Стохастические модели гетерогенных реакций тема автореферата и диссертации по химии, 02.00.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.М.ГОРЬКОГО

На /травах рукописи

ТРЕТЬЯКОВ Михаил Владимирович

УДК 533.72:536.46:636.76

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГЕТЕРОГШШ РЕАКЦИЙ

Специальность 02.00.04. - физическая химия

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени, кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 1992

Работа выполнена в Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. А.М'. Горького на кафедре математической физики.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ю.А. Буевич.

Научный консультант - кандидат физико-математических нау

С.П. Федотов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Я. Купряжкин;

доктор химических наук, профессор А.Я. Нейман.

Ведущая организация - Институт структурной макрокинетики РАН,

Защита состоится "¿У" 1992 г. в /часов

на заседании специализированного совета К 063.78.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических и химических наук в Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. А-.М. Горьки ( 620083, Екатеринбург, К-83, пр. Ленина,-61, комната 248 ).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета.

Автореферат разослан " '¿У " 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат химических наук

ОЁЩДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Гетерогенные реакции широко распространеш в природе и современной технологии. К физико-химическим процессам, протекающим на Границе фаз, относятся, например, горение твердого и жидкого топлив в камерах сгорания, топохимические реакции и процессы образования пленок на поверхности твердого тела, гетерогенный катализ, ферментативные реакции в живых организмах, построение адекватных математических моделей таких процессов - актуальная задача физической химии.

Классическая теория гс:ерогенных реакций основана на системе детерминированных дифференциальных уравнений, описывающих баланс тепла и массы реагентов. Обычно в качестве значений параметров ( например, коэффициентов тепло- и массообмена, температуры окружающей среды ) берут их средние значения, а флуктуа-циями пренебрегают.

Однако на практике гетерогенные реакции протекают в сильно неравновесных условиях, например, в турбулентной среде. Они включают в себя множество взаимосвязанных процессов,' подверженных воздействию большого числа внешних случайных факторов. Как показали работы последних лет, учет флуктуаций параметров может привести не только к количественным, но и к качественным изменениям в оценке поведение химических реакций, что обычно не учитывается в существующих теориях. В частности, под воздействием внешнего шума возможны переходы из одного стационарного режима в другой, появление новых режимов и т.д. Цель диссертации - исследовать влияние флуктуаций на поведение гетерогенных химических рэакций, найти условия приближенной

справедливости классических детерминированных теорий и разработать конструктивные «отода учета случайных факторов. Ободе датодо исследования основаны на теории стохастических дифференциальных уравнены). Научная ношзна:

- впервые дан анализ стационарных рдкимов гете^огонвой экзотермической реакции при наличии флуктувций ко§ффийкштов тепло-МассооСмена, температуры окружающей среда и концентрации в объэмз;

- впервые поставлена и решена задача о стохастическом воспламенении частицы;

- впервые рассмотрено влияние случайных факторов да процессы -образования и роста новой фазы на поверхности твердого тела;

- впервые иссладовадо распространение гетерогенной реакции в условиях снятия пересыщения.

Научвай а практическая ченаость. Теоретическая ценность диссер-. тацйв состоит С том, что это одна из первых работ, в которой конструктивно исследовано влияние флуктувций На протекание гетерогенных реакций.

Результаты>и методы, предложенные в работе, могут найти применение в расчетах широкого класса гетерогенных физико-химических процессов и, в частности,

- при разработке и конструировании химических реакторов и камер сгорания;

- при решении вопросов, связанных со взрыввбезшасностыо химических аппаратов;

- при разработке методик получения тонких пленок. Апробация работ

Результаты диссертационной работы докладывались на Минском

международном форума "Тепломассообмен - ММФ", Минск, 1С»68 г.; Всесоюзной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 1989 г.; V школе-семинаре "Теоретические основы процессов горения", Одесса, 1989 г.; студенческой научной конференции Уральского университета, Свердловск, 1989 г.; I Азиатско-Тихоокеанском международном симпозиуме по горению и утилизации энергии, Пегаш ( Китай ), 1990 г.; I Международном симпозиуме по самораспространяющемуся высокотемпературному синтезу, «лма-Ата, 1991 г.; на' семинерах кафедри математической физики УрГУ.

Публикации. Основные результата диссертации опубликованы в 10 печатных работах.

Объеи работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографш, содержит 112 страниц машинописного текста, 18 рисунков. Библиография - 141 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОШ

Во введении обосновывается актуальность темы и перечислены основные результаты диссертации.

Первая глава "Гетерогенные реакции в случайной среде" носит обзорный характер. ^ ней кратко изложены теоретические и экспериментальные результаты по воздействию флуктуация на физико-химические процессы, в той числа и по влиянию случайных факторов на горение. Дан обзор основных теоретических и экспериментальных работ по образованию и росту зародышей на поверхности твердого тела.

Вторая глава "Стационарные нежимы гетерогенной экзотермической .реакции при наличии внешних шумов" посвящена исследованию влияния флуктуации коэффициентов тепло- и массообмена, температу-

б

ры окружающей среда и концентрации в.объеме на ствцисщарные ' режимы горения. " . '

Для того, чтобы оценить качественное влияние внешнего случайного воздействия ( myi.,a ) на горение частицы, ¿рассмотрена математическая модель Д.А. Франка-Камеяецкого гетерогенной

химической реакции d Т

С —- - a(t) ( Т - Т ) + Q к(Т) с + C_(t) , de

- = p(t) < со- с ) - к(Г) с + Ço(t) ,

d t

к(Т)= Z ехр( -Е/КГ ) ..

I

Здесь Т и - температуры частицы и окружающей среда, с и с0 - концентрации окислителя у поверхности а в объеме, a и р - коэффициенты тепло- и массообмана, к(Т) в Q - константа скорости и теплота реакции, С - теплоемкость частицы, z -экспоненциальный множитель, Б - энергия активации, R - универсальная газовая постоянная.

В систему уравнений (I) входят параметры a , р , со й Т0 , которые при наличии внешнего шума являются случайными функция«® времени. Коэффициенты тепло- и массообмена можно представить в виде

a(t) = < a > ( 1 + ea(t) ), pCt) - < p > <1 + £p(t) ), (2) где Ç (t) и £„(t) описывают флуктуации тепло- и массообме-

а р

на, < а > и < р > - средние значения соответствуквдк коэффициентов. Флуктуации температуры То окружающей среды и концентрации cq в объеме можно описать с помощью аддитивных шумов ÇT(t) и Çc(t).

Система (I) используется для описания не только теплового режима гетерогенной экзотермической реакции на равнодоступной

поверхности, но и применяется как модоль гомогенного или г«т<>-рогенного реактора идеального перемешивания. В последнем случае с помощью мультипликативных шумов | можно моделировать быстры» флуктуационные изменения скорости потока топлива. А аддитивные шумы С будут связаны со случайными колебаниями температура поступающего потока и флуктуышями концентрации окислителя.

В безразмерных переменных и параметрах

Е * < а >

V °

в = -=■( Т - Т), X = -

И Т ° о

о

. < а > Е < р >

% =

к(То)

С

в =

дЕ к('го> °с

< а > Н Т2 о

V0

НТ?<а> т

О

С, (I) тми

со < Р >

С0Ш

(3)

"Система (!)-(?.) может быть записана в виде

а е а х

= ~ 9 + V гт<в'х)= С ( < - X } ехр£

1 + о е

1 V«' •

- в, (4)

Г (в,х) = ц ( 1 - х ) ехр

1+00

- X

В детерминированном случае стационарные режимы гетерогенной экзотермической реакции определяются из решения двух алгебраических уравнения Гт(9,х)=0 , ?о(6,х)=0 .которые подробно рассмотрены в литературе.

В стохастическом случае температура поверхности частицы и концентрация окислителя у поветаности есть случайные функции времени. Поэтому анализ системы (4) должен проводиться на основе теории вероятности, что требует рассмотрения плотности рас-

пределения вероятности температуры и концентрации. Максимумы стационарной плотности вероятности будут соответствовать устойчивым режимам горения, в минимумы - неустойчивым.

Для замыкания системы (4) необходимо задать статистические характеристики случайных процессов ( шумов ) £ и т) . Характерные времена флуктуации в турбулентных потоках, вызывающие случайные возмущения, обычно существенно меньше других характерных времен горения частицы. Поэтому реальные шумы предлагается аппроксимировать дельта-коррелированными случайными процессами < "белыми шумами" ).

В качестве первого приближения для реальных шумов можно выбрать гауссовские белые шумы, имеющие следующие статистические характеристики (для краткости записи опущена часть нижних индексов) ,3

< ?(т) > = < т}(т) > = 0 ,

< 1(1) > = 2 о 0(1-1'). < 1а(1) £э<%*) >=2оарС(т:-х') (б)

< т}(1) Т}(1'> > = 2 е 0(1-1'), < т)0(х') >=2еТо0(1-т:*).

Здесь угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю, О(т-г') - дельта-функция Дирака, • е и о - безразмерные параметры, характеризующие интенсивность флуктуация.

Для сравнения в качестве иной аппроксимации реального шума выбран пуассоновский белый шум, который позволяет выполнить требование положительной определенности флуктуирующих параметров. В этом случае стохастические процессы 1а(Ъ) и

определяются так

ер»)-в,<1) - Я,и, , , (6)

п,

п. ехр[-<п,>]

и4(*> = б( г - г,) , р(п4)=<п(> , V .

J=1

В

€ [0,Т] , <п4>= Я.4т . ре(т]) = 0)~1вхр(-г1 / , 1? > О .

Системе стохастических дифференциальных уравнений (4) соответствует управляющее уравнение для плотности распределения вероятности р = р(%;9,х) температуры в и концентрации х в момент времени т а р(г;8,х)

в %

= ^ Р + Т Ь0 р

(7)

где конкретный вид дифференциальных операторов Ь,г и Ь, зависит от выбора шума.

При гетерогенном горении, как правило, выполняется условие р » а / С < 7 » 1 ) , • (8)

позволяющее применить процедуру адиабатического исключения быстрой переменной

X и тем самым получить уравнение для плотности вероятности распределения температуры 8. С помощью этого уравнения вычислена стационарная плот- 1 вдеть распределения температуры и выписано соотношение для стационарных тепловых режимов горения при наличии шума. Из анализа этих соотно-

Р.(в)

0.3 -

0.0

0.0

6.0

10.0

Рис. I. Гауссовский белый шум.

Стационарная функция распределения рв(6) для 3=0.43, I =0.05 и следующих о. :

л а

о =0.02

р

2 - оо=0.Г4. р

шений следует, что флуктуации способны приводить не только к количественным, но и к качественным изменениям в стационарных режимах гетерогенной экзотермической ¡реакции: внешние флуктуации могут быть причиной ..валового взрыва и. ч потухания. В качестве примера см. рис. I.

Использование белого пуассоновского шума для моделирования флуктуация коэффициентов тепло- и массообмена дает результаты, отличающиеся от случая белого гауссовского шума. Очевидно, что ответ о правильности выбора аппроксимирующего шума должны дать опытные данные.

На примере пуассоновского процесса рассмотрена проблема адаптации характеристик модельного шума.

В третьей главе "Стохастическое воспламенение частицы" рассмотрено влияние шума на нестационарные режимы горения.

В классической теории горения считается, что процесс самовоспламенения определяется начальными условиями, свойствами реагирующих веществ и теплоотводом. Флуктуации температуры окружающей среды, коэффициентов тепло- и массообмена и других пара-мэтров при этом не учитываются. Как известно, при переходе системы из одного состояния в-другое, а воспламенение'есть именно такой процесс, флуктуации способны играть определяющую роль. Случайте колебания могут приводить к самовоспламенению частицы или самопроизвольному ее потуханию даже в тех ситуациях, когда согласно классической теории такие переходы невозможны. Поэтому в диссертации предлагается рассматривать воспламенение частицы как случайный процесс.

Для простоты и наглядности результатов исследовано модельное уравнение теплового баланса экзотермической гетерогенной реак-цгаг с аддитивным шумом, хотя приведенные в этой главе рассуж-

ения и выкладки в целом справедливы и для более сложных г 'а-ематических моделей, в'том числе для обсуждавшихся в главе II.

В безразмерных переменных (3) уравнение теплового баланса ;вписывается в виде

а в а и

+

(1 т 4 в 0 *

где и(в) * - в | и ц +вхр(-в)Г1 - в} а в .

Рассмотрена ситуация, когда безразмерные параметры реакции I и 0 таковы, что классическая теория предсказывает су-

цествование трех стационарных режимов, два из которых - ки-

«

татический ( 9, ) и диффузионный ( вг ) - устойчивы, третий ( вп ) - неустойчив.

Пусть в начальный момент частица имеет температуру 9о из интервала О < 9о < 0п>. тогда, согласно детерминированной теории, частица за малое время релаксируэт к стационарной температуре кинетического режима 0] и сгорит в этом режиме за характерное безразмерное время тк = а/К(Т1)С.

Появлете шума может существенно изменить ситуацию. Согласно известной задаче о переходе через потенциальный барьер, возможен спонтанный переход теплового режима горения частицы из кинетического в диффузионный ( стохастическое воспламенение ) в среднем за время т^. Очевидно, что такое событие можно наблюдать экспериментально при условии, что среднее время перехода т4 меньше времени тк сгорания частицы в кинетическом режиме.

В предположении, что т)т(т) - дельта-коррелированный гаус-совский случайный процесс с нулевым средним значением, среднее. бремя стохастического воспламенения вычисляется из сле-

дующего выражения

11 X

III

(|>i Zö)

d г

йх

<1>( * )

6.

(Ю) ö / е |i

ф( х ) - expi-x2/ 2 £)[ ! |i ехр< х ) + 1)/( Й + 1) ]

Критические условия для стохастического воспламенения могут быть отписаны в виде

О'(^) U'(62) . о. U(e,) > U(e2), Ttr < Xk . (И)

р(т.е)

На рис.2 продемонстрирована типичная еволюция плотности распределения р(т,6) ' температуры частицы в рассматриваемой ситуации.

Дня экспериментальной проверки стохастической модели необходимо

I

знание интенсивности белого шума е . Величину е' можно связать с экспериментально

наблюдаемой дисперсией температуры около 6=6, . Пусть кввзи-равновесная плотность распределения температур! в окрестности 6=9, подчиняется нормальному закону

*з(в)= (г/те)1'2 ехр[ -(в-в,)е/2е1 ( и'Чв^М).

о в, в. в»

РИс. 2. Нестационарная плотность распределения вероятности р(т,0) температуры 8 при ц=0.05, 0=и.35, е=1, во=1 в разные моменты времени, х: 1-0.2-1 , 3 - 5 , 4 - 20 .

тогда w

< ( 0 - 01 )а> a J ( 9 - 0, )2 р(0) d в =» е.

о ..л

В качестве аппроксимации случайного процесса r^ít) рассмотрен также гауссовский цветной шум с нулевым средним значением, который, в отличие от белого, имеет конечный радиус корреляции:

< Т^И) >=0, < Tjj.Ci) 1^(1') >» 8/т0 ехр( - 1'\/10), (12)

тс -/безразмерное время хорроляцки.

В целом полученные результаты в случае цветного шума совпадают со случаем белого шума. Однако цветной шум, даже аддитивный, ведет себя мультипликативным образом. Рост времени корреляции то приводит к увеличению времени стохастического воспламенения ttr .

Четвертая глава "Химические процессы на границе газовой и твердой фаз" посвящена процессам образования и роста новой фазы на поверхности твердого тела.

Рассмотрена ситуация, когда лимитирующей стадией является подвод адатомов к периметру островка. Тогда обобщенный закон роста зародыша новой фазы на поверхности твердого тела можно записать в виде

a R

сц Н~п - О, R"n_1 + /( R ) £(Л ). (13)

а V

Здесь Е - радиус островка, 4 - время. Коэффициенты а1 и а2 - функции температуры, коэффициентов линейного натяжения, . давления и других параметров системы. Их явный вид зависит от

механизма доставки адатомов. Параметр п=0 для островков цилиндрической формы и п=1 для сферических образований.

Последнее слагаемое в (13) описывает случайный источник или сток адатомов вблизи островк»', причиной которых могут быть флуктуации концентрации адатомов вблизи зародыша, изменение формы зародыша, колебания температуры, давления и т.п. Функция /(И) в (13) отражает влияние размера островка на интенсивность флуктуаций. В качестве приближения шума £(1) используется дельта-коррелированный гауссовский случайный процесс ( белый шум ).;

Важной характеристикой топохимической реакции является время индукции, т.е. характерное время образования устойчивого агрегата на поверхности. Период индукции включает в себя время заполнения поверхности адсорбентом и время г{ , необходимое для флуктуационного образования критического зародыша новой фазы. Обычно время т( не рассматривается и необосновано считается,-что период индукции соответствует времени необходимому для достижения поверхностной концентрации адсорбента критического значения. Очевидно, что определенный таким образом период индукции является заниженным. Если интенсивность флуктуаций невелика, а заполнение поверхности происходит быстро, то время флуктуационного образования зародыша критического размера может быт)? сравнимо или даже существенно превосходить время заполнения поверхности адатомами и, следовательно, т{ может определять время индукции. Время т{ флуктуационного образования зародыша является случайной величиной. В диссертации определены ее статистические характеристики: вычислено среднее значение времени , записаны уравнения для дисперсии и старших моментов.

В Дамках стохастической модели (13) решена задача о рас-

Пространении реакции на поверхности. Такйл образом обобщена теория Мампеля на случай стохастического роста зародышей.

Теория Мампеля я различные .ее обобщения верны только -в предположении о постоянстве пересыщения адатомов на поверхяос-•гя. Прогрессирующий рост островков новой фазы обычно приводит к уменшеяию средней концентрации адатомов на остающейся незанятой части поверхности, т.е. степень метастабильности в процессе заполнения поверхности новой фазой монотонно падает. При Втом в течение длительного времени степень метастабилыгостй остается достаточно высокой для того, чтобы было существенным образование новых зародышей. Фактически это происходит вплоть до Ьолного заполнения поверхности или, если начальное отличие истинной концентрации адатомов от равновесной было не очень велико, до практически полного снятия пересыщения и Наступления стадии коалесценции, когда образованием новых закритических зародышей можно пренебречь. Таким образом, на промежуточной стадии заполнения поверхности пересыщение есть функция времени, и в (13) необходимо учитывать, что коэффициенты ат , а^ и / •зависят от пересыщения.

Ддя стохастического дифференциального'уравнения (13) записано соответствующее уравнение Фоккера-Планка. В качестве граничного выбрано условие нп поток зародышей закритического размера. Как известно, скорость образования закритических зародышей <Т зависит от относительного пересыщения- т) и степени превращения х . Из решения уравнения Фоккера-Планка получено выражение для йлотности распределения зародышей по размерам при произвольном виде потока закритических зародышей. На основе полученной функции распределения выписаны временные зависимости для пересыщения и степени превращения. Приведены асимптотические решения.

На малых временах ( X ~ 0 ) степень превращения пропорциональна Предлагаемая модель учитывает при расчете степе заполнения поверхности не только рост фиксированного числа за родашей, но и появление-новых образований, что существенно на начальном атапе реакции. Поэтому асимптотическая зависимость < времени не является квадратичной, как это обычно следует из других теорий.

Для иллюстрации рассмотрен конкретный пример кинетики нук-леации: .7=«Г01(т],х), 1<т),х)= 1 (1-х).

Я1т](т)1=ехр[р в(а)1, в(х)=1 -т)-1 -Здесь 3 - начальный поток зародышей, <?(т)(т)] - поток закри-тичнских зародышей по теории Я.Б.Зельдовича, параметр р представляет собой, по существу, безразмерную энергию'активаци процесса возникновения критического зародыша, отнесенную к начальному пересыще-

нию.

На рис. 3 и 4 построены зависимости относительного! пересыщения

I

т)(х): и степени превращения х(1> от безразмерного' времени г. Сплопь ныв кривые - это численные решения уравнений для пересыщения 11(1) и степени превраще-

но

х(т),т;(т)

о.а -

о.в -

о.г

о.о

Рис. 3. Зависимость относительного пересыщения т)(т) и степени превращения х(%) от безразмерного времени х. Пояснения см. в тексте.

\я от безразмериого времени т. Из сравнения вида кривой' стада! покрытия поверхности и аналогичных экспериментальных кри-л следует, что предлагаемая .»«одаль в качественном отношении элностью согласуется с экспериментом. При подборе первмеТров ззгао получить и хорошее количественное согласие ( в качестве римера см. рис. 4 ). Штриховыми линиями на рис. 3 представлены □дельные расчеты пересыщения Т) и степени превращения х в редположении, что т](т)=т](0)=сопэ1;. Очевидно ( см. рис. 3 ), то такое предположение, которое делается в большинстве теорий, охот приводить к качественно неверному результату.

Рис. 4. Зависимость степени превращения х(г) от безразмерного времени % . Сплошная кривая - результаты расчета, а - точки экспериментальной кривой ( см. Борман В.Д., Гусев Е.М., Девятко ГО.Н. и др. Кинетика начальной стадии островкового роста оксидной фазы на поверхности металла // Поверхность. 1990. Л 8. С. 22-29. ), полученной при окислении никеля при температура 300 К и давлении Ю-7 торр, время обезразмерено на г =0.025 с.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Детерминированные модели гетерогенных реакций, не учитывающие наличия случайных факторов, способны приводить не только и количественным неточностям, но и к ошибкам качественного характера. Влияние флуктуаций коэффициентов тепло- и массообмена, температуры окружающей среды и концентрации реагентов описывается на основе управляющего уравнения для совместной плотности распределения температуры и концентрации при аппроксимации реального шума гауссовскими и пуассоновскими случайными процессами. При помощи методов адиабатического исключения это уравнение сводится к уравнению для плотности распределения температуры, стационарное решение которого определяет, в частности, стационарные тепловые режимы реакции ( горения ). Внешние шумы способны качественно изменять эти режимы, приводя, например, к срыву высокотемпературного режима или, напротив, к тепловому взрыву.

2. Случайные возмущения могут приводить к спонтанному инициированию или потуханию гетерогенной реакции. Этот эффект описан на примэре стохастического воспламенения ( или потухания ) частицы топлива: найдены условия и вычислены средние времена воспламенения для белого и цветного шумов. Аддитивный цветной шум влияет на систему мультипликативным образом.

3. Случайные факторы сильно влияют на кинетику начальной стадии роста новой фазы на поверхности твердого тела. Развитая теория позволяет яачислить среднее врэмя флуктуацяонного образования критического зародыша, которое может быть выше времени заполнения поверхности адатомами и определять, тем самым, время

индукции реакции. Найдены статистические характеристики э^ой величины: дисперсия и высшие моменты.

4. В условиях затрудненной сорбции, растущие зародыши понижают степень метастабильности, что существенно замедляет кинетику заполнения поверхности новой фазой. Предложенная теория этого явления позволяет получить явное выражение для функции распределения зародышей по размерам в любой момент времени, найти зависимости от времени степени превращения и пересыщения и их асимптотическое представление, согласующиеся с экспериментальными данными.

5. Стохастический механизм роста островков новой фазы и учет изменения метастабильности поверхности приводит к необходимости обобщения классической теории Мампеля заполнения поверхности.

Публикации по теме диссертации

1. Буевич Ю.А., Третьяков М.В., Федотов С.П. Стационарные

режимы гетерогенной реакции при флуктуациях тепло- и м«ссоо$м«на // Тез. докл. мендунар. форума "Тепломассообмен - ММФ". Минск, 1988. Секция 3. С. 33-35.

2. Федотов С.П., Третьяков М.В. Стационарные режимы гетероген-

ной химической реакции при наличии внешних шумов // Хим.физика. 1988. ?.7, А II. С. 1533^1537.

3. Третьяков М.В. Влияние внешних шумов на стационарные режима

гетерогенного горения // Тезисы сообщений студенческой научной конференции Уральского университета, Свердловск» 1989. С. 16-20.

4. Третьяков М.В., Федотов С.П. Стационарные режимы гетероген-

ной реакции при наличии белого пуассоновского шума // Хим.физика. 1990. Т.9, 2. С. 252-257.

6. Buyevlch Yu.A., Fedotov S.P., Tret'yaKDY M.V. The Iniluence of External Noise on Coitibustlon // Proceedings of the first Asian-Pacific International Symposium on Combustion and Energy Utilization. Beijing, China: International Academic Publishers, 1990. P. 12-18.

6. Федотов С.П., Третьяков M.B. О стохастическом воспламенения

частицы // Хим.физика. 1991. T.I0, Л 2. С. 238-241.

7. Fedotov S.P., Tret'yakov M.V. Stochastic Criteria for

Ignition of Single Particles // Combust.Scl. end Tech. 1991. Vol. 78, N 1-3. P. 1-6.

8. Буевич Ю.А., Третьяков M.B., Федотов С.П. Модель стохасти-

ческого роста островков новой фазы ва поверхности твердого тела // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321, * Б. СЛ005-100Э.

9. Буевич Б.А., Третьяков U.B. Заполнение твердой поверхности

новой фазой в условиях снятия метасгабильности растущими зародшами // Докл. АН. 1992. Т.323, А 2.

10. Третьяков М.В. Влияние цветного шума на горение частицы

// Инл.-физ. журнал. 1992. Т. 63, * 2.

Подгисвно к печати //. рз .гг. Формат 60x84 I/I6

Бумага для множительных аппаратов. Печать офсетная. Объем 1,18 уч.-изд. л. Тираж 100 екз. Заказ * fio . Бесплатно. Уральский ун-т. 620083, Екатеринбург, пр. Ленина, Ы.

Типлаборатория УрГУ. 620083, Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, Б1,