Структура конечных SR-групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Янишевский Виталий Валериевич

Структура конечных ЭЯ-групп

Специальность 01 01 Об — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль —

00316736209990

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Ярославского государственного университета им П Г Демидова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Казарин Лев Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Струнков Сергей Петрович,

НИИ системных исследований РАН

кандидат физико-математических наук, доцент Чубаров Игорь Андреевич,

Московский государственный университет им. М В Ломоносова

Ведущая организация:

Институт Математики и Механики УрО РАН

Защита диссертации состоится «16» мая 2008 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.002 03 при Ярославском государственном университете им П Г Демидова по адресу 150008, г Ярославль, ул Союзная, 144, аудитория 426

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им П Г Демидова

Автореферат разослан «апреля 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Яблокова С И

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации. Конечными SR-группами (от английского simply reducible, то есть «просто приводимыми») называются группы, все элементы которых сопряжены со своими обратными и тензорное произведение любых двух неприводимых представлений которых содержит каждое представление не более одного раза (свойство простой приводимости) Класс SR-групп впервые был введен в рассмотрение лауреатом Нобелевской премии по физике Юджином Вигнером в работах [9] и [10], в связи с интерпретацией некоторых физических задач. Вигнер показал (см. [6], §5.8, стр. 184), что для конечной группы G принадлежность к классу SR-групп эквивалентна обращению в равенство следующего неравенства, справедливого для всех конечных групп

geG g€G

где \М\ — мощность множества М, у/д = {х € G \ х2 = д}, Сс(д) — централизатор элемента д Таким образом, класс конечных SR-групп составляют в точности те группы, которые обращают неравенство (*) в равенство В книге [2], стр. 250-251, А. И Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о SR-rpynnax следующим образом:

Вопрос 1. Как выразить в общем принадлежность к SR-классу в терминах структурных свойств группы?

В Коуровской тетради С. П Струнковым был поставлен следующий вопрос (см [3], стр 61, вопрос 11 94):

Вопрос 2. Будут ли SR-группы разрешимы''

Представляют интерес и возможные приложения SR-групп к алгебраической комбинаторике. Например, соответствие Макки, см [10], сопоставляет каждому представлению р группы G, некоторый граф представления Гр, следующим образом Пусть {р\, , pt} — набор неприводимых представлений группы G. Граф Гр = rp(G) — это граф с множеством вершин {pi, ,pt} и с m}k (направленными) ребрами из р3 к рк, где р® р3 — ®fc m3kPk При этом, графы точных представлений SR-групп будут связными, самодуальными и без кратных ребер, что может иметь комбинаторный смысл. Далее,

имеется явная параллель между определением SR-группы и определением коммутативной симметричной схемы отношений, связанной с щедро транзитивной группой подстановок (подробно см. [1], пример 2.1(1), стр. 63, а также замечание (2) стр. 116) Вопрос об орбитных кодах, связанных с SR-группами, также представляет интерес.

В работе [5] С. П. Струнков исследовал связь между целыми и полуцелыми представлениями SR-групп Представление SR-группы называется целым, если оно реализуется в поле вещественных чисел и полуцелым в противном случае. В [5] показано, что если SR-rpynna G имеет хотя бы бдно полуцелое представление, то центр группы G нетривиален и является элементарной абелевой 2-группой. С. П. Струнков показал, что любая полуцелая SR-группа является расширением группы порядка два, при помощи SR-группы, все представления которой целые. В работе [8] Ван Зантеном исследовались числа решений некоторых уравнений в SR-rpynnax.

Цель работы: исследование строения конечных SR-rpynn

Методы работы. В диссертации используются методы доказательств теории групп и теории характеров, в том числе теорема Классификации простых конечных групп Для проведения вычислений в ряде случаев использовалась система компьютерной алгебры GAP, [7].

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. получен положительный ответ на вопрос о разрешимости конечных SR-групп при дополнительном условии отсутствия у группы композиционных факторов, изоморфных знакопеременным группам А5 или Ае Причем этот результат справедлив и для более широкого класса ASR-групп. Тем самым (частично) положительно решен вопрос 11.94 Коуровской тетради, [3],

2 получено описание строения бипримарных SR-групп (порядка 2прт) некоторых классов по модулю подгруппы Фраттини, среди них группы с циклической р-силовской подгруппой, группы с диэдральной 2-силовской подгруппой, а также сверхразрешимые группы с п < 4;

3 определено строение SR-групп малых порядков и выделены важные серии SR-rpynn.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер Результаты диссертации могут найти при-

менение в исследованиях по теории конечных групп и их представлениям, в алгебраической комбинаторике, а также в интерпретации некоторых задач теоретической физики

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на всероссийской конференции «Колмогоровские чтения IV» (Ярославль, 2006), на всероссийской конференции «Колмогоровские чтения V» (Ярославль, 2007), на международной алгебраической конференции «Классы групп, алгебр и их приложения» посвященной 70-летию со дня рождения Л А Шеметкова, (Гомель, Беларусь, 2007), на международной алгебраической конференции посвященной 100-летию со дня рождения Д К Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007)

Публикация результатов. Материал диссертации был опубликован в цикле работ, состоящем из 4 статей (в том числе 1 статья в журнале из списка рекомендованных ВАК РФ), и 2 тезисов докладов. Из 4 статей 2 написаны без соавторов, 2 — двумя авторами (Казарин Л С , Янишевский В. В ) Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве Список работ приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, оглавления, четырех глав (30 параграфов), приложения, заключения и списка литературы из 39 наименований Текст диссертации изложен на 114 страницах

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий, предложений), а также определений сквозная внутри параграфа и состоит из трех цифр первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа и третья — порядковый номер внутри параграфа Формулы и таблицы имеют сквозную внутри всей диссертации нумерацию

Глава 1. Введение. Во введении обосновывается актуальность проблемы, делается постановка задачи, приводится краткий обзор уже известных результатов Более подробно описывается вероятная связь 8 В-групп с алгебраической комбинаторикой Далее следует содержание диссертации, а также обзор полученных в ней результатов

Глава 2. Предварительные сведения. Данная глава носит вспомогательный характер В ней формулируются основные определения и результаты, используемые в диссертации В параграфе

§2 1 изложены сведения теоретико-группового характера Приведены некоторые леммы о полупрямых произведениях, даны определения центрального произведения, 7г-длины группы, определение подгруппы Картера, цикла Зингера

В параграфе §2 2 приводятся сведения из теории представлений и теории характеров Вводится понятие индуцированного характера, характера Стейнберга простой неабелевой группы лиева типа, закон взаимности Фробениуса Приводятся основные формулировки теории Клиффорда, сведения о характерах знакопеременной группы Ап, в частности тн «формула крюков»

В параграфе §2 3 содержатся важные предложения об оценке классового числа простых неабелевых групп произвольного лиева ранга, и более сильные оценки классового числа для групп Ь£п(д), где п < 6 В конце параграфа §2 3 приводится неравенство Галлахе-ра, дающее верхнюю и нижнюю оценку для классового числа группы через индекс и классовое число ее подгруппы, а также оценка числа неприводимых характеров нормальной подгруппы конечной группы через классовое число Приведены оценки максимального порядка разрешимой подгруппы в симметрической группе подстановок 5'п

В начале параграфа §2 4 излагаются сведения о простых неабелевых группах некоторые изоморфизмы, порядки, оценки классового числа, порядки групп внешних автоморфизмов, степени характера Стейнберга групп лиева типа Для групп 14 (д), Вп (д), Сп (д) при небольших п и д вычислены точные значения классового числа Кроме того, приводится таблица характеров группы РСЬъ(<?), где д нечетно и группы ¿2 (<?) > где д четно

Глава 3. Вещественные группы. В параграфе §3 1 сформулировано понятие вещественной группы — группы в которой любой элемент сопряжен со своим обратным Делается замечение, что группы нечетного порядка, отличные от тривиальной, не могут быть вещественными, и также, что среди абелевых групп вещественной будет только элементарная абелева 2-группа Параграф §3 2 содержит важный результат Берггрена о том, что подгруппа Картера (максимальная нильпотентная подгруппа, совпадающая со своим нормализатором) вещественной группы является 2-силовской подгруппой В параграфах §3 1, §3 2, §3 3 можно найти утверждения о вложи-мости некоторых классов конечных групп в вещественные группы Поскольку симметрическая группа Бп вещественна для любого п, то любую конечную группу можно вложить в вещественную Менее очевидно, что любую разрешимую группу можно вложить в разрешимую вещественную группу Этот результат Берггрена приведен

в §3 2 В параграфе §3 3 доказано несколько простых утверждений о вещественных 2-группах В параграфе §3 4 устанавливается строение вещественных групп, содержащих абелеву подгруппу индекса 2

Теорема 3 4 2 Пусть G — вещественная группа, А — ее абелева подгруппа, причем \G А\ = 2 Тогда G = Gq х Е, где Go е {¿?2» X С2, D(A),Q^\A)}) Е — элементарная абелева 2-группа

Здесь Q^ (Л) есть группа, являющаяся кватернионным аналогом обобщенно диэдральной группы Точное определение этой группы дается в параграфе §3 4

Глава 4. Некоторые классы SR-групп. Глава 4 посвящена различным классам бипримарных SR-групп (как уже было замечено выше, группы нечетного порядка не являются вещественными, поэтому речь идет о группах порядка 2прт) В параграфе §4 1 формулируется определение SR-группы, понятие целой (все представления таких групп реализуются в поле вещественных чисел) и полуцелой SR-группы (остальные группы) Делается замечание, что факторгруппа SR-группы также является SR-группой Приводится результат Стрункова о том, что центр всякой полуцелой SR-группы нетривиален и является элементарной абелевой 2-группой Формулируется неравенство Вигнера

В параграфе §4 2 изложено описание SR-групп с абелевой подгруппой индекса 2 А именно, любая такая группа является вещественной группой с абелевой подгруппой индекса 2, описание которых дано выше, в теореме 3 4 2

Список известных SR-групп, приводимых в различных источниках, весьма беден Результаты параграфа §4 3 существенно расширяют этот перечень Они выделяют некоторые полезные серии SR-групп В частности, оказывается, что бипримарные SR-группы с циклической р-силовской или диэдральной 2-силовской подгруппой играют заметную роль в описании всех SR-групп малых порядков Параграф §4 3 содержит перечисление SR-групп порядков 2га и 2п 3, где п^7, а также всех несверхразрешимых SR-групп порядка не больше 2000 с тривиальным центром Этот результат был установлен в результате вычислений в системе компьютерной алгебры GAP Большинство приведенных SR-групп имеют простое строение, вроде (центрального) произведения некоторого числа обобщенно ди-эдральных групп Однако, имеются и группы, не укладывающиеся в схему Для них приведено задание в виде образующих и определяющих соотношений, обсуждается их строение

Параграф §4 4 содержит классификацию сверхразрешимых SR-

групп порядков 2крп, где 1 < к < 4 Доказана

Теорема 4 41 Пусть С — сверхразрешимая БК-группа порядка 2крп с силовской 2-подгруппой порядка не больше 8 и Ф(С) = 1 Тогда б — прямое произведение ЗК-групп, каждая из которых имеет абелеву подгруппу индекса не больше 2

Следствие 4 4 2 устанавливает, что аналог теоремы 4 41 справедлив для случая групп С? с Ф(С?) = 1 и 2-силовской подгруппой порядка 16

В параграфе §4 5 устанавливается строение бипримарных БЕ-групп (порядка 2прт) с циклической р-силовской подгруппой по модулю подгруппы Фраттини Вначале вводится определение особенной группы, как группы С? вида V XI Б2рт, где V = Е2п — минимальная нормальная подгруппа группы С, причем Z(G) = 1 Доказывается

Лемма 4 5 3 Пусть (7 = Е2п ж Б2рт — особенная группа Группа С? является несверхразрешимой БК-группой тогда и только тогда, когда либо (п,т) = (2к, 1), где р = 2к + 1 — простое число Ферма, либо (п, 77?) = (6,2) и р = 3

Главный результат параграфа §4 5

Теорема 4 5 2 Пусть С — конечная несверхразрешимая БЕ-группа порядка 2прт с циклическойр-силовской подгруппой Если Ф(С) = 1, тоС ^ МхЕ, где М — особенная ЗЛ-группа, р — 2к+1 — простое число Ферма, Е — некоторая элементарная абелева 2-группа

Параграф §4 6 устанавливает строение бипримарных БЕ-групп с диэдральной 2-силовской подгруппой по модулю подгруппы Фраттини. Вводится определение атомарной группы, как группы С? вида V х £>2», где V = Ерт — минимальная нормальная подгруппа группы (?, причем Z{G) = 1, р > 2, п ^ 3, т > 1 Устанавливается

Лемма 4 6 4 Пусть С? = Ерт х! £>2п — атомарная группа Группа является несверхразрешимой БК-группой тогда и только тогда, когда т = 2 ип = ц + 1, где р = 2Ч — 1 — простое число Мерсенна Главный результат параграфа §4 6

Теорема 4 6 2 Пусть б — конечная несверхразрешимая БЕ-группа порядка 2прт с диэдральной 2-силовской подгруппой Если Ф(б') = 1, то либо С? = Ер2 х £)2«+1 ~ атомарная ЗК-группа, р = 2я — 1 — простое число Мерсенна, либо С = Б4

Доказательство теоремы 4 6 2 сводит общую ситуацию к изучению атомарных БЕ-групп и ЭЕ-групп С со свойством С/0:>,(С) = 5'4 В последнем случае устанавливается, что если &'/03((?) = 54 и б — БЕ-группа, то Оз(С) = 1 Первое впечатление от знакомства с примерами ЭЕ-групп наводит на мысль, что силовские р-подгруппы

такой группы для нечетного р должны быть абелевыми Работа с группами малого порядка позволила установить, что это не так Параграф §4 6 содержит пример SR-группы с неабелевой р-силовской (р — простое число Мерсенна) подгруппой

Теорема 4 6 6 Пусть Р = £у,, где р = 2q — 1 — простое число Мерсенна Тогда существуют такие два автоморфизма t,r £ Aut(P), что 1) o(t) = 2q, о(т) =2, tT = Г1, 2) G = Р xi (t,r) -несверхразрешимая SR-группа.

Здесь iy — неабелева группа порядка р3 и экспоненты р

Глава 5. Разрешимость конечных ASR-групп. Уже начальные исследования неразрешимых групп и имеющихся таблиц характеров простых неабелевых групп показали, что нередко для исключения соответствующей группы из списка возможных SR-групп оказывалось достаточным посмотреть на разложение тензорного квадрата характера Стейнберга При этом вещественность группы не играла большой роли Поэтому логично было предполагать, что разрешимость группы будет вытекать из «простой приводимости» уже тензорных квадратов неприводимых представлений Следствием явилось введения понятия ASR-группы

Определение 511. Конечная группа G называется ASR-группой, если тензорный квадрат любого неприводимого представления этой группы разлагается в сумму неприводимых представлений группы G с кратностями, не превосходящими единицы

Очевидно, данное определение обобщает понятие SR-группы Примеры, показывающие, что данное обобщение не является чисто формальным и действительно расширяет класс SR-групп, приводятся в Приложении. В частности, есть примеры неабелевых ASR-групп, не являющихся SR-группами После этого формулируется основной результат, касающийся ASR-групп

Теорема 5 1.3 Пусть группа G является неразрешимой ASR-группой наименьшего порядка Тогда G имеет единственную минимальную нормальную подгруппу N, являющуюся прямым произведением m > 1 групп, изоморфных As или А6 Подгруппа M группы G, состоящая из элементов, нормализующих каждую минимальную нормальную подгруппу группы N, нормальна в G и факторгруппа G/M — разрешимая ASR-подгруппа симметрической группы Sm, действующая транзитивно на множестве минимальных нормальных подгрупп группы N

Следствием теоремы 5 1.3 является следующая Теорема 512 Конечная ASR-группа, не содержащая композиционных факторов, изоморфных группе или Ае, разрешима

Поскольку, как показано в лемме 5 3 2, для всех неабелевых ASR-групп выполняется неравенство |G| < fc(G)3, то вопрос о том, какие неабелевы простые группы обладают свойством |G| < k(G)3, представляет самостоятельный интерес Теорема, описывающая строение простых неабелевых групп с указанным условием доказана в параграфе §5 2

Теорема 5 2 1 Пусть G — простая неабелева группа, у которой |G| < k(G)3 Тогда G изоморфна простой группе 1*2(?) для четного Ч

В доказательстве теоремы 5 2 1 (в котором большая доля вычислений относится к наиболее трудным случаям групп L^(q) и группам Вп(д) и Cn(q)) используются сведения из параграфов §2 2, §2 3, §2 4

В §5 3 рассмотрены некоторые общие свойства, касающиеся строения ASR-групп и минимального контрпримера к теореме 5 13В частности, показано, что минимальный контрпример к теореме 5 13 будет иметь единственную минимальную нормальную подгруппу N с разрешимой факторгруппой, являющуюся прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп с некоторыми ограничениями на степени неприводимых представлений В следующем параграфе §5 4, исключаются почти все простые группы, которые могут встретиться в качестве композиционных факторов группы N Оставшийся набор групп состоит из семейств L%{q), Us(q) для небольших значений q и бесконечного семейства групп ¿2(9) В §5 5 излагаются необходимые сведения о соответствии неприводимых характеров группы G, обладающей нормальной подгруппой, характеров этой подгруппы и характеров, индуцированных с этой подгруппы (теория Клиффорда) Используя указанную технику, задача сводится к случаю, когда композиционные факторы группы N изоморфны одной из групп семейства В §5 6 изложены сведения о характерах

групп PGL2(q) и действии группы автоморфизмов этой группы на множестве характеров степени q + 1 Наконец, в §5 7 доказывается теорема 5 1 3, а с ней и теорема 5 12

Глава 6. Приложение. Вычисления в системе GAP. Приложение содержит подробности вычислений в системе компьютерной алгебры GAP В параграфах §6 1, §6 2 приводится описание системы GAP и тех функций, которые особенно часто использовались в вычислениях Далее следуют примеры составленных функций таких, как проверка является ли заданная (как некоторая структура данных) группа SR-группой, а также функций отыскания задания группы в виде образующих и соотношений

В параграфах §6 3, §6 4, показывается каким образом были сде-

ланы вычисления в GAP, использовавшиеся при доказательстве теоремы 4 6 2 и леммы 5.4 3 диссертации

Система GAP содержит библиотеку SmallGroups, состоящую из структур данных, представляющих конечные группы небольшого порядка А именно, всех конечных групп порядка до 2000, кроме групп порядка 1024 Команда обращения к группе в этой библиотеке выглядит так G:=SmallGroup(m,n), где т — порядок группы, а п — ее номер среди множества групп порядка т Имеется и «обратная» команда IdSmallGroup(G), позволяющая получить набор чисел [т,га] по заданной каким-либо образом группе (7. Это позволило получить все SR-группы некоторых порядков. Так, в параграфах §6 5 и §6 б приводятся таблицы содержащие значения функции IdSmallGroup и типы изоморфизмов всех SR-групп порядков 2™, Н га < 9, и 2" 3, 1 < га < 7 соответственно

В параграфе §6 7 приводится таблица, содержащая информацию о всех несверхразрешимых SR-группах, порядка не большего 2000 с ■2T(G) = 1 Всего таких групп 58

Параграф §6 8 посвящен примерам групп, иллюстрирующим введенное понятие ASR-группы и его соотношение с понятием SR-rpyn-пы

Глава 7. Заключение. Заключение содержит гипотезы, формулировки которых обобщают полученные в диссертации результаты Эти гипотезы могут служить ориентирами для дальнейших исследований по SR-группам

Список цитируемой литературы

[1] Баннаи, Э Ито, Т Алгебраическая комбинаторика Схемы отношений / Э Баннаи Т Ито — М Мир, 1987

[2] Кострикин, А И Введение в алгебру, часть 3 Основные структуры алгебры / А И. Кострикин — М Физ -мат лит, 2000

[3] Коуровская тетрадь Нерешенные вопросы теории групп Издание 16-е, дополненное, включающее Архив решенных задач / Новосибирск ИМ СО РАН, 2006

[4] Маккей, Д Графы, особенности и конечные группы, / Д Мак-кей // Успехи математических наук 1983 т 38, вып 3 (231), С. 159-164

[5] Струнков, С П О расположении характеров просто приводимых групп /СП Струнков // Математические заметки 1982 т 31, №3 С 357-362.

[6] Хамермеш, М Теория групп и ее применение к физическим проблемам / М Хамермеш. — М Мир, 1966

[7] The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms and Programming, Version 4 4 10, Aachen, St Andrews, 2008,

http://www.gap-system.org

[8] Van Zanten, A J De Vnes, E Number of roots of certain equations in finite simply reducible groups / A J Van Zanten E De Vnes // Gromngen University, Netherlands, Physica, 1970 Vol 49 p 536-548.

[9] Wigner, E P On representations of finite groups / E P Wigner / / Amer J Math , 1941 Vol 63 p 57-63

[10] Wigner, EP On the Matrices which Reduce the Kronecker Products of Representations of S R Groups /ЕР Wigner Princeton, 1951

Работы автора по теме диссертации

Публикации в издании, рекомендованном ВАК РФ:

[1] Казарин, Л.С. Янишевский, В.В. О конечных просто приводимых группах / Л.С. Казарин. Янишевский В.В. // Алгебра и анализ 2007. Т. 19, № 6. С. 86-116.

Другие публикации:

[2] Казарин, Л.С. Янишевский, В.В ЯК-группы порядка 2пр / Л.С. Казарин. Янишевский В.В. // Сборник научных работ «Математика в Ярославском университете», посвященный 30-летшо математического факультета ЯрГУ. — Ярославль: ЯрГУ, 2006. С. 257-262.

[3] Янишевский, В.В. ЯЫ-группы порядка 2прт с циклической р-силовской подгруппой / В.В. Янишевский. // Вестник Пермского Университета Математика. Механика. Информатика. 2007. № 7 (12). С. 39-43.

[4] Янишевский, В.В. БК-группы порядка 2прт с диэдральной 2-силовской подгруппой / В. В. Янишевский. // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14. № 2. С. 17-23.

[5] Янишевский, В.В. Несверхразрешимые БЕ-группы порядка 2прт / В.В. Янишевский. // Тезисы докладов международной алгебраической конференции «Классы групп, алгебр и их приложения» посвященной 70-летию со дня рождения Л.А. Ше-меткова, 9-11 июля 2007 г. — Гомель, Беларусь. С. 141-142.

[6] Казарин, Л.С. Янишевский, В.В. О просто приводимых группах / Л.С. Казарин. В.В Янишевский. // Тезисы докладов международной алгебраической конференции посвященной 100-летию со дня рождения Д.К Фаддеева, 24-29 сентября 2007 г — Санкт-Петербург. С. 38-39

Подписано в печать 02 04 2008 Формат 60x84 1/16 Уел печ л 1,0 Тираж 120 экз Заказ №46

Отпечатано в ООО «Аверс плюс» 150040, г Ярославль, пр Октября, 34/21

1 Введение

2 Предварительные сведения

2.1 Теоретико-групповые сведения.

2.2 Сведения из теории представлений.

2.2.1 Начальные сведения.

2.2.2 Характеры неразрешимых групп

2.2.3 Индуцированные характеры.

2.2.4 Теория Клиффорда.

2.2.5 Характеры знакопеременной группы Ап.

2.3 Оценки классового числа.

2.4 Сведения о простых неабелевых группах.

2.4.1 Некоторые изоморфизмы простых неабелевых групп.

2.4.2 Общие сведения о k(L), Out(L), StL.

2.4.3 Группы Ln(q), Un(q), где n ^ 3.

2.4.4 Группы Bn(q), Cn{q), где n ^ 2.

2.4.5 Характеры групп PGL2(q) (q нечетно) и L2(q) (q четно)

2.4.6 Спорадические группы.

2.5 Теоретико-числовые сведения

3 Вещественные группы

3.1 Предварительные замечания.

3.2 Результаты Берггрена о вещественных группах.

3.3 Свойства вещественных 2-групп.

3.4 Вещественные группы с абелевой подгруппой индекса 2.

4 Некоторые классы SR-rpynn

4.1 Предварительные замечания.

4.2 SR-группы с абелевой подгруппой индекса 2.

4.3 Описание SR-групп малых порядков.

4.4 Сверхразрешимые SR-группы порядков 2 крп, I ^ к ^

4.5 SR-группы порядка 2прт с циклической р-силовской подгруппой

4.5.1 Теорема редукции.

4.5.2 Особенные SR-группы.

4.6 SR-группы порядка 2прт с диэдралыюй 2-силовской подгруппой

4.6.1 Теорема редукции.

4.6.2 Атомарные SR-группы.

4.6.3 Пример SR-группы с неабелевой р-силовской подгруппой

5 Разрешимость конечных ASR-rpynn

5.1 Предварительные обсуждения.

5.2 Простые неабелевы ASR-группы.

5.3 Минимальный контрпример к теореме 5.1.2.

5.4 Редукция.

5.4.1 Знакопеременные группы.

5.4.2 Спорадические простые группы.

5.4.3 Исключительные простые группы лиева типа.

5.4.4 Классические простые группы лиева типа.

5.5 Характеры и нормальные подгруппы.

5.6 Характеры группы PGL2(q).

5.7 Доказательство теорем 5.1.2 и 5.1.3.

Постановка задачи и актуальность темы диссертации

Конечными SR-группами1 называются группы, все элементы которых сопряжены со своими обратными и тензорное произведение любых двух неприводимых представлений которых содержит каждое представление не более одного раза (свойство простой приводимости). Класс SR-групп впервые был введен в рассмотрение лауреатом Нобелевской премии по физике Юджином Вигнером2 в работах [38] и [39]. Вигнер показал, что для конечной группы принадлежность к классу SR-групп эквивалентна обращению в равенство следующего неравенства, справедливого для всех конечных групп.

Здесь \М\ — мощность множества М, у/д = {ж е G \ х2 = д}, Са{д) — централизатор элемента д. Таким образом, класс конечных SR-групп составляют в точности те группы, которые обращают неравенство (*) в равенство. В некоторых случаях это неравенство служит основным инструментом для выяснения вопроса о принадлежности данной группы к классу SR-групп, поскольку позволяет выяснять это, не вычисляя представлений (или характеров) группы и разложений их тензорных произведений.

Между тем, как можно будет убедиться из основного текста диссертации, с точки зрения объемов вычислений, установление справедливости тождества Виг-нера для данной группы — это по-прежнему трудоемкая операция, требующая внимательного изучения даже сравнительно просто заданной группы. Возможно, именно этим объясняется, что данный класс групп исследовался слабо. Однако, как отмечено в [10], необходимость изучения SR-групп не вызывает сомнений, так как этот класс групп непосредственно связан с задачами на собственные функции уравнения Шредингера квантовой механики.

В книге [2], стр. 250-251, А. И. Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о SR-группах следующим образом:

Вопрос 1. Как выразить в общем принадлежность к SR-классу в терминах структурных свойств группы?

В Коуровской тетради С. П. Струнковым был поставлен следующий вопрос (см. [3], стр. 61, вопрос 11.94):

Вопрос 2. Будут ли SR-группы разрешимы?

В теории конечных групп уже исследовались группы в которых любой элемент сопряжен со своим обратным. Такие группы были названы вещественными, так как все их неприводимые комплексные характеры вещественнозначны. Очевидно, что класс SR-групп является подмножеством этого класса групп. Среди тех работ

1 От английского "simply reducible, то есть "просто приводимыми".

2Нобелевская премия но физике 1963 года Юджину Полу Вигнеру, "За вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, особенно с помощью открытия и приложения фундаментальных принципов симметрии". Более подробная информация находится на сайте Нобелевского комитета: http://nobelprize.org/nobelprizes/physics/laureates/1963/ geG geG по этой теме, результаты которых будут использоваться в данной диссертации, можно отметить работы Берггрена [14] и [15].

В работе [10] С. П. Струнков исследовал связь между целыми и полуцелыми представлениями SR-групп. Представление SR-группы называется целым, если оно реализуется в поле вещественных чисел и полуцелым в противном случае. Струнков показал, что если SR-группа G имеет хотя бы одно полуцелое представление, то центр группы G нетривиален. Причем в G содержится такая центральная подгруппа W, \W\ = 2, что все неприводимые целые представления группы G являются компонентами представления а полу целые — компонентами представления CG, где С ~ нетривиальное неприводимое представление группы W. Из этого результата в частности вытекает, что любая полуцелая группа является расширением группы порядка два, при помощи SR-группы, все представления которой целые, а также вещественная реализуемость любого представления SR-группы без центра.

В работе [37] исследовались числа решений некоторых уравнений в SR-rpynnax.

Необходимо отметить и возможные приложения SR-групп к алгебраической комбинаторике. Определение SR-групп указывает на их вероятную связь т.н. «соответствием Макки». Напомним, см. [9J, что с каждым представлением р группы G, можно связать некоторый граф представления Гр следующим образом. Пусть {pi,., pt} — набор неприводимых представлений группы G. Тогда имеется разложение

Р ® Рз — ф ЩкРк, к где j, к Е {1, .,t}. Граф Гр = ГP(G) — это граф с множеством вершин .,pt} и с rrijk (направленными) ребрами из pj к pk■ При этом пара противоположно направленных ребер заменяется на одно ненаправленное ребро. Доказано, см. [9], что граф ГP(G) связен тогда и только тогда, когда р точно на G. Также, граф TP(G) са-модуален (инвариантен относительно противоположной ориентации ребер) тогда и только тогда, когда характер р принимает только вещественные значения. Поэтому, исследование графов представлений, связанных с точными представлениямми конечных SR-групп, может представлять определенный интерес. Действительно, графы точных представлений SR-групп будут связными, самодуальными и без кратных ребер (хотя петли возможны), что может иметь комбинаторный смысл.

Возможно, более выпукло связь SR-групп с алгебраической комбинаторикой видна в определении схем отношений. Для более точных формулировок потребуется определение (мы следуем [1], стр. 61-62):

Определение 1.0.1. Пусть X — лтоо/сество мощности п и Щ, г Е {0, — подмножества в X х X, обладающие следующими свойствами:

1. R0 = {(ж, ж) | х G X};

2. X х X = R0 U . U Rd, R, П Rj = 0 длягф j;

3. lRi — для некоторого г' € {0, где lRi — {{х,у) \ {у,х) € Ri};

4. для i,j, к € {0,., d} число элементов z G X, таких, что (я, z) Е Ri, (у, z) Е Rj, является константой, если (х, у) Е Rk; эта константа обозначается через

5. Pjj = р^ для всех г, j, к;

6. г = г', тогда конфигурация % = (X, {-Rijo^ci), для которой выполнены свойства 1, 2, 3, 4 называется схемой отношений на X с d классами. Если дополнительно выполнено свойство 5, то такая схема отношений называется коммутативной, а если выполнено свойство 6, то такая схема называется симметричной.

Теперь мы можем определить некоторую схему отношений, связанную с транзитивной группой подстановок. Пусть G — транзитивная группа подстановок па множестве Q = {1,2,., п} и в — подстановочный характер. Пусть G действует на Q х Q таким образом, что (а, (З)9 = (а9,/39), для а, /3 G f2, g е G. Обозначим через А0, Ai, ., Ad орбиты действия G на Q х Q. Предположим дополнительно, что для каждой пары (х,у) 6 Aj, г 6 {0,., б?}, существует такой элемент h Е G, что xh = у, yh = х (группы с таким свойством называются щедро3 транзитивными, см. [34]). Положим X = Q, Ri = A j, тогда можно показать, см. пример 2.1(1), стр. 63, [1], что схема % = (Г2, является схемой отношений. Схема 71, определяемая действием G на Cl, является коммутативной симметричной, см. замечание (2) стр. 116, [1], тогда и только тогда, когда соответствующий подстановочный характер в не имеет кратностей, и каждая неприводимая компонента X характера 9 принимает на G значения в поле вещественных чисел. Итак, имеется явная параллель между определением SR-группы и определением коммутативной симметричной схемы отношений И.

Вопрос об орбитных кодах, связанных с SR-группами, также представляет интерес.

К сожалению, в настоящий момент, высказаться более определенно в отношении связей SR-групп с вышеуказанными объектами в алгебраической комбинаторике невозможно т.к. никаких исследований на эту тему, по-видимому, не проводилось.

Цель и методы работы

Целью работы является исследование строения конечных SR-групп. В диссертации используются методы доказательств теории групп и теории характеров, в том числе теорема Классификации простых конечных групп. Для проведения вычислений в ряде случаев использовалась система компьютерной алгебры GAP, [22].

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. получен положительный ответ на вопрос о разрешимости конечных SR-rpynn при дополнительном условии отсутствия у группы композиционных факторов, изоморфных знакопеременным группам или АГ>. Причем этот результат справедлив и для более широкого класса ASR-групп. Тем самым (частично) положительно решен вопрос 11.94 Коуровской тетради, [8];

3От английского "generosity".

2. получено описание строения бипримарных SR-групп (порядка 2прт) некоторых классов по модулю подгруппы Фраттини, среди них: группы с циклической р-силовской подгруппой, группы с диэдральной 2-силовской подгруппой, а также сверхразрешимые группы сп<4;

3. определено строение SR-групп малых порядков. Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях по теории конечных групп и их представлениям, в алгебраической комбинаторике, а также в интерпретации некоторых задач теоретической физики.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на всероссийской конференции «Колмо-горовские чтения IV» (Ярославль, 2006), на всероссийской конференции «Колмо-горовские чтения V» (Ярославль, 2007), на международной алгебраической конференции «Классы групп, алгебр и их приложения» посвященной 70-летию со дня рождения JI. А. Шеметкова, (Гомель, Беларусь, 2007), на международной алгебраической конференции посвященной 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007).

Публикация результатов

Материал диссертации был опубликован в цикле работ, состоящем из 4 статей (в том числе 1 статья в журнале из списка рекомендованных ВАК РФ), и 2 тезисов докладов. Из 4 статей 2 написаны без соавторов, 2 — двумя авторами (Казарин JI. С., Янишевский В. В.). Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, оглавления, четырех глав (30 параграфов), приложения, заключения и списка литературы из 39 наименований. Текст диссертации изложен на 114 страницах.

7 Заключение

В заключении предлагается несколько гипотез, формулировки которых являются развитием изложенных в диссертации результатов и которые описывают предполагаемое строение конечных SR-групп.

Гипотеза 1. Любая ASR-группа разрешима.

В силу справедливости теоремы 5.1.2 для доказательства гипотезы 1 остается доказать отсутствие композиционных факторов изоморфных группам и А^.

Гипотеза 2. Пусть G — сверхразрешимая SR-группа. Тогда

Ф(<?) D{A{) х . х D(An) х Е0, где каждая А{ = Ерк для некоторых р > 2 и к, Eq — элементарная абелева 2-группа.

Гипотеза 3. Пусть G — конечная SR-группа, тогда

Ф(С) ^ Nx х . х Nk х Go, где каждая Ni — несверхразрешимая SR-группа изоморфная Еры х D2(pn+i), для некоторых р и п, Go — сверхразрешимая SR-группа, Ф(С?о) = 1

Теоремы 4.5.2 и 4.6.2 подтверждают справедливость гипотезы 3 в частных случаях.

1. Баннаи, Э. Ито, Т. Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений / Э. Баннаи. Т. Ито. — М.: Мир, 1987.

2. Белоногов, В.А. Фомин, А.И. Матричные представления в теории конечных групп / В.А. Белоногов. А.Н. Фомин. — М.: Наука, 1976.

3. Белоногов, В.А. Представления и характеры в теории конечных групп / В.А. Белоногов, — Свердловск: Изд-во УрО АН СССР, 1990.

4. Горенстейн, Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию / Д. Горенстейн. — М.: Мир, 1985.

5. Джеймс, Г. Теория предсталений симметрических групп / Г. Джеймс. — М.: Мир, 1982.

6. Кертис, Ч. Райнер, И. Теория представлений групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кертис. И. Райнер. — М.: Наука, 1969.

7. Кострикин, А.И. Введение в алгебру, часть 3. Основные структуры алгебры / А.И. Кострикин. — М.: Физ.-мат. лит., 2000.

8. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Издание 16-е, дополненное, включающее Архив решенных задач / Новосибирск: ИМ СО РАН, 2006.

9. Маккей, Д. Графы, особенности и конечные группы, / Д. Маккей // Успехи математических наук. 1983. т. 38, вып. 3 (231), С. 159-164.

10. Струнков, С.П. О расположении характеров просто приводимых групп / С.П. Струнков // Математические заметки. 1982. т. 31, №3. С. 357-362.

11. Хамермеш, М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам / М. Хамермеш. — М.: Мир, 1966.

12. Холл, М. Теория групп / М. Холл. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

13. Холл, М. Комбинаторика / М. Холл. — М.: Мир, 1970.

14. Berggren, J.L. Finite groups in which every element is conjugate to its inverse / J.L. Berggren // Pacific Journal of Mathematics, 1969. Vol. 28. №2. p. 289-293.

15. Berggren, J.L. Solvable and supersolvable groups in which every element is conjugate to its inverse / J.L. Berggren // Pacific Journal of Mathematics, 1971. Vol. 37. m. p. 21-27.

16. Bierbrauer, J. The uniformly 3-homogeneous subsets in PGL2(q) / J- Bierbrauer // J. Algebraic Combinatoric, 1995. Vol. 4. p. 99-102.

17. Carter, R.W. Finite groups of Lie type. Conjugacy classes and complex characters / R.W. Carter. Chichester, etc., Willey, 1985.

18. Conway, J.H. Curtis, R.T. Norton, S.P. Parker, R.A. Wilson, R.A. Atlas of Finite Groups / J.H. Conway. R.T. Curtis. S.P. Norton. R.A. Parker. R.A. Wilson. — Oxford: Clarendon Press, 1985. http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/

19. Dixon, J.D. The Fitting subgroup of a linear solvable group / J.D. Dixon // J. Austral. Math. Soc., 1967. Vol. 7. p. 417-424.

20. Evans-Riley, S. Newman, M.F. Schneider, C. On the soluble length of groups with prime-power order / S. Evans-Riley. M.F. Newman. C. Schneider // Bull. Austral. Math. Soc., 1999. Vol. 59 №2. p. 343-346.

21. Gallagher, P.X. The number of conjugacy classes in a finite group / P.X. Gallagher // Math. Z., 1970. Vol. 118. p. 175-179.

22. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms and Programming, Version 4.4.10, Aachen, St. Andrews, 2008; http://www.gap-system.org

23. Gorenstein, D. Finite groups / D. Gorenstein. — N.Y.: Harper and Row, 1968.

24. Feit, W. Characters of finite groups / W. Feit — N.Y., Amsterdam: W. A. Benjamin Inc., 1967.

25. Huppert, B. Endliche Gruppen I / B. Huppert. — Berlin, Heidelberg, N.Y.: Springer, 1967.

26. Huppert, B. Blackburn, N. Finite Groups II / B. Huppert. N. Blackburn — Berlin: Springer, 1982.

27. Isaacs, I.M. Character theory of finite groups / I.M. Isaacs. — N.Y.: Acad. Press, 1976.

28. Kazarin, L.S. Sagirov, I.A. On the degrees of irreducible characters of finite simple groups / L.S. Kazarin. I.A. Sagirov // Proc. of the Steklov Inst. Math. Suppl., 2001, Vol. 2. p.'71-81.

29. Kovacs, L.G. Robinson, G.R. On the number of conjugacy classes of a finite group / L.G. Kovacs. G.R. Robinson // J. Algebra, 1993. Vol. 160. p. 441-460.

30. Liebeck, M.W. Praeger, C.E. Saxl, J. The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups / M.W. Liebeck. C.E. Praeger. J. Saxl // Memoirs of the AMS, 1990. Vol. 86. №432.

31. Liebeck, M. Pyber, L. Upper bounds for the number of conjugacy classes of a finite group / M. Liebeck. L. Pyber // J. Algebra, 1997. №198. p. 538-562.

32. Macdonald, I.G. Numbers of conjugacy classes in some finite classical groups / I.G. Macdonald. // Bull. Austral. Math. Soc., 1981. Vol. 23, №1. p. 23-48.

33. McKay, J. The non-abelian simple groups G, |G| ^ 106 — character tables / Л. McKay // Commun. Algebra, 1979. Vol. 7. №13. p. 1407-1445.

34. Neumann, P.M. Generosity and characters of multiply transitive permutations groups / P.M. Neumann // Proc. London Math. Soc., 1975. Vol. 31. p. 457-481.

35. Silberberg, G. Finite p-groups whose proper factors are abelian / G. Silberberg // Pure Math. Appl, 1996. Vol. 7. №34. p. 332-339.

36. Spaltenstein, N. Caracteres unipotents de 3D4(Fq) j j N. Spaltenstein / / Comment. Math. Helveteci, 1982. Vol. 57. p. 679-691.

37. Van 2anten, A.J. De Vries, E. Number of roots of certain equations in finite simply reducible groups. / A.J. Van Zanten. E. De Vries // Groningen University, Netherlands, Physica, 1970. Vol. 49. p. 536-548.

38. Wigner, E.P. On representations of finite groups / E.P. Wigner // Amer. J. Math., 1941. Vol. 63. p. 57-63.

39. Wigner, E.P. On the Matrices which Reduce the Kronecker Products of Representations of S.R. Groups. / E.P. Wigner. Princeton, 1951.

40. Публикации автора по теме диссертации

41. Публикации в издании, рекомендованном ВАК РФ:

42. Казарин, JI.C. Янишевский, В.В. О конечных просто приводимых группах / JI.C. Казарин. Янишевский В.В. // Алгебра и анализ. 2007. т. 19, № 6. С. 86-116.1. Другие публикации:

43. Казарин, JI.C. Янишевский, В.В. SR-группы порядка 2пр / JI.C. Казарин. Янишевский В.В. // Сборник научных работ «Математика в Ярославском университете», посвященный 30-летию математического факультета ЯрГУ. Ярославль: ЯрГУ, 2006. С. 257-262.

44. Янишевский, В.В. SR-группы порядка 2прт с циклической р-силовской подгруппой / В.В. Янишевский. // Вестник Пермского Университета: Математика. Механика. Информатика. 2007. № 7 (12). С. 39-43.

45. Янишевский, В.В. SR-группы порядка 2прт с диэдральной 2-силовской подгруппой / В. В. Янишевский. j j Моделирование и анализ информационных систем. 2007. т. 14. № 2. С. 17-23.