Строение группы Брауэра коммутативных колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГбсАНК'А&ГЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ УНИВЕРСКГЕГ

1 ищизэз------------------------------------

На правах рукописи

КОРОЛЕВ Алексей Васильевич

СТРОЕНИЕ ГРУППЫ ЕРАУЗРА КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ

Специальность 01.01.06 -- математическая логика,

алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Поторбургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор МЕРКУРЬЕВ A.C.

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук,

профессор ГОРДЕЕВ Н.Л.,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ЛУРЬЕ Б.Б.

Ведущая организация: Институт математики АН Беларуси

Защита состоится 26. 05 1893 г. в •/<? часов

на заседании специализированного совета К 063.57.45 "пе присуждению ученой степени кандидата физико-математических нау* при Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес совета: 198004, Санкт-Петербург, Старый Пэтергоф, Библиотечная пл., 2, ыатематшо-иоханичесюш факультет Санкт-Петербургскогс университета.

ващкта будет проводиться по адресу: Санкт-Петербург, наб.р.Сонтаяки, 27, 3-й этан, зал 311 (покощэнез шш).

С диссортацкэ£ мокшо ознакомиться в научной библиотеке шш А.И.Горького Санкг-Пэтербургского университета.

Автореферат разослан "2-3 " _£f/_ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцэнт

Р.А.Шмид]

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тета. А.С.Меркурьевым в 8и-х гг. было дано ¡пксанкэ строения группы Брзуэра поля. В 1882г. была дока-лапа ■сорэиа 1!зркурыэва-Суслйпа* из которой следует, что дяя поля, ¡одариащого примитивный корень n-оя стетани кз единицы, подгруппа ивэаэнтов зкспозэнты п в групта Браузра данного поля гороздзэтся ■Jtaccam циклических алгебр над зтим по^эм. Если ш полз по юдэршт примитивного корня п-оа степени из единицы, то соЕзшстно, ишет ли место данныз результат в этом случае.

В 1883г. А.С.Меркурьевым было доказано? что для любого гростого числа р и любого шля подгруппа аюгюптов экспоненты р в ■рупда Браузра данного поля пороздаэтся классами алгебр индекса >.

В 1835г. для любого простого числа р и поля жараотерзстшси, га равной р, А.С.Кзркурьевым найдапо3 представление когшоеонтн ■руппы Браузра данного шля при помощи образующих и соотношения. !оскольку группа Браузра является периодическая абелевоз группой, 'о эти результаты А.С.Меркурьева дают огксанга строошы группы 5рауэра поля.

•В работе М.Ауслондара и О.Голдчзна4 в 1860 году долготе я хЗобщэнш понятия группы Браузра на кониутативные кольца, а таги» 1ается наийолве удачное построение теории Гадуа коммутативны! солзц, которое было завершено Чзйзом, Харрксоном и Розенбергом5 в

Меркурьев A.C., . Суслин A.A. к-когомологии многообразия >евери- Браузра и гомоморфизм нормеиного вычета// Изв. All СССР, /эр. мат. - 1882. - 1.48, N 5. - C.I0II-I046.

Merkurjev A.S. Brauer groups о£ flelds/ZComo. Algebra. - 1983.

Vol.11. - P.2611-2624.

Меркурьев A.C. О строении группы Браузра полза//Изв. АН СССР.

1985. - Т.49, И, - С.828-846.

Aualander М.-, Goldman О. The Brauer group of a conautatlve

lng // Trane. Aner. Math. Зое. - 1960. - Vol. 97, N 3. - P.367-H9.

Chase S.U., Harrison D.K., Rosenberg A. Galois theory зпД

10851', Следующим естественным шагом является обобщена результатов об описании группы Брауэра полей на случа коммутативных колец.

Цель работы. Основной целью работы является описани строения группы Брауэра регулярных полулокальных коле геометрического типа при помощи образующих и соотношений.

Методы исследования. Б работе используется высша алгебраическая к-теория Д.Квкллена для обобщения на случа регулярных полулокальных колец геометрического типа теорем Меркурьева-Суслина и других фактов, верных в случае полей Строится непосредственная конструкция коограничения дл сепарабельных центральных алгебр без использования ег когомологического описания. При изучении строения группы Брауэр колец используются этальные когомологии.

Научная новизна. В работе получены следующие новы результаты для регулярных полулокальных колец геометрич&ског типа:

1. Обобщение теоремы Меркурьева-Суслина на случай колэц.

2. Описание подгруппы элементов экспоненты р" группы Брауэр основного кольца при помощи образующих и соотношений в случае если расширение основного кольца, полученное добавлением к нем корня степени рп из единицы, является циклическим расширением где р - простое число, обратимое в основном кольце.

3. Описание-при помощи образующих и соотношений строени р-примарной компоненты группы Брауэра основного кольца для случа простого нечетного.р, обратимого в основном кольцэ.

4. Обобщение на случай колец результатов А.С.Меркурьева с образующих подгруппы элементов экспоненты р в группа Брауз{ поля.

Теоретическая и практическая ценность. Работа кмес теоретический характер. Ее результаты проясняют структуру групг Брауэра регулярных полулокальных колэц геометрического типа.

Апробация работы. Результаты работы докладывались I совместном семинаре лаборатории алгебраических методов Саню

Са1о1а соЬово1оду о£ со&тиЪаЗДуе г1пдз // Мет. Авег. МаЪ>1. аос. 1965. - N 52. - Р.15-33.

¡етербургского отделения Математического института АЛ № и сафэдры выспей алгебры п теории чисел Сашст-Петому ргсмго 'ссудзрственяого унигэрои.' :>та.

Публикации. По те;'з диссэртацш опубликовано 2 работа. Объем работы. Диссертация состоит из введения и 3 глав» ои збюм 109 страниц мапшописяово текста. Библиография солтоиг га 24. наимэЕовзгпза работ.

СОДЕРЖАНИЕ РЛБО'Ш'

В гэрвоа глава (параграфы 1-5) дапы цредварительныэ

гзэдэния. В шрзом параграфа ггркЕодгггся определенна рагулярного

полулегального кольца гсс'тзтричаского типа, заимствованное из

работы Д.Квиллзна?

Опрэдзлпзкэ. Пусть а - алгебра конечного типа над ь ¿¡.оторым

бесконочяш гоязн, а £ - 1:020 чноэ инонвитьо простых вдалов з а

такиг, что ар рэгулярзо для гса.чдпго р из Тогда рэгулярноэ

полулокальноэ гсольцо, шлучешгоз логсзлизащоз алгебры а по

нультиплаатшкй систхг.'.з т в д чир, будзм яаъ'.тать рэгуляры-»1.1

р'.г

голулс'.сзлыкм кольцо?! г6МЛОТр!посквгс тнпэ.

Во втором параграфа для рзгулярного полулокального кольца а гвсггзтрзчгского типа рассматриваются точныо последовательности из работы Д.КЕЕМлзЕа6:

О —» К САЭ -» и к ГкС «">1 -»и К ГкСхэ1 и к ГкСх-)] —» О, г о г 1 I 111 I г о I >

«<з; 4 к с-: - >: СТ.'.'

о —> к саэ —* и к ГкСхз 1 и к ГьсхэТ О,

1 <®г° ^ х-г»1

где 2: я Зрзсл, к1 - га?о,:зстЕО все:: точек коразмерности з х, - полз вытатоз сгс.'И к в точке х. Параграф посвящен описания вида гог-югарфгамов, вхоягт^н в эта последовательности. Привздено описаниэ группы к, полулокального кольца с бесконечны?!!! голяг.а вычэтов при ш."сгл: обрануащп и соотноеэний га работы ван дер

б

Ои111сп Р. Н1д11сг а1<зеЬгахс ¡С-«кгогу. I // Ьес^. ЫоЪеа НаЗД. -1973. - 701.341. - Р.77-139.

Каляева7. Образующими аддитивно записанной группы к^слэ являют« символы <я,ъ>, где а, ь принадлежат группе а" обратимых элемента кольца а, о соотношениями бимультипликативности по каждом: аргументу и соотношением Стеянберга <«,ь> » о, если • ♦ ь - i.

В третьем параграфе приводился определение группы Брауэр; коммутативного кольца. данное в работе Н.Ауслевдера и О.Голдаана' и основные факты из этой работа.

Пусть к - коммутативное кольцо с единицей. R-алгебра > называется сепарабельной алгеброй над R. если л являвта проективным модулем над своей обертывающей алгеброй л* ■ а *в а° гда л° - противоположная алгебра относительно а. На мнояесгга \кк> bcoz алгебр, имеющих R в качестве центра и сепарабельных на, к, вводится отношение эквивалентности следующим образом: \ ~ \ если существуют такие алгебры ot, аа, каждая из которых являете] алгеброй эндоморфизмов какого-либо конечно-порожденного проективного точного R-модуля, что

\ - Аа •« V

Введенное отношение эквивалентности разбивает множество «сю н: классы. Множество классов эквивалентности, на которые разбивается Veto, обозначим через вгею. тензорное перемножен» над i индуцирует ассоциативную и коммутативную операцию Словения i

вг<ю:

1л41 * i аа j ш са4 ©в аж1,

где \ « нею, э квадратные скобки обозначает клас< эквивалентности в вккэ соответствующей алгебры из . Обратньа по сложению элементом ¿¡м (ai является класс ia°j противоположно!

для а алгебры л°. Таким образом, множество вгсю превращается i абелеву группу, которая называется группой Брауэра комиутатавнол кольца к.

Пусть s - коммутативная R-алгебра. Операция л —» s ©п л, действующая из «ю в око индуцирует гомоморфизм абвлэвшГгрупп

res < ВгСЮ —* BrCSD,

7

Van der Kellen V. The <t оf rings with aany unlts // Inn. Sei. IVale Horn. Super. - 1977. - Vol.10. - P.473-515.

юторыа называется гомоморфизмом ограничения.

Затем в третьем параграфе приводится еще ряд фактов из )абота М.Ауслэндера и О.Голдаанз? касащюссп группы Брауэра ¡оммутативных колец.

Далее в третьем параграфе определяется гомоморфизм ^ограничения из вгсэ в вгсю при условии, что а'к-расшфоние 'алуа колец. Вводится действие группы Галуа о в о^гск/то на 1лз ментах группы Брауэра вгсээ. Пусть а - центральная ¡епарабельная э-алгебра. Для любого с а в определяем цэнтральлую ¡епарабельную я-алгебру ка следующим образом: как кольцо, ь.а :овпадает с а, а умножение на элементы из в определяется формулой

Ьхлагаем теперь

s*X а cr'tCs) >Х, X «» Л, * в S.

olM -- tA ].

о

Положки и =« • где ®в обозначает тензорное произведение гад s по всем с аз в. На н вводятся действие группы Галуа о. ¡ШННО, если Т G G И х^ е А^ при всех о, то

т [в X I = в и, и = X . I ® S o/ С

]ентрашша сепарабельноя s-алгебрэ а ставится в соответствие

©игральная сопарабзльпая R-алгебрз м°, состоящая из всох

иементов алгебры н, неподвижных относхпольно действия группы о.

Гом самым определен гомоморфизм абэлвзвыг групп:

cor » BrCS) —♦ ВгСЮ, вхя

взываемый коограничениэм.

Устанавливаются некоторые свойства ограничения и соограничения, аналогичные соответствующим свойствам для случая юлоя. Затеи приводится определение ¡»-кушерова .кольца, )ажствоваиное из работа?

Определенна. Пусть » z г - натуральное число. Пусть в группе збрзтимыг элементов R* кошутативного кольца r с единидоа зодериится конечная циклическая подгруппа в порядка « такая, что L - & е R* ДЯЯ всех ЭЛОКОНТОВ ö е в, KpOMQ вДОШЩЫ. ТОГДЗ Пару в>, где в - виделонная циклическая подгруппа в R с указанным

3 Боревич А.З. Куммерош расширения колэц//Зап.науч. семинаров йзшшгр. огд.Мат. ин-та АН СССР. - 1976. - .1.57. - С.8-30.

свойствijii., оу.пем называть m-КуМКврОВЫМ кольцом.

Ззтом в тротшм гпраграфэ для регулярного шлулокальаоп коли на гоомотричоского типа, га-куммэрова с циклическое группой с рассматризаог«я комплекс, взягча из работы 0.Плоха и А.Огуса9:

О —♦ ВгСАЭ О О —► !J DrfkCxjl О и —»Li кСкЭ^^ЬСкЭ®™,

От Olim 1

К «ЗС V J X «SH

1до к е sj.occаз, xl - множество всех точек коразмерности i в к ktxi - пола вычэтов аффинной схемы х в точка >«. Списывается ви: гомоморфизмов, входящих в этот комплекс.

В четвертом параграфа тоорома Ксркурьева-Суслша сбобвдзтс. ьй случал п-куммеровьк регулярных полулокалышж коле: гс о кэтркчо ского типа. Пусть са,еэ - пэкоторов га-кумшров< регулярное под;мокальное кольцо геометрического типа. Пуст а,ь с а°, < - какая-ниЗудь образующая группи о. Опрздзлн циклическую алгебру дс».tj в л?са,ьэ.над кольцом а аяалогичы

определению циклической алгебры над полом1.0 А именно, д;са.ь> -ассоциативная А-ялгебра с одшвпзза, птакдашая двуыл айжэптвн j: s; у и яэляздаясп свободам а-модудш-, ранга а . Бззис составляя о дошита >?1 г1» с й 1 s и-!, о < j s ¡в-1, а у«ш0Е0ПаЗ задаете слодуюфза обрезои:

кга ю а, у" » Ь, ух а ¡¡ку, KS и a«, ys в ау

ДЛЯ любого в в А.

Сшеол ^ca.bsj бииультшшгсатийэн по каадоглу аргушнту : удовлетворяет соотноезшвз Стешбэрга. Следовательно, отображэнш

<а,Ь> (—* |A?Cß,»J О £

корроктно опродэляот гомоморфизм а в а^

К СА> —> ВгСАЭ О О.

о

Bloch S., Одиз Л. Ucrstcn's conjecture and tha homology о scheaes // Ann. Sel. Ecole Horn. Super. - 1974. - Vol.7, U P.131-201.

10 Мкянор Да. Взздонкэ в алгебраическую к-теорлэ. - H.: Mjîj 1374. - C.IS0.

Данпга мякаэрфЕзм « индуцирует гоиокорфЕзи

к СЛЗ —> ПгСЛ? С, 2 п

ГДЭ

^ САЗ Я К С/О УгХ САЗ, * 2 2

которна ш тапка будэм обозначать а ши «п, Датшьй гс^скорфиза

является обсхй"рпкз:» гомоморфизма пор::онпого еычотэ дет случсл

пагэа на случзз регулярных шдулокалъных в-кумторовьпг пагзц

гсс!'9тр!гтзс1ссг0 типа. Следующая теорема тягагся спа;;агоч тсорегзл

Сзркурьева-Оусжна п сдучае полулж&яьных рэгулярныз га-куккорсвьк

ко.тзц геокетригвсиого типа.

Теорэма 4.1. Пострсоняыа гсг.'оморфхсм

оI к САЗ —> ЕгСАЭ © О а ш

давятся эзомор^изком.

Во второй главе (параграфы 6-9) результата рпбота А.С.Меркурьева3 сбобвдвтся на случая регулярных полулокалыак колзц гоо!:отр:йзс::ого типа. В работа А.0.Меркурьева3 при огасзнич образуют и соотношения подгруппы ппгсга охв^олтов окспзнэ1гл!

рп в группа Брауора вгсг- поля г расщепляется ' полэ кп, полученное в результата присоединения к основнрму пол) ? пршипгвЕаго корня степени ч « р" га едишзщ. Приводится контрпример, потазываюпщз, что в случае нециклического расшзровял

г^.- (это возможно только, если р а г, паз) группа ппгсг> пз

р

|?.53от "проста!", системы образующих. Ясно, что в случае ко-^ц, "&л Сокз, нельзя указать "простую" систему образующих для груки пвгсга, ослп распирзт:э «„т*. полученное добавлэяизм г: осяобкпщ'

р

рзгулярнозу полулокельно'яу кольщ а геометрического ттою корня

СТСПЗЯИ р" 13 ОДКНПЩ', НО ЦИКЛЯЧЗСКОО. 4

В кстоп пзрагр?.фэ строятся циклические расширсзпл г?ч основного кольца явлжцкося рп-куккзрсг>!.яй£ кольцам. Есл! число р шчзтпез, то ш всегда кошм построить щпипчосксэ рзсяшрстшэ Еп Это удобно едэлать с шгюпкэ кругового шогсчл}на, ПОЕО-Зив кп и кси^я „сеэ^, гдэ

.. П-1 П-* п-1

О <13 = 4 *>-*>* V ... ♦ ■* 4.

п

р

Тогда еп является рп-кумыерозым кольцак с вьделенноа

иультшишсагптной группой в » <t>, где t в tnodfe с til, a Rnsn -

i pn J п

циклическое расширена» коаэц.

В случае р ■ г данные способ присоединения корнеа из единицы приведет прз п > э к эаведоно нециклическому расширения. Поэтому нужна другая конструкция для добавления в R корнеа из единицы. Далэе в шестое параграфе выясняются условия на кольцо к, при выполнении которых мы ушэы присоединить к к корень степени гп из едшшвд так, чтобы при этом получилось циклическое расширенно. Июнно, если существует гомоморфизм какого-ниЗудь из следующих колец;

а) zaleos §]» * ■ 3,4,.

б) z[í,|]í .

вртоппо мы обозначим через у, в основное кольцо к, то тогда

вп - R *v 2[<' О}'

где с » со» — ♦ i sin — , является рп-нумморошм кольцом с г" г

выделенной кулътнпликативной группой в = <?>, причем Rn^e -циклическое расширенна колец.

Мы рассматриваем лишь случай циклического расширения колэц. Пусть р - любое (г или нечетное) простое число. Следу» работе А.С.Нзркурьева? выделим два случая. Обозначим через s порядок хрушы Галуа е » OíIcr^ks. Пусть г - некоторая образующая группы G, а к - примитивный корень стедаш рп из в&ошщ, который мы присоединили к к, получив кп (С - некоторая образухдая бцдэлзнноз мультипликативной группы в из р1>-кумшровз кольца Rn). Тогда для некоторого цзлого числа и, которое определено однозначно по модулю числа q ■ р", выполняется равенство:

т£?3 * с".

Случай I. Расширение Rn'R циклическое, причем число ■ моано выбрать так, чтобы сn°-i>ус, было взашшо просто с р.

Случав 2. Расширение квадратичное, причем тс?з « <f1. Случай I имеет место при нечетной р„ а такш при р = г, если выполшаяся условия а) или б). Случай 2 имеет место при р = г.

1Ü

если выполнено условие в). В этом случае

R * Bft]XCt**l>.

Г»

В параграфах седьмой и восьмом кольцо Rn обозначено через s.

В седьмом параграфе для случая I дается описание группы ^пг-сю

р

при помощи образующих к соотношения. Доказана теорема, аналогичная теореме I в работе А.С.Меркурьева3. . Теорема 7.1. Последовательность

СОР

BrCS> BrCSJ ' Я/ > ВгСЮ —» О,

ч ч ч

где т - образующая группы Gai<s/E>, точна.

Следствие. Группа чв«-ск> в.случёо I порождается элэменташ

вида iк,у] ■ согв^и(0,ч (<x,3r>jj' х» х « s". Определявдши

соотношениями являются следующие соотношения:

1) бимультипликативность символа ix.yi;

2) tx.i-xi - о;

3) Ix,yl я 1тх,ту1;

4) pnix,yl « о.

В. восьмом параграфе дано описание группы пВгсю .при помощи

■р

образуюдас и соотношений* в случав 2. Обозначим через в подгруппу в 4Brcs>, порожденную элементами вида wj, где «,ь а а*.

Доказана теорема, аналогичная теореме 2 в работе А.С.Меркурьева3. Георема 8.1. Последовательность

D в ВгСЮ BrCSD в ВгСЮ ВгСЮ —♦ О,

» ч » ч

в которой гомоморфизмы р и v определены следующими формулами:

рСч»*) в Cu-vi в cor Cv),

o/s

8<U*Y) в cor Cu) -f V,

s/s

точна.

Слздствиэ. Группа ^в.-сю в случае 2 порождается элзнентгия

ВИДа tx, yl = согяуИ ("q х, у « S* И <а, Ь> я с^ £<а, b>J,

а, ь <з r*. Определяющими соотношениями ЯВЛЯЮТСЯ СЛЭДУИЦЕЭ соотношения:

I) бимультшликативность СИМВОЛОВ ix»yl, <а,ь>;

Ix, i-x] а О « <а,1-а>;

3) Pnl«»yl » о В 2<Ü., Ь> ; 1) i«i,bj н О, b <£ К ,

В дэвтоы параграфа голучзно ошсяыэ р-щшараоя ¡юрлоЕэкги вгсю<р> группы Брауэра основного кольца р для случая простого тачзтиого р с покоила образующих к соотнонюшя, аналогичное ошсаша -i;o:-. доцента группи Брауэра поля в ргбото А.С.Церхгурьова''.

Для ка:адого натурального п икееи:

К с Rltlxfä Ct>l, i и t b^dffi Ctil,

n In J " L n i

4 p * p L p

поагаау a„ <-> rW fpn>l » ? n.' Пусть « l*n, а » e . ц, n.

i- p p »

rj^i ii * <; r> e кп. Дэаств::э группы e автокорфЕзков кольца

ЕЗД е на ашгкнша юз я а задает вдоьониз:

р

В! О «—► AutCu Э 2= 2**

Оо р

щ/ппы в -в ipyray вданкц :;о.лъца щ>-ви р-адатасхаг чнезл. При Еоч^тасй р группа г®, а значит и. группа g, гороадаотся одаш

Мсаэоккл. Зафиксируем кгкуэ-шзбудь образующую т группы б к &

BOJEIXuEJJ в в cCi) € 2 .

I»

Для zxdoro натурального п рассмотри коглю^пцяо:

cor

а р !: cr > -2-1. ei-сп 3--2--, ßi-сю <—» егсю<г>

ü г, п ч

гекзиорфизкоз «*.. сог и влз^энил, которую ш сй'ос^ачгш чзрзз vn. Чзроз г o6o3fiaii2i cyiry еотаствааных образов груш пкаскпз в

У

lin. к, с к >. Еадад.'^ roiassptfam у

■ > «i т> * "

llsa г: С Г: J-'X —» Еи-С11><р>

■ » S п

ехэдуведо образоа. Цустъ и е iin| касипэ. Еыборэ:.; тш:оз Еатуральноэ число и, что « <= KzCRr,3 11 Е •

тооромг) 8.1. Для простого езчзтного ч20лэ р е:ззт изсто . точная последовательность:

Ни К CR 2ZI* lim К CR >/£ БгСКЭ<р> О.

-»■ г n -» i n

С&эдствкэ. В случсо езчзтного р груюа е.-спэ<р> дарэ:,у-дзтсд ахэгэнтами взда

tx.yj . ссгв ^(а п(<к.у>)). «.у « «й*.

Определяющими соотношениями являются сладущиэ:

1) йимультипликативность символа ix,yi;

2) ix,i-xi » о;

3) pnix,yi ■ о, если х»у « к";

4) и1х, у! я 1тх, ту!.

■ Циклическая алгебра,а. с*,yj над нп, где х,у « R*. имеет в

п

р

качестве свободного -модуля ранг р . Из определения ошрацяи коограничения видно, что ранг свободного к-модулл

равен Ptna, где « - порядок группы Галуа GaicRxio. Хотелось бы иметь образующие "малой" размерности. В третьей главе обобщается на случае регулярных пелулокзльных колэц геометрического типа теорема 2 из работы А.С.Меркурьева?

Теорема 12.1. Пусть р - некоторое простое число, a R -регулярное полулокальное кольцо геометрического типа, в котором р обратимо. Тогда груша рвгсю порождается классами центральны! сопарабельвых к-алгебр ранга р* над к.

Поскольку ранг любого нетривиального элемента -группы рВгсчэ нэ моиэт быть меньше' р*, то теорема утверждает, что рвгск» порождается классами алгебр наименьшего возможного ранга'.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Королев A.B. О груше Брауэра полулокального' кольца геометрического типа // Веста. Лэншгр. ун-та. '- Сер.1. -1991. - Вып. 4 (Н 22). - С.68-70. - ^

2. Королю A.B. О строении группы Браузра полулокального кольца гвокетрического типа // Алгебра и анализ. - 1983. - Т.%. - иг. - C.I04-ZI8.