Стоксовые течения в конечном цилиндре тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ОД

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

'ЛОП ^37

аа правах рутопису

Малюга Володимир Сергійович

УДК 532.5

СТОКСОВІ ТЕЧІЇ В СКІНЧЕНОМУ ЦИЛІНДРІ

01.02.05 - механіка рідини, гаоу та плаями

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на одобуття вченого ступеня кандидата фіонхо - математичних наук

Дисертації с рукописом

Робота виконана в Інституті гідромеханіки НАН України.

Науковий керівних - доктор фіонко-математичних наук

В.В.Медешко

Науковий консультант - доктор фіонко-математичних наук

О .М. Гомілко

Офіційні опоненти - доктор фіоико-математичних наук,

професор МЛ.Барішк

кандидат фіонко-математичних наук

В.О.ГЬрбань

Провідна установа - Київський університет

ім. Т.Г.Шевченка

Захист відбудеться ______”_____к Є-Р &ИЯ_________1997р. о ” ^ ^

на засіданні спеціаліоованної ради Д 01.04.01 в Інституті гідромеханіки НАН України оа адресою: 252057, Київ, вуд. Желябова, 8/4.

З дисертацією можна оонайомитись у бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України.

Автореферат рооіслано ” ТР/І&ЧР 1ЯЙ7р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради /-/

доктор технічних наук к: С.І.Криль

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В останні роки увагу багатьох дослідників привертає вивчення проблем перемішування рідини. Ці проблеми тісно пов’язані о явищами так званої хаотичної та регулярної адвекції частинок пасивної домішки, а також дагранжової турбулентності, тобто складного хаотичного руху лагранжових частинок рідини за досить простого регулярного ейлерового поля швидкості. Тккі дослідження, як правило, присвячено розгляду згаданих проблем стосовно до течій у двовимірних областях [P.N.Shaiikar, A.M.J.Davia, J.M.Ottino, H.Aref]. Таке спрощення не дає можливості описати деякі явища, обумовлені саме тривимірністю реальної області течії.

Відзначимо наступні аргументи на користь вивчення кінематичних структур, що мають місце в стаціонарних течіях, а також особливостей і ефективності перемішування саме у скінченому циліндрі. Оскільки циліндр є тілом обертання, з ньому можуть бути розташовані різноманітні тверді вставки, за допомогою обертання яких збуджується рідина, що заповнює циліндр. Така судина з тривимірними вставками, що мають складну форму та обертаються, є найбільш поширеною та найбільш природньою геометрією міксера. Аналогічні пристрої знаходять застосування під час перемішування полімерів, де механічні властивості виробів мають залежати від якості перемішування складових частин. Оскільки поле швидкості стаціонарного двовимірного потоку є гамільтоновим, то звідси випливає, що кожна частинка рідини має лише один ступінь свободи, тобто здійснює рух своєю визначеною лінією течії. Що ж до тривимірних стаціонарних течій, то у загальному випадку система має три ступені свободи і, отже, хаотичний рух лагранжових частинок рідини стає можливим навіть за стаціонарного поля швидкості.

Останнім часом, у зв’язку з проблемами суспензії [Дж.Хаппель, Г.Бре-ннер] та хаотичного перемішування в’язкої рідини [OttLno], зріс інтерес до досліджень розв’язків стаціонарних рівнянь Стокса. Розгляд цих рівнянь є корисним також при розробці наближених методів розв’язання повних рівнянь Нав’є-Стогса. Всі задачі даної роботи було розв’язано в рамках наближення Стокса.

Наведені вище аргументи спричинили розгляд саме тих задач, котрі склали дану дисертаційну роботу. Порівняння з відомими експериментальними [R.R.Roger, R..G.Hussey, 1982] та чисельними [A.M.J.Davis, 1991] даними проведено для задачі обтіканні одного тонкого кільцевого диска в необмеженій області потоком, що набігає а нескінченості. Було

одержано хорошу збіжність експериментальних та розрахункових результатів.

Розвинутий у роботі підхід, що балується на методі суперпозиції та теорії гідродинамічних потенціалів, дає можливість, на відміну від суто ■чисельних методів розв'язання граничних оадач, одержати аналітичний роов’яоок для компонент швидкості та тиску, що (значно знижує витрати на виконання комп’ютерних розрахунків і, отже, дас можливість роов’яоувати більш складні задачі.

Метою роботи е розвиток аналітично-чисельних методів роов’язання рівнянь Стокса стосовно скінченої циліндричної області; вивчення кінематичних властивостей тривимірної стоксової течії, зокрема, особливостей вихорових структур; дослідження (загальних механізмів та якості перемішування рідини в періодичних течіях.

Наукова новизна.

Розвинуто математичні методи, що дозволяють одержати вирази компонент поля швидкості повзучих течій у скінчених циліндричних порожнинах та у скінчених циліндрах о твердими вставками.

Досліджено властивості розв’язку рівнянь Стокса та знайдено асимптотичний закон невідомих коефіцієнтів розв’язку.

Побудовано чисельний алгоритм, що дозволяє на основі одержаного поля швидкості досліджувати властивості стоксових течій у скінченому циліндрі.

Досліджено кінематичні властивості стаціонарного руху частинок рідини, зокрема, поблизу кутів скінченого циліндра.

Викопано якісний та кількісний аналіз перемішування рідини в періодичних течіях, знайдені границі регулярних та хаотичних зон течії.

Проаналізовано вплив твердих вставок на структуру стаціонарної течії та перемішування рідини в циліндрі.

Сформульовано критерій оцінки точності чисельних обрахунків в періодичних потоках, що базується на властивості збільшення чутливості до чисельних похибок при наближенні до області хаотичного руху.

Достовірність одержаних результатів гарантується використанням строгих математичних методів, що забезпечують необхідну точність, а також порівнянням чисельних результатів з експериментальними та чисельними даними, шо буди одержані іншими авторами.

Практична цінність роботи полягає у розвитку методів побудови аналітичного розв’язку, розробці чисельного алгоритму та дослідженні особливостей кінематики перемішування у скінченому циліндрі, що є найбільш поширеною геометрією міксера. Отримані результати можуть бути застосовані при розробці технологій перемішування полімерів.

Особистий внесок дисертанта лолягас в

одержанні аналітичного роов’яоку оадачі Стокса методом суперпозиції для скінченої циліндричної порожнини та методом потенціалу простого шару для скінченого циліндра о осесиметричними твердими вставками;

дослідженні кінематичних властивостей течій, що мають місце у скінченому циліндрі, вихорових структур, а також особливостей перемішування;

рооробці комп’ютерних алгоритмів та програм, виборі придатних та найефективніших чисельних методів;

формулюванні критеріїв оцінки точності чисельного дослідження періодичних течій.

Апробація реоультатів. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на семінарах відділу вихорових рухів Інституту гідромеханіки НАН України під керівництвом доктора фіо.-мат. наук В.В.Мелешка (1992р., 1995р., 1996р.), на XVII і XVIII наукових конференціях молодих вчених Інституту механіки НАН України (Київ, 1992р., 1993р.), на науковому семінарі "Проблеми механіки” Київського національного університету ім.Т.Г.Шевченка під керівництвом члена-кореспондента НАН України А.Т.Улітка, академіка НАН України В.Т.Грін-ченка (1996р.), на Третьому міжнародному конгресі а промислової та прикладної математики (Гамбург, 1995р.), на республіканському науковому семінарі з гідромеханіки Інституту гідромеханіки НАН України під керівництвом академіка НАН України В.Т.Грінченка (1996р.).

Публікації. Матеріали дисертиції опубліковані в семи роботах.

Реоультати дисертації використані при виконанні Інститутом гідромеханіки бюджетної науково-дослідної геми "Моделювання гідродинаміки перемішування в природних умовах та перспективних технологіях”.

Структура та обсяг дисертації.

Дисертаційну роботу складають вступ, три рооділи, висновки, список літератури та три доданки. її викладено на 128 сторінках машинописного тексту, що містять 35 малюнків і А таблиці. Список літератури містить 96 найменувань.

ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі розкрито сутність і актуальність досліджуваної проблеми, подано короткий огляд літератури та сучасного стану питання, сформульовано цілі дисертаційної роботи, викладено оміст роботи за рооділами.

У першому рооділі розглянуто стаціонарну осесиметричну течію в циліндричній порожнині, що «збуджується рухом бічної поверхні. Саме на цьому прикладі детально описано математичні методи, що використовуються задля здобуття аналітичного розв'язку, та досліджено властивості одержаного розв'язку. Т^ку задачу можна роглядатн як перший крок до вивчення більш складних тривимірних рухів рідини в циліндрі, у тому числі за наявності твердих вставок.

В межах обраної моделі Стокса постановка (задачі складається а рівнянь Стокса та неперервності

= (V •?) = () (1)

та граничних умов

у,(М) = о, V; (1,*) = 1, * є [-М],

(2)

. {р,±Н) = 0, у, (р,±Н) = 0, р є [о, і] ■

де Л — половина висоти циліндра. Крім того на бічній поверхні циліндра може бути задано обертання. Заради обезрозмірювання усі лінійні рооміри віднесено до радіусу циліндра, а також використано оаміну

і = V = —-----, р-

Уюиті ОПяЛ

де а — радіус циліндра, Уіоті — швидкість границі, і, V, р — безрозмірні час, швидкість та тиск. У такому двовимірному випадку Ур = Ур (/»,-), Уг =УІ(руг), р = р(р, г) можна ввести функцію течії Ф,

' ~ р дг ' г ~ р др 1 }

та авести рівняння Стокса (1) для компонент Ур, V, до одного рівняння для функції течії

=%а)^- <*>

Роов’яоок рівняння четвертого порядку можна побудувати як суму розв'язків однорідного є2Ф = 0 та неоднорідного £2Ф = F(^>, л) рівнянь другого порядку, де права частина F(/}, г) є загальним розв’язком однорідного рівняння. З урахуванням парності функції Ф (Ф(/?, 2) = Ф(р, — г)) розв’язок може бути подано у вигляді :

* = і£ М)‘

А *=і 7*ЛЫ

-хіку~к~- • ріііікр) + хгкР'ЬЫр) . Ьуік)

00 1 / 1 \

+ £----------------------------------------------------------------Г77—Ст i~~\' /»-tanh(A/j,)-) ccsh(/i,z) +

Я=1 ^r.cosh(hfin) J0(/x„) \

pjiijinp) , (5)

+У2* ---------------- - 2 • sinh(/is2!)

-.=1 /^r.cosh(fyin) in(/M ^ cosh(/inz)

f*7l

де *i*, Уіі, г2ь t/2* — невідомі коефіцієнти, Mz), Ji(z), /о(г), /-(г) — функції Бесселя та модифіковані функції Бесселя першого роду, 7t = {2к — 1)тг/2h, к — 1,2,... , — корені фулхції Бесселя Ji(pn) = 0.

Дифереяцюючн (5) можна одержати вирааи для поля швидкостей.

З першої та четвертої граничних умов (2) випливає, шо хщ = х%к — ■їі, у\к = Угк — УЬ де хь, yk — нові пскзначення невідомих. Рооклавши в третій граничній умові компоненту швидкості Vp оа повного та ортогонального яз інтервалі [0,1] о вагою р системою функцій J\(nnp) , п — 1,2,..., а в другій граничній умові компоненту Vz оа системою соз(7іг) , к = 1,2,..., повного та ортогональною на [0,Л], одержимо не-скінчену систему лінійних адгебраїчніх рівнянь, яка дооволяє вионачити невідомі коефіцієнті рсов’яоку а умовк ного (задоволення граничним умовам.

^Ы-47;Е . = 2, к — 1,2,...

«=і (fil + Гк)

А(Уч) _ Л S 7кХк _ _

Уп і 2/1 \ г. 2-4 , ,v2 — ^ ^

cosh (Л/fn) Л і-i (7j + {і\)

(в)

де функції і(7) = + 7 - Тнт4> ДМ “ зіпЬ^созЬ д + р.

м(7/ А(7/ _

Шляхом застосування перетворення Мелліна та теореми про лишки

у роботі доведено майже цілком регулярність системи (б), у тому розумінні, що властивість цілком регулярності може порушуватись лише для скінченої кількості номерів к. За досить великих значень параметра к система (6) буде цілком регулярною. На основі цих тверджень доведено існування та єдиність обмеженого роов’яоку системи (6).

Шляхом використання перетворення Мелліна та (застосування ного властивостей доведено асимптотичний закон для невідомих

-і - ~І—--т-0(к~1}, ук = ——г -гО(к~), к -» со (7)

■к1 — 4 я- — 4

Значення констант о асимптотичного оакону (7) оабеспеопечує виконання граничних умов у кутових точках циліндра. Вони також дають можливість онайти більш точний чисельний роов’яоок системи (б) оа меньшого числа невідомих.

З використанням асимптотичного оакону невідомих (7) доведено коректність використання одержаного поля швидкості поблиоу поверхні циліндра, тобто покаоано, що функції V. е неперервними в обмеженій області, що складається о внутрішності та поверхні циліндра, її задовольняють граничним умовам оадачі (2).

Відзначимо, що задля чисельних роорахунків в околиці границі слід використовувати співвідношення о покращеною обіжністю рядів, де виділено головні частини радів шляхом використання (7) та асимптотичних роокдадів функцій, що входять до внраоів поля швидкості.

На основі чисельних розрахунків описано кінематичні властивості стаціонарної осесиметричної течії в циліндрі. Зокрема показані траєкторії частинок рідини оа оначень параметра Л = 1 та Н = 2, що виявляють структуру потоку в обмеженій циліндричній області.

Запропоновано наступний алгоритм чисельного вивчення перемішування рідини. Інтенсивність перемішування досліджено о допомогою змінювання числа (ІУй — відношення кількості областей циліндра, що зайняті поміченими в початковий момент часу частинками рідини (бралося 10000 точок), до всієї кількості областей, на які було розбито циліндр (500 областей)) за часом. Стаціонарність потоку говорить про те, що пляма рідини має розмиватись в процесі такого руху в області, обмеженій поверхнями течії, котрі у початковий момент часу торкались границі плями. Ікким чином, число Ыа не досягає значення 1, а його граничне значення, ягщо І —>■ оо, залежить від об’єму рідини, що міститься між описаними вище поверхнями течії.

Процес деформації рідкої поверхні (мал. 1) дає можливість більш детально уявити картину течії. Окрім основного поля потоку видно також невеликі відокремлені зони циркулюючих течій. Така картина спостерігається оа досить великих оначень параметра к (у наведеному прикладі /і — 2).

У другому розділі рооглянуто тривимірну задачу про стаціонарний та періодичний оа часом рух рідини у скінченому циліндрі. Замість одного рівняння в частинних похідних четвертого порядку для функції течії Ф розв’язано систему о трьох рівнянь в частинних похідних другого порядку о трьома невідомими функціями Ур , ^ , Ус , котрі залежать від усіх трьох координат циліндричної системи координат.

Рух рідини описують рівняння Стокса (1). Розглядаючи довільне поле швидкості (о умовою /5її• псІБ = 0, де 5 — поверхня циліндра), поділимо цю задачу на дві частини — симетричну та антисиметричну по - — залежно від парності чи непарності по г розв’язку VI (р,в,з).

> • '

Малюнок 1: Процес деформації рідіо? лінії (початхова поонція 0.1 < г < 0.9, 0 < в < 2т, = 0)

(3)

Для симетричної оадачі граничні умови мають вигляд:

ММ,*) = М*),

(1,0, г) = /2(<М), в Є [0,2тг),2 Є [—Л,Л] кг (1,0,*) = /3(0,г),

Ур(р,в,±к) = ±ді(р.в),

Ц (р,0,±Л) = ±а(р,0), р Є [0,1],в Є [0,2т)

V; (/>, 0, ±Л) = д3(р,9).

Окрім граничних умов на роов’явок слід також накласти вимогу періодичності оа координатою 0 о періодом ‘2-х. Це дає можливість в оагаль-пому випадку подати поле швидкості у вигляді рядів Фур’е оа координатою 9. Для вионаченості візьмемо

СО

К = Ура + Е Урт СОй(т7і5),

Т7*=1

Уз = II Увт зіп (тп0), (9)

т=і

У = Уо 4- £ У=т соз(тв),

і

де Ура, К:о — компоненти швидкості осесиметричної оадачі.

Метод роов’аоаппа системи рівнянь Стокса описано Дж.Халпелем, Г.Бренером па прикладі течії в несхінченому круговому циліндрі. Він полягає в побудові роов’яоку як суми однорідного та частинного неоднорідного роов’яоків. При цьому функція р — тиск є гармонічною, що

дооволяє визначити в загальному вигляді праві частини неоднорідних рівнянь. Однак очевидно, що під час розв’язання задачі з нескінченнм круговим циліндром необхідно задовольнити лише граничні умови на бічній поверхні р = 1. Що ж стосується скінченого циліндра, то необхідність задовольнити граничні умови ще й на торцах г = ±Л призводить до введення додаткової частини розв’язку і, отже, додаткової потенціальної функції. Остаточно розв’язок сформульованої симетричної задачі можна записати через чотири потенціальні функції

лт ^т т-1 , ( ® , і\

, дЧгш , аФ2т т

+ Р"яТ~ + — + ~>

дрі ар р

Вт т ( д

Увт ~ 2^ р [2дг+ 0 Ф°т (10)

~ трГА'?'")~ 7Ф>” ~~аГ'

- с-о +г-53--5;1 "-аГГ

2т

дрУ дг) дг де Ф.тсоа(т&) — гармонічні функції, що мають вигляд °° Уіптп

От = Е Т—р~,-----------------------------------Г--.-;-ТТ-Г-Л»(РчтР) ВШІі(цлт2)

»=1 ІіІтІт№гіт) ЗтЦІІЦпт)

= і £ 5ІП^ ' " к= 1 Рк^тІРк)

Фз» = Е +

*=1 РкІтКРк)

(И)

+ Ё--------Р“7—1^-', ;ї------------^т(^тр) зтЪ(^тг) ,

п=1 Рът-Гт{Рът) ЗшЬ(/і/1„т)

Фз„ = Е зіп(&г) +

і-1 РкІтКРк)

+ Е -------Т~1 УТт 1,/;,--------Г^тО^ятР) зтЬ(>Лт^) ,

я=1 МптЛЛМпт) ЗШІі(ЛД,т; .

де /ї* = &тг/Л, а/ілт задовольняє рівнянню т) = 0,т = 1,2,...

Роокладаючи задані на границі функції за системою тригонометричних функцій зіп(т0),саз(т<?) на інтервалі [0,2тг], перші три співвідношення (8) за повною та ортогональною на інтервалі [-Л,Л] системою тригонометричних функцій 9Іп(/?&£), соз(/?ііг), суму та різницю четвер-

0.5

Мазхжок 2: Кутові іінематичні струхтури па А/а = 1.6295

того і п’ятого рівнянь (8) в ряди Ділі, а останнє рівняння (8) з ряд, Фур’є-Бесселя за координатою р, можна одержати нескінчену систему лінійних алгебраїчних рівнянь ДЛЯ ДВОХ послідовностей невідомих ХіЬп, Уіпт- ІНШІ чотири ПОСЛІДОВНОСТІ невідомих виражені черео Хікт, Уіят.

Аналогічним чином одержало також розв’язок анти симетричної оа-дачі, де властивості парності по г невідомих фунхцій замінено на протилежні.

Розглянуто питання про існування вихорів у скінченому циліндрі, де бічна поверхня р = 1 і нижня торцева поверхня г — — Л є нерухомими, а верхня торцева поверхня рухається з сталою швидкістю и у додат-ньому напрямку осі X. Як показують результати чисельних розрахунків, в циліндрі подібно до прямокутника кількість ” великих” вихорів збільшується при зростанні значення Л. Крім того спостерігається й дивовижна наближеність координат вихорових центрів в прямокутнику та в циліндрі в площині у = 0.

Що ж стосується кутових кінематичних структур, то в циліндрі вони якісно відрізняються від тих, що розглядались іншими авторами у прямокутнику. Поза площиною у — 0 (мал. 2) частинки рідини одіснюють рух навколо осі спіраллю, осуваються вздовж вихорової осі. В площині у = 0 особливими точками будуть вже не центри вихорів Моффата, як це має місце в прямокутнику, а фокуси.

У цьому рооділі увагу також приділено дослідженню процесів перемішування в періодичній (кваоістаціонарній) течії, що має місце у скінченому циліндрі, де верхня границя рухається в додатньому напрямку осі

Малюнох 3: Перетин Пугшхаре в площині у = 0

X із сталою швидкістю протягом півперіоду Т/2, а потому нижня границя рухається у оворотньому напрямку також на протяоі півперіоду. Встановимо (значеная параметрів /і/а = 1/1.67, а И = \JTj2a = 6.24, де 17 — швидкість руху торцевих сторін, а — радіус циліндра. При дослідженні процесів перемішування вплив нестаціонарних ефектів, викликаних перемиканням режимів руху границь, має бути неоничним оа умови Де << 4О. Дослідження хаотичних (де рідина перемішується най-інтенсивнішим шляхом) та регулярних режимів руху частинок рідини у такій періодичній течії проведено оа допомогою перетину Пуанкаре (мал. 3).

Критерій точності чисельних обрахунків, придатний для даної оадачі, грунтується на наступній властивості. Якщо наближувати початкові умови від центру області регулярного руху до її границі, траєкторія набуває все більшої чутливості до чисельних похибок, а обуджешія, спричинені ними породжують руйнування границі області КАМ. При обіль-шенні числа доданків рядів, що складають поле швидкості, до 40 точність роорахунків стає задовільною.

У третьому роодіді рооглянуто стаціонарний осесиметричний рух рідини довкола трьох тонких кільцевих дисків, рдаташованих усередині скінченого циліндра. Математичний розв'язок такої оадачі можна побудувати у вигляді суперпозиції загальних розв’язків двох граничних

оадач, а, саме, роов яоку, що описує осесиметричне поле швидкості у циліндричній порожнині, наведеного у Рооділі І, та рдав’жэху, що описує поле швидкості при обтіканні системи кільцевих дисків потоком, що набігає о нескінченості. Побудові математичного роов’яоху та дослідженню фізичних властивостей огаданої задачі обтікання присаачено перший параграф цієї глави.

Нехай а0, аі — радіуси дисків, /і0 — відстані між ними. Граничні умови подані у такому вигляді

?р(р>°) = »:(р,0) = 0, рЄ(ао,аі), (12)

»Др,±Л0) = «,(р,±А0) = 0, рЄ(а0,аі), (13)

ур(р,г)-*0, юг(р,2) - г°° -> 0, ('/р2 + -г2 -» со). (14)

Згідно з теорією гідродинамічних потенціалів роаз’явок крайової задачі будемо шукати у вигляді потенціалу простого шару

и(х) = - /

Р(5) = -/5У(х,^(^57, к = 1,2,3, (15)

де Зп — поверхня тіла, що обтікається потоком, 77— точки цієї поверхні, сі к — густилн потенціалу, невідомі функції, визначені на поверхні, ІЇк, Як

— основний сингулярний роов’яоок.

Остаточно швидкість і тиск поля течії пово три диски можна подати у такому вигляді

з

^(р,-') = £[”і;(р,г) - (1 - *1;>іД'Р>

І=1

Уг{р,2) - V00 + Е[и2;(р,-) + (1 ~ $1;)и2}{Р, “-)]» (І6)

У=і

з

р(р,з) = Е[Р;(Р.“) - (1 - й ;)Р;(Р.--)].

7=1

Де

»«7(Р,^) = 7- Г і;'(г)Сі;-(р.г;г)гіг, г = 1,2, ; = 1,2,3, (17)

4тг •'«о

2зг ■'“о

Де

С„(р,л;г) = ----ЛЭД - Г~

Р\/(Р+»-і2 + -21 (р-г;--гг‘ ]

- м+гАь-М*+г'+2(- ■ ^№,_

- (р+г)1 + (* - л0)! (і + ^їт^-ад»)] ЕЫ}'

(*із(р>г>г) = <хц(р,2 — /і0; г),

Сіз(р,2;г) = -

/{р + г)

. г~й° [іт.і р., .)

\/(р4-г)2 + (г-/ю)21 (я - г)2 4- (л - Й0)2 1 Г

Р\{р, 2-, г)

С?5з(/>> г; г) — Єзі (р, г — /г0; г);

2гг Е (і/)

(19)

^{р + г)2 4-г2(р-г)3 + :3’

Р2 - г2 + (г - Ло)2 ^

)2 + (-_Ло)2 М)’

РзІР,~',г) = Р1{р,г-к0-,г), (20)

А(р,*;г) = —7ГТ~пТ7-----------------ІГчЛ^і) - А-1

У(р + г)2 + (с-Л0)21 (р-г

Де

і/! = і/(р,г-Ло;г).

К (і/), Е{и) — повні еліптичні інтеграли відповідно першого та другого роду.

Задоволеная граничних умов (12), (13) в співвідношеннях (16), (17), (19) призводить до лінійних інтегральних рівнянь першого роду, що мають три невідомі функції <і;'(г), і — 1,2,3, ядра яких мають логарифмічну сингудярність, оа р — т —* 0.

З метою перетворення інтегральних рівнянь в лінійні алгебраїчні рівняння було вжито розклад невідомих густин за поліномами Чебишева Тт першого роду па інтервалі [а0, ві]. Це призводить до нескінченої системи лінійних алгебраїчних рівнянь для трьох послідовностей невідомих сталих коефіцієнтів йі^і, <іоуі, (і$і) що є коефіцієнтами розкладу невідомих функцій. Ця система мас вигляд

£(1 -г*„)№>Ь2 + + ГГ

8 і 4тг у-! т_а 700

ЯіАрі г)~

-6: і 1п

Д[ — До

Ті{р)Тт{т)<іт(Ір = -и°°(1 - 6і2)6іо7г, (21)

р

Малюнок 4: Дефоршацш рідкої лінії, що набігає на три кільцеві диски оа Ло = І, Лз = 0.76. а! = 0.96 а) 0 < £ < 5.2, Ь) 4 = 19.6

Р

*=1,2,3, / = 0,1,2,....

Зауважимо, що розраховані в цій роботі оначення сили опору при обтіканні одного кільцевого диску сбігаготься о експериментальними та роорахунковими даними інших авторів [П.ІІ.Ш^ег, И..С.Нцзйеу (1982), А.МЛ.Оауіз, (1991)], що використовували задля їх здобуття чисельні методи розв'язання проблеми. Мал. 4 ілюструє процес деформації рідкої лінії, що набігає на диски раоом о потоком. Існують частинки рідини, котрі минають крайні диски з внутрішнього боку, а середній диск — а зовнішнього.

У другому параграфі цього розділу роо гляну то стаціонарну Стоксову течію у скінченому циліндрі о трьома кільцевими дисками. Бічна поверхня циліндра рухається з сталого швидкістю, інші поверхні — нерухомі. Відповідну граничну задачу формулюють рівняння Стокса (1) та граничні умови (2) на поверхні циліндра та (12), (13) на поверхні дисхів.

Завдяки лінійності рівнянь (1) розв'язок граничної задачі (1), (2), (12), (13) може бути побудовано у вигляді суперпозиції розв’язку осесиметрич-ної задачі для циліндричної порожнини та задачі про обтікання трьох кільцевих дисхів (16). Щодо співвідношень (16), необхідно зазначити, що стала задана величина у00, яка в задачі про обтікання кільцевих дисків

•4 С

- хи ”

визначала значения швидкості потоку на нескінченості, мае бути в даній задачі невідомою сталою величиною, в котрій виникає потреба при задоволенні граничної умови Уг(р,Ь) = 0.

Відзначимо, що оскільки поле швидхості течії, що розглядається, є стаціонарним та до того ж двовимірним, кінематичні властивості такого потоку цілком визначаються картиною ліній течії (мал. 5). У цій течії, порівняно о циліндричною порожниною, з’являються чотири нові нерухомі центри циркуляції. Крім того, за результатами розрахунків, проведених в межах цього розділу, можна зробити висновок, що присутність внутрішніх вставок прискорює процес перемішування пасивної домішки о рештою рідини.

У висновках сформульовано основні результати роботи:

1. Розвинуто метод суперпозиції для розв’язання групи тривимірних задач Стокса у скінченому циліндрі.

2. На основі методу суперпозиції та теорії гідродинамічних потенціалів роороблено аналітично-чисельний алгоритм ефективного розв’язання граничних задач для рівнянь Стокса у скінченому циліндрі з твердими тонкими коаксіальними кільцевими дисками, що моделюють один тип реального імлелера.

3. Побудовано аналітичний роов’яоок оадачі Стокса у скінченій циліндричній порожнині з довільними граничними умовами та у скінченому циліндрі з трьома кільцевими дисками.

4. Досліджено кінематичні властивості вихорових течій поблизу кутових кіл скінченого циліндра, що суттєво відрізняються від вихорів Моф-фата поблизу нерухомих плоских кутів.

5. На основі аналітичних розв’язків та проведених чисельних обрахунків досліджено структуру кваоістаціонарної течії Стокса у скінченому циліндрі за періодичних рухів торцевих поверхонь. За допомогою перетину Пуанкаре визначено зони хаотичного та регулярного рухів індивідуальних (лагранжових) частинок рідини.

Малюнож 5: Лінії течії в

циліндрі о трьома, ильцевнмя дисгаии оа Н = 2, Ло = 1, ао = 0.72, аі = 0.92

6. Сформульовано критерій точності роов’яоання оадачі Стокса для періодичних течій, що мають як регулярні так і хаотичні оонн руху даг гранжовнх частинок рідини.

Основні результата дисертації викладено у таких публікаціях:

[1] A.M. Gomilko, V.S. Malyuga, V.V. Meleshko, M.G.J. Verbruggen; Stokes flow over the array of annular disks. 27c. — Деп. з ДНТБ України 22.07.96, N1594-Yk96.

[2] А.М.Gomilko, V.S.Malyuga, M.G.J.Verbruggen, Stokes Flow in a Cylindrical Vessel with Helical Impellers, Z. angew. Math. Mech., 76, Suppl.

2, 1996, p.537-538

[3] O.M.Гомілко, В.С.Маяюга, А.Т.Улітко; Стаціонарний рух нестнсди-вої в’язкої рідини Стогса в скінченному циліндрі. В. Каївсьх. уя-ту, серія фіо.-иат. яаухз, N І, 1997р., с. 30-38

[4] А.М.Гомнлко, В.С.Маяюга; Осесимметричное течение Стокса в конечном цилиндре с тремя кольцевыми дисками. Гндромеханяга, 71, 1997г., с. 24-29

[5] В.С.Малюга; Адвекция частиц идеальной жидхости в поле вихревой пары в цилиндре. Тр. XVII Науч. ховф. мол. ученых Ил-та меха-еяхя АН Ухрашы, Киев 19-22 маз 1992г. — Киев-1992. 4.2. — с. 113117 — Деп. в УкрИНТЭИ 7.07.92, Ш022-Ук92, РЖ, 1993, 1Б317ДЕП.

[6] В.С.Малюга; Хаотическая и регулярная адвекция частиц идеальной жидкости в поле точечного вихря в проновольном секторе круга. Тр. XVIII Науч. ховф. пол. учеши Ив-та. иехаввхв АН Ухраяпы, Киев 18-21 мая 1993г. — Киев-1993. 4.2. — с. 84-88 — Дел. в ГНТБ Украины 16.08.93, N176S-Yk93, РЖ, 1994, 2Б12ДЕП.

[7] В.В.Мелепгко, В.С.Малюга; Хаотична та регулярна адвекція части-

нок ідеальної рідини в позі вихорової лари в циліндрі. Доповіді АН Ухраівя, N б, 1993р., с.59 ‘

Малюга B.C. Стоксовые течения в конечном цилиндре (рукопись). Диссертация на соискание ученой степени кандидата фиоихо-иатематич-есхих наук по специальности 01.02.05 механика жидкости, гаоа и плаомы, Ин-т гидромеханики НАН Украины, Киев, 1997.

Защищаются 7 научных работ, содержащих теоретические исследования особенностей стационарных и периодических течений несжимаемой

жидкости в цилиндре, а также обтекания тонких кольцевых дисков в бео-граничной области. С испольоованием метода суперпооиции и теории гидродинамических потенциалов получены аналитические выражения для функции тока осесимметричного течения и поля скорости. Изучена кинематика стационарных течений, в частности угловых вихревых структур, и кинематика перемешивания в периодическом (кваоистационарном) течении путем адвекции частиц жидкости. Исследованы режимы регулярного и хаотического движений жидкости. Сформулирован критерий точности численных расчетов в хаотических областях.

Malyuga V.S. Stokes flows in a finite cylinder.

Thesis for Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree, speciality 01.02.05 - mechanics of fluid, gas and plasma, Ins. of Hydromechanics of NAS of Ukraine, Kyiv, 1997.

7 articles have been published in the reference to this topic. Based on the superposition method and the theory of hydrodynamic potentials the analytical solution for the stream function of axisymmetrical flow and the velocity field has been obtained. The kinematics of steady flows, particularly corner eddy structures, and the kinematics of mixing in the periodic flow has been studied. Both regular and chaotic fluid motion regimes have been studied. Accuracy criterion for numerical computations in the chaotic domains is formulated.