Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в плоских слоях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Картошкина Александра Евгеньевна

РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ О ДВИЖЕНИИ БИНАРНЫХ СМЕСЕЙ В ПЛОСКИХ СЛОЯХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2006

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.К. Андреев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С.И. Сенашев кандидат физико-математических наук Ю.В. Шанько

Ведущая организация:

Институт математики и механики УрО РАН, г, Екатеринбург

Защита состоится " " декабря 2006 г. в " *" на заседании диссертационного совета К 212.099.03 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан "'2.0 " ноября 2000 г.

РОС. НАЦИОНА ЛЬНАЯ БИБ.Ч ПОТЕКА С-Пекмуург 03 ЙПГРлкт^/

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук ¿сы**^ О.А. Золотов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье-Отокса, Обербека-Буссинеска, пограничного слоя Прандтля. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования подмоделей усложненных моделей. В частности, точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании праг вильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве '^тестовых задач" для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.

Изучению неклассических моделей с помощью теоретико-групповых методов посвящены монографии АндрееваВ.К., КапцоваО.В., ПухначеваВ.В., Родионова А.А. и Андреева В.К., Бублика В.В., Бытева В.О., в которых исследуются уравнения: термокапиллярного движения, пограничного слоя Ма-рангони, микроконвекции, термодиффузии и вязкого теплопроводного газа.

Данная работа посвящена изучению подмоделей модели конвективного движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии. Эти подмодели возникают при изучении движений смесей в достаточно длинных плоских слоях. По классификации группового анализа они являются инвариантными или частично-инвариантными решениями общих уравнений термодиффузии. Соответствующие системы уравнений хотя и содержат меньшее число зависимых и независимых переменных, однако начально-краевые задачи для них являются очень трудными для исследования.

Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стре-

мятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре.

Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике. Основу модели термодиффузии составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями тепло- и массопереноса. Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах Гершуни Г.З., Жуховицкого Е.М., Сорокина JI.E. и YanaseS., KohnoK,, посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений, Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в работах Гершуни Г.З., Жуховицкого Е.М.. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур рассматривалась в работе тех же авторов, а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе Николаева Б.И., Тубина A.A.. В статье Смородина Б.Л. изучалась неустойчивость плоского горизонтального слоя несжимаемой бинарной газовой смеси под действием поперечного, модулированного по времени градиента температуры.

В указанных выше работах были найдены точные решения уравнений термодиффузии, описывающие стационарное основное течение. Методы группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовались. Однако, как показано в работах Рыжкова И.И., все эти решения имеют групповую природу. Групповые свойства этой системы в случае отсутствии массовых сил так же исследованы Андреевым В.К. и отмечена важность изучения нестационарных движений смесей. Поэтому исследование начально-краевых задач о движении смесей в плоских слоях с поверхностями раздела или свободными границами является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании инвариантных и частично-инвариантных решений начально-краевых задач, описывающих однослойные и двуслойные термодиффузионные движения смесей в плоских слоях при наличии поверхности раздела или свободной границы, построении точных решений этих задач и вычислении их асимптотического поведения, а так же численное решение поставленных задач и их физической интерпретации.

Методы исследования, В данной работе для нахождения точных решений и вычисления асимптотик использовались метод преобразования Лаг пласа, метод Фурье для решения параболических уравнений, метод априорных оценок, а так же методы общей теории дифференциальных уравнений.

Для "численного решения задачи были использованы следующие методы: метод численного обращения преобразования Лапласа при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности, метод Галеркина, метод Рунге-Кутты, метод пристрелки и метод прогонки.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы начально-краевые задачи, описывающие нестационарные однослойные и двуслойные течения бинарных смесей. Для решений специального вида найдены точные решения и вычислено их асимптотическое поведение. Численное решение некоторых задач хорошо подтверждает качественные результаты.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование конвективных течений, качественный анализ дифференциальных уравнений. Проведенное исследование моделей тер-модиффузиовного движения вносят вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данной подмодели, а так же теорию описываемых этой моделью явлений — конвекции, диффузии и термодиффузни. Найденные точные решения дают качественную информацию о процессах конвекции, диффузии и термодиффузии в плоских слоях, а так же позволяют оценить влияние параметров задачи на режим течений. Эти решения могут использоваться в качестве тестовых задач для отработки численных алгоритмов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:

— XXXV Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2004),

— V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2004),

— XXXVI Региональной молодежной школе-конференции " Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2005),

— Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент н приложения" (Бийск, 2005),

— VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2005),

— VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006),

— XXXVII Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2006),

— Конференция молодых ученых Института Вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2004-2006),

— Семинаре Института Вычислительного моделирования СО РАН "Ма-

тематическое моделирование в механике "под руководством профессора В.К. Андреева.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, который содержит 58 наименований. Общий объем диссертации 131 страниц, включая 27 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности работы, приведен обзор литературы по теме исследования, описана структура диссертации и изложены ее основные результаты. Приведена математическа формулировка начально-краевой задачи о движении двух несмешивающихся несжимаемых бинарных смесей с общей границей раздела.

Первая глава просвещена исследованию двуслойных термодиффузионных течений смесей, имеющих плоскую границу раздела.

Вначале изучена начально-краевая задача, возникающая при однонаправленном движении двух вязких жидкостей с общей поверхностью раздела. Жидкости так же граничат с плоскими твердыми стенками. Градиент давления в жидкостях отсутствует, поэтому движение определяется только под действием начального поля скоростей и сводится к определению решения следующей начально-краевой задачи

«К = ЩЩуу < у < 0), Пц = 1>2Щуу (0 < у < % (1)

щ(у, 0) = и10(у), щ(-11, Ь) = 0, и2(у, 0) = Що(у), Мк, = 0; (2)

«1(0,*) - и2(0Д = /адДоД * > о. (з)

Для решений этой системы получена априорная оценка и на ее основе доказаны следующие теоремы:

Теорема 3. Гладкое решете щ(у, ¿) (-£1 < у < 0) и щ(у,£) (0 < у < £2) задач« (1)-(3) единственно.

Теорема 4. Гладкое решение задачи (1)-{3) при Ь -)■ оо стремится к стационарному (нулевому) решению, причем справедливы оценки скорости сходимости

равномерные по у из интервалов (—¿1,0), (0,^); где Е(0) — значение интеграла энергии при í — 0, 6 — тЦ^^,^).

Для получения более точной информации о поведении скоростей применяется преобразование Лапласа, в результате чего приходим к краевой задаче для изображение, решение которой находится в квадратурах. Оригиналы для функций скорости восстанавливаются по формуле обращения преобразования Лапласа, по в общем случае для произвольных начальных данных выписать решения в явном виде не удается. Поэтому предполагается, что начальные функции представляют собой поля скоростей типа течения Куэтта. В этом случае при t = 0 скорость терпит разрыв на поверхности раздела у — 0 (не выполнено условие (3)). При t > 0 этот разрыв скоростей будет "диффундировать" вглубь обеих жидкостей.

Полученные явные выражения для функций-изображений (i¿i и «2) удовлетворяют свойствам преобразования Лапласа, а именно Jim püi(y,p) - + y/h), Jim pÜ2(ytp) ~ v2(l - yfh), где wj(l + y/h)t

p-rOO p1 ) 00

«2(1 — y/h) — начальные значения. Найдено, что Ит pûi(y,p) = 0 и

lim pÜ2(y,p) = 0, это означает, что при больших временах скорости в слоях стремятся и для не гладкого решения к нулю: происходит торможение жидкости за счет трения ее о стенки и диффузии поверхности раздела.

Далее, решение ищется для полуограниченных слоев (¿1,14 00). Оригиналы для полученных выражений восстанавливаются по формуле обращения. Доказано, что это решение совпадает с решением, найденным Жерменом.

В качестве иллюстрации данная задача решалась и методом численного обращения преобразования Лапласа. Показано, что результаты расчетов совпадают с теоретическими выводами.

Изученная задача (1)-(3) может быть интерпретирована и как распределение температуры в двух контактирующих между собой твердых стержн-нях.

В первой главе так же изучено автомодельное движение двух смесей. Ищется решение системы уравнений плоских термоднффузионных течений, которая допускает однопараметрическую подгруппу, соответствующую оператору d/dx+Ajd/d9j + Bjd/dcj, Aj, Bj — постоянные. Инвариантное решение для температуры и концентрации имеет вид Qj = Ajx + Tj(y,t), Cj = Bj$ + Кj(y,t). Оно имеет следующую интерпретацию. На границе раздела двух смесей у — 0 коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и концентрации. В начальный момент времени первая смесь заполняет полупространство у < 0, а вторая — полупространство у > О. Смеси находятся в покое, и при t = 0 во всем пространстве мгновенно создается поле температур — Ajx и поле концентраций <ц = Bjx. Термоконцентрационный эффект порождает движение смесей, в котором поверхность раздела остается плоскостью у = 0, а траектории являются прямыми,

параллельными оси х. В результате начально-краевая задача для возмущений ufyyt), Tj(y,t), Kj(y,t) запишется так

ujt = г>}Щуу> Tjt = XiTm ~ Аиз> КИ = diKm + ~ (4)

при у <0 (j = 1), у > 0 (j = 2);

«i(0,t) =ti2(0,i), TiC0,i) tfi(0,t) = Aif2(0,i); (5)

hTlv(Q,t) = №,(0,*); (6)

di№„(M) +aiTlif(0,i)) = d2(K2v(0,t) + a2T2lf(0,i)); (7)

p2v2U2„{0,t) - pji/^O,*) = - aeaBi; (8)

«jM) = 0, 0) = 0, Я^,0) = 0. (9)

К этим условиям необходимо присоединить еще ограниченность «i, Ti, К\ при у -}■ —оо и U2,32) •К'г при у ~¥ оо.

В уравнении (4) А = Aj = Л2 (это следствие равенства температур при у = 0); в граничном условии (5) Л = const — постоянная равновесия Генри, поэтому Si = \В2.

Для полуограниченных слоев решение этой задачи автомодельно (£,• = у/yftjt — автомодельная переменная) и сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказано, что точное решение системы (4)-(9) имеет вид (j ~ 1 при у < 0, j — 2 при у > 0)

где С — • pj^+pi^i

Tj{y,t) = t3t2APxj J/,(€)«p(^) x

x [(JLf + ^ #.(£.) - + <?) *,(«)] tfi

Uj(y,t) = C

df. (12)

Вычислено асимптотическое поведение решения и доказана

Теорема 5. Решение систшы уравнений (4)- (9) имеет асимптотики:

1. при t -ь оо и любом понечном у, Ы < М = атеЬ асимптотики даются формулами

и/ = -суг+о( 1), ^-Уш-дц-П

К, - (1 + 0(г1/г)1. (13)

2. при |у( —¥ со и любом конечном t асимптотики определяются формулами

{ у2 \ т/ ч 4{ у1\

В первом случае, поле скоростей неограниченно растет как г1/2. При С > 0 смесь движется в отрицательном направлении оси, градиент температуры достаточно мал. При О < 0 — в положительном направлении, здесь термокапиллярные силы больше концентрационных и смесь движется в сторону возрастания поверхностного натяжения, а при С = 0 смеси находятся в покое — термокапиллярные силы уравновешиваются концентрационными силами. Во всех случаях согласно асимптотикам абсолютные значения возмущений температуры и концентрации растут как Что касается асимптотического поведения при больших и фиксированном то все функции скорости, температуры и концентрации экспоненциально стремятся к нулю. Таким образом, на бесконечности смеси стремятся занять положение равновесия.

Далее исследуется та же система уравнений (4)-(9) с ненулевыми начальными условиями, причем смеси ограничены твердыми стенками. Здесь необходимо присоединить еще условия на твердых стенках у = —¿1, у — 1ч>:

гц(-М) = «а(Ы) = О, 2И-М) = Т1ст{г), Т2(М) = ад*); (15) {дК1, агл п (дКг, эгл л

Начальные условия таковы

Щ(у,0)=и#(у), Щу,0)=Т^(у), КЖу)0) = К#{у), (17)

Видно, что уравнения (4}-(8), (15)-(17) образуют три последовательно решаемые задачи для функций («1,«2), (Т1,Т2), (К^Кз)- Они линейны, и их решение определяется методом преобразования Лапласа. В результате получаем краевые задачи для систем обыкновении дифференциальных уравнений в изображениях, решение которых найдено в квадратурах.

Бели толщина слоев стремится к бесконечности и начальные данные равны нулю, то решение выходит на автомодельный режим (10).

В связи с поведением решения задачи (4)-(8), (15)—(17) при Ь оо представляет интерес ее стационарное решение г^ (у), 2) (у), К^ (у). Установлено,

что функции щ{у) являются линейными, а 2) (у) и К ¿(у) — полиномы третьего порядка:

причем стационарное распределение концентрации существует только при

Далее определяется асимптотическое поведение решения при * -4 оо. Для простоты выкладок и обозримости формул берутся нулевые начальные данные, Доказано, что

Из (19) видно, что поле скоростей нестационарной задачи выходит на стационарный режим — течение Куэтта в слоях.

Нетрудно видеть, что решение задачи для щ (4), (5), (8), (15), (17) сводится к решению двух задач. Именно, уже изученной выше (с нулевыми начальными данными) и задачи с однородным граничным условием (8) и нулевыми начальными данными (17). Последняя задача в точности совпадает с задачей (1)-(3), так как р%у% = Цг, = Следовательно, можем написать оценки для общей задачи (4), (5), (8), (15), (17) в случае классического решения

Для определения асимптотического поведения поля температур дополнительно предполагается, что слои имеют одинаковые толщины я температура стенок равна нулю. Также как и для скоростей доказано, что температура выходит на стационарное решение при оо.

В1 = Вг = 0.

В силу линейности задачи для Ту можно представить их решение в виде суммы Т^у, {) = Ту {у, -ЬТ? (у, г)+Т| (э, $), каждое из слагаемых которой является решение начально-краевой задачи. Одна из них в точности совпадает с задачей (1)-(3). Вторая из них однородная задача с однородными начальными условиями и неоднородными граничными условиями. Легко получить ее решение из общего решения системы (4)-(8), (15)-(17). Решение третьей находится без труда. Таким образом доказывается

Теорема 6. Гладкое решение начально-краевой задачи (4)~(0), (15), (17) при t —> оо выходит на стационарное решение (18), где = 1ч — I, и справедлива оценка

где = тт^!^,

Осталось рассмотреть асимптотическое поведение функции при Ь -ь оо. Так же как и функции стремятся к ста-

ционарному решению. Доказана

Теорема 7. Решение задачи (4)~(8), (15)-(17) (при нулевых начальных данных (11), однородных граничных условиях (8) и Ц = 1% = I) при £ оо выходит на стационарное решение той же задачи.

Задача для может быть представлена в виде суммы двух задач; нулевыми данными (изучена выше в теореме 7) и однородной задачи для (у, ¿) с ненулевыми начальными данными. Доказано, что решение последней задачи при % оо выходит на постоянные К$, причем =

Выполнено численное обращение преобразования Лапласа для смеси растворов глицерина с водой (80 % раствор) и метилового спирта с водой (90 % раствор), Численные результаты подтверждают выход решения рассмотренной задачи на ее стационарный режим (18).

Во второй главе изучаются однослойные термодиффузионные течения. Рассмотрим четырехмерную подалгебру {дх, 1дх Л■ ди, д#, дс), допускаемую системой уравнений двумерного термодиффузионного движения. На этой подалгебре система имеет частично инвариантные решения вида «I =«!(&,у,(), щ-и{у,г), р = д(ус = с(х,у,$.

Вначале исследована начально-краевая задача возникающая при моделировании движений чистой жидкости в плоских слоях со свободной границей. Из уравнения сохранения массы следует, что щ(х, у, ¿) есть линейная функция от х\ = хи(у, Рассматривается два случая: 1) плоское движение с

двумя свободными границами 2) плоское движение когда одна граница является свободной, а другая твердая стенка. Решение этих задач сводятся к

решению интегродифференциального уравнения на «(у, Ь):

}

+ и2 - «у I и(г, Ь) <1г = Пуу (20)

о

с начальным условием

и(у, 0) = щ(у) = -У0у(у). (21)

Граничные условия и условия согласования для задачи с одной свободной границей таковы:

КО

Щ(ЩИ) = о, | = -уиМ<ь, Щ = 1; (22)

о

«(0, <) = 0, и0(0) = и0и,(О) = 0, «0у(1) = 0, (23)

а для задачи с двумя свободными границами вместо (23) ставятся условия

%(0,*) = 0, ЩоР(0)=ц%(1) = 0. (24)

Сложность в решении таких задач составляет то, что положение свободной границы также является неизвестной функцией и находится в процессе решения задачи. В системе уравнений (20)—(23) вводятся специальные безразмерные переменные, в результате получена задача уже в фиксированной области. Ее решение ищется методом Галеркина, функции раскладываются по полиномам Лежандра. Причем для задачи с двумя свободными границами, в силу симметрии рассматриваемой области, достаточно ограничиться только четными полиномами. Для последней задачи в качестве (начальные данные) была взята функция СоМ = о ("«г ^ + 7 ^ ~ » где ° — произвольная константа. Численное решение этой системы зависит от знака константы а. Когда начальные данные меньше нуля, то решение за конечный промежуток времени уходит на бесконечность (то есть движение разрушается), а при положительных начальных данных скорость и положение свободной границы убывают и стремятся к нулю (жидкость вначале оттекает от точка х = 0, после чего меняет направление движения и начинает притекать к этой точке).

В диссертации рассмотрено точное решение для функции скорости, полученное Пухначевьш В.В.

wfr.í) = a(t) + b(t) соs[imy/e(t)]t (25)

где функции a(í), 6(/), ¿(í) есть решение задачи Коши:

at^-a2- Ъ2, bt = -[2а + (im/e(t))2) Ь, it = -<U, (26)

o(0) = во, 6(0) = К ¿(0) = 1; û0, 60 = const. (27)

Численные результаты для задачи с двумя свободными границами согласуются с качественными выводами работы Пухначева В,В.

Задача с одной твердой стенкой решается тем же методом, только разложение ведется по всем полиномам Лежандра. В качестве начальной была взята функция Uq(z) = a(zs—iz), где а — произвольная константа. Когда наг чальные данные меньше нуля, то решение за конечный промежуток времени уходит на бесконечность, а при положительных начальных данных скорость убывает и стремятся к нулю, а положение свободной границы стремится к константе.

Следующие три задачи посвящены исследованию частично инвариантного решения уравнений термодиффузионного движения в случае: слоя с двумя свободными границами, слоя с одной твердой стенкой.

В этом случае температура и концентрация есть квадратичные функции переменной х, & = a(y,t)x2 4- b(yt t), с = h(y,t)x2 + g(y,t). Ему можно дать следующую физическую интерпретацию. Достаточно длинный слой смеси в окрестности точки х = 0 нагревается, причем внешняя температура 0Sas(®,í) имеет в этой точке минимум или максимум. Тогда в окрестности х = О Oga3(x,t) также аппроксимируется по параболическому закону. В зависимости от знака a(y,t), h(y, t), температура и концентрация будут принимать максимальное или минимальное значение в точке ж = 0. Поэтому в дальнейшем основной интерес представляет поведение функций a(y,t), h(y,t). Для функций u(y,t), v(y,t), а(у,i), h(y,t), b(y,t), g(y,t),q(y,t) получим систему уравнений

щ + vuy + íí2 = mi9Vi и + vy = 0; (28)

e~% = -wy- vt\ (29)

a¡ + vay + 2au = x<1m/> h + vhy + 2hu — dhyy + aa^; (30)

bt + vb9 = xV + 2Xa> gt+vgv = dgvy+abvl/+2dh+2aa! (31)

Краевые условия на неизвестной границе у = i(t) имеют вид

ft=v(l(t),t); (32)

doy + 7û = 7agas, dhy + aay = 0; (33)

fcbj, + 76 = 7bgv + Q, dgv + aby = 0; (34)

Qvuy = -2œa - 2seih, p^ - g + 2gvvy = 0. (35)

В случае двух свободных границ следует добавить условие симметрии при у — 0. Если одна граница является свободной, а другая твердая стенка, то на ней должны быть выполнены условия

v = 0, и - 0, а = Ь = 91,(1), dgy + abv ~Otdhy + aay = 0. (36)

Следует добавить начальные данные при i = 0

u(y,t) = щ(у), v(y,t) = v<j(y), a(y,t) = ao{y), b(y,t) ~ b$(y), h(y>t) = ho{y), 9(y,t) = 9a(y)-

В первой задачи исследуется влияние динамики на термодиффузию в плоском слое со свободными границами. В качестве поля скоростей берется точное решение (25).

Сначала рассмотрен молекулярный перенос тепла и примеси без влияния поля скоростей. В системе уравнений (30), (33), (36) для определения функций o,(y,t) и h(y,t) при u(y,t) — 0 вводятся безразмерные переменные и точное решение полученной системы в безразмерных переменных (A(z,t), 3K(z,t}) находилось методом Фурье. Различаются решения при коэффициенте теплоотдачи Bi ф 0 и Bi = 0. Доказана следующая

Теорема 8, Система уравнений (S0), (34), (36) для определения функций Л{уу t) и Н{Уч t) в безразмерном виде имеет решение

АМ=± {[я+Ï мр (£ Л л,„м J X

п=0 0

хехр(- - 2в^^Лги(т)}с0в(y/Tnz) + A3ttt{т), (38)

zdehn — l + Y cos2(V%)j = 2 h~l J Ло(ж) cos(VX¡í x)dx и — есть

о

решение уравнения л/Л tan(VÂ) = Bi,

H(z,т) = г) соэ(тгпг) +PrSrA(ztr)+PrSr + lj x

■f

4l>P T) /eXP s) ^(s)dS cosH, (39)

i i где ffj} = 2~l J(Ho(z)~PrSrAQ(z))cos(nnz)dz, Pl(s) = j A'T{z,s) cos(wnz)dz,

0 о

<?лд Bi ф 0;

^ / hn)2 \

A(z,r) = /о ( - joy TJ соа(ттг); (40)

ш , Л л Г (тгп)2 \ , , SrPrQPr + Pe)

n=0 ^ '

х E-s (-о 0 - -р •)) <«)

1

где rj = 2-1 / /4o(ä) cos(frrcz)<i2r с?ля Bi = 0,

0

В случае, когда отсутствует теплообмен через свободную границу (Bi = 0), функции >1(1, т), Я(1,т) стремятся к нулю, при т оо, Таким образом, при т ->■ оо температура и концентрация на свободной границе становятся независящими от х. В случае Bi ф 0 поведение температуры зависит от температуры газа. Бели задавать Ат в виде различных функций, то можно видеть, что А(1, т) всегда ведет себя аналогично Азаз(т). Поведение концентрации веществ смеси обусловлено поведением температуры, то есть когда температура становится максимальной в точке х — 0, концентрация так же имеет максимум. И наоборот, если температура имеет минимум, то концентрация так же становится минимальной. Это наблюдается в случае St < 0. А в случае Sr > 0 мы имеем дело с аномальной термодиффузией, то есть, если температура имеет минимум, то концентрация имеет максимум.

Поле скоростей (25) оказывает существенное влияние на распределение температуры и концентрации. Вначале будем учитывать только температуру.

Анализ численных расчетов позволяет сделать следующие выводы:

При йц = —1, Ьо = ±1 (начальное значения для точного решения Пухна-чева B.B.) п = 1, Agas = const > 0, функция Л (1, т)-возрастает и уходит

на 4-со за конечный промежуток времени; и (г, т) (безразмерная скоросгь)-убывает и уходит на —со. Поскольку скорость меньше нуля, жидкость притекает к точке х = 0. Движение разрушается за конечное время.

При ао = 1, Ьо = ±1» п = 1, Адаз ф 0, скорость больше нуля, то есть жидкость оттекает от точки х = 0, однако при т оо скорость в решении (25) стремится к нулю. При этом функция Д(1, г) стремиться к и температура на поверхности жидкости стремиться к температуре газа. Таким образом, если движение не разрушается, то температура на поверхности слоя так же стремиться к температуре газа как и в случае покоя. В случае, когда £г = О функция А(1,г) стремиться к нулю и с ростом времени система приходит в равновесное состояние.

Далее учитывается и концентрация веществ смеси, то есть рассматривается термодиффузионное движение смеси. Бели температура имеет максимум на границе слоя, то концентрация так же имеет максимум, соответственно если температура имеет минимум — концентрация минимальна. Если движение разрушается за конечный промежуток времени, то концентрация стремится к бесконечности, в противном случае концентрация стремится к постоянной.

Эта задача, для сравнения, также решена методом прогонки. Результаты решения задачи методом прогонки с высокой степенью точности совпадают с результатами ее решения методом Галеркина.

Во второй задаче изучается движение плоского слоя жидкости с двумя свободными границами. Оно описывается системой уравнений (28)-(31), (32)-(35), (37). При некоторых упрощениях задача сводится к системе последовательно решаемых параболических уравнений. Для решения этой системы используется метод Фурье; впоследствии построенное точное решение было использовано в качестве теста при отработке схемы численного решения. Система уравнения (28), (29), (32), (35), (37), имеет решение

ш ш

"-Т+Я9' (42)

р = я{у, *) = 1 + т^ГУ+КО» '(*) = *о(1+гш)~\ (43)

где Но > 0 — постоянная, д(<) = рт + ет2$(1 + тЬ)~2 - + етй)-1.

Далее установлена

Теорема 9. Система уравнений (30), (31) с граничными условиями (33), (34) и начальными данными (37) имеет решение

1 А

о(М) - (1 + т<)а ^(-Х^г) соз[А„(1 + т£)у], (44)

где к

= £ + С03[Ап(1 + т%], (45)

п=0 ^ "г /

1о

'п = ^ I Ш<х*Ъп<Ь1-

о

- ехр(—¿А^т)] | соз[Ап(1 + тЬ)у], хФЬ (46)

где К = гй ! Ло(т?)созА„77^.

™ Г }

зШ) = 5«+ / /п(т)<*г

Л Ш = +

ТГЙЗР

ехр(—¿А^т) соз[А„(1 + т*)з/], (47)

- ехр[А„г(й - х)]>

Общая задача решена методом Галеркина. Бели в качестве начальных данных взято точное решение (42)-(47), то метод точно воспроизводит тестовое решение.

и

6т

, г э

А

О.Л-Г

□ 2 а .

I

Рис. 1: Поведение функций У{1,т), Ь{т), Л(1,т), Н(1,т)

На рис. 1 приведены результаты численны расчетов) в случае, когда концентрационное число Марангоня равно -100. Видно, что минимальные значения границы и концентрации наблюдаются при смене знака 1/(1, т). Скорость сначала возрастает, потом убывает я меняет свое направление, смесь начинает притекать вдоль поверхности к точке х — 0. Это объясняется тем, что поверхностное натяжение сначала уменьшается а смесь начинает отток от точки х = 0, потом поверхностное натяжение увеличивается и смесь снова начинает притекать, то есть течение смеси происходит из области малых в область больших поверхностных натяжений. Концентрация после изменения направления скорости начинает увеличиваться, жидкость притекает и приносит концентрацию. Функция Л(1,т) убывает и стремится к Aga3.

При увеличении концентрационного числа Маралгони до -60, скорость монотонно убывает и стремится к нулю; аналогично ведут себя свободная граница, температура и концентрация.

При изучении влияния безразмерных параметров входящих в систему было установлено, что при увеличении концентрационного и теплового чисел Марангони, числа Прандтля и числа Пекле интенсивность течения уменьшается, то есть жидкость позже по времени меняет направление движения. При увеличении числа Бно и числа Соре — интенсивность течения увеличивается.

В третьей задаче исследуется та же система уравнений, что и в предыдущем пункте, но одна граница является свободной, а другая твердая стенка.

Теорема 10. Стационарная задача (£8)-(37) при в(х,у) = а(у)х2 + Ь(у), с(х, у) = h(y)х2 + д{у) имеет решение

и ~ 0, v — 0, р = рК,

~2х +-2y(Jfc + 7£)-9 + ван (48)

л- laq г2 а 2kgt+"2xemri+2хв9<*ч+2xQ "2 dXr d 2x(k + -r£) У'

где К = const.

Другими словами, в данном случае стационарное решение есть только покой. Нестационарная задача решалась численно. Если сравнивать с численными результатами полученными для течения жидкости со свободными границами при тех же значениях параметров, можно сделать вывод о том, что скорость так же убывает и меняет направление движения, а концентрация в этот момент увеличивается. Температура стремится к температуре окружающего газа. Особый интерес представляет собой случай когда скорость в начальный момент времени равна нулю, а температура и концентрация отличны от нуля. Тем самым исследуется эффект Соре в чистом виде, когда

движение жидкости вызывают эффекты термодиффузии. Функции .4{1,т) и #(1,т) убывают и стремятся к нулю. Когда они становятся равные нулю, в зтот момент эффект Соре исчезает, но смесь продолжает свое движение по инерции.

Заключение содержит результаты и выводы проделанной работы:

1. Получены априорные оценки и асимптотическое поведение решения начально-краевой задачи, описывающей однонаправленное движение двух вязких несмешивающихся жидкостей в плоских слоях.

2. Найдено точное решение и асимптотическое поведение задачи для двуслойного термодиффузионного движения смесей в случае полуограниченных слоев и ограниченных слоеи.

3. Определено стационарное двуслойное движение с твердыми стенками и доказан тот факт, что решение нестационарной задачи при больших временах выходит на ее стационарный режим.

4. Исследовано влияние динамики на распространение тепла и примеси в случае термодиффузионного движения однослойных жидкостей. Построено методом Фурье точное решение для равновесного состояния, в котором распространение тепла и примеси осуществляется путем молекулярного переноса.

5. Исследована начально-краевая задача для термодиффузионного движения однослойных смесей в случае двух свободных границ и когда одна из них является твердой стенкой. Для задачи с двумя свободными границами найдено точное решение в котором температура и концентрация представлены в виде рядов. В случае одной свободной границы показано, что стационарное решение может быть только покоем.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.К. Андрееву за постановку задачи, помощь и ценные советы при работе над диссертацией,

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Андреев В.К., Картошкина А.Е. О движении плоского слоя жидкости со свободной границей под действием эффекта Соре// Вестник КрасГУ: физико-математические науки. - Красноярск: КрасГУ, 2004,-вып.1 С. 182-191,

2. Андреев В.К., Картошкина А.е., Родионов A.A. Об одном уравнении динамики вязкой жидкости// Вестник КрасГУ: физико-математические науки. - Красноярск: КрасГУ, 2005.-вып. 1 С. 204-210,

3. КЛЕТОШКИНА А.Е. Влияние динамики на крмод:1ффуз;ш 2 плоском слое со свободными границами/ / Вычислительные технологии, вьш.4 Т.Н. Новосибирск. 2006. С. 44-53.

4. К АРТОШ К И НА А.Е. Об одном решении уравнений термодиффузин со свободной границей// Труда! 36-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математикикатеринбург: УрО РАН, 2005. - С. 141-145.

5. КАРТОШКИ НА А.Е. О нестационарном движении плоского слоя// Труды 35-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математикикатеринбурп УрО РАН, 2004. ■- С- 138143.

6. КАРТОШКИНА А.Е. Развитие термоконцентрационного движения с плоской границей раздела// Труды 37-Й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математикикатеринбурп УрО РАН, 2006. - С. 205-209.

7. КАРТОШКИНА А.Е.Решение начально-краевой задачи, возникающей при совместном движении двух слоев бинарных смесей.-Препринт е1- Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006.- 24 с.

8. КАРТОШКИНА А.Е. Эволюция двух несжимающихся слоев вязкой жидкости// Вестник КрасГУ: физико-математические науки. - Красноярск: КрасГУ, 2006.-вьш. 1 С. 184-190.

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Красноярского краевого фонда науки, проект 12.РООЗА/ (2005); Российского фонда фундаментальных исследований, проект 05 - 01 - 00836 и НШ5873.2006.1 (2006), проект 02 - 01-00934 (2004); интеграционного проекта СО РАН 2.15 (2006); Красноярского краевого фонда науки, индивидуальный грант, проект 16(?202 (2006).

Подписано в печать 18.11.2006 г.

Формат 60x84/16 Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036 Академгородок, Красноярск

Введение

Глава 1. Точные решения для системы уравнений термодиффузионного движения двуслойных смесей

1.1 Вспомогательные предположения.

1.1.1 Преобразование Лапласа.

1.1.2 Методы численного обращения преобразования Лапласа и априорные оценки.

1.2 Начально-краевая задача для поля скоростей.

1.2.1 Постановка задачи. Интеграл энергии.

1.2.2 Решение в изображениях по Лапласу.

1.2.3 Линейное начальное поле скоростей.

1.2.4 Решение для полуограниченных слоев

1.3 Автомодельное движение бинарных смесей.

1.3.1 Постановка начально-краевой задачи.

1.3.2 Представление решения.

1.3.3 Асимптотическое поведение решения.

1.3.4 Численное решение и выводы.

1.4 Решение начально-краевой задачи, возникающей при совместном движении двух слоев бинарных смесей.

1.4.1 Постановка начально-краевой задачи.

1.4.2 Определение поля скоростей, возмущений температурных полей и концентрации

1.4.3 Выход решений на автомодельный режим.

1.4.4 Стационарное решение.

1.4.5 Асимптотическое поведениерешения при £ —>• оо

1.4.6 Результаты численного обращения преобразования Лапласа

Глава 2. Начально-краевые задачи для системы уравнений термодиффузионнго движения однослойных смесей

2.1 Об одном уравнении динамики вязкой жидкости

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Преобразование задачи и метод численного решения

2.1.3 Точное решение.

2.2 Влияние динамики на термодиффузию в плоском слое со свободными границами.

2.2.1 Задача о движении плоского слоя.

2.2.2 Молекулярный перенос тепла и примеси.

2.2.3 Расчет поля температур

2.2.4 Учет термодиффузии.

2.2.5 Конечно-разностный метод.

2.3 О движении плоского слоя жидкости с двумя свободными границами под действием эффекта Соре.

2.3.1 Решение специального вида

2.3.2 Преобразование исходной задачи (2.2.7)-(2.2.23).

2.3.3 Численное решение.

2.4 О движении плоского слоя жидкости со свободной границей и твердой стенкой

2.4.1 Постановка задачи и решение специального вида

2.4.2 Стационарное течение.

2.4.3 Безразмерная задача. Численное решение.

Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье-Стокса, Обербека-Буссинеска, пограничного слоя Прандтля. В последнее время 15 связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к исклассичс-ским моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа [39], микроконвекции [42|, а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [16, 49]. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования подмоделей усложненных моделей. В частности, точные решения всегда играли и продолжаю 1 играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве "тестовых задач" для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.

Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена монография [б]. Отметим также монографию [8], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя Маран-гони, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.

Данная работа посвящена изучению подмоделей модели конвективного движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии. Эти подмодели возникают при изучении движений смесей в достаточно длинных плоских слоях. По классификации группового анализа они являются инвариантными или частично-инвариантными решениями общих уравнений термодиффузии. Соответствующие системы уравнений хотя и содержат меньшее число зависимых и независимых переменных однако начально-краевые задачи для них являются очень трудными для исследования.

Термоднффузисй называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре.

Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике. В сочетании с тепловой конвекцией этот эффект используется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях [44, 45]. Термодиффузия используется для определения состава нефти и разделения ее компонентов [57], нанесения различных покрытий на изделия из металлов, а также играет важную роль в процессе выращивания кристаллов. Еще один пример практического применения рассматриваемого эффекта дает тепловой насос [10]. Термодиффузия также влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды подвергаются различным режимам нагрева [54, 56].

Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями тепло- и массопереноса. Используется приближение Обербека-Буссинеска, предназначенное для описания конвективных течений в естественных земных условиях. Предполагается, что плотность смеси линейно зависит от температуры и концентрации легкой компоненты:

Здесь ро — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, а через 0 и с обозначены малые отклонения от средних значений; ¡3\ -коэффициент теплового расширения смеси, ¡З2 — концентрационный коэффициент плотности (/% > 0, поскольку с — концентрация легкой компоненты). Движение смеси описывается системой уравнений [10, 49] 1 щ + (и • =--V? + иАи - + р2с),

Ро в1 + и-Х70 = хА 0,

1) сг + и-Ус = ¿Ас + (1 \уи = 0, где и — вектор скорости, р — отклонение давления от гидростатического, V — коэффициент кинематической вязкости, х ~ коэффициент температуропроводности, с/ — коэффициент диффузии, а — параметр термодиффузии, g — вектор ускорения свободного падения. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации. Параметр термодиффузии имеет вид а. = —с1д/(19о, где с1в — коэффициент термодиффузии, во — средняя температура. Нормальной термодиффузии соответствуют значения а < 0, а для аномальной термодиффузии а > 0.

В частном случае (с = 0, а = 0) система (1) переходит в систему уравнений свободной конвекции однородной жидкости (модель Обербека-Буссинеска) Для данной модели известно достаточно много точных решений, значительная часть которых приведена в монографиях [16, 17]; они являются стационарными, то есть не зависят от времени. Эти работы посвящены исследованию устойчивости различных типов конвективных течений, а также механического равновесия. Групповые свойства уравнений свободной конвекции в плоском случае изучались в [20], а для стационарных плоских течений — в более ранней работе [34] (см. также монографию [6]). В указанных работах построен ряд точных решений, часть из которых была найдена ранее другими методами.

Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах [19, 58|. посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в [1С|. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур рассматривалась в [18], а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе [40]. В статье [47] изучалась неустойчивость плоского горизонтального слоя несжимаемой бинарной газовой смеси под действием поперечного, модулированного по времени градиента температуры. Отметим также работу [53], посвященную исследованию устойчивости горизонтального слоя при наличии вибрации и с учетом термодиффузии.

В указанных выше работах были найдены точные решения уравнений (1), описывающие стационарное основное течение. Методы группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовались. Однако, как показано в [46], все эти решения имеют групповую природу. Групповые свойства системы (1) в случае g = 0 изучены в [1]; там отмечена важность изучения нестационарных движений смесей. Исследование начально-краевых задач о движении смесей в плоских слоях с поверхностями раздела или свободными границами является актуальной задачей.

Перейдем к общей постановки задачи. Рассматривается движение двух несмешивающихся несжимаемых теплоприводных вязких жидкостей с общей границей раздела. Обозначим через ^ = 1,2) области занятые жидкостями с поверхностью раздела Г. и(х, р(х, ¿) — соответственно векторы скорости и давления, в(х, ¿) и с(х, ¿) — отклонения от средних значений температуры и концентрации. Тогда система уравнений термодиффузионного движения в отсутствии внешних сил ^=0) имеет вид [7]: йщ 1 - Ур,- = ч Дш; а р3

Iс■ ^ Д с.} + Д0,;

2) сИУ = 0, где — средняя плотность, у^ — кинематическая вязкость, X] ~ температуропроводность, ^ — коэффициент диффузии, — коэффициент термодиффузии (коэффициент Соре); ¿¡¿Ь — д/дЬ + и • V.

Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения а на границе раздела зависит от температуры и концентрации <т = и(0,с), причем для многих смесей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью а (в, с) = а0- XI {9 - 0О) - ае2(с - со), (3) где ае1 >0 — температурный коэффициент, ае2 — концентрационный коэффициент (обычно ае2 < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации). Сформулируем условия на поверхности раздела Г: 112) х е Г (4) равенство скоростей; и • п = х е Г (5) кинематическое условие. Оно основано на предположении, что Г движущаяся материальная поверхность. Здесь п единичный вектор нормали к поверхности Г, направленный из в 0,2, Уп ~ скорость перемещения поверхности в направлении нормали, и — значение вектора скорости обеих жидкостей на Г, попарно совпадающие в силу (4).

Р2 - Р\)п = 2аНп + х <Е г (6) динамическое условие, оно означает равенство всех сил действующих на поверхность (сил давления, сил трения, сил поверхностного натяжения и тер-мокапилярных сил). Здесь Р) = —+ — тензоры напряжений, В - тензор скоростей деформаций, Н - средняя кривизна поверхности Г, Уг = V — (п • У)п обозначает поверхностный градиент. Далее, вХ = 02| С1 = ЛС'2, X 6 Г (7) условие непрерывности температур и концентраций на границе раздела, А — постоянная равновесия Генри. Условием равновесия между двумя жидкими средами является равенство температур и динамическое условие. Поэтому в состоянии равновесия между концентрациями распределяемого компонента в обеих фазах устанавливается некоторое соотношение, характеризуемое константой фазового равновесия Л. Для некоторых систем эта зависимость может быть вычислена, но в подавляющем большинстве случаев ее находят опытным путем.

Кроме того, на поверхности раздела

6 г- <8>

Соотношение (8) представляет собой равенство потоков тепла на границе раздела. Постоянные Щ — коэффициенты теплопроводности.

Еще одно условие — отсутствие потока вещества через границу раздела (дсг д$Л (да ^ двЛ

Области и 0,2 могут контактировать не только друг с другом но и с твердыми стенками. Обозначим стенки через Ена них ставится условие прилипания аДх, ¿), х £ Еу. (10) где а;(х,£) — скорость движения стенки Е^. Кроме того, будем считать, что температура в точках Е;- удовлетворяет одному из условий = = * е (11) с заданными функциями ф¿т и в3ст. То есть на твердой стенке задан либо поток тепла, либо температура. Отсутствие потока вещества через твердые поверхности дсп дв« „ . .

В случае полуограниченных слоев необходимо добавит!, условие ограниченности функций и,-, 6] и Су

Области и могут так же контактировать с газовой фазой. Обозначим для определенности через Гх границу раздела жидкости Пх с газом, тогда поверхность Г1 называется свободной границей. На поверхности Г\ должны быть выполнены динамическое условие

Ррз - р)п + 2р1/1>(и)п = 2аНп + Уго", х 6 Г1 (13) и кинематическое условие (/(х, ¿) = 0 есть уравнение Гх)

Л + и • V/ = 0, хЕ Гх, (14) в (14) 25 — давление в газе является известной функцией. Условие теплообмена смеси с газом запишется так:

39 к— + ч(е-оъ а5) = д,хегь (15) где 7 — постоянный коэффициент межфазного теплообмена, вЕгв — температура газа, ф — заданный внешний поток тепла. Еще одно условие на Гх —

4£ + сЛ = о,хеГх (16) оп оп есть отсутствие потока вещества через свободную поверхность. Тем самым не учитывается влияние поверхностно-активных веществ на Гх.

Для полной постановки задачи к соотношениям (2)-(16) следует добавить начальные условия иДх,0) = и0;(х), x€fij, х,0) = ^(х),хе% (17) х, 0) = со;'(х), х е

Далее в диссертационной работе для двуслойных смесей будем полагать ] = 1,2, а для однослойных j = 1 и индекс "1 "опускается.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании инвариантных и частично-инвариантных решений начально-краевых задач, описывающих однослойные и двуслойные термодиффузионные движения смесей в плоских слоях, построение точных решений этих задач и вычисление их асимптотического поведения, а так же численное решение поставленных задач.

Методы исследования. В данной работе для нахождения точных решений и вычисления асимптотик использовались метод преобразования Лапласа, метод Фурье для решения параболических уравнений, метод априорных оценок, а так же методы общей теории дифференциальных уравнений. Для численного решения задачи были использованы следующие методы: метод численного обращения преобразования Лапласа при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности, метод Галеркина, метод Рунге-Кутты, метод пристрелки и метод прогонки. Следует отметить, что численные результаты здесь носят, в основном вспомогательный иллюстративный характер.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы начально-краевые задачи, описывающие нестационарные однослойные и двуслойные течения бинарных смесей. Для решений специального вида найдены точные решения и вычислено их асимптотическое поведение. Численное решение некоторых задач хорошо подтверждает качественные результаты.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование конвективных течений, качественный анализ дифференциальных уравнений. Проведенное исследование моделей термодиффузионного движения вносят вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данной подмодели, а так же теорию описываемых этой моделью явлений — конвекции, диффузии и термодиффузии. Полученные результаты могут быть использованы при решении соответствующих задач как аналитическими, так и численными методами. Данная работа соответствует концепции программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на максимальное извлечение возможностей, заложенных в свойствах симметрии дифференциальных уравнений механики сплошной среды.

Найденные точные решения дают качественную информацию о процессах конвекции, диффузии и термодиффузии в плоских слоях, а так же позволяют оценить влияние параметров задачи на режим течений. Эти решения так же можно использовать в качестве тестовых задач для численных методов.

Перейдем к описанию структуры и содержания диссертационной работы. Первая глава просвещена исследованию двуслойных термодиффузионных течений смесей, имеющих общую границу раздела. В пункте 1.1 даны известные определения и теоремы о преобразовании Лапласса. Описан один из численных методов его обращения, используемый в диссертации.

В пункте 1.2 изучена начально-краевая задача, возникающая при однонаправленном. движении двух вязких жидкостей с общей поверхностью раздела. Жидкости так же граничат с плоскими твердыми стенками. Здесь рассматривается движение чистой жидкости без учета температуры и концентрации. Градиент давления в жидкостях отсутствует, поэтому движение определяется только под действием начального поля скоростей. Для описания однонаправленного совместного движения этой системы используется первое уравнение из (2) {] = 1,2), а также условия прилипания на неподвижных стенках, равенство скоростей и касательных напряжений на границе раздела. Доказана единственность решения этой системы, когда нет разрыва скоростей в начальный момент времени, то есть для гладкого решения. Так же доказана теорема о том, что гладкое решение исходной задачи при £ оо стремится к стационарному (нулевому) решению, причем справедливы оценки скорости сходимости \щ(у,1)\ < у/51\Е{ехр(-5£/2) и \щ(у, < у/М2Е(0)/ц2 ехр(-<^/2), равномерные по у из интервалов 0), (0, ¿2). Где Е(0) — значение интеграла энергии при Ь = 0,— толщина слоя, 6 = Для получения более точной информации о поведении функций скорости применяется преобразование Лапласа, в результате чего приходим к краевой задаче для изображений. Общее решение для функций-изображений находится без труда. Оригиналы для функций скорости восстанавливаются по формуле обращения преобразования Лапласа, по в общем случае для произвольных начальных данных выписать решения 15 явном виде не удается. Поэтому предполагается, что начальные функции представляют собой поля скоростей типа течения Куэтта. Полученные явные выражения для функций-изображений удовлетворяют свойствам преобразования Лапласа, которые описаны в пункте 1.1. Установлено, что при больших временах скорости в слоях стремятся к нулю: происходит торможение жидкости за счет трения ее о стенки и диффузии поверхности раздела.

Далее, решение ищется для полуограниченных слоев, то есть толщины слоев 1\ и ¿2 нужно устремить к бесконечности. Оригиналы для полученных выражений восстанавливаются по формуле обращения. Доказано, что это решение совпадаете решением, найденным в [22, с. 217-219]. Если обе жидкости одинаковые, то скорость вдоль поверхности раздела есть (^1+^2)/2, где у\ и г»2 — некоторые постоянные. С ростом времени для фиксированного у скорости щ(у,Ь) стремятся к нулю. Таким образом, поверхность раздела диффундирует вглубь обеих жидкостей, вызывая замедление, которое ведет к состоянию покоя в любой данной точке. В общем же случае из при £ —)• оо скорости стремятся к одному пределу [г^ + (ц/л/и^х] х (1 + ц/у/й)'1 и жидкости в каждой данной точке двигаются с постоянной скоростью.

В качестве иллюстрации данная задача решалась и методом численного обращения преобразования Лапласса при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности. Рассмотрен случай, когда обе жидкости одинаковы, t — фиксировано. Показано, что результаты численных расчетов совпадают с теоретическими выводами. В нашей задачи имеется разрыв ско-. ростей в начальный момент времени на границе раздела. Переходный слой от скорости в одном установившемся равномерном потоке к скорости в другом называется пограничным. Установлено, что толщина пограничного слоя изменяется с течением времени, его размер пропорционален y/vft.

Изученная задача, которая возникает ниже как подзадача в других пунктах, может быть так же интерпретирована как задача о распространении тепла в двух стержнях, контактирующих между собой.

В пункте 1.3 изучается автомодельное движение двух смесей. Ищется решение системы уравнений термодиффузии (2), которая допускает одио-параметрическую подгруппу, соответствующую оператору д/дх + Ajd/d9j+ +Bjd/dcj, Aj,Bj — постоянные. Таким образом инвариантное решение для температуры и концентрации ищется в виде 9j = AjX + Tj, Cj = BjX + Kj. Оно имеет следующую интерпретацию. На границе раздела двух смесей у = О коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и концентрации. В начальный момент времени первая смесь заполняет полупространство у < 0, а вторая — полупространство у > 0. Смеси находятся в покое, и при t — 0 во всем пространстве мгновенно создается поле температур = AjX и поле концентраций Cj = BjX. Термоконцентрационный эффект порождает движение смесей, в котором поверхность раздела остается плоскостью у = 0, а траектории являются прямыми, параллельными оси х. Для полуограниченных слоев решение этой задачи автомодельно и сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдено точное решение и вычислено асимптотическое поведение решения. Различаются два предельных случая: 1) при t оо и любом конечном у, \у\ < М = const, -> 0; 2) при \у\ оо и любом конечном £ £1 -> — оо, а £2 +оо, где — автомодельная переменная. В первом случае, поле скоростей неограниченно растет как £*/2. При С = —^ ■ > 0 смесь движется в отрицательном направлении оси, градиент температуры достаточно мал. При С < 0 — в положительном направлении, здесь термокапиллярные силы больше концентрационных и смесь движется в сторону возрастания поверхностного натяжения, а при С = О смеси находятся в покое — термокаиилляр-пые силы уравновешиваются концентрационными силами. Во всех случаях согласно асимптотикам абсолютные значения температуры и концентрации растут как г1/'2.

Что касается асимптотического поведения при больших \у\ и фиксированном £, то все функции скорости, температуры и концентрации экспоненциально стремятся к нулю. Таким образом, на бесконечности смеси стремятся занять положение равновесия.

Пункт 1.4 посвящен исследованию тех же уравнений что и в предыдущем пункте, за исключением того, что будем брать не нулевые начальные условия, а жидкости ограниченны твердыми стенками (в 1.3 рассматривались полубесконечные слои). Решение ищется в том же виде, что и в пункте 1.3. Задача сводится к начально-краевой задаче для последовательно решаемых параболических уравнений. Они линейны, и их решение определяется методом преобразования Лапласа. В результате получаем краевую задачу для системы обыкновенны дифференциальных уравнений в изображениях; найдено ее решение. Если толщина слоев стремится к бесконечности и начальные данные равны нулю, то решение выходит на автомодельный режим, то есть на решение полученное в пункте 1.3. В связи с поведением решения задачи при £ -»■ оо представляет интерес ее стационарное решение. Установлено, что функции и^{у) являются линейными, а Т;(у) и К ¿(у) — полиномы третьего порядка. Далее определяется асимптотическое поведение решения при £ -> оо. Для простоты выкладок и обозримости формул берутся нулевые начальные данные. Чтобы определить поведение функций при больших временах, необходимо вычислить lim рщ(у,р) = 0, где йЛу,р) функция-изображение для р-> о

Uj(y,t). Установлено, что поле скоростей нестационарной задачи выходит на стационарный режим — течение Куэтта в слоях. Для определения асимптотического поведения ноля температур дополнительно предполагается, что слои имеют одинаковые толщины и температура стенок равна нулю. Также как и для скоростей доказано, что температура выходит на стационарное решение при t —> оо. Аналогично ведет себя и концентрация, причем стационарное распределение концентрации существует только при В\ = = 0. В силу линейности задачи для Tj можно представить их решение в виде суммы Tj(y, t) = Т}(у, t)+Tj(y, t) + Tj(y, t), каждое из слагаемых которой является решение начально-краевой задачи. Одна из них в точности совпадает с задачей которая решена в пункте 1.2, следовательно справедлива оценка решения \Tj(y,t)\ < у/5ijE{Q)/kjexp{-81t/2), где = min{Ы\,к2Р2). Нетрудно оценить решения для Tj и Tj учитывая полученные выше результаты. Таким образом, справедлива теорема: рассматриваемая нестационарная задача для определения температуры при t -» оо выходит на ее стационарное решение и справедлива оценка \Tj(y,t) —Tj(y)| < y/5ijE(0)/kjexp (—¿ii/2), где tj(y) — стационарное распределение температуры. Задача для Kj представлена в виде суммы двух задач. Решение однородной задачи для Kj(y,t) с ненулевыми начальными данными при t —у оо выходит на постоянные К®, К®, причем К® = А К2. Таким образом, экспоненциальной сходимости Kj(y,t) к стационарному решению достичь не удается.

Обратное преобразование Лапласа в явном виде выполнить затруднительно, поэтому численное обращение преобразования Лапласа выполняется при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности. Рассмотрены смеси растворов глицерина с водой (80 % раствор) и метилового спирта с водой (90 % раствор). Анализ численных расчетов позволяет сделать следующие выводы. Вначале изучается поведение скорости, температуры и концентрации при фиксированной продольной координате. При малых временах функции üj (üj, Tj, Kj — функции-изображения для скорости, температуры и концентрации соответственно) мало отличаются от нуля (начальных данных) и имеют то положительные то отрицательные значения. С ростом времени при £ « 26.57 для щ и £ « 45.99 для щ скорости растут и при £ > 100(^1) и t > 130(иг) становятся почти постоянными. То же самое можно сказать про поведение функций 7} и Далее фиксировалось время £. Для фиксированных и > ЮО для щ и ¿* > 130 для щ функции скорости выходят на асимптотический режим, асимптотиками являются прямые. Для функций Ту асимптотиками являются кубические параболы, Т\ при > 770 выходит на параболу. Таким образом, численные результаты подтверждают выход решения данной задачи на стационарный режим.

Во второй главе изучаются однослойные термодиффузионные течения. Это движение описывает система уравнеий (2) в которой надо положит!. $ — 1. Рассмотрим ее четырехмерную подалгебру (дх, + ди, до, дс). На этой подалгебре система имеет частично инвариантные решения вида щ = щ(х, у^), и2 = у{у,Ь), р = ч(уЛ), 6 = 6(х,у^), с=с(х,у,Ь).

В пункте 2.1 исследуется начально-краевая задача возникающая при моделировании термодиффузионных движений в плоских слоях со свободной границей. Здесь рассматривается только поле скоростей, то есть без учета температуры и концентрации. Из уравнения сохранения массы следует вид решения для горизонтальной составляющей вектора скорости: она есть линейная функция от х. Рассматривается два случая: 1) плоское движение с двумя свободными границами, 2) плоское движение когда одна граница является свободной, а другая твердая стенка. Решение данной задачи сводится к решению интегродифференциального уравнения при определенных начальных и граничных условиях. Сложность в решении таких задач составляет то, что положение свободной границы также является неизвестной функцией и находится в процессе решения задачи. После подходящего введения безраз: мерных переменных получаем задачу уже в фиксированной области. Решение этой задачи ищется методом Галеркина, функции раскладываются по полиномам Лежандра. Для задачи с двумя свободными границами достаточно ограничиться только четными полиномами, в силу симметрии рассматриваемой обрасти, а когда рассматривается твердая стенка, разложение ведется по всем полиномам. Система сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решалась методом Рунгс-Кутты.

Численное, решение этой системы зависит от вида начальных данных. Рассматривая задачу с двумя свободными границами можно видеть, что когда начальные данные меньше нуля, то решение за конечный промежуток времени уходит па бесконечность (то есть движение разрушается), а при положительных начальных данных скорость и положение свободной границы убывают и стремятся к нулю (жидкость вначале оттекает от точки х — 0, после чего меняет направление движения и начинает притекать к эгой точке). Для задачи с твердой стенкой получены такие же результаты. В этом пункте представлено одно из точных решений для функции скорости полученное в [55]. Численные результаты для задачи с двумя свободными границами согласуются с качественными выводами.

В пункте 2.2 исследуется одно частично-инвариантное решение уравнений термодиффузионного движения в случае слоя с двумя свободными границами. Сначала рассмотрен молекулярный перенос тепла и примеси без влияния поля скоростей. В дальнейшем накладывается поле скоростей и исследуется его влияние на движение смеси. Ищется решение специального вида: температура и концентрация есть квадратичные функции переменной х, в = а(у,Ь)х2 + &(у,£), с = Ь,{у,£)х2 + д{у, ¿). Ему можно дать следующую физическую интерпретацию. Достаточно длинный слой смеси в окрестности точки х — 0 нагревается, причем внешняя температура вдаз{х, ¿) имеет в этой точке минимум или максимум. Тогда в окрестности х — 0 ддаз{х,Ь) также аппроксимируется по параболическому закону. В зависимости от знака а(у,£), И(у, ¿), температура и концентрация будут принимать максимальное или минимальное значение в точке х = 0. Поэтому в дальнейшем основной интерес представляет поведение функций а(у,£), Н(у,1).

Когда жидкость находится в состоянии покоя, то есть скорость равна нулю, в этом случае возможен только молекулярный перенос тепла и примеси. В этой системе вводятся безразмерные переменные и точное решение найдено методом Фурье. Различаются решения при Ы ф 0 и В{ = О, В1 — число Био. В случае, когда отсутствует теплообмен через свободную границу (В( = 0), безразмерные функции А(1,т), Н(1,т) стремятся к пулю, при т —> оо. Таким образом, при г оо температура и концентрация на свободной границе становятся постоянными. В случае В1 ф 0 поведение температуры зависит от температуры газа. Если задавать Адаз в виде различных функций, то можно видеть, что А(1,т) всегда ведет себя аналогично Ауая(т). Поведение концентрации веществ смеси обусловлено поведением температуры, то есть когда температура становится максимальной в точке х = 0, концентрация так же имеет максимум. И наоборот, если температура имеет минимум, то концентрация так же становится минимальной.

Поле скоростей оказывает существенное влияние на распределение температуры и концентрации. Учитывается поле скоростей для точного решения найденного в [55]. Задача решалась методом Галеркина. Если температура газа имеет минимум в точке х = 0, то температура жидкости на границе слоя и концентрация также имеют минимум. Если скорость уходит на бесконечность за конечный промежуток времени (движение разрушается), то и температура с концентрацией также стремятся к бесконечности. Заметим, что поведение функции скорости зависит от начальных данных. При определенных начальных данных скорость не уходит на бесконечность, тогда поведение скорости и положение свободной границы согласуются с асимптотиками. Если скорость больше нуля, тогда жидкость оттекает от точки х = 0. При стремлении скорости к нулю жидкость приходит в равновесное состояние. Если движение не разрушается, то температура на поверхности слоя так же стремиться к температуре газа как и в случае отсутствия поля скоростей. Концентрация вещества смеси стремится к постоянной.

Эта задача, для сравнения, также решена методом прогонки. Результаты решения задачи методом прогонки с высокой степенью точности совпадают с результатами ее решения методом Галеркина.

В пункте 2.3 рассматривается движение плоского слоя жидкости с двумя свободными границами. Ищется решение специального вида, которое представлено в пункте 2.2. При некоторых упрощениях задача сводится к системе последовательно решаемых параболических уравнений. Для решения этой системы используется метод Фурье; впоследствии построенное точное решение было использовано в качестве теста при отработке схемы численного решения. Общая задача решена методом Галеркина. Численные расчеты позволяют сделать следующие выводы: движение смеси происходит из области малых в область больших поверхностных натяжений. Смесь притекает и приносит концентрацию, температура па границе слоя стремится к температуре газа. При изучении влияния безразмерных параметров входящих в систему было получено, что при увеличении концентрационного и теплового чисел Марангони, числа Прандтля и числа Пекле интенсивность течения уменьшается, то есть жидкость позже по времени меняет направление течения. При увеличении числа Био и числа Соре — интенсивность течения увеличивается.

В пункте 2.4 исследуется та же система уравнений, что и в предыдущем пункте, но одна граница является свободной, а другая твердая стенка. Решена стационарная задача для этого случая. Показано, что в случае стационарного движения смесь может лишь покоиться. Нестационарная задача решалась численно. Если сравнивать с численными результатами полученными для течения жидкости со свободными границами, при тех же значениях параметров, можно увидеть, что скорость так же убывает и меняет направ ление течения, а концентрация в этот момент увеличивается. Температура стремится к температуре газа. Особый интерес представляет собой случай когда скорость в начальный момент времени равна нулю, а температура и концентрация отличны от нуля. Тем самым исследуется эффект Соре в чистом виде, когда движение жидкости вызывают эффекты термодиффузии. Функции А(1, т) и Н(1,т) убывают и стремятся к нулю. Когда они становятся равные нулю, в этот момент эффект Соре исчезает, но смесь продолжает свое движение по инерции.

Заключение содержит результаты и выводы проделанной работы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Получение априорных оценок и асимптотическое поведение решения начально-краевой задачи, описывающей однонаправленное движение двух вязких несмешивающихся жидкостей в плоских слоях.

2. Нахождение точного решения и асимптотического поведения задачи для двуслойного термодиффузионного движения смесей в случае полуогра-ничепиых слоев и ограниченных слоев.

3. Определение стационарного двуслойного движения с твердыми стенками и доказательство того факта, что решение нестационарной задачи при больших временах выходит на ее стационарный режим.

4. Исследование влияния динамики на распространение тепла и примеси в случае термодиффузионного движения однослойных жидкостей. Построение методом Фурье точного решения для равновесного состояния, в котором распространение тепла и примеси осуществляется путем молекулярного переноса.

5. Исследование начально-краевой задачи для термодиффузионного движения однослойных смесей в случае двух свободных границ и когда одна из них является твердой стенкой.

Апробация.работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:

XXXV Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2004),

V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2004),

XXXVI Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики "(Екатеринбург, 2005),

Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения"(Бийск, 2005),

VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2005),

VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006),

XXXVII Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики "(Екатеринбург, 2006),

Конференция молодых ученых Института Вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2004-2006),

Семинаре Института Вычислительного моделирования СО РАН "Математическое моделирование в механике"под руководством профессора В.К. Андреева.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [3, 9], [24]- [33].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.К. Андрееву за постановку задачи, помощь и ценные советы при работе над диссертацией.

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Красноярского краевого фонда науки, проект 12F003M (2005); Российского фонда фундаментальных исследований, проект 05 — 01 — 00836 и НШ5873.2006.1 (2006), проект 02 - 01 - 00934 (2004); интеграционного проекта СО РАН 2.15 (2006); Красноярского краевого фонда науки, индивидуальный грант, проект 16С202 (2006). •

Точные решения для системы уравнений термодиффузионного движения двуслойных смесей

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты диссертационной работы:

1. Исследована начально-краевая задача, возникающая при однонаправленном движении двух вязких жидкостей с общей поверхностью раздела. Для скорости получена априорная оценка решения и установлена единственность решения. Найдено общее решение и для линейного начального поля скоростей изучены предельные случаи поведения решения. Получены оценки скорости сходимости решения. Если в начальный момент времени имеется разрыв скоростей па границе раздела, то вдоль нее возникает пограничный слой. Изученная задача может быть так же интерпретирована как задача о распространений тепла в двух стержнях, контактирующих между собой.

2. Найдено решение специального вида допускающие однопараметрическую подгруппу соответствующую оператору д/дх+А^д/дв^В^д/дс^, А^, Bj — постоянные. Для системы уравнений термодиффузии в случае полуограниченных слоев, зависящее только от поперечной координаты и времени. Получено точное решение и вычислено асимптотическое поведение.

3. Изучено движение двух смесей в случае, когда они ограничены твердыми стенками. Найдено стационарное решение. Доказано, что решение задачи при больших временах выходит на стационарное решение той же задачи. Задачу для определения температуры можно представить в виде суммы трех задач, а для концентрации в виде суммы двух задач. Получены оценки сходимости решения к стационарному. Примененный численный метод обращения преобразования Лапласа при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности хорошо подтверждает качественные результаты.

4. Исследована начально-краевая задача для скорости, возникающая при движении в однослойных смесях со свободной границей и твердыми стенками. Задача сводится к решению интегродифференциального уравнения, решение найдено численно методом Галеркина.

5. Изучено одно частично-инвариантное решение уравнений термодиффузии для однослойных жидкостей. Найдено равновесное состояние слоя, в котором процесс распространения тепла и примеси осуществляется путем молекулярного переноса. Показано, что учет динамики при определенных начальных данных приводит к разрушению движения смеси за конечное время.

6. Исследовано однослойное движение смесей в случае когда обе границы являются свободными. Найдено точное решение в котором температура и концентрация смеси представлены в виде рядов. Общая задача решена численно методом Галеркина.

7. Изучено однослойное движение жидкости когда одна граница является свободной, а другая твердой стенкой. Доказано, что стационарное решение может быть только покоем.

1. Андреев В.К., Картошкина А.Е. О движении плоского слоя жидкости со свободной границей под действием эффекта Соре// Вестник КрасГУ: физико-математические науки. Красноярск: КрасГУ, 2004.-вып.1 С. 182-191.

2. Андреев В.К., Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений тер-мокапилярного движения// Численные методы механики сплошношной среды. 1983.Т.14, №5. С.3-23 С. 182-191.

3. Андреев В.К., Рыжков И.И. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии// Дифференциальные уравнения. 2005.Т.41, Ш. С.508-517.

4. Андреев В.К., Бублик В.В., Бьггев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. - 352 с.

5. Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000. - С. 280.

6. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. - 319 с.

7. Андреев В.К., Картошкина А.Е., Родионов A.A. Об одном уравнении динамики вязкой жидкости// Вестник КрасГУ: физико-математические науки. Красноярск: КрасГУ, 2005 -вып.1 С. 204-210.

8. Бокштсйн B.C. Термодиффузия // Соросовский образовательный журнал. 1999. - № 4. - С. 40-43.

9. Дж. Бетчелор Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.- 700с.

10. Бейтмсн В., Эрдейн А. Таблицы интсгральнх преобразований. М.: Наука, 1969.- Т.1.

11. Беляев U.M., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982 - 4.1.-327 с.

12. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982 - Ч.2.-304 с.

13. Варгафтик Н.Б. Справочник по тегоюфизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. - 720 с.

14. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

15. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомпящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 320 с.

16. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин JI.E. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси с термодиффузией // ПММ. 1982.- Т. 46. Вып. 1. - С. 66-71.

17. Гсршупи Г.З., Жухопицкий Е.М., Сорокин Л.Е. Об устойчивости плоскопараллслыгого конвективного течения бинарной смеси // ПММ. 1980. - Т. 44. - Вып. 5. - С. 823-830.

18. Гончарова О.Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1987. - Вып. 79. - С. 22-35.

19. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегральных сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1965.

20. Жермен П. Курс механики сплошных сред.- М.: Высшая школа, 1983.399 с.

21. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

22. Картошкина А.Е. Влияние динамики на термодиффузию// Тезисы докладов VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Кемерово, 2005.-С.38.

23. Картошкина А.Е. Влияние динамики на термодиффузию в плоском слое со свободными границами// Вычислительные технологии. №4 Т.П. Новосибирск, 2006. С. 44-53.

24. Картошкина А.Е. Об одном движении семеси// Тезисы докладов Всеросийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи сосвободными границами: теория, эксперемент иприложения"Бийск, 2005. С. 45-46.

25. Картошкина А.Е. Об одном решении уравнений термодиффузии со свободной границей// Труды 36-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математикикатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 141-145.

26. Картошкина А.Е. О нестационарном движении жидкости под действием эффекта Соре// Тезисы докладов V Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2004.-С.20.

27. Картошкина А.Е. О нестационарном движении плоского слоя// Труды 35-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математикикатеринбург: УрО РАН, 2004. С. 138-143.

28. Картошкина А.Е. О численном обращении преобразования Лапласа// Тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. -Красноярск, 2006.-С.52.

29. Картошкина А.Е. Развитие термоконцентрационного движения с плоской границей раздела// Труды 37-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математикикатеринбург: УрО РАН, 2006. С. 205-209.

30. Картошкина А.Е. Решение начально-краевой задачи, возникающей при совместном движении двух слоев бинарных смесей.-Препинт №1-Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006.- 24 с.

31. Картошкина А.Е. Эволюция двух несжимающихся слоев вязкой жидкости// Вестник КрасГУ: физико-математические науки. Красноярск: КрасГУ, 2006.-вып. 1 С. 184-190.

32. Катков B.JI. Точные решения некоторых задач конвекции // ПММ. -1968. Т. 32. - Вып. 3. - С. 482-487.

33. Крылов В.И., Скобля Ц.С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лаплнсса.- Минск: Наука и техника, 19С8.

34. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласса М.: Наука, 1974.-224 с.

35. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1973.- 736 с.

36. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа- М.: Наука, 1967.— 736 с.

37. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

38. Николаев В.И., Тубип A.A. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси в плоской термодиффузионной колонне // ПММ. 1971. - Т. 35. - Вып. 2. - С. 248-254.

39. Овсянников Л.В.Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978.

40. Пухпачев В.В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. - Т. 6 (23), № 4. - С. 47-50.

41. Пухпачев В.В. Неустановившееся движение вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично-инвариантными решениями уравнений навье-Стокса// Динамика сплошной среды. Вып.10. Институт гидродинамики СО АН СССР Новосибирск, 1972. С. 125-137.

42. Рабинович Г.Д. Разделение изотопов и других смесей термодиффузией. М.: Атомиздат, 1981. - 144 с.

43. Рабинович Г.Д., Гуревич Р.Я., Боброва Г.Н. Термодиффузионное разделение жидких смесей. Минск: Наука и техника, 1971.

44. Рыжков И.И. Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии // Дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - 168 с.

45. Смородин Б.Л. Конвекция бинарной смеси в условиях термодиффузии и переменного градиента температуры // ПМТФ. 2002. - Т. 43, № 2. -С. 54-61.

46. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1972.

47. Шапошников КГ. К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ. 1953. - Т. 17. - Вып. 5. - С. 604-606.

48. Федорюк М.В. Метод перевала М.: Наука, 1977.-368 с.

49. Физические величины. Справочник /Под. ред. Григорьева И.С., Мейли-хова Е.З. М.: Энеоатомиздат, 1991 1232 с.

50. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы,- М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004.-400 с.

51. Gershuni G.Z., Kolesnikov А.К., Lcgros J.С., Myznikova B.I. On the vibrational convective instability of a horizontal, binary-mixture layer with Soret effect // ,1. Fluid Mech. 1997. - V. 330. - P. 251-209.

52. Huppert H.E.j Turner J.S. Double-diffusive convection // J. Fluid Mech. -1981. V. 10G. - P. 299-329.

53. Pukhnachov V.V. On a problem of viscous strip deformation with a free boundary// C.R. Acad. Seien. Paris, t.328, Serie 1, 1999—P.357-362.

54. Tritton D.J. Physical Fluid Dynamics // Oxford University Press. 1988. -519 p.

55. Wiegand S. Thermal diffusion in liquid mixtures and polymer solutions // J. Phys.: Condens. Matter., 16 (2004). P. 357-379.

56. Yanase S., Kohno K. The Effect of a Salinity Gradient on the Instability of Natural Convection in a Vertical Fluid Layer // J. of the Phys. Soc. of Japan. 1985. - V. 54, № 10. - P. 3747-3756.