Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в цилиндрических областях

Собачкина, Наталья Леонидовна

Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в цилиндрических областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Собачкина, Наталья Леонидовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в цилиндрических областях»

Автореферат диссертации на тему "Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в цилиндрических областях"

На правах рукописи

Совачкина Наталья Леонидовна

РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ О ДВИЖЕНИИ БИНАРНЫХ СМЕСЕЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 НОЯ 2009

Красноярск — 2009

003484825

Работа выполнена в Сибирском федеральном университете и Институте вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Андреев Виктор Константинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Филимонов Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент Любанова Анна Шоломовна

Ведущая организация:

Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, г. Уфа

Защита диссертации состоится 18 декабря 2009 г. в Уб^часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.099.18 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26 корпус Ж, ауд.1-15.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Сибирского федерального университета, ул. Киренского, 26.

Автореферат разослан ^"ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Кириллов К.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В механике жидких сред часто используются так называемые классические модели, к которым относятся уравнения: газовой динамики, Эйлера идеальной жидкости, Навье-Стокса вязкой жидкости, Обербека-Буссинеска конвективных течений. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа, микроконвекции, а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности. Такие усложненные модели с большей точностью описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования уравнений подмоделей усложненных сред. В частности, точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Они используются в качестве "тестовых задач" для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.

Данная работа посвящена изучению уравнений подмоделей движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии. Эти подмодели возникают при изучении движений смесей в достаточно длинных цилиндрических слоях. По классификации группового анализа они являются инвариантными или частично-инвариантными решениями общих уравнений термодиффузии. Соответствующие системы уравнений хотя и содержат меньшее число зависимых и независимых переменных, однако начально-краевые задачи для них являются очень трудными для исследования.

Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями тепло- и массоперено-са. Используется приближение Обербека-Буссинеска, предназначенное для описания конвективных течений в естественных земных условиях. Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах Гершуни Г.З., Жуховицкого Е.М., Сорокина Л.Е. и Уапазе Б., Ко1то К., посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. В указанных выше работах были найдены точные решения уравнений, описывающие стационарное основное течение. Методы группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовались. Однако, как показано в работах Андреева В.К., Рыжкова И.И., все эти решения имеют групповую природу. Групповые свойства системы в случае д = 0 рассмотрены Андре-

евым В.К.; там же отмечена важность изучения нестационарных движений смесей. Поэтому исследование начально-краевых задач о движении смесей в цилиндрических слоях с поверхностями раздела или свободными границами является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании инвариантных и частично-инвариантных решений начально-краевых задач, описывающих однослойные и двухслойные термодиффузионные движения смесей в цилиндрических слоях, построение точных решений этих задач и вычисление их асимптотического поведения, а также численное решение поставленных задач.

Методы исследования. В данной работе для нахождения точных решений и вычисления асимптотик использовались метод преобразования Лапласа, метод Фурье для решения параболических уравнений, метод априорных оценок, а также методы общей теории дифференциальных уравнений. Для численного решения задач применялись следующие методы: метод численного обращения преобразования Лапласа, метод Галеркина, метод Рунге-Кутта.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы начально-краевые задачи, описывающие нестационарные однослойные и двухслойные течения бинарных смесей в цилиндрических слоях. Для решений специального вида найдены точные решения и вычислено их асимтотическое поведение. Численное решение некоторых задач хорошо подтверждают качественные результаты.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование конвективных течений, качественный анализ дифференциальных уравнений. Проведенное исследование моделей термодиффузионного движения вносят вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данной подмодели, а также теорию, описываемых этой моделью явлений - конвекции, диффузии и термодиффузии. Полученные результаты могут быть использованы при решении соответствующих задач как аналитическими, так и численными методами. Данная работа соответствует концепции программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на максимальное извлечение возможностей, заложенных в свойствах симметрии дифференциальных уравнений механики сплошной среды.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов диссертации подтверждается использованием классических математических моделей механики сплошных сред и математических методов их исследования, а также согласованием аналитических решений и данных численных

расчетов.

Личное участие автора в получении представленных научных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, принадлежат лично автору. В совместных работах вклад соавторов равнозначен.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:

— Конкурс-Конференция молодых ученых Института Вычислительного моделирования СО РАН (г.Красноярск, 2004г.),

— XXXV Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики "(г. Екатеринбург, 2004г.),

— XXXVII Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики "(г. Екатеринбург, 2006г.),

— VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Красноярск, 2006 г.),

— XXXVIII Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики "(г. Екатеринбург, 2007г.),

— Семинары Института Вычислительного моделирования СО РАН "Математическое моделирование в механике"под руководством профессора В.К. Андреева;

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, 1 из них опубликована в журнале из списка ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы, который содержит 64 наименования. Общий объем диссертации 141 страница, включая 18 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности работы, приведен обзор литературы по теме исследования, описана структура диссертации и изложены ее основные результаты. Приведена математическая формулировка начально-краевой задачи о движении бинарных смесей в цилиндрических областях.

В первой главе изучаются осесимметрические нестационарные течения бинарной смеси вблизи точек локального нагрева свободной цилиндрической границы в случае, когда поверхностное натяжение есть линейная функция температуры и концентрации.

■ш(г, г, £) — проекции вектора скорости на оси цилиндрической системы координат гиг, р{г,г,Ь) — давление, в(г,г,1) — отклонение температуры от равновесной, а с(г, г, I) — отклонение концентрации от равновесной. Тогда система уравнений примет вид (внешние силы отсутствуют)

+ ииг + гищ + ^рт = р (Ди - , (1)

11)ь + и'Шг + 'и)и12: + -рг = и&1и1 (2)

иг + - и + и>2 = 0, (3)

+ = (4)

с4 + ист + гисг = о!Дс + ао!Д0, (5)

где Д = д2/дг2 + г~1д/дг 4- д2/дг2 — оператор Лапласа, р, и, — поло-

жительные постоянные: плотность, кинематическая вязкость, температуропроводность, коэффициенты диффузии и Соре соответственно.

Предположим, что свободная граница описывается уравнением г = Ь Тогда условия на ней примут вид:

(1 - hl){uz + wT) + 2hz(ur -wz) = —

„ л \ der .da

{hA + 9z)qq + (hzCr + cz) —

ht + whz-u = 0; (6)

U„j ; (7)

Pgas — p + 2pvL~2[uT - hz(uz + wT) + h2zwz\ = 2aH] (8)

кЬ~\вг - hzdz) + 7(0 - 9gas) = Q- (9)

cr - hzcz + а(вГ - hzez) = 0, (10)

где L = (I + /12)1/2; cr(0, с) — коэффициент поверхностного натяжения смеси и для большинства реальных жидкостей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью

сг{в, с) = а°- eei(0 - 9°) - аз2(с - <?) (11)

с некоторыми постоянными а0, в0, с0, sei, еег; Pgas и вдаз — давление и температура окружающего газа, который считается пассивным. В (8) Я — средняя кривизна свободной границы:

hhzz - h\ - 1 ~ 2h(l + /1,2)3/2 ' (12)

Полная система уравнений и граничных условий в силу нелинейности, неизвестной свободной границы довольна сложна даже для численного

решения. Поэтому целесообразно принять некоторые упрощающие предположения.

В § 1.2 рассмотрена четырехпараметрическая подгруппа, порожденная операторами dz, tdz + dw, д$, дс. Нетрудно проверить, что она допускается системой уравнений термодиффузии (1)-(5). Ее инварианты суть t, г, и,р, значит, частично-инвариантные решения относительно этой подгруппы имеют вид

u = u(r,t), w =w(r,z,t), p = p(r,t), e = 6(r,z,t), c = c{r,z,t). (13)

В этом случае из уравнения сохранения массы (3) следует, что w есть линейная функция от Положим

w = zv(r,t). (14)

Общий вид инвариантного многообразия относительно рассматриваемой подгруппы в пространстве {г, z, t} есть г = h(t) с произвольной функцией h(t). Пусть зависимость а(9, с) имеет вид (11), тогда из граничного условия (7) получим, что eei(9—в0)—с0) есть квадратичная функция z. Поэтому положим, что

9{r,z,t) =a{r,t)z2 + b{r,t), c(r,z,t) = l(r,t)z2 + g(r,t), (15)

Интерпретация решения (13)—(15) такова. Пусть при осесимметрич-ном нагревании достаточно длинного цилиндра бинарной смеси внешняя температура на его границе имеет максимум (а < 0) или минимум (а > 0) в точке 0 = 0. Тогда в окрестности этой точки внешнюю температуру можно аппроксимировать по параболическому закону, а движение внутри смеси описывается функциями (13)—(15).

Подстановка вида решения (13)—(15) в систему уравнений термодиффузии приводит к нелинейной краевой задаче об отыскании функций только двух переменных г и t в области с неизвестной цилиндрической границей радиуса h(t).

В § 1.3 при специальных данных найдено точное решение полученной начально-краевой задачи, которое имеет вид:

т тг

и = ——г--г , т = const, (16)

1 + mi' 2(1 +mi)'

Р = Pgas +

3pm2

8(1 +mi)2 L" vv 'J' Ao h{t)^h0{l + mt)-^2.

Аналогично находятся и функции Ь(г,£), ¿(г,д(г,Ь)-, для них соответствующие уравнения будут неоднородными. Это решение использовалось в качестве "тестового"при численном решении общей задачи.

В § 1.4 с помощью специальной замены переменных общая задача преобразуется к начально-краевой задаче для системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в фиксированной области на отрезке [0,1] по пространственной переменной. Кроме того, эта задача оказалась разрешенной относительно производной по времени.

В § 1.5 приближенное решение искалось в виде ряда по смещенным полиномам Якоби Дд.0'1'. Это связано с тем, что исходная система (1)-(5) имеет особенность при г = 0. При этом, интересующее положение свободной границы определяется только нулевым членом разложения. В процессе решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений возникает необходимость вычисления определенных интегралов от произведений полиномов Якоби. В приложении приводится алгоритм расчета интегралов в общем виде для любого приближения по методу Галеркина.

В § 1.6 численно построены распределения поля скоростей, температуры и концентрации, а также описана эволюция свободной границы. Получены следующие результаты:

1. Если начальные значения температуры и концентрации равны нулю, то осевая скорость и радиус цилиндра монотонно убывают, а температура и концентрация тождественно равны нулю.

2. Пусть внешний поток тепла, начальные значения температуры и концентрации не равны нулю. Тогда температурное поле в точке воздействия имеет максимальное значение и, следовательно, поверхностное натяжение имеет минимум. Жидкость течет в сторону максимального поверхностного натяжения — оттекает от центра. Скорость движения замедляется, радиус жидкого цилиндра уменьшается, концентрация также уменьшается. А температура сначала возрастает, затем быстро стремится к нулю. Осевая скорость с течением времени меняет знак на границе, следовательно, жидкость меняет направление движения и начинает притекать к центру из-за увеличения поверхностного натяжения. Радиус жидкого цилиндра постепенно увеличивается, концентрация возрастает, температура по-прежнему стремится к нулю. Заметим, что минимальные значения радиуса и концентрации наблюдаются при переходе скорости через нуль.

Глава 2 посвящена исследованию осесимметрического нестационарного движения плоского слоя со свободными границами.

В § 2.1 решение задачи (1)-(5) ищется в виде (в отличие от (13)—(15)):

u = rui(z,t), w = ui(z,t), p — p(z,t), в = a(z,t)r2 + b(z,t), c = h(z,t)r2 + g(z,t).

Эти решения являются частично-инвариантными относительно четы-рехпараметрической подгруппы, порожденной операторами д/дг, td/dr + д/ди, д/дв, д/дс. Подстановка (20) в систему уравнений термодиффузии (1)-(5) и отделение переменной г приводит к нелинейной начально-краевой задаче об отыскании функций только двух переменных z и t в области с неизвестной границей, которой является толщина слоя l(t).

Если и, р, a, b, h, g являются четными, a w — нечетной функцией переменной z, тогда поверхность z = — l{t) можно принять за вторую свободную границу и следует добавить условия симметрии:

и2 = 0, w = 0, а2 = 0, bz = 0, hz = 0, gz = 0. (21)

В § 2.2 находится точное решение сформулированной выше задачи при специальных данных. Оно имеет вид, отличный от (16)—(19):

к 2 к ....

1 + kt ' 1 + kt ' w (1 + kt)2' 3k2P a22N 4M . i n (22)

■■p^+(TTW{l{t)-z)-TTkt> * = ъ = н = 9 = о,

к = const > 0, /(0) — Iq = const > 0.

= (л л. а" соэ + ехр ( ~ хХ*т)> (23) п=0

тгп дг [1 + Ы)ь-\

\п = — , п е N. г = ±--.

¡о о/с

Аналогично находятся и функции Ь), д(г, Ь); для них соот-

ветствующие уравнения будут неоднородными. Это решение было использоваться в качестве "тестового"при численном решении общей задачи.

В § 2.3 выполняется преобразование к задаче в фиксированной области. Решение задачи определялось методом Галеркина. В качестве базисных функций были взяты полиномы Лежандра, причем, как следует из условий симметрии, достаточно ограничиться четными полиномами Ргт(у), т =

0,1,.... Система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений преобразуется к системе ОДУ первого порядка относительно Зп + 1 неизвестных функций. Было показано, что решение (22), (23) является точным решением системы галеркинских приближений для любого п.

Расчеты задачи Коши для системы уравнений проводились методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Были получены следующие результаты:

1. Если начальные значения температуры и концентрации равны нулю, то температура и концентрация равны нулю, а радиальная скорость и толщина слоя монотонно убывают. Здесь точно воспроизводится тестовое решение.

2. Пусть внешний поток тепла, начальные значения температуры и концентрации не равны нулю. Тогда толщина слоя, как и компонент скорости, уменьшается. При переходе через нуль радиальная скорость меняет знак — жидкость меняет направление движения, начинает притекать вдоль поверхности к центру. Это объясняется тем, что поверхностное натяжение уменьшается, и жидкость оттекает от центра, затем поверхностное натяжение увеличивается, и жидкость снова начинает притекать. Толщина слоя увеличивается, концентрация растет. Минимальные значения толщины слоя и концентрации наблюдаются при смене знака скорости.

В главе 3 рассматривается инвариантное относительно оператора —dz-\-Рйдх{(3\А+Р<2,В)дрЛ- Адт + Вдс решение уравнений движения бинарной смеси в модели Обербека-Буссинеска, которое имеет представление

и = (и(х, у, t), v(x, у, t), w(x, у, t)), р = -{APi + p2B)gp0xz + q{x, у, t), T =-Az + d(x,y,t), c = -Bz + c(x,y,t),

(24)

Введем функцию тока ф(г, <р), связанную сип v соотношениями и = г~1фр, v = —фг- Тогда система уравнений, описывающая движение смеси в горизонтальной цилиндрической трубе, запишется в виде

+ ^ V1) = д+ + j gin + 1 м + с ) cos у. (25) г д(г, tp) т*

Щ + - {ФиЫг — фгШш) = Дад - г cos tp\ (26)

АРг

Pr et + — (Vr - - VJ = Д0; (27)

Sc Cf + — Sc(ipvcr — фгс<р) — £\w — Ac — eA6, (28)

где

<Э(ЛVv</0 = (_ (Aip)pipr, Аф = фгг + -фг + ^ ф^,

. . K.'-'Y J<pYT1 "У УГГ I Y-T I 9

0{r,if) r rl

где введены безразмерные параметры, такие как число Рейнольдса А = Pr G2, число Грассгофа G, число Прандтля Рг, число Шмидта Sc, параметры термодиффузии е,е 1, определяемые формулами

APigh? и V а02 хМ

Ставятся начальные и граничные условия:

w = wQ{r,(p), ф = Фо(г,(р), 9 = 00(r,ip), с=со(г,(/?) при i = 0; (30)

ф = 0, фг = 0, w — 0, 9Г = 0, с? - е9г = 0 при г = 1; (31)

- фу, фт, w, 9, с ограничены при г = 0. (32)

Таким образом, решаем задачу (25)-(32) с неизвестными ip,w,e,c, причем t > 0, 0 < г < 1, 0 < <р < 2тг.

В § 3.2 находится стационарное решение для ползущего движения А = 0 в случае теплоизолированной стенки:

1 / з л (г5 - ЗгЧ 4г) ws = -{r -r)cos<p, 9 =--^бТз-cos<^' (33)

с, = - —--1 cos <р. (34)

^(r, <p) = 2lS3m322% + £ + £i)(2r8 - + 24r4 - HA (35)

4s = [Ю(2г4 - 9r2 + 24) + 3(5r4 - 20r2 + 9) cos2<p]. (36)

Если e = — £i, то получим решение В.В. Пухначева без учета концентрации. Если £ = -1 — £i, то ф5(г, ip) = 0, и, следовательно, и — v = 0, qs — 0, a ws = ws(r, ip), вв = вs{r, ip), cs — cs(r, ip) определяются по формулам (33), (34).

Для полученного решения массовый расход смеси через поперечное сечение трубы является нулевым.

В § 3.4 находится нестационарное решение для ползущего движения при А = 0:

Скорость определяется формулой

- [l-exp(-(Ml1))2i)]J1(/,[1V)

W = -, (ik3 , , (1),-cos (37)

jfe=i (Mfc TWk )

где fj,^ — корни функции Л(/х), а распределение "температуры" -

Jli^r) COS ip.

Решение при Pr = 1 находится из (38) предельным переходом при Рг —► 1.

Распределение "концентрации" и функция тока также определяются в виде рядов Фурье (они не приводятся ввиду их громоздкости).

Доказано, что нестационарное решение выходит на стационарный режим при t —> оо, например, ||го5—гу|| < С\ ехр[—(/i[^)2ij в норме пространства L2{{0,1) х (0,2тг); г), где Сг = const > 0.

В § 3.5 находится решение стационарной задачи при достаточно малых значениях числа Рейнольдса в первом приближении. Это решение ищется в виде

■ф{г,ф = 'фо{г,ф + Хф1{г,ф, w{r,ip) = w0{r,ip) + \wi{r,ip), ^ в(г, ф) = 0о(г, ф) + Щ(г, ф), с{г, ф) = со (г, ф) + Aci(r, ф),

где гро,шо,вй,со есть решение соответствующих задач при А = 0 (например ■фо, wq, в0, со определяются формулами (33)—(35), а функции i>i,wi, 0\, с\ — последовательно как решение линейных задач. Они найдены в виде полиномов по переменной г и тригонометрических функций по <р, имеют громоздкий вид и здесь не приводятся.

Рассматриваемое в задаче (25)—(32) при А = 0 течение имеет плоскости симметрии х = 0, у = 0. Область течения х2 + у2 < 1, z £ TZ разбивается плоскостями х = 0, у = 0 на четыре части, каждая из которых заполнена вложенными друг в друга цилиндрическими поверхностями тока ф(х, у) = const, z 6 71. Траектории жидких частиц имеют спиральный характер. В верхней половине трубы смесь движется в отрицательном направлении оси z, а в нижней — в положительном.

Приводится численный расчет профилей скорости, распределения "температуры" и "концентрации" для различных значений суммы параметров е + £\. При отсутствии термодиффузии (е + £i = 0) жидкость поднимается вверх около нагретой стенки и опускается вниз около холодной. В этом случае отсутствуют неоднородности "концентрации" (с = 0). Если e + £i > 0, то происходит нормальная термодиффузия и легкий компонент диффундирует в сторону нагретой границы. При е + ех = —1 функция тока обращается в ноль, наступает механическое равновесие. Дальнейшее уменьшение суммы

параметров е + е\ приводит к аномальной термодиффузии: легкие компоненты стремятся в сторону холодной границы, а тяжелые оказываются в областях с повышенной температурой.

Указанная четырехъячеистая структура, которой обладает решение стационарной задачи при Л = 0, сохраняется и в решении нелинейной стационарной задачи для той же системы при достаточно малых А ф 0. Показано, что движение смеси в цилиндре не меняется. Происходит расширение области, в которой движутся жидкие частицы, на величину порядка А, т. е. спираль, по которой перемещаются частицы, расширяется на эту величину. Что касается функций в и с, то их максимальные значения уменьшаются на величину порядка Л.

Глава 4 посвящена исследованию однонаправленного движения бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости с общей поверхностью раздела в цилиндрической трубе под действием градиента давления в смеси.

Система уравнений термодиффузионного движения в цилиндрической системе координат допускает двухпараметрическую подгруппу непрерывных преобразований, соответствующую операторам

А, В — постоянные, /(£) € С00 — произвольная функция. Инвариантное решение следует искать в виде

Решение (40) применяется для описания однонаправленного движения бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости в круглой цилиндрической трубе радиуса Ъ под действием градиента давления fi(t) в смеси. Пусть смесь занимает область 0 < г < a, \z\ < оо, а вязкая жидкость — цилиндрический слой а < г < b, \z\ < оо, так что Wj(r,t) — осевая скорость (j = 1,2), pj = -pjfj(t)z + Vj(t) — давление, 6j = Ajz + T}(r,t) — распределение температуры, c\ = B\z + K(r,t) — распределение концентрации в смеси.

Подстановка (40) в систему уравнений термодиффузии с учетом условий на поверхности раздела г ~ а приводит к сопряженной начально-краевой задаче

д/ду, d/dz + Ад/дд + Вд/дс - pf{t)d/dp,

и = 0, -и = 0, w = w(r,t) р= -pf(t)z + V(t), 9 = Az + T(r,t), с = Bz + K(r,t).

(40)

7^ — ( Туг -Ь Тут

Лги

Кг = ¿1 (кгг + секк (т1гг 4- £ Т^ - ВгЮх.

и)1(а, г) = ш2{а, 71 (а, = Т2(а,

.дТгМ ЭК(а,<) , дГг(М) —з-= л2—5-, —^--1- ах—^-= О,

дг

(42)

(43)

(44)

(45)

¿г2к;2г(а, г) - г(а, ¿) = 0. (46)

^2(6,0 = О, Т2(М) = 0. (47)

К(0,4)| < оо, |71(0,*)| < оо, <оо. (48)

и)](г, 0) = О, 7}(г, 0) = 0, ЛГ(г,0) = 0. (49)

Доказано, что задача (41)—(49) имеет стационарное решение только при В1 = 0 и оно представляется в виде (постоянные находятся из граничных условий):

гиг =

(Ь2 — а2)ц + а2 (1 — -г

4 и\

то ¿ГУ* 1 16X1^1

а2 + М(Ь2-а2)-т

+ С2,

(50)

7? =

_ Аг2р/1° 2 16X2^2 сцАГ2/" 16X1^1

Ь2-- +С61пг + С7,

_2~|

а2 + МЬ2_а2)__

+ С3)

Можно видеть, что при заданных (£) задачи для (гих, гу2),

(71,Т2), (К) решаются последовательно.

В § 4.3 сначала рассматривается задача об определении поля скоростей в слоях. Справедлива

Лемма 1. Имеет место неравенство

а Ь /а Ь

J гги2 ¿г + У ги)\ <1г < М0 | J гги\г (¿г + /л2 J ги]\г ¿г

(51)

с постоянной Mo, не зависящей от Wj и являющейся решением вариационной задачи

Mo = sup

Vl,V2 €V

f rv\ dr + J rv\ dr

0_a_

a b

Mi / rv\T dr + /j.2f rv\T dr

(52)

Множество V является подпространством И/21(г;0,а) х И^^а,6), причем выполнены граничные условия (44), (46)-(49) для г^, На ее основе доказана

Теорема 1. Решение начально-краевой задачи для определения возмущения поля скоростей при выполнении условия

|/i(r)|eiTdr = C3)

стремится к нулевому решению, причем справедливы оценки

' е~й/2, 6 < 2^/а2,

H(r,i)| < Ni

6 >2fai/a2.

(53)

(54)

(55)

равномерные в интервалах [a,b], [0,а].

Здесь — первый корень уравнения = 0, а не динамическая вязкость; Ni, С4 = const > 0.

Другими словами, если градиент давления в смеси достаточно быстро стремится к нулю, то происходит торможение смеси и жидкости за счет вязкого трения согласно неравенствам (54), (55).

В § 4.6 рассматривается эволюция температурных возмущений. Были получены априорные оценки и на основе их доказана

Теорема 2. Решение начально-краевой задачи для определения возмущений температур при условии (53) стремится к нулевому решению, причем справедливы оценки

\Hr, i)| < Nit^e-* \T2(r,t)\ < (56)

равномерные в интервалах [а,Ь] и [0,а].

Здесь

¿1 = 5,

с?

W) < f

12е~ш,

Оh-SУ

(57)

Сб, С7 = const > 0.

В § 4.7 рассматривается эволюция возмущений концентрации. Спра-

ведлива

Лемма 2. Предположим, что функция д(г) непрерывна на отрезке [0, а], а > 0, дт € L2{r; 0, а) и

J rg{r)

dr = 0.

Тогда для д(г) справедливо неравенство Фридрихса

а а

j rg2{r) «S j J rgj{r) dr. о 0

На ее основе доказана

Теорема 3. При By = 0 и выполнении условия (53 j возмущение концентрации стремится к нулю при t —* оо. Если lim fi(t) — /{* = const ф 0,

£—+оо

то это возмущение стремится к стационарному распределению (50).

Для получения более подробной информации о поведении скоростей, температур и концентрации применяется преобразование Лапласа. После некоторых выкладок найдено точное решение для изображений в виде:

VV Vi ) v w ^ / Vv ^2 J p

(58)

(59)

hl.lir

ACi

-1о\Лг

PX2{ 1/X2 - 1/^2) ° VV V2 ) PX2(1/X2 ~ 1/^2)

AC3

KoU—r

(60)

J yF(y,P)

tf(r,p) = ¿i/o +

с постоянной Li, определяемой

Li = - h

+Io

Доказано, что если lim f\(t) = = const ^ 0, то возмущения ско-

С—»оо

ростей, температур и концентрации стремятся к стационарному распределению (50). Именно, поля скоростей в пределе будут такими же, как у течения Пуайзеля, а температура и концентрация являются полиномами четвертого порядка по радиальной координате.

Полученные формулы (58)-(62) в изображениях по Лапласу были использованы при численном нахождении полей скоростей, температур и концентрации для различных заданных перепадах давления в смеси. Численные расчеты подтверждают выход решения рассматриваемой задачи на стационарный режим (50).

В Приложении приводится алгоритм расчета интегралов от произведений смещенных полиномов Якоби в общем виде для любого приближения по методу Галеркина.

Основные результаты работы:

1. Аналитическими и численными методами изучены осесимметрические нестационарные течения бинарной смеси вблизи точек локального нагрева свободной цилиндрической границы в случае, когда поверхностное натяжение есть линейная функция температуры и концентрации.

2. Найдены значения интегралов от произведения смещенных полиномов

3. Изучено осесимметрическое нестационарное движение плоского слоя со свободными границами. Найдено точное решение при специальных данных. Общая задача сведена к системе нелинейных интегродифференци-альных уравнений, которая решена методом Галеркина.

4. Получены решения стационарной и нестационарной задачи о ползущем движении бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе. Показано, что нестационарное решение выходит на стационарный режим при больших временах. Найдены решения стационарной задачи при достаточно малых значениях числа Рейнольдса в первом приближении.

Якоби.

5. Изучено инвариантное решение задачи о совместном движении вязкой теплопроводной жидкости и бинарной смеси в цилиндрической трубе, которое происходит под действием нестационарного перепада давления. Вязкая жидкость (смазка) и смесь не смешиваются и имеют общую поверхность раздела. Задача сводится к сопряженной начально-краевой задаче для параболических уравнений. Получены априорные оценки возмущений скоростей, температур и концентрации. Найдено стационарное состояние системы и доказано, что если градиент давления смеси достаточно быстро со временем (по экспоненте) стремится к нулю, то возмущения всех величин также стремятся к нулю. Если градиент давления имеет ненулевой предел при £ —» оо, то решение выходит на стационарный режим. Именно, поля скоростей в пределе будут такими же, как и у течения Пуазейля, а температура и концентрация являются полиномами четвертого порядка по радиальной координате. Кроме того, доказаны два новых интегральных неравенства типа неравенств Фридрихса. Полученные конечные формулы в изображениях по Лапласу использованы при численном нахождении полей скоростей, температур и концентрации для различных заданных перепадах давления в смеси.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.К. Андрееву за постановку задачи, помощь и ценные советы при работе над диссертацией.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. СОБАЧКИНА Н.Л. Нестационарное движение жидкого цилиндра при наличии эффекта Соре. // Труды Межд.конф. "Студент и научно-технически прогресс"- Новосибирск, 2003. - С. 61-62.

2. Андреев В.К.,Собачкина Н.Л. Нестационарное растяжение жидкого цилиндра под действием эффекта Соре. // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математическ науки - Красноярск: КрасГУ, 2004. Вып.1 - С. 192-199.

3. собачкина Н.Л. О нестационарном движении жидкого цилиндра //Труды XXXV Регион.конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики" - Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН, 2004. - С. 176-180.

4. собачкина Н.Л. Осесимметрическое движение вязкой жидкости с плоской свободной границей под действием термокапиллярных сил //Труды XXXVII Регион.конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики" - Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН, 2006. - С. 247-252.

5. СОВАЧКИНА H.JI. Движение плоского слоя жидкости со свободной границей под действием термоконцентрационных сил // Труды VII Всероссийской конф. Молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых). -Красноярск, 2006. - С. 69-70.

6. СОВАЧКИНА Н.Л. О ползущем движении бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе //Труды XXXVIII Регион.конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики" - Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН, 2007. - С. 328-332.

7. андреев В.К., совачкина Н.Л. Движение бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе.// Вычислительные технологии. - Новосибирск. 2008. Т. 13, №2 С.З - 14.

8. андреев В.К.,с0бачкина Н.Л. Свойства решений начально-краевой задачи, возникающей при движении бинарной смеси в цилиндрической трубе. - Препринт №1 - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2009. - 40с.

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Красноярского краевого фонда науки, проект 12F003M (2005); Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 05 — 01 — 00836 и НШ5873.2006.1 (2006), проект 02 - 01 - 00934 (2004), проект 08 - 01 - 00762 (2008); интеграционного проекта СО РАН 2.15 (2006), междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН 65 (2008).

Собачкина Наталья Леонидовна Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в цилиндрических областях Автореф. дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук Подписано в печать "03 "ноября 2009 г. Заказ Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Отпечатано в ИПК СФУ

660041, Красноярск, пр. Свободный, 82

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Собачкина, Наталья Леонидовна

Введение

Глава 1. Решение начально-краевой задачи, описывающей осе-симметрическое движение бинарной смеси с цилиндрической свободной границей

1.1 Основные уравнения и граничные условия в цилиндрической системе координат.

1.2 Задача о деформации жидкого цилиндра.

1.3 Точное решение.

1.4 Преобразование к задаче в фиксированной области.

1.5 Вывод конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

1.6 Численное решение.

Глава 2. Задача об осесимметрическом движении смеси с плоской свободной границей

2.1 Постановка задачи.

2.2 Точное решение.

2.3 Преобразование к задаче в фиксированной области. Результаты численного анализа.

Глава 3. Движение бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе

3.1 Основные уравнения и граничные условия.

3.2 Стационарные ползущие движения в случае теплоизолированной стенки.

3.3 Стационарные ползущие движения при заданной температуре стенки.

3.4 Нестационарные ползущие движения.

3.5 Первое приближение

Глава 4. Решение начально-краевой задачи, возникающей при движении бинарной смеси в цилиндрической трубе

4.1 Основные уравнения и граничные условия.

4.2 Стационарное решение.

4.3 Априорная оценка поля скоростей.

4.4 Решение методом преобразования Лапласа.

4.5 Об определении расхода или градиента давления.

4.6 Определение возмущений температуры в слоях.

4.7 Определение возмущения концентрации смеси.

Введение диссертация по математике, на тему "Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в цилиндрических областях"

Актуальность проблемы. В механике жидких сред часто используются так называемые классические модели, к которым относятся уравнения: газовой динамики, Эйлера идеальной жидкости, Навье-Стокса вязкой жидкости, Обербека-Буссинеска конвективных течений. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа [35], микроконвекции [40], а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [22,54]. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования уравнений подмоделей усложненных сред. В частности, точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Они используются в качестве "тестовых задач" для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.

Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена монография [7]. Отметим также монографию [9], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя

Марангони, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.

Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре.

Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике. В сочетании с тепловой конвекцией этот эффект используется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях [43,44]. Термодиффузия используется для определения состава нефти и разделения ее компонентов [63], нанесения различных покрытий на изделия из металлов и играет важную роль в процессе выращивания кристаллов. Еще один пример практического применения рассматриваемого эффекта дает тепловой насос [14]. Термодиффузия также влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды подвергаются различным режимам нагрева [60,62].

Здесь ¿>о — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, а через в и с обозначены малые отклонения от средних значений; коэффициент теплового расширения смеси, (3% — концентрационный коэффициент плотности (/% > 0, поскольку с — концентрация легкого компонента). Движение смеси описывается системой уравнений [22,54] иь + {и' Ч)и = -—Ур + 1УАи - е(/?1б> + /?2с),

Ро

0.1)

Сь + и • Ус = а?Дс + ас1А0, сИу и = 0, где и — вектор скорости, р — отклонение давления от гидростатического, и — коэффициент кинематической вязкости, х ~ коэффициент температуропроводности, в, — коэффициент диффузии, а — параметр термодиффузии, g — вектор ускорения свободного падения. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации. Параметр термодиффузии имеет вид а — —йв/Оо<1, где йо ~ коэффициент термодиффузии, во — средняя температура. Нормальной термодиффузии соответствуют значения а < 0, а для аномальной термодиффузии а > 0.

В частном случае (с = 0, а = 0) система (0.1) переходит в систему уравнений свободной конвекции однородной жидкости (модель Обербека-Буссинеска). Для данной модели известно достаточно много точных решений, значительная часть которых приведена в монографиях [22,23]; они являются стационарными, то есть не зависят от времени. Эти работы посвящены исследованию устойчивости различных типов конвективных течений, а также механического равновесия. Групповые свойства уравнений свободной конвекции в плоском случае изучались в [26], а для стационарных плоских течений — в более ранней работе [30] (см. также монографию [7]). В указанных работах построен ряд точных решений, часть из которых была найдена ранее другими методами.

Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах [25,64], посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в [22]. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур изучалась в [24], а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе [37]. Отметим также работу [59], посвященную исследованию устойчивости горизонтального слоя при наличии вибрации и с учетом термодиффузии.

В указанных выше работах были найдены точные решения уравнений (0.1), описывающие стационарное основное течение. Методы группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовались. Однако, как показано в [45], все эти решения имеют групповую природу. Групповые свойства системы (0.1) в случае g = 0 рассмотрены в [2]; там же отмечена важность изучения нестационарных движений смесей. Исследование начально-краевых задач о движении смесей в цилиндрических слоях с поверхностями раздела или свободными границами является актуальной задачей.

Уравнения термодиффузионного движения (0.1) в отсутствие массовых сил в цилиндрической системе координат г, </?, г имеют вид

V V2 1 (Л 2 и \

Щ + ииг + - Чш + --=--Рг + *М Аи--хУф--о 1 г г р \ г1 гг)

V UV vt + uvr + - vv + wvz Ч—- = г г pr

0.2) v 1

Wt -f uwr 4— W(p -f wwz = —pz 4- z/Д-ш, r p и 1 ur H---(- - Vp + wz = 0, r r

Bt + u6r + -Btp + w0z = r V ct + ucr H— Си, + wcz = dAc + adAO, r где и, v, w — проекции вектора скорости на оси г, ip, z соответственно; р — давление; 9, с — отклонения температуры и концентрации от их равновесных значений 0q, со; Д = д2/дг2 + г~1д/дг + г~2д / dtp2 д2 / dz2 — оператор Лапласа.

Нам еще понадобятся компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат:

Vrr = —р + 2fiUr, Vee — —р + 2д vv + i , = —р + 2/лк;2, Vrip = VVr = fi Uy, + vr - i , (0.3) = fi (vz + ^ ги^ , = Vzr = Ц ('wr + uz), где ¡л = pv — динамическая вязкость смеси.

Перейдем к постановке задачи о совместном движении двух смесей. Рассматривается движение двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных вязких смесей с общей границей раздела. Обозначим через Qj

7 = 1,2) области, занятые смесями, с поверхностью раздела Г, и^х, ¿), ^-(х, £) — соответственно вектор скорости и давление, вj(x,t) и сДх, ¿) — отклонения от средних значений температуры и концентрации. Тогда система уравнений термодиффузионного движения в отсутствии внешних сил = 0) имеет вид [8]:

Рис. 1: Схема области течения с/и.7 1

-I--Урн = ^7Ли7-, СНУШ = 0, аЬр4

0.4)

Сп . А 7 л + а^АО,, = ХзЩ, где рз — средняя плотность, г/^ — кинематическая вязкость, Хз ~ температуропроводность, ^ — коэффициент диффузии, щ — коэффициент термодиффузии (коэффициент Соре); <1/<И = д/дЬ + и., • V.

Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения а на границе раздела зависит от температуры и концентрации а = а (в, с), причем для многих смесей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью , а(6, с) = а°- ая(0 - 90) - ве2(с - со), (0.5) где аех > 0 — температурный коэффициент, 8Э2 — концентрационный коэффициент (обычно ае2 < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации). Сформулируем условия на поверхности раздела Г:

111 = и2, х € Г (0.6) равенство скоростей; и • п = х е Г, (0.7) кинематическое условие. Оно основано на предположении, что Г — движущаяся материальная поверхность. Здесь п — единичный вектор нормали к поверхности Г, направленный из в Г^, Уп — скорость перемещения поверхности в направлении нормали, и — значение вектора скоростей обеих жидкостей на Г, попарно совпадающих в силу (0.6);

Р2 - Р\)п = 2<т#п + Уг<7, х е Г, (0.8) динамическое условие, оно означает равенство всех сил, действующих на поверхность (сил давления, трения, поверхностного натяжения и термоконцентрационных сил). Здесь Р) = —р^Е + 2pjl/jD(uj) — тензоры напряжений, Б — тензор скоростей деформаций, Е —единичный тензор, Н — средняя кривизна поверхности Г, Уг = V — (п • У)п обозначает поверхностный градиент. Далее,

91 = 02, сх = Лс2, х е Г, (0.9) условие непрерывности температур и концентраций на границе раздела, Л — постоянная равновесия Генри. Условием равновесия между двумя жидкими средами является равенство температур и динамическое условие. Поэтому в состоянии равновесия между концентрациями распределяемого компонента в обеих фазах устанавливается некоторое соотношение, характеризуемое константой фазового равновесия Л. Для некоторых систем эта зависимость может быть вычислена, но в подавляющем большинстве случаев ее находят опытным путем.

Кроме того, на поверхности раздела

2§ ~к1ш = 0- х€ г- (оло) ю

Соотношение (0.10) представляет собой равенство потоков тепла на границе раздела. Постоянные kj — коэффициенты теплопроводности.

Еще одно условие — равенство потоков вещества через границу раздела: (дс2 дв2\ , (дсх двЛ ^ , Л оп оп J \дп оп J

Области и могут контактировать не только друг с другом, но и с твердыми стенками. Обозначим стенки через Ена них ставится условие прилипания uj = a.j(х, t), х G Еj, (0.12) где aj(x, í) — скорость движения стенки T,j. Кроме того, будем считать, что температура в точках Еj удовлетворяет одному из условий

9(9 = QÍT(x, ¿), 6j = í), X G Е,-, (0.13) с заданными функциями QJCT и 93ст. То есть на твердой стенке задан либо поток тепла, либо температура. Отсутствие потока вещества через твердые поверхности Е^: дсп двп „ = x£Si. (0.14)

Области í^i и 0,2 могут также контактировать с газовой фазой. Обозначим для определенности через Ti границу раздела смеси Í2i с газом, тогда поверхность Гх называется свободной границей. На Г^ должны быть выполнены динамическое условие

Pgas ~ р)п + 2evD(u)n = 2сгНп + Vrc, X G гь (0.15) и кинематическое условие (/(х, t) = 0 есть уравнение Ti) + и • V/ = 0, хеГь (0.16) в (0.16) pgas — давление в газе — является известной функцией. Условие теплообмена смеси с газом запишется так: 7(0 - « = Q, Х€ГЬ (0.17) где 7 — постоянный коэффициент межфазного теплообмена, вёа8 — температура газа, — заданный внешний поток тепла. Еще одно условие на Г\: хег" (018) есть отсутствие потока вещества через свободную поверхность. Тем самым не учитывается влияние поверхностно-активных веществ на Г].

Для полной постановки задачи к соотношениям (0.4)-(0.18) следует добавить начальные условия

11^(х, 0) = 11(у(х),

•(х,0 ) = 0<у(х), (0.19) сДх, 0) = %(х), х е Далее для двухслойных смесей будем полагать ] = 1, 2, а для однослойных ; = 1 и индекс "1" опускается.

Приведем здесь, в цилиндрической системе координат, условия на свободной границе (0.15)—(0.18). Пусть описывается уравнением /(г, (р, г, ¿) = г — /г((/?, г, £) = 0. Так как в этой системе координат (д I д д\ Л 1 , ,Л 1 то кинематическое условие (0.16) при г = примет вид

Ы + ^Н(р + 'шН2-и = 0. (0.21)

Условие теплообмена (0.17) перепишется так: к(вг~Ь ^ " Ь~1 + 7(0 ~ вда= а условие (0.18) —

0.22) сг - Ь^Ср - + а (вг - ^ ЬрОф - ) = 0. (0.23)

Далее, касательные к Гх векторы ех = (1 + к~2к^р)~1/2{к~1к(р^ 1,0), в2 = (1 + /г2)1/,2(Дг, 0,1) образуют с вектором п локальный базис на Гх. Он ортогональный, если к^ = 0 или к2 = 0. Проектируя динамическое условие (0.15) на этот базис, получим три соотношения

Рд> ав р + 2риБп • п = 2сгЯ, = j = 1,2. (0.15')

Тензор скоростей деформаций в цилиндрической системе координат представляется матрицей (см. формулы (0.3))

В = иг

1 Л

2 I ~ + иг--^ 1 1 г

1/1 1 4 2 ^ + ^ - ; и

1 1

- и* + - гА г г

- (и2 + гиГ) 1 гУу,)

1 /

- [иг + Юг)

Юг

Поскольку УГсг • ej = • е^ав + Ус • е^-<тс, из (0.15') находим У<р и к к к щ + 'Шг) Ш к ь

РV к

0г + 19*Гв+\~нч'~гнчр1ис ч> сг "Ь Сгп I (гг

1 - к\){и2 + тг) + 2кг(иг - ии2) — ^ + к^ к%

Рдаз ~Р + 2РУЬ' и 'ХХ/ \ ^ Уг ~ к + ~к) = р» + ^ ав + + '

Пг ~ ~к Уг ~ Ть + н) ~ +

М* Л , <\ , ^ /Ч , Л , и2ш к к Г кЛ к +кГ 2 аН.

0.24)

0.25)

0.26)

Средняя кривизна поверхности Гх с уравнением г = к(<р, г, ¿) определяется по формуле

Н = - [(к^ - к)( 1 + к\)к - 2кчз{к^ + к^кгк)+

0.27)

Методы исследования. В данной работе для нахождения точных решений и вычисления асимптотик использовались метод преобразования Лапласа, метод Фурье для решения параболических уравнений, метод априорных оценок, а также методы общей теории дифференциальных уравнений. Для численного решения задачи применялись следующие методы: метод численного обращения преобразования Лапласа при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности, метод Галеркина, метод Рунге-Кутта.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы начально-краевые задачи, описывающие нестационарные однослойные и двухслойные течения бинарных смесей в цилиндрических областях. Для решений специального вида найдены точные решения и вычислено их асимптотическое поведение. Численное решеиие некоторых задач хорошо подтверждают качественные результаты.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование конвективных течений, качественный анализ дифференциальных уравнений. Проведенное исследование моделей термодиффузионного движения вносят вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данной подмодели, а также теорию описываемых этой моделью явлений — конвекции, диффузии и термодиффузии. Полученные результаты могут быть использованы при решении соответствующих задач как аналитическими, так и численными методами. Данная работа соответствует концепции программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на максимальное извлечение возможностей, заложенных в свойствах симметрии дифференциальных уравнений механики сплошной среды.

Перейдем к описанию структуры и содержания диссертационной работы.

В § 1.1 рассматривается осесимметрическое движение бинарной смеси, так что в уравнениях термодиффузионного движения азимутальная скорость V равна нулю, а остальные функции не зависят от угла <р. Пусть гг(г, л, ¿), и>(г, г, Ь) — проекции вектора скорости на оси цилиндрической системы координат г и z, р(г, г, ¿) — давление, 0(г, г, ¿) — отклонение температуры от равновесной, а с(г, г, ¿) — отклонение концентрации от равновесной. Тогда система уравнений примет вид (внешние силы отсутствуют)

0.28) и)ь + итг 4- тии2 -\—Рг = VДгс, Р

0.29) вь + ивг + швг = хД0> сг + исг + тсг = с1Ас + ас! А9, иГ 4- - и + = 0, г

0.30) (0.31) (0.32) где Д = д2/дг2 + г~1д/дг + д2/дг2 — оператор Лапласа, р, г/, х, с/, а — положительные постоянные: плотность, кинематическая вязкость, температуропроводность, коэффициенты диффузии и Соре соответственно.

Предположим, что свободная граница описывается уравнением г = /¿(г, ¿). Тогда условия на ней примут вид:

Ы + шНг~и = 0; (0.33)

1 - к1)(и2 + гиг) + 2Кг(иг - = —

РV п п к \ до /1 ч да

Мг + &г) + (Ь2СГ + Сг) —

0.34)

Рдаз -р + 2риЬ~2[иг - кг(иг + иог) + Н\шг] = 2агН; (0.35) кЬ~1(вг - кг0г) + 7(0 - вдов) = <2; (0.36) сг - Нгсг + а(вг - Мг) = 0, (0.37) где Ь — (1 + Ь2)1/2] сг(6, с) — коэффициент поверхностного натяжения смеси и для большинства реальных жидкостей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью а(в, с) = а0 - ае1(0 - 0°) - эе2(с - с0) (0.38) с некоторыми постоянными <7°, 0°, с0, аех, аэ2; и 05а5 — давление и температура окружающего газа, который считается пассивным. В (0.35) Н — средняя кривизна свободной границы: И2 — 1 л .

Н=2 + (°'39)

Полная система уравнений и граничных условий в силу нелинейности, неизвестной свободной границы довольна сложна даже для численного решения. Поэтому целесообразно принять некоторые упрощающие предположения.

В § 1.2 рассмотрена четырехпараметрическая подгруппа, порожденная операторами дг^дг + <9С. Нетрудно проверить, что она допускается системой уравнений термодиффузии (0.28)-(0.32). Ее инварианты суть

1,г,и,р, значит, частично-инвариантные решения относительно этой подгруппы имеют вид и = и{г,€), т = ги(г,;г,£), р = р(г,£), 0 = 0(г, г, ¿), с = с(г,г,$. (0.40)

В этом случае из уравнения сохранения массы (0.30) следует, что т есть линейная функция от х. Положим

Общий вид инвариантного многообразия относительно рассматриваемой подгруппы в пространстве {г, г, £} есть г = с произвольной функцией Пусть зависимость сг(9,с) имеет вид (0.38), тогда из граничного условия (0.34) получим, что ае^ — в°) — ээг (с — с0) есть квадратичная функция 2. Поэтому положим, что

0(г, 2;, ¿) = а(г, ф2 + 6(г, , с(г, г, г) = 1{г, г) г2 + д(г, ¿), (0.42)

Интерпретация решения (0.40)-(0.42) такова. Пусть при осесимметрич-ном нагревании достаточно длинного цилиндра бинарной смеси внешняя температура на его границе имеет максимум (а < 0) или минимум (а > 0) в точке z = 0. Тогда в окрестности точки внешнюю температуру можно аппроксимировать по параболическому закону, а движение внутри смеси описывается функциями (0.40)-(0.42).

Подстановка вида решения (0.40)-(0.42) в (0.28)-(0.37) приводит к нелинейной краевой задаче об отыскании функций только двух переменных г и t в области с неизвестной цилиндрической границей радиуса Н(Ь).

В § 1.3 при специальных данных найдено точное решение полученной начально-краевой задачи, которое имеет вид

0.41) т тг

0.43) --, и = — -г--- , т = сопэ^

1 + тЬ 2(1 + тЬ) сг°(1 + га£)1//2 рь>т

0.44) го 1 + шЬ

0.45)

Аналогично находятся и функции Ь(г, ¿), ¿(г, £), д(г, £); для них соответствующие уравнения будут неоднородными. Это решение использовалось в качестве "тестового"при численном решении общей задачи.

В § 1.5 приближенное решение искалось в виде ряда по смещенным полиномам Якоби .йд.0'1^ Это связано с тем, что исходная система (0.28)-(0.32) имеет особенность при г = 0. При этом, интересующее положение свободной границы определяется только нулевым членом разложения. В процессе решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений возникает необходимость вычисления определенных интегралов от произведений полиномов Якоби. В приложении приводится алгоритм расчета интегралов в общем виде для любого приближения по методу Галеркина.

В § 2.1 решение задачи (0.28)-(0.32) ищется в виде (в отличие от (0.40)-(0.42)): u = rui(z,t), w — w(z,t), р = p(z,t), 9 = afz, t)r2 + b(z, t),

0.47) с = h(z, t)r2 + g(z, t).

Эти решения являются частично-инвариантными относительно четы-рехпараметрической подгруппы, порожденной операторами д/дг, td/dr + д/ди, д/дв, д/дс. Подстановка (0.47) в систему уравнений термодиффузии (0.28)-(0.32) и отделение переменной г приводит к нелинейной начально-краевой задаче об отыскании функций только двух переменных z и t в области с неизвестной границей, которой является толщина слоя l(t).

Если и, р, a, b, h, g являются четными, aw — нечетной функцией переменной г, тогда поверхность z = —l{t) можно принять за вторую свободную границу и следует добавить условия симметрии: uz = 0, w = 0, az = 0, bz = 0, hz = 0, gz = 0. (0.48)

В § 2.2 находится точное решение сформулированной выше задачи при специальных данных. Оно имеет вид, отличный от (0.43)-(0.46): k 2 к 1п

1 + kt ' 1 + kt ' w (1 + kt)2 '

P P,™ + (1 + kt)2 VW z) 1 + kt, /г = const > 0, Z(0) = Iq = const > 0.

1 00 t) = ^ J2 an cos (Л*^1 + exP ( - , (0.50) n=0

7ГП ЛГ (1 + kt)5 - 1

An = — , nGiV, r = ^--f-. o ok

Аналогично находятся и функции b(z,t), h(z,t), g(z,t); для них соответствующие уравнения будут неоднородными. Это решение будет использоваться в качестве "тестового"при численном решении общей задачи.

В § 2.3 выполняется преобразование к задаче в фиксированной области. Решение задачи определялось методом Галеркина. В качестве базисных функций были взяты полиномы Лежапдра, причем, как следует из условий симметрии, достаточно ограничиться четными полиномами Р2т(у); т — 0,1, Система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений преобразуется к системе ОДУ первого порядка относительно Зп + 1 неизвестных функций. Было показано, что решение (0.49), (0.50) является точным решением системы галеркинских приближений для любого п.

В главе 3 рассматривается инвариантное относительно оператора —dz + pogx((3iA + (32В)др + Адт + Вдс решение уравнений движения бинарной смеси в модели Обербека-Буссинеска, которое имеет представление u = (и(х, у, t),v(x, у, t),w(x, у, £)), р= -{A(3i + ¡32B)gpQxz + q(x, у, ¿), Т — — Az -f 9(x,y,t), с = —Bz + c(x,y,t),

0.51)

Введем функцию тока ф(г,(р), связанную с и и d соотношениями и = г-1^, у — —фг- Тогда система система уравнений, описывающая движение смеси в горизонтальной цилиндрической трубе, запишется в виде - d^'f) = + + Сг) 8[п(р + I (д + с ) cosip] (о.52) г д(г,(р) г

Щ + — (ф<р1иг — i/v%>) = Aw — г eos v?; (0.53) АРг

Pr 6t + — (ф<рвг ~ Фг9<р) — w — АО; (0.54)

Sccf + — Se (фсрСг — фтСф) — Ei w = Ac — sA9, (0.55) где д(Аф, ф) = ^ (Аф = фгг + - фг + ^ фч д(г,ф) ~ V—Г/7-ТНР ч—г/^гп —-г -ГГТ . г г/- • г2 «т» где введены безразмерные параметры, такие как число Рейнольдса А = РгО2, число Грассгофа в, число Прандтля Рг, число Шмидта Бс, параметры термодиффузии £,£1, определяемые формулами

0,3)

Ставятся начальные и граничные условия: w = w0(r,(p), ф = 1ро(т, ф), 0 = во(г,ф), с = с0(г,р) при i = 0;

0.57) ф = 0, фг = 0, w = О, 9Г = 0, сг — £0Г = 0 при г = 1; (0.58)

- ф,р, фГ: w, 9, с ограничены при г = 0. (0.59)

Таким образом, решаем задачу (0.52)-(0.59) с неизвестными ф, w, 9, с, причем t > 0, 0 < г < 1, 0 < <р < 2тг.

В § 3.2 находится стационарное решение для ползущего движения А = 0 в случае теплоизолированной стенки.

1 , я „ (г5 - Зг3 + 4г) . g {г' -г) cost/?, в3 =--^g—--^ cos ip, (0.60) gl+g)(r5-3r3 + 4r) °S =---cos ip. (0.61)

Фв(г, <fi) = 2lS3m32^ 5 (1 + £ + £i)(2r8 - 15r6 + 24r4 - llr2). (0.62) r2(l+!?+fl) [Ю(2г4 - 9r2 + 24) + 3(5r4 - 20r2 + 9) cos2<p]. (0.63)

Если e = —ei, то получим решение В.В. Пухначева без учета концентрации. Если е = —1 — £i, то ф3(г, (р) = 0, и, следовательно, и — v — 0, qs = 0, a ws = ws(r,tp), 9S = 9s(r,ip), cs = cs(r,ip) определяются по формулам (0.60), (0.61).

Для полученного решения массовый расход смеси через поперечное сечение трубы является нулевым.

В § 3.4 находится нестационарное решение для ползущего движения при Л = 0:

Скорость определяется формулой w h (^гм^) где ¡i^ — корни функции J\ (/¿), а распределение "температуры"

00 I ( 1 Г / МП2*

Prexp - ^ к у

Рг ) , ч

7 (0.65)

• Ji(fJ*Pr) COS ф.

Решение при Рг = 1 находится из (0.65) предельным переходом при Рг —» 1.

Распределение "концентрации" и функция тока также определяются в виде рядов Фурье.

Доказано, что нестационарное решение выходит на стационарный режим при больших временах, например, ||k;s — w\\2 < С\ ехр[—2(ц^)Ч] в норме пространства ¿^((О,1) х (0,27г); г), где С\ = const > 0.

Ф (г, <р) = Фо (г, ф) + Хф1 (г, ф), w (г, ф) = w0 {г, ф) + Лгу 1 (г, ф),

0.66)

9(г, ф) = во (г, ф) + \9\{г, ф), с(г, ф) = с0 (г, ф) + Лс1(г, ф), где ф0,1п°)С0 есть решение соответствующих задач при Л = 0 (например ■0°,u!o,co определяются формулами (0.60)-(0.62), а функции — последовательно как решение линейных задач. Они найдены в виде полиномов по переменной г и тригонометрических функций по ф, имеют громоздкий вид и здесь не приводятся.

Рассматриваемое в задаче (0.52)-(0.59) при Л = 0 течение имеет плоскости симметрии х = 0, у = 0. Область течения х2 + у2 < 1, z Е 1Z разбивается плоскостями х = 0, у = 0 на четыре части, каждая из которых заполнена вложенными друг в друга цилиндрическими поверхностями тока ф(х,у) = const, z Е 71. Траектории жидких частиц имеют спиральный характер. В верхней половине трубы смесь движется в отрицательном направлении оси z, а в нижней — в положительном.

Приводится численный расчет профилей скорости, распределения "температуры" и "концентрации" для различных значений суммы параметров е-\-£\. При отсутствии термодиффузии {£ + Е\ = 0) жидкость поднимается вверх около нагретой стенки и опускается вниз около холодной. В этом случае отсутствуют неоднородности "концентрации" (с = 0). Если е+б1 > 0, то происходит нормальная термодиффузия и легкий компонент диффундирует в сторону нагретой границы. При Е-\-Е\ = —1 функция тока обращается в ноль, наступает механическое равновесие. Дальнейшее уменьшение суммы параметров е + Е\ приводит к аномальной термодиффузии: легкие компоненты стремятся в сторону холодной границы, а тяжелые оказываются в областях с повышенной температурой.

Указанная четырехъячеистая структура, которой обладает решение стационарной задачи при Л = 0, сохраняется и в решении нелинейной стационарной задачи для той же системы при достаточно малых Л ф 0. Показано, что движение смеси в цилиндре не меняется. Происходит расширение области, в которой движутся жидкие частицы, на величину порядка Л, т. е. спираль, по которой перемещаются частицы, расширяется на эту величину. Что касается функций 9 и с, то их максимальные значения уменьшаются на величину порядка Л.

А, В — постоянные, /(£) € С°° — произвольная функция. Инвариантное решение следует искать в виде и = 0, у = 0, 1и = ии(г^) р=

0.67)

9 = Аг + Т(г, £), с = В г + К (г, £).

Решение (0.67) применяется для описания однонаправленного движения бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости в круглой цилиндрической трубе радиуса b под действием градиента давления /i(i) в смеси. Пусть смесь занимает область 0 < г < a, < оо, а вязкая жидкость — цилиндрический слой а < г <b, \z\ <00, так что Wj(r, t) — осевая скорость (j = 1, 2), pj = —pjfj(t)z + T>j(t) — давление, 0j = AjZ + Tj(r, t) — распределение температуры, c\ = B\z + K{r, t) — распределение концентрации в смеси.

Подстановка (0.67) в систему уравнений термодиффузии с учетом условий на поверхности раздела г = а, твердой стенке г = b и условий ограниченности на оси симметрии приводит к начально-краевой задаче wjt — fj(t) + Vj (vjjrr + ^ ; (0.68)

ТЛ = Xj (rjrr + \ Tjr^J - Awj;

0.69)

Кг = с?1 ^-г + ^ + + ^ Т^ - (0.70) и)1(а, Ь) = ъи2(а^), 71 (а, ¿) = Т2(а,£),

1 дТг(а^) и дТ2(а,г) дК(а,г) , 37! (а, ¿) (°-71)

Л1-£- = Л2-о-> -----о- = аг от ог ог

2(*) = рЛ(*), Дг(*) = АС*) +Р^рх/Ы (0.72) X

2^2г(а, ¿) - М1гУ1Г(а, ¿) = 0. (0.73) г02(М) = О, Г2(М) = 0. (0.74)

К(0,£)1 < оо, |Т1(0,4)| < оо, |К(0,£)| < сю. (0.75)

IV у (г, 0) = 0, 7)(г, 0) = 0, К (г, 0) = 0. (0.76)

Доказано, что задача (0.68)-(0.76) имеет стационарное решение только при В\ = 0 и оно представляется в виде (постоянные находятся из граничных условий) и>1 К

Ь2 — а2)// + а2 ( 1 — -Ца" о Л г2\ ™2 = "¡¿Г V ' м = го 1 16X1^1

21 а2 + /2(62 - а2) - Г <?2,

0.77) то = Ат*р/? , и2 ахЛг2/?

16x1^1

21 а2 + 11(Ъ2 -а2)-1- С3

Можно видеть, что при заданных /].(£), задачи для (гУ1, г^г),

ТЬТ2), (X) решаются последовательно.

В § 4.3 сначала рассматривается задача об определении поля скоростей в слоях. Справедлива

Лемма 1. Имеет место неравенство а Ь / а Ь \ ГИ)\ с1г + J тт\ (1г < Мо I У ги,1г + Р2 I гии^^) (0.78)

0 о V о а / с постоянной Мо, не зависящей от Wj и являющейся решением вариационной задачи

Мо = вир

VI ,г>2еУ гу\ <1г + / гг?! <1г

0а а Ь

1 / (¿Г + / ^Г

0.79)

Множество У является подпространством И^Чг; 0, а) х И/21(г; а, 6), причем выполнены граничные условия (0.71), (0.73—0.76) для г>2. На ее основе доказана

Теорема 1. Решение начально-краевой задачи для определения возмущения поля скоростей при выполнении условия оо м 0

1(т)|еЛт<*т = С7з,

0.80) стремится к нулевому решению, причем справедливы оценки f

5 < 2/x^z/x/a2,

0.81) w2(r,t)| < Vcle-W,

0.82) равномерные в интервалах [a, b], [0,а].

Здесь ¡11 — первый корень уравнения <7о(д) — 0, а не динамическая вязкость; iVi, С4 = const > 0.

Другими словами, если градиент давления в смеси достаточно быстро стремится к нулю, то происходит торможение смеси и жидкости за счет вязкого трения согласно неравенствам (0.81), (0.82).

Теорема 2. Решение начально-краевой задачи для определения возмущений температур при условии (t).80j стремится к нулевому решению, причем справедливы оценки

N2, С5, С7 = const > 0.

В § 4.7 рассматривается эволюция возмущений концентрации. Справедлива

Лемма 2. Предположим, что функция g(r) непрерывна на отрезке

О, а], а > 0, дг £ L2(r; 0, а) и а / rp(r) dr — 0.

Тогда для д(г) справедливо неравенство Фридрихса 2

J rg2[r)dr J rgl(r)dr.

На ее основе доказана

Теорема 3. При В\ = 0 и выполнении условия (t).80j возмущение концентрации стремится к нулю при t оо. Если lim fi(t) = fi = const ^ t—» oo

0, то это возмущение стремится к стационарному распределению (0.77).

Для получения более подробной информации о поведении скоростей, температур и концентраций применяется преобразование Лапласа. После некоторых выкладок найдено точное решение для изображений в виде: w 1 w2 = C2IQ ( clIo[JLr)+iM

Vi ) P

-Г ) + C^Kq V2

P Л+ IM "2 J P

0.85) (0.86)

ACi p2 pxi(i/xi - IM) ol./^r

T2(r,p) = P2/0

AC2 r + D3K0 r

PX2(1/X2 - IM) n

P \ r i- PX2(1/X2 - IM)

Aftfr) p2

0.87) r J yF{y,p) y)K0 T dy (0.88) с постоянной Ь\} определяемой а

Li = - h

У) +

0.89)

Доказано, что если lim fi(t) = /1 = const 0, то возмущения скоростей, температур и концентрации стремятся к стационарному распределению (0.77). Именно, поля скоростей в пределе будут такими же, как у течения Пуайзеля, а температура и концентрация являются полиномами четвертого порядка по радиальной координате.

Полученные формулы (0.85)-(0.89) в изображениях по Лапласу были использованы при численном нахождении полей скоростей, температур и концентрации для различных заданных перепадах давления в смеси. Численные расчеты подтверждают выход решения рассматриваемой задачи на стационарный режим (0.77).

Конкурс-Конференция молодых ученых Института Вычислительного моделирования СО РАН (г.Красноярск, 2004г.),

XXXV Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(г.Екатеринбург, 2004г.),

XXXVII Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики "(г. Екатеринбург, 2006г.),

VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Красноярск,

2006 г.)

XXXVIII Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(г.Екатеринбург, 2007г.),

Семинары Института Вычислительного моделирования СО РАН "Математическое моделирование в механике "под руководством профессора В. К. Андреева;

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [10-12], [48]- [52].

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Красноярского краевого фонда науки, проект 12^003М (2005); Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 05 — 01 — 00836 и НШ5873.2006.1 (2006), проект 02-01-00934 (2004), проект 08-01-00762 (2008); интеграционного проекта СО РАН 2.15 (2006), междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН 65 (2008).

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Заключение

2. Найдены значения интегралов от произведения смещенных полиномов Якоби.

3. Изучено осесимметрическое нестационарное движение плоского слоя со свободными границами. Найдено точное решение при специальных данных. Общая задача сведена к системе нелинейных интегродиффе-ренциальных уравнений, которая решена методом Галеркина.

5. Изучено инвариантное решение задачи о совместном движении вязкой теплопроводной жидкости и бинарной смеси в цилиндрической трубе, которое происходит под действием нестационарного перепада давления. Вязкая жидкость (смазка) и смесь не смешиваются и имеют общую поверхность раздела. Задача сводится к сопряженной начально-краевой задаче для параболических уравнений. Получены априорные оценки возмущений скоростей, температур и концентрации. Найдено стационарное состояние системы и доказано, что если градиент давления смеси достаточно быстро со временем (по экспоненте) стремится к нулю, то возмущения всех величин также стремятся к нулю. Если градиент давления имеет ненулевой предел при Ь —> оо, то решение выходит на стационарный режим. Именно, поля скоростей в пределе будут такими же, как и у течения Пуазейля, а температура и концентрации являются полиномами четвертого порядка по радиальной координате. Кроме того, доказаны два новых интегральных неравенства типа неравенств Фридрихса. Полученные конечные формулы в изображениях по Лапласу использованы при численном нахождении полей скоростей, температур и концентрации для различных заданных перепадах давления в смеси.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Собачкина, Наталья Леонидовна, Красноярск

1. Андреев В. К. Термокапиллярное течение жидкого цилиндра // Деп. ВИНИТИ 4058-В-87. - Красноярск: ВЦ СО РАН, 1987. - С. 22.

2. Андреев В. К. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии // Труды III Межд. конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 13-17

3. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А. Математическое моделирование конвективных течений. Учебное пособие. Красноярск: КрасГУ. -2006. - 392 с.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 432 с.

5. Андреев В. К., Пухначев В. В. Инвариантные решения уравнений термокапилярного движения// Численные методы механики сплош-ношной среды. 1983.Т.14, №5. С.3-23 С. 182-191.

6. Андреев В.К., Рыжков И.И. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 4, № 4. С. 508-517.

7. Андреев В.К., Бублик В.В., Вытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. - 352 с.

8. Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000. - С. 280.

9. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. - 319 с.

10. Андреев В.К., Собачкина H.JI. Нестационарное растяжение жидкого цилиндра под действием эффекта Соре. // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки,-Красноярск: КрасГУ, 2004. Вып.1 С. 192-199.

11. Андреев В.К., Собачкина H.JI. Движение бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе.// Вычислительные технологии. -Новосибирск. 2008. Т.13, № С.З 14.

12. Андреев В.К., Собачкина И.Л. Свойства решений начально-краевой задачи, возникающей при движении бинарной смеси в цилиндрической трубе. Препринт №1 - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2009. - 40с.

13. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984.

14. Бокштейн B.C. Термодиффузия // Соросовский образовательный журнал. 1999. - № 4. - С. 40-43.

15. Дою. Бетчелор Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.760 с.

16. Вейтмен В., Эрдейн А. Таблицы интегральнх преобразований. М.: Наука, 1969 - Т.1.

17. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982,- Ч.1.-327 с.

18. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982 - Ч.2.-304 с.

19. Бирих Р. В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ПМТФ. 1966. №3. С. 63-74.

20. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. - 720 с.

21. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2003. 398 с.

22. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

23. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 320 с.

24. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин JI.E. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси с термодиффузией // ПММ. -1982. Т. 46. - Вып. 1. - С. 66-71.

25. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин JI.E. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси // ПММ. 1980. - Т. 44. - Вып. 5. - С. 823-830.

26. Гончарова О.Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1987. - Вып. 79. - С. 22-35.

27. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегральных сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1965.

28. Жермен П. Курс механики сплошных сред.- М.: Высшая школа, 1983.- 399 с.

29. Зайцев В.Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

30. Катков В.Л. Точные решения некоторых задач конвекции // ПММ.- 1968. Т. 32. - Вып. 3. - С. 482-487.

31. Крылов В.И., Скобля H.G. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа.- Минск: Наука и техника, 1968.

32. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа М.: Наука, 1974.-224 с.

33. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1973.- 736 с.

34. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа- М.: Наука, 1967736 с.

35. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. - 848 с.

36. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации.- М.: Мир, 1980.

37. Николаев Б.И., Тубин A.A. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси в плоской термодиффузионной колонне // ПММ. -1971. Т. 35. - Вып. 2. - С. 248-254.

38. Овсянников Л.В.Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978.

39. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

40. Пухначев В. В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. - Т. 6 (23), № 4. -С. 47-56.

41. Пухначев В. В. Неустановившееся движение вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично-инвариантными решениями уравнений навье-Стокса// Динамика сплошной среды. Вып. 10. Институт гидродинамики СО АН СССР Новосибирск, 1972. С. 125-137.

42. Пухначев В. В. Теоретико-групповая природа решения Бириха и его обобщения // Сб. тр. международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. С. 180-183.

43. Рабинович Г.Д. Разделение изотопов и других смесей термодиффузией. М.: Атомиздат, 1981.- 144 с.

44. Рабинович Г.Д., Гуревич Р.Я., Боброва Г.И. Термодиффузионное разделение жидких смесей. Минск: Наука и техника, 1971.

45. Рыжков И. И. Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии // Дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - 168 с.

46. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962. - 500 с.

47. Смородин Б.Л. Конвекция бинарной смеси в условиях термодиффузии и переменного градиента температуры // ПМТФ. 2002. - Т. 43, № 2. - С. 54-61.

48. Собачкина Н.Л. Нестационарное движение жидкого цилиндра при наличии эффекта Соре. // Труды Межд.конф. "Студент и научно-технический прогресс"- Новосибирск, 2003. С. 91-95.

49. Собачкина Н.Л. О нестационарном движении жидкого цилиндра //Труды XXXV Регион.конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики" Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН, 2004. -С. 176-180.

50. Собачкина Н.Л. Осесимметрическое движение вязкой жидкости с плоской свободной границей под действием термокапиллярных сил //Труды XXXVII Регион.конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики" Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН, 2006. -С. 247-252.

51. Собачкина Н.Л. О ползущем движении бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе //Труды XXXVIII Регион.конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики" Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН, 2007. - С. 328-332.

52. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1972.

53. Шапошников И. Г. К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ. 1953. - Т. 17. - Вып. 5. - С. 604-606.

54. Федорюк М.В. Метод перевала.- М.: Наука, 1977.-368 с.

55. Физические величины. Справочник / Под. ред. Григорьева И.С., Мейлихова Е.З. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

56. Формалев В.Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004.-400 с.

57. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. - 352 с.

58. Gershuni G.Z., Kolesnikov А.К., Legros J.С., Myznikova B.I. On the vibrational convective instability of a horizontal, binary-mixture layer with Soret effect // J. Fluid Mech. 1997. - V. 330. - P. 251-269.

59. Huppert H.E., Turner J.S. Double-diffusive convection //J. Fluid Mech. 1981. - V. 106. - P. 299-329.

60. Pukhnachov V. V. On a problem of viscous strip deformation with a free boundary// C.R. Acad. Scien. Paris, t.328, Serie 1, 1999-P. 357-362.

61. Tritton D.J. Physical Fluid Dynamics // Oxford University Press. 1988. - 519 p.

62. Wiegand S. Thermal diffusion in liquid mixtures and polymer solutions / / J. Phys.: Condens. Matter., 16 (2004). P. 357-379.

63. Yanase S., Kohno K. The Effect of a Salinity Gradient on the Instability of Natural Convection in a Vertical Fluid Layer // J. of the Phys. Soc. of Japan. 1985. - V. 54, № 10. - P. 3747-3756.