разделе 1.4 найден асимптотический (огрубленный) оператор эволюции. Эта процедура аналогична применяемой в статистической механике при построении кинетических уравнений в рамках теории возмущений по взаимодействию.

В разделе 1.5 показано, как построить асимптотический оператор эволюции, не прибегая к процедуре суммирования секулярных членов. Эти построения применимы и в пространственно-неоднородном случае, связанном с неоднородностью как начального состояния, так и самого случайного поля.

Раздел 1.6 посвящен исследованию асимптотического поведения корреляционных функций "частица-поле" (/,,...,Доказано, что корреляционные функции в асимптотической области зависят от времени лишь функциональным образом посредством огрубленной

функции распределения /(/), = /у {/(')}> чт0 составляет содержание гипотезы о сокращенном описании для систем в случайных полях-аналог функциональной гипотезы Боголюбова в статистической механике. Для функционалов /5{/(0} получена цепочка интегральных уравнений, позволяющая развить теорию возмущений по взаимодействию с полем для нахождения величин и Ь(/).

Кинетика многочастичной системы невзаимодействующих между собой частиц, находящихся во внешнем случайном поле, изучена в разделе 1.7.

Стохастический метод, развитый в первой главе диссертации, позволяет исследовать задачи как в рамках классического, так и квантового рассмотрения. В разделе 1.8 получено и исследовано квантовое кинетическое уравнение во втором порядке по взаимодействию с внешним флуктуирующим полем.

Глава 2 посвящена методу исследования диффузионных процессов в случайно-неоднородных средах, основанному на следующем стохастическом уравнении

*(т)=п(т)ат)). (6)

правая часть которого содержит произведение двух шумов-"белого шума" Г](т) и скачкообразного процесса ¿Г(г), принимающего значения 0,1. В разделе 2.1 дана постановка задачи о нахождении функции распределения случайного процесса, моделируемого уравнением (6). При этом в качестве г) выбран телеграфный процесс. В разделе 2.2 случайно-слоистая структура моделируется пуассоновским процессом

/

где точки т, равномерно распределены на интервале (0, г), а их число п подчинено закону Пуассона с параметром п = ут. Функция g( г) выбрана в виде = Х(т)Х(А — г), где Х( г)-ступенчатая функция

Хевисайда, Х{ г) = Причем, продолжительность одного

"включения" диффузионного механизма А и параметр v ( v '-средняя продолжительность между двумя последовательными включениями) удовлетворяют условию уА « 1. Показано, что задача о нахождении статистических характеристик диффузии в пуассоновской среде может быть сформулирована, как задача о построении термодинамики одномерного газа с положительным потенциалом парного взаимодействия. Диффузионная кинетика в такой среде в пределе "идеального газа" описывается уравнением типа линейного уравнения Больцмана,

оо

/(Х,т= 0) = д(х).

Исследован предел применимости гауссовского приближения. Выполнен сравнительный анализ статистических моментов, соответствующих негауссовской диффузионной кинетике в пуассоновской структуре и ее гауссовскому приближению с некоторым усредненным коэффициентом диффузии. Показано, что моменты второго порядка совпадают, тогда как различие появляется начиная с моментов четвертого порядка.

В разделе 2.3 аналогия с термодинамикой одномерного газа использована для построения разложения Майера для функции распределения, описывающей диффузию в пуассоновской случайно-слоистой структуре. Найдена поправка первого порядка по параметру "неидеальности" к кинетическому уравнению.

Развитые представления о диффузии в случайно-слоистых средах в разделе 2.4 положены в основу нового подхода к кинетике деканалирования релятивистских электронов в кристалле.

Глава 3 посвящена формулировке функционального подхода к исследованию систем с шумом.

В разделе 3.1 построено функциональное уравнение для характеристического функционала случайного поля м(х,/), удовлетворяющего стохастическому уравнению типа

LUj (X, 0 = иу (//) + /у (х, /), j = l,...,n

и]{х,1 = 0>) = ио]{х), (7)

где /--линейный дифференциальный оператор, (/у (и)-нелинейный вклад, /^-внешнее флуктуирующее поле, </(х,1) >у = Т](х,(), и 0у(х)-стохастические начальные данные, < и ^(х) >и0~

Для характеристического функционала 2{д, Г]) =< ехр/\д и в предположении о гауссовости поля / получено следующее уравнение

г?) = ехр |/] дЬ т]+ £)|ф, г(д=о,ф = \, (8)

где Ь "'-оператор обратный к Ь, И -парный коррелятор поля /,"ядро" £"}есть решение функционального уравнения

= К{п, д}, К{л»,д= 0} = ¿М

од I ¿ли

Ядро АГ^лг, д} определяется лишь структурой слагаемых, содержащих поле и нелинейно в исходном стохастическом уравнении (7), тогда как оператор, стоящий перед функциональным интегралом в правой части уравнения (8) определяется структурой линейного оператора Ь и статистикой случайного поля /. Уравнение (8) отличается от известных функциональных уравнений для характеристического функционала в теории турбулентности и стохастических систем. Развитый функциональный подход может служить основой для альтернативного описания нелинейных стохастических задач.

В качестве иллюстрации развитого функционального подхода в разделе 3.2 рассмотрена динамика Навье-Стокса с вынуждающей случайной силой и стохастическим полем начальной скорости. Такая система, с одной стороны, является распространенной моделью в теории турбулентности несжимаемой жидкости, а с другой, служит объектом широкого применения современных теоретико-полевых методов исследования.

Как приложение развитого подхода в разделе 3.3 построены стохастические тождества Уорда. Рассмотрение ведется в терминах операторов (2=(2(д,?1), действующих в пространстве полевых переменных д и 7], и переводящих решения уравнения (8) в частное решение, тождественно равное нулю

Варьируя это выражение некоторое число раз по полям д и Г], и полагая затем д= 0, получим соответствующее соотношение между моментом и функцией отклика. Такие соотношения мы называем тождествами Уорда стохастических систем.

Раздел 3.4, посвящен исследованию формальной ВИБТ-симметрии динамики с шумом, возникающей при традиционном описании в терминах функционального интеграла. В качестве примера в разделе 3.4 также построены производящие операторы тождеств Уорда, генерируемых ВДбТ-симметрией в проблеме турбулентности несжимаемой жидкости.

В главе 4 рассмотрена новая область приложения метода интегрирования по траекториям - проблема влияния конденсированной среды на излучение релятивистских заряженных частиц,

движущихся в веществе. Новые физические результаты, полученные в главах 4-6 диссертации, касаются влияния многократного рассеяния на процессы излучения и образования электронно-позитронных пар, вызванные прохождением высокоэнергетичных частиц через ориентированные кристаллы.

В разделе 4.1 сформулирована концепция о многократном рассеянии, как о процессе броуновского движения. Изменение скорости частицы в среде удобно описывать в терминах угла отклонения &(() вектора скорости частицы \(1), отсчитываемого от направления испущенного фотона п

Изменение угла отклонения <9(/) будем рассматривать как стохастический процесс, что обусловлено механизмом многократного рассеяния. Как показано в разделе 4.1, случайный процесс можно аппроксимировать винеровским процессом, что служит адекватным математическим основанием для проведения процедуры усреднения по всем возможным траекториям быстрой заряженной частицы в веществе методом интегрирования по траекториям.

В разделе 4.2 показано, каким образом в рамках классической электродинамики спектрально-угловая плотность излучения может быть представлена как функционал броуновских траекторий <9(/). Этот функционал должен быть усреднен по всем возможным траекториям, поскольку именно усредненная спектрально-угловая плотность излучения является физически наблюдаемой характеристикой. Процедура усреднения представляет собой интеграл по траекториям. Замечательным обстоятельством оказывается то, что получающиеся функциональные интегралы имеют гауссовский вид и поэтому могут быть вычислены аналитически. Благодаря этому указанный метод весьма эффективен при рассмотрении широкого круга задач, связанных с учетом влияния многократного рассеяния на электромагнитные процессы в конденсированных средах. В разделе 4.2 методом интегрирования по траекториям получены новые общие выражения для спектрально-угловых плотностей излучения релятивистской заряженной частицы, пролетающей через пластинку вещества конечной толщины. Эти выражения переходят в некотором пределе в известные формулы Пафомова В.Е. (Пафомов В.Е. ЖЭТФ 49, 1222 (1965)), полученные им методом кинетического уравнения Мигдала для случая аморфной мишени.

В разделе 4.3 представления о многократном рассеянии, как о броуновском движении в пространстве углов рассеяния распространены на случай кристаллической среды. При этом получены новые выражения для спектрально-угловых и поляризационных характеристик когерентного тормозного излучения частиц высоких энергий, движущихся в кристалле.

Анализ формул, полученных в разделах 4.2 и 4.3, показывает, что при толщине мишени Т, намного превосходящей длину когерентности 1со/,, Т » основной вклад в формирование картины спектрально-угловых распределений вносит излучение, генерируемое на пути в веществе мишени. Если толщина мишени сравнима с длиной когерентности, Т ~ 1соу,, то наряду с этим вкладом при анализе спектрально-угловых распределений необходимо принимать во внимание излучение, возникающее при влете и вылете из мишени.

Этот вывод подтверждается в разделе 4.4 численным анализом угловых распределений на примере физической ситуации, когда электрон с энергией 4СЮеУ проходит через ориентированный и неориентированный (аморфная мишень) кристалл вольфрама толщиной 0,01 сш; при этом регистрируются фотоны с частотой 200МеУ.

В главе 5 представлена теория эффекта подавления когерентного тормозного излучения быстрых заряженных частиц, движущихся в кристаллах, и обсуждается выполнений в ЦЕРНе эксперимент с целью проверки этой теории. Речь идет о спектральных характеристиках излучения быстрых частиц, проходящих через вещество и претерпевающих многократное рассеяние.

В разделе 5.1 из общих выражений главы 4 найдены новые формулы, описывающие спектральные и поляризационные характеристики тормозного излучения в конденсированной среде с учетом эффектов многократного рассеяния и поляризации среды.

В разделе 5.2 построена теория эффекта подавления когерентного тормозного излучения релятивистских электронов и позитронов, движущихся в ориентированном кристалле. Этот эффект описывается следующим выражением для спектра излучения в области малых частот

< >= N " , Ф{*с{\ + У2

II1

(О

н-и _ Ас2ау2Т Ълс

хт °с

где /V =-, (Тс, сг-соответственно среднеквадратичные углы

2сг

многократного рассеяния в ориентированном кристалле и в аморфном веществе в единицу времени, е-заряд электрона, Т -время пролета, у -лоренц-фактор, ¿Уф-плазменная частота, с -скорость

света, j = —Цг- I—, функция Ф имеет вид

8 у2\*с

. лп j e~2sx , ■ -, 1 chx-\. „ . , „ г]

Ф (s) - 48j < jdx ,-(sin25x +--(cos25jî+ sin2j^))--k

I о ^Jxsftx 8 5 shx 41

При малых и больших значениях аргумента 5 функция Ф(^) принимает соответственно вид

5«1, х

т}= jdxx-U2(shxyV2)(chx-\)x 1,333.

5 » 1, О

Если sc « 1, то имеет место заметное подавление интенсивности когерентного тормозного излучения быстрых частиц в кристалле, аналогично тому, как это проявляется в аморфной среде для эффекта Ландау-Померанчука. При sc » 1 и со» у (О 0 выражение для < Jш > переходит в соответствующий результат теории когерентного тормозного излучения релятивистских частиц на цепочках атомов кристалла. Если же sc »1 и со< у со 0 , то поляризация среды приводит к уменьшению интенсивности излучения по сравнению с результатом борновской теории когерентного излучения.

При движении быстрых электронов и позитронов в ориентированном кристалле эффект подавления когерентного тормозного излучения, как показано в разделе 5.2, проявляется при более низких энергиях падающих частиц и в более широком диапазоне частот, чем эффект Ландау-Померанчука в аморфной среде. Это обстоятельство привело к тому, что эффект подавления когерентного тормозного излучения в кристалле (вскоре после его предсказания) был экспериментально обнаружен на ускорителе в ЦЕРНе (Bäk J.F., Ellison JA., Uggerhoj E., et.al. Nucl.Phys. 302B, 525 (1988)).

В разделе 5.3 кратко описан поставленный в ЦЕРНе эксперимент и выполнено его сравнение с теорией. Результаты

эксперимента, относящиеся к области больших углов падения у/ (у/>2у/с), представлены на рис.1. По оси ординат отложено превышение спектральной плотности излучения из кристалла по сравнению с аморфной средой. Цифры на рисунках соответствуют интервалам углов ц/, для которых производился набор статистики.

5 и о.

rf^sgt

Е_=10 GeV, Si <110>, (2-2.5)^,

О 0.2 0.4 0.6 u.GeV

~оЗГ

1.0

Рис.1

Спектральные плотности излучения позитронов (слева) и электронов (справа) с энергией 20GeV и lOGeV, движущихся в кристалле кремния толщиной 100 |шг под малыми углами к оси <110>. Точки-эксперимент, сплошные линии-теория.

Количественное согласие предсказаний теории и результатов эксперимента свидетельствует об адекватности концепции броуновского движения и основанного на ней метода интегралов по траекториям для исследования радиационных процессов, сопровождающих прохождение высокоэнергетичных заряженных частиц через ориентированные кристаллы.

В разделе 5.4 изучено влияние многократного рассеяния на ионизационные потери энергии быстрых заряженных частиц, движущихся в конденсированной среде.

Стохастическая концепция описания многократного рассеяния, как броуновского блуждания, с привлечением метода континуального интегрирования для выполнения процедуры усреднения по всем возможным случайным траекториям, распространяется в главе 6 на квантовоэлектродинамические процессы, связанные с движением быстрых заряженных частиц в веществе.

В разделе 6.1 на основе квазиклассического операторного формализма, развитого Байером В.Н. с сотрудниками (Байер В.Н., Катков В.М., Фадин B.C. Излучение релятивистских электронов.

М.: Атомиздат, 1973), стохастическая концепция главы 4 примене на для исследования влияния многократного рассеяния на процесс излучения высокоэнергетичных фотонов.

Получена общая формула, описывающая с учетом эффектг отдачи, спектрально-угловые характеристики вероятности излучение фотона релятивистской заряженной частицей, движущейся I конденсированной среде и претерпевающей многократное рассеяние В предельном случае, отвечающем картине движения электрош (позитрона) в аморфном веществе, из найденной формуль получаются новые выражения, обобщающие на квантовомехани ческий случай результат Пафомова. Показано также, каким образок в предложенной в главе 6 методике могут быть воспроизведень известные результаты Мигдала А.Б. (Мигдал А.Б. ДАН СССР 105 77 (1955)), относящиеся к указанной проблеме.

Раздел 6.2 посвящен рассмотрению влияния многократногс рассеяния на процесс излучения быстрых электронов и позитронов, проходящих через ориентированные кристаллы. Найденные при эток новые выражения обобщают на "жесткую" область спектра излучения результаты раздела 4.3.

Как известно, процессу тормозного излучения в кросс-канале соответствует процесс рождения электронно-позитронной пары, поэтому из общих формул раздела 6.1 можно получить новые выражения для угловых и энергетических характеристик вероятности образования пары высокоэнергетичным у -квантом I конденсированной среде. Данная задача решена в разделе 6.3, где изучено влияние многократного рассеяния возникающих электроноь и позитронов на процесс образования е~е+ пары /-квантом I аморфной и кристаллической средах.

Представленные в главах 4, 6 новые теоретические предсказания, относящиеся к процессам излучения и образования электронно-позитронных пар, доступны экспериментальной проверке на современных ускорителях.

В заключении сформулированы основные результать: диссертации.

В Приложении 1 исследована унитарность операторов, возникающих в задачах статистической гидродинамики.

В Приложении 2 с помощью такого математического приема, как определение детерминанта бесконечномерной матрицы, точнс вычислен один из интегралов по траекториям, встречающихся I задаче об излучении быстрых заряженных частиц в веществе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Ласкин Н.В., Приходько В.И. Кинетические уравнения для систем в стохастических полях // Проблемы ядерной физики и космических лучей. Харьков. Вища школа, 1976.вып.5.С.21-29.

2. Ласкин Н.В., Пелетминский C.B., Приходько В.И. Статистическая механика систем в случайных полях. Киев,1977. 36с. (Препр./АН УССР.Ин-т.теор.физики; ИТФ-77-133Р).

3. Ласкин Н.В., Пелетминский C.B., Приходько В.И. К кинетической теории систем в случайных полях // ТМФ.1978. T.34,N2.C.244-255.

4. Ласкин Н.В., Пелетминский C.B., Приходько В.И. К кинетической теории систем в случайных полях // Труды I Международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики. Дубна.1978.С.299-305 (Препр./ОИЯИ; Д-17-11490).

5. Ласкин Н.В. Диффузия в случайно-слоистых структурах // УФЖ.1988.Т.ЗЗ,Ш.С. 1429-1434.

6. Laskin N.V. Non-Gaussian diffusion // J.Phys.A:Math.Gen. 1989. V.22, P.1565-1576.

7. Laskin N.V., Fomin S.P., Shul'ga N.F. Dechanneling kinetics under dynamic chaos condition // Phys.Lett.1989. V.138A, N6&7. P.309-312.

8. Ласкин H.В., Фомин С.П., Шульга Н.Ф. Деканалирование как диффузия в случайной среде // ДАН СССР. 1988. Т.301, N4.C.855-858.

9. Ласкин Н.В., Фомин С.П., Шульга Н.Ф. Деканалирование-как диффузия в случайно-неоднородной среде // Тезисы докладов XVII Всесоюзного совещания по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. Москва: Изд-во Моск. ун-та.1987.С.21.

10. Laskin N.V. Diffusion in stochastic medium // Proceedings of the VI International Conference on Energy and Electron Transfer. Eds.J.Fiala and J.Pokory. Praha: Univer. Karlova.l990.V.l, P.105.

11. Ласкин H.B. Негауссовская диффузия в случайно-слоистых средах // Труды V Международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики. Дубна. 1989.С.43 (Препр./ОИЯИ; Д17-89-535).

12. Ласкин Н.В., Тур A.B., Яновский В.В. Тождества Уорда в теории стохастических систем // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерно-физические исследования (теория и эксперимент). Харьков. 1992.вып.3(24), С. 120-127.

13. Ласкин H.В., Мазманишвили А.С., Шульга Н.Ф. Континуальный подход к учету влияния многократного рассеяния на излучение частиц высоких энергий в кристаллических и аморфных средах // ДАН CCCP.1984.T.277,N4.C.850-853.

14. Ласкин Н.В., Мазманишвили А.С..Насонов Н.Н., Шульга Н.Ф. К теории излучения релятивистскими частицами в аморфных и кристаллических средах // ЖЭТФ.1985.Т.88,вып.9. С.763-780.

15. Ласкин Н.В., Мазманишвили А.С., Шульга Н.Ф. О методе континуального интегрирования и эффекте подавления когерентного излучения релятивистских электронов в кристаллах// Тезисы докладов XIV Всесоюзного совещания по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. Москва: Изд-во Московск. ун-та.1984.С.88.

16. Laskin N.V., Mazmanishvili A.S., Shul'ga N.F. A method of path intégration and the Landau-Pomeranchuk effect of suppression of fast particle radiation in matter // Phys.Lett.1985. V.112A, N5. P.240-242.

17. Ахиезер A.И., Ласкин H.В., Шульга Н.Ф. // Влияние многократного рассеяния на потери энергии быстрыми заряженными частицами в веществе // ДАН СССР.1987. T.295.N1.C.95-97.

18. Ахиезер А.И., Ласкин Н.В., Шульга Н.Ф. Метод функционального интегрирования в квантовой теории излучения быстрых заряженных частиц в веществе // ДАН СССР.1987. Т.295, N6.С.1363-1365.

19. Ласкин Н.В., Шульга Н.Ф. Эффект подавления когерентного излучения релятивистских частиц в кристаллах (теория и эксперимент) //Тезисы докладов XVIII Всесоюзного совещания по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. Москва: Изд-во Московск. ун-та.1988.С.72.

20. Ласкин Н.В., Шульга Н.Ф. Об эффекте подавления когерентного излучения электронов и позитронов высоких энергий в кристалле (теория и эксперимент) // ДАН СССР. 1989. Т.306, N2.С.344-347.

21. Ахиезер А.И., Ласкин Н.В., Шульга Н.Ф. Об эффекте отдачи при излучении релятивистских частиц // ДАН СССР.1988. Т.301, N1.С.78-81.

22. Laskin N.V., Shul'ga N.F. Effect of multiple scattering on coherent radiation of fast particles in crystals // Phys.Lett.1989. V.135A,N2.P. 14 7-149.

23. Shul'ga N.F., Laskin N.V., Truten' V.I. Dynamical chaos in the motion of fast charged particles in crystals // Nucl.Inst. and Meth.Phys.Res.l990.V.B48.P.174-180.

24. Ласкпн H.B., Жуков А.И. Угловые характеристики излучения релятивистских электронов в веществе // ЖЭТФ.1990. Т.98, вып.2(8). С.571-583.

25. Ласкин Н.В., Жуков А.И. Угловые характеристики излучения релятивистских электронов в веществе //Тезисы докладов XXI Всесоюзного совещания по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. Москва: Изд-во Моск. ун-та.1991.С.65.

26. Laskin N.V., Zhukov A.I. Effect of multiple scattering and angular distributions of radiation emitted by relativistic electrons in matter // in XVIIICPEAC Abstracts (edited by W.R. MacGillivray, I.E. McCarthy and M.S. Standage). (Brisbane, Australia. 1991); Bristol:IOP.1992.P.628.

27. Laskin N.V. Path integrals in physics of interaction of fast charged particles with matter // in XVIII ICPEAC Abstracts (edited by T. Andersen, B. Fastrup, F. Folkmann, H Knudsen). Aarhus University, Denmark, 1993.V.2.P.791.

28. Laskin N.V., Zhukov A.I. Angular distribution of emission from fast electrons moving through a target of finite thickness // in XVIII ICPEAC Abstracts (edited by T. Andersen, B. Fastrup, F. Folkmann, H Knudsen). Aarhus University, Denmark, 1993.V.2. P.792.

29. Laskin N.V. Stochastic differential equation and BRST symmetry // Phys.Lett.l993.V.A182,Nl.P.86-92.

30. Ласкин H.B. BRST-симметрия и динамика с шумом // УФЖ. 1994.Т. 39.N2.С. 134-139.

Рукопись поступила в издательский отдел 20 октября 1995 года.