Устойчивость равновесных состояний и течений бинарных смесей в плоских слоях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Ефимова Марина Викторовна

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ состояний И ТЕЧЕНИЙ БИНАРНЫХ СМЕСЕЙ В ПЛОСКИХ СЛОЯХ

01 02 05 — механика жидкости, газа и плазмы

003446137

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 8 СЕ И 2009

Красноярск — 2008

003446137

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН (г Красноярск)

доктор физико-математических наук, профессор В К Андреев

доктор физико-математических наук, профессор В М Белолипецкий доктор физико-математических наук, профессор Григорьев Ю Н

Институт гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН , г Новосибирск

Защита диссертации состоится ¿£#£¿¡^008 г в часов на заседании диссертационного совета Д 003 035 02 при Институте теоретической и прикладной механике им С А Христиановича СО РАН по адресу 630090, Новосибирск, ул Институтская 4/1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ им С А Христиановича СО РАН

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу 630090, г Новосибирск-90, ул Институтская, 4/1, ИТПМ им С А Христиановича СО РАН, ученому секретарю диссертационного совета Д 003 035 02

Автореферат разослан "М? "оЗу/ей^ 2008 г

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

Ученый секретарь диссертационного совета

ДТП

Засыпкин И М

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье-Стокса, Обербека-Буссинеска, пограничного слоя Прандтля В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике В связи с этим является актуальной задача качественного исследования подмоделей усложненных моделей В частности, точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных об частях естествознания Эти решения часто используют в качестве 'тестовых задач" для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов, а также имеют чрезвычайно важное значение при изучении устойчивости течений

В условиях, близких к невесомости, существенное влияние на устойчивость равновесия и движения жидкостей с поверхностью раздела или со свободной поверхностью оказывает зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры и концентрации и порождаемый термоконцентрационный эффект В 1958 году выходит первая теоретическая работа, выполненная J R A Pearson в которой исследован механизм неустойчивости подогреваемого снизу слоя жидкости со свободной поверхностью при отсутствии массовых сил В этой работе был получен принципиальный результат наличие только термокапиллярных сил может приводить к возникновению движения в жидкости Дальнейшее теоретическое изучение влияния термокапиллярного эффекта па устойчивость равновесия было продолжено рядом авторов L Е Scriven, С V Sterling (1964), J С Berg (1972), А А Непомнящий И Б Симановский (1985, 1986) и др

Исследование процессов, связанных с термокапиллярным и термоконцентрационным эффектами, происходящих в расплавленной зоне при выращивании кристаллов в условиях невесомости, лазерной обработке материалов с плавлением, определение состава нефти и разделение ее компонентов, является крупной научной пробпемой, имеющей важное значение для оптимизации технологических процессов

Диссертационная работа посвящена численному изучению устойчивости равновесного состояния п течений плоского слоя конечной толщины

бинарных смесей с учетом эффекта термодиффузии, а также изучению инвариантного решения уравнений термодиффузии, когда на поверхности раздела двух несмешивающихся бинарных смесей коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и концентрации, а также источником движения являются нестационарные градиенты давления

Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике Основу модели термодиффузии бинарной сме-ги составляет система уравнений Навье-Стокга, дополненная уравнениями тепло- и мае сопереноса Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах Гершуни Г 3 , Жуховицкого Е М , Сорокина JIE (1980) и Yanase S , Kohno К (1985), посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в работах Гершуни Г 3 , Жуховицкого Е М Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур рассматривалась в работе тех же авторов, а при наличии еще и продочьного градиента концентрации — в работе Николаева Б И , Тубина А А В статье Смородина Б JI изучалась неустойчивость плоского горизонтального слоя несжимаемой бинарной газовой смеси под действием поперечного, модулированного по времени градиента температуры

Цель диссертационной работы заключается в исследовании устойчивости состояния равновесия двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных бинарных смесей с общей поверхностью раздела и однослойного термодиффузионного движения смеси в плоском слое со свободной границей, а также изучении инвариантного решения уравнений термодиффузии, происходящего под действием нестационарного градиента давления

Методы исследования. В качестве математической модели используются уравнения термодиффузии с граничными условиями, учитывающими термодинамику поверхности раздела и свободной поверхности С помощью метода нормальных возмущений исходные уравнения сводятся к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений со сложными граничными условиями Для получения результатов использовались методы решения дифференциальных уравнений, асимптотические и численные методы Спектральные задачи решались методом ортого-нализации с применением метода секущих Кроме того использовался метод преобразования Лапласа, метод априорных оценок

Научная новизна В диссертации впервые исследованы устойчивость течения плоского слоя со свободной поверхностью устойчивость равновесного состояния бинарных смесей с поверхностью раздета Исстедова-

пы начально-краевые задачи, описывающие двухслойные течения бинарных смесей, получены априорные оценки возмущений скорости и температуры и концентрации

Теоретическая и практическая значимость Проведенные исследования вносят определенный вклад в изучение факторов влияющих на устойчивость равновесия и движения бинарных смесей с общей поверхностью раздела, а также обладающих свободной границей Полученные результаты могут быть использованы при моделировании явлений, происходящих в смесях в условиях, близких к невесомости

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов диссертации подтверждается использованием классических математических моделей механики сплошных сред и математических методов их исследования, а также согласованием аналитических решений и данных численных расчетов

Апробация работы Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах

— VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г Красноярск, 2006 г),

— Конференция молодых ученых Института Вычислительного моделирования СО РАН (г Красноярск, 2004-2006 гг)

— Семинарах Института Вычислительного моделирования СО РАН "Математическое моделирование в механике"под руководством профессора В К Андреева

— Семинаре Института Вычислительного моделирования СО РАН "Проблемы математического и численного моделирования "под руководством член-корреспондента РАН В В Шайдурова

— Семинаре Института вычислительных технологий СО РАН "Информационно-вычислительные технологии' под руководством академика ЮИ Шокина

— Семинаре отдела прикладной гидродинамики Инс гит\та гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН (г Новосибирск) под руководством член-корреспондента РАН В В Пухначева

— Семинаре Института теоретической и прикладной механики СО РАН под руководством академика В М Фомина

—Че1верлая Сибирская шко т-семинар "Математические проблемы механики сплошных сред" (г Новосибирск, 2000 г)

—Межд} народная конференция "Симметрия и дифферепциа 1ьные уравнения"^ Красноярск 2000 - 2002 гг)

Публикации По теме диссертации опубликовано 9 работ

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, который содержит 67 наименований Общий объем диссертации 113 страниц, включая 16 рисунков

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности работы, приведен обзор литературы по теме исследования, описана структура диссертации и изложены ее основные результаты Приведена математическая формулировка начально-краевой задачи о движении двух несмешивающихся несжимаемых бинарных смесей с общей границей раздела

В первой главе проведена линеаризация задачи о малых возмущениях двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных бинарных смесей с общей границей раздела и со свободной поверхностью При этом учитываются эффекты термодиффузии (эффект Соре)

Пусть известно решение иДх, р3(х, Ь),в3(х £), с3(х, уравнений движения несжимаемой теплопроводной в области П3 Положим х = х + Х(х, где X — вектор смещений частиц жидкости или вектор возмущений, Х|{=о = 0 Рассмотрим решение й3,р3,93,с3 исходной задачи в виде

й3(х,1)=и3 (х, £) + и, (х, I), I = *, р3 (х, 1) = р3 (х, ¿) + Р3 (х, г),

...... . (1)

в3 (X, г) = в, (X, ь) + т3 (X, о, г, (х,«) = с3 (х, г) + к3 (х, г),

где Ц,, Р3, Т3, К3 возмущения основного решения и3,р3,в3,с3 Предполагая, что эти возмущения малы и область П, мало отличается от П, (|Х| 1) получаем систему уравнений

Ц,( + и_, V Цг + Ц, V ^ + V Р3 = ^ДЦ,, сЬуЦ, = О,

+ \/Т3 + Ц, ^ = ХзЬТ],

Хе + (и, у)Х = (X у)и_, + Ц,,

К3( + и \/К3 + и = с^Д [К3 + а3Т3]

Аналогичным образом, после линеаризации граничных условий, будем иметь на поверхности раздела

иг + £!д = и2 + £>я, т1 + дЛп = т2А,

оп оп оп оп

Оп \ Оп -1Р]! +2{^£>(и)]! 11 п + [^(и)]щ =

др дп

1 1 дадв гт да дс тт п

дП(и)

дп

п п> Я+

2{[риО{Щгъ х„12 +

р V

дБ {и)

дп

п х„, 2 Я + \pvDi и)]гП1 (пЛ)П12 +

дТ

(3)

+

(<№ т

дв2 \дп ) да 1>2 ' дс \да^2

дв да ( дК (дсп

+ — I --+ I я-Д

дп

— (—Я К

дс2 \дп ) да1:2 ' двдс

дс д2а + ■

дв

дп ^ ) дац2

+

»1 2 дв_ дп

+

Я + Т

дс

дай

к— дп

+

:дп2

Я+[к\7в]г П! =0,

й — д2° К (—Я

дп дп2 \дп2 дп)

= 0

где »1,02 -параметризация поверхности Г, ха1, ха2 - базис касательной к Г плоскости, Я = X п - нормальная составляющая вектора возмущений на поверхности раздела, П1 - проекция возмущения нормали п на касательную плоскость, -О^Дг ~ главные радиусы кривизны невозмущенной поверхности Г На твердых стенках £

и, = О, X = О, Т} = О,

дК}

дп

+ а,

дТ) дп

= О

(4)

Глава 2 посвящена исследованию устойчивости равновесия двух несме-шивающихся плоских слоев смесей с общей поверхностью раздела у = О Плоскости у — +1 — с\ть непроницаемые твердые стенки Задача о термодиффузионном равновесии с поверхностью раздела при данных условиях имеет решение (напомним, что массовые силы отсутствуют)

Ч? — 0, р} = со!^, .7 = 1,2,

,, #10 - $20 , $20 + ^$10 л к(в\0 - $2о) , $20 + ^$10

= , у + —г—;— $2 = /, , 1Х, у + ■

{к+ 1)1

С\ =

к+ 1

- У + с. ,

{к+ 1)1

к+ 1

{к+ 1)1

С2 =

а2/с($ю - $20) , О

Здесь 020 — температура твердых стенок при у = ±1 соответственно, к — к\/к2 — отношение коэффициентов теплопроводностей, — кд/9с, — коэффициенты термодиффузии, с0 — концентрация на границе раздела (все эти величины считаем постоянными)

В п 2 2 получены амплитудные уравнения Ищем решение задачи в виде нормальных волн (?7 = у/1, £ = х/1, т — безразмерное время)

{и, У,Р,Т, К, В) = (и(тг),У(п),Р(11),Т(г1),Ш,Л)ехр(ю^-1Ст), (6)

где а — волновое число С — комплексный декремент

Подставляя (6) в систему линеаризованных уравнений (2), получим систему амплитудных уравнений в безразмерном виде При этом спектральная задача относительно декремента С такова

и'; + - о?)из - Р3ча - 0, V'; + гС - а2)У3 - р; = О,

гаЦ + V= 0, Т' + (—гС - а2)Т3 - е,У} = 0, (7)

К» + (|гС - аг)К, + Рг,(Т; - а%) + = 0 Граничные условия на твердых стенках сводятся к следующим

г\ уг Лф

и}=0, Ц=0, Т3 = 0, -^¿ + Ргу_£ = 0 ч = ±1 (8)

Условия на поверхности раздела т? = 0 имеют вид

и2 = иии У2 = К2 -е2П = а (Кг - £1Я),

X дт! х Щ

р»2Рх -Р2+ 2У2п - 2ри2У1г} = -а2ЖеД, (9)

и2г, + юУ2 - р»2{и1П + гаУх) = -Мга (Т2 4- е2Я) - ш5г (К2 - е2В) ,

дц дг\ \ дг] дщ) ' С Здесь введены обозначения

М = —(число Марангони), Бг = 1Ё2°12^10—(число Соре) Р2"2\2 /02^2

Основными безразмерными параметрами задачи являются число Марангони, отвечающее за действие термокапиллярпого эффекта, число Вебе-ра, характеризующее деформируемость свободной поверхности, предельный случай числа Вебера, равного бесконечности, соответствует жесткой неде-формируемой свободной границе, число Соре отвечает за действие эффекта термодиффузии

Для численного исследования положения равновесия используется метод ортогонализации Годунова с применением метода секущих Для запуска метода секущих необходимы два приближения В п 2 3 найдены начальные приближения для декремента С Для этого рассматривались длинноволновое приближение решения амплитудных уравнений

Uj = U° + a[/}+ , Vj = aV¡> + a2V] + , P3=P° + aP} + Tj = aiy + a2Tj + , Kj=aK° + a2K}+ , С = C° + aC1 + R = QR° + a2 i?1 +

Подстановка этих выражений в спектральную задачу (7) - (9) дает выражение для нахождения нулевого приближения декремента С

smcos(v^) + sin(\/tC°) = 0 (10)

Например, для системы глицерин - метиловый спирт С0 = —2 467г, —17 53г, —22 206г При рассмотрении системы в первом приближении получим, что С1 = 0, а С2 выписывается в явном виде

В п 2 4 рассматриваются только стационарные возмущения (возмущения затухают или усиливаются монотонно, без колебаний) и в линеаризованной задаче исчезают все производные по времени, система существенно упрощается и получается спектральная задача относительно числа Марангони, в результате решения которой зависимость числа Марангони от волнового числа а для деформируемой поверхности раздела такова

w/-.,^ 1 + Pu Sr(döciSci - £2Sc2f) / 1 ctha 1 \

M(We) =-----v0 ,. n ----ГТТ + a(a) +

as ig: 8a(l + d)£iugi a a¿g(a) )

SrPiWl-YHl + dä). . , . , Sr(l + dö) , ... , +--r^--F(n)th(n) +-rrrr,—-rrafn (1 - pu), (11)

с известными функциями ö(«), a(a), g(&), F(a)

Если поверхность недеформируема, т е \¥е > 1 (это часто выполнено для экспериментов в условиях орбитального полета), а значит Я = 0 (нормальная составляющая вектора возмущений на поверхности раздела) Тогда число Марангони определяется следующим выражением

8х(р,+ 1) ЗгРг2(1 + а^

F( о)а£1£2(1-х)

^^^ - ■ сЛа (\ - ^ - + а(а)) (12)

Р(а)а£1£2{1 - х)г/(1 + <0 V"2 а "2<?(«)

Формула (12) получена при условии х — х1/х2 Ф 1 Если же \ = 1, те коэффициенты температуропроводностей жидкостей совпадают, возмущение температуры на поверхности раздела равно нулю Поэтому термокапиллярный эффект отсутствует и можно найти критическое число Соре

8^(1 + ру){1 + р<1) (рс^е^а - е2Зс2к)Р(а)' [ '

Р(а) известная функция

В п 2 5 на основе метода ортогонализации и метода секущих предложен алгоритм для численного исследования устойчивости задачи (7) - (9) Особенность применения метода ортогонализации к данной задаче заключается в том, что в каждом слое запускается "классический"метод ортогонализации с граничными условиями на левом участке, при достижении правых участков происходит "склеивание"граничных условий Для начала с помощью простой замены сведем задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Решение полученной системы ищем в виде

4 4

У = Х>тУт, 2 = (14)

т=1 т.— 1

где у, г — вектора решений, а ут, хт — т линейно независимых векторов, тп = 4 — количес тво граничных у( ловии на левом конце интервала Выбираем ут, гт так, чтобы у, г, удовлетворяющих соответствующим условиям на твердых стенках В качестве начальных приближений декремента выбираем С0, С2 из условий (10)

Исследовалась устойчивость системы 80 % глицерин - 90 % раствор метилового спирта, ограниченных твердыми стенками и имеющих общую поверхность раздела Для данной системы были численно найдены зависимости Сг = 1т С от волнового числа а Резучьтаты приведены на рис 1 Установлено, что при увеличении числа Марангони область устойчивости смещается в

Рис 1 Зависимость С, от волнового числа а а) кривая 1 — М = 290, 2 — М = 590, 3 —• М = 1590 {XV е = 100, 5г = -10) б) кривая 1 - 5г = -1, 2 - йг = -10 3 - 5г = -100 (М = 300, IVе = 100)

сторону длинных волн, а также при росте числа Соре область неустойчивости уменьшается

В главе 3 исследуется устойчивость термокапиллярного течения в двухкомпонентной жидкости для недеформируемой свободной границы с учетом термодиффузии (эффекта Соре)

В и 3 1 сформулирована задача со свободной поверхностью и выписано стационарное решение, удовлетворяющее условию замкнутости потока

Индекс "0"в (15) означает основное течение Далее исследуется устойчивость этого квадратичного или, как его еще называют, возвратного течения

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением только термокапиллярной неустойчивости, без учета поверхностных воли, те предположим, что свободная поверхность недеформируема (это означает, число Вебера достаточно велико IVе >>1)

Решение задачи со свободной поверхностью ищем в виде нормальных волн с волновыми числами по направлениям х, у а,(3 соответственно т — безразмерное время, С = Сг + гС1 — комплексный декремент В результате получаем спектральную задачу относительно декремента С

В п 3 2 найдено нулевое и первое приближение для декремента С

(15)

8 Ргр1

М

В п 3 3, предположив, что возмущения плоские (а = 0), получена аналитическая зависимость нейтральных чисел Марангони от волнового числа в и физических параметров Уравнение является квадратным относительно числа Марангони, поэтому в плоском случае имеется две нейтральные кривые, обозначающие границу устойчивости движения относительно монотонных возмущений

В п 3 4 исследуется устойчивость термокапиллярного движения двух-компонентной жидкости для произвольных возмущений методом ортогона-лизации Полученные аналитически нейтральные кривые для монотонных возмущений использовались в качестве тестов при расчетах Расчеты проводились при следующих параметрах По = Ю-4, В\ = 30, Г)2 = 103, Бг = 10, Бс = 10, Мс = 5, В: = 0, Рг = 0 016

В результате расчетов обнаружено, что рост числа Марангони приводит к уменьшению области длинноволновой устойчивости Полученные результаты согласуются с графиками нейтральных кривых При а — 0 для чисел Марангони, меньших М, < 1000 будет всегда наблюдаться длинноволновая устойчивость

Четвертая глава посвящена исследованию двухслойных термодиффузионных течений смесей, имеющих общую границу раздела под действием перепада давления и термоконцентрационных сил

Система уравнений двумерной термодиффузии допускает однопара-метрическую подгруппу, соответствующую оператору

д л 9 „ д г . . д

А3, В3 — постоянные, }3{Ь) — функции времени Таким образом, инвариантное решение следует искать в виде

Щ = *)> Рз = ~РзШ)х + Р]^),

(17)

03 = А3х + Т3(у, £), с3 = В3х + К3(у,1)

Решению (17) можно дать следующую интерпретацию Предположим, что на границе раздела двух смесей у = 0 поверхностное натяжение линейно зависит от температуры и концентрации а{9 с) = а^— рег9 — аэ2с, где аз1 > 0, эз2 — постоянные В начальный момент времени первая смесь заполняет слой —1\ < у < 0, а вторая — стой 0 < у < 12 Смеси находятся в покое, и при I = 0 во всем пространстве мгновенно создается поле температур 93 = А3х и поле концентраций с1 = В,х Термоконцентрационный эффект и градиенты давления /_,(£) порождают движение смесей, в котором поверхность раздета остается плоскостью у = 0, а траектории явчяются прямыми, параллельными

оси х Функции можно назвать возмущениями состояния покоя

смесей

Подстановка (17) в систему уравнений термодиффузионного движения с учетом условий на границе раздела у = 0 приводит к начально-краевой задаче

и^ = ~ Х]Т]уу — Ли],

(18)

при -ь<у<0 {] = 1), 0 < у < 12 (з= 2).

«1(0,*) =1*2(0,«), Т1{0,г)=Т2М, Кг(0,г) = ХК2{0,1), (19)

= (20)

«№„(<),*) + £*1 г1в(0, ¿)) = ¿2(К2у(0, *) + а2Т2у{0, ¿)), (21)

р2»2и2у{0, - рмщуф, г) = —321л - ае2/?1 ^ я, (22)

ил(у,0) = 0, Т3(у, 0) =0, К3(у, 0)=0 (23)

^(-м) = 0, и2(12,1) = 0, Тг(-1 и1) = о, т2(м) = 0 (24)

= 0 (25)

(дК, dTj V ду 011 ду

о , dKi 9TJ

= 0, -^ + ^

V дУ дУ

Видно, что уравнения (18)—(25) образуют три последовательно решаемые задачи для функций (ui, иг), (7i, Т2), (iij, /¡Г2) В силу линейности задачу для нахождения поля скоростей удобно разбить на две неоднородную в слоях (fj(t) Ф 0) с нулевым граничным условием (22) и однородную [f3{t) = 0) с ненулевым граничным условием (22) H ф 0

Сначала рассматривается задача об определении поля скоростей в слоях только при внезапно возникшем перепаде давления в одном из слоев

Для решений этой системы получена априорная оценка и на ее основе доказана следующая теорема

Теорема 1 Решение задачи для определения поля скоростей в слоях только при внезапно возникшем перепаде давления в одном из слоев при вы-

оо

полненип условия f \f(t)\e2dt dt = \fC\ > 0, и i —► оо стремится к нулевому о

решению причем справедливы оценки скорости сходимости

равномерные в интервалах (—¿г, 0), (0, /2)

Здесь /(*) = т, //2(г)Л = С2 > О, С3 = р\{1\ + 12)С2, о

5 = тш (/1~2г/ь 122и2), - р\ тах(у//1 / р\, у/к/рг), ] = 1,2

Другими словами, если градиент давления в одной из смесей достаточно быстро стремится к нулю, то происходит торможение смесей за счет вязкого трения согласно неравенствам (26)

Для получения более точной информации о поведении скоростей применяется преобразование Лапласа, в результате чего приходим к краевой задаче для изображений й3(у,р) После некоторых выкладок найдем для изображений следующее представление

"<»>=- Ж {

(p-l)ch 12

V и2

sh,

-(y + h)-

- sh.

■y+ sh -

ch,

-l2 + ~ ( ch,

JL

P и ' — у - ch

vi

h sh.

-k

(27)

Ü2 (y,p)

f(p) f H pW(p) \y/U

Vl

sh,

V2

^ \

Здесь f(p) — изображение f(t), p = p\/p2 p-mlm, v = vi/u2,a

+Twp\ sh

-y-sh,—l2 ) ch,

l>2 V U2

y-dlj^l2)shj^h V2 V v2 ) V vl

W(p) = sh ch f-^ + cth4 V V2 V

■l2th,/—h V2 V V\

Предположив что существует hm f(t) = fo — const, тогда

t~* 00

lim pf{p) = fo (в этом случае функция f(t) не удовлетворяет условию теоре-р->0

мы 3), вычислен lim рйЛу,р) согласно формулам (27) Простые, но длинные р-> о

выкладки показывают, что (использовано равенство pv — ц и обозначение I = h/h)

2

hm Рщ(у,Р) = 1-^ hm =

IjfoH

+

pi-I2 fy\ , ц{1 + 1) 1{ц+1) 1(1 +1)

У

tJ +i(ß+i) \h

y\2 V - l2 (y

= A(y)

+

(28)

М) М + ' \к) р + 1

Легко проверяется, что правые части в (28) являются точным стационарным решением задачи для определения поля скоростей в слоях только при внезапно возникшем перепаде давления в одном из слоев

К (27) применен численный метод обратного преобразования Лапласа Численные результаты подтверждают выход решения рассматриваемой задачи на стационарный режим (28)

Далее решение ищется в полуограниченных слоях (устремим в формулах (27) ¿1 и 12 к бесконечности) Оригиналы для полученных выражений восстанавливаются по формуле обращения Предположив, что /(£) = /\j\fi с постоянной /1, после некоторых преобразований получим автомодельное решение краевой задачи

ИМ = [ехр /ехр (4 ) «

1 Ц +

оо 6

где ^ = у/у/Ц^. — автомодельная переменная

Очень часто вместо перепада давления задают объемный расход жидкостей в слоях

о ¡г

0х{1) = ! щ{у Ь)йу, (¿2(1) =1и2{у,1)ёу (29)

-/, о

Например слой (—¿1,0) — вода, а слой (0,— нефть, и задан расход нефти С}2(Ь) Применяя преобразование Лапласа к равенствам (29) и используя формулы (27), для изображений скоростей, получим изображение дчя расходов, из которого выразим /(р), а по формуле обратного преобразования Лапласа восстанавливаем /(£) Далее возможно определить расход в первой жидкости (воде)

П 4.5 посвящен определению возмущения поля скоростей, возникающего под действием термоконцентрацпонпых сил Поскольку Н 0, то в начальный момент времени имеется разрыв в условии (22), так как при I = 0 его левая часть равна нулю согласно (23) Такая задача имеет стационарное решение (течение Куэтта в слоях)

«?-«(! + £). (30)

где

а=--, Н=-(*1А + кгВ1), 1 = у (31)

Мм + О <2

Применение преобразования 1апласа позволяет определить вид изображений Полученные выражения удов четворяют свойсз вам преобразования

Лапласа, а именно 1нпрщ(у,р) = и°.(у) с функциями и°(у) из (30), (31), что р—> о ■'

и должно быть

Для получения априорной оценки вводятся новые функции, которые задают отклонение от стационарного решения ю3{у,Ь) = и®(у) — и3(у,тем самым начальные данные становятся ненулевыми и граничное условие (22) выполнено для любых £ > 0, при £ = 0 его правая часть равна Я После некоторых преобразований приходим к следующему результату

Теорема 2. Решение начально-краевой задачи для определения возмущения поля скоростей, возникающего под действием термоконцентрационных сил единственно и при t оо выходит на стационарный режим (30), причем справедливы оценки скорости сходимости

МУ,«)"«?(») (32)

V

2 / . . (X . 1 . о / /-^1 /^2

с постоянными Е(0) = — (р^ + рчН), А = а Т" + "Г

6 \ Н '2 .

Далее в п 4 6 рассматривается эволюция температурных возмущений Для возмещений температуры, возникающего под действием градиента давления получены следующие априорные оценки

1/2 . ,-. 1/2

■и™*да)

Здесь

(е-М'-е-г^)2, ¿2 ^

£2(í) < ^ 4(Í2 - Д)2 v у - ^ - (33)

¿fí2e-4<bf, S2 - ¿

¿2 = min(/f2Xb¿22X2) = V^2 |yl|(5i\/Cíi'max(v/coi, х/сог),

с .

"4 = -(coi + cq2)

Поэтому, в данном случае, возмущения температуры экспоненциально затухают со временем (как е~н при rt < и e~¿2Í при S > S2)

Стационарное решение задачи для определения возмущений температуры (начальные данные (24) при этом не учитываются) описывается поли-

номами четвертого порядка по у

Шу)=

мио

2X1И

Л^/оМ

12^ +ом(/'+0 ^ 2г(/л-о.

+аху+а2,

2\2ух

У

+

(И-

V +Щ+1)у2

б г2(/'+г) 2(ц+1)

+каху+а2,

где постоянные сц, а2 находятся по формулам

А1\}0

а2=-

24ХЫц+1)(к+1) АЫ\к

[13(5р1+4^+12)-Хр(^+412+51)], [к12{5111+Ац+12)+х11{ц+412+Ы)]

(35)

24* 1^(^+0(^+0

Применение преобразования Лапласа приводит к явному виду для изображений Т3(у^) Доказано, что Ьт ТАу,Ь) = Т9(у), то есть с ростом времени возмущение температур в слоях выходит на стационарный режим, если Ьт /(¿) = /о Для этого вычисляются пределы Ьт рТ,(у,р)

(—»оо р—.0

Для возмущения температуры, возникающего под действием термо-концентрациоиных сил найдено следующее стационарное решение

т^=Ш+С>+а12/+а2' (36)

01 =

_ аА12(12 - х)

а2

аА1х12{к1 + V)

3X1(^ + 0 ' Зхх(к + О

Здесь, в отличие от (34), для Т°(у) возникают полиномы третьей степени

по у Также показывается, что и в этом случае Ьтр7}(?/,р) = Т?(у), т е

р—»о

возмущение температуры выходит на стационарный режим

В п.4.7 рассматривается эволюция возмущений концентрации в слоях

Стационарное распределение концентраций для случая, когда движение определяет градиент давления имеет следующий вид

Щ(у)

к°2(у)

2 \ <1х

ор4\ XI )

у4 , , 11(1+ 1)у

21

+

+

2^1 \<12 \2 /

121$ ' 61х1(ц + 1) ' 21(ц + 1)

У \2\\

+

+ ■

612(м + 0 2 (/и + 1)

+ Ъху + А Ь2,

(37) + Ь^у + Ь2

При удовлетворении граничным условиям приходим , что стационарное распределение концентраций в слоях имеет место лишь при отсутствии их градиентов в начальный момент времени в направлении движения При В2 ф 0 их распределение может быть только нестационарным Итак, при В2 = 0 в (37)

Ь: = —0101, Ьз = —а^ках, (38)

а постоянная 62 определяется из интегрального соотношения

В случае, когда движение определяется под действием концентрационных сил стационарное распределение концентраций задается формулами

Вг а2Л\ ( у3 , у24

причем здесь вновь надо положить В2 = 0, а 61, 63 находятся по формулам (38), где а% есть постоянная из (36) Таким образом, при исследовании поведения решения задачи для возмущения концентрации при i —► оо необходимо в уравнениях (18) положить В2 = О В этом случае \трК3(у,р) — К®(у), где

р—»о

К° определяются по формулам (37) либо (39), те возмущения концентрации выходят на стационарный режим

Заключение содержит результаты и выводы проделанной работы

1 Найдено равновесное состояние смесей с общей поверхностью раздела в плоских слоях, ограниченных твердыми стенками, и для монотонных возмущений этого равновесия почучено явное представление числа Ма-рангони Построенные нейтральные кривые показывают, что при увеличении числа Соре область устойчивости смещается в сторону больших чисел Марангони

2 Полная спектральная задача решена численно методом ортогонализации Годунова С К , специально адаптированным для задачи с граничными условиями на двух твердых стенках и условиями на поверхности раздела Показано, что при увеличении термокапиллярного эффекта на границе раздела устойчивость равновесного состояния понижается, усиление термодиффузионного эффекта приводит к увеличению поверхностио1 о натяжеиия, а значит к стабилизации границы раздела

3 Исследована устойчивость точного стационарного решения уравнений термодиффузии, описывающего термокапиллярное течение в плоском

слое со свободной границей (возвратное течение) Для стационарных плоских возмущений получена аналитическая зависимость нейтральных чисел Марангони от волнового числа и безразмерных физических параметров Численное решение полной спектральной задачи приводит к выводу о том, что здесь наиболее опасными являются двумерные возмущения Показано, что при росте числа Марангони уменьшается область длинноволновой устойчивости

4 Изучено инвариантное решение задачи для термодиффузионного движения двух несмешивающихся смесей в плоских слоях с общей поверхностью раздела Получены априорные оценки возмущений скорости и температуры Найдено стационарное состояние системы и показано, что если градиент давления в одной смеси достаточно быстро стремится к нулю, то происходит торможение смесей за счет вязкого трения То же самое справедливо для температуры и концентрации Если градиент давления отсутствует, то скорости, температуры и концентрации выходят на стационарный режим скорости - на течения Куэтта в слоях, а температуры и концентрации описываются полиномами третьего порядка но у В случае существования конечного предела градиента давления скорости выходят на стационарный режим типа течения Пуазейля, а температуры и концентрации описываются полиномами четвчртого порядка по у

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д ф -м н , профессору В К Андрееву за постановку задачи, помощь и ценные советы при работе над диссертацией

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 ДОДОНОВА М В Стационарные термодиффузионные течения плоскою слоя // Труды Межд конф "Симметрия и дифференциальные уравнения" - Красноярск ИВМ СО РАН, 2000 - С 91-95

2 додонова М В Возникновение конвекции в двухслойной жидкости при наличии термодиффузии // Труды Межд конф "Математические модели и методы их исследования" - Красноярск ИВМ СО РАН, 2001 Т1-С 237-239

3 ЕФИМОВА М В Решение линейной задачи об устойчивости равновесия плоских слоев с общей поверхностью раздела в модели термодиффузии // Труды III Межд конф "Симметрия и дифференциальные уравнения" - Красноярск ИВМ СО РАН, 2002 - С 90-96

4 Андреев В К , Ефимова М В , Рявицкий Е А Малые возмущения конвективных течений с поверхностями раздела // Препринт №4 - Красноярск ИВМ СО РАН, 2003

5 ефимова м В Неустойчивость поверхности раздела при наличии термодиффузии в условиях невесомости // Вычислительные технологии. -Новосибирск 2006 Т11, №1 С 63-69

6 Андреев В К , Ефимова М В Линеаризованная задача конвективного движения бинарной смеси с межфазной границей раздела // Вестник Красноярского государственного университета физико-математические науки - КрасГУ 2006 Вьш 1 С 175-183

7 Ефимова М В О неустойчивости поверхности раздела двух бинарных смесей // Тез докл VII Всероссийской конф Молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) - Красноярск, 2006

8 ефимова м В Неустойчивость поверхности раздела равновесного состояния двух бинарных смесей с учетом эффекта Соре // Вычислительные технологии - Новосибирск 2007 Т12, №6 С 34 - 43

9 ефимова М В Эволюция возмущений движения бинарных смесей с плоской границей раздела под действием перепада давления и термоконцентрационных сил - Препринт №4 - Красноярск ИВМ СО РАН, 2007 - 40с

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Красноярского краевого фонда науки, проект 12F003M (2005), Российского фонда фундаментальных исследований, проект 05—01—00836иНШ5873 2006 1 (2006), проект 02 - 01 - 00934 (2004), интеграционного проекта СО РАН 2 15 (2006), Красноярского краевого фонда науки, индивидуальный грант, проект 16G202 (2006)

Подписано в печать 30 июля 2008 г Формат 60x84/16 Уел печ л 1 Тираж 120 экз Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036 Академгородок, Красноярск

Введение

Глава 1. Линеаризованная задача о малых возмущениях

Глава 2. Устойчивость равновесия плоского слоя

2.1 Состояние равновесия.

2.2 Задача о малых возмущениях.

2.3 Длинноволновые возмущения.

2.4 Стационарные возмущения.

2.5 Численное решение задачи на собственные значения и его анализ

Глава 3. Устойчивость термокапиллярного движения в плоском слое с учетом эффекта Соре

3.1 Постановка задачи.

3.2 Длинноволновые возмущения

3.3 Стационарные возмущения.

3.4 Численное решение.

Глава 4. Эволюция возмущений движения бинарных смесей с плоской границей раздела под действием перепада давления и термоконцентрационных сил

4.1 Некоторые свойства преобразования Лапласа.

4.2 Методы численного обращения преобразования Лапласа

4.3 Постановка задачи.

4.4 Определение поля скоростей в слоях при заданном перепаде давления.

4.5 Определения возмущения поля скоростей, возникающего под действием термоконцентрационных сил.

4.6 Эволюция температурных возмущений.

4.7 Эволюция возмущений концентраций в слоях.

Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье-Стокса, Обербека-Буссинеска, пограничного слоя Прандтля. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа [31], микроконвекции [34], а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [13,42]. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования подмоделей усложненных моделей. В частности, точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве "тестовых задач" для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов, а также имеют чрезвычайно важное значение при изучении устойчивости течений. В условиях, близких к невесомости, существенное влияние на устойчивость равновесия и движения смесей с поверхностью раздела или со свободной поверхностью оказывает зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры и концентрации.

Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена монография [2]. Отметим также монографию [4], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя Маран-гони, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.

Данная работа посвящена, в основном, численному изучению устойчивости равновесного состояния и течений плоского слоя конечной толщины бинарных смесей с учетом эффекта термодиффузии, а также изучению инвариантного решения уравнений термодиффузии, когда на поверхности раздела двух несмешивающихся бинарных смесей коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и концентрации, а источником движения являются нестационарные градиенты давления. Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре.

Термодиффузия часто встречается в природе и имеет множество приложений в технике. В сочетании с тепловой конвекцией этот эффект используется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях [36, 37]. Термодиффузия применяется при определении состава нефти и разделения ее компонентов [57], нанесения различных покрытий на изделия из металлов, а также играет важную роль в процессе выращивания кристаллов. Еще один пример практического применения рассматриваемого эффекта дает тепловой насос [11]. Термодиффузия также влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды подвергаются различным режимам нагрева [49,56].

Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями тепло- и массоперепоса. Движение смеси описывается системой уравнений [13,42] (в отсутствие массовых сил) 1 ut + (и • V)u = —Vp + z/Ди, Р

0t + и • V0 = с* + и • Vc = dAc + adA9, divu = О, где и — вектор скорости, р — давление, р — плотность, v — коэффициент кинематической вязкости, х — коэффициент температуропроводности, d — коэффициент диффузии, а — параметр термодиффузии, а = кд/9с, где kg — коэффициент термодиффузии, 9С — средняя температура. Нормальной термодиффузии соответствуют значения а < 0, а для аномальной термодиффузии а > 0. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации.

Заметим, что в [27] доказана разрешимость плоской стационарной задачи о чисто термокапиллярном течении одной жидкости. В работе [55] доказана глобальная разрешимость одномерной нестационарной задачи с двумя коэффициентами вязкости, правда, без термокапиллярного эффекта. В [27] изучена линейная устойчивость поверхности при наличии диффузионного переноса между двумя несмешивающимися вязкими жидкостями. Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах [16,58], посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в [13]. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур рассматривалась в [15], а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе [32]. В статье [40] изучалась неустойчивость плоского горизонтального слоя несжимаемой бинарной газовой смеси под действием поперечного, модулированного по времени градиента температуры. Отметим также работу [48], посвященную исследованию устойчивости горизонтального слоя при наличии вибрации и с учетом термодиффузии. Во всех этих работах границы, как правило, суть твердые стенки.

Перейдем к общей постановке задачи. Рассматривается движение двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных бинарных смесей с общей границей раздела. Обозначим через ty (j = 1, 2) области, занятые жидкостями, с поверхностью раздела Г, Uj(x, t), pj(x,t) — соответственно вектор скорости и давление, 0j(x,t) и Cj(x, £) — отклонения от средних значений температуры и концентрации. Тогда система уравнений термодиффузионного движения в отсутствии внешних сил (g — 0) имеет вид [3] duj 1 . dO.

-Ж = dc- ^ djAcj + ajdjAOj, divuj = 0, где d/dt = d/dt + uj • V.

Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения сг на границе раздела зависит от температуры и концентрации а = сг(0, с), причем для многих смесей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью сг(0, с) = сто - aei(0 - во) - 332(с - со), (0.2) где sei > 0 — температурный коэффициент, аег — концентрационный коэффициент (обычно эе2 < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации). Сформулируем условия на поверхности раздела Г: ui = u2)xer (0.3) равенство скоростей; и • n = Vn, х Е Г (0.4) кинематическое условие. Оно основано на предположении, что Г — движущаяся материальная поверхность. Здесь п единичный вектор нормали к поверхности Г, направленный из в 0,2, Vn — скорость перемещения поверхности в направлении нормали, и — значение вектора скоростей обеих жидкостей на Г, попарно совпадающих в силу (0.3). Далее,

Р2 - Pi)n = 2сгНп + Vrа, х е Г (0.5) динамическое условие, оно означает равенство всех сил, действующих на поверхность (сил давления, сил трения, сил поверхностного натяжения и термокапиллярных сил). Здесь Pj = — pjE + 2pjVjD(u.j) — тензоры напряжений, D — тензор скоростей деформаций, Н — средняя кривизна поверхности Г, Vr = V — (п • V)n обозначает поверхностный градиент;

01 = 02, С! = Лс2, х € Г (0.6) условие непрерывности температур и условия баланса концентраций на границе раздела, Л — Постоянная равновесия Генри. Условием равновесия между двумя жидкими средами является равенство температур и динамическое условие. Поэтому в состоянии равновесия между концентрациями распределяемого компонента в обеих фазах устанавливается некоторое соотношение, характеризуемое константой фазового равновесия Л. Для некоторых систем эта зависимость может быть вычислена, но в подавляющем большинстве случаев ее находят опытным путем.

Кроме того, на поверхности раздела 0, х 6 Г. (0.7)

Соотношение (0.7) представляет собой равенство потоков тепла на границе раздела. Постоянные kj = XjPjcPj ~ коэффициенты теплопроводности. Еще одно условие — равенство потоков вещества через границу раздела (дс2 дв2\ J /да двЛ

Области и могут контактировать не только друг с другом но и с твердыми стенками. Обозначим стенки через Еj] на них ставится условие прилипания

Uj = aj-(x, £), х € Е^, (0.9) где аДх, t) — скорость движения стенки Ej. Кроме того, будем считать, что температура в точках Еу удовлетворяет одному из условий дО ■ t), вJ = 9JCT(x, t), X е Ey (0.10) с заданными функциями Q3CT и То есть на твердой стенке задан либо поток тепла, либо температура и отсутствует поток вещества через поверхности Е^ (считается, что твердые стенки не растворяются): дсп дв* + = (0.11)

Области Qi и Q2 могут так же контактировать с газовой фазой. Обозначим для определенности через Ti границу раздела жидкости Qi с газом, тогда поверхность Гх называется свободной границей. На поверхности Г\ должны быть выполнены динамическое условие

Pgas ~ р)п + 2pi/D(u)n = 2сгНп + Vrcr, х G Гх (0.12) и кинематическое условие (/(х, t) = 0 есть уравнение Г\) ft + u- V/ = 0, хеГь (0.13) в (0.12) pgas — давление в газе является известной функцией.

Условие теплообмена смеси с газом запишется так: д9 кд^ь + № ~ ^ = Ql Х 6 Гь (°'14) где к = const — коэффициент теплопроводности, (3 > 0 — постоянный коэффициент межфазного теплообмена, 9gas — температура газа, Q — заданный внешний поток тепла.

Еще одно условие на Ti — дс дв , есть отсутствие потока вещества через свободную поверхность. Тем самым в этом случае не учитывается влияние поверхностно-активных веществ на IY Если учитывать ПАВ, то перенос ПАВ вдоль границы Ti описывается уравнением st + Vr • (us) - drATs = jn, (0.16) где Vr — поверхностный градиент, так что Vr • (us) — поверхностная дивергенция, s — поверхностная концентрация, d-p — коэффициент поверхностной диффузии ПАВ, Дг — оператор Лапласа-Бельтрами, jn — поток вещества с поверхности в объемную фазу. Величина потока jn определяется процессами переноса ПАВ вглубь жидкости и с учетом термодиффузии имеет вид х€Г1- (ол7)

Здесь с — концентрация примеси в жидкости. С другой стороны, обмен веществом между поверхностью и жидкостью происходит за счет процесса адсорбции-десорбции, и величина потока равна (в линейном приближении) jn = кАс - kDs, х е Гь (0.18) где кл и кв — коэффициенты адсорбции и десорбции соответственно (при наличии химических реакций на Гх зависимость может быть и нелинейной).

Поверхностное натяжение есть функция температуры и концентрации: <т = <j(9,s). Часто используется линейная зависимость, например, для расплавов металлов (см. формулу (0.2)): т(0, s) = (7о — asi(0 — в0) — dd2(s - s0), aei, ав2 = const. (0.19)

Для полной постановки задачи к соотношениям (0.1)—(0.15) следует добавить начальные условия

Uj(x, 0) = u0j(x), х G Qj, divuoj = 0,

0.20)

0j(x, 0) = eoj(x),xeQj,

Cj(x, 0) = %'(х), x G Qj.

В случае присутствия ПАВ добавляется начальное условие s(x, 0) = so(x); х G Fi, Гх — свободная граница f2i. Далее в диссертационной работе для двуслойных смесей будем полагать j = 1,2, а для однослойных j = 1 и индекс "1" опускается.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании устойчивости состояния равновесия двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных бинарных смесей с общей поверхностью раздела и однослойного термодиффузионного движения смеси в плоском слое со свободной границей, а также изучении инвариантного решения уравнений термодиффузии под действием нестационарного градиента давления.

Методы исследования. В качестве математической модели используются уравнения термодиффузии с граничными условиями, учитывающими термодинамику поверхности раздела и свободной поверхности. С помощью метода нормальных возмущений исходные уравнения сводятся к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для получения результатов использовались методы решения дифференциальных уравнений, асимптотические и численные методы. Спектральные задачи решались методом ортогонализации с применением метода секущих. Кроме того использовался метод преобразования Лапласа, метод априорных оценок.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы устойчивость течения плоского слоя со свободной поверхностью, устойчивость равновесного состояния бинарных смесей с поверхностью раздела методом ортогонали-зации Годунова С.К., адаптированного для задачи с поверхностью раздела. Исследованы начально-краевые задачи, описывающие двуслойные течения бинарных смесей, получены априорные оценки возмущений скорости, температуры и концентрации.

Теоретическая и практическая значимость. Проведенные исследования вносят определенный вклад в изучение факторов влияющих на устойчивость равновесия и движения бинарных смесей с общей поверхностью раздела, а также обладающих свободной границей. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании явлений, происходящих в смесях в условиях, близких к невесомости.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов диссертации подтверждается использованием классических математических моделей механики сплошных сред и математических методов их исследования, а также согласованием аналитических решений и данных численных расчетов.

Перейдем к описанию структуры и содержания диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, которые делятся на пункты, заключения и списка литературы. Нумерация формул в работе двойная и сквозная внутри каждой главы: первая цифра указывает на номер главы, вторая — на порядковый номер формулы в этой главе. Нумерация рисунков сквозная по всей работе (рис. 1-16); основные графики вынесены в конец работы. Список литературы составлен в алфавитном порядке, в конце списка перечислены основные работы автора.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Найдено равновесное состояние смесей с общей поверхностью раздела в плоских слоях, ограниченных твердыми стенками, и для монотонных возмущений этого равновесия получено явное представление числа Марапгони. Построенные нейтральные кривые показывают, что при увеличении числа Соре область устойчивости смещается в сторону больших чисел Марангони.

2. Полная спектральная задача решена численно методом ортогонализа-ции Годунова С.К., специально адаптированным для задачи с граничными условиями на двух твердых стенках и условиями на поверхности раздела. Показано, что при увеличении термокапиллярного эффекта на границе раздела устойчивость равновесного состояния понижается, усиление термодиффузионного эффекта приводит к увеличению поверхностного натяжения, а значит и к стабилизации границы раздела.

3. Исследована устойчивость точного стационарного решения уравнений термодиффузии, описывающего термокапиллярное течение в плоском слое со свободной границей (возвратное течение). Для стационарных плоских возмущений получена аналитическая зависимость нейтральных чисел Марангони от волнового числа и безразмерных физических параметров. Численное решение полной спектральной задачи приводит к выводу о том, что здесь наиболее опасными являются двумерные возмущения. Показано, что при росте числа Марангони уменьшается область длинноволновой устойчивости.

4. Изучено инвариантное решение задачи для термодиффузионного движения двух несмешивающихся смесей в плоских слоях с общей поверхностью раздела. Получены априорные оценки возмущений скорости и температуры.

Найдено стационарное состояние системы и показано, что если градиент давления в одной смеси достаточно быстро стремится к нулю, то происходит торможение смесей за счет вязкого трения. То же самое справедливо для температуры и концентрации. Если градиент давления отсутствует, то скорости, температуры и концентрации выходят на стационарный режим: скорости — на течения Куэтта в слоях, а температуры и концентрации описываются полиномами третьего порядка по у. В случае существования конечного предела градиента давления скорости выходят на стационарный режим типа течения Пуазейля, а температуры и концентрации описываются полиномами четвёртого порядка по у.

1. Андреев В.К. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии // Труды 1.I Межд.конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 13-17.

2. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. - 352 с.

3. Андреев В.К, Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапилярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000.- 280 с.

4. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. - 319 с.

5. Андреев В.К., Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений тер-мокапилярного движения// Численные методы механики сплошношной среды. 1983.Т.14, №5. С.3-23 С. 182-191.

6. Андреев В.К., Рыжков И.И. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии// Дифференциальные уравнения. 2005.Т.41, Ш. С.508-517.

7. Бейтмен Б., Эрдейн А. Таблицы интегральнх преобразований. М.: Наука, 1969.- Т.1.

8. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982.- Ч.1.-327 с.

9. Беляев Н.М., Рядно А А. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982.- Ч.2.-304 с.

10. Дж. Бетчелор Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.- 760с.

11. Бокштейн Б. С. Термодиффузия // Соросовский образовательный журнал. 1999. - № 4. - С. 40-43.

12. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. - 720 с.

13. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

14. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий АА. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 320 с.

15. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин JI.E. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси с термодиффузией // ПММ. 1982. -Т. 46. - Вып. 1. - С. 66-71.

16. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин Л.Е. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси // ПММ. -1980. Т. 44. - Вып. 5. - С. 823-830.

17. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. - Т. 16. -Вып. 3. - С. 171-174.

18. Гончаренко Б.Н., Уринцев A.JI. Об устойчивости движения, вызванного термокапиллярными силами // ПМТФ. 1977. - №6. - С. 94-98.

19. Гончарова О.Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1987. - Вып. 79. - С. 22-35.

20. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегральных сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1965.

21. Жермен П. Курс механики сплошных сред.- М.: Высшая школа, 1983.399 с.

22. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

23. Катков B.J1. Точные решения некоторых задач конвекции // ПММ. -1968. Т. 32. - Вып. 3. - С. 482-487.

24. Крылов В.И., Скобля Н.С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лаплпсса.- Минск: Наука и техника, 1968.

25. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласса.- М.: Наука, 1974.-224 с.

26. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1973.- 736 с.

27. Лагунова О разрешимости плоской задачи термокапиллярной конвекции // Проб. мат. анализа, вып. 10 "Линейные и нелинейные краевые задачи. Спектральная теория". Л.: Изд. ЛГУ, 1986. - С.33-47.

28. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. - 288 с.

29. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука, 1967736 с.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика М.: Наука, 1986 - 736 с.

31. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

32. Николаев Б.И., Тубин А.А. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси в плоской термодиффузионной колонне // ПММ. -1971. Т. 35. - Вып. 2. - С. 248-254.

33. Овсянников Л.В.Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

34. Пухначев В.В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. - Т. 6 (23), № 4. - С. 47-56.

35. Пухначев В.В. Неустановившееся движение вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично-инвариантными решениями уравнений навье-Стокса// Динамика сплошной среды. Вып.10. Институт гидродинамики СО АН СССР Новосибирск, 1972. С. 125-137.

36. Рабинович Г.Д. Разделение изотопов и других смесей термодиффузией. -М.: Атомиздат, 1981. 144 с.

37. Рабинович Г.Д., Гуревич Р.Я., Боброва Г.Н. Термодиффузионное разделение жидких смесей. Минск: Наука и техника, 1971.

38. Рыжков И.И. Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии j j Дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - 168 с.

39. Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярного движения в плоском слое с учетом эффекта Соре // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. -2002. №3 - С. 3-9.

40. Смородин Б. Л. Конвекция бинарной смеси в условиях термодиффузии и переменного градиента температуры // ПМТФ. 2002. - Т. 43, № 2. -С. 54-61.

41. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972.

42. Шапошников И. Г. К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ. 1953. - Т. 17. - Вып. 5. - С. 604-606.

43. Федорюк М.В. Метод перевала М.: Наука, 1977.-368 с.

44. Физические величины. Справочник /Под. ред. Григорьева И.С., Мейли-хова Е.З. М.: Энеоатомиздат, 1991- 1232 с.

45. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы- М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004.-400 с.

46. Хенненберг М., Биш П.М., Випь-Адлер М., Занфельд А. Неустойчивость поверхности раздела и продольные волны в системе жидкость-жидкость // Сб. "Гидродинамика межфазных поверхностей". 1984. -С.19-44.

47. Berg J.C., Acrivos A. The effect of surface active agents on convection cells induced by surface tension // Chem.Engng. Sci. 1965. - V. 20. - N 8 -P. 737-745.

48. Gershuni G.Z., Kolesnikov A.K., Legros J.C., Myznikova B.I. On the vibrational convective instability of a horizontal, binary-mixture layer with Soret effect // J. Fluid Mech. 1997. - V. 330. - P. 251-269.

49. Huppert H.E., Turner J.S. Double-diffusive convection // J. Fluid Mech. -1981. V. 106. - P. 299-329.

50. Palmer H.J., Berg J.C. Hydrodynamic stability of surfactant solution heated from below // J. Fluid Mech. 1972. - V. 51. pt 2. - P. 385-402.

51. Pearson J.R. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech. 1958. - V. 5. - №4 - P. 489-500.

52. Pukhnachov V.V. On a problem of viscous strip deformation with a free boundary// C.R. Acad. Scien. Paris, t.328, Serie 1, 1999-P.357-362.

53. Smith M.K., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Pt 1. Convective instabilities // J. Fluid Mech. 1983. - V. 132. -№ 7. - P. 119-144.

54. Smith M.K., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Pt 2. Surface wave instabilities // Ibid. P. 145-162.

55. Shelukhin V. Joint Motion of Viscous and Semi Viscous Flows // Intern. Workshop "Free Boundaries in Viscous Flows". - St. Peterburg, 1996. Abstracts. - P. 17.

56. Tritton D.J. Physical Fluid Dynamics // Oxford University Press. 1988. -519 p.

57. Wiegand S. Thermal diffusion in liquid mixtures and polymer solutions // J. Phys.: Condens. Matter., 16 (2004). P. 357-379.

58. Yanase S., Kohno K. The Effect of a Salinity Gradient on the Instability of Natural Convection in a Vertical Fluid Layer // J. of the Phys. Soc. of Japan. 1985. - V. 54, № 10. - P. 3747-3756.

59. Додонова М.В. Стационарные термодиффузионные течения плоского слоя. // Труды Межд.конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения" Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. - С. 91-95.

60. Додонова М.В. Возникновение конвекции в двухслойной жидкости при наличии термодиффузии // Труды Межд.конф. "Математические модели и методы их исследования" Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. -Т. 1. - С. 237-239.

61. Ефимова М.В. Решение линейной задачи об устойчивости равновесия плоских слоев с общей поверхностью раздела в модели термодиффузии // Труды III Межд.конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 90-96.

62. Андреев В.К., Ефимова М.В., Рябицкий ЕА. Малые возмущения конвективных течений с поверхностями раздела. // Препринт №4 -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2003.

63. Ефимова М.В. Неустойчивость поверхности раздела при наличии термодиффузии в условиях невесомости. // Вычислительные технологии. -Новосибирск. 2006. Т. 11, №1. - С.63-69.

64. Андреев В.К., Ефимова М.В. Линеаризованная задача конвективного движения бинарной смеси с межфазной границей раздела // Вестник Красноярского государственного университета: физико-математические науки. КрасГУ. 2006. - Вып. 1. - С. 175-183.

65. Ефимова М.В. Неустойчивость поверхности раздела равновесного состояния двух бинарных смесей с учетом эффекта Соре. // Вычислительные технологии. Новосибирск. 2007. - Т. 12, №.6. - С. 34-43.

66. Ефимова М.В. Эволюция возмущений движения бинарных смесей с плоской границей раздела под действием перепада давления и термоконцентрационных сил. Препринт № 4. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2007. - 40с.