Стратификация пространств функций на комплексных кривых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Бычков Борис Сергеевич

Стратификация пространств функций на комплексных кривых

oi.oi.o6 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат д к с с е р т а д и и на соискание ученой степени кандидата физико-математических иаук

16 СЕН 2015

Москва - 2015

005562215

Работа выполнена на факультете математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, Сергей Константинович Ландо, профессор факультета математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Гаянэ Юрьевна Панина, ведущий научный сотрудник ФГБУН Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации Российской академии наук.

доктор физико-математических наук, Олег Карлович Шейнман, ведущий научный сотрудник отдела геометрии и топологии ФГБУН Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук.

Ведущая организация:

ФГБУН Математический институт им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск.

Защита диссертация состоится 27 октября 2015 года в 17:00 на заседании диссертационного совета Д 002.077.03 при Институте проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН, расположенном по адресу: 127051, г. Москва, Большой Каретный переулок, 19, стр. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институте проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН и на сайте iitp.ru.

Автореферат разослан «_£_» сентября 2015 года

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Пространства мероморфных (рациональных) функций па комплекс-пых алгебраических кривых данного рода являются фундаментальным предметом изучения современной математики. Эти пространства называются пространствами Гурвица; их изучение было начато еще А. Гурви-цем в конце XIX века. Они обладают комплексной структурой и разнообразными интересными топологическими II геометрическими свойствами.

Для того, чтобы задать конкретное пространство Гурвица, обычно фиксируют род кривых и степень рассматриваемых на этих кривых мероморфных функций. Также можно зафиксировать дополнительные данные, например, порядки полюсов функций, точные определения см. ниже. Общая функция в пространстве Гурвица имеет простые (морсовские) критические точки, а ее критические значения певырождены и попарно различны. Вырождения критических значений функций определяют стратификацию соответствующего пространства Гурвица.

В работе с разных точек зрения и разными методами исследуются страты пространств Гурвица.. Основные результаты касаются стратов наибольшей коразмерности — нульмерных и одномерных, — и стратов наименьшей коразмерности — открытых стратов.

Страты наибольшей коразмерности состоят из функций с наименьшим возможным количеством критических значений, а именно, с 3 критическими значениями. Функции, образующие эти страты, называются функциями Белого. Они играют ключевую роль в современном понимании теории Галуа. Несмотря па важность функций Белого, их конкретное вычисление является технически очень сложной задачей, круг посчитанных примеров невелик, а общие методы вычисления неразвиты. Пара алгебраическая кривая и функция на ней с тремя критическими значениями называется парой Белого. А. Гротендик в своей программе |32[ ввел понятие детский рисунок — зто двумерная поверхность н граф, вложенный в нее так, что дополнение гомсоморфпо несвязному объединению открытых дисков. Прообраз отрезка, соединяющего два критических значения мероморфнои функции, — это детский рисунок. В свою очередь, для каждого детского рисунка есть реализующая его пара Белого. Эта пара по сути дела единственна. Г. В. Белый в [5] показал, что на любой кривой, определенной над полем алгебраических чисел есть функция с тремя критическими значениями. Детские рисунки связывают между собой алгебраическую геометрию, теорию чисел, теорию римановых поверхностей, теорию струн и др. Многие естествен-

но возникающие задачи, связанные с детскими рисунками, оказываются достаточно трудными. Например, задачи связанные с орбитами действия группы Галуа. Задача построения пар Белого далека от своего полпого решения, однако есть много частичных ре-зультатов в этой области: [3], [4], [8], [9], [23], [37], [42], [43]. Наши результаты состоят в вычислении пар Белого всех шестиреберных детских рисунков рода 3 с единственной вершиной и нетривиальной группой автоморфизмов.

В свою очередь, одномерные страты состоят из функций с 4 критическими значениями. Каждый такой страт распадается в объединение кривых, на каждой из которых задана функция Белого. Тем самым, одномерные страты в пространствах Гурвица дают конкретные примеры функций Белого, однако их явное вычисление, также является трудной задачей. Следуя [47], мы называем детские рисунки, отвечающие функциям Белого на одномерных стратах, мегакартами. Наши результаты состоят в явном описании мегакарт для целого ряда конкретных одномерных стратов в пространствах Гурвица.

Страты максимальной размерности состоят из общих функций. Основным инструментом анализа геометрии таких стратов является отображение Ляшко-Лойенги. сопоставляющее каждой функции неупорядоченный набор ее критических значений. Степень отображения Ляшко-Лойенги это число Гурвица, и развитие способов подсчета этих чисел также является важной задачей.

Пусть 111,...,(лг — разбиения числа й, ку,..., кп — еще одно разбиение: к'1 + к2 + ■.. + кп = (I. Обобщенное число Гурвица /»гда11...,/1г;1-1....,|ьп перечисляет разветвленные накрытия X —> СР1 степени (I поверхностью X рода д, такие что:

— точка оо (Е СР1 имеет ровно п различных пронумерованных прообразов кратностей к\,..., к„ соответственно;

— существует нефиксированное число точек ветвления, которые в дальнейшем будут называться простыми, кратности прообразов которых образуют разбиения 1<1~221.

— существует ровно г пронумерованных непростых точек ветвления с кратностями прообразов, равными частям разбиений //1,... ./1Г;

Количество т простых точек ветвления определяется по формуле Римана-Гурвица:

п

2-2д = 2в.-т- - 1) - К{Р),

1=1

где К(Р) — это сумма по всем г разбиениям /¿ь ... ,/I, уменьшенных на единицу частей разбиений.

Как будет видно из основного текста диссертации, число

также равно количеству разложений перестановки в произведение перестановок пли количеству созвездий с определенными условиями.

В случае д = г = 0 обобщенные числа Гурвица называются просто числами Гурвица

Первая формула для чисел, перечисляющих разветвленные накрытия, принадлежит Гурвицу. Более ста лет назад в 1801 году в [34] им получена формула для чисел Ло;*,.....

где |Ли1(А.'1,..., /:„)| равно произведению факториалов совпадающих частей разбиения.

После этого, в целом, задача была забыта до работы Г. Всйля [46] 1931 года и Л. Д. Медных [16], [40] 1980-90 годов. Всплеск интереса к ней случился совсем недавно — в конце XX, начале XXI века, в связи с обнаружением связей задачи Гурвица с геометрией пространства модулей комплексных кривых и теорией особенностей.

Коллективом авторов в работе [28] числа Гурвица //.,,......были выражены через кратности ограничения так называемого отображения Ляшко-Лойепги па страты дискриминанта пополненного пространства Гурвица (здесь мы вынуждены отсылать за точными формулировками в раздел 1.1 основного текста диссертации). Пополненное пространство Гурвица, в свою очередь, является конусом над пространством модулей кривых, таким образом была получена замкнутая формула для чисел

Здесь А; — это классы Черна расслоения Ходжа голоморфных 1-форм над пространством модулей Мд п, а 1/-1 — это первый класс Черна расслоения над пространством модулей Л4я;„, слой которого совпадает с кокасательным пространством к кривой в г-ой отмеченной точке.

В разделе 3.1, основываясь на геометрических соображениях, связанных с отображением Ляшко-Лойепги, мы получили повое доказательство замкнутой формулы для более общих чисел Ь„0(г).

Естественно, вследствие того, что замкнутые формулы для обобщенных чисел Гурвица и других чисел, перечисляющих разветвленные накрытия, получить пе удавалось, появилось большое количество попыток написания разнообразных производящих рядов, перечисляющих разветвленные накрытия. С этой точки зрения большой интерес представляет то, что получающиеся производящие функции являются решениями интегрируемых иерархий. Явно такого рода утверждение впервые было доказано А. Окуньковым в 2000 году в [41]: он показал, что производящая функция для двойных чисел Гурвица (так мы называем числа Гурвица с двумя непростыми точками ветвления) является решением иерархии решетки Тоды.

После работы Окунькова появилось много естественных примеров комбинаторных объектов, производящие функции которых являются решениями интегрируемых иерархий.

В частности, производящим функциям, перечисляющим разветвленные накрытия, и связанным с ними интегрируемым иерархиям посвящены многочисленные работы Гульдена и Джексона, например, [31]. Их подход состоит в том, чтобы используя рекуррентные соотношения на числа Гурвица показать, что производящая функция, их перечисляющая, удовлетворяет соотношениям Плюккера и, тем самым, является т-функцией.

В разделе 3.2 мы представляем новый метод получения производящей функции чисел 6р.„.т и ее разложения по родам.

Цель работы

Цель работы состоит в описании стратов пространства Гурвица ые-роморфных функций на комплексных кривых и вычислении чисел Гурвица. В диссертации вычислены конкретные пары Белого, соответствующие стратам размерности 0, описаны конкретные страты размерности 1 — мегакарты — в пространствах Гурвица функций малых родов и малых степеней, получены новые формулы для чисел Гурвица и развиты новые методы их получения.

Основные результаты диссертации

1. Вычислены все пары Белого шестиреберных детских рисунков рода 3 с единственной вершиной и нетривиальной группой автоморфизмов.

2. Получены комбинаторные описания детских рисунков, отвечающих мсгакартам функций небольших степеней на кривых малых родов.

3. Получено новое доказательство частного случая формулы для чисел Буске-Мелу-Шеффера.

Научная новизна

Результаты глав 2 и 3.1 являются новыми. В главе 3.2 получен новый эффективный метод получения производящих рядов, перечисляющих числа Гурвпца.

Основные методы исследования

В диссертации используются различные комбинаторные, алгебраические и алгебро-геометрические методы.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут представлять интерес для специалистов в области алгебраической геометрии, комбинаторики, теории графов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:

- Семинар «Характеристические классы и теория пересечений» под руководством д.ф.-м.н. профессора С. К. Ландо и д.ф.-м.н. профессора М. Э. Казаряпа (НИУ ВШЭ, 2011-2014 гг., неоднократно).

- Семинар «Графы на поверхностях и алгебраические кривые над конечными полями» под руководством д.ф.-м.н. профессора Г. Б. бата (мех-мат МГУ, 2008-2009 гг., неоднократно).

- Семинар «Маломерная математика» под руководством д.ф.-м.н. С. В. Дужпна (Санкт-Петербург, 2014 г.)

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

- Международная алгебраическая конференция посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша (Москва, 28 мая - 3 июня 2008 г.)

- Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, апрель 2009 г.)

- Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, апрель 2011 г.)

— Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2013» (Новосибирск, 18-31 августа 2013 г.)

— Международная конференция «Примитивные формы и связанные объекты» (Япония, Токио, 10-14 февраля 2014 г.)

— Школа-конференция «Модули кривых» (США, Стони-Брук, 7-18 июля 2014 г.)

— Международная конференция «Вложенные графы» (Санкт-Петербург, 27-31 октября 2014 г.)

— Школа-конференция «Неделя молодых ученых» (Франция, Марсель, 8-14 февраля 2015 г.)

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора (4 из которых входят в перечень ВАК), список которых приведен в конце введения.

Структура диссертации

Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на разделы и параграфы. Полный объем диссертации — 79 страниц, библиография включает 47 наименований.

Краткое содержание работы

Введение к диссертации состоит из обзора литературы и кратого обзора текущего положения исследований тем, затронутых в диссертации.

Содержание главы 1

В первой главе определяются пространство Гурвица, страты пространства Гурвица. Формулируется задача Гурвица, описываются известные компактнфикации пространства Гурвица.

Определение 1. Рассмотрим пространство мероморфных функций на кривых рода д, у которых кратности прообразов в оо равны к1}... ,кп и остальные критические значения простые. Множество таких функций образует пространство комплексной размерности к^ +... + кп + п + 2у — 2. Мы можем пронумеровать полюса (прообразы точки оо) п! способами, что определяет накрытие кратности п\ над пространством мероморфных функций. На тотальном пространстве этого накрытия действует аддитивная группа С, прибавлением к функции константы. Выбором

этой константы можно добиться того, что сумма конечных критических значений функции будет равняться нулю, поэтому пространство орбит отождествляется с пространством мероморфпых функций с нулевой суммой конечных критических значений. Это пространство мы будем обозначать через .....к,, и называть пространством Гурвица.

Определение 2. Через "Нд-к,,...,к„ мы будем обозначать пополнение пространства 'Нд,ки...,к„ состоящее из стабильных мероморфпых функций на нодальных кривых рода д с полюсами порядков /ч,..., Его граница Ид,к,,...,кп \ Hg.k,.....к„ состоит из стабильных функций на, быть может,

особых кривых, единственные допустимые особенности которых — это точки простого двойного самопересечения.

Естественная проекция Н^.....к, Мя;» продолжается до проекции

■Н9;*,-* Мд-,п- Послойная проективизацня ,...,*„ является ком-

пактным комплексным орбиобразием.

По формуле Рнмана-Гурвица общая меромарфная функция из пространства Нц-ки...,^ имеет к 1 + ... + к„ + п + 2д - 2 невырожденных критических значения — их количество равно размерности пространства. Функции с меньшим количеством критических значений в образе образуют дискрилшнант в пространство РН9<к1.....к„-

Определение 3. Замыкание в Р~Нд,к1,...,к„ множества функций, имеющих ветвления предписанного типа будем обозначать через где индекс состоит из набора разбиений кратностей прообразов над вырожденными критическими значениями. Эти подмногообразия называются стщтами дискриминанта.

Содержание главы 2

Мероморфных функции с одним критическим значением не бывает, а мероморфные функции с двумя критическими значениями исчерпываются функциями СР1 —> СР1.

Раздел 2.1 посвящен мероморфным функциям на кривых рода д с не более чем тремя критическими значениями. Такие функции называются функциями Белого и образуют страты размерности 0 в пространстве Гурвица.

Определение 4. Япра Белого — это пара (X,/), состоящая из алгебраической кривой X н функции Белого /.

Определение 5. Вложенный граф. вершины которого окрашены в два цвета так, что каждое рсбор соединяет вершины противоположных цветов, называется гиперкартой.

Выбором координаты на прямой-образе можно добиться того, чтобы критические значения функции Белого имели координаты 0,1 и оо. При таком выборе прообраз /_1([0,1]) отрезка [0,1] задает гиперкарту на кривой X — прообразы точки 0 служат белыми вершинами, прообразы точки 1 — черными, а ребра являются замыканиями компонент связности прообраза /~'((0,1)) открытого интервала (0,1). Следуя [32], гиперкарту как представление пары Белого будем называть детским рисунком.

Во второй главе вычислены пары Белого всех шестиреберных детских рисунков с нетривиальной группой автоморфизмов рода 3 с единственной вершиной.

Теорема 6. Все пары Белого детских рисунков рода 3 с 6 ребрами, группа автоморфизмов которых имеет порядок 12, это функция Белого / = х° на кривой у2 = х(хе — 1).

Теорема 7. Все. пары. Белого детских риеункоа рода 3 с 6 ребрами, группа автоморфизмов которых тилест порядок 3, :тю:

1. функция Белого

па плоской кривои

, \/3 + 2 2

г6 + ¿У (3 + -Д) - Л(1 + ч/З) = + ^ (х5 - Зх4 + Зх3 - х2),

записанной, « координатах (х : 1 : г). 2. функция Белого

на плоской кривой

г6 + Л2(3 - ч/з) - г:!г(1 - л/з) = - ^ (.т5 - Зх4 + Зх-' - х2),

записанной в координатах (х : 1 : г).

Пары Белого детских рисунков с симметрией порядка 2 указаны в следующей теореме:

Теорема 8. Все пары Белого детских рисунков рода 3 с 6 ребрсъчи, группа автоморфизмов которых имеет порядок 2, это: 1. Функция Бс.гого

1*3,9. (\ . 5 ., 3 Л

1 = ~8 + 4 - д + У (¡5 " 8 + 4 )

на кривой, являющейся прообразом гиперлыиптической кривой:

у2 = (2 + 1)(23 - 322-4) при развствлетшм накрытии стпепелш 2 и:'1 = 2-3.

2. Ещё три пары Белого — это выраженная той же формулой функция Белого па кривой, являющейся прообразом гипсрэллиптичсской кривой

У2 = (2 + 1)(23 - 322 - 4)

при разветвленном накрытии степени 2

ш2 = щ, ¿ = 2,3,4; «2,3.4 = (2-3)(2 + 1)(2-а).гЛз«3-За2-4 = 0.

3. Четыре пары Бс.гого с функцией

, 135 с 81 5 135 4 9 4 3 2 9 з

/ = -1--2° Н--2--2--2 у--2 у + —2 V

1 8 4 8 8 4 4 4 8 у

на кривой, являющейся прообразом гиперэ.шиптической кривой

у2 = 225г4 - 90 23 + С922 + 108г + СО, при разветвленном накрытии степени 2

и12 = {±у + Щ,2-\г + Н)(г_ „),

где 5а2 — бег 4-5 = 0.

4* Две пары Белого с функцией

на кривой, являющейся прообразом гипср:к1лип7пичсской кривой ?/ = ^(22+2+1), И

при рах вставленном накрытии степени 2

иг2 = (?У + г)(2-1); и на кривой, являющейся прообразом кривой

у2 = -ф2 + г + 1),

при разветвленном нащллтии степени 2

и? = (у + г)( 2-1).

Раздел 2.2 посвящен стратам размерности 1 в пространстве Гурвица.

Определение 9. Фундаментальная группа пространства конфигураций из к попарно различных точек на СР1 называется группой кос Гурвица и обозначается Н/..

Группа кос Гурвпца 'Н^ имеет стандартный набор образующих (Ть ..., образующая ст^ соответствует элементарной положительной косе, меняющей местами г-ую и (г + 1)-ую точки.

Определение 10. Последовательность перестановок [51,...,<?,-], дг £ 5„, такая, что группа (д^,...,дГ) транзитивно действует на множестве из п элементов и такая, что д\ • ... • дг = к! называется созвездием. Набор [р-1,..., /хг] разбиений числа п, состоящий из цикловых структур перестановок 3; называется паспортом созвездия.

Каждой гиперкарте естественно сопоставляется 3-созвездие:

— множество, на котором действует группа, это множество ребер гиперкарты;

— перестановка поворачивает ребра вокруг вершин первого цвета;

— перестановка д2 поворачивает ребра вокруг вершин второго цвета;

— перестановка Дз переводит каждое ребро в следующее в соответствии с ориентации ребро той же грани, причем ребро считается принадлежащим данной грани, если при обходе этой грани в положительном направлении мы проходим ребро от вершины первого цвета к вершине второго цвета.

Наоборот, как нетрудно видеть, каждому 3-созвездпю естественно сопоставляется гнперкарта, так что указанное соответствие взаимно-одно-значпо.

В свою очередь, мегакаргы являются гиперкартами специального вида.

Определение 11. Мегакарта — это множество Е, элементами которого являются неизоморфные классы 4-созвездий, а само оно является орбитой действия подгруппы V группы Н4. "Р = (Е, А, Ф), где Е = А = а\, Ф = <*2, аз — образующие группы кос

Гурвица "Н4.

Оказывается [47], на каждой связной компоненте компактнфикации пространства пар {(5,у)}, где й — 4-созвездие с фиксированным паспортом, а точка у € СР' \ {0,1, оо} существует функция Белого. Кроме того, соответствующий детский рисунок однозначно определяется перестановками Е, А и Ф.

Теорема 12. Дстский рисунок, соответствующий мегакартам при а(С) <2 и <1ей(/) < 4 имеет род 0.

Теорема 13. Всего существует 57 связных мсгакарт с у(О) = 2 и = 5 при 16 различных паспортах и 21 святая мегакарта с д(С) = 3 и <3ек(/) = 5 при 5 различных паспортах. Максимальное количество ребер среди соответствующих детских рисунков равно 40-

Содержание главы 3

Третья глава посвящена изучению различных стратов в пространствах Гурвица, вычислению чисел Гурвица и производящих рядов для чисел Гурвица. Обозначим через Ь„и(г) количество разложений перестановки сг0 £ А',, в произведение г перестановок (некоторые из которых могут быть тождественными), удовлетворяющих следующим условиям:

— группа, порожденная этим набором из г перестановок, действует транзнтивио на множестве из п элементов;

— соответствующее разветвленное накрытие имеет род 0.

Будем называть числа 6„0(г) числами Буске-Мелу-Шеффера [24]. Через 6„(г) обозначим число Буске-Мелу-Шеффера в случае, когда перестановка (То — это полный цикл длины п.

В разделе 3.1 приведено повое доказательство формулы для чисел

Доказательство теоремы 14 основано на формуле Гульдена и Джексона [30] о числе упорядоченных разложений циклической перестановки в произведение г перестановок фиксированных циклических типов и непосредственно использует геометрическую природу стратов пространства Гурвица. Нужно отметить, что это доказательство, с небольшими вычислительными усложнениями, может быть полностью реализовано с использованием формул для степеней ограничения отображения Ляшко-Лойенги на страты дискриминанта пространства Гурвица. Все это говорит о геометрической природе полученного доказательства и позволяет рассчитывать на его обобщения па случаи более глубоких вырождений функций и случаи положительных родов.

В разделе 3.2 исследуются производящие ряды для чисел Буске-Мелу-Шеффера. Развит метод эффективного получения производящего ряда для чисел Буске-Мелу-Шеффера и его разложения по родам. Доказано, что такие ряды являются решениями иерархии Кадомцева-Петвиашвили.

Я хочу поблагодарить моего учителя Сергея Александровича Дори-ченко, без участия которого, пожалуй, я бы не стал заниматься математикой. Георгия Борисовича Шабата, который был моим первым научным руководителем — на механико-математическом факульитете МГУ. Соруководителя семинара «Характеристические классы и теория пересечений» на математическом факультете ВШЭ Максима Эдуардовича Казаряна. И, конечно, моего научного руководителя Сергея Константиновича Ландо, чье внимание и помощь в течение последних четырех лет трудно переоценить. Эту работу я хотел бы посвятить памяти моего отца.

Список публикаций по теме диссертации

1. Б. С. Бычков, Е. М. Епифанов, В. А. Дрсмов. Вычисления пар Белого шестиреберных рисунков рода 3 с группами автоморфизмов порядков 12 и Фундаментальная п прикладная математика, Т. 13,

B.G, С.137-148 (2007); 0,0 п. л. (вклад автора - 0,2 п. л.)

2. Б. С. Бычков, Е. М. Епифанов, В. А. Дремов. Вычисления пар Белого шестиреберных рисунков рода 3 с группой автоморфизмов порядка 2, Фундаментальная и прикладная математика, Т. 18, B.G,

C.77-89 (2013); 0,6 п. л. (вклад автора - 0,3 п. л.)

3. Б.С.Бычков Вычисление мегакарт, Сибирские Электронные Математические Известия, Т.10, С. 170-179 (2013); 0,4 п. л.

4. Б. С. Бычков О разложении циклической перестпановки в произведение данного числа перестановок, Функцноальный анализ и его приложения, Т.49, В.2, С. 1-6 (2015); 0,3 п. л.

Список литературы

[1] Н. М. Адрианов Классификация примитивных групп вращений плоских ребер, Фундаментальная и прикладная математика,Т.З, №4, С.1069-1083 (1997)

[2] Н. М. Адрианов Правгыъные карты с группой автоморфизмов PSL2(i7), УМН, Т.52, V- 4, С.19^-196 (1997)

|3] Н. М. Адрианов, Ю. Ю. Кочетков, А. Д. Суворов, Г. Б. Шабат Группы Матье и плоские деревья, Фундаментальная и прикладная математика, Т.1, X' 2, С.377-384 (1995)

[4] Н.Я. Амбург Симметрии графов на поверхушетях и а.агсбраическис кривые Днее. на еонекание степени к.ф.-м.н., Москва, МГУ (2005)

[5] Г. В. Белый О расширениях Га.гуа максимального кругового поля. Изв. АН СССР, Сер. Матсм., Т.43, №2, С.267-276 (1979)

[6] Б.С.Бычков Вычисление, мегакарт, Спб. Эл. Матсм. Изв., Т.10, С. 170-179 (2013)

[7] Б. С. Бычков О разложении циг^гической перестановки в произведение данного числа перестановок, Функц. анализ и его прил., Т.49,

B.2, С. 1-6 (2015)

[8] Б. С. Бычков, Е. М. Епифанов, В. А. Дремов. Вычисления пар Белого ихестиреберных рисунков рода 3 с группами автоморфизмов порядков 12 и 3, Фундаментальная и прикладная математика, Т. 13, В.0,

C.137-148 (2007)

[9] Б. С. Бычков, Е. М. Епифанов, В. А. Дремов. Вычисления пар Белого ихестиреберных рисунков рода 3 с группой автоморфизмов порядка 2, Фундаментальная и прикладная математика, Т.18, В.6, С.77-89 (2013)

[10] Э. Б. Винберг Алгебра, М., Факториал (1999)

[11] Е. М. Епифанов Шесгпиреберные рисунки рода 3 с единственной вершиной, Дипломная работа (2006)

[12] А. К. Звонкин, С. К. Ландо Графы на поверхностях и их приложения, МЦНМО (2010)

[13] Д. Звонкий, С. К. Ландо О кратностях отображения Ляшко-Лойенги на стратах дискриминанта, Функц. анализ и его прил., Т.ЗЗ, В.З, С. 21-34 (1999)

[14] С. К. Ландо Разветвленные накрытия двумерной сферы и теория пересечений в пространствах мероморнрных функций на алгебраических кривых, УМН, Т.57, №3, С.463-533 (2002)

|15| И. Макдональд Силшстричеекие функции и многочлены Холла, М., Мир (1985)

[16] А. Д. Медных Нсзквива.1снтныс накрытия римановых поверхностей с заданным типом ветвления, Сиб. матем. жури., Т.25, С.120-142 (1984)

[17] А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии, М.: Изд-во «Факториал Пресс» (2000)

[18] М. А. Наймарк Теория представлений групп, М., Наука (197С)

[19] В. Фултон Теория пересечений, М., Мир (1994)

[20] Дж.Харрнс,Я.Моррисон Модули кривых. Вводный курс., М., Мир, Научный мир (2004)

[21] Г. Б.Шабат Комбинаторно-топологические методы в теории алгебраических кривых, Дисс. па соискание степени д.ф-м.н. Москва, МГУ (1998)

[22] N.Amburg Regular unicellular dessins d'e.nfants and Weil curves, Formal power series and algebraic combinatorics. Berlin: Springor-

Verlag, P.393-401(2000)

[23] J. Bctrema, D. Pere, A. Zvonkiii. Plane t7T.es and their Shabat polynomials. Catalog, Rapport intern de LaBRI, no. 92-75, Bordeaux (1992)

[24] M. Bousquet-Melou, G. Scliaeffer Enumeration of planar constellations, Advances in Applied Math., V.24, 1.4, P.337-3C8 (2000)

[25] B. Byclikov On the number of coveiings of the sphere ramified over given ponds, math.CO/1312.1141 (2013)

[26] P. Deligne, D. Mmnford The. meducibility of the. space of cunes of given genus, Inst. Hautes Études Sei. Publ. Math., V.36, P. 75-109 ( 1009)

[27] S. Diaz, R. Doiiagi, D. Harbater Every curve is a Huruiitz space. Duke Math. J., V. 59, №3. P.737-746 (1989)

[28] T. Ekedahl, S. K. Lando, M. Shapiro, A. Vainshtein Hurwitz numbers and intersections on moduli spaces of curves, Invent. Math., V.146, P.297-327 (2001)

[29] M. Fried Fields of definition of function fields and Hurwitz families — groups as Galois groups, Comm. Algebra, V. 5, .\'l. P. 17-82 (1977)

[30] I. P. Goulden, D. M. Jackson The. combinatorial relationship between trees, cacti and certain connection coefficients for the Symmetrie group, European J. of Combinatorics, V.13, 1.5, P.357-365 (1992)

[31] I. P. Goulden, D. M. Jackson The KP-fiierarchy, biuuehed eoveiings and triangulations, Andvances in Math.. V.219, 1.3, P.932-951 (2008)

¡32] A. Grotliendieck Esquisse d'un programme (1984)

[33] J. Harris, D. Mamford On the Kodaira dimension of the moduli spaces of curves, with an appendix by William Fulton, Invent. Math., V.67, P.23-88 (1982)

[34] A. Hurwitz Uber Riemann'sehe Flächen mit gegebenen Verzuieigungspunkten, Math. Ann., V. 39. P. 1-61 (1891)

[35] P. Johnson Double Hurwitz numbers via the infinite wedge, arXiv:1008.326G

[36] S. Kerov, G. Olshanski, A. Vershik Harmonie analysis on the. infinite, symmetric group, Invent. Math., V.158, no. 3, P.551-642 (2004)

|37] Y, Y Kochetkov Trees of diameter 4, Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, P.447-453 (2000)

|38] S. Lando, D. Zvonkine Counting ramified converings and intersection theonj on spaces of rational functions. I. Cohomology of Huruiitz spaces, Mose. Math. J., 7:1, 85-107 (2007)

[39] E. Looijenga The complement of the. bifurcation variety of a Simple Singularity, Invent. Math., V.23, P.105-116 (1974)

[40] A. D. Mednykh Branched coverings of Riemann surfaces whose branch orders coincide with the multiplicity, Comm. Algebra, V.18, no. 5, P. 1517-1533 (1990)

[41] A. Okounkov Toda equation for Huruiitz numbers, Math. Res. Lett. 7, no. 4, 447- 453 (2000)

[42] G. B. Shabat On a class of families of Belyi functions, Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, P.575-580 (2000)

[43] G. B. Shabat, V. A. Voevodsky Drawing curves over number fields, The Grotheudieck Festschrift. Birkhauser, III, P.199-227 (1990)

[44] G. B. Shabat, A. Zvonkino Plane, trees and algebraic numbers, Contemporary Mathematics. AMS, V.178, P.233-275 (1994)

|45| S. Shadrin, L. Spitz, D. Zvonkine On double Huruiitz numbers with completed cycles, Journ. of the London Math. Soc., V.86, 1.2, P.407-432 (2012)

|46| H. Weyl Uber das Hurwitzsche Problem der Bestimmung der Anzahl Riemannschcr Flächen von gegebener Verzweigungsart, Comment. Math. Helv., V.3, P.103-111 (1931)

[47] A. Zvonkin Megamaps: Construction and Examples, Discrete Math. Theor. Comput. Sei. Conference edition: Discrete Models: Combinatorics, Computation and Geometry, P. 329-339 (2001)

Подписано в печать: 02.09.2015

Объем: 0,7 усл.пл. Тираж: 100 экз. Заказ № 1034 Отпечатано в типографии «Реглет» 107031, г. Москва, ул. Рождественка, д. 5/7, стр. 1 (495) 623 93 06; www.reglet.ru