Суперсимметричный подход в теории локализации в неупорядоченных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

12,Ь и 5.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ имени Б.П.Константинова

На правах рукописи МИР ЛИН Александр Давидович

УДК 539.21: 537.1

СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ ЛОКАЛИЗАЦИИ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМАХ

С 01.04.02 - теоретическая физика )

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ФУ

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена в Петербургском институте ядерной физики им. Б.П.Константинова РАН.

Научный, руководитель: доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН А.Г.АРОНОВ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Ю.М.ГАЛЬПЕРИН; .

доктор физико-математйчесзмх наук, профессор В.Н.ПОПОВ.

Ведущая организация: Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН.

Защита диссертации состоится " 992 г. в ча-

сов на заседании специализированного совета Л 002.71.01 по присуждению ученых степеней в Петербургском институте ядерной физики им. Б.П.Константинова РАН по адресу: 188350, г.Гатчина Ленинградская область

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПИЯФ РАН.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь специализированного совета

А.Н.Москалев

- 3 -

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование локализации электронов случайным потенциалом - одно из активно развивающихся направлений физики неупорядоченных систем. Несмотря на значительные усилия, затраченные в этом направлении, проблема построения теории перехода Андерсона металл - диэлектрик еще далека от окончательного решения. На пути исследования перехода возникает задача построения эффективной теории поля, соответствующей изучаемой проблеме. Большинство результатов было получено путем рассмотрения в качестве такой эффективной теории <7-моделей, заданных.на фактор-пространствах определенной симметрии (Schäfer L., Wegner F., 1980). Однако такой подход страдает рядом серьезных недостатков: симметрия модели оказывается всегда спонтанно нарушенной, вследствие чего отсутствует параметр порядка, а приближение среднего поля становится бессодержательным и не описывает локализаиионный переход. Переход возникает лишь в рамках ренорм-rpynriоного рассмотрения в пространстве размерности d = 2 + е . Такой подход является чисто пертурбативнъм, в то время как есть основания полагать, что непертурбативные эффекты могут играть важную роль, тем более что в размерности d > 3 переход происходит в области сильного беспорядка.

Ввиду бессодержательности обычного приближения среднего поля, являющегося отправной точкой при изучении фазовых переходов, особый интерес приобретает исследование перехода Андерсона на решетке Бете. Иерархическая структура этой ре-щетки, как правило, допускает точное решение заданных на ней моделей. Для обычных фазовых переходов второго рода соответствующее критическое поведение оказывается таким же, как и в приближении среднего поля. Исследование на решетке Бете суперматричных cr-модел ей (Ефетов К.Б.., 1985; Ефетов К.Б.. 1987; Zimbauer M.R., 1986) и модели одноканальных случайных рассеи-вателей (Shapiro В., 1983; Chalker J.Т., Siak S., 1900) привело к взаимоисключающим результатам. Это противоречие могло быть разрешено путем точного решения иа решетке Бете микроскопи-

ческой модели, описывающей частицу в случайном потенциале -модели Андерсона - что и является одной из задач диссертационной работы.

Необходимость точного (непертурбативного) исследования про блемы потребовала использования суперсимметричного метода усреднения по беспорядку вместо более распространенного (но математически плохо определенного) метода реплик. Обеспечивая возможность точного решения модели Андерсона на решетке Бете, суперсимметричный подход позволяет достичь определенного прогресса в описании и исследовании лохализационного перехода. Кроме того, он оказывается весьма полезным при исследовании некоторых моделей "квантового хаоса". Это активно развивающаяся в последние годы область физики, изучающая кван товые «гстемы, классические аналоги которых обнаруживают хаотическое поведение. Характерными квантовыми свойствами, отражающими возникновение хаоса, являются, в частности, корреляция уровней анергии и степень локализованности состояний. Лля их описания и исследования оказывается применимой теория случайных матриц, что роднит эту область с физикой неупорядоченных систем. Можно надеяться, что возможности суперсимметричного метода не ограничиваются полученными в диссертации результатами.

Пели и задачи работы

1. Исследование физической природы перехода металл-диэлектрик с помощью суперсимметричного метода усреднения по беспорядку.

2. Аналитическое решение модели Андерсона на решетке Бете, определение ее критического поведения в окрестности локализа-^ионного перехода.

3. Исследование ансамбля случайных разреженных матриц. Изучение локализации собственных векторов, статистики уровней и их взаимосвязи.

4. Построение эффективной теоретико-полевой формулировки для задачи о локализации частицы случайным потенциалом.

5. Аналитическое исследование ансамбля случайных ленточ-

ных матриц в применении к моделям квантового хаоса.

Научная новизна работы.К новым результатам работы относится точное решение модели Андерсона на решетке Бете, включая определение ее критического поведения в окрестности локализа-ционного перехода. Впервые исследован локализадионный переход в модели случайных разреженных матриц. Показано, что параметром порядка для перехода Андерсона является функция и определен ее физический смысл. Построение эффективной теории поля для проблемы андерсоновской локализации и ее исследование в приближении стационарной фазы дало возможность сделать предсказания о значении верхней критической размерности теории. Также впервые аналитически исследована модель случайных ленточных матриц.

Научная и практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты способствуют лучшему пониманию природы андерсоновского перехода и свойств неупорядоченных систем при высокой степени беспорядка. Дальнейшее исследование сформулированных в работе эффективных теоретико-полевых моделей должно стать существенным вкладом в решение проблемы андерсоновской локализации. Использование развитых в диссертации методов позволит продолжить исследования в ряде представляющих интерес направлений, таких как изучение частотной зависимости проводимости, мезоскопических флуктуаций, учет нарушающих симметрию взаимодействий. Исследование моделей случайных ленточных матриц в диссертации позволило объяснить и правильно интерпретировать результаты компьютерных экспериментов. Полученные в этой части работы результаты, наряду с их возможным развитием, помогут.описать свойства квантовых систем при переходе к хаосу.

Апробации работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на

Международной конференции по высокотемпературной сверхпроводимости и локалнзациоиным явленилм, Москва, 1091;

X Международном конгрессе по математической физике, Лейпциг, Германии, I -Г» 1;

Международном совещании по квантовому хаосу, Копенгаген, Дания, 1991;

Международной школе физики "Энрико Ферми" по квантовому хаосу, Варенна, Италия, 1991; а также на семинарах в

Физико-техническом институте им А.Ф.Иоффе, С.-Петербург;

Макс-Планк-Институте физики твердого тела, Штуттгарт, Гер мания; .

Макс-Планк-Институте ядерной физики, Гейдельберг, Германия;

Институте теории конденсированной материи Университета г. Карлсруэ/ Германия;

Университете г. Эссен, Германия;

Институте теоретической физики Университета г. Кельн, Германия;

Институте теоретической физики, Аахен, Германия;

Израильском технологическом институте (Технион), Хайфа, Израиль;

Вейцманновском институте, Реховот, Израиль.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура диссертации. Материалы диссертации изложены на 112 страницах машинописного текста и иллюстрированы 2 рисунками. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка литературы из 113 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы по теме диссертации, перечислены цели и задачи работы,а также изложено краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена аналитическому исследованию модели Андерсона на решетке Бете. В разделе 1.1 дана формулировка модели. Суперсимметричный метод, используемый для усреднения по беспорядку, описан в разделе 1.2. Как показано в разд.

1.3, в таком подходе локализацношшй переход проявляется как спонтанное нарушение симметрии уравнения самосогласования'.

Здесь Ф, Ф — 8-компонентные сунервектора,

L= diag{\, 1,1,1, — 1, — 1, — 1, — 1}, 7(u) - распределение диагональных матричных элементов гамильтониана (узельных потенциальных энергий), а положительный параметр с связан с продолженной на мнимую ось частотой соотношением е = и>[2г. . В общем случае (при произвольном «) решение этого уравнения зависит от двух инвариантов:

<?(Ф) = д,(г, у) ; . г=Ф+Ф ; у = Ф+ЬФ , (2)

в соответствии с UOSP{2j2) х UOSР(2\2)- симметрией уравнения (1-). В пределе е —► 0 симметрия уравнения попытается до UOSP(2,2|2,2). Если эта симметрия не нарушена спонтанно, т.е. 9'{х! 2/)|е—о -* Зо(у), то система находится в локализованной фазе. Если же, напротив, зависимость д, от х сохраняется в пределе е —► 0, то симметрия спонтанно нарушена и состояния модели де-локализованы. Эти утверждения подтверждаются доказанным в разд. 1.3 соотношением:

3,(х,у) = Г dir Г iVf(U,V)ex?i[UUy + iVx)) , (3)

JO

где f{U, V) - совместная плотность распределения вещественной (Uи мнимой (V) частей одно частичной функции Грина 0 = (0|( И— ie~ Функция <2(Ф) - д,{х,у) играет роль параметра по-

рядка для локализационного перехода, причем формула (3) придает ей ясный физический смысл. В разделе 1.4 воспроизведен в суперсимметричном подходе полученный ранее другими методами (Abou-Chacra R... Anderson P.W., Tlmuless D.J., 1973, Кип/, Ii., Souillard В., 19{<3) результат для положения порога подвижности.

Важным достоинством используемого метода является возможность последовательного вычисления корреляционных функций.

Б разд. 1.5 получено общее выражение для коррелятора плотностей. В разд. 1.6, 1.7 оно анализируется в локализованной и проводящей фазах,соответственно. Это позволяет определить критическое поведение модели, которое оказывается аналогичным найденному для суперматричных сигма-моделей на решетке Бете. В частности, локализацяонная длина имеет степенное поведение £ о<| Е — Ес с v — 1, коэффициент диффузии обращается на пороге в нуль экспоненциальным образом:

D ос| Ес - Е |~3/3 ехр {—conai \ЕС-Е |~1/2} ,

вероятность возвращения частицы в исходную точку через бесконечно большое время (т.н. inverse participation ratio), отличная от нуля В'локализованной фазе, обращается скачком в нуль в точке перехода.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию корреляции уровней и локализации собственных векторов в ансамбле случайных разреженных матриц (АСРМ). Этот ансамбль был введен несколько лет назад (Viana L., Bray A.J., 1985; Kanter I., Sompolinsky H., 1987; Mezard M., Parisi G., 1987) в контексте теории спиновых стекол. Он состоит из больших {N X N , где N —* со) вещественных симметричных матриц Н, все матричные элементы которых H,i являются независимыми, случайными величинами с распределением вида

f(H.j) = (1 - pfN)5(H,j) 4 (p/N)h(H,у) , (4)

где р~ 1 равно среднему числу ненулевых элементов в строке.

В разд. 2.1 дано определение АСРМ и показано, что он является единственным ансамблем с независимыми одинаково распределенными матричными элементами, не сводящимися к гауссов-скому в пределе Дг —» со. При малых р СРМ распадается на не связанные между собой блоки (конечные кластеры). При р > 1 (т.е. выше порога протекания) появляется и бесконечный кластер, что делает содержательным вопрос о локализации собственных вектиров я корреляции собственных значений. В разделе 2.2

в рамках суперсимметричного подхода воспроизведен полученный ранее методом реплмк (Rodgers G.J., Вгау A.J., 1988) результат для плотности состояний. При выводе мы используем функциональное преобразование (обобщающее известное преобразование Хаббарда-Стратоновича), позволяющее записать корреляторы в виде интеграла по пространству функций, зависящих от супервектора. Предел N —♦ оо оправдывает после этого применимость метода стацфазы. В разделе 2.3 показано, что при увеличении р АСРМ претерпевает переход в делокалиэованную фазу. В полной аналогии с моделью Андерсона на решетке Бете, переход сопровождается спонтанным нарушением симметрии, а соответствующий параметр порядка имеет функциональную природу. Вклад в inverse participation ratio от состояний бесконечного кластера Р,„/ вновь имеет скачок з точке перехода от конечного значения в локализованной фазе к нулевому з делокализованной. В то же время, при конечном (но большом) размере матрицы N величина NP,n{ имеет в делокализованной фазе следующее критическое поведение: NP,*f ос. exp{<f|£c — El-1'2}, Как продемонстрировано в разделе 2,4, переход радикальным образом меняет вид коррелятора уровней. Если в локализованной фазе собственные значения некоррелированы, то в делокализованном режиме коррелятор имеет универсальный (Дайсоновский) вид, но с заменой полной плотности состояний, которая входит параметром в формулу Дайсона, на вклад в нее от бесконечного кластера.

Изученные в первых двух главах модели, имеющие эффективно бесконечную размерность, могут быть использованы как отправная точка при изучении локализационного перехода в пространстве конечной размерности. Третья глава посвящена выводу эффективной теоретико-полевой формулировки проблемы андерсо-новской локализации, описывающей переход уже в приближении среднего поля. Аналогичная задача дли случаи оуцерсимметрич-ной сигма-модели была рассмотрена Т'фетоиым. Исполькованный им метод в настоящей работе обобщен на случай модели Андерсона, но представляется несколько искусственным. В то же время, н модели случайных разреженных матриц лаграпжева

• - 10 -

формулировка локализационного перехода возникает естественным образом. Это позволяет нам предложить также альтернативный вывод эффективной теории поля, стартующий с модели, являющейся обобщением АСРМ на случай конечной размерности. Эта модель задается распределением диагональных матричных элементов у{и) и распределением недиагональных элементов следующего вида:

f(t,j) = (1 ; P.j = pv(\r, —Tj\)/cr0 ; f 1, 0 < |r"1 < г0 ( 0 , )г] > г0

Она может быть сведена к эффективной теории поля с действием

2 и J (6)

Здесь G,(<b) - поля, зависящие от пространственной координаты узла ! и 8-компонентного супервектора Ф; Г~'(Ф, Ф) - ядро интегрального оператора, обратного к оператору с ядром Г(Ф+1/Ф), где

Г(х) = 1п{1 + —[Ä(r) - 1]} Ой

и А(г) - фурье-образ функции h[t)\

F(<*) = У<1и-,(и)ехр{^Ф+[£(Е-и) + и-]Ф} -

Выведенная первым способом (исходя из модели Андерсона) теория имеет вид, сходный с (6), но с дополнительным дискретным индексом у нолей, что усложняет вычисления.

Полученные таким образом эффективные теоретико-полевые модели изучены в разд. 3.2 в приближении среднего поля. В проводящей фазе это приводит к коррелятору плотностей диффузионного вила, причем коэффициент диффузии имеет то же ~>кс-поненциальние критическое поведение, что и на решетке Бете.

В локализованной фазё коррелятор экспоненциально убывает на больших расстояниях:

eA'COocr^r-^expi-r/i) ; r>Î, (7)

где Ç - локализационная длина, имеющая следующее критическое поведение: £ а \Е — Ес\~1!2. Вблизи порога можно рассмотреть также область г для которой находим

еЛ'(г) сс г-'"1 ; г « £ , (8)

Критическое поведение inverse participation ratio в рассматриваемом приближение оказывается таким же, как в АСРМ. Фактически приближение стационарной фазы для построенной эффективной теории поля есть альтернативный способ интерпретации результатов, полученных на решетке Бете и для СРМ модели. Это приближение становится точным в пределе d —► оо или г0 —► со, где d - размерность пространства, а г0 - характерный радиус прыжка частицы, входящий в распределение (5).

В разделе 3.3 представлены (в определенной степени спекулятивные) рассуждения, позволяющие определить возможные значения верхней критической размерности de для теории андерсеновского перехода. Если при достаточно низкой размерности d имеет место скейлииговое поведение в окрестности перехода, предсказываемое (2 + е) - разложением, то должны быть выполнены следующие соотношения между критическими экспонентами (Wegner F., 1980);

s = f(d — 2) ; 7г2 = du — fi-з , , (9)

где s , v , 7t2 , fj.2 ~ критические индексы для проводимости, лока-лизациояной длины и inverse participation ratio в локализованной и делокализопанной фазах, соответственно. Интерпретируя полученные а диссертации результаты как

у = 1/2 ; з = <х> ; гг = 0 ; /13 = 00 (10)

при d = -ус (а значит,.и при всех J > dc) и проведя сшивку с (9), мы получаем значение dr — х. Единственной видимой альтернативой

этому результату является отсутствие скейлинга при всех значениях размерности '¿. Б этом случае критическое поведение для всех ¿>2 было бы качественно таким же, как и при <1 = со. Для того, чтобы решить вопрос о том, какой из этих двух вариантов в действительности реализуется, необходимо исследовать сформулированные в третьей главе модели за рамками приближения стацфазы.

Четвертая глава диссертации посвящена применению суперсимметричного подхода к исследованию ансамбля случайных ленточных матриц (СЛМ), характеризующегося независимыми матричными элементами, имеющими гауссово распределение с

<ЯЛ3=Дл,У(1+ £,,•) ; Л„ = а( |.-У|), (11)

. где функция а(г) предполагается слабо зависящей от г при г •С Ь (Ь - некоторое число) и экспоненциально убывающей при г >> Ь. Тем самым, все существенно отличные от нуля элементы матрицы сосредоточены в полосе шириной ~ Ь в окрестности главной диагонали, что объясняет название ансамбля. Матрицы с такими свойствами широко исследуются в последнее время в связи с проблемой описания хаоса в квантовых системах. Они интерполируют между ансамблем диагональных матриц и гауссовским ансамблем, имеющими., соответственно, пуассонову и Дайсонову статистику уровней и являющимися квантовыми аналогами классической интегрируемости и хаоса . Компьютерное моделирование показывает, что ансамбль СЛМ хорошо описывает квантовую статистику при переходе от интегрируемого к эргодическому случаю.

Матрицы с ленточной структурой возникают также при изучении другого аспекта "квантового хаоса" - квантовых динамических систем, подверженных периодическому во времени возмущению. Б качестве примера можно привести инднговый ротатор с периодическими толчками , представляющий собой квантовую версию известной модели-классического хаоса. В эюй системе было обнаружено квантовое подавление классического хаоса, близкое по своей природе явлению андерсоновсьой лока-

лизации. Оператор эволюции квантового ротатора за один период возмущения оказывается (в представлении угловых моментов) ленточной матрицей с квазислучайными элементами, причем ширина полосы Ь пропорциональна силе возмущения (толчков).

В настоящей работе впервые проведено аналитическое исследование ансамбля СЯМ. Используя два больших параметра N > 1 к 6 > 1, мы сводим задачу к одномерной нелинейной суперматричной сигма-модели, изучавшейся ранее Ефетовым и Ларкиным в применении к проблеме локализации электронов в проволоках и задающейся действием

5[д] = ^ У" 81т{Оь(дМ - , (12)

Здесь поле 0{х) принадлежит градуированному фактор-пространству иОБР[2,2|2, 2)/(/05Р(2|2)хУ05Р(2|2), а плотность состояний р и затравочный коэффициент диффузий Д) следующим образом связаны с параметрами исходной модели:

Это позволяет найти локализационную длину (при N —> оо)

11к = 4*рП0 = -1(25о - Ег)В2 ос б2 (14)

В<>

и показать, что статистика уровней и локализационные свойства состояний определяются параметром у — Ьх/Ы ос b^/N. Введение линейного дрейфа диагональных матричных элементов {И,,) — а г приводит к появлению второго скейлингового параметра х = аЬ Доказанные скейлинговые свойства СЛМ полностью согласуются с результатами компьютерного моделирования.

В заключении сформулированы основные научные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Использование суперсимметричного метода усреднения по беспорядку оказывается весьма плодотворным при теоретическом.

изучении неупорядоченных систем. В частности, он позволяет строго исследовать локализационный переход в ряде точно решаемых моделей. В рамках суперсимметричного подхода этот переход вписывается в схему спонтанного нарушения симметрии. Коренное отличие от обычных фазовых переходов второго рода состоит в том, что в случае андерсоновского перехода роль параметра порядка играет функция. Эта функция имеет ясный физический смысл, будучи связанной с распределением одночастичных функций Грина.

2. Исследовано критическое поведение модели Андерсона на решетке Вете:

а) в делокализованной фазе коэффициент диффузии оказывается экспоненциально малым вблизи порога подвижности:

D ос |ЕС — ехр{—conai|£c — ;

б) локализационная длина имеет обычное степенное поведение:

Ç о< |Е — Ес\~" ; и=\ ;

в) inverse participation ratio Р(Е) имеет конечный предел при приближении к точке перехода из локализованной фазы и скачком обращается в ноль в точке.перехода.

3. Ансамбль случайных разреженных матриц также претерпевает андерсоновский переход. В локализованной фазе он эквивалентен модели Андерсона на решетке Бете со случайным координационным числом, имеющим пуассоновское распределение. Переход радикальным образом меняет вид коррелятора собственных значений. В локализованной фазе корреляция уровней отсутствует, в то время как в делокализованной фазе коррелятор уровней, относящихся к бесконечному кластеру, имеет универсальный ( дайсоновский) вид.

4. Построена эффективная теория поля для проблемы андер-соновской локализадии, описывающая локализационный переход уже в приближении стационарной'фазы. Исследование теории в этом приближении дает такое же критическое поведение, как и в модели Андерсона на решетке 1>< ге, с той лини, разницей, что

индекс локализационной длины равен и = 1/2. Сшивка с известными скейлинговыми соотношениями между критическими индексами приводит к следующей альтернативе: либо верхняя критическая размерность dc = оо, либо при всех d > 2 скейлинг отсутствует и критическое поведение имеет тот же вид, что и на решетке Бете.

5. Исследована модель случайных ленточных матриц, использующаяся при описании перехода к хаосу в квантовых системах. Супер симметричный подход позволяет свести ее к одномерной суперматричной ff-модели. Это позволяет вычислить локализацион-ную длину: ¡¡ос ос 6*, где !> - ширина полосы, и объяснить наблюдающееся при численном моделировании скейлинговое поведение с параметром b2/N, где N - размер матрицы.

Здесь же кратко обсуждаются: возможные перспективы дальнейших исследований.

Для удобства чтения диссертации ряд выкладок и доказательств вынесен в три приложения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Fyodorov Y.V., Mirlin A.D. On the density of states of sparse random matrices // J.Phys.A: Math.Gen.- 1991.- V.24:- P.2219-2223.

2. Mirlin A.D., Fyodorov Y.V. Universality of level correlation function of sparse random matrices Ц J.Phys.A: Math.Gen - 1991.- V.24 - P.2273-2286.

3. Mirlin A.D., Fyodorov Y.V. Localization transition in the Anderson mode! on the Bethe lattice: spontaneous symmetry breaking and correlation functions // Nucl.Phys.B.- 1991.- V.366 - P.507-532.

4. Fyodorov Y.V., Mirlin A.D. Localization in ensemble of sparse random matrices // Phys.Rev.Lett.- 1991,- V.67, N15.- P.204972052.

5. Fyodorov Y.V., Mirlin A.D. Scaling properties of localization in random band matrices: a гг-model approach // Phys.Rev.Lett - 1991,- V.67, N.18-P.2405-2409.

6. Fyodorov Y.V., Mirlin A.D., Sommers H.-J. A novel field-theoretical approach to the Anderson localization / Preprint PNPI-1777.- St. Petersburg, 1992.- 55 p.