Структуры и устойчивость конвективных течений в чистых жидкостях и многокомпонентных смесях с эффектом термодиффузии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Рыжков Илья Игоревич

СТРУКТУРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ЧИСТЫХ жидкостях И МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЯХ С ЭФФЕКТОМ ТЕРМОДИФФУЗИИ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

005549397

т

Пермь - 2014

005549397

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, г. Красноярск

Научный доктор физико-математических наук, профессор

консультант: Андреев Виктор Константинович

Официальные Селезнев Владимир Дмитриевич

оппоненты: доктор физико-математических паук, профессор

ФГАОУ ВПО "Уральский федеральный университет им. первого президента России Б.Н. Ельцина", профессор Кафедры технической физики

Брацун Дмитрий Анатольевич

доктор физико-математических наук

ФГБОУ ВПО "Пермский государственный гуманитарно-

педагогический университет", заведующий Кафедрой

теоретической физики и компьютерного моделирования

Демин Виталий Анатольевич доктор физико-математических наук ФГБОУ ВПО "Пермский государственный национальный исследовательский университет", профессор Кафедры теоретической физики

Ведущая ФГБУН Институт гидродинамики

организация: им. М.А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск

оо

Защита состоится " 6 " с/ ¡о^ 2014 г. в /О _ на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт механики сплошных сред УрО РАН но адресу: 614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт механики сплошных сред УрО РАН, http://www.icmm.ru.

Автореферат разослан " ^ " 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

И.К. Березин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Процессы тепломассообмена играют ведущую роль во многих природных явлениях и промышленном производстве. Современные технологии производства и обработки материалов, добычи полезных ископаемых, прогнозирования природных явлений требуют наиболее полного и адекватного описания процессов переноса в жидкостях и газах. Последние зачастую представляют собой смеси различных веществ с большим числом компонент. В многокомпонентных системах обнаруживается большое разнообразие переходных процессов и структур благодаря сложному взаимодействию между конвекцией, теплопроводностью, диффузией и перекрестными эффектами — термодиффузией или .эффектом Соре (возникновением потока массы под действием градиента температуры) и диффузионной теплопроводностью или эффектом Дюфора (возникновением потока тепла под действием градиента концентрации). Последний эффект существенен в газах и пренебрежимо мал в жидкостях. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показали важность учета термодиффузии при описании процессов тепломассообмена. В частности, этот эффект оказывает существенное влияние па распределение компонентов в месторождениях углеводородов благодаря наличию геотермального градиента. Диффузия и термодиффузия играют важную роль в термохалинной циркуляции в океанах, связанной с наличием градиентов температуры и солености. Термодиффузия широко используется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях. В ядерных реакторах термодиффузию окислов урана и плутония также принимают во внимание.

Для описания и предсказания тепломассообмена в смесях необходимо знание коэффициентов переноса. Современные экспериментальные методы измерения коэффициентов термодиффузии хорошо апробированы для бинарных смесей. В настоящее время ведутся активные исследования по применению этих методов к тройным смесям. Объем экспериментальных данных для них пока остается крайне ограниченным. Необходимым условием корректности экспериментальных методов измерений является устойчивое состояние механического равновесия или конвективного движения смеси. В связи с этим исследование конвективной устойчивости многокомпонентных смесей является актуальной задачей. Условия возникновения конвекции в чистых средах и бинарных смесях изучены достаточно подробно. В то же время, теория конвективной устойчивости многокомпонентных систем остается слабоизученным направлением. При изучении таких систем представляет интерес поиск закономерностей, справедливых для смесей с произвольным числом компонент.

Наряду со свободной конвекцией, возникающей под действием силы тяжести, в настоящее время активно изучаются конвективные течения в нсрсмсн-

пых силовых полях. К ним относится вибрационная конвекция — движение, которое возникает в жидкости с градиентом плотности под действием внешней вибрации. Градиент плотности может быть вызван как градиентом температуры, так и градиентом концентрации. Изучение влияния вибрации на поведение жидкостей имеет как фундаментальное, так и прикладное значение. Вибрационная конвекция является одним из механизмов тепломассообмена благодаря наличию осреднеиных течений, которые могут существовать как в поле силы тяжести, так и в условиях невесомости. В настоящее время имеется большое число теоретических работ, посвященных исследованию вибрационных течений. Количество экспериментальных работ но много раз меньше. Особенно это касается термовибрационной конвекции в условиях невесомости, где имеются лишь отдельные исследования, результаты которых зачастую носят качественный характер.

С точки зрения прикладной науки, актуальным является исследование вынужденной конвекции в жидких и газовых смесях. Это направление связано с разработкой новых эффективных методов охлаждения. Миниатюризация современных электронных устройств и повышение их производительности приводят к существенному росту выделяемых тепловых потоков. Одним из возможных способов интенсификации теплообмена является повышение теплопроводности теплоносителя (жидкости) путем добавления в пего твердых частиц с высокой теплопроводностью. Исследования показали, что наиболее перспективным является использование жидкостей с частицами манометровых размеров, которые получили название наножидкости. Важным фундаментальным вопросом является понимание механизмов переноса тепла в на-ножидкостях и вклада этих механизмов в эффективную теплоотдачу.

Одним из современных направлений в исследовании процессов тепломассообмена является качественное изучение дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы. Инструментом такого изучения служит групповой анализ, предметом которого является совместное рассмотрение непрерывных групп Ли преобразований и допускающих эти группы дифференциальных уравнений. В настоящее время методы группового анализа широко используются для анализа различных математических моделей и построения их точных решений. В 1991 году Л.В. Овсянниковым была предложена программа ПОДМОДЕЛИ, направленная на полное и систематическое изучение групповых свойств различных моделей механики сплошной среды.

Цель диссертационной работы заключается в качественном исследовании математических моделей многокомпонентных смесей с учетом термодиффузии методами группового анализа; разработке общих подходов к описанию смесей и исследованию их устойчивости; построению теории устойчивости

многокомпонентных смесей в экспериментальных установках для измерения коэффициентов переноса; анализе плияпия термодиффузии на тепломассообмен в условиях вынужденной конвекции; экспериментальном и теоретическом исследовании термовибрациопной конвекции в условиях низкой гравитации.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:

• Разработан общий подход к описанию многокомпонентных смесей с эффектом Соре и исследованию их конвективной устойчивости. Предложена система безразмерных параметров (отношений разделения), которые характеризуют термодиффузионные свойства компонентов смеси. Найдено повое преобразование, которое позволяет упростить уравнения движения и граничные условия путем исключения коэффициентов перекрестной диффузии. Особое внимание уделено установлению общих закономерностей поведения смесей с произвольным числом компонент.

• Исследованы групповые свойства уравнений конвекции бинарной и многокомпонентной смесей с эффектом Соре. Выполнена классификация инвариантных решений для двумерных и трехмерных уравнений движения бинарной смеси. Изучены групповые свойства осреднепных уравнений вибрационной конвекции бинарной смеси.

• Построена линейная теория устойчивости равновесия в плоском слое многокомпонентной смеси с эффектом Соре. Установлен нрннцип монотонности возмущений для слоя со свободными / твердыми проницаемыми границами. Получены явные формулы для критических параметров неустойчивости относительно длинноволновых возмущений в смеси с произвольным числом компонент. Рассчитаны карты устойчивости тройных смесей в широкой области параметров.

• Построена теория разделения многокомпонентных смесей в замкнутой термодиффузионной колонне. Исследован вопрос о существовании и единственности стационарного решения, описывающего течение и разделение смеси. Предложено условие (критерий), при выполнении которого можно пренебречь вертикальной диффузией в колонне. Изучена устойчивость стационарного течения бинарных и тройных смесей в колонне для продольных и поперечных возмущений. Для поперечных волн в смеси с произвольным числом компонент доказан аналог принципа монотонности возмущений.

• Проведено обобщение задачи Греца о теплообмене в круглой цилиндрической трубе с течением Пуазсйля на случай многокомпонентной смеси с учетом эффектов Соре и Дюфора. Исследовано влияние диффузии и термо-фореза иапочастиц па вынужденную конвекцию наножидкости вода — оксид алюминия в трубе с заданным потоком тепла на стенке.

• Найдена новая мода термокапиллярной неустойчивости в жидком мо-

сте, которая является наиболее опасной в области больших чисел Прандтля. Показано, что новые результаты лучше согласуются с экспериментом на качественном и количественном уровне.

• Получено прямое экспериментальное подтверждение закономерностей, связанных с термовибрационной конвекцией в условиях низкой гравитации. Изучено влияние интенсивности вибрации на структуру осреднснных течений и теплообмен в кубической ячейке с разностью температур между стенками.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы вносят вклад в теорию явлений переноса и конвективной устойчивости многокомпонентных смесей, в качественную теорию дифференциальных уравнений тепломассообмена и теоретические основы экспериментальных методов измерений коэффициентов диффузии и термодиффузии. Значительная часть результатов носит универсальный характер и справедлива для смесей с произвольным числом компонент. Подход, основанный на использовании безразмерных отношений разделения и применении специальных преобразований для упрощения уравнений, позволяет эффективно исследовать процессы тепломассообмена в многокомпонентных смесях с эффектом Соре в различных конфигурациях. Изучение уравнений движения с помощью методов группового анализа позволило установить их качественные свойства, а также выяснить групповую природу многих точных решений, используемых в приложениях.

Линейная теория устойчивости равновесия в плоском слое многокомпонентной смеси с эффектом Соре существенно обобщает и развивает имеющиеся результаты для чистых жидкостей и бинарных смесей. Рассматриваемая конфигурация является основной для ряда экспериментальных методов измерения коэффициентов диффузии и термодиффузии. Полученные результаты использовались при наземной подготовке космического эксперимента БСМ1Х, посвященного измерению этих коэффициентов в тройных смесях. Теория движения и разделения многокомпонентных смесей в замкнутой термодиффузи-ошюй колонне и результаты в области конвективной устойчивости могут быть использованы при проектировании данных аппаратов и проведении экспериментальных измерений коэффициентов термодиффузии.

Обобщение задачи Греца о теплообмене в трубе с течением Пуазейля на случай многокомпонентной смеси с учетом эффектов Соре и Дюфора может использоваться для расчетов тепломассообмена в трубах, а также тестирования численных методов. Результаты исследования вынужденной конвекции в наножидкостях могут быть использованы при разработке систем охлаждения/обогрева на основе наножидкостей. Экспериментальные исследования термовибрационной конвекции в условиях низкой гравитации впервые позволили экспериментально подтвердить закономерности, известные ранее лишь в

теории. Эти результаты могут быть использованы для управления поведением жидкостей в космосе, создания искусственной гравитации, интенсификации тепломассообмена п условиях невесомости.

Методы исследования. Для качественного исследования математических моделей движения смесей используются методы группового анализа дифференциальных уравнений (алгоритмы вычисления допускаемой группы преобразований и групповой классификации, методы построения оптимальных систем подалгебр и инвариантных решений). Устойчивость равновесных состояний и конвективных течений исследуется методами линейного анализа. Для численного решения спектральных задач используются методы Галеркииа и пошагового интегрирования с ортогоналнзацией. Аналитические результаты получены с помощью методов общей теории дифференциальных уравнений. Для расчетов конвективных течений в замкнутых областях используются методы прямого численного моделирования. Экспериментальное исследование термовибрациоиной конвекции проводится методом цифровой оптической интерферометрии, который позволяет наблюдать поле температуры в жидкости.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается использованием физически обоснованных моделей для описания процессов переноса в чистых жидкостях и смесях, применением апробированных методов исследования, сравнением теоретических предсказаний с экспериментальными данными, сопоставлением численных расчетов с точными решениями в рамках применимости последних, а также сравнением полученных результатов с известными ранее в предельных случаях.

Положения, выносимые на защиту. Автор защищает:

1. Формализм для описания многокомпонентных смесей с эффектом Соре с помощью безразмерных параметров — отношений разделения компонентов и суммарного отношения разделения.

2. Результаты группового анализа уравнений конвекции бинарной и многокомпонентной смесей с эффектом Соре, а также осредненпых уравнений вибрационной конвекции бинарной смеси. Классификацию инвариантных решений (оптимальные системы подалгебр).

3. Вывод преобразований, позволяющих исключить члены, связанные с перекрестной диффузией и термодиффузией, из уравнений конвекции многокомпонентной смеси. Применение этих преобразований к задачам конвекции.

4. Линейную теорию устойчивости равновесия в плоском слое многокомпонентной смеси с эффектом Соре. Принцип монотонности возмущений, аналитические и численные расчеты характеристик устойчивости в широкой области параметров.

5. Теорию разделения многокомпонентных смесей п замкнутой термодиффузионной колонне. Критерий для определения вклада вертикальной диффузии в разделение смесей.

6. Линейную теорию устойчивости стационарного течения в колонне. Аналог принципа монотонности возмущений, аналитические и численные расчеты характеристик устойчивости.

7. Обобщение задачи Греца о теплообмене в круглой цилиндрической трубе с течением Пуазейля на случай многокомпонентной смеси с учетом эффектов Соре и Дюфора.

8. Результаты исследования влияния диффузии и термофореза наночастиц на вынужденную конвекцию и теплообмен наножидкости вода — оксид алюминия в трубе с заданным потоком тепла на стенке.

9. Расчет характеристик устойчивости термокапиллярного течения в бесконечном жидком мосте.

10. Результаты экспериментального и численного исследования термовибрационной конвекции в кубической ячейке в условиях низкой гравитации параболического полета.

Личный вклад автора. Работы [1,2,4-0,8,20-27] выполнены без соавторов. В работе [3] автору принадлежит решение задачи групповой классификации уравнений конвекции бинарной смеси с учетом термодиффузии. В работах [7,11-13,28,29] автору принадлежат постановка задачи, все теоретические построения, аналитические выкладки и численные расчеты. Обсуждение и интерпретация некоторых результатов проводились совместно с соавтором. В работах по теоретическому и экспериментальному исследованию термовибрационной конвекции [9,10,15,16,30] автору принадлежат выбор параметров и сценария эксперимента, участие в проведении экспериментов в параболических полетах, обработка части экспериментальных данных, сравнительный анализ результатов эксперимента и численного моделирования, исследование применимости приближения Буссинеска и подготовка статей (за исключением [15,30]). В работе [14] автору принадлежит обзор собственных результатов. В работе [17] автору принадлежит вся теоретическая часть за исключением численных расчетов, которые были выполнены соавтором. В работе [18] автор участвовал в планировании эксперимента на Международной космической станции. В работах [19, 31] автору принадлежит решение задачи групповой классификации уравнений вибрационной конвекции бинарной смеси, а также постановка задачи о влиянии вибрации на разделение смеси в термодиффузионной колонне и обсуждение полученных результатов. В работе [32] автору принадлежат постановка задачи, аналитические выкладки и интерпретация результатов. Численные расчеты были выполнены совместно с соавтором.

Автор выражает благодарность своему научному консультанту Андрееву В.К. за постоянное внимание к работе и полезные замечания. Автор благодарит Шевцову В.М. за плодотворное сотрудничество и обсуждение полученных результатов во время стажировки в Свободном университете Брюсселя. Кроме этого, автор благодарен коллегам и соавторам Мялдуну А.З., Мельникову Д.В., Гапоненко Ю.А., Степановой И.В., Минакову А.В., в сотрудничестве с которыми была получена часть результатов данной работы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Конференции молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2003-2005, 2009-2013); Конференции молодых ученых Красноярского научного центра (Красноярск, 2004, 2010, 2012); Всероссийской конференции по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003, 2010); 35-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2004); XX Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (Абрау-Дюрсо, 2004); Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2004, 2009); Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005, 2010); Всероссийской конференции "Аналитические методы в газовой динамике" (Санкт-Петербург, 2006); Всероссийской конференции "Успехи механики сплошных сред" (Владивосток, 2009); Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика" (Новосибирск, 2011); IV Всероссийской конференции "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент, приложения" (Бийск, 2011); XX Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); XVIII Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2013); 10th International Conference on Modern Group Analysis (MOGRAN) (Larnaca, Cyprus, 2004); International Meeting on Thermal Diffusion (San-Sebastian, Spain, 2006, Bonn, Germany, 2008, Toulouse, France, 2010, Brussels, Belgium, 2012); IX Joint European Thermodynamic Conference (Saint-Etienne, France, 2007); International congress "Experiments in Space and Beyond" (Brussels, Belgium, 2007); 7th International Conference "Symmetry in Non-linear Mathematical Physics" (Kiev, Ukraine, 2007); International Symposium 'Two-phase Flows for Ground and Space Applications" (Brussels, Belgium, 2007, 2008, Novosibirsk, Russia, 2009); European Low Gravity Research Association Biennial Symposium and General Assembly (Florence, Italy, 2007, Bonn, Germany, 2009, Antwerpen, Belgium, 2011); 37th COSPAR Scientific Assembly (Montreal, Canada, 2008); Annual Meeting

of American Physical Society, Division of Fluid Dynamics (Minneapolis, USA, 2009, Baltimore, USA, 2011); Семинарах Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН под руководством академика РАН Л.В. Овсянникова и член-корреепондепта РАН В.В. Пухначева (Новосибирск, 2005, 2013); Семинаре Физико-технологического института Уральского федерального университета под руководством профессора В.Д. Селезнева (Екатеринбург, 2013); Семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН под руководством академика РАН В.П. Матвеенко (Пермь, 2013); Семинаре Института вычислительного моделирования СО РАН "Математическое моделирование в механике" под руководством профессора В.К. Андреева (Красноярск, 2002-2013);

Публикации. По теме диссертации опубликовано G2 печатных работы: монография 'Термодиффузия в смесях: уравнения, симметрии, решения и их устойчивость" [1], 21 статья в изданиях из списка ВАК [2-22], 10 статей в трудах конференций [23-32] и 31 публикация в тезисах конференций.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы, включающего 327 наименований. Общий объем диссертации 390 страниц, включая 84 рисунка и 25 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования и дана общая характеристика работы.

Первая глава содержит обзор литературы по теме диссертации в следующих направлениях: измерение коэффициентов диффузии и термодиффузии, конвективная устойчивость смесей, вибрационная конвекция, теплообмен в условиях вынужденной конвекции, групповой анализ уравнений конвекции.

Вторая глава посвящена обобщению теоретического описания термодиффузии в бинарных смесях (параграф 2.1) на случай многокомпонентных систем (параграф 2.2). Рассмотрим смесь из п компонентов и выберем компонент п в качестве растворителя. Состав смеси описывается вектором концентраций (массовых долей) С = (С\,..., Сп-\)т (индекс т указывает на вектор-столбец). Диффузионный поток компонента г дается формулой

л-1

Ji = -PO Y1 DijVCj - poD-nVT, i = 1,..., n - 1, (1)

i

где Dij — коэффициенты диффузии, Dn — коэффициенты термодиффузии, Po — плотность смеси. Введем обозначения J = (Ji,..., Jn-i)1, VC = (VCi,..., VCri-i)7, Dt = (D-fi,..., D'i'r,-\)r, D — матрица коэффициентов диффузии Dij размерности (n — 1) x (n — 1). Тогда потоки (1) можно записать в векторной форме J = —ро (DVC + DtVT). Если смесь находится в стационарном состоянии механического равновесия в области с непроницаемой

границей, то потоки компонентов обращаются в ноль. При наличии градиента температуры в смеси возникают градиенты концентрации под действием термодиффузии: УС = Это соотношение следует понимать как

три независимых равенства:

дС „ . дТ дС „ . дТ дС „ дТ ох ох ду ду иг ог

Запишем градиент плотности р(Т, С) многокомпонентной смеси

1-1 п— 1 а

г=1

Определим отношение разделения ф{ компонента г как отношение градиентов плотности, вызванных градиентом концентрации компонента г и градиентом температуры при условии, что последние связаны соотношениями (2):

, _ дР Г7П / дР ттг # 1 1

* = ¡0^' * = О)

где 0т и Д — коэффициенты теплового и концентрационного расширения:

1 др

я - 1др

1

Т=То,С=Со

Г=Г0,С=С0

Предположим, что коэффициент теплового расширения /3т положителен. Тогда положительные значения отношения разделения ф{ соответствуют случаю, когда компонент г в результате термодиффузии перемещается в более нагретую или более холодную область в зависимости от того, легче он (Д > 0) или тяжелее (Д < 0), чем растворитель (компонент п). Отрицательные значения соответствуют случаю, когда легкий (тяжелый) компонент г перемещается в более холодную (более нагретую) область. Введем вектор гр = (фх,..., фп-{]т и диагональную матрицу В = diag{ Д ,..., Д,_! }. С помощью (2) и (3) получим формулу для отношений разделения компонентов: = —Д^1 ВО~1Пт- Эта выражение обобщает известную формулу для отношения разделения бинарной смеси ф = — /РтО■

Для описания относительного вклада градиентов концентрации компонентов и градиента температуры в изменение плотности смеси «ведем суммарное отношение разделения'.

П—1 о /о П—1

г= 1 ' г=1

В работе показано, что суммарное отношение разделения не зависит от выбора растворителя (компонента п).

Для описания многокомпонентной смеси будем использомать модель Обер-бека-Буссинеска с уравнением состояния

71— 1

Р = Ро( 1 - 0г(Т - То) - ^ Д(С,- - Сю)) =

i=1

= Ро(1 - Рт{т — То) — I ■ В (С — Со)).

Здесь I = (1, ..., 1) — вектор размерности п — 1. Предполагается, что смесь находится в поле силы тяжести, которое характеризуется вектором g = (О, 0, —g). Уравнения движения смеси имеют вид

dt и + (и • V) и = -Ро1 Vp + fV2u - ё(Рт{Т - То) + / ■ В (С - С0)), (5)

atT+(w V)T = xV2T, (G)

dt С + {и ■ V) С = DV2C + DrV2T, (7)

V • и = 0, (8)

где ж = (x,y,z) - вектор координат, и = (u,v,w) — вектор скорости, р — отклонение полного давления от гидростатического, f и х - коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности соответственно.

Пусть L — характерный размер, АТ — характерная разность температур в системе. Введем безразмерные переменные согласно формулам

L2 v

t = —t*, x = Lx", и = -~и", (9)

v L

2

P = Poj¿P*, Т-Т0 = ДТТ*, С — Cq = РТАТ В'1 С*.

Отбрасывая для простоты верхние индексы у безразмерных переменных, запишем уравнения движения (5)—(8) в безразмерной форме

dt и + (и ■ V) и = -Vp + V2u + Pr_1Ra (Т + I ■ С) е3,

dtT+ (и ■ V) Т = Pr"1 V2T,

dt С + (и • V) С = SC (V2C - VV2T),

V и = О,

где ез = (0,0,1). Система содержит следующие безразмерные параметры: число Прандтля Pr = v/x, число Рэлея Ra = g(5t£\TLü¡v\, вектор отношений разделения ф и матрицу (п — 1) х (п — 1) безразмерных параметров

SC = v~1BDB~\ {SC}íj = ^ Ser.1, ¿,j = l,...,n- 1.

Pj

Здесь Sc¡j = vjD¡j — числа Шмидта.

При рассмотрении бинарных смесей следует положить п = 2, С = С, Со = С0, I = 1, В = Pe, D = V,DT = VT, SC = Se"1, ф = ф.

В третьей главе изучаются групповые свойства уравнений движения бинарных и многокомпонентных смесей. Для упрощения расчетов вместо температуры и концентрации рассматриваются их отклонения от средних значений (делается замена переменных Т — То —> Т, С — Со —> С).

В работе установлено, что группа, допускаемая уравнениями (5) —(8), порождается следующими преобразованиями:

Xq : t = t + а ; Xi2 : х1 = х1 cos а — х2 sin а, х2 = х1 sin а + х2 cos а,

и1 ~ к1 cos а — и2 sin о, и2 — u1 sin а + и2 cos а; Z: t = e2at, xi = e°x\ и1 = е~"и\ р = е~2ар, Т = е~3аТ, С = е~3аС;

UT: p = p + a/3TPogx3, f = T + a; (10)

Ut : р = р + apipogx3, Ci = Ci + a г = 1,..., n - 1,

Hi-. Ii = xi + afl(t), Я = и1 + аП{1), p = p-apQ/¿(í)(x¿ + a/!'(í)/2),

г =1,2,3; H(¡ : p = p + af(t).

Здесь x = (ж1,ж2, ж3), и = (и1, и2, и3), а — групповой параметр, f'(t) — произвольные гладкие функции. Ипфинитезимальные операторы, отвечающие указанным преобразованиям, образуют алгебру Ли L, которую можно представить в виде прямой суммы конечномерной подалгебры Ln+3 = {Хо, Х12, Z, Ut, Ui,..., Un-1} и бесконечномерного идеала L°° = {Щ, Hi, Hi. Hi,}.

В параграфе 3.1 решена задача групповой классификации уравнений (5)— (8) для бинарной смеси (п = 2) относительно параметров, входящих в уравнения. Показано, что основная группа порождается преобразованиями X(hXl2)UT) Ui,Hq,Hi,H2,H3, и найдены се расширения в зависимости от значений параметров Для случая, когда все параметры отличны от нуля, выполнена классификация инвариантных решений. Построены оптимальная система подалгебр для алгебры Ли L'' и оптимальная система подалгебр первого порядка для алгебры Ли L. В параграфе 3.2 рассматривается случай двумерных уравнений (5)—(8) для бинарной смеси. Построены оптимальные системы первого и второго порядков для допускаемой алгебры Ли L.

Групповые свойства уравнений многокомпонентной смеси (5)—(8) изучаются в параграфе 3.3. Показано, что эти уравнения инвариантны относительно группы преобразований (10). В работе найдено новое преобразование эквивалентности, которое позволяет исключить члены, связанные с перекрестной диффузией, из уравнений переноса массы (7):

C = VQ~1C, DT = VQ~1DT. (И)

Здесь V — матрица, столбцы которой являются собственными векторами v, = (Va,•••! vi,n-i)T матрицы D, г = 1,..., n — 1, а матрица Q определяется

формулами

71-1

Я = 91 , • ■ ■ , Яп-1 }, Яг = /?ГХ X]

5=1

Преобразование (11) приводит уравнения (5)—(0) к уравнениям е диагональной матрицей диффузии О. Член I • ВС, описывающий силу плавучести в уравнении импульса (5), при этом остается неизменным. Условие отсутствия потока массы через непроницаемую границу Г с вектором нормали п также является инвариантным относительно указанного преобразования:

( ^дС „ дТ\ „ (~дС ~ ЗТ\

О—+ £)г— =0 =► + £>г— =0,

\ дп дп / г \ дп дп I г

где дС/дп = (УС1! • п,..., УСП_1 • п)Т. Если на проницаемой границе задан вектор концентраций С», то преобразование действует но формуле

С|г = с. =>> С1Г = С. = <ЭУ-1С:

В безразмерных переменных (9) преобразование (11) записывается так:

С = ВУ (ВС»-1 С, ф = ВУ{ВЯ)-1:ф, (12)

где "ф = (фи ..., ~фп-{)г — вектор отношений разделения.

Утверждение 1. Суммарное отношение разделения Ф = Х^/ ЧЧ и сумма безразмерных концентраций С« инвариантны относительно преобразования (12).

В работе также найдено новое преобразование эквивалентности

С = С-(ХЕ- ОГ'ЮтТ, (13)

которое позволяет исключить члены Г>тУ2Т, описывающие термодиффузию, из уравнений переноса массы (7) (здесь Е — единичная матрица). Однако, граничные условия на проницаемых и непроницаемых границах не являются инвариантными относительно этого преобразования.

Преобразования (11), (13) позволяют существенно упростить уравнения и граничные условия для широкого класса задач о движении многокомпонентных смесей (см. Главы 4-6 ниже).

Параграф 3.4 посвящен изучению групповых свойств уравнений вибрационной конвекции бинарной смеси. Если период колебаний много меньше характерных времен (вязкого, теплового, диффузионного), то говорят о вибрациях высокой частоты. В этом случае все величины можно представить в виде суммы двух составляющих: "медленной" осрсдиепной (получается осреднением данной величины по периоду колебаний) и "быстрой" пульсациоиной

(представляет собой разность данной величины и ее осреднения). Уравнения для осредненных компонент имеют вид

dt и + (и • V) и = -ро1Vp + vV2u - (/ЗтТ + рсС) g +

+ + РсС) е - VF) • V)VF,

dtT+{u-V)T = xV2T, (14)

dt С + (и • V) С = Ъ>V2C + PrV2T, V-и = 0,

V2F - (/3rVT + fcVC) • e = 0, а пульсационные компопентт>1 определяются по формулам

и' = — Awsm(wt) w, р' = —poAoj2 cos(wi) F, Т' = —A cos(ujt) w • VT, С' = -A cos(wi) го • VC.

Здесь e = (ci, Сг, ез) и g = (gl5 g2, g3) — векторы направления вибрации и ускорения силы тяжести соответственно. Вектор w и функция F удовлетворяют соотношениям (/ЗтТ + /ЗсС) е = w + VF, V • w = 0, го • тг|Г = 0.

В работе решена задача групповой классификации уравнений (14) относительно параметров, входящих в уравнения. Установлено, что основная группа порождается преобразованиями Х()уН(и111)П2,11з (см. (10)), к которым добавляются преобразования

HF: F = F + af{t);

UT: p = p-a/3Tpag-x, T=T + a, F = F + a/3re ■ x;

Uc ■ p = p - a(3cpog ■ x, С = С + a, F = F + a(5ce-x.

Найдены расширения основной группы в зависимости от значений параметров 0t,Pc,xP,Vt,g, g.

Четвертая глава посвящена исследованию устойчивости равновесных состояний и конвективных течений многокомпонентных смесей в слоях.

В параграфе 4.1 изучается устойчивость механического равновесия многокомпонентной смеси в плоском слое, подогреваемом снизу или сверху в поле силы тяжести (рис. 1). Граничные условия па стенках в безразмерных перемен-

То - ДТ/2 1 ^

Т0 + ДТ/2 х

Рис. 1. Бесконечный горизонтальный слой.

ных (9) имеют вид

1 дС дТ г = 0,1: « = 0, Т = ±-, =

В основном состоянии движение отсутствует, а градиент температуры вызывает градиенты концентрации под действием термодиффузии:

11а (Ф +1) , 2 1 /1

= 0, р4 =-'2рг (г-г2), 2~г' С, = ф[--г

Рассмотрим малые возмущения основного состояния в виде нормальных волн ~ ехр(—М + 1(кхх + куу)). Линейная задача об устойчивости сводится к решению системы уравнений для амплитуд возмущений вертикальной компоненты скорости <р(г), температуры в(г) и концентраций £(г) = ..., £п-1)3 '■

А2у? + ЛД(/? — Рг_111а/г2((Ф + 1) б + / • 77) =0,

Рг"1 А9 + Хв + у = 0,

5СДт7 + Л(т? + фв) + фр = 0,

2 = 0,1 : ^ = <¿/ = 0 = 0, г)' = 0. (15)

Здесь Л = Аг + ш, к2 = + Щ, г\ = £ —1/>0, Д = дг, — /с2. Наряду с условиями (15) для твердых непроницаемых границ, будем рассматривать условия для свободных проницаемых границ

2 = 0,1 : <р = 1р" = в = 0, т] = 0,

которые позволяют получить простое решение задачи. Далее матрица БС предполагается диагональной (иначе используем преобразование (12)). Для проницаемых границ (свободных или твердых) доказана теорема, обобщающая принцип монотонности возмущений па случай многокомпонентной смеси. Теорема 1. Пусть выполнены условия

фг ф{ > 0, если Бс; > Рг,

1+ > -~-г >0

1 _ С^.Рг"1

1 - SciPr ф{ < о, если Set < Рг

для г = 1,...,тг — 1. Тогда при подогреве снизу (Ra > 0) возмущения нарастают или затухают монотонно (ш = 0), а при подогреве сверху (Ra < 0) возмущения затухают (Аг > 0).

Для свободных проницаемых границ найдены критические числа Рэлея для монотонной Ram и колебательной Ra° неустойчивостсй:

£ - Р, (РК. + 1, + , ^ - -РКРН-Ц (Е ^

где Rac = Щ^-. Критическое волновое число к = критическая частота

Л1Г£ *

и) = Ц-и*, где со определяется из уравнения

ё~' ~'Г*1>5с'' -Р'(Р' +1)(ф +1) = 0.

Теорема 2. На границе устойчивости (Аг = 0) колебания отсутствуют (ш = 0), если 1) 11а > 0, фi> 0; 2) Ил < 0, & < 0 для г = 1,..., п - 1.

Для твердых непроницаемых границ исследована устойчивость относительно длинноволновых возмущений (к —* 0). Определены первые два члена в разложении критических параметров неустойчивости по волновому числу: Па ~ Иао + 11а1&2, ш ~ и)\к2 + ш-^к4. Для монотонной неустойчивости

= 720 Рг ^ Ь ' Каот (* + 1)).

в то время как для колебательной неустойчивости

3=1

+ » V 2 % К + Бс"2)2 - 336 ^ ^ о;? + Бс"2) ' _ 30 Рг(9Рг + 2) (ф3 \

714^1 ^К + Зс;2)^ •

Из уравнения (16) для следует, что длинноволновая колебательная неустойчивость может существовать лини, в смесях с тремя и большим числом компонент, отношения разделения которых имеют различные знаки.

Расчет спектра комплексных декрементов для произвольных значений волнового числа, производился методами Галеркина и пошагового интегрирования с ортогонализацией. На основе аналитических и численных результатов были построены карты устойчивости бинарных и тройных смесей в широкой области параметров. Установлено, что если отношение чисел Шмидта тройной смеси в = Э^/Бег = 1, то критические параметры соответствуют бинарной смеси с отношением разделения Ф = ф\ 4- ф2- В случае 0 < в < 1 (всегда можно считать Бсх < Бег) эти параметры зависят от отношений разделения компонентов. На рис. 2 показана зависимость критического числа Рэлея от Ф = ф\ + фг в тройной смеси, подогреваемой снизу (я = 0.1). При ф\ = 0 кар-

Рис. 2. Зависимость критического числа Рэлея от суммарного отношения разделения Ф для тройной смеси с = -0.4 (а), ^1=0 (б), ф1 = 0.4 (в). Рг = 10, 8 = 0.1, Эс2 = 1000.

Показаны границы длинноволновой (1а) и коротковолновой (16) монотонной неустойчивости, а также длинноволновой (26) и коротковолновой (2,2а,2в) колебательной неустойчивости. Кривые 1,2 соответствуют твердым непроницаемым границам (Па,- = 1708), кривые Г,2' — свободным проницаемым границам (11ас = 27тг4/4).

та устойчивости соответствует бинарной смеси. При нормальной (аномальной) термодиффузии Ф > 0 (Ф < 0), при этом легкий компонент 2 концентрируется у нагретой (холодной) границы. В результате наблюдается коротковолновая монотонная (колебательная) неустойчивость, при этом предел устойчивости понижается (повышается). При 1р1 = —0.4 и тр\ = 0.4 граница между монотонной и колебательной неустойчивостью смещается. В последнем случае появляется область длинноволновой колебательной неустойчивости (кривая 26). В работе построены карты областей неустойчивости на плоскости (Ф,-^) для различных значений в при подогреве сверху/снизу. Проведен расчет критических параметров для тройных смесей углеводородов.

В параграфе 4.2 исследуется устойчивость стационарного конвективного течения многокомпонентной смеси в плоском вертикальном слое, подогреваемом сбоку. Горизонтальный градиент температуры вызывает разделение смеси под действием эффекта Соре. Основное внимание уделено изучению длинноволновых возмущений в рамках линейной теории для смесей с произвольным числом компонент. Подробно исследованы случаи бинарной и тройной смесей.

В пятой главе изучается разделение многокомпонентной смеси в термодиффузионной колонне и его устойчивость. Колонна представляет собой длинный вертикальный слой с разностью температур между боковыми стенками (рис. 3). Термодиффузионное разделение смеси в поперечном направлении вместе с вертикальным конвективным потоком приводят к возникновению градиентов концентрации в вертикальном направлении, измерение которых позволяет определить коэффициенты термодиффузии. Необходимым условием корректности измерений является устойчивость стационарного конвектив-

В параграфе 4.1 теория термодиффузионной колонны обобщается на случай многокомпонентной смеси. Стационарное решение уравнений (5)—(8), описывающее конвекцию и разделение смеси в колонне, ищется в виде

ного движения в колонне.

Отверстие для (б)

шпапнаша

т0 -ат

г

т0+ат

р —

Отверстия для отборе проб

2 Я

у

и = (0, ги(х)), (17) Т = То + 2», С = Со + С(х) + Аг,

Рис. 3. Схема термодиффузнонной колонны (а) н геометрия рабочей области (б).

где А = (Ль ..., Ап-1) — постоянный вектор. Это решение является инвари-аитным_отпоснтелыю двумерной подгруппы преобразований {£ = £ + а^г = г + а2, С; = С, + Ага2,р = р + а2 ^,'¡=1 \PiPogz2/2} (см. (10)) и должно удовлетворять следующим условиям:

Предпоследнее условие соответствует отсутствию полного потока компонентов через поперечное ссчсние колонны. В работе предложено условие (критерий), при выполнении которого можно пренебречь вертикальной диффузией БдС/дг в колонне. Показано, что последнюю необходимо учитывать лини» при малых разностях температур или сильных диффузионных свойствах смеси. В предположении, что вертикальной диффузией можно пренебречь, построено решение вида (17) в безразмерных переменных (9). Вертикальное разделение смеси характеризуется концентрационными числами Рэлея 72. = (Дь ..., Яа-1) = ВБ~1А, которые связаны с отношени-

ями разделения формулой И = ЯФ"1 -ф, где Я = ¿"Г/ Щ — суммарное концентрационное число Рэлея. Анализ зависимости Ф = Ф(й) показывает, что задача имеет единственное решение при Ф > -1, счетное множество решений при —5 < Ф < —1, и не имеет решения при Ф < —5.

Профили безразмерной скорости и плотности (р — р0)/р0(ЗтАТ = —6 — 1С в поперечном сечении колонны показаны на рис. 4. При Ф = 0 изменения плотности за счет изменения концентрации компонентов компенсируют друг друга, см. (4). В результате получается линейное распределение плотности,

х = ±Ь: -ш = 0, Т = Т0±АТ,

соответствующее линейному распределению температуры. Для Ф > О легкие (тяжелые) компоненты по отношению к растворителю накапливаются вблизи нагретой (холодной) границы благодаря эффекту термодиффу-

Уз Р*

X

• I -0.8 -Об -0.4 -0.2 ^ -1

-а \

Рис. 4. Профплп безразмерной скорости (а) и плотности (б) в поперечном сечении 2 = 0. 1 : Ф = —0.9; 2 : Ф = 0; 3 : Ф = 2.5; 4 : Ф = 5. Число Грасгофа вг = 50.

зии. Конвективное течение, в свою очередь, приводит к накоплению легких (тяжелых) компонент в верхней (нижней) части колонны. Такая стратификация является гравитационно устойчивой. При Ф < 0 легкие (тяжелые) компоненты концентрируются вблизи холодной (нагретой) границы. Данная стратификация гравитационно неустойчива, так как легкие (тяжелые) компоненты накапливаются в нижней (верхней) части колонны благодаря конвекции. Этим объясняется неединственность или отсутствие решения при Ф < — 1.

Коэффициенты термодиффузии определяются по экспериментальным значениям вертикальных градиентов концентраций 0Тг = — 2g/?гZ/4(63г/)~1 дС^/дг. Эта формула получена в предположении, что плотность не зависит от концентрации, и справедлива при небольших значениях Ф. В работе установлено, что учет зависимости плотности от концентрации приводит к меньшим значениям Бц при заданных дСг/дг. Рассмотрены примеры реальных тройных смесей.

В параграфе 4.2 проведен линейный анализ устойчивости конвективного течения в колонне относительно двух типов возмущений (рис. 3 (б)): продольные волны в плоскости хг вида (Ф, ©, с) = (<р(х), в(х), £(ж)) ехр(-А4 + (кг), где Ф есть функция тока (и = —Ф2, ш = Ф*), и поперечные волны в плоскости уг вида (у, iv, 0, с) = (у{х), и>(х), в(х), £(х)) ехр(-/х£ + Ну).

Зависимость критического числа Грасгофа вг = g/?7^ДТЬ3/и2 в бинарной смеси с Рг = 10 от отношения разделения Ф представлена на Рис. 5 (а). Монотонная мода слабо зависит от чисел Прандтля и Шмидта. Гравитационно устойчивая стратификация при Ф > 0 оказывает стабилизирующий эффект на монотонную моду. С ростом Ф колебательная мода становится наиболее опасной и приводит к резкому понижению порога устойчивости. Колебательная неустойчивость связана с появлением двух возмущений, движущихся в вертикальном направлении с противоположными фазовыми скоростями.

Рис. 5. Зависимость критического числа Грасгофа от отношения разделения Ф для бинарной смеси (а) и от отношения разделения для тройной с.чсси с Ф = 0.3, Эсгг = 500 (б). Продольные (поперечные) возмущения показаны сплошными (штриховыми) линиями.

Ухудшение диффузионных свойств смеси (увеличение Бс) оказывает дестабилизирующий эффект. В случае Ф < 0 стратификация является гравитационно неустойчивой. Неустойчивость возникает при любом Сг > 0 в виде длинноволновых поперечных возмущений. Карта устойчивости тройной смеси совпадает с картой для бинарной смеси с отношением разделения Ф = 'Ф\. + 'Фч при в = Бси/Бсгг = 1. В случае 0 < в < 1 монотонная мода определяется только значением Ф, а колебательная мода зависит от см. рис. 5 (б). С увеличением разницы между диффузионными свойствами компонентов (в —> 0), указанная зависимость становится более сильной. В области гр1 < 0 наиболее опасными становятся поперечные возмущения, связанные с неустойчивой стратификацией в вертикальном направлении. Для поперечных волн доказан аналог принципа монотонности возмущений.

Теорема 3. Если концентрационные числа Рэлея /?, > 0 для г = 1,..., тг— 1, то поперечные возмущения затухают (гравитационно устойчивая стратификация). В случае Л* < 0 поперечные возмущения монотонны (гравитационно неустойчивая стратификация).

Теорема 4. Если нейтральные возмущения существуют при Я. = Кг

> 0, то они являются колебательными. Из теоремы 3 следует, что в этом случае градиенты концентраций компонентов имеют различные направления.

Параграф 4.3 посвящен изучению влияния продольных высокочастотных вибраций на разделение бинарной смеси в колонне. Построено точное решение осредненных уравнений движения (14). Показано, что наличие вибрации приводит к уменьшению вертикального разделения в колонне и неединственности стационарного решения для смесей с нормальной термодиффузией.

В шестой главе исследуется разделение смесей под действием термодиффузии в условиях вынужденной конвекции.

В параграфе 6.1 рассматривается осе-симметричиое течение многокомпонентной

Г = Т0

с, = си о;

3

У(г)

смеси в круглой тру- ^

бе с профилем скорости V(r) — V (1 Рис. G. Круглая труба с заданным потоком тепла на стенке.

(r/R)2), рис. 6. Учитываются эффекты Соре и Дюфора. На конечном отрезке трубы задан постоянный тепловой поток q на стенке, в остальной части труба теплоизолирована. Жидкость входит в трубу при z = —оо с заданной температурой То и концентрациями компонентов С,о- Уравнения тепломассопереноса и граничные условия имеют вид

ВТ ™-1 ЯС п~1

V(r)^ = xoV2T + £ Xj^Cj, V(r= DTiV2T + £ D^Cj, (18) j=i i=i

T(r, —oo) = To, gj(0,2) = 0, + (ig)

71 — 1 j=i

где г = 1,..., n — 1, J = 1 при = 0 при г < 0, г > L. Для чистой

жидкости (п = 1) задача (18),(19) сводится к задаче Грецадля температуры Т. В работе показано, что определение поля концентрации С, сводится к решению задачи Греца. Для этого матрица коэффициентов переноса в правой части уравнений (18) и в граничных условиях (19) приводится к диагональном}' виду diag{x', D[,..., Далее вводятся безразмерные переменные

4 = L, f = _?L i = -L ..-у „_с;-с;0

Я' 4 Рей' Рей' Ут' ®Я/х''

и делается замена = £(Ре,;/Ре)-1, /, = /(Рег/Ре)-1, где Рс = УтпП/х' и Ре, = У,пЕ/— тепловое и концентрационное числа Пекле. В результате задача для концентрации компонента г принимает вид

да 1 д ( да\ 1 д2а да ,

где = 1 - т]2, 5' = 1 при 0 ^ & < и = 0 при £ < 0, > /,. Задача для с, связана с задачей Греца для 0 заменой переменных а —■' в, & -и> 1г —» I, Ре, —> Ре. Решение задачи Греца было получено ранее в виде ряда по собственным функциям, зависящим от г, с коэффициентами, зависящими от

В работе построены примеры полей температуры и концентрации и трубе для бинарной смеси. Показано, что термодиффузия приводит к уменьшению

(а)"

0.0JS' 0.PU' 0.02$ 0.026 0.013'

0.010-

z/r = 1500xv \\ \

-т

\ » л\ 500

Аналитическое решение v\

Численное решение 1000

г/Я

Рис. 7. Профили объемной концентрации наночастиц в поперечных сечениях трубы (а) и зависимость коэффициента теплоотдачи от осевой координаты (б). Ре = 2500.

(увеличению) концентрации смеси вблизи стенки (на оси) трубы.

Параграф G.2 посвящен изучению влияния термофореза наночастиц на стационарное течение и тепломассообмен наножидкости вода/АЬОз в круглой трубе. Наножидкость входит в трубу при 2 = 0 с параболическим профилем скорости при температуре Т0 и объемной концентрации наночастиц Cvо. На отрезке трубы 0 ^ z ^ L задан постоянный тепловой поток q на стенке. Для описания наножидкости используется система уравнений

V- (рии) = -Vp+V ■ П, V-(pu) = 0, П = fi(Vu + VuT — 2/3 V • иЕ),

V • (РсриТ) = V • (kVT), V • (PuCm) = V • (PVVCm + PVTCmVT).

Здесь П — тензор вязких напряжений, ии, Vw — диадные произведения, Ст — массовая концентрация наночастиц, связанная с объемной концентрацией формулой рСт = pvCv, где рр — плотность наночастиц. Рассматриваются осе-симметричные уравнения в цилиндрических координатах (?', z). На выходе из трубы з = 2L ставятся условия равенства нулю производных от всех переменных по г. Физические свойства наножидкости являются функциями температуры и концентрации наночастиц и определяются на основе экспериментальных данных. С увеличением концентрации наночастиц плотность, теплопроводность и вязкость наножидкости растут, а теплоемкость — снижается.

В работе выполнено численное моделирование течения наножидкости в трубе для различных значений теплового числа Пекле Ре (использовался AN-SYS Fluent 14.5), а также построено аналитическое решение для постоянных физических свойств (задача (18),(19)). Установлено, что термофорез приводит к снижению концентрации наночастиц в пограничном слое вблизи степки трубы, см. рис. 7 (а). В результате вязкость и теплопроводность наножидкости в этой области уменьшаются. Скорость движения вблизи стенки при

VT

этом возрастает, а вблизи оси трубы — уменьшается. Это приводит к снижению необходимого перепада давления в трубе и увеличению коэффициента теплоотдачи /г = <7(!Г(Я, г) — Тъ(г))~1, где Ть(г) — среднемассовая температура в поперечном сечении трубы (рис. 7 (б)). Показано, что с увеличением концентрации наночастиц, теплового числа Пекле и интенсивности термофо-реза локальный и средний коэффициенты теплоотдачи возрастают. При достаточно интенсивном термофорезе в области малых чисел Пекле наблюдается уменьшение среднего коэффициента теплоотдачи с увеличением числа Пекле. Установлено, что термофорез приводит к росту числа Нуссельта N11 = /(■2К/к с увеличением концентрации наночастиц. В отсутствии термофореза (при постоянной концентрации С,, = С,,о) число Нуссельта от концентрации наночастиц не зависит. Зависимость коэффициента теплоотдачи от мощности, требуемой для прокачивания теплоносителя через канал, показывает, что на-ножидкость эффективнее базовой жидкости только при малых мощностях.

Седьмая глава посвящена исследованию устойчивости термокапиллярной конвекции в модели жидкого моста. Эта модель используется для изучения течений, возникающих в зоне расплава при росте кристаллов методом зонной плавки. В модели объем жидкости помещен между двумя цилиндрическими стержнями радиуса Я, расположенными на расстоянии Н друг от друга (рис. 8). Разность температур между стержнями приводит к возникновению градиента поверхностного натяжения на свободной границе, который вызывает термокапиллярное движение. При небольших разностях температур движение стационарное. С ростом разности температур оно становится неустойчивым. Аналогичная неустойчивость в зоне расплава приводит к ухудшению качества кристалла в методе зонной плавки.

Для описания течений в жидком мосте используются уравнения Навье-Стокса и переноса тепла в цилиндрических координатах. Предполагается, что поверхностное натяжение линейно зависит от температуры: а = сто — <7т(Т — То). Введем характерные масштабы времени ц/отА, координаты Д, скорости сгтАИ/ц, температуры АН и давления ах А. где А = дТ/дг. Условия на свободной границе г = 1 в безразмерных переменных имеют вид

диш

и.1

_»—,— г

Рис. 8. Жидкий мост.

И, = О,

дг

v ОТ duz дТ дТ

где и = (иг, uv, uz), Bi = hR/к — число Био, h — поверхностный коэффициент теплоотдачи, Тх — безразмерная температура окружающего газа. Стационар-

Рис. 9. Нейтральные кривые (а) и зависимость критического числа Марангони от Рг дли мод то = 0,1,2 (G). Рг = 50, Bi = 0.

нос течение б бесконечном жидком мосте (II/R -* оо) описывается решением

= Р° = 2z + Ca-1, = г00 = -г>

при этом и°г = = 0. Здесь Ма = рсратА112/цк - число Марангони, Ca = (JtAR/gq капиллярное число.

Рассмотрим задачу об устойчивости стационарного течения относительно малых возмущений, задаваемых в виде нормальных волн ~ exp(-Ai + i(kz + mip)), где А = Аг + ш. Эта задача сводится к решению системы уравнений для амплитуд возмущений, зависящих от г. Раннее данная задача решалась в работе J.J. Xu & S.H. Davis, Phys. Fluids, V. 27 (5), 1984. Выли определены критические числа Марангони для мод гп = 0,1. см. рис. 9 (б). Согласно этим результатам, при Рг < Рг* критической модой является m = 1, в то время как для Рг > Рг* критическая мода есть m = 0 (расчет для ш = 2 не производился). Значение Рг* зависит от Bi.

В данной работе линейный анализ устойчивости в бесконечном жидком мосте существенно пересмотрен. Известные ранее результаты для моды m = 1 подтверждены в области малых Рг. В то же время показано, что для больших Рг граница устойчивости в плоскости (Рг, Ма) лежит ниже, чем это было установлено ранее (рис. 9 (б)). Это связано с тем, что моды m = 1,2,... имеют две иодмоды, каждая из которых соответствует парс гидротенловых волн, см. рис. 9 (а). Одна пара волн распространяется в направлениях, образующих острый угол с осью z (подмода (а) для к > 0 и к < 0), а другая пара — в направлениях, образующих тупой угол с осыо г (нодмода (Ь) для к > 0 и к < 0). Ранее была известна лишь подмода тп = 1 (а), которая является наиболее опасной при малых Рг. Установлено, что для больших Рг наиболее неустойчива подмода m = 1 (Ь). Смена критической подмоды происходит в точке Рг* = 19.95 для Bi = 0.

Таблица 1. Сравнение результатов расчета для бесконечного жидкого моста и экспериментальных результатов для длинного жидкого моста (Л = 3 мм, H/R = 5).

m к А / Ма U) Направление

К/м Гц волны

Расчет Xu & Davis 1 0.86 52.2 0.217 257.1 0.701 По течению

Расчет данной работы 1 1.72 46.4 0.085 228.7 0.309 Против течения

Эксперимент Schwabe 1 - 39 0.114 192 0.495 Против течения

Сравнение новых и ранее известных результатов с экспериментальными данными работы D. Schwabe, Phys. Fluids, V. 17, 112104, 2005 представлено в Таблице 1. В экспериментах исследовалась неустойчивость в длинном жидком мосте в условиях невесомости. В качестве рабочей жидкости использовалось силиконовое масло (2 сСт). Как видно, результаты настоящей работы лучше согласуются с экспериментом, чем данные Хч & Davis. В таблице проекция направления движения волны на ось г сравнивается с направлением стационарного термокапиллярного течения на свободной границе.

В восьмой главе проводится экспериментальное и численное исследование термовибрационной конвекции в условиях низкой гравитации.

Основные результате описаны в Параграфе 8.1. Для изучения термовибрационных течений разработана экспериментальная установка (рис. 10 (а)). Рабочая жидкость (изопропапол) помещается в кубическую ячейку размером L = 5 мм с прозрачными стенками (рис. 10 (б)). Верхняя и нижняя стенки поддерживаются при температурах Тгор и Тхол с помощью элементов Пельтье. Ячейка крепится к линейному мотору, совершающему поступательные гармонические колебания с частотой / и амплитудой А перпендикулярно градиенту температуры. Характеристики линейного мотора и реализованные случаи показаны на рис. 10 (в). Термовибрационные течения регистрируются путем наблюдения поля температур с помощью интерферометра Маха-Цендера. Луч гелий-неонового лазера (632.8 нм) разделяется па два пучка, один из которых проходит через ячейку в двух перпендикулярных направлениях, а другой — мимо нее. Зависимость показателя преломления от температуры позволяет восстановить двумерные проекции ноля температур на плоскости yz и хz путем обработки картин, получаемых в результате интерференции пучков.

Эксперименты проводились в параболических полетах на самолете Airbus A300 во время 46 и 48 кампаний, организованных Европейским космическим агентством. Такие полеты позволяют создать состояние низкой гравитации (g ~ 10~2g0, где g0 = 9.81 м/с2) длительностью около 20 секунд. Кампания состоит из 3 полетов, в каждом из них выполняется 31 парабола. В каждом сеансе эксперимента в ячейке устанавливался градиент температуры. Вибрация

У Зеркало Расширитель

Рис. 10. Схема экспериментальной установки (а), кубическая полость (б), рабочая область линейного мотора (в).

включалась в начале периода низкой гравитации и продолжалась в течение 25 секунд. В это время происходила запись интерференционных картин. Термовибрационные течения моделировались на основе уравнений

д, и + {и • V) и = ~р01Ур + у\/2и + (1 - /Зт(Т - То))(е(£) + Аи;2 С08(ш*) е),

д1Т + {и- У)Т = ХУ2Т, V ■ и = 0, (20)

где е = (1,0,0), си = 2-к}, g(í) = (g;c,g!/,g,) вектор ускорений, измеряемый в полете с помощью акселерометра. На границах ячейки ставились условия прилипания, на боковых стенках задавался линейный профиль температуры. Расчеты проводились для трехмерных уравнений (20). В безразмерных переменных (9) эти уравнения содержат следующие параметры:

Рг-^ П-^ пя (Л - А^/ЗтАТЬ3 и' -^-' Ка-=-—-'

где АТ = Тгор — Тхол. Для параметрического исследования при фиксированном уровне ускорений использовались двумерные осредненные уравнения (14) для однородной жидкости (С = 0). Вместо колебательного числа Рэлея 11аад и безразмерной частоты П эти уравнения содержат лишь один параметр число Гершуни Он = (Аи/ЗтАТЬ)2/2и\.

Для успешной реализации эксперимента была решена сложная проблема выбора параметров (в том числе рабочей жидкости) на основе следующих критериев: 1) термовибрационный механизм конвекции должен быть доминирующим но сравнению с гравитационным, вызванным остаточными ускорениями: Сн/Па^г = (Аш) (ЗтАТ/2Ьах у^ —> щах; 2) для наблюдения осредненных течений период т = 1// и амплитуда А колебаний должны удовлетворять неравенствам т < Ь2/и, т < Ь2/х, А <С ЬЦЗтАТ, а также находится в рабочей области линейного мотора; 3) вязкое время I?¡V должно быть меньше

Оз = О вя = 14054 ва = 40610 Сй = 71149

Рис. 11. Осредненные поля скорости и температуры для различных значений числа Гершуии в конце сеансов: эксперимент (а), численный расчет (б).

20 секунд. Использовались разности температур ДТ = 15 К и ДТ = 20 К. при этом Т0 = 40 "С. Диапазон чисел Гершуни составлял от Об = 0 до Се = 71149.

На рис. 11 показаны осредненные поля скорости и температуры в конце сеансов для различных значений Се. При отсутствии вибрации (Се = 0) наблюдаются небольшие отклонения температуры от теплопроводного режима в силу слабого конвективного течения, вызванного остаточными ускорениями. С ростом числа Гершуни искривление изотерм усиливается, что свидетельствует о развитии осредненного термовибрационного течения. Экспериментальные и численные результаты хорошо согласуются. В ячейке наблюдается осредненное течение из одного большого диагонального вихря и двух маленьких вихрей в углах. При больших значения С к термовибрационный механизм конвекции является доминирующим (в частности, для вв = 71149 имеем Ов/11аг = 14.28, Ов/Иа^ = 28.55 при gz|gй = 0.02 и g:v¡y/g(1 = 0.01).

Для количественной оценки переноса тепла под действием термовибрационной конвекции используется число Нуссельта

1 Г дТ

где дТ/дп = \7Т ■ п — нормальная составляющая градиента температуры на границе ячейки Г. Зависимость числа Нуссельта, рассчитанного в конце сеан-

- вт/бО = = 0

-------ь/&1 = 5 • 10~3

= 2 • 10~2

----1 = 5 • 10~3

= 0 , \

шГа • Эксперимент

1 /' □ □ Численный расчет (30}

~ Численный расчет (20)

Сэ х м-3

Рис. 12. Зависимость N11 от Се.

сов, от числа Гершуни показана на рис. 12. Двумерные расчеты соответствуют различным уровням остаточных ускорений. Из графика видно, что экспериментальные значения слегка превышают численные значения. Это связано с тем, что тепловые потоки через боковые стенки в эксперименте являются более интенсивными, чем в численном расчете. В то же время, характер изменения N11 в эксперименте и численном расчете одинаков. Результаты демонстрируют значительный рост числа Нуссельта с увеличением интенсивности вибрации.

В параграфе 8.2 проводится качественный анализ осредненных уравнений термовибрационной конвекции. Получены простые соотношения (оценки), выражающие зависимости осреднепной скорости, температуры и давления от управляющих параметров и физических свойств жидкости.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен новый формализм для описания многокомпонентных смесей с эффектом Соре на основе безразмерных параметров — отношений разделения. Эти параметры характеризуют отношение градиентов плотности, вызванных градиентами концентраций и температуры в условиях термодиффузионного разделения. Введено понятие суммарного отношения разделения, которое не зависит от выбора растворителя. Предложенный формализм позволяет эффективно решать задачи о конвекции в смесях.

2. Впервые установлены свойства инвариантности уравнений движения бинарной и многокомпонентной смесей с эффектом Соре. Вычислены группы преобразований и соответствующие алгебры Ли операторов, допускаемые уравнениями в зависимости от значений физических параметров (решена задача групповой классификации). Выполнена классификация инвариантных решений для двумерных и трехмерных уравнений конвекции бинарной смеси (построены оптимальные системы подалгебр). Изучены групповые свойства осредненных уравнений вибрационной конвекции бинарной смеси.

3. Найдено новое преобразование, которое позволяет исключить члены, связанные с перекрестной диффузией, из уравнений движения многокомпонентной смеси. Показано, что сила плавучести в уравнении импульса и суммарное отношение разделения инвариантны относительно этого преобразования. Установлена применимость последнего к задачам конвекции в областях с проницаемыми и непроницаемыми границами. Найдено преобразование, которое позволяет исключить члены, характеризующие термодиффузию, из уравнений переноса массы.

4. Впервые построена линейная теория устойчивости равновесия в плоском слое многокомпонентной смеси с эффектом Соре. Установлен принцип монотонности возмущений для слоя со свободными / твердыми проницаемыми

границами. Найдены критические параметры неустойчивости относительно длинноволновых возмущений в смеси с произвольным числом компонент для твердых непроницаемых границ. Построены карты устойчивости для тройных смесей в широкой области параметров. Обнаружено существование длинноволновой колебательной неустойчивости в смесях с тремя и большим числом компонент. Выполнено сравнение аналитических и численных результатов для различных типов граничных условий. Изучена устойчивость стационарного течения многокомпонентной смеси с эффектом Соре в плоском вертикальном слое, подогреваемом сбоку, относительно длинноволновых возмущений.

о. Развита теория разделения многокомпонентных смесей в замкнутой термодиффузионной колонне. Найдено точное решение уравнений движения. Впервые показано, что это решение может быть единственным, неедипствеп-ным, а также может не существовать в зависимости от значений суммарного отношения разделения. В последних двух случаях тяжелые компоненты накапливаются в верхней части колонны, что приводит к потенциально неустойчивой стратификации. Изучено влияние зависимости плотности от концентрации па измеряемые значения коэффициентов термодиффузии. Впервые предложен критерий, при выполнении которого можно пренебречь вертикальной диффузией в колонне. Показано, что высокочастотная вибрация приводит к уменьшению вертикального разделения смеси, а также к неединственности стационарного решения для смесей с нормальным эффектом Соре.

6. Впервые построена линейная теория устойчивости стационарного течения в колонне для двух типов возмущений (продольных и поперечных волн). Показано, что в колонне имеет место монотонная неустойчивость, связанная с образованием вихрей на границе встречных потоков, а также колебательная неустойчивость, обусловленная температурными и концентрационными волнами в условиях вертикальной стратификации по концентрации. Неустойчивость в поперечном направлении колонны связана с дестабилизирующим вертикальным градиентом плотности в смесях с аномальным эффектом Соре. Для поперечных поли доказан аналог принципа монотонности возмущений, а также ряд теорем, характеризующих свойства, устойчивости системы для смеси с произвольным числом компонент. Построены карты устойчивости для бинарных и тройных смесей в широкой области параметров.

7. Впервые проведено обобщение задачи Греца о теплообмене в цилиндрической трубе с течением Пуазейля на случай многокомпонентной смеси с учетом эффектов Соре и Дюфора. На конечном отрезке трубы задан постоянный тепловой поток, в остальной части труба теплоизолирована. Смесь с заданной температурой и концентрацией компонентов поступает в трубу вдали от обогреваемого участка. С помощью линейных преобразований переменных

уравнении и граничные условия для температуры и концентрации каждого компонента сведены к задаче, которая полностью совпадает с задачей Греца для однокомпонсптной среды. Изучено влияние эффекта Соре на распределение концентрации в бинарной смеси при малых и больших числах Пекле.

8. Впервые установлены закономерности влияния диффузии и термофо-реза наночастиц на вынужденную конвекцию наножидкости в трубе с заданным потоком тепла иа стенке. Исследовалась ианожидкость вода — оксид алюминия. Выполнено численное моделирование вынужденной конвекции наножидкости в трубе с учетом переменных физических свойств. Проведено сравнение численных результатов с точным решением. Установлено, что термофорез приводит к снижению концентрации наночастиц вблизи стенки трубы. В результате вязкость и теплопроводность наножидкости в этой области уменьшаются. Скорость движения вблизи стенки при этом возрастает, а вблизи оси трубы — уменьшается. Это приводит к снижению необходимого перепада давления в трубе и увеличению коэффициента теплоотдачи. Показано, что с увеличением теплового числа Пекле и интенсивности термофореза локальный и средний коэффициенты теплоотдачи возрастают. Установлено, что термофорез приводит к росту числа Нусссльта с увеличением концентрации наночастиц, в то время как в отсутствии термофореза число Нуссельта от концентрации наночастиц не зависит.

9. Рассмотрена задача об устойчивости стационарного термокапиллярного течения в бесконечном жидком мосте. Результаты решения этой задачи, полученные ранее и считающиеся классическими, существенно пересмотрены. Установлено, что помимо гидротепловой волны, распространяющейся в направлении стационарного течения на поверхности, существует еще одна гидротепловая волна, которая распространяется в противоположном направлении. Последняя является наиболее опасной в области больших чисел Прандтля и существенно понижает границу устойчивости. Новые результаты лучше согласуются с экспериментом па качественном и количественном уровне.

10. Впервые получепо прямое экспериментальное подтверждение существования термовибрационных течений в условиях низкой гравитации параболического полета. Структура осредненного поля температур, наблюдаемая экспериментально, подтвердила результаты предыдущих численных исследований. Обнаружено увеличение нерепоса тепла под действием осреднеипых термовибрационных течений. Прямое численное моделирование течений в трехмерной постановке и расчеты на основе осреднеипых двумерных уравнений показали хорошее согласие с экспериментом. Получены простые оценки, выражающие зависимости осредненной скорости, температуры и давления от управляющих параметров и физических свойств жидкости.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

РЫЖКОВ И.И. Термодиффузия в смесях: уравнения, симметрии, решения и их устойчивость. Монография. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2013. 200 с.

рыжков И.И. Оптимальная система подалгебр для уравнений термодиффузии // Вычислит, технологии. 2004. Т. 9. № 1. С. 95-104. андреев В.К., Рыжков И.И. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии // Дифф. уравнения. 2005. Т. 41. № 4. С. 508-517.

RYZHKOV I.I. On the normalizers of subalgebras in an infinite Lie algebra // Commun. in nonlinear science and numerical simulation. 2006. V. 11. № 2. P. 172-185.

рыжков И.И. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии бинарной смеси в случае плоского движения // ПМТФ. 2006. Т. 47. № 1. С. 95-108.

ryzhkov i.i. On double diffusive convection with Soret effect in a vertical layer between co-axial cylinders /'/ Physica D: Nonlinear phenomena. 2006. V. 215. № 2. P. 191-200.

R.yzhkov I.I., Shevtsova V.M. On thermal diffusion and convection in multicornponent mixtures with application to the therinogravitational column // Phys. Fluids. 2007. V. 19. № 2. 027101.

ryzhkov i.i. Symmetry analysis of equations for convection in binary mixture /'/ J. Siberian Federal University. 2008. V. 1. № 4. P. 410-431. Melnikov D.E., Ryzhkov 1.1., Mialdun A., Shevtsova V. Thermovi-brational convection in microgravity: preparation of a parabolic flight experiment // Micrograv. Sci. Tech. 2008. V. 20. P. 29-39. Mialdun A., Ryzhkov I.I., Melnikov D.E., Shevtsova V. Experimental evidence of thermal vibrational convection in non-uniformly heated fluid in a reduced giavity environment // Phys. Rev. Lett. 2008. V. 101. 084501. Ryzhkov 1.1., Shevtsova V.M. On the cross-diffusion and Soret effect in multicornponent mixtures // Micrograv. Sci. Tech. 2009. V. 21. № 1-2. P. 37-40.

ryzhkov 1.1., Shevtsova V.M. Long-wave instability of a multicornponent fluid layer with the Soret effect // Phys. Fluids. 2009. V. 21. № 1. 014102. Ryzhkov 1.1., Shevtsova V.M. Convective stability of multicornponent fluids in the thermogravitational column // Phys. Rev. E. 2009. V. 79. № 2. 026308.

[14] Андреев В.К., Бекежанова В.Б., Ефимова М.В., Рыжков И.И., степанова И.В. Неклассические модели конвекции: точные решения и их устойчивость // Вычислит, технологии. 2009. Т. 14. № 6. С. 5-18.

[15] Shevtsova V., Gaponenko Y., Melnikov D., Ryzhkov 1.1., Mialdun A. Study of thermoconvective flows induced by vibrations in reduced gravity // Acta Astronáutica. 2010. V. GG. № 1-2. P. 166-173.

[16] Shevtsova V., Ryzhkov I.I., Melnikov D., Gaponenko Y., Mialdun A. Experimental and theoretical study of vibration-induced convection in low gravity ,// J. Fluid Mech. 2010. V. 648. P. 53-82.

]17] Ryzhkov 1.1., Gaponenko Y.A. On the Boussinesq approximation in the problems of convection induced by high frequency vibration // J. Siberian Federal University. 2010. V. 3. № 4. P. 433-449.

[18] Shevtsova V., Mialdun A., Melnikov D., Ryzhkov I., Gaponenko Y., Saghir Z., Lyuuimova Т., Legros J.C. The IVIDIL experiment onboard the ISS: Thermal diffusion in the presence of controlled vibration // Comptes Rendus Mecanique. 2011. V. 339. № 5. P. 310-317.

[19] Рыжков И.И., степанова И.В. Групповые свойства и точные решения модели вибрационной конвекции бинарной смеси // ПМТФ. 2011. Т. 52. № 4. с. 72-82.

[20] Ryzhkov I.I. Thermocapillary instabilities in liquid bridges revisited // Phys. Fluids. 2011. V. 23, 082103.

[21] рыжков И.И. Длинноволновая неустойчивость плоского слоя многокомпонентной смеси с эффектом Соре // Изв. РАН: МЖГ. 2013. № 4. С. 64-79.

[22] Ryzhkov I.I. The extended Graetz problem with specified heat flux for mul-ticomponent fluids with Soret and Dufour effects // Int. J. Heat and Mass Trans. 2013. V. 66. P. 461 471.

[23] рыжков И.И. Групповой анализ уравнений термодиффузии в двумерном случае // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. Красноярск. 2004. С. G5-69.

[24] рыжков И.И. Групповая классификация уравнений термодиффузии // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. Красноярск. 2003. С. 62-72.

[25] рыжков И.И. Построение оптимальной системы подалгебр для уравнений термодиффузии в специальном случае // Труды 35 ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург. 2004. С. 160-164.

[2GJ Ryzhkov I.I. Symmetry analysis of the thermal diffusion equations in the planar case // Proceedings of 10th International Conference on Modern Group Analysis. Larnaca, Cyprus. 2005. P. 182-189.

[27] RYZHKOV I.I. On convection in binary mixture with Soret and Dufour effects //' Proceedings of 7th International Meeting on Thermal Diffusion. San-Sebastian, Spain, 2006.'P. 103-111.

[28] Ryzhkov 1.1., Shevtsova V.M., Van Vaerenbergh S. On thermal diffusion in ternary mixture // Proceedings of 7th International Meeting on Thermal Diffusion. San-Sebastian, Spain. 2006. P. 219-229.

[29] Ryzhkov I.I., Shevtsova V.M. Stability of multicomponent convection in vertical layer with thermal diffusion // Proceedings of 8th International Meeting on Thermal diffusion. Bonn, Germany. 2008. P. 249-254.

[30] Shevtsova V., Ryzhkov I.I., Mialdun A., Melnikov D., Gaponenko Y. Experimental study of thermo-vibrational convection in reduced gravity // Proceedings of 59th International Astronautical Congress. Glasgow, Great Britain, 2008. IAC 08.A2-2.4.

[31] STEPANOVA I.V., RYZHKOV I.I. Symmetries of equations for vibrational convection in binary mixture // Proceedings of 5th International Workshop in Group Analysis of Differential Equations and Integrable System. Cyprus, Protaras. 2010. P. 200-206.

[32] рыжков И.И., минаков А.В. Исследование процессов переноса тепла и наночастиц в наножидкостях в условиях вынужденной конвекции // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. Красноярск. 2013. С. 122-137.

Подписано в печать 31.03.2014 г. Формат 60x84/16 Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз.

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук

05С0145318-1 На правах рукописи

Рыжков Илья Игоревич

СТРУКТУРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ЧИСТЫХ ЖИДКОСТЯХ И МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЯХ С ЭФФЕКТОМ ТЕРМОДИФФУЗИИ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор В.К. Андреев

Красноярск — 2014

Содержание

Введение 6

Глава 1. Обзор литературы 35

1.1 Измерение коэффициентов диффузии и термодиффузии .... 35

1.2 Конвективная устойчивость смесей................................43

1.3 Вибрационная конвекция............................................51

1.4 Теплообмен в условиях вынужденной конвекции ................59

1.5 Групповой анализ уравнений конвекции..........................69

Глава 2. Термодиффузия в смесях 78

2.1 Бинарные смеси ..................................................78

2.1.1 Общие сведения................................................78

2.1.2 Уравнения движения........................................82

2.1.3 Пример смеси этанол-вода..................................84

2.2 Многокомпонентные смеси......................................88

2.2.1 Теоретическое описание......................................88

2.2.2 Уравнения движения........................................93

2.2.3 Пример тройной смеси......................................94

Глава 3. Групповой анализ уравнений движения смесей 96

3.1 Модель конвекции бинарной смеси..........................96

3.1.1 Групповые свойства..........................................96

3.1.2 Преобразования эквивалентности.............103

3.1.3 Структура допускаемой алгебры операторов.......107

3.1.4 Оптимальные системы подалгебр.............112

3.2 Модель конвекции бинарной смеси в плоском случае . 116

3.2.1 Групповая классификация.................116

3.2.2 Структура допускаемой алгебры операторов.......118

3.2.3 Оптимальные системы подалгебр.............119

3.3 Уравнения движения многокомпонентной смеси .... 124

3.3.1 Групповые свойства.....................124

3.3.2 Исключение коэффициентов перекрестной диффузии . . 126

3.4 Модель вибрационной конвекции бинарной смеси ... 129

3.4.1 Уравнения движения смеси в вибрационном поле .... 129

3.4.2 Групповые свойства.....................131

Глава 4. Конвективная устойчивость

многокомпонентных смесей 137

4.1 Устойчивость механического равновесия

в плоском слое...........................137

4.1.1 Постановка задачи......................137

4.1.2 Принцип монотонности возмущений............141

4.1.3 Решение для свободных проницаемых границ......146

4.1.4 Решение для твердых непроницаемых границ......153

4.1.5 Бинарные смеси.......................158

4.1.6 Тройные смеси........................162

4.1.7 Пример тройной смеси ...................173

4.2 Устойчивость конвективного движения

в вертикальном слое.......................174

4.2.1 Постановка задачи......................174

4.2.2 Решение для длинноволновых возмущений........179

4.2.3 Бинарная смесь.......................181

4.2.4 Многокомпонентная смесь.................181

4.2.5 Механизм неустойчивости .................185

4.2.6 Длинноволновая неустойчивость в тройной смеси .... 189

Глава 5. Разделение смесей в термодиффузионной колонне 199

5.1 Разделение многокомпонентной смеси

в плоской колонне.........................199

5.1.1 Постановка задачи......................199

5.1.2 Построение решения.....................206

5.1.3 Анализ решения.......................211

5.1.4 Влияние зависимости плотности от концентрации .... 218

5.1.5 О диффузии в вертикальном направлении колонны . . . 219

5.1.6 Пример тройной смеси...................222

5.2 Устойчивость конвективного движения в колонне .... 225

5.2.1 Линеаризованная задача..................225

5.2.2 Бинарные смеси.......................229

5.2.3 Тройные смеси........................232

5.2.4 Поперечные возмущения..................239

5.2.5 Пример тройной смеси...................246

5.3 Влияние высокочастотной вибрации

на разделение смеси.......................246

5.3.1 Постановка задачи......................246

5.3.2 Построение решения.....................249

5.3.3 Влияние вибрации на разделение смеси в колонне .... 253

Глава 6. Термодиффузия в условиях вынужденной конвекции 256 6.1 Вынужденная конвекция многокомпонентной

смеси в круглой трубе.......................257

6.1.1 Постановка задачи......................257

6.1.2 Многокомпонентная смесь с эффектами Соре и Дюфора 258

6.1.3 Многокомпонентная смесь с эффектом Соре.......262

6.1.4 Случай равенства теплового и

концентрационного чисел Пекле..............265

6.1.5 Тепломассообмен при малых числах Пекле........269

6.1.6 Влияние эффекта Дюфора.................271

6.2 Влияние термофореза наночастиц на вынужденную

конвекцию наножидкости....................272

6.2.1 Физические свойства наножидкости вода —

оксид алюминия .......................272

6.2.2 Постановка задачи о вынужденной конвекции в трубе . 280

6.2.3 Влияние термофореза наночастиц

на течение и теплообмен в трубе..............286

6.2.4 Интенсивность теплообмена в трубе............291

Глава 7. Устойчивость термокапиллярных течений 298 7.1 Устойчивость термокапиллярного течения

в жидком мосте..........................298

7.1.1 Общие сведения.......................298

7.1.2 Постановка задачи......................300

7.1.3 Обсуждение результатов..................305

Глава 8. Термовибрационная конвекция

в условиях низкой гравитации 315

8.1 Исследование термовибрационной конвекции ......316

8.1.1 Описание эксперимента...................316

8.1.2 Математическое моделирование..............320

8.1.3 Выбор параметров эксперимента..............327

8.1.4 Влияние остаточных ускорений на режимы течения . . . 332

8.1.5 Интенсивность термовибрационной конвекции......337

8.1.6 Пространственная структура течения...........342

8.1.7 Интенсификация теплообмена...............345

8.2 Об интенсивности осредненных течений..........348

Заключение 353

Литература 359

Введение

Процессы тепломассообмена играют ведущую роль во многих природных явлениях и промышленном производстве. Современные технологии производства и обработки материалов, добычи полезных ископаемых, прогнозирования природных явлений требуют наиболее полного и адекватного описания процессов переноса тепла и массы в жидкостях и газах. Последние зачастую представляют собой смеси различных веществ с большим числом компонент. В многокомпонентных системах обнаруживается большое разнообразие переходных процессов и структур благодаря сложному взаимодействию между конвекцией, теплопроводностью, диффузией и перекрестными эффектами [1,2]. К последним относятся термодиффузия и диффузионная теплопроводность. Термодиффузией (или эффектом Соре) называют возникновение потока компонентов смеси под действием градиента температуры, а диффузионной теплопроводностью (или эффектом Дюфора) — возникновение потока тепла под действием градиентов концентрации компонентов смеси [3]. Эффект Дюфора существенен в газах, при смешении которых может возникать разность температур порядка нескольких градусов, и пренебрежимо мал в жидкостях, где возникающая разность температур в тысячу раз меньше [3]. Эффект Соре является существенным как в газовых [4], так и в жидких смесях [5].

Явление термодиффузии было впервые экспериментально открыто в жидкостях Карлом Людвигом в 1856 г. Он обнаружил разность концентраций в пробах растворов сульфата натрия, взятых из разных частей неравномерно нагретого сосуда [6]. Спустя 23 года термодиффузия была более подробно исследована Шарлем Соре в водных растворах хлорида натрия и нитрата калия [7|. Раствор помещался в трубу длиной 30 см, концы которой поддерживались при различных постоянных температурах. Анализ проб, проведенный

примерно через 50 дней, показал, что концентрация солей в холодной области больше, чем в нагретой.

В газах эффект термодиффузии был вначале предсказан теоретически Энскогом [8] и независимо от него Чэпменом [9] при разработке молекулярно-кинетической теории газов. Первое экспериментальное подтверждение термодиффузии в газах было получено в опытах Чэпмена и Дутсона [10]. Два резервуара, соединенных трубкой, наполнялись смесью водорода и двуокиси углерода (или двуокиси серы), после чего один из резервуаров нагревался до 200 °С в течение нескольких часов. Анализ проб показал, что содержание водорода в горячем резервуаре было на 2-3 % больше, чем в холодном.

Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показали важность учета термодиффузии при описании и предсказании процессов переноса тепла и массы. В частности, эффект Соре оказывает существенное влияние на распределение компонентов в месторождениях углеводородов благодаря наличию геотермального градиента [11]. Описание и предсказание состава месторождений чрезвычайно важно для их эффективной разработки и добычи нефти [12]. Диффузия и термодиффузия играют важную роль в термохалинной циркуляции в океанах, связанной с наличием градиентов температуры и солености [13]. Кроме этого, эти явления влияют на геологические процессы в мантии Земли и изливающейся на поверхность магме [14], а также на концентрацию тяжелых элементов в солнечной короне [15]. В живой материи эффект Соре вызывает перенос вещества через клеточные мембраны благодаря наличию небольших градиентов температуры [16]. Термодиффузия широко используется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях [17,18]. В ядерных реакторах термодиффузию окислов урана и плутония также принимают во внимание [19].

Рассмотрим смесь из двух компонент. Пусть Т — температура смеси, а С — концентрация (массовая доля) одного из компонентов. Будем предполагать, что отклонения температуры и концентрации от средних значений не слишком большие. Тогда плотность потока выбранного компонента смеси (в кг/м2с)

дается формулой

J = -p0(VVC + VтVT),

(0.1)

где ро — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, Т> — коэффициент диффузии, Т>т — коэффициент термодиффузии. Первый и второй члены в правой части уравнения (0.1) описывают потоки, возникающие под действием диффузии и термодиффузии соответственно. Заметим, что коэффициент диффузии всегда положителен, в то время как коэффициент термодиффузии может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от вида смеси [5]. При Т*т < 0 (Т>т > 0) направления градиента температуры и термодиффузионного потока массы —роТ>тУТ совпадают (противоположны), в результате чего выбранный компонент смеси перемещается в более нагретую (более холодную) область. Термодиффузия в бинарной смеси называется нормальной (аномальной), если легкий компонент перемещается в более нагретую (более холодную) область под действием градиента температуры.

Пусть смесь находится в области с непроницаемыми границами в состоянии механического равновесия. В области создается стационарное неоднородное распределение температуры (например, путем подогрева одной части границы и охлаждения другой). Тогда через некоторое время система достигает стационарного состояния, в котором поток массы (0.1) исчезает. В результате в смеси устанавливается градиент концентрации, пропорциональный градиенту температуры

Заметим, что во многих практических случаях разность концентраций, вызванная эффектом Соре, не превышает нескольких процентов. Однако даже такая неоднородность концентрации может существенно повлиять на характер движения смеси и процессы тепломассообмена.

Для описания и предсказания тепломассообмена в смесях необходимо знание коэффициентов переноса (в частности, коэффициентов диффузии и термодиффузии). Эти коэффициенты могут быть вычислены на основе мо-

(0.2)

лекулярно - кинетической теории [8,9], термодинамики необратимых процессов [3], а также теории стохастических процессов [20]. Указанные теории дают достаточно хорошее совпадение с экспериментальными данными для широкого класса газовых смесей. Эффект термодиффузии в газовых смесях, как правило, зависит от размера и массы молекул компонентов. Согласно классической молекулярно-кинетической теории [4], более тяжелые компоненты перемещаются в более холодную область под действием градиента температуры (нормальный эффект Соре). Если компоненты имеют примерно одинаковые молекулярные массы, то в более холодную область перемещаются компоненты, молекулы которые имеют больший размер. В жидких смесях характер эффекта термодиффузии в первую очередь определяется силами межмолекулярного взаимодействия, а также зависит от массы, размера и пространственной структуры молекул [5]. В связи с этим коэффициенты переноса существенно зависят от концентрации компонентов смеси. Таким образом, в одной и той же смеси может наблюдаться как нормальный, так и аномальный эффект Соре в зависимости от исходной концентрации. В настоящее время для теоретической оценки коэффициентов диффузии и термодиффузии в жидких смесях используется ряд подходов, основанных на феноменологической и статистической термодинамике необратимых процессов [21-24], а также статистической теории равновесных флуктуаций [25,26]. Подробный обзор существующих моделей можно найти в [27]. В целом, эти модели позволяют предсказать коэффициенты диффузии и термодиффузии для некоторых классов жидких бинарных смесей с хорошей точностью. Однако, теория явлений переноса в многокомпонентных жидких средах еще далека от завершения. Экспериментальная проверка имеющихся теоретических моделей затруднена из-за недостатка или отсутствия экспериментальных данных для жидких смесей с тремя и большим числом компонент. В связи с этим разработка методов измерения и получение точных данных по коэффициентам диффузии и термодиффузии имеют огромную важность для развития теории переноса в смесях и ее приложений к описанию явлений природы и промышленных процессов.

Общий принцип измерения коэффициентов диффузии в смесях состоит в создании градиента концентрации, наблюдении за процессом его релаксации и сопоставлении полученных экспериментальных данных с решением уравнения диффузии. Для измерения коэффициентов термодиффузии необходимо создать градиент температуры, который вызывает градиент концентрации. После установления стационарного состояния в системе значение коэффициента термодиффузии бинарной может быть найдено из соотношения (0.2). Для получения точных данных о распределении концентрации могут быть использованы оптические методы, основанные на зависимости показателя преломления лазерного луча от концентрации компонентов [5]. Кроме этого, может быть осуществлен отбор проб в различных частях жидкой смеси и последующий анализ их концентраций.

Экспериментальные методы измерения коэффициентов термодиффузии можно разделить на две группы. К первой группе относятся методы, в которых отсутствие конвекции гарантирует чисто диффузионный тепломассообмен и является необходимым условием корректности измерений (заметим, что соотношение (0.2) справедливо лишь при отсутствии конвекции). В качестве рабочей полости в таких методах часто используется горизонтальный слой, подогреваемый сверху или снизу в поле силы тяжести [28]. В связи с этим возникает проблема конвективной устойчивости механического равновесия в слое. Альтернативным решением проблемы влияния конвекции на процессы тепломассообмена является проведение экспериментов в условиях невесомости [29]. Ко второй группе относятся методы, в которых используется конвекция, возникающая из-за неоднородностей температуры и концентрации в поле силы тяжести. Одним из таких методов является термодиффузионная колонна, впервые предложенная Клузиусом и Диккелем для разделения изотопов в газовых смесях [30]. Колонна представляет собой длинный вертикальный слой, боковые стенки которого поддерживаются при различных постоянных температурах. Разделение смеси в поперечном направлении вместе с вертикальным конвективным потоком приводят к возникновению градиента концентрации в

вертикальном направлении, измерение которого позволяет определить коэффициенты термодиффузии. Необходимым условием корректности измерений является устойчивость стационарного конвективного движения в колонне [18]. Другой конфигурацией, используемой для измерения коэффициентов переноса в жидких бинарных смесях с аномальным эффектом Соре, является горизонтальный слой, подогреваемый снизу. Отношение коэффициента термодиффузии к коэффициенту диффузии определяется по критическим параметрам колебательной неустойчивости механического равновесия [31]. Следует отметить, что существующие экспериментальные методы позволяют измерять коэффициенты диффузии и термодиффузии жидких бинарных смесей с хорошей точностью. В начале прошлого десятилетия несколько европейских лабораторий провели измерения этих коэффициентов в одних и тех же бинарных смесях углеводородов различными методами и получили хорошее соответствие результатов (тест Фонтенбло) [32]. В настоящее время ведутся активные исследования по применению существующих методов к тройным смесям, однако объем экспериментальных данных для таких смесей пока остается крайне ограниченным. В связи с этим исследование конвективной устойчивости многокомпонентных смесей в конфигурациях, соответствующих экспериментальным методам измерений, является актуальной задачей.

Условия возникновения ко�