Структура кристаллического состояния и фазовые переходы в мезоскопических системах

Лившиц, Алексей Михайлович

Структура кристаллического состояния и фазовые переходы в мезоскопических системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Лившиц, Алексей Михайлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Троицк МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Структура кристаллического состояния и фазовые переходы в мезоскопических системах»

Автореферат диссертации на тему "Структура кристаллического состояния и фазовые переходы в мезоскопических системах"

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК Институт спектроскопии РАН

□□3493329

На правах рукописи

Лившиц Алексей Михайлович

СТРУКТУРА КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ

И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Специальность 01.04.02 - "Теоретическая физика"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 МАР 2010

Троицк, 2010 г.

003493329

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии наук Институт спектроскопии РАН

Научный руководитель: зав. лабораторией, профессор

Л030ВИК Юрий Ефремович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

РЫЖОВ Валентин Николаевич

(ИФВД РАН);

доктор физико-математических наук, МАКАРОВ Григорий Николаевич

Ведущая организация: Московский институт стали и сплавов

(Национальный исследовательский технологический университет)

Защита состоится « 18 » марта 2010 г. в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.014.01 при Учреждении Российской Академии наук Институт спектроскопии РАН по адресу: 142190, Московская обл., г. Троицк, ул. Физическая, д.5, Институт спектроскопии РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института спектроскопии

РАН.

Автореферат разослан Щ 2010 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Попова М.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Характерное для последнего десятилетия стремительное развитие нанотехнологии, создание приборов сверхмалых размеров с заданными электрическими и механическими свойствами должно привести к обновлению и усовертпенствованию всей элементной базы наноэлектроники и оптоэлектрони-ки. Благодаря тому, что кластеры (компактные агрегации из десятков или сотен частиц) могут сохранять свою индивидуальность внутри макроскопических объектов, стало возможным проектировать создание материалов с уникальными свойствами.

Фуллерены и другие кластерные структуры на основе квазидвумерной углеродной решетки рассматриваются как возможная база наноэлектрониых технологий. В частности, возможно использование «стручковых» углеродных структур (нанотрубка с перемещаемым фуллереном внутри) при создании наиопереключа-телей, а системы «фуллерен между двумя нанотрубками» как нановариометра с изменением сопротивления системы па несколько порядков при небольшом повороте нанотрубки относительно фуллерена. Фуллерены находят применение в качестве масок высокого качества при фотохимическом травлении в процессах изготовления наноструктур. Далее, поскольку первый (возбужденный) триплетный уровень молекулы фуллерена почти резонансен метастабильному синглетному уровню молекулы кислорода, возможно использование фуллерена как сенсибилизатора при проведении фотохимических реакций с выходом синглетного кислорода. Поэтому фуллерены перспективны для применения в фотодинамической терапии. Фуллерены являются исходными элементами для молекулярного дизайна, создания новых материалов с уникальными свойствами, таких, например, как сверхтвердые материалы, полученные полимеризацией фуллеренов, новые сверхпроводящие материалы и т. п. В связи с этим важное теоретическое и прикладное значение имеет задача нахождения возможных изомеров фуллерена Сп.

Кремний, являющийся полупроводником, широко используется в микроэлектронике, в частности, служит основой микрочипов и т.д. В связи с имеющейся тен-

денцией к уменьшению элементарных транзисторов, моделирование наноструктур кремния, включая замкнутые кластеры Si„, является важной прикладной задачей.

Гелиевый кластер является уникальной системой для исследования. Гелий не затвердевает при давлении своего насыщенного пара при охлаждении до абсолютного нуля. Таким образом, экспериментально получаемые при расширении сверхзвукового пучка в вакуум гелиевые кластеры являются жидкими. Имеются теоретические оценки, согласно которым гелиевые кластеры из нескольких десятков и более атомов должны обнаруживать сверхтекучие свойства при температуре Т < 1.9К. В то же время внутренняя температура гелиевых кластеров составляет Т « 0.3Ч-0.4К (см., напр., [1]). Проведены эксперименты (см., напр., [2, 3]), подтверждающие наличие свертекучести в малых гелиевых кластерах. Так как гелиевые кластеры могут быть получены экспериментально в широком диапазоне размеров, от небольших кластеров из нескольких атомов до «капель» из 103 -г-107 атомов, на их основе может быть прослежена эволюция свойств находящейся в сверхтекучем состоянии конечной системы в зависимости от ее размеров. Гелиевые кластеры с заряженными частицами внутри могут быть получены экспериментально с исполь зованием техники пересекающихся пучков, а свойства таких кластеров представ ляют существенный интерес для физики низкоразмерных систем, например, для исследования сверхтекучести мезоскопических систем.

В диссертации теоретически, в том числе с использованием компьютерного моделирования, проведено исследование заряженного гелиевого кластера. Получе ны критерии стабильности заряженного кластера. Изучены процессы кристалли зации и плавления подсистемы зарядов (плотных «снежков» или «пузырьков» с локализованным внутри электроном) внутри гелиевого кластера в зависимости от температуры и размеров кластера при числе зарядов N < 100. При N > 4 кристаллизация соответствует образованию квазидвумерной замкнутой треугольной решетки из заряженных частиц вблизи сферической поверхности жидкого гелие вого кластера.

Кластеры обнаруживают «промежуточные» свойства, которые не характерны ни для микроскопических, ни для макроскопических тел. Поэтому кластеры (мезо

скопические объекты) иногда относят к «пятому состоянию материи» в дополнение к твердому, жидкому, газообразному и плазменному.

Теоретическая трактовка термодинамического состояния и фазовых переходов в мезоскопических системах затруднена рядом причин. К мезоскопическим системам не применима макроскопическая термодинамика из-за невозможности аккуратно разделить поверхностные и объемные свойства. С другой стороны, обычные расчетные методы квантовой химии нельзя применить к системам, состоящим из сотен атомов, без использования упрощающих допущений, справедливость которых не может считаться бесспорной. Компьютерное моделирование ряда двумерных и трехмерных кластеров выявило ряд особенностей, таких, например, как «ориентационное плавление» в оболочечных кластерах.

В диссертации рассматриваются фазовые переходы и термодинамические свойства мезоскопической системы в модели многозарядного гелиевого кластера и в более общей модели системы точечных зарядов на поверхности сферы. Проанализирован феномен «магических чисел» — значений числа частиц//, при которых температура плавления мезоскопической системы значительно (иногда — на порядок ) выше температур плавления такой же системы при ближайших значениях числа частиц. Прослеживается эволюция механизмов плавления мезоскопической системы при изменении числа частиц в системе.

Физические свойства нанообъектов существенно зависят от их внутренней структуры. Например, углеродные нанотрубки в зависимости от структуры могут быть проводниками, полупроводниками или изоляторами. Точное знание структуры нанообъекта и ее адекватное описание востребованы и в наноприборостроении, и в наноматериаловедении. В диссертации разработана классификация и предложена номенклатура структур широкого класса квазидвумерных нанообъектов. Разработанные методы использованы, в частности, для описания структуры кластеров из отталкивающихся частиц, образующих замкнутую квазидвумерную треугольную решетку с топологическими дефектами на замкнутой поверхности. При определенных условиях могут сформироваться системы вложенных оболочек, структура каждой из которых представляет замкнутую треугольную решетку. Фуллерены

Сп и некоторые другие экспериментально наблюдаемые замкнутые кластеры, например, Si„, образуют замкнутые гексагональные квазидвумерные решетки.

Целью работы является получение детальных знаний о внутренней структуре мезоскопических систем и о характере фазовых переходов в таких системах. В работе планировалось решить следующие задачи

• найти решения проблемы Томсона (для распределения точечных зарядов на поверхности сферы) в мезоскопической области и определить значимые характеристики конфигураций;

• разработать методы описания и топологической классификации квазидвумерных наноструктур;

• разработать компьютерные методы поиска всех возможных структур фулле-ренов Сп и замкнутых кластеров Si„ (при разных п), разработать методы нотации (кодировки) этих структур;

• исследовать теоретически и с применением компьютерного моделирования многозарядный кластер жидкого гелия, в том числе исследовать процессы кристаллизации и плавления подсистемы зарядов («снежков» или «пузырьков») внутри кластера;

• в рамках компьютерной модели мезоскопической системы точечных зарядов на поверхности сферы исследовать термодинамические свойства мезоскопической системы, фазовые переходы в мезоскопической системе; исследовать эволюцию механизмов плавления мезоскопической системы при увеличении числа частиц в системе (появление макроскопических свойств).

Научная новизна. С высокой точностью найдено решение проблемы Томсона при числе зарядов N < 100. Найдены характеристики конфигураций зарядов: энергия, дипольные и квадрупольные моменты, точечные группы симметрий.

Предложен новый метод описания структуры кластеров, основанный на представлении о «замкнутой квазидвумерной решетке с топологическими дефектами».

Выявлены характеристические свойства замкнутых решеток, предложены способы классификации и кодировки их структур. Разработанный формализм применим к большому числу мезоскопических объектов разной природы: кластеры из отталкивающихся частиц (кулоновские, дипольные) на поверхности сферы и в удерживающих потенциалах типа «потенциального ящика», сферические атомные кластеры с ковалентпыми связями, фуллерены, сферические вирусы и т.д. Ряд систем, например, ионы в ловушках, углеродные многооболочечные кластеры (так называемые «луковицы») и др. могут рассматриваться как «системы вложенных замкнутых решеток».

Разработан и реализован эффективный численный метод поиска структур произвольных фуллеренов Сп. Для исключения уже сгенерированных изоморфных структур фуллеренов применен новый метод топологических инвариантов замкнутой решетки. Найдены все возможные структуры фуллеренов при п < 150. Значительная часть структур фуллеренов выявлена впервые. Результаты могут быть адаптированы к ряду других кластеров, изоморфных фуллеренам, в частности, к замкнутым кластерам кремния Sin. Отметим в этой связи, что промышленные технологии, использующие в качестве «строительного материала» углеродные и кремниевые наноструктуры (трубки, конусы, замкнутые кластеры), весьма перспективны и активно развиваются.

Разработан специализированный для мезоскопических систем расчетный метод Монте-Карло, использующий случайные блуждания по множеству локальных энергетических минимумов системы.

Теоретически исследованы кристаллизация и плавление подсистемы зарядов в заряженном гелиевом кластере (при числе зарядов N < 100). В равновесии заряды образуют замкнутую квазидвумерную треугольную решетку вблизи поверхности кластера (в однозарядном кластере единственный заряд локализуется в центре кластера). При плавлении решетка зарядов разрушается, по заряды остаются внутри узкого шарового слоя вблизи поверхности.

Изучены термодинамические свойства системы точечных кулоновских зарядов на поверхности сферического кластера при числе зарядов 20 < N < 90. Зави-

симость энергии системы от безразмерного параметра Т = ТВ. ■ кве/е2 (где Т -температура, Я — радиус кластера, кв, б, е — соответственно, константа Больц-мана, диэлектрическая проницаемость жидкого гелия и элементарный заряд) не имеет особенностей в области плавления Т и Тт. Обнаружены «магические числа» — значения N, при которых температура плавления решетки зарядов Тт значительно выше, чем при ближайших значениях числа частиц. Изучена эволюция механизмов плавления при росте числа частиц в кластере. При N < 32 плавление решетки происходит без участия дислокаций, и при плавлении формируется свободная от дислокаций жидкая фаза; при N > 50 плавление сопровождается образованием дислокаций.

Исследован механизм бездислокационного плавления замкнутой мезоскопиче-ской решетки — кооперативное ротационное движение «колец» из частиц на сфере.

Практическая ценность работы.

Разработанная модель «замкнутой квазидвумерной решетки с топологическими дефектами» может быть использована для описания структур разнообразных нанообъектов: это кластеры из отталкивающихся частиц (кулоновские, дипольные и т.д.) на поверхности сферы и в удерживающих потенциалах типа «потенциального ящика», сферические атомные кластеры с ковалентными связями, фуллерены, сферические вирусы и т.д. Ряд систем, например, ионы в ловушках, углеродные многооболочечные кластеры (так называемые «луковицы») и др. могут рассматриваться как «системы вложенных замкнутых решеток».

Найденные решения проблемы Томсона — равновесные конфигурации точечных кулоновских зарядов на поверхности сферы — соответствуют структурам различных реализаций кулоновских кластеров.

На основе углеродных наноструктур (и, в частности, с использованием фул-леренов Сп) в настоящее время активно разрабатываются новые технологии в различных областях физики, химии, медицины. Свойства фуллеренаСп задаются его внутренней структурой, и в то же время могут определять поведение наноприбо-ра, составной частью которого данный фуллерен является. Свойства материалов, легированных фуллеренами, также зависят от внутренней структуры отдельных

фуллеренов. Таким образом, проблема поиска структур фуллеренов Сп (всех возможных изомеров при данном тг) имеет существенное прикладное значение.

С помощью разработанного пакета программ могут быть решены различные задачи: поиск всех возможных при данном п структур (графов) фуллеренов, поиск структур фуллеренов с данным типом симметрии, моделирование построения фул-лерена Сп из куска графена специальной формы. В работе, в частности, найдены все возможные графы структур фуллеренов Сп при п < 150 (с использованием которых могут быть проведены любые кваптово-химические расчеты).

Кластер жидкого гелия является в настоящее время уникальным экспериментально доступным мезоскопическим объектом, в котором могут быть обнаружены сверхтекучие свойства. Благодаря проведенному компьютерному моделированию известны структуры, образуемые заряженными частицами внутри многозарядного гелиевого кластера. Экспериментальные исследования сверхтекучести в мезоско-пической системе могут быть основаны, например, на анализе вращений квазидвумерной замкнутой решетки зарядов, образующейся в многозарядном кластере.

Обнаружение механизмов плавления замкнутой квазидвумерной мезоскопиче-ской системы, отличных от механизмов, свойственных двумерным макроскопическим системам, позволяет глубже понять особенности мезоскопической термодинамики.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинарах Института спектроскопии РАН, на конференциях

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 5 статьях, из них: 3 в научных российских реферируемых журналах, 2 в научных зарубежных реферируемых журналах; список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав (первая — литературный обзор), заключения, приложения и списка цитируемой литературы из /¿Г2,пазваний. Она изложена на /^страницах машинописного

МФТИ.

текста, включающих рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении и в первой главе (литературный обзор) обсуждаются возможности практического применения кластеров и фуллеренов, описаны различные подходы к исследованию структур мезоскопических систем, дан обзор результатов по проблеме Томсона, перечислены и описаны известные на сегодняшний день методы численной генерации структур и нотации фуллеренов, рассмотрена проблема фазовых переходов в мезоскопических системах, дан обзор теоретических работ и ключевых экспериментов, проводившихся с гелиевыми кластерами.

Во второй главе на примере известной проблемы Томсона (размещение N точечных кулоновских зарядов е на поверхности сферы, соответствующее наименьшей энергии) исследованы возможные подходы к описанию структуры кристаллического состояния кластеров. Отметим, что проблема Томсона имеет значительное число физических реализаций в мезоскопической области, например, это заряженный гелиевый кластер (см. главу 4), сферическая полупроводниковая «точка» в диэлектрической среде, ионы, охлажденные в ловушке и др.

С высокой точностью найдены конфигурации зарядов — решения проблемы Томсона при числе зарядов N = 2 -г- 100, рассчитаны основные характеристики состояний, значения энергии, дипольные и квадрупольные моменты, определена симметрия конфигураций. Поиск конфигураций N зарядов, соответствующих глобальному минимуму потенциальной энергии системы при данном N, осуществлялся специально адаптированным для данной задачи методом градиентного спуска. Стартовали от случайного начального расположения зарядов на поверхности сферы. Полученные конфигурации «отжигали», чтобы исключить конфигурации, соответствующие седловым точкам энергии. При увеличении N число локальных минимумов системы быстро возрастает. Поэтому при различных N проводилось до 500 спусков из различных начальных конфигураций, затем из полученных решений (локальных минимумов) выбиралась конфигурация, соответствующая наименьшей энергии — глобальному минимуму энергии системы при данном N.

При небольшом числе зарядов N < 20 выявленные структуры равновесных

Рис. 1. Решения проблемы Томсопа при числе зарядов N = 3 4- 14

конфигураций неплохо описываются моделью Томсона — моделью последовательно заполняющихся поясов из зарядов (см. Рис. 1).

Для общего случая мы предложили концепцию «замкнутой квазидвумерной решетки с топологическими дефектами». Замкнутая решетка — решетка, вписанная в односвязную замкнутую поверхность. В частности, в конфигурациях, являющихся решениями проблемы Томсона, заряды образуют замкнутую треугольную решетку с топологическими дефектами (см. Рис. 2). Структурам фуллеренов соответствует замкнутая гексагональная решетка с топологическими дефектами (узлы решетки представляют атомы углерода, ребра графа — ковалентные связи).

Топологический дефект плоской решетки — дисклинация — нарушает симметрию направлений векторов, соединяющих ближайшие эквивалентные частицы. Если разместить дисклинацию мощности т в точке плоской решетки, через которую изначально проходила ось симметрии п-ого порядка, то при обходе вокруг этой точки значение фазы ф изменится на величину 5ф — 2ит/п. В частности, в плоской треугольной решетке частица, имеющая не шесть, а пять ближайших соседей, (пентамер) соответствует дисклинации с мощностью т = +1, частица, имеющая семь частиц-соседей, (гептамер) — дисклинации т ~ — 1 и т.д. Полная топологическая мощность М дефектов плоской или замкнутой квазидвумерной решетки:

м = МтГп т

где Ыт — число дисклинаций с топологической мощностью т (т = ±1, ±2, ±3...).

Рис. 2. Решения проблемы Томсопа при числе зарядов N = 15 -г 34

Применив теорему Эйлера для выпуклых многогранников (Е + V — Е = 2, где -Р — число граней, У — число вершин, Е — число ребер выпуклого многогранника), можно показать, что тип замкнутой решетки (треугольная, гексагональная, четырехугольная) определяет полную топологическую мощность дефектов в решетке, которая сохраняется независимо от числа узлов решетки и от числа, мощности и взаимного расположения отдельных топологических дефектов в замкнутой решетке. В треугольной и гексагональной решетках М«г = М)1ех = 12, в четырехугольной Мя= 8.

Структуру замкнутой решетки (неориентированный планарный граф решетки порядка И) определяют тип и взаимное расположение дефектов.

Для простейшей характеристики замкнутой решетки мы вводим «индекс» ре-1 шетки, который определяет, какие топологические дефекты и в каком количестве

Таблица 1. Равновесные конфигурации зарядов, соответствующие замкнутым решеткам с индексом, отличным от 12Р, при числе зарядов в кластере 4 < N < 100. Использованы следующие обозначения: ЛГе — число вершин замкнутой решетки, инцидентных е ребрам (е = 3, ...7), — число четырехугольных граней, Ь — индекс замкнутой решетки, в — точечная группа симметрии конфигурации.

N N3 N4 лг5 № к, 0 Ь С

4 4 4Тг Та

5 2 3 2ГгЗГ 1>зл

6 6 6Г Он

7 8 5 8 2 2 5Г2Р 8Р2Р £>51, Ои

9 3 6 ЗТ6Р £>зл

10 2 8 2Т8 Р Он

11 2 8 2Т8Р СIV

13 1 10 ЛОР Сги

18 2 8 8 2Т8Р Оы

19 14 5 1 ПОР СIV

21 1 10 10 Т10Р С: г

24 24 6 6Р О

25 14 11 1 ПОР

33 15 17 1 1 И1ГН Ощ

44 24 20 6 6Р о„

47 14 33 1 ПОР Сщ

48 24 24 6 6Р О

53 18 35 3 ЗГ6Р Сги

59 14 43 2 14Р2Н Сг

70 20 50 4 4Р4Р Аи

71 14 55 2 14Р2Н С2

79 15 63 1 1 П1РН Си,

80 16 64 2 2Р8Р

83 14 67 2 14Р2Н с2

присутствуют в структуре. Ббльшая часть замкнутых треугольных решеток, соответствующих решению проблемы Томсона при числе зарядов N < 100, содержит 12 Р-дисклинаций (топологическая мощность каждой из них равна +1). Однако имеются решетки с другим набором дефектов (см. Табл. 1). Можно отметить появление в отдельных решетках таких дефектов, как ^-дисклинация (четырехугольная грань в треугольной решетке, ее топологическая мощность равна +2), и Я-дисклинация (топологическая мощность равна-1). Образование дисклинацион-ного диполя РН в треугольной решетке эквивалентно образованию дислокации (о дисклинациях и дислокациях в плоской решетке — см., напр., [4]).

Частицы могут быть пронумерованы в различном порядке. Так как частицы одинаковые, одной и той же структуре из N частиц соответствует в общем случае N1 различных способов их нумерации. Чтобы различать между собой изоморфные

и неизоморфные структуры замкнутых решеток, мы вводим «граф топологических дефектов решетки» Со-

Граф дефектов Сд, имеющий порядок Л^о (где Л^б — число дисклинаций в решетке), определяет тип и взаимное расположение дефектов в решетке: каждой вершине графа сопоставляется символическое обозначение соответствующего ей дефекта, а ребрам графа — набор из трех целых чисел (¿,р,по), каждое из которых характеризует взаимное расположение (инвариантное относительно нумераций частиц) двух инцидентных данному ребру дефектов решетки. Величина 11 — это реберное расстояние (длина кратчайшего пути) в графе решетки между данными дефектами, р — число различных путей в графе решетки, которыми это расстояние может быть реализовано, пд — число дефектов (за вычетом двух рассматриваемых дефектов), которые принадлежат данным путям.

Мы показываем, что для проблемы Томсона в рассмотренном диапазоне значений N граф Со однозначно определяет структуру замкнутой решетки, то есть позволяет различать между собой конфигурации, соответствующие всем имеющимся в системе (глобальным и локальным) энергетическим минимумам.

Так как одному и тому же графу дефектов соответствует в общем случае Д'то различных способов нумерации вершин графа, для идентификации структуры целесообразно использовать инварианты графа дефектов — функции на графе, не зависящие от способа нумерации вершин. Инварианты графа дефектов могут быть представлены в следующей форме

/ = а)

где д — произвольная симметричная функция двух аргументов, V* — инварианты вершин графа дефектов вида V* = ^ /гС^), Ли /2 — произвольные функции от значений ребра е^ = (с1,р, пг[). Например, гистограмма /я распределения различных значений ребер е^ графа дефектов является инвариантом графа дефектов.

Структура, являющаяся решением проблемы Томсона при N = 32, описывается следующим значением 1ц в строковом представлении:

32>2.2.0-3013.1.0-3015.30.10-61 (2)

Это означает следующее: в графе дефектов решетки (при числе частиц N = 32) ребра с комбинацией значений (¿,р, пд), равной (2,2,0), встречаются 30 раз, (3,1,0) - 30 раз, (5,30,10) - 6 раз.

Метод идентификации структуры замкнутой решетки с использованием инвариантов графа дефектов решетки применен в задаче о численной генерации структур произвольных фуллеренов Сп (см. ниже).

В общем случае один инвариант или комбинация нескольких инвариантов (в зависимости от размера решетки) однозначно определяют граф дефектов решетки и структуру всей решетки.

В третьей главе предлагается алгоритм генерации структур всевозможных фуллеренов Сп (при различных п). Фрагменты кода на языке программирования С/С++, соответствующие ключевым блокам программы, реализующей данный алгоритм, приведены в Приложении 2. Алгоритм объединяет метод проецирования фуллеренов на плоскую треугольную решетку [5] и описанный во второй главе метод идентификации структуры замкнутой решетки для эффективного выявления изоморфизма полученных структур фуллеренов. Модификация алгоритма позволяет генерировать структуры фуллеренов с заранее заданной симметрией.

Между треугольной и гексагональной решетками на плоскости существует взаимнооднозначное отображение: центры шестиугольников в гексагональной решетке соответствуют узлам треугольной решетки. Подобным образом дуальны друг другу замкнутые треугольная и гексагональная решетки с топологическими дефектами (см. Рис. 3).

Фуллерен Сп произвольной структуры можно «разрезать» определенным образом так, что после проецирования на треугольную решетку плоская «развертка» фуллерена Сп будет представлять собой связный 22-угольник с некоторыми специальными свойствами. Площадь 5'„ такой развертки равна \/3/4 • п, где п — число атомов углерода в молекуле фуллерена. Действуя в обратном направлении, можно «собрать» фуллерен, основываясь на его развертке.

Для нахождения всех изомеров фуллерена Сп необходимо перебрать все возможные развертки, имеющие площадь £„. Так как фуллерен может быть разрезан

Рис. 3. Граф фуллерепа С150 и дуальный ему граф замкнутой треугольной решетки, развернутые на поверхность сферы. Вершины па обратной стороне сферы показаны пустыми кружками; а — граф замкнутой треугольной решетки (У, вершипы-пентамеры имеют на рисунке ббльпшй размер, чем вершипы-гексамеры; Ь — граф С фуллерепа (дуальный С) в той же ориентации; вершины графа б могут быть спроецированы па грани С, и наоборот

с d

Рис. 4. Различные «развертки», соответствующие одному и тому же фуллерену С6о.

Таблица 2. Число (Kjpa) различных (исизоморфиых) фуллеренов Сп с изолированными пятиугольниками, как функция от числа атомов п (60 < п < 150)

п п PR Tl ■flPR

60 1 98 259 126 23589

62,64,66,68 0 100 450 128 30683

70,72,74 1 102 616 130 39393

76 2 104 823 132 49878

78 5 106 1233 134 62372

80 7 108 1799 136 79362

82 9 110 2355 138 98541

84 24 112 3342 140 121354

86 19 114 4468 142 151201

88 35 116 6063 144 186611

90 46 118 8148 146 225245

92 86 120 10774 148 277930

94 234 122 13977 150 335569

96 187 124 18769

многими способами, одному фуллерену соответствует значительное число различных разверток (см. Рис. 4). Необходим эффективный метод исключения разверток изоморфных структур.

Для идентификации структуры произвольного фуллерена Сп мы используем инварианты графа дефектов (1), вычисленные для дуальной данному фуллерену Сп замкнутой треугольной решетки. Например, значение инварианта/я, приведенное выше (2), соответствует структуре классического фуллерена Сео.

Инвариант 1ц неплохо различает структуры фуллеренов Сп в рассмотренном интервале 60 < п < 150: для 1,755,361 различных (неизоморфных) структур Сп с изолированными пятиугольниками из всех возможных пар структур только у 25 совпадают значения инварианта /#. Для вполне однозначной идентификации структуры необходимо использовать комбинацию нескольких инвариантов. В Табл. 2 приведена зависимость числа различных (неизоморфных) фуллеренов Сп с изолированными пятиугольниками от числа атомов п при 60 < п < 150.

Граф дефектов и инварианты графа дефектов достаточно легко могут быть определены на основе развертки фуллерена. Так как большая часть вычислений проводится на целочисленной решетке, предложенный алгоритм численной генерации фуллеренов высоко эффективен.

Определены группы симметрии найденных структур. Развертка фуллерена на

Рис. 5. Фуллерен Сцо с симметрией Ди развернутый на поверхность сферы; вершины, находящиеся па обратной стороне сферы, показаны пустыми кружками; а) — плоскость проекции перпендикулярна оси симметрии Ьз фуллерена; б) - плоскость проекции параллельна оси симметрии ¿5.

Рис. 6. Фуллерен С130 с симметрией А;л; а) — плоскость проекции перпендикулярна оси симметрии ¿5 фуллерена; б) - плоскость проекции параллельна оси симметрии Ь5.

плоскую треугольную решетку содержит информацию обо всех с-связях фуллерена и, таким образом, может быть использована как стартовая точка для квантово-химических расчетов выбранного фуллерена.

Используя развертки со специальными свойствами, можно генерировать структуры фуллеренов с заранее заданным типом симметрии (см. Рис.5,6). Также могут генерироваться незамкнутые структуры наподобие трубок (с заданным индексом хиральности (п, т)) с одним запаянным концом.

В четвертой главе исследованы термодинамические свойства и особенности плавления кластеров со структурой замкнутой квазидвумерной решетки. Рассмотрены две модели: 1) модель, описывающая систему N зарядов, «снежков» или «пузырьков», в сферическом кластере жидкого гелия и 2) система N точечных кулоновских зарядов на поверхности сферы в диапазоне значений 20 < N < 90.

Исследована эволюция механизмов плавления при росте числа частиц N в кластере. Определены равновесные конфигурации зарядов в гелиевом кластере, рассмотрены критерии стабильности заряженного гелиевого кластера.

Кластеры гелия представляют собой уникальную физическую систему. Гелий, находящийся при давлении своего насыщенного пара, не затвердевает при понижении температуры до абсолютного нуля. Таким образом, гелиевые кластеры, экспериментально получаемые при расширении сверхзвуковой струи гелия в вакуум, являются жидкими. Более того, гелиевые кластеры из нескольких десятков и более атомов могут обнаруживать сверхтекучие свойства. Гелиевые кластеры экспериментально получены в широком интервале размеров, от малых кластеров из нескольких атомов до «капель» из 103-т-107 атомов. Это дает возможность использовать их как объект для изучения изменения свойств находящейся в сверхтекучем состоянии системы при уменьшении ее размеров.

Заряды (ионы или электроны), введенные в жидкий гелий, образуют сложные комплексы, состоящие из собственно заряженной частицы и окружающей «шубы» — области гелия, взаимодействующей с зарядом (см., напр., [6]). Поляризационное взаимодействие положительного заряда (катиона) с окружающим гелием приводит к образованию около заряда области повышенной плотности. В центре этой области находится сфера затвердевшего гелия, так называемый «снежок» (snowball). Атом гелия, являясь устойчивой квантовой системой, не присоединяет к себе избыточного электрона на расстояниях порядка боровской орбиты. Электрон, введенный в жидкий гелий, создает в гелии «пузырек» (bubble), локализуясь внутри сферической полости. Эффективные массы «снежка» и «пузырька» известны из экспериментов и составляют, соответственно Ms w (45±2)m4 и А<4 » (243±5)ш4, где тщ — масса атома 4Яе. Радиус «снежка» Ra « (6 -г 7) • Ю-8 см, радиус «пузырька» Rb « (17 -т-18) • 10-8см. Ионы Cl~, F~, I-, характеризующиеся высокой энергией сродства к электрону, формируют «снежки» в гелии, аналогично катиону Не+ [7].

Квантовыми эффектами при взаимодействии между зарядами в гелии можно пренебречь при квТ h2N/m*R2, где кв — постоянная Больцмана, т* и е —

эффективная масса и величина единичного заряда, N — число зарядов в кластере, h — постоянная Планка, a Я — радиус кластера. Кроме того, мы полагаем, что эффективный боровский радиус для зарядов в гелии а* = h2e/m*e2 значительно меньше, чем характерное расстояние между зарядами в кластере а* С RN~1/3.

При компьютерном моделировании многозарядного гелиевого кластера используется следующее приближение. Гелиевый кластер рассматривается как жидкая сферическая капля с диэлектрической проницаемостью жидкого гелия (е = 1.055), точечные кулоновские заряды удерживаются внутри кластера за счет электростатических «сил изображения», обусловленных поляризацией диэлектрической среды. Полная потенциальная энергия системы:

е2

(3)

. г е

i>3

где г, — координата г-ой частицы, 1}ех1{г) — эффективный удерживающий «потенциал изображения»:

Я + г

и-Чг) = ^

Я2 еЯ,

R-r

+ (4)

Я2-г2 2г

где а = (е — 1)/(е + 1) — малый параметр. Таким образом, учитываются взаимодействия всех зарядов друг с другом и взаимодействие каждого заряда со «своим изображением». Взаимодействиями зарядов с «чужими изображенями» при рассматриваемой плотности зарядов можно пренебречь. По форме потенциал (4) напоминает «потенциальный ящик» со скругленными краями: вблизи центра кластера возникает слабый (по сравнению с кулоновским отталкиванием зарядов) удерживающий потенциал ~ ar2, а вблизи поверхности при r/R -» 1 формула (4) переходит в выражение для энергии отталкивания заряда от бесконечной плоской границы диэлектрик—вакуум Uext(r) ~ а/2(1 — г/Я).

Один заряд, находящийся внутри кластера гелия, благодаря «потенциалу изображения» (4), локализуется в центре кластера. При числе зарядов в кластере 2 < N < 100, как показывает компьютерный расчет (использовался метод градиентного спуска с переменной величиной шага), все заряды в равновесии находятся в узком шаровом слое вблизи поверхности кластера, то есть образуют единственную

оболочку. Для описания структуры оболочки зарядов использована рассмотренная в второй главе модель квазидвумерной замкнутой треугольной решетки с топологическими дефектами. Интересно сопоставить данную систему с ионным кластером, находящимся в ловушке Поля и Пеннинга (форма эффективного удерживающего потенциала близка к параболической). В последнем при N = 100 имеется уже несколько оболочек зарядов [16].

К многозарядному гелиевому кластеру (в приближении равномерно размазанного по поверхности сферы заряда С} = еЛГ) применим критерий Рэлея устойчивости заряженной жидкой капли относительно колебаний поверхности |8]:

где а — поверхностное натяжение кластера. Известны эксперименты, показавшие справедливость критерия Рэлея для не слишком малых заряженных микрокластеров с размерами не менее 50 р.тп [9]. В то же время при меньших размерах кластера не исключены другие механизмы распада кластера, например, термический.

В дополнение к критерию (5) можно сформулировать «глобальный» критерий устойчивости ЛГ-зарядного кластера, сравнивая значения полной энергии системы в различных состояниях при условии сохранения в системе количества вещества и заряда. Энергия жидкого ^-зарядного гелиевого кластера радиуса Я складывается из энергии поверхностного натяжения кластера 4хсгЛ2, кулоновской энергии подсистемы зарядов и энергии поляризации (энергии взаимодействия зарядов с зарядами изображения). Причем силы кулоновского отталкивания стремятся «взорвать» кластер, а силы поверхностного натяжения — напротив стремятся уменьшить общую площадь поверхности системы, что при условии сохранения объема означает «собирание» в одну каплю. При распаде ЛГ-зарядного гелиевого кластера наименьшей энергией будет обладать система из N одинаковых однозарядных кластеров меньшего размера. Соответственно, получим критерий устойчивости относительно распада на однозарядные кластеры:

(5)

где км яз - 1). В частности, кю ~ 5.5 и кюо « 17.6.

Для заряженных кластеров, в которых носителями зарядов являются «пузырьки», должно быть выполнено еще одно условие устойчивости системы. Вблизи поверхности кластера (на расстояниях меньших ~ 23А) «пузырек» с электроном внутри нестабилен (из-за значительных вблизи поверхности гелия колебаний потенциальной энергии электрона) и разрушается (см., напр., [10]). Среднее расстояние между зарядами оболочки и поверхностью кластера можно вычислить теоретически (~ ^/aЩW—l)), откуда получим критерий устойчивости для гелиевого кластера с N «пузырьками» внутри:

Д-> 200-ч/ЛГ^Т,[А] (7)

В задаче о зарядах в гелиевом кластере использованы безразмерные величины г<-г/Я, Е^Е-еН/е2, Т квТ ■ еЯ/ е2. (8)

Для моделирования системы при конечной температуре использован метод Монте-Карло (МК) с классической процедурой Метрополиса: выполняется случайный пробный шаг (используется два типа случайных шагов, см. ниже), если энергия системы в результате этого шага понизилась, то шаг принимается, в противном случае выбрасывается случайное число р с равномерным распределением в интервале от нуля до единицы. Если е~'Д£'/т > р, где АЕ — изменение энергии системы в результате пробного шага, а Т — температура системы, то шаг принимается.

Трудность моделирования термодинамики мезоскопических систем состоит в том, что они обладают большим числом локальных минимумов, отделенных друг от друга относительно высокими энергетическими барьерами. Как следствие, при использовании только случайных сдвигов частиц вероятность попасть из одного локального минимума в другой низка. Для того, чтобы более эффективно обеспечить правильное распределение системы по состояниям, соответствующее всему конфигурационному пространству системы при данной температуре, наряду со случайным сдвигом случайно выбранной частицы (шаг «I»), мы вводим в модель

А О

А. 5

С в

Рис. 7. Шаг «топологическая перестановка» при расстоянии между дефектами <1 = 3. До шага топологические дефекты находятся в узлах решетки А и В, после шага — в узлах решетки С и О, остальные узлы — нормальные узлы решетки как до, так и после шага.

еще один тип случайного движения (шаг «II»), Локальные минимумы системы зарядов в гелиевом кластере соответствуют различному положению топологических дефектов в замкнутой треугольной решетке. Шаг «II» (который логично назвать «топологическая перестановка») соответствует прямому переходу системы зарядов из области одного локального минимума — в область другого.

Принцип шага «топологическая перестановка» удобно рассмотреть на примере графа (см. Рис. 7). В реальной системе, такой, как многозарядный гелиевый кластер, узлам графа представляющего замкнутую треугольную решетку соответствуют частицы, и рассмотренная операция на графе соответствует реальному изменению положения частиц в пространстве (см. Рис. 8). Шаг «II» определен таким образом, чтобы выполнялось правило микроскопической обратимости, то есть, при конфигурации зарядов X вероятность выброса пробной конфигурации У равна вероятности выброса пробной конфигурации X из конфигурации У.

Как показывает моделирование, при нагреве заряды остаются внутри шарового слоя вблизи поверхности гелиевого кластера вплоть до температур, значительно превышающих температуру плавления решетки. С увеличением безразмерной температуры ширина оболочки, образуемой зарядами, в несколько раз увеличивается, но при этом оболочка остается очень узкой. Например, в кластере из N = 32 зарядов при Т = 0.2 (замкнутая треугольная решетка плавится при Т » 0.0065) ширина сферической оболочки составляет Д/г и 0.002 относительных единиц. Таким образом, на всем интервале рассматриваемых параметров мы имеем дело с

Рис. 8. Шаг «топологическая перестановка» в замкнутой треугольной «решетке», образуемой зарядами в гелиевом кластере. Изображен кластер с числом зарядов N = 32. До этого шага пснтамсры находились в узлах 29 и 22, после шага пентамеры находятся в узлах 30 и 3. Реберное расстояние между пентамерами - участниками шага не изменилось в результате шага: ¿зо,з =

¿29,22 = 2.

квазидвумерной системой зарядов внутри трехмерного гелиевого кластера.

Проведено моделирование кластера точечных кулоновских зарядов на поверхности сферы при конечной температуре Т при числе зарядов 20 < N < 90. Используется метод Монте-Карло с классической процедурой Метрополиса. Случайный пробный шаг:

г?+ь т

|г? + Ъ|'

где г — случайно выбранный индекс частицы, Ь — случайный вектор, абсолютное значение |Ь| подбирается таким образом, чтобы число успешных шагов Метрополиса во время расчета составляло 20-80% от общего числа случайных шагов. При каждом значении температуры перед началом измерений система «отжигается». Число случайных шагов Метрополиса между двумя точками измерений (500 ч- 5000) подбирается таким образом, чтобы избежать корреляции между значениями измеряемой величины (времена корреляции для различных величин могут отличаться).

Для определения ошибки вычисляемых средних вдоль траектории выбирается к = 10 блоков по 1000 точек измерения в каждом блоке. (Таким образом, каждая температурная точка рассчитывается в течение 5• 1064-5• 107 шагов Метрополиса.) Вычисляется среднее значение в каждом блоке г — (Л);, где г = 1 ..к. Ошибка

вычисления средней величины (А) определяется как

Егг =

При моделировании системы методом МК в ходе последовательного случайного движения частиц возникает поворот системы как целого. Мы исключаем такой поворот (это важно, например, для определения случайных смещений частиц относительно фиксированных узлов «кристаллической» решетки), для чего перед каждым измерением делается компенсирующий поворот системы

г? — координаты частиц в текущий и в начальный момент времени, соответственно. Угол компенсирующего поворота определяется из условия равенства нулю (после компенсирующего поворота) среднего поворота частиц относительно их начального положения в плоскости перпендикулярной П.

Вычисляемые величины. При моделировании системы при каждом значении безразмерной температуры Т вычисляются следующие величины:

1) Средняя по траектории потенциальная энергия системы (Еро<):

где г; — радиус-вектор 1-й частицы, Е0 — энергия глобального минимума системы при данном значении N.

2) Среднеквадратичные и абсолютные смещения частиц, Квазидвумерная замкнутая решетка на поверхности сферы из-за присутствия топологических дефектов не обладает свойством трансляционной инвариантности. Таким образом, отре-лаксированная решетка не имеет периода в строгом смысле. Одним из характерных расстояний в данном случае является величина рт\п ~ минимальное расстояние между зарядами в кластере при данном N в равновесной конфигурации. В качестве характеристики масштаба тепловых движений частиц мы вводим аналог

= П • Г;,

(П)

где П — матрица поворота. Ось компенсирующего поворота П ~ £ [г»>г?] > гДе Ъ и

(12)

параметра Линдемана для замкнутой квазидвумерной треугольной решетки 8ь:

Ь = (и ?>/р2т1ш (13)

где и^ = гI — г? — смещение г-ой частицы из начального положения, после исключения поворота системы как целого — см. (11).

Вычисляются также усредненные по времени среднее и максимальное по ансамблю абсолютные смещения частиц — (и) и («мах), а также их дисперсии.

Поскольку в рассматриваемой системе частицы движутся по поверхности единичной сферы, смещения частиц всегда ограничены: |и<| < 2. В случае расплавленного состояния кластера оценку среднего абсолютного смещения частиц получаем, предполагая равномерное распределение векторов г,- по поверхности сферы. Интегрирование дает (|и;|) = 4/3.

3) Среднее число дислокаций Ир в замкнутой решетке. При отсутствии других дефектов, число дислокаций в решетке равно числу дисклинационных диполей РН (см. Главу 2), то есть Ир = И7, где — число гептамеров в замкнутой треугольной решетке. Однако при высоких температурах в решетках могут появляться сложные конфигурации дефектов, поэтому определим Ир как

Ир = И7 + 2ЛГ8 + ЗИд, (14)

где Ик — число частиц в решетке, имеющих к частиц-соседей. Появление дефектов со значением к > 9 (что соответствует топологической мощности дефекта т > 3) крайне маловероятно при рассматриваемых температурах.

Макроскопическая двумерная решетка плавится при образовании в системе свободных дислокаций [11]. При этом ц — модуль сдвига решетки —• обращается в ноль. Интересно сравнить поведение макроскопической истинно двумерной системы и рассматриваемой мезоскопической квазидвумерной системы.

Как показывают результаты расчетов, фазовый переход между низкотемпературной и высокотемпературной фазами в рассматриваемой системе размыт. Зависимость средней энергии системы (12) от безразмерной температуры не имеет особенностей в области плавления. Плавлению замкнутой решетки соответствует

Temperature, ["I0"4]

Рис. 9. Зависимость абсолютных смещений (Я), (и^лх), тах({имлх}) от температуры в кластере N = 27.

перемещение топологических дефектов (дисклинаций) внутри решетки. Плавление замкнутой решетки происходит в конечной области температур (область АВ на Рис. 9) и сопровождается резким ростом среднеквадратичных и абсолютных смещений. На Рис. 10 представлена зависимость параметра Линдемана 5i (13) от температуры кластера Т при количестве зарядов в кластере N = 43 -j- 48.

На Рис. 11 показана зависимость температуры плавления кластера от числа зарядов в кластере N. На врезках для двух диапазонов значений N (20 -г 26 и 43 -г 48) с бблыпим разрешением приведены графики для температуры начала плавления и для температуры, соответствующей середине переходной области.

Общий тренд: рост температуры плавления с увеличением поверхностной плотности кулоновского заряда. Имеются значения N («магические числа»), при которых температуры плавления решеток резко (иногда — на порядок) выше, чем температуры плавления решеток при близком числе зарядов. Можно выявить определенную зависимость между данным качеством особой «тугоплавкости» и точечной группой симметрии, описывающей основное состояние системы. Всем (в данном

ТетрагаЬ1ге, 0"*]

Рис. 10. Зависимость параметра Липдемана 6ь от температуры кластера Т при количестве зарядов в кластере N = 434-48. Для каждого значения N приводится точечная группа симметрии равновесной конфигурации.

Рис. И. Зависимость температуры плавления Тт замкнутой решетки от числа зарядов в кластере N.

Рис. 12. Число дислокаций ЛГд в точке плавления Тт замкнутой решетки в зависимости от числа зарядов в кластере N (20 < N < 90).

диапазоне значений /V) аномально «тугоплавким» системам соответствуют высокие группы симметрии: например, //, ^ = 32), I (72), Тд (40), Аи (50), (42), ■Озл (39, 41), 1)5 (77), Д^ (80). В то же время обратное неверно: высокая группа симметрии не гарантирует высокую температуру плавления, например, системы при N = 29,45 (группа £>з), при N = 48 (О), при N = 78 (Г/,) не относятся к тугоплавким.

В макроскопической двумерной решетке, в зависимости от параметров межчастичного потенциала [12], разрушение низкотемпературной фазы (квазидальнего трансляционного порядка) может происходить по различным схемам: в два этапа с образованием гексатической фазы с квазидальним ориентационным порядком при промежуточных температурах [13], в один этап как фазовый переход 1-го рода [14, 15]. В рассматриваемой же здесь мезоскопической замкнутой квазидвумерной системе в низкотемпературной фазе отсутствует ориентационный порядок (из-за наличия в решетке топологических дефектов — дисклинаций), таким образом снимается вопрос о двухэтапном плавлении с последовательным разрушением упорядоченности.

На Рис. 12 показано среднее число дислокаций (N0) (14) при температуре

а)

б)

в)

г)

Рис. 13. Поворот «кольца» из шести зарядов в кластере ТУ = 32 без образования дислокаций в замкнутой решетке. При повороте происходит перемещение топологических дефектов внутри решетки. Частица А в положении а) — нормальный узел решетки, в положении б) — дискли-нация тп = +1 (пентамер), в положениях в) и г) — нормальный узел решетки. Ось поворота кольца совпадает с осью симметрии 3-го порядка — структура замкнутой решетки, определяемая расположением топологических дефектов внутри решетки, не изменяется при повороте на угол 27гп/3, п = 1,2...

плавления решетки в зависимости от числа зарядов в кластере N.

При «малых» N (Ы < 32) решетка плавится без участия дислокаций (дис-клинационных диполей), и жидкая фаза при достаточно высоких температурах не содержит дислокации. Например, при N = 32 температура плавления решетки Тт = 6.5 • Ю-3, но (Агд)(Т) = 0 вплоть до температур ~ 1.2 • Ю-2. Подчеркнем, что для плавления макроскопической двумерной плоской решетки появление свободных дислокаций является необходимым условием.

Кооперативное ротационное движение «колец» частиц — один из возможных путей бездислокационного плавления замкнутой решетки (Рис. 13). В отличие от двумерных кластеров в центрально-симметричных удерживающих потенциа-

лах [16, 17], в данной системе ось «ориентационного плавления» заранее никак не выделена, и поворот «колец» зарядов может происходить вокруг множества различных осей.

Заметное число дислокаций в окрестности точки плавления начинает появляться в решетках при N > 50. Исключение: кластер при N = 33, в структуре которого содержится дислокация уже при Т = 0 (индекс решетки равен FllРН — см. Главу 2). В этом смысле можно говорить о том, что рассматриваемая система при N « 50 начинает приобретать макроскопические свойства (переход к дислокационной модели плавления). В то же время эффекты конкретной структуры играют значительную роль во всем диапазоне рассмотренных значений 20 < N < 90. Об этом можно судить по существенно немонотонным зависимостям Тт{Ы) и = Тп).

Основные результаты диссертации, приведенные в Заключении, можно сформулировать следующим образом:

1. Разработан метод описания структуры замкнутых квазидвумерных решеток с топологическими дефектами, применимый к широкому классу объектов, таких как фуллерены, кластеры отталкивающихся частиц в ловушках, сферические вирусы, многозарядные гелиевые кластеры и др.

В многооболочечных системах, таких как углеродные «луковицы» или много-оболочечные системы ионов в ловушках, квазидвумерная замкнутая решетка с топологическими дефектами описывает структуру отдельных оболочек.

Исследованы свойства замкнутых решеток, разработаны способы классификации и кодировки структур различных замкнутых решеток.

2. Дана классификация конфигураций точечных зарядов на сфере, соответствующих решению проблемы Томсона при числе частиц N = 4 -г-100, охарактеризованы типы дефектов, встречающихся в решетках. Определены энергия, группы симметрии, дипольные и квадрупольные моменты конфигураций.

3. Разработан и реализован эффективный алгоритм численной генерации струк-

тур фуллеренов Сп (ст-связи задают ребра замкнутой гексагональной решетки). Для исключения изоморфных структур определяется граф дефектов замкнутой решетки. Найдены все возможные структуры фуллеренов Сп и соответствующие им «развертки» на плоскую решетку при п < 150. Число К(п) неизоморфных изомеров С„ резко возрастает с п, например, для фуллеренов с изолированными пятиугольниками Kjpr(150) ~ 105, при том, что Kipr(60) = 1. Определены группы симметрии найденных структур.

Модификации алгоритма позволяют избирательно «строить» фуллерены опре деленных групп симметрии, а также незамкнутые структуры, наподобие запаянных с одной стороны трубок с заданным индексом хиральности (п,т).

Результаты применимы также к кластерам кремния Sin.

4. С использованием теоретических методов и компьютерного моделирования исследованы процессы кристаллизации и плавления подсистемы из 1 < N < 100 зарядов («снежков» или «пузырьков») в кластере гелия в зависимости от безразмерного параметра Т <~ TR, где Т — внутренняя температура кластера, R — радиус кластера. Показано, что многозарядный гелиевый кластер стабилен в широком диапазоне управляющих параметров.

Один заряд, помещенный в гелиевый кластер, удерживается в центре; при N = 2 -i-100 заряды образуют единственную оболочку вблизи поверхности кластера. Детально описана структура оболочки.

5. Плавление в системе N зарядов на сфере существенно зависит от структуры решетки, определяемой взаимным расположением топологических дефектов.

Существуют «магические числа» — значения N (напр., N = 32, 39 ч- 42, 50, 67, 72, 77, 80), при которых температура плавления кластеров существенно (иногда — на порядок) выше, чем при соседних значениях N. Всем «аномально тугоплавким» системам соответствуют высокие группы симметрии (I, Ih, T¿, D6r¡, В то же время обратное неверно: имеются системы

с высокой группой симметрии в основном состоянии, но относительно легко

плавящиеся.

6. Кластер зарядов на поверхности сферы при «малых» N (N < 32) плавится без участия дислокаций — дисклинационных диполей. Отсутствие дислокаций существенно отличает «мезожидкость» из зарядов на сфере от двумерной жидкости на плоскости.

Заметное число дислокаций в окрестности точки плавления появляется в системах при числе зарядов N > 50. С повышением температуры число дислокаций в жидкой фазе возрастает. Так с увеличением N мезосистема приобретает некоторые макроскопические свойства.

7. Изучен бездислокационный механизм плавления кластера частиц на поверхности сферы, связанный с кооперативным ротационным движением «колец» из зарядов.

Публикации по теме диссертации:

1. А.М. Livshits, Yu.E. Lozovik, Coulomb Clusters on a sphere: topological Classification. Chem.Phys.Lett., 314, 577-583 (1999).

2. А.М. Лившиц, Ю.Е. Лозовик, Квазидвумерные кристаллические кластеры на сфере: метод топологического описания, Кристаллография, 47, N2, 214-223 (2002).

3. А.М. Лившиц, Ю.Е.Лозовик, Алгоритм развертки для численной генерации и записи фуллеренов, ФТТ, 45, выпуск 7, 1339-1342 (2003).

4. А.М. Livshits and Yu.E. Lozovik, Cut-and-Unfold Approach to Fullerene Enumeration, J.Chem.Inf.Comp.Sci., 44, No. 5, 1517-1520 (2004).

5. А.М. Лившиц и Ю.Е. Лозовик, Кристаллизация и плавление системы зарядов в кластере жидкого гелия, ЖЭТФ, 132, No. 3, 647-665 (2007)

6. А.М. Лившиц и Ю.Е. Лозовик, «Магические числа» при плавлении кластера точечных зарядов на поверхности сферы, ЖЭТФ (отправлено в печать, 2010)

Литература

[1] Г.Н.Макаров. УФН 178, 337-376 (2008).

[2] S.Grebenev, J.P.Toennies, A.F.Vilesov. Science 279, 2083-2085 (1998).

[3] Б.С.Думеш, А.В.Потапов, Л.А.Сурин. УФН 179, 317-321 (2009).

[4] В.А. Лихачев, Р.Ю. Хайров. Введение в теорию дисклинаций. Издательство Ленинградского университета. Ленинград, 1975, 183 стр.

[5] М. Yoshida and Е. Osawa. Bull. Chem. Soc. Jpn., 68 2073-2081 (1995).

[6] В.Б. Шикин, Ю.П. Монарха. Двумерные заряженные системы в гелии. М.: Наука, 1989, 158 стр.

[7] А.Г. Храпак. Письма в ЖЭТФ 86, №4, 282-285 (2007).

[8] Lord Rayleigh. Philos. Mag. 14, 184-6 (1882).

[9] D.Duft, H.Lebius, and B.A.Huber, C.Guet, T.Leisner, Phys.Rev.Lett,89,084503-4 (2002).

[10] F. Ancilotto, F. Toigo, Z. Phys. В 98, 309-313 (1995).

[11] F.R.N. Nabarro. Theory of of Crystal Dislocations. Clarendon Press. Oxford, 1967, p. 821.

[12] B.H. Рыжов, E.E. Тареева, ЖЭТФ. 108, N6, 2044-2060 (1995)

[13] B.I. Halperin, D.R. Nelson. Phys.Rev.B. 19, N5, 2457-2484 (1979).

[14] S.W. Koch and F.M. Abraham. Phys.Rev.B. 27, N5, 2964-2979 (1983).

[15] S.T. Chui. Phys.Rev.B. 28, 933-935 (1983).

[16] Yu.E. Lozovik and V.A. Mandelshtam, Phys. Lett. A 145, 269-271 (1990); 165, 4G9-472 (1992).

[17] Yu.E. Lozovik, E.A. Rakoch. Phys. Rev. B, 57, 1214-1225 (1998).

Подписано в печать 10.02.2010. Формат 60x84/16. Печ. л. 1. Заказ 4127. Тираж 100 экз. Отпечатано с готового оригинал-макета Типография ООО «ТРОВАНТ». ЛР№ 071961 от 01.09.99. 142191, г. Троицк Московской обл., м-н «В», д.52. Тел. (495) 775-43-35, (4967) 51-09-67, 50-21-81

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Лившиц, Алексей Михайлович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

1.1. «Пятое состояние материи». Актуальность исследования кластеров

1.1.а) Гелиевый кластер, заряженные частицы в гелии.

1.2. Структурные особенности кластеров.

1.2.а) Проблема Томсона.

1.2.6) Фуллерены (кодировка, симметрия, численный поиск структур).

1.3. Фазовые переходы в двухмерных системах и в кластерах.

1.3.а) Переход Березинского-Костерлица-Таулеса. Теория KTHNY и др. 31 1.3.6) Особенности фазовых переходов в мезоскопических системах.

Главная — отсутствие особенностей.

ГЛАВА 2. ПРОБЛЕМА ТОМСОНА И ЕЕ ФИЗИЧЕСКИЕ РЕАЛИЗАЦИИ В МЕЗОСКОПИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ. ОСОБЕННОСТИ «КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ»

КЛАСТЕРОВ

2.1. Введение

2.2. Проблема Томсона и ее физические реализации.

2.2.а) Компьютерный расчет равновесной структуры кластеров с замкнутой оболочкой.

2.2.6) Решение проблемы Томсона: особенности конфигураций зарядов.

2.2.в) «Замкнутая треугольная решетка с топологическими дефектами». Свойства. Номенклатура структур, граф дефектов, инварианты.

2.3. Четырехугольная и гексагональная «замкнутые решетки». Их свойства.

2.4. Физические реализации «замкнутых решеток».

2.5. Выводы.'.

ГЛАВА 3. НАНОСТРУКТУРЫ Сп, Sin. ЧИСЛЕННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СТРУКТУР ФУЛЛЕРЕНОВ И ЗАПАЯННЫХ ТРУБОК

3.1. Введение

3.2. Развертки фуллеренов и запаянных трубок на плоскую решетку

3.2.а) Возможные физические реализации разверток.

3.3. Численные алгоритмы: генерация структур, исключение изоморфных структур, симметрия.

3.3.а) Генерация всех возможных структур и структур со специальными свойствами

3.3.б) Исключение изоморфных структур.

3.3.в) Симметрия найденных замкнутых структур.

3.4. Результаты расчетов для числа атомов п <

3.5. Выводы.

ГЛАВА 4. ОСОБЕННОСТИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. КУЛОНОВСКИЕ КЛАСТЕРЫ ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ

4.1. Введение

4.2. TV-зарядный жидкий гелиевый кластер. N ~ 100.

4.2.а) Эффективный удерживающий «потенциал изображения».

4.2.6) Кристаллизация системы точечных зарядов в гелиевом кластере.

Анализ.

4.2.в) Кристаллизация системы точечных зарядов в гелиевом кластере.

Компьютерный расчет.

4.2.г) «Замкнутая решетка» зарядов в гелиевом кластере.

4.2.д) Стабильность заряженного гелиевого кластера.

4.3. Компьютерное моделирование кулоновского кластера при конечных температурах.

4.3.а) Расчет методом Монте-Карло.

4.3.6) Локальные минимумы и случайный шаг «топологическая перестановка».

4.3.в) Вращение оболочки зарядов.

4.3.г) Измеряемые величины.

4.4. Кулоновский кластер при конечных температурах. Результаты компьютерного моделирования.

4.4.а) Оболочка зарядов в гелиевом кластере не разрушается.

4.4.6) Плавление замкнутой решетки. «Магические числа».

4.4.в) Эволюция механизмов плавления с ростом числа частиц.

4.5. Другие системы

4.6. Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Структура кристаллического состояния и фазовые переходы в мезоскопических системах"

Характерное для последнего десятилетия стремительное развитие нанотехнологии, создание приборов сверхмалых размеров с заданными электрическими и механическими свойствами должно привести к обновлению и усовершенствованию всей элементной базы наноэлектроники и оптоэлектроники. Благодаря тому, что кластеры (компактные агрегации из десятков или сотен частиц) могут сохранять свою индивидуальность внутри макроскопических объектов, стало возможным проектировать создание материалов с уникальными свойствами.

Фуллерены и другие кластерные структуры на основе квазидвумерной углеродной решетки рассматриваются как возможная база наноэлектронных технологий. В частности, возможно использование «стручковых» углеродных структур (нанотрубка с перемещаемым фуллереном внутри) при создании нанопереключателей, а системы «фуллерен между двумя нанотрубками» как нановариометра с изменением сопротивления системы на несколько порядков при небольшом повороте нанотрубки относительно фуллерена. Фуллерены находят применение в качестве масок высокого качества при фотохимическом травлении в процессах изготовления наноструктур. Далее, поскольку первый (возбужденный) триплетный уровень молекулы фуллерена почти j резонансен метастабильному синглетному уровню молекулы кислорода, возможно использование фуллерена как сенсибилизатора при проведении фотохимических реакций с выходом синглетного кислорода. Поэтому фуллерены перспективны для применения в фотодинамической терапии. Фуллерены являются исходными элементами для молекулярного дизайна, создания новых материалов с уникальными свойствами, таких, например, как сверхтвердые материалы, полученные полимеризацией фуллеренов, новые сверхпроводящие материалы и т. п. В связи с этим важное теоретическое и прикладное значение имеет задача нахождения возможных изомеров фуллереиа Сп.

Кремний, являющийся полупроводником, широко используется в микроэлектронике, в частности, служит основой микрочипов и т.д. В связи с имеющейся тенденцией к уменьшению элементарных транзисторов, моделирование наноструктур кремния, включая замкнутые кластеры Sin, является важной прикладной задачей.

Гелиевый кластер является уникальной системой для исследования. Гелий не затвердевает при давлении своего насыщенного пара при охлаждении до абсолютного нуля. Таким образом, экспериментально получаемые при расширении сверхзвукового пучка в вакуум гелиевые кластеры являются жидкими. Имеются теоретические оценки, согласно которым гелиевые кластеры из нескольких десятков и более атомов должны обнаруживать сверхтекучие свойства при температуре Т < 1.9К. В то же время внутренняя температура гелиевых кластеров составляет Т ~ 0.3 -т- 0.4К (см., напр., [1]). Проведены эксперименты (см., напр., [2, 3]), подтверждающие наличие свертекучести в малых гелиевых кластерах. Так как гелиевые кластеры могут быть получены экспериментально в широком диапазоне размеров, от небольших кластеров из нескольких атомов до «капель» из 103 -г- 107 атомов, на их основе может быть прослежена эволюция свойств находящейся в сверхтекучем состоянии конечной системы в зависимости от ее размеров. Заряженные гелиевые кластеры могут быть получены экспериментально, а их свойства представляют существенный интерес для физики низкоразмерных систем, в частности, для анализа возникновения сверхтекучести в наноразмерных кластерах.

В диссертации теоретически, в том числе с использованием компьютерного моделирования, проведено исследование многозарядного гелиевого кластера. Получены критерии стабильности кластера, рассмотрены процессы кристаллизации и плавления подсистемы зарядов («снежков» или «пузырьков») внутри гелиевого кластера в зависимости от температуры и размеров кластера при числе зарядов N < 100. При N > 4 кристаллизация соответствует образованию квазидвумерной замкнутой треугольной решетки из заряженных частиц вблизи сферической поверхности жидкого гелиевого кластера.

Кластеры обнаруживают «промежуточные» свойства, которые не характерны ни для микроскопических, ни для макроскопических тел. Поэтому кластеры (мезоскопические объекты) иногда относят к «пятому состоянию материи» в дополнение к твердому, жидкому, газообразному и плазменному.

Теоретическая трактовка термодинамического состояния и фазовых переходов в мезоскопических системах затруднена рядом причин. К мезоскопическим системам не применима макроскопическая термодинамика из-за невозможности аккуратно разделить поверхностные и объемные свойства. С другой стороны, обычные расчетные методы квантовой химии нельзя применить к системам, состоящим из сотен атомов, без использования упрощающих допущений, справедливость которых не может считаться бесспорной. Компьютерное моделирование ряда двумерных и трехмерных кластеров выявило ряд особенностей, таких, как «ориентационное плавление» в оболочечных кластерах.

В диссертации рассматриваются фазовые переходы и термодинамические свойства мезоскопической системы в модели многозарядного гелиевого кластера и в более общей модели системы точечных зарядов на поверхности сферы. Выявлен феномен «магических чисел» — значений числа частиц N, при которых температура плавления мезоскопической системы значительно (иногда — на порядок) выше температур плавления такой же системы при ближайших значениях числа частиц. Прослеживается эволюция механизмов плавления мезоскопической системы при изменении числа частиц в системе.

• найти решеиия проблемы Томсона (для точечных зарядов на поверхности сферы) в мезоскопической области и определить значимые характеристики конфигураций;

• разработать методы описания и топологической классификации квазидвумерных наноструктур;

• разработать компьютерные методы поиска всех возможных структур фуллеренов Сп и замкнутых кластеров Sin (при разных п), разработать методы нотации (кодировки) этих структур;

• исследовать теоретически и с применением компьютерного моделирования многозарядный кластер жидкого гелия, в том числе исследовать процессы кристаллизации и плавления подсистемы зарядов (снежков или пузырьков) внутри кластера;

Защищаемые положения

• Разработан метод описания структуры замкнутых квазидвумерных решеток с топологическими дефектами, применимый к широкому классу объектов, таких как фуллерены, кластеры отталкивающихся частиц в ловушках, сферические вирусы, многозарядные гелиевые кластеры и др.

В многооболочечных системах, таких как углеродные «луковицы» или многооболочечные системы ионов в ловушках, квазидвумерная замкнутая решетка с топологическими дефектами описывает структуру отдельных оболочек.

• Дана классификация конфигураций точечных зарядов на сфере, соответствующих решению проблемы Томсона при числе частиц N = 4 -т-100, охарактеризованы типы дефектов, встречающихся в решетках. Определены энергия, группы симметрии, дипольные и квадрупольные моменты конфигураций.

• Разработан и реализован эффективный алгоритм численной генерации структур фуллеренов Сп (<т-связи задают ребра замкнутой гексагональной решетки). Для исключения изоморфных структур определяется граф дефектов замкнутой решетки. Найдены все возможные структуры фуллеренов Сп и соответствующие им развертки» на плоскую решетку при п < 150. Число К(п) неизоморфных изомеров Сп резко возрастает с ti, например, для фуллеренов с изолированными пятиугольниками .Kipr(150) ~ 105, при том, что -Kipr(60) = 1. Определены группы симметрии найденных структур.

Модификации алгоритма позволяют избирательно «строить» фуллерены определенных групп симметрий, а также незамкнутые структуры, наподобие запаянных с одной стороны трубок с заданным индексом хиральности (п,т).

Результаты применимы также к кластерам кремния Sin.

• С использованием теоретических методов и компьютерного моделирования исследованы процессы кристаллизации и плавления подсистемы из 1 < N < 100 зарядов («снежков» или «пузырьков») в кластере гелия в зависимости от безразмерного параметра Т ~ TR, где Т — внутренняя температура кластера, R — радиус кластера. Показано, что многозарядный гелиевый кластер стабилен в широком диапазоне управляющих параметров.

Один заряд, помещенный в гелиевый кластер, удерживается в центре; при N — 2 100 заряды образуют единственную оболочку вблизи поверхности кластера! Детально описана структура оболочки.

• Плавление в системе N зарядов на сфере существенно зависит от структуры решетки, определяемой взаимным расположением топологических дефектов.

Существуют «магические числа» — значения А'" (напр., N = 32, 39-^42, 50, 67, 72, 77, 80), при которых температура плавления кластеров существенно (иногда — на порядок) выше, чем при соседних значениях N. Всем «аномально тугоплавким» системам соответствуют высокие группы симметрии (/, Д, Т^, Dqj, D3^.). В то же время обратное неверно: имеются системы с высокой группой симметрии в основном состоянии, но относительно легко плавящиеся.

• Кластер зарядов на поверхности сферы при «малых» N (N < 32) плавится без участия дислокаций — дисклинационных диполей. Отсутствие дислокаций существенно отличает «мезожидкость» из зарядов на сфере от двумерной жидкости на плоскости.

• Изучен бездислокационный механизм плавления кластера частиц на поверхности сферы, связанный с кооперативным ротационным движением «колец» из зарядов.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Основные результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать следующим образом:

2. Дана классификация конфигураций точечных зарядов на сфере, соответствующих решению проблемы Томсона при числе частиц N = 4 -h 100, охарактеризованы типы дефектов, встречающихся в решетках. Определены энергия, группы симметрии, дипольные и квадрупольные моменты конфигураций.

3. Разработан и реализован эффективный алгоритм численной генерации структур фуллеренов Сп (сг-связи задают ребра замкнутой гексагональной решетки). Для исключения изоморфных структур определяется граф дефектов замкнутой решетки. Найдены все возможные структуры фуллеренов Сп и соответствующие им «развертки» на плоскую решетку при п < 150. Число К(п) неизоморфных изомеров Сп резко возрастает с ть) например, для фуллеренов с изолированными пятиугольниками 7^ipr(150) ~ 105, при том, что Ajpr(60) = 1. Определены группы симметрии найденных структур.

Результаты применимы также к кластерам кремния Sin.

4. С использованием теоретических методов и компьютерного моделирования исследованы процессы кристаллизации и плавления подсистемы из 1 < N < 100 зарядов («снежков» или «пузырьков») в кластере гелия в зависимости от безразмерного параметра Т ~ TR, где Т — внутренняя температура кластера, R — радиус кластера. Показано, что многозарядный гелиевый кластер стабилен в широком диапазоне управляющих параметров.

Один заряд, помещенный в гелиевый кластер, удерживается в центре; при N ~ 2 -i- 100 заряды образуют единственную оболочку вблизи поверхности кластера. Детально описана структура .оболочки.

Существуют «магические числа» — значения N (напр., N = 32, 39-^-42, 50, 67, 72, 77, 80), при которых температура плавления кластеров существенно (иногда — на порядок) выше, чем при соседних значениях N. Всем «аномально тугоплавким» системам соответствуют высокие группы симметрии (/, Д., Т^, D^ D^.). В то же время обратное неверно: имеются системы с высокой группой симметрии в основном состоянии, но относительно легко плавящиеся.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Ю.Е.Лозовику — за мудрое руководство, коллегам по работе — за ценные обсуждения, сотрудникам библиотеки — за помощь при подборе литературы, родителям — за поддержку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведено исследование, как теоретическое, так и с применением компьютерного моделирования, различных мезоскопических систем, среди которых углеродные замкнутые кластеры, кулоновские кластеры на сфере и в удерживающих потенциалах.

Получены предсказания для модели многозарядного кластера жидкого гелия (с зарядами формирующими «снежки» или «пузырьки»), касающиеся кристаллизации и плавления подсистемы зарядов внутри жидкого кластера. Дальнейшие экспериментальные исследования в данном направлении представляются весьма актуальными, в частности, для построения теории сверхтекучести мезоскопических систем.

Исследование плавления мезоскопической квазидвумерной системы, — замкнутой квазидвумерной треугольной решетки из N зарядов, — показало существенное различие в механизмах плавления мезоскопической системы при малых и относительно больших N. В частности, как оказалось, при малых N замкнутая треугольная решетка может плавится вообще без участия дислокаций (дисклинационных диполей), что существенно отличает ее от макроскопической двумерной системы. При увеличении числа зарядов N в системе роль дислокаций при плавлении решетки зарядов повышается, однако, в рассмотренном диапазоне значений N < 100 структура основного состояния замкнутой решетки может кардинально меняться при переходе от значения N к N+1, таким образом, и зависимость среднего числа дислокаций в точке плавления от числа зарядов, и зависимость температуры плавления решетки от числа зарядов являются существенно немонотонными.

Исследованный механизм бездислокационного плавления замкнутой решетки, — кооперативное ротационное движение частиц (частицы некоторое время совершают колебания вблизи одного из минимумов, затем происходит переход в область другого минимума, при этом кольцо частиц проворачивается вокруг оси, колебания вблизи нового минимума и т. д), — имеет параллели с ориентационным плавлением, которое было найдено ранее для ряда двумерных и трехмерных кластеров. Но есть ряд отличий. В трехмерных кластерах ориентационным плавлением названо вращение квазидвумерных концентрических оболочек частиц друг относительно друга. В данном случае имеется только одна квазидвумерная сферическая оболочка, и «ориентационное плавление» частиц существует внутри этой квазидвумерной оболочки. Таким образом, есть аналогия с двумерным кластером, но в отличие от последнего в данной системе ось ориентационного плавления никак не выделена (в двумерном кластере ось ориентационного плавления — это ось центрально-симметричного удерживающего потенциала), тем самым поворот колец частиц может происходить вокруг множества различных осей.

В настоящее время известно и экспериментально наблюдается большое число мезоскопических объектов самой разной природы, объединенных следующим общим свойством: с топологической точки зрения они могут рассматриваться как набор точек, распределенных на поверхности сферы. К таким объектам относятся кластеры из частиц, взаимодействующих по различным законам (напр., кулоновскому, дипольному), атомные кластеры, многоатомные молекулы, фуллерены, сферические вирусы и т.д. Предлагается рассматривать подобные структуры в рамках единого подхода, а именно, как «квазидвумерные замкнутые решетки» с топологическими дефектами разной мощности. Соответственно, существуют замкнутые треугольные, четырехугольные и гексагональные решетки. Структуру решетки и характер дефектов в ней определяют различные механизмы, например, валентность (в случае фуллеренов и других атомных и молекулярных кластеров), или взаимное отталкивание зарядов, которое приводит к образованию треугольной решетки и др. Как оказывается, тип замкнутой решетки (треугольная, гексагональная, четырехугольная) определяет полную топологическую мощность дефектов в решетке, которая сохраняется независимо от числа узлов решетки и от числа, мощности и взаимного расположения отдельных топологических дефектов в замкнутой решетке. В треугольной и гексагональной решетках Mtr = Мьех = 12, в четырехугольной Mq = 8.

Для детального описания структуры объектов, которые могут быть представлены в виде замкнутых квазидвумерных решеток с топологическими дефектами, разработан ряд методов, основанных на определении взаимного расположения дефектов в решетке. В частности, метод инвариантов графа дефектов замкнутой решетки использован в задаче о генерации всех возможных изомеров фуллеренов Сп.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Лившиц, Алексей Михайлович, Троицк

1. Г.Н.Макаров. Кластерная температура. Методы ее измерения и стабилизации. УФН 178, №4, 337-376 (2008).

2. S.Grebenev, J.P.Toennies, A.F.Vilesov. Superfluidity Within a Small Helium-4 Cluster: The Microscopic Andronikashvili Experiment. Science 279, 20832085 (1998).

3. Б.С.Думеш, А.В.Потапов, Л.А.Сурин. Спектроскопия малых гелиевых кластеров и «наноскопическая» сверхтекучесть: Недг-СО, N = 2и20. УФН 179, 317-321 (2009).

4. Z.Phys.D, Vol.12, (1989): Proceedings of IV International Conference on Small Particles on Inorganic Clusters, Aix-eu-provence, 1988.

5. Ill Международный симпозиум «Фуллерены и фуллереноподобные структуры в конденсированных средах». Минск, Беларусь (2004)

6. IV Международный симпозиум «Фуллерены и фуллереноподобные структуры в конденсированных средах». Минск, Беларусь (2006)

7. O.Echt, K.Sattler, E.Recknagel. Magic Numbers for Sphere Packings: Experimental Verification in Free Xenon Clusters. Phys.Rev.Lett., 47 1121-1124 (1981)

8. P.W.Stephens, and J.G.King. Experimental investigation of small helium clusters: magic numbers and the onset of condensation. Phys.Rev.Lett. 51, N17, 1538-1541 (1983)

9. M.L. Steigerwald, A.P. Alivisatos, J.M. Gibson, T.D. Harris, R. Kor-tan, A.J. Muller, A.M. Thayer, T.M. Duncan, D.C. Douglass, L.E. Brus. Surface derivatization and isolation of semiconductor cluster molecules. J.Am.Chem.Soc., 110 N10, 3046-3050 (1988)

10. Б.М.Смирнов. Генерация кластерных пучков. УФН., 173, N6, 609-648 (2003)

11. D. Kielpinski, C.Monroe, and D.J. Wineland. Architecture for a large scale ion-trap quantum computer. Nature 417, 709-711 (2002)

12. J. Benhelm, G. Kirchmair, C.F. Roos, and R. Blatt. Towards fault-tolerant quantum computing with trapped ions. Nature (Physics), 4, 463-466 (2008)

13. Р.С.Берри, Б.М.Смирнов. Фазовые переходы в кластерах различных типов. УФН., 179, N2, 147-177 (2009)

14. Г.Н.Макаров. Экспериментальные методы определения температуры и теплоты плавления кластеров и наночастиц. УФН., 180, N2, 185-207 (2010).

15. В.Л.Гинзбург. «Физический минимум» — какие проблемы физики и астрофизики представляются особенно важными и интересными в начале XXI века? УФН bf 177, N4, 346 (2007)

16. H.W. Kroto, J.R. Heath, S.C. O'Brien, R.F. Curl and R.E.Smalley. Cm: Buckminsterfullerene. Nature (London), 318 (1985), 162-163.

17. M. Sawamura, K. Kawai, Y. Matsuo, K. Kanie, T. Kato, E. Nakamura. Stacking of Conical Molecules with a Fullerene Apex into Polar Columns in Crystals and Liquid Crystals. Nature, 419 (2002), 702-705.

18. V. Georgakilas, F. Pellarini, M. Prato, D.M. Guldi, M. Melle-Franco, F. Zer-betto. Supramolecular Self-Assembled Fullerene Nanostructures. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 99 (2002), 5075-5080.

19. M. Capone, М. Fabrizio, С. Castellani, Е. Tosatti. Strongly Correlated Superconductivity. Science, 296 (2002), 2364-2366.

20. A.M. Lin, S.F. Fang, S.Z. Lin, C.K. Chou, T.Y. Luh, L.T. Ho. Local Car-boxyfullerene Protects Cortical Infarction in Rat Brain. Neurosci. Res., 43 (2002), 317-321.

21. S. Berber, Y. Kwon, D. Tomanek. Microscopic formation mechanism of nan-otube peapods. Phys. Rev. Lett., 88 (2002), 185502.

22. P. Sindzingre, M.L. Klein, and D.M. Ceperley. Path-integral Monte-Carlo study of low-temperature 4He clusters. Phys. Rev. Lett., 63 (1989), 16011604.

23. M.V. Rama Krishna and K.B. Whaley. Collective excitations of helium clusters. Phys. Rev. Lett., 64 (1990), 1126-1129.

24. J.W. Halley, C.E. Campbell, C.F. Giese, and K. Goetz. New approach to the observation of the condensate fraction in superfluid helium-4. Phys. Rev. Lett., 71 (1993), 2429-2432.

25. M. Lewenstein and L. You. Probing Bose-Einstein condensed atoms with short laser pulses. Phys. Rev. Lett., 71 (1993), 1339-1342.

26. A.P.V. van Deursen, J. Reuss. Experimental investigation of small He clusters. J. Chem. Phys., 63 (1975), 4559-4560.

27. P.W. Stephens, J.G. King. Experimental Investigation of Small Helium Clusters: Magic Numbers and the Onset of Condensation. Phys. Rev. Lett., 51 (1983), 1538-1541.

28. J. Gspann. Atomic impact experiments with free helium-3 and helium-4 clusters. Z. Phys. В., 98 (1995), 405-411.

29. D.M. Brink, S. Stringari. Density of states and evaporation rate of helium clusters. Z. Phys. D., 15 (1990), 257-263.

30. M. Hartmann, R.E. Miller, J.P. Toennies, A. Vilesov. Rotationally Resolved Spectroscopy of SFq in Liquid Helium Clusters: A Molecular Probe of Cluster Temperature. Rhys. Rev. Lett., 75 (1995), 1566-1569.

31. H. Buchenau, J.P. Toennies, J.A. Northby. Excitation and ionization oiAHe clusters by electrons. J. Chem. Phys., 95 (1991), 8134-8148.

32. A. Scheidemann, J.P. Toennies, J.A. Northby. Capture of Neon Atoms by 4He Clusters. Phys. Rev. Lett., 64 (1990), 1899-1902.

33. K.R. Atkins. Ions in Liquid Helium. Phys. Rev., 116 (1959), 1339-1343.

34. В.Б. Шикин. О движении гелиевых ионов вблизи границы пар-жидкость. ЖЭТФ, 58 (1970), 1748-1756.

35. В.Б. Шикин, Ю.П. Монарха. Двумерные заряженные системы в гелии. М.: Наука, 1989, 158 стр.

36. J. Poitrenaud, F.J.В. Williams. Precise measurment of effective mass of positive and negative charge carriers in liquid helium II. Phys. Rev. Lett., 29 (1972), 1230-1232.

37. J. Poitrenaud, F.J.B. Williams. Erratum: Precise measurment of effective mass of positive and negative charge carriers in liquid helium II. Phys. Rev. Lett., 32 (1974), 1213.

38. Р.Г. Архипов. Механизм переноса зарядов в жидком гелии. УФН, 88 (1966), 185-189.

39. R.A. Ferrel. Phys. Rev., 108 (1937), 167.

40. G. Careri, V. Fasoli, F. Gaeta. Experimental behaviour of ionic structures in liquid helium II. Nuovo Cimento, 15 (1960), 774-783.

41. W.F. Schmidt, E. Illenberger, A.G. Khrapak, Y. Sakai, J. Chem. Phys. 115, 10048 (2001).

42. J.A. Northby, S. Kim, T.Jiang. Negatively charged helium microdroplets. Physica B, 197 (1994), 426-434.

43. W.Schoepe and G.W.Rayfield. Tunneling from Electronic Bubble States in Liquid Helium through the Liquid-Vapor Interface. Phys. Rev. A, 7 (1973), 2111-2121.

44. F. Ancilotto, F. Toigo. Theory of electron escape from the surface of liquid helium. Z. Phys. B, 98 (1995), 309-313.

45. К.Ф. Волыхин, А.Г. Храпак, В.Ф.Шмидт. Структура и подвижность отрицательных ионов в плотных газах и неполяронных жидкостях. ЖЭТФ 108, 1642-1656 (1995).

46. А.Г. Храпак. Структура примесных отрицательных ионов в жидком гелии. Письма в ЖЭТФ 86, №4, 282-285 (2007).

47. L. Foppl. J. Reine Angew. Math., 141 (1912), 251-302.

48. J. Leech. Equilibrium of sets of particles on a sphere. Math. Gazette, 41, N336, 81-90 (1957).

49. H.A. Munera. Properties of discrete electrostatic systems. Nature, 320 (1986), 597-600.

50. S. Webb. Minimum-Coulomb-energy electrostatic configurations. Nature, 323 (1986), 20.

51. L.T. Wille. Searching potential energy surfaces by simulated annealing. Nature, 324 (1986), 46-48.

52. S. Webb. Minimum-energy configurations for charges on the surface of a sphere. Chem. Phys. Lett., 129 (1986), 310-314.

53. T. Erber and G.M. Hockney. Equilibrium configurations of N equal charges on a sphere. J. Phys. A, 24 (1991), L1369-L1376.

54. E.L. Altshuler, T.J. Williams, E.R. Ratner, F. Dowla, and F. Wooten. Method of constrained global optimization. Phys. Rev. Lett., 72 (1994), 26712674.

55. Т. Erber and G.M. Hockney. Comment on "Method of constrained global optimization"by E.L. Altshuler et al. Phys. Rev. Lett., 74 (1995), 1482.

56. E.L. Altshuler, T.J. Williams, E.R. Ratner, F. Dowla, and F. Wooten. Reply on "Comment on ."by T. Erber and G.M. Hockney. Phys. Rev. Lett., 74 (1995), 1483.

57. G.R. Morris, D.M. Deaven, and K.M. Ho. Genetic-algorithm energy minimization for point charges on a sphere. Phys. Rev. B, 53 (1995), R1740-R1743.

58. E.L. Altshuler, T.J. Williams, E.R. Ratner, R. Tipton, R. Stong, F. Dowla, and F. Wooten. Possible global minimum lattice configurations for Thomson's problem of charges on a sphere. Phys. Rev. Lett., 78 (1997), 2681-2685.

59. J.R. Edmundson. The distribution of point charges on the surface of a sphere. Acta. Crystallogr. Sect. A, 48 (1992), 60-69.

60. J.R. Edmundson. The arrangement of point charges with tetrahedral and octahedral symmetry on the surface of a sphere with minimum Coulombic potential energy. Acta. Crystallogr. Sect. A, 49 (1993), 648-654.

61. Melnyk T.W., Knop 0.,Smith W.R. Extremal arrangements of points and unit charges on a sphere: equilibrium configurations revisited. Can. J. Chem., V. 55. P. 1745-1761 (1977)

62. P.M.L. Tammes. On the origin of number and arrangement of the places of exit on the surface of pollen grains. Rec. Tray. bot. neerl., 27 (1930), pp. 1-84.

63. A.L. Mackay and J.L. Finney and K. Gotoh. The closest packing of equal spheres on a spherical surface. Acta. Crystallogr. Sect. A, 33 (1977), 98-100.

64. D.A. Kottwitz. The densest packing of equal circles on a sphere. Acta. Crystallogr. Sect. A, 47 (1991), 158-165.

65. Ю.Е. Лозовик, А.М.Попов. Образование и рост углеродных наноструктур — фуллеренов, наночастиц, нанотрубок и конусов. УФН, 167, 751-774 (1997).

66. Ф. Харари. Теория графов. Издательство «Мир», Москва. 1973. 300 стр.

67. D.E. Manolopoulos, J.С. May and S.E. Down. Theoretical studies of the fullerenes: C34 to C70. Chem. Phys. Lett., 181, 105-111 (1991).

68. D.E. Manolopoulos and P.W. Fowler. A fullerene without a spiral. Chem. Phys. Lett., 204, 1-7 (1993).

69. A.M. Livshits and Yu.E. Lozovik. Cut-and-Unfold Approach to Fullerene Enumeration. J.Chem.Inf.Comp.Sci. 44, No. 5, 1517-1520 (2004).

70. L.A. Weinberg. A simple and efficient algorithm for determining isomorphism of planar triply connected graphs. IEEE Trans. Circuit Theory, CT-13 (199G), 142-148.

71. D. Babic, A.T. Balaban, and D.J. Klein. Nomenclature and Coding of Fullerenes. J. Chem. Inf. Comput. Sci., 35 (1995), 515-526.

72. D. Babic, N. Trinajstic. On Assembling Fullerenes from Identical Fragments. Fullerene Sci. Technol., 2 (1994), 343-356.

73. A.T. Balaban, D. Babic, D.J. Klein. W.R. Hamilton: His Genius, His Circuits, and the IUPAC Nomenclature for Fullerenes. J. Chem. Educ., 72 (1995), 693698.

74. J. Rigaudy, S.P. Klesney. IUPAC Nomenclature of Organic Chemistry, Sections А, В, C, D, E, F and H. Pergamon Press: Oxford, 1979, pp. 32-34.

75. M. Yoshida and E. Osawa. Formalized Drawing of Fullerene Nets. 1. Algorithm and Exhaustive Generation of Isomeric Structures. Bull. Chem. Soc. Jpn., 68 (1995), 2073-2081.

76. M. Fujita, R. Saito, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus. Formation of general fullerenes by their projection on a honeycomb lattice. Phys. Rev. В., 45 (1992), 13834-13836.

77. D.L.D. Caspar. Deltahedral views of fullerene polymorphism. Philos. Trans. R. Soc. Lond. A, 343 (1993), 133-144.

78. H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry, 2nd ed., John Wiley &; Sons, Inc., New York (1969), pp. 149-151.

79. P. W. Fowler, J.E. Cremona, and J.I. Steer. Systematics of bonding in non-icosahedral carbon clusters. Theor. Chim. Acta, 73 (1988), 1-26.

80. B.L. Zhang, C.Z. Wang, K.M. Ho, C.H. Xu, and C.T. Chan. The geometry of large fullerene cages: C72 to C102. J. Chem. Phys., 98 (1993), 3095-3102.

81. A.M. Livshits, Yu.E. Lozovik. Coulomb Clusters on a Sphere: Topological Classification. Chem. Phys. Lett., 314 (1999), 577-583.

82. L. Bonsall, A.A. Maradudin. Some static and dynamical properties of a two-dimensional Wigner crystal. Phys. Rev. B, 15 (1977), 1959-1973.

83. G. Meissner, A. Flamming. Phys. Lett. A, 57 (1976), 277.

84. Yu.E. Lozovik, V.M. Farztdinov. Preprint N24, Troitsk, 1987.

85. А.А. Самарский, А.В. Гулин, 1989. Численные методы. Наука. Москва, 432 стр.

86. В.А. Лихачев, Р.Ю. Хайров. Введение в теорию дисклинаций. Издательсво Ленинградского университета. Ленинград, 1975, 183 стр.

87. Lord Rayleigh. On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity. Phil. Mag. 14 (1882), p. 184-6.

88. J.M. Haile and S.Gupta. Extensions of molecular dynamics simulation method. II. Isothermal systems. J. Chem. Phys. 79 (1983), 3067-3076.

89. Д. Хеерман. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. Москва: «Наука», 1990, 175 с.

90. Б. Страуструп. Язык программирования Си++. Москва: Бином, 1999, 991 с.

91. A.M. Лившиц, Ю.Е. Лозовик, Квазидвумерные кристаллические кластеры на сфере: метод топологического описания. Кристаллография, 47, 7-17 (2002).

92. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Статистическая физика (часть 1). Издание 3-е, дополненное. Москва: «Наука», 1976, 584 стр.

93. N.D.Mermin, H.Wagner. Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models. Phys.Rev.Lett., 17, 1133-1136 (1966)

94. P.C.Hohenberg. Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions Phys.Rev. 158, 383-386 (1967)

95. N.D.Mermin. Crystalline Order in Two Dimensions. Phys.Rev. 176, 250-254 (1968)

96. В.Л. Березинский. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. ЖЭТФ. 59, 907-920 (1970)

97. В.Л. Березинский. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. Ч.П. Квантовые системы. ЖЭТФ. 61, N3(9), 1144-1156 (1971)

98. F.R.N. Nabarro. Theory of of Crystal Dislocations. Clarendon Press. Oxford, 1967, p. 821.

99. J.M. Kosterlitz, D.J. Thouless. Long range order and metastability in two dimensional solids and superfluids. (Application of dislocation theory). J.Phys.C: Solid State Phys. 5, L124-L126 (1972).

100. J.M. Kosterlitz, D.J. Thouless. Ordering metastability and phase transitions in two-dimensional systems. J.Phys.C: Solid State Phys. 6, 1181-1203 (1973).

101. J.M. Kosterlitz. The critical properties of the two-dimensional xy model. J.Phys.C: Solid State Phys. 7, 1046 (1974).

102. B.I.Halperin, D.R.Nelson. Theory of two-dimensional melting. Phys.Rev.Lett. 41, N2, 121-124 (1978)

103. D.R.Nelson and B.I.Halperin. Dislocation mediated melting in two dimensions. Phys.Rev.B. 19, N5, 2457-2484 (1979)

104. A.P.Young. Melting and the vector Coulomb gas in two dimensions. Phys.Rev.B 19, N4, 1855-1866 (1979)

105. D.R.Nelson. Laplacian roughening models and two-dimensional melting. Phys.Rev.B. 26, N1, 269-283 (1982)

106. C.C.Grimes and G.Adams. Evidence for a Liquid-to-Crystal Phase Transition in a Classical, Two-Dimensional Sheet of Electrons. Phys.Rev.Lett. 42, N12, 795-798 (1979)

107. R.Mehrotra, B.M.Guenin, and A.J.Dahm. Ripplon-Limited Mobility of a Two-Dimensional Crystal of Electrons: Experiment. Phys.Rev.Lett. 48, N9, 641-644 (1982)

108. M.A.Stan and A.J.Dahm. Two-dimensional melting: Electrons on helium. Phys.Rev.B. 40, 8995-9005 (1989)

109. S.B.Dierker, R.Pindak, and R.B.Meyer. Consequences of Bond-Orientational Order on the Macroscopic Orientation Patterns of Thin Tilted Hexatic Liquid-Crystal Films. Phys.Rev.Lett. 56, 1819-1826 (1986)

110. N.Grieser, G.A.Held, R.Frahm, R.L.Greene, and P.M.Horn. Melting of monolayer xenon on silver: The hexatic phase in the weak-substrate limit. Phys.Rev.Lett. 59, 1706-1709 (1987)

111. C.A.Murray and D.H. Van Winkle. Experimental observation of two-stage melting in a classical two-dimensional screened Coulomb system. Phys.Rev.Lett. 58, N12, 1200-1203 (1987)

112. R.E.Kusner, J.A.Mann, and A.J.Dahm. Two-stage melting in two dimensions in a system with dipole interactions. Phys.Rev.B. 51, N9 , 5746-5759 (1995)

113. S.W.Koch and F.M.Abraham. Freezing transition of xenon on graphite: A computer simulation study. Phys.Rev.B. 27, N5, 2964-2979 (1983)

114. A.F.Bakker, C.Bruin, H.J.Hilhorst. Orientational order at the two-dimensional melting transition. Phys.Rev.Lett. 52, N6, 449-452 (1984)

115. W.Janke, H.Kleinert. First-order transition in a two-dimensional laplacian roughening model on a square lattice. Phys.Lett.A 114, N5, 255-262 (1986)

116. T.V.Ramakrishnan. Density-Wave Theory of First-Order Freezing in Two Dimensions. Phys.Rev.Lett. 48, 541-545 (1982)

117. S.T.Chui. Grain-boundary theory of melting in two dimensions. Phys.Rev.Lett. 48, N14, 933-935 (1982)

118. S.T.Chui. Grain-boundary theory of melting in two dimensions. Phys.Rev.B. 28, 178-194 (1983)

119. B.Joos, and M.S.Duesbery. Dislocation Energies in Rare-Gas Monolayers on Graphite. Phys.Rev.Lett. 55, 1997-2000 (1985)

120. В.Н.Рыжов. Дисклинационное плавление двумерных решеток. Теор. и Мат. Физика. 88, N1, 449-458 (1991)

121. В.Н.Рыжов. Дислокационно-дисклинационное плавление двумерных решеток. ЖЭТФ. 100, N5, 1627-1639 (1991)

122. В.М.Беданов, Г.В.Гадияк, Ю.Е.Лозовик. О фазовом переходе кристалл-жидкость в системе двумерных электронов. ФТТ. 24, N3, 925-927 (1982)

123. В.М.Беданов, Г.В.Гадияк, Ю.Е.Лозовик. Фазовый переход в двумерной системе взаимодействующих диполей. ФТТ. 25, N1, 207-213 (1983)

124. В.Н.Рыжов, Е.Е.Тареева. Микроскопическое описание двухстадийного плавления в двух измерениях ЖЭТФ. 108, N6, 2044-2060 (1995)

125. K.J.Strandburg. Two-dimensional melting. Rev.Mod.Phys. 60, N1, 161-207 (1988)

126. В.М.Беданов, Г.В.Гадияк, Ю.Е.Лозовик. Плавление двумерных кристаллов. ЖЭТФ. 88, N5, 1622-1633 (1985)

127. Л.М.Помирчи, В.Н.Рыжов, и Е.Е.Тареева. Плавление двумерных систем: зависимость рода перехода от радиуса потенциала. Теоретич. и Математич. Физика 130, N1, 119-130 (2002)

128. Ю.Е.Лозовик, Л.М.Помирчи. Переход Костерлица-Таулеса в системе с перколяцией. ФТТ, 35, N9, 2519-2524 (1993)

129. V.M.Bedanov, G.V.Gadiyak and Yu.E.Lozovik. On a modified Lindeman-like criterion for 2D melting. Phys.Lett.A, 109, N6, 289-291 (1985)

130. Yu.E.Lozovik, V.M.Farzdtinov. Oscillation spectra and phase diagram of two-dimensional electron crystal: «new» (3+4)-self-consistent approximation. Sol.St.Comm, 54, N8, 725-728 (1985)

131. Yu.E.Lozovik, V.M.Farzdtinov, B.Abdulaev and S.A. Kucherov. Melting and spectra of two-dimensional classic crystals. Phys.Lett.A, 112, N1-2, 61-63 (1985)

132. Б.М.Смирнов. Кластеры и фазовые переходы. УФН., 177, N4, 369-373 (2007)

133. Р.С.Берри, Б.М.Смирнов. Фазовые переходы и сопутствующие явления в простых системах связанных атомов. УФН., 175, N4, 367-411 (2005)

134. Y.Imry. Finite-size rounding of a first-order phase transition. Phys.Rev.B, 21, N5, 2042-2043 (1980)

135. M.E.Fisher, and A.N.Berker. Scaling for first-order phase transitions in thermodynamic and finite systems. Phys.Rev.B, 26, N5, 2507-2513 (1982)

136. R.S.Berry, D.J.Wales. Freezing, Melting, Spinodals, and Clusters. Phys.Rev.Lett., 63, N11, 1156-1159 (1989)

137. P.Labastie, and R.L.Whetten. Statistical Thermodinamics of the Cluster Solid-Liquid Transition. Phys.Rev.Lett. 65, N13, 1567-1570 (1990)

138. D.Levesque, J.J.Weiss, and P.Hansen, in Monte Carlo methods in statistical physics, ed. by K.Binder (Springer-Verlag, New-York, 1986)

139. D.J.Wales, R.S.Berry. Coexistence in Finite Systems. Phys.Rev.Lett., 73, N21, 2875-2878 (1994)

140. R.M.Lynden-Bell, and D.J.Wales. Free energy barriers to melting in atomic clusters. J.Chem.Phys., 101, N2, 1460-1476 (1994)

141. Б.М.Смирнов. Скейлинг в атомной и молекулярной физике. УФН., 171, N12, 1291-1315 (2001)

142. Yu.E. Lozovik and V.A. Mandelshtam. Coulomb clusters in a trap. Phys.Lett.A. 145, 269-271 (1990)

143. V.M.Bedanov and F.M.Peeters. Ordering and phase transitions of charged particles in a classical finite two-dimensional system. Phys.Rev.B. 49, N4, 2667-2676 (1994)

144. Yu.E.Lozovik, E.A.Rakoch. Energy barriers, structure, and two-stage melting of microclusters of vortices. Phys.Rev.B. 57, 1214-1225 (1998)

145. Yu.E. Lozovik and V.A. Mandelshtam. Classical and quantum melting of a Coulomb cluster in a trap. Phys.Lett.A. 165, 469-472 (1992)

146. A.V.Filinov, M.Bonitz, and Yu.E.Lozovik. Wigner crystallization in Meso-scopic 2D electron systems. Phys.Rev.Lett., 86, 3851-3854 (2001).

147. В.Ф.Гантмахер, В.Т.Долгополов. Квантовые фазовые переходы «локализованные—делокализованные электроны». УФН 178, N1, 3-24 (2008)

148. D.Duft, H.Lebius, and B.A.Huber, C.Guet, T.Leisner. Shape Oscillations and Stability of Charged Microdroplets. Phys.Rev.Lett. 89, 084503-4 (2002).

149. N. Metropolis, A.W Rosenbluth, M.N. Rosenbluth, A.H. Teller, E. Teller, Equation of state calculations by fast computing machines. J. Chem. Phys. 21, 1087-1092 (1953).