Некоторые свойства симплектических и гиперкелеровых структур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ . ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имели М.В Ломав осог.а.

Механихо - математический факультет

На эравах рукописи Шмелёв - Александр Станиславович

УДК 517.955

Некоторые свойства сд?тлсктических и гипергелсровых структур.

01.01.02 - ДЕффгргшщальнке уравнения, 01.01.01 - математический зажггз.

Автореферат

днссергаянп на сакс?;плие учеши степенп кандидата фязяао-матеиаткзгскЕХ нгук.

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механике/ математического факультета Московского государст веппого [иверситета вмени М.ВЛомоносова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: академик РАН В.И.Арнольд.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук А.Г.Хованский;

кашцщат физико-математических паук А.МЛукапкий.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ : Санкт-Петербургское отделение

математического института РАН.

Защита диссертация состоится "/!/" С-С^^^Ш 1994г. в 16 час. 05 кн. па заседании специализированного созета Д.053.05.04 при Госковском государственном университете им. М.ВЛомоносова по адресу: 19899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ, мехапико-мзтеттичеекйй акультеТ, аудитория 16-24.

С диссертацией иожно ознакомиться в библиотеке ыехаиико-атематического факультета МГУ (14 эта

Автореферат разослан 1994г.

УчспмЙ секретарь

специализированного совета Д.053.05.04

при МГУ, профессор Т.ПЛукяжпко

Общая характеристика работы. Актуальность теми.

В настоящей работе изучаются пространства модулей для следуют объектов математической физики:

• 1. пространства ростков родановых метрик в точке;,

2. пространства ростков келеровых метрик в точке;,

3. пространства ростков гнперкелсровых метрик в точке.

Как правило, конкретное задание той шш иной геометричес* структуры связано с необходимостью выбора локальных координат многообразии. Тем самым/ геометрическая структура оказывав представленной миогами описаниями, возникающими при выбе локальных координат, Это приводит к вопросу, определяют ли ; конкретных описания геометрической структуры одного и того же и одну н туже геометрическую структуру или нет? Часто эта пробле представляет конечную цель исследования, называясь приведением каноническому виду или локальной классификацией нормальных форм.

Ввиду необозримости, совокупности координатных описаний зздаш геометрической структуры, а также весьма сложного характера преобразований при замене локальных координат, для. решения упомяну] выше проблемы распознавания .выявляются величины, связанные геометрической структурой независящим от выбора локальных коордш образом (так называемые дифференциальные инварианты). Нач! изучению этих проблем было положено Риманом, который онредея тензор кривизны в качестве первого инварианта ростка риканояой метр» в точке. Другими примерами такого рода инвариантов являются тец: Рпччи, скалярная крнвнэна, связность Левк-Чиаита и т.д. Однако, пробл; распознавания для таких дифферешшальных инвариантов не легче, чем ; самих геометрических. структур. Единственными полевыми величина компоненты которых пе метаются прк заменах локальных коордаа являются функции (скаяяргаые йбля). Таким образом, нрийбденную вы проблему распознаваний следует трактовать как проблему нострое? полной системы скалярных диффереяциашшх шшрнантов (алтей

ян(|*[)срспгшял1|пмх гшпариаитоп). Теория дифференциальных инвариантов, несмотря на ее фундаментальную важность, практически иг развивалзсь после работ классиков яонпа 19 пека, таких, как СЛя, А.Трессе и яр. Из сЬвремеиных работ, в которых освещена теория дифференциальных инвариантов, следует отметать обзор Д.В.Алексеезсхсго. А.М.Вшюграяо»а, В.ВЛычагппа [1], и работа Сингсра, СтерпСерга [2], и Мальгрзлха [3].

Существенное продвнжеппе в этой оГдастп стало возможным • после введения Эресшпом понятия струп [4]. В современных терминах речь идет о действиях групп ростков диффеоморфизмов на пространствах струй различных геокетрнческнх структур. Пространство орбят этого действия называется пространством модулей соответствующих гес1?етр1иесхлх структур. Для каждого целого числа к к. О, /с -струп данной геометрической структуры образуют конечномерное пространство. Действие группы ростков диффеоморфизмов определяет дейстйпе ссотаетегаушшей конечномерной группы Ли па конечномерном пространстве к -струй. Размерность а >с пространства ссбет этого действия

называется чяслой модулей к -струй рассматоппземой геометртпесхой структуры. Для списания зависимости числа модупгй ах от порядка струи к вводится формальный степенной рад .' -А ■

р(0 = а0 + {ак

Д=1

называемый рядом Пуапкаре пространства модулей ростков дзшюЯ геометрической структуры.

[1J. Алексеевский Д.В., Виноградов A.M., Лычапт В.В. Основные идеи я понятия дифферешшалыюй геометрии. Итсш науки и техники. ВИНИТИ. . Современные проблемы математики. Фундаментальные паправгсеппя. Том 28, 1988.

[2]. Singer I.M., Sternberg S. On (lie infinite groups of Lie and Cartan.

I. Aim. Inst. Fourier (Grenoble), 1965, 15, 1-114.-

[3]. Malgrangc B; Equations de Lie. I, II. J. Diff. Geom.,1972, 6, 503522; 7, 117-14i.

[4]. Ehresmann C. Introduction a la theorie des stnictures infinitesimales ct des pseudo-groupes de Lie. Colloq. Qeometr. Differ., Strastboars, 1953, 97-100.

Для вычисления числа модулей Qfc в настоящей работе рассматривается группа ростков диффеоморфизмов, сохраняющих •геометрическую структуру. Такие росткн удовлетворяют дифференциальному уравнению в частных производил*, называемому уравнением JIu [1], [3], Так, например, в случае римаповой структуры это уравнение имеет вид

шс f(ar) =5 (f1 (*),.,., f(*)) ссть искомый ростол.

Следует отметить, что первое систематическое исследование зависимости числа модулей йь от порядка струя пршел А.ЭГ:кштейн в работах -15] я [6] в связи с вопросом о жесткости и совместноата уравнений 1равшадкош1ого поля, то есть, в связи с вопросом с той, от какого числа произвольных функций, какого чкела перемешал, зависит общее решекче уравнений общей теорац огаосптелыгосш.

В работе [7] В.И.Арнольяом была поставлена следующая проблема. Верно ли, что ряда Пуанкаре пространств модулей "естественных" дафферепвдалшо-геометрическнх объектов тя етруктур представляются рациональными функциями? В настоящей работе доказывается, чю ответ па этот вопрос полозштглел во веек трех перечисленных выше сл^гаязс. Этот факт позволяет высказать пшатезу о том, что классификация ростков таких структур содержит конечное число функциональных модулей (определение функциональных модулей приведено в главе 4). Зтн функциональные модули порождают алгебру дифференциальных инвариантов геометрических структур рассматриваемого тш«. Таким . образом, алгебра дофферешшалшых инвариантов р-сттск? иямапозых, келеровых. и гинеркеяеровых структур конечно порождена.

[5]. Эйнштейн А. Обобщение теории тяготешк, 1953. Собрание и»учпнх труво®, том 762-796, M.Bayss, Шбб,

(6]. Эйнштейн А» Рё/тпгшйгеь'ай Ш)рт ¡¡есмШй'фичпога Поля. 1955. Собрание научных труков, том 2. 849-873. М.Наука, 1966.

[7], Amü'il V.I. M«!iicjnsiicai probbns i» ciasslc»! physlcs- AppL Maih. Sc.,,í00..19D2.

Ситуация, описанная выше, аналогична теореме Гильберта "о конечности" ш теории инвариантов. Отличие этой ситуации от классической состоит в том, что она относится к дифференциальной ; алгебре а не к коммутативной. Гипотеза "о конечности" в ' дифференциальной алгебре была сформулировала А.Трессе [8]. Он утверждал, что дифференциальные инварианты "естественных" ; дифференциально - геометрических структур порождаются конечным : числом базисных инвариантов и их производными по направлению ' конечного числа базисных полей. Или, другими словами, что "общее решение" соответствующего уравнения записывается при помощи конечного набора произвольных функций надлежащих переменных.

Результаты настоящей работа, в частности, подтверждают сформулированное выше утверждение Трессе. В связи с тем, что физические величины описываются геометрическими структурами, 1 представляет интерес изучение алгебр дифференциальных инвариантов | друшх естественных днфферешшальшмеометрическнх структур.

Наряду с проблемой классификации ростков тон или иной 1 геометрической структуры относительно труппы . ростков : диффеоморфизмов, приводящей к бесконечному числу классов, представляет также интерес классификация орбит действия некоторых : групп Ли на конечномерных многообразиях. В главе 5 настоящей работы < изучается подобная задача в случае действия симплектической группъЕ ; 8р(2», И) на многообразии Р2„ полных флагов в симплектической пространстве ,££>)• Там исследуются примыкания орбит этогс

действия, а также локальные особенности стратификации по орбитам ш. многообразии р2„» Аиалопгеные вопросы были рассмотрена М.Э.Казаряном в ' [9] в связи с изучением примыканий и лохальпых

[8]. Tresse A. Sur les invariants différentiels des groupes continus des transfonmlions. Acta Mathematica, 18, 1894, 1-88.

$)» kàïiijwH M.& УиШШия KpmUixi »C-fî^fiilîîETII

стратификации Шуберта фассманошх и флаговых мно1<м>бр;п«й й бифуркации точек Вейеригграсса алгебраических кривых. Успехи мат. наук, 1991, 46, 5. 79-120.

особенностей стратификации клетками Шуберта на многообразии полных флагов р .В главе 5 доказывается, что диаграмму примыканий

Л , (

Бр(2и, И) • орбит на Р2я можно описать в терминах следующих диаграмм (эти диаграммы были введенных в работе [10], поэтому в дальнейшем будем их называть диаграммами Васильева). Отметим 2п точек на прямой, разобьём их произвольным образом на пары и соединим каждую пару дугой, расположенной над прямой. Полученную диафамму назовём диаграммой Васильева состоящей из П дуг. На множестве Уп дешрамм Васильева из П дуг можно определить естественный порядок Брюа, такой, что соответствующий граф Кэли будет совпадать с диаграммой примыканий орбит на Р2я. Например, диаграмма примыканий 8р(б,11) - орбит на многообразии Р6 имеет следующий вид

стратификации по орбитам устроены довольно йросто. Они днффсоморфны некоторому объединению координатных плоскостей линейного пространства. В работе [И] псе [хяулматм главы 5 обобшштсн на нелинейный случай. Там рассматривается действие фунны ростков снмплектоморфшмов на бесконечномерном пространстве полных флагов росткои подмногообразий снмнлектнчсского пространства.

[10]. Vassiliev V. Cohomologtes of knot врасс. 1990. Adv. Sov. Math. Vol. 1: Theory of Singularities and Its Applications, cd. V.I-Amold. Providence: Am. Math. Soc.

[11]. Шмелев A.C. Орбиты сишшектической ipyiniu на многообразии полных флагов симнлектического пространства. Изв. РАН. сер. матем.. том 58, I. 1994, 144-166.

б

В заключении следует отметать, что а контексте гдгллл 5 диаграммы Васильева задают естественную нумерацию на каозсесгге 8р(2л, 11) -орб.тг на Р2„ . а в работе [10] эти лл.чпп-'^гы появляются в ся.<ш с теорией

инвариантов узлов. ГГовияимому предспшяяет интерес изучение связей этих двух аспектов диаграмм Васильева.

ШиЬ-ПЯЙОНД.

Изучение пространств модулей следующих соъсхтсн математической физики: роегксз ркмяновых, кеяерозык. я гинсрхеяероамх структур. Развитие техники для изучения дггфферешшалг.ных шгвариангол геометрических структур. Подтверждение птотезм Трессе о том, что алгебры дифференциальных инвариантов "естественных" дкффсренвдально-геокетрических структур конечно порождены.

Основные результата -диссертации следующие:

1 .Вычислены ряды Пуанкаре проетрзиств модулей следующих объеггов штеиатаческсй фязнхв:

1) ростков риманозых метрик в точке;

2) ростков кенеровых метрик в точке;

3) ростков пшеркелерозых метрик в точке.

Дохашю, что огга представляет рациональные функшг. На осисвгаш этого высказаны гипотезы о кокее-шостп числа функциональных модулей и о виде нормальной формы к которой эти ростка жиуг ббпъ приведены.

2. Получена диаграмма примыканий к изучены лрхалмше особенности стратификации по орбитам сша/лгктяческой группы многообразии паттх ([-шагов спмпнектическсго пространства.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты ¿гогуг быть ксполмоиани при классификации геометрических структур и их .днфсЦ&рспциальшлх инварнаигап позшкимишх я рагчнчкых -шк'гпх математической физики. йзучёиие этих вопросов имеет, не толЬкб теоретическое, по к фнкл'адпев значение, пссхсльку такие геометрические структуры н их дифференциальные инварианта онкешаюх физические шшчнны в ряде физических моделей.

Мсгаш.кссдслоя?ця:;.

В диссертации используются метода, основанные на изучешш пространств решений дифференциальных уравнений Ли рассматриваемых геометрических структур, методы комплексного анализа, а также методы изучения действии групп Ли на гладких многообразиях.

Основные результаты диссертгшш докладывались на еешшзре по теории особенностей под руководством В.И.Арпольяа в МГУ, а также не (и1ета1юпз1 Беотейса! со!1о<]шит в Москве в мае 1993 года.

Основные результата диссертация опубликованы 8 работах автора, ¿¡ршеденпых в конце автореферата.

Работа состоит ш заедепня и пяти шав. Общий объем диссертации 96 страшщ. Список цитированной литературы содержит 26 ишмешшшгй.

Содержа!!й'-з диссертации.

Во вьеяшга показана а81уалыюсть темы Диссертаций, дано кратхог ее евдержанйг и обзор ранее получешшх результатов.

В первой главе вычисляется {»яд Пуанкаре проетт-зшгп» модулей роетхог римзяовых метрик в точке.

Пусть £ есть пространство росткоз римакоаых метрик, зггглшых в координатах ааборашг |з,у} роста® фушгшй. Инет место

авдукшфе естественные проекции

¿г -> . , ,-> ■ $ 2 -^ | -^ & 0 5

ie 3 j, состоит из к -струй. На пространствах 3 п $ ^ действует группа О

сстксп диффеоморфизмов, сохраняющих начало координат. Рассмотрим г рупис G фильтрацию

G = Gi > G2 > G3 > G4 >..., не Gi. есть пормальпая подгруппа, состоящая ш рос скоп нффеоморфпэмоз, заданных н кссрдзшатпх х1 наборами функций

Ф<з)=* + (фЧх).....<р"<х)),

шгс, что ф'(х) = ],/ = ],.Вычисление ряда Пуапкз$к:

сновано на следующем утверждении.

емма 1.3. Пусть jkg е 3 к есть к -струя общего положения я Q g с G

з стабилизатор. Тогда

Gg=Gfc+2 црнк^2;

Gg = O(fj) при к <2;

(здесь X означаетnanynpmos произведении трупа). лслствис 1.5. TJ}VTb М j^(g) с cers орбит общего положения

ултг G. Тогдь

га«!4 " ~ 1 /

J. i \ »(я + 1)2 , . ( \ n{n I)

dítnM i(g)=-dimM 0(2)"-2— •

Определим размерность пространства $ ¿ G-орбит tía j ¿ как

¡3¡tO-47i

dim (2 t< = dim J % - dímM¿(g), e M*(g)- есть орбита общего положения па 3 j., и составим ряд лшкаре пространства модулей ростков римаиовых метрик

09

г ít0 = dim <2 0, а,. - dim (2 t - dim (Si 4_,, к > 1.

^Теорема 1.8. Ряд Пуанкаре имеетшя

/>«(')« 2, , и , -п | г. кЛ 2 ■ V л-1 ) V«-!

и представляет рациональную функцию

/ ч «Г 1 Л и(и-1)

/Ж О д) есть слгдуюптй мфферешщялшый оператор порядка П — 1

г(» +1)

п- 1

_

»1< *

- п

п - 1 \

где

и -1

Ео второй пиаве вычисляется ряд Пуанкаре пространства модулей ростков келеровых структур в точке. Ход вычисления ряда Пуанкаре аналогичен рассмотренному в главе 1. Сформулируем окончательный результат. .

Теорема 2.12. Ряд Пуанкаре имеет шяг

рх (0= Е ¿=2

2и + к + 1 2л-1

-2

+ Я- + П Г л + ЛгЛ

г*.

я предсташшет рациональную функцию

РхОЬ Мг[т)+п2>

где В у ест» следующий дифференциальный оператор порядки 2/1 — 1

2я-1 } Л п-\ )

П 4- Г

л-1 ;

В третьей главе вычисляетс.3 ряд Пуанкаре пространства модуле! ростков пгаеркелеровых структур в точке.

2

/

Определение 3.1. Пгаеркелеровой структурой на гладком многообразии

М4" называется тройка (g, I, J ), состоящая ю рнмаповой метрики g п

пары антнкоммутируюших комплексных структур (l,j), IJ = - JI,

относительно которых метрика g является келеровой.

Существует еще третья комплексная структура К = IJ, антнкоммутиругощая с I и J и такая, что метрика g является

отпосителъпо её келеровой. Кроме того, определены ь три дифферепциальпые 2-формы o)1(^,n)=g(l ®2(4»л)=g(J ^.л)*

Ход вычисления ряда Пуанкаре пространства модулей ростков пгаеркелеровых структур аналогичен рассмотренному в главе 1. Теорема 3.16. Ряд Пуанкаре р H(t) имеет bus

rs vT ^ + 2и - »i V , (* + 2я + П

п представляет рштопальиую функцию

где Од есть следующий ди^гфсрсишшышИ оператор корядкя Ъ\

гч ^ í2" + >dV-»V % Í2» ■htfr+ Г m«04 2fi ~ nt J l 2« ;

l n--i ;

EaaniA

В четпертой главе пзугаются алгебры днфферешшалыгых инвариантов римапошх, келершых и пщеркслерошх структур.

Пусть <7 есть пространство ростков геометрических структур одного кз рассматриваемых тнпоа, заданных 5 некоторых лопальпых координатах наборами росткоз функций. Рассмотрим конечномерные пространства J д.

состояние из к -струй где £ е 3. Поскольку каждая к -струз

определяет (к - 1)-струю, то имеются следующие естественные проекции

>7 2 *'

Группа С ростков диффеоморфизмов, сохраняющих начало координа действует па ? и £ коммутируя с проекциями

Определение 4.2. Функция на 5" к называется дифферсщиальиьп

ниваряаюш порядка ¿к если она инвариантна относительно действи группы в. ,

Совокупность дифференциальных инвариантов порядка к образуе подалгебру А ), в алгебре всех функций на 3 ¡¡, причем определен естественное вложение ^ ^ —» А Следовательно, определена алгебр А = и А к' Н83ьшаешя алгеброй зоифферешщЕЛЬНЫХ инварианте к* 0

геометрических структур рассматриваемого тнпа.

Нормальные формы, к которым можно привести рассматриваем!, геометрические структуры, содержат произвольные функции нехотсро числа переменных, вообще говоря не совпадающего с размерносп пространства, на котором рассматриваются эта геометрические структур Вид этих функций зависит от способа приведения к нормальной фор). Такие функции называются функциональными марлями. Теорема 4.3. Алгебра дифференциальных инвариантов рсстк геометрической структуры, имеющей нормальную форму с коиечпз ■числом фунидаоналышх модулей конечно порождена. Определенна 4.4. Будем говорить, что функциональный модуль км< порядок 5. если он даёт вклад в метрические козффщиен соответствующей нормальной формы ростка геометрической струхту

порядка

фг).

Лемма 4.Т. Если пешнрнчссхш структура шест нормальную форщ штцуи фуяхццщщлщщ надулся. ТО ряд Г]'ушх,

9 = 0 г=0(1-ГГ

Ж R есть максимальный порядок функциональных модулей, входящих я )?у нормальную форму, йщ • число функциональных модулей порядка /'. висящих от Ц переменных, а Н есть размерность пространства на котором рассматриваются ростки геометрической структуры.

Следует отметить, что число функциональных модулей и их вид завися « уг выбора алгоритма приведения геометрической структуры к нормальной }юрме. Естественным инвариантным относительно замен коорднна» >бобщснием набора функциональных модулей является ряд Пуанкаре 1рострапства модулей ростков геометрической структуры. Рациональное гь юследнего ряда позволяет высказать следующую гипотезу. Папотеза 1. Для ростков рнмановых, кслеровых и пшеркелеровых структур :уществует нормальная форма, содержащая конечное число Ьупэдюцзлышх модулей,

Георсма 4.9. Во всех трех случаях рассматриваемых геометрических структур ряды Пуанкаре имеют следующий вид

где a t 6 Z, с ¡ 5 0. а q~ n в случае римтозых структур, q - 2n » случае келеровых структур и q — 2tí + 1 в случае гяперхслеровых структур.

На основании теоремы 4.9 н леммы 4.7 можно высказать следующую гипотезу.

Гипотеза 2. Для росткоз рнмановых, келеровых и гнперкелеровых структур существует нормальная форма, содержащая Cts функциональных модулей, зависящих от S переменных н имеющих порядок S + 1, rae S — \,...,G¡, üsnq есть числа so теоремы 4.9.

Последняя гипотеза подтверждается в случае рнмановых метрик па плоскости.

fiiüisa S»

В пасташюй «майе изучался мфгй^б ¿¡[шШкайнях орбит" яейсШя группы лшюншх симнлсктнчсских ^«образований Sp(2«,R) на

S3

М1101Х)0бразик F2„ полных флагов в снмплектическом пространств

(Н2я,ш).

Орбита Vj примыкает к орбите V2, если орбита Vj содержится замыкают орбиты V^. Это отношение задает частичный порядок н множестве орбит V. Оказывается, что в каждой орбите действия груши на F2,, содержится по меньшей мере одни координаты флаг некоторого базиса Дарбу (т.е. такой, все подпространства которог координатные). Следовательно, множество V орбит конечно. Вычислевк показывают, что число орбит равно (2п — l)H- По каждой орбите и множества V можно построить следующий объект. Для флага Ф кз F2, офаннчнм первый аргумент снкплектичсской формы СО н подпространство V* этого флага, а второй - иа V^. Пусть Гу есть рая

этого ограничения. Это число инвариантно относительзш действия групш Объединяя ранги К/ в симметрическу матрицу Г, получи!

матрацу рангов орбиты флага.

На множестве R матриц рангов можно ввести отношение частичной порядка: ^ ^ / j. если iwe элементы матрицы ?2 — ¡\ неотрицательны Имеет место следующий критерий примыкания.

Предложение 5.10. Орбита Vj тогда а только тогда примыкает х орбит 1;2. когда /"( Vj) < г{\>4 ), причем, эти орбит совпадают тогда if тальк тогда, кош r( Vj) = /•() -

Этот факт позволяет полностью описать дашрамму примыканий орбит однако, более естественное описание можно дать в терминах ддаграю Васильева. Отметим иа координатной прямой точки 1,2,...,2П, разобьер их произвольным образом на пары к соединим каждую пару точек дугой Полученная система из П дуг называется диафаммой Васильева Множество диафамм Васильева обозначим через VM. Оно состоит я (2п -1)1! элементов. Диафаммы Васильева задают естсствеинук нумерацию на шюжестве орбит V.

Для каждой пары дуг диаграммы Васильева определим индекс пересечения следующим образом: 2 - если одна душ накрывает другую. 1 -если дуги пересекаются и 0 - если дуги не пересекаются и пе накрывают друг друга. Сумму индексов пересеченна по всем парам дуг назовем числом пересечения диаграммы Васильева. V н обозначим его йу. На множестве У„ диаграмм: Васильева определим порядок Брюа: диаграмма и мепыпе диаграммы V , если* с1и < я диаграмму. М можпо получить ш диаграммы V с: помощью с1и элемептгрпых транспозиций

(симметрическая группа 82^ действует па множестве диаграмм Васильева, переставляя концы дуг). Имеет место следующий критерий примыкания орбит..

Теорема 5.16. Орбита тогда я только тогда аркмшаетх орбите У2. когда для соответствующих диаграмм Васильева и вшолведо < У2.

Описапие диаграммы примыканий в терминах диаграмм Васильева позволяет выявить некоторые симметрии диаграммы примыканий. Определение 5.17. Дйе диаграммы Васильева называются сопряяссииыми, если одна получается пз другой перенумерацией течек » обратном порядке. Предложение 5.13. Отряженным диаграммам Вштьевэ. соотгетстзут орбиты взаимно хосоортого-шшых флггов.

Определение 5.19. Неприводимой поддиаграммой диаграммы Васильева называется объединение к дуг с концами в последозательных 2к точках н пепересехЕющяхся Ш1 с одной из оставншхся дуг и не содержащих других поддиаграмм с таким свойством.

Определение 5.20. Элементарной пештгршмой называется неприводимая поддиафамма, состоящая из единственной душ, соединяющей соседние точки.

Определение 5,21. Две диаграммы Васильева (состоящие, иозмояшо, из разного числа дуг) пазшаютея эквивалентными, если неприводимые поддиаграммы одной диаграмма взаимно однозначно соответствуют неарквеншкш поддиаграмма« яругой, ■ К{*ще, -бык» может., некоторого числа элементарных поддиаграмм. причем, соотаетстзугЗШМ айТртПбдКиЫС педднаграмж либо совпадают, лабо сопряжены.

Теорема 5.22. В окрестности двух точек из » принадлежащих орбитам группы 5р(2 и,«) с эквивалентными, диаграммами Васильева, разбиения на орбиты стабальводиффеоморфны, в том смысле, что одно из них шиффешорфно другому, умноженному на некоторое линейное пространство. Это разбиение стабильно диффеоморфно прямому произведению разбиений на орбиты, соогветствеющих неприводимым поддиаграммам данных диаграмм.

Теорема 5.26. Локальные особенности стратификации по орбитам в окрестности точки орбиты V диффеоморфны некоторому объединению координатных плоскостей в пространстве параметров шниверстшой деформация.

В заключении работы приводится начало иерархии классов эквивалентности неприводимых диаграмм Васильева, а также локальные особенности стратификации по орбитам вблизи орбит песхалысия первых коразмерностей.

Автор выражает благодарность научному' руководителю В.И.Ариодьду п постановку задачи я постоянное ышманиЬ к работе.

Остмпдмс

1. Шмелев А.сГ. Некоторые свойства сшашсктичсскмх л пшсрксльршж структур. ДАН, математика, 1994, том 336, №3.

2. Шмелев A.C. Орбиты симллсктнчсской группы на многообразии псянод флагов СИМ15ЛСКШЧССК0ГО пространства. Изв. РАН, сер. мзтш., том 58,1Ы, 1994, стр. 144 - 166.