Существование глобальных решений одного класса квазилинейных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

005018831

Романова Ирина Андреевна

СУЩЕСТВОВАНИЕ ГЛОБАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 МАЙ 2012

Казань 2012

005018831

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный университет»

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

доцент Ткачев Владимир Геннадьевич.

Научный консультант — доктор физико-математических наук,

доцент Клячин Алексей Александрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Повода Александр Васильевич-,

доктор физико-математических наук, профессор Авхадиев Фарит Габидинович.

Ведущая организация — ФГБУН Институт Математики

им. С. Л. Соболева Сибирского Отделения РАН, г. Новосибирск.

Защита состоится 17 мая 2012 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, д. 1/37, НИИММ, ауд. 337.

С текстом диссертации можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан « /У » апреля 2012 г. и размещен на официальном сайте Казанского (Приволжского) федерального университета — www.ksu.ru.

Учёный секретарь Совета Д 212.081.10 к.ф.м.-н., доцент

Е.К. Липачёв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию вопроса существования целых решений квазилинейного уравнения специального вида

ЬЪ£[и] = ихх (2е + (7 + 1) и\ + (7 - 1 Wy) + 4иху ихиу+

+ uyy(2e+(j + l)u2y+(1-l)ul)=0, (1)

где H > 1, е = 0, 1 или -1. Рассматриваемый круг задач и используемые методы большей частью принадлежат теории специальных трансцендентных функций, теории функций комплексного переменного и теории уравнений в частных производных.

Актуальность темы. Степень разработанности проблемы. Многие задачи анализа и геометрии «в целом» приводят к квазилинейным уравнениям, которые обладают квадратичной нелинейностью по отношению к первым производным. Особое место в изучении решений таких уравнений занимают так называемые глобальные (целые) решения или решения с минимальным набором особых точек. Данный класс решений, в том случае если он не пуст, описывает внутренний характер соответствующего уравнения, а также его симметричные и структурные свойства.

Задача о тривиальности целых решений квазилинейных уравнений в частных производных имеет обширную историю и фактически является одной из классических задач. Хорошо известная теорема С. Н. Бернштейна1 утверждает, что целыми решениями уравнения минимальных поверхностей

(1 + и2у) ихх - 2ихщ иху + (1 + и2х) ит = О

будут только линейные функции и(х, у) = ах + Ьу + с (здесь а, Ь, с — произвольные числа).

Глубокие обобщения данного феномена как для многомерного случая, так и для более широкого класса квазилинейных уравнений были получены в 60—80-е гг. О. А. Ладыженской, В. М. Миклюковым, Дж.Дж. Ниче, JI. Саймоном, Дж. Серрином, Дж. Симонсом, Р. Финном и многими

'Bernstein S.N. Sur un théorème de géometrie et ses application aux équations aux dérivées partielles du type elliptiqe / S. N. Bernstein // Comm. Soc. Math. Kharkov. 1915. N 15. P. 38—45.

другими математиками. Подробную библиографию по данному вопросу можно найти, например, в работе В. М. Миклюкова2.

Тем не менее, в недавнем обзоре по целым решениям3 показано, что основную трудность исследований составляют как проблема унификации методов для различных классов эллиптических уравнений, так и слабая изученность вопросов строения целых решений в тех случаях, когда они существуют. При этом особый интерес представляют уравнения, не являющиеся обобщением уравнения минимальных поверхностей (так называемый «неклассический случай»), для исследования которых требуется разработка новых и переосмысление известных методов.

В том же обзоре Л. Саймон приводит пример довольно широкого класса уравнений вариационного типа*, для которых выполняется свойство Бернштейна. Данный класс, с одной стороны, содержит уравнение минимальных поверхностей как частный случай, а с другой стороны, включает и уравнения, не относящиеся к уравнениям типа минимальных поверхностей.

Другой пример' «неклассического» уравнения был исследован Г. Аронссоном в рамках проблемы продолжения липшицевых функций. В 1964 г. он показал, что уравнение

и2хихх + 2ихуихиу 4- u^uyv = О

обладает, в терминологии работы Саймона, свойством Бернштейна, т.е. его С2-гладкие решения — линейные функции5. Однако позже, в 1984 г., для того же уравнения Г. Аронссон получает дискретное семейство нетривиальных квазирадиальных решений, имеющих гельдерову особенность в начале координат6, то есть решений класса С1'", где 0 < а < 1.

2Миклюков, В.М. Об одном новом подходе к теореме Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальных поверхностей / В.М. Миклкжов // Матем. сб. Т. 108(150):2. 1979. С. 263—289.

3Simon L., Asymptotics for exterior solutions of quasilinear elliptic equations/ L. Simon // Geometry from Рас. Rim. — Berlin ; New York: de Gruyter. 1997. P. 343—362.

4Термин взят из упомянутого обзора J1. Саймона.

5 Aronsson, G. On the partial differential equation иххи1+2ихуихиу + иууи1 = 0/ G. Aronsson// Ark. Mat. 1958. N 69. P. 395-425.

6 Aronsson, G. On certain singular solutions of the partial differential equation uxxu?x + 2uxyuxuy + uyyuJ = = 0/G. Aronsson// Manuscripta Math. 1984. N 47. P. 133—151.

Применяя тот же метод для исследования уравнения

«»*[(7 + 1 + (7 - 1 )и]) + 4ихуихиу + uw[(7 + 1 )и2у + (7 - 1)и*] = 0, (2)

где ¡7| > 1, Аронссон также установил наличие нелинейных целых решений вида и = rkN fN{0) в полярных координатах для некоторой 27г-периодической функции /дг(0), где N — произвольное натуральное число.

Однако полученное им параметрическое представление решений имеет сложный и неявный характер, а нахождение явного вида функции Jn(0) даже при N = 2 вызывает значительные трудности.

Используя альтернативный подход к исследованию уравнения (2), В. Г. Ткачев получил явный вид квазирадиальных ЛГ-решений в форме специальной алгебраической параметризации7:

и{х,у) = C\C\k{2N-V~N -Re(N, x + iy = mCICI2(jv_1) + C2W-1,. С ее.

Здесь С означает комплексное сопряжение, к = k(N, 7) - наибольший корень уравнения

(2N - 1)(7 + 1 )к2 - 2(7V27 + 2N- 1)к + iV2(l + 7) = О, N £ N,

и ц — fi(N,^f) — некоторый параметр, зависящий от N и 7. Как следствие доказано, что особенности квазирадиальных решений имеют алгебраический характер (что уточняет хорошо известный гельдеров характер особенностей р-гармонических функций). Кроме того, описаны все значения 7, при которых уравнение (2) допускает нетривиальные (т.е. отличные от линейных) алгебраические ^-решения и доказана конечность множества соответствующих индексов N при каждом фиксированном I7I > 1. При 7 = 1 доказано, что все А^-решения - алгебраические функции.

Целью работы является исследование вопроса существования целых решений квазилинейного уравнения (1) при условии эллиптичности типа уравнения и его неоднородности, а также исследование свойств полученных решений.

7Tkachev, V.G. Algebraic structure of 7-harmonic functions/V.G. Tkachev// Pacific Journal Math. 2006. N 1. V. 226. P. 179-200.

Методы исследования относятся к методам теории специальных трансцендентных функций, комплексного анализа, уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии. В частности, применяются методы, развитые в недавних работах Г. Аронссона, В. А. Клячина, В. М. Миклюкова, Л. Саймона, В. Г. Ткачева, С. Т. Яу.

Научная новизна и практическая значимость. Проблема существования нетривиальных целых решений широко исследована для уравнений нулевой средней кривизны и уравнений типа минимальных поверхностей. Среди уравнений других типов этот вопрос изучен не так детально, что связано преимущественно с отсутствием наработанных методов. В сеязи с этим проблема Бернштейна для исследуемого уравнения особенно интересна, тем более что оно является обобщением как уравнения минимальных поверхностей, так и уравнения (2): у первого все целые решения линейны, а второе имеет счетное семейство нетривиальных решений.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся изучением решений эллиптических дифференциальных уравнений, приложениями теории специальных трансцендентных функций, а также может найти применение в специальных курсах по математическому анатизу.

Основные результаты исследования, выносимые на защиту:

1. Получено явное параметрическое представление семейства решений уравнения (1) в терминах гипергеометрической функции Гаусса при [7| > 1 и в терминах вырожденной гипергеометрической функции при 7 = 1.

2. Показано, что построенные решения уравнения (1) являются С2-гладкими целыми функциями, а это означает невыполнение свойства Бернштейна.

3. Исследовано поведение построенных решений на бесконечности, в частности, установлен степенной характер роста.

4. Выявлена структурная связь между полученными решениями и гармоническими полиномами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из трех глав и библиографического списка из 31 наименования. Объем диссертации 95 страниц.

Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались на российских и международных конференциях: X международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2011 г.), семинаре-совещании «Сети в анизотропных пространствах» (Волгоград, 21—23 апреля 2011 г.), VIII международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2007 г.), VII международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2005 г.), Международной школе-конференции по Анализу и Геометрии (Новосибирск, 2004 г.), Международной конференции «Алгебра и Анализ 2004» (Казань, 2004 г.), Международной школе-конференции «Геометрический анализ и его приложения» (Волгоград, 2004 г.), а также на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2002-2005 гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (2002-2006 гг.).

Кроме того, все результаты докладывались в разное время на научном семинаре «Геометрический анализ и его приложения» кафедры МАТФ ВолГУ 'vpyK. д.ф.-м.н. В.М. Миклюков), на семинаре «Эллиптические дифференциальные уравнения на римановых многообразиях» (рук. д.ф.-м.н. А.Г. Лосев), на семинаре кафедры математического анализа Саратовского государственного университета (рук. д.ф.-м.н. Д.В. Прохоров).

Исследовательская работа «Новые примеры поверхностей нулевой средней кривизны в пространстве Лоренца Е|», представленная на XL Международную научную студенческую конференцию «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2002 г.) отмечена дипломом III степени.

Исследования по теме диссертации были поддержаны грантом РФФИ № 03-01-00304, грантом Федерального агентства по образованию для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов № А04-2.8-932, грантом математического факультета ВолГУ.

Публикации. Основные научные результаты, включённые в диссертацию, опубликованы в 11 печатных работах автора общим объемом 3,48 п.л. Одна из них опубликована в издании, рекомендованном Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. В совместных работах [1], [3] и [8] постановка задачи принадлежит научному руководителю В. Г. Ткачеву.

Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить глубокую благодарность за полезные обсуждения, замечания и постоянное внимание к работе научному руководителю д.ф.-м.н. В. Г. Ткачеву, а также д.ф.-м.н. А. А. Клячину, д.ф.-м.н. А. Г. Лосеву, д.ф.-м.н. В. М. Миклюкову, к.ф.-м.н. А. Н. Кондрашову и к.ф.-м.н. Е. А. Мазепе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Все утверждения и определения сохраняют принятую б основном тексте нумерацию. В работе рассматриваются проблема существования целых решений уравнения (1).

Глава 1 «Параметрическое представление решений квазилинейного уравнения». Первый параграф данной главы носит вводный характер. Здесь содержатся сведения, которые используются в работе, и напоминаются некоторые понятия теории специальных трансцендентных функций. В частности, дается определение эллиптичности типа квазилинейного уравнения, понятие преобразования Лежандра, определения и некоторые сведения о гипергеометрической функции Гаусса и вырожденной гипергеометрической функции Куммера. Кроме того, в первом параграфе приводятся вспомогательные результаты, касающиеся монотонности гипергеометрических функций и их композиций специального вида, некоторые числовые оценки, а также показано, что требование эллиптичности типа уравнения (1) равносильно условию sgn 7 = sgn е.

Во втором параграфе первой главы излагается метод построения семейства решений уравнения (1) в случае |7| > 1. Опишем кратко его суть.

Основная идея метода заключается в переходе от квазилинейного уравнения (1) к линейному уравнению в фазовой плоскости с помощью преобразования Лежандра

£ = их(х,у), г) = uv(x, у), г>(£, т)) = х^ + ут}- и(х, у).

Осуществив переход к фазовой плоскости, мы ищем решение полученного линейного уравнения

Щ [2е + (7 + 1W + (7 - 1)£2] - + ьщ [2е + (7 + 1)Ç2 + (7 - l)^] = 0

среди функций специального вида, а именно

*(Р,Ф) = НР) КФ),

где р, ф — полярные координаты в плоскости (£, г}).

С помощью непосредственных вычислений убеждаемся, что решение имеет вид

v(p, ф) = рк F (а, Ь- с; cos к ф,

где к = a F(a,b\c\t) — гипергеометрическая функция Гаусса

с параметрами

a = a(-y,N), b = b(j,N), c = c{N).

(Точные формулы для параметров приведены ниже в формулировке Теоремы 1.)

Параметрическое представление решения уравнения (1) получим, учитывая тот факт, что преобразование Лежандра обратно само к себе, т.е. переход от координат касательных плоскостей к координатам точек осуществляется с помощью соотношений

Х = Щ(£,Т1), y = Vr,(Ç,v), и = x^ + yrj — v(£,ri). (3)

При этом необходимо отметить, что преобразование Лежандра (3) задает, вообще говоря, многозначную функцию, поскольку является

однозначно определенным лишь локально, т.е. в окрестностях точек с невырожденным якобианом - (далее такие точки будем

называть неособыми). Таким образом, однозначность и глобальность решений уравнения (1), заданных построенным параметрическим представлением, не являются очевидными фактами и требуют доказательства.

Третий параграф первой главы посвящен построению решений предельного случая уравнения (1) — уравнения Саймона

ихх{ 1 + и\) + 2 uxyuxuy + Uyy(l + и2у) = 0, (4)

отвечающего значениям параметров 7 = s = 1. В частности, показано, что уравнение (1) является непрерывным по 7 в точке 7 = 1 и решение может быть получено предельным переходом 7 —► 1 + 0 в параметрическом представлении.

Основным результатом первой главы являются следующие утверждения.

Теорема 1.1. Пусть |7| > 1, N > 2 - произвольное натуральное число, k = -JL. и /(р) = ркр(а,Ь\с]-^рг), где F{a,b;c;t) - гипергеометрическая функция Гаусса с параметрами

« = + ^ги^-1) + 1 b = + с = fc + 1. Тогда параметрическое представление

х = A(p)cos(2JV-1)0 + 5 (р) cos 6>, у = A(p)sm(2N — 1)0 — В(р) sin 9, (6)

un = M (р) cos N6

задает непрерывную функцию uN(x,y), являющуюся решением уравнения (1) в окрестности неособых точек (р,в). Здесь

А{р) = ¡(f'(p)-äpf(p)), В(р) = ê (/'(Р) + |/(Р)) ,

М(р) = р/'(р)-/(р)-

Аналогичный результат справедлив и для предельного случая уравнения (1), соответствующего 7 = 1.

Теорема 1.2. Пусть N > 2 - произвольное натуральное число, к = дДу и /(р) = ркФ(а; с; — где Ф(а;с; —— вырожденная гипергеометрическая функция Куммера с параметрами

к-к2

а = —-—, с = к + 1.

Тогда параметризация (6)—(7) задает непрерывную функцию им(х,у), являющуюся решением уравнения (4) в окрестности неособых точек (р.в).

Определение 1.5. Решения уравнения (1) в форме (5) — (7) будем называть N -решениями.

Аналогичный термин будем применять и для решений уравнения (4).

Результаты первой главы опубликованы в работах [3], [7], [8], [9].

Глава 2 «Существование целых решений». Данная глава посвящена доказательству того факта, что построенные в первой главе решения уравнения (1) являются С2-гладкими целыми функциями аргументов х и у.

Отметим, что в этой и следующей главах предельный случай 7=1 отдельно не рассматривается, а полученные результаты справедливы в силу непрерывности параметризации А^-решений по параметру 7.

При доказательстве основных результатов второй главы существенную роль играет исследование поведения отображения специального вида. Определение 2.1. Отображение

W = (х(р,в),у(р,в)),

где х(р. 9), у(р,в) заданы (6), будем называть градиентным.

Выпишем явно параметрическое представление градиентного отображения. Получим

wfx(p,0)= А(р) cos(2N - 1)0 + В(р) cos в,

' \ у(р,в) = А(р) sm(2N - 1)в - В(р) sin в, '

где А(р), В(р) заданы соотношениями

А(Р) = \ (f\p) - -pf(p)j , В(р) = \ (f(p) + -pf(pfj ,

и

а параметры а, Ь, с заданы соотношениями (5),

Для функциональных коэффициентов А(р) и В(р) градиентного отображения W справедливы следующие утверждения.

Лемма 2.1. Пусть |7| > 1, к = N/(N — 1) и N — натуральное число, N > 2. Пусть также параметры а, Ъ, с удовлетворяют (5), а А{р) и В(р) определены равенствами (7). Тогда

(i) функция у положительна, возрастает npu^f > 1 (или отрицательна и убывает при 7 < — 1 ), и имеет место соотношение

lim А{Р) - ~а ■

Р~*+°оВ(р) —а + к'

(Н) функция В(р) положительна при всех р > 0, а А(р) сохраняет знак, причеши sgn А(р) = sgn7.

Лемма 2.2. Пусть |7| > 1, к = — 1), N > 2 — натуральное

число. Пусть также параметры а, Ъ, с удовлетворяют (5), а А(р) и В(р) определены равенствами (7). Тогда для любого р > 0 справедливы неравенства

а) < —1—•

(И) В > \А\ > О, В' > \ А'\ > О,

причем равенства в неравенствах пункта (и) достигаются только при р = 0.

Опираясь на эти леммы, получим следующие свойства градиентного отображения.

Лемма 2.3. Градиентное отображение IV инъективно переводит каждую окружность радиуса р > 0 в жорданову кривую, не проходящую через начало координат.

Лемма 2.4. Якобиан градиентного отображения отрицателен при

С^о.

Две последние леммы позволяют установить инъективность градиентного отображения, т.е. доказать, что полученные ЛГ-решения определяют графики.

Проводя при допустимых 7 оценку с учетом свойств А(р) и В(р), можно установить, что

> \в\ — |л| > сРк-1-а(1~е\

где С — некоторая ненулевая постоянная, £ = sgn7 и к — 1 — а(1 — е) > 0. Отсюда следует сюръективный характер отображения IV, а значит, будет справедлива теорема.

Теорема 2.1. Градиентное отображение №(£), заданное формулами (8), является гомеоморфизмом плоскости на себя.

Таким образом, теперь можно утверждать, что Лг-решения являются целыми непрерывными однозначными функциями. Чтобы оценить их гладкость, достаточно проверить существование и непрерывность производных в начале координат, поскольку вне этой особой точки параметризация (5) - (7) задает аналитическую функцию. Непосредственными вычислениями можно установить, что построенные функции и^ являются С2-гладкими в начале координат.

Таким образом, ЛГ-решения уравнения (1) являются нетривиальными целыми функциями, т.е. для исследуемого уравнения не выполнено свойство Бернштейна.

Основным результатом второй главы является теорема.

Теорема 2.2. Пусть |7| ^ 1, 7 ф -1 и е = 8ЯП7. Для любого натурального N существует целое С2-гладкое решение ин(х,у') уравнения

ихх (2е + (7 + 1) и2х + (7 - 1 )и2у) + Аиху ихиу+ +иуу (2е + (7 + 1) и2у + (7 - 1) и2х) = 0,

которое имеет на бесконечности степенной рост

ШН = с, С^О,

а^-ч-оо (а;2 + у2)а*,->/2

_14__(-^У — 1) ¡7 — 1|

"" ~ + ч/^(72-1) + (7У-1)2 - (ЛГ - 1)|7| ' 171

N2

=

Отметим, что в формулировку теоремы также включен случай N = 1, соответствующий тривиальным решениям и не рассматривавшийся самостоятельно.

Оценка роста решения на бесконечности получена классическими средствами математического анализа. Отметим также, что постоянная С в формулировке теоремы определяется соотношением

— uN(х, у)

(х2+у2)-»оо (а;2 + У2)«"/2 '

|7-1|в Г(Ь)Г(а-с)

2" (ал-,7 - 1) Г(с) Г(а — Ь)_ Результаты главы 2 опубликованы в работах [1], [6]. Глава 3 «Связь iV-решений и гармонических полиномов».

Данная глава посвящена изучению структурной связи гармонических полиномов и iV-решений.

Отметим, что гармонические многочлены вида

Re (х + iy)N

формально являются Аг-решениями уравнения (1) для несобственного значения параметра 7 = оо. В этом легко убедиться, воспользовавшись представлением уравнения (1) в операторном виде

еАи + -„ * .—7Д„и = О,

где

Для исследования связи между гармоническим многочленом и iV-решением рассмотрим вспомогательную функцию

~RezN

Q = — (9)

COST

и исследуем ее поведение на кривых специального вида.

Определение 3.1. Пусть отображение W : (р,в) —> (х, у) задается формулой (8). Множество

А2{р) + В\р) + 2А(р)В(р) cos 2N6 = R2 (ю)

будем называть окружностью в фазовой плоскости радиуса R. Во-первых, будет справедлива следующая лемма.

Лемма 3.2. Функция Q, определенная соотношением (9), положительна при р > 0.

Во-вторых, функция Q удовлетворяет неравенствам

Qo<Q<Q%, при 7 > 1; Qf < Q < Qo, при 7 < —1,

где Qo и Q| — значения Q в точках на окружностях фазовой плоскости радиуса R, в которых т = 0 и т = тг/2.

Опираясь на последнюю оценку, можно доказать справедливость следующей теоремы.

Теорема 3.1. Пусть Ы > 1 и е — sgiry, N > 2 — произвольное натуральное число, a uN(z) = ил-(а;,у) — решение уравнения (1), задаваелюе параметризацией (5)—(7).

Тогда имеет место разложение

uN(z) = UN(z)RezN, (11)

где Un(z) — некоторая положительная непрерывная функция, причем, Un(z) ограничена сверху при 7 > 1:

0 < UN(z) < МО) = 1 NJ ■ (12)

При 7 < — 1 эта функция удовлетворяет неравенству

un(z) > un(0). (13)

Отметим, что в данной теореме подразумевается, что z = х + гу и х, у, им определяются параметрическим представлением (5)—(7). Тогда функция [Zjv может быть представлена в виде

u un r= p\b+{2n-1)a) N Rez^ NQ(P,t)

15

что позволяет использовать свойства

Конец третьей главы посвящен применению используемой методики к исследованию уравнений минимальных поверхностей. Было построено счетное семейство функций, имеющих структуру, аналогичную структуре ДТ-решений уравнения (1). Кроме того, показано, что полученные ДГ-решения уравнения минимальных поверхностей заключены в цилиндр, т.е. справедливо неравенство

Результаты третьей главы опубликованы в работах [2], [5], [11].

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ

1. Зорина, И.А. О целых решениях квазилинейных уравнений с квадратичной главной частью/ И. А. Зорина, В.Г. Ткачев // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2008. — № 3. — С. 108-123 (0,94 п.л.).

Публикации в других изданиях

2. Зорина, И.А. О связи целых решений уравнения Саймона и гармонических полиномов / И.А. Зорина // Избранные труды молодых ученых математического факультета ВолГУ, апрель 2005 г. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. - С. 16-19 (0,24 п.л.).

3. Зорина, И.А. Целые решения уравнения Саймона / И.А. Зорина, В.Г. Ткачев //Геометрический анализ и его приложения : труды международной школы-конференции, г. Волгоград, 24—30 мая 2004 г. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2005. - С.55-74 (1,17 п.л.).

4. Зорина, И.А. Примеры максимальных периодических поверхностей в / И.А. Зорина // Вестник ВолГУ. Серия 9: исследования молодых ученых. - 2003. - № 1. - С. 17-20 (0,24 п.л.).

5. Романова, И.А. iV-решения уравнения минимальных поверхностей / И.А. Романова ,// Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : материалы X международной Казанской летней научной школы-конференции — Казань : Изд-во Казанского математического общества; Изд-во Казанского государственного университета 2011 — Т. 43. - С. 308-309 (0,12 пл.).

6. Зорина, И.А. О целых решениях одного класса квазилинейных уравнений / И.А. Зорина // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского : материалы VIII международной Казанской летней научной школы-конференции — Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2007. - Т. 35. - С. 112-113 (0,12 п.л.).

7. Зорина, И.А. О связи целых решений уравнения Саймона и гармонических полиномов / И.А. Зорина // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского : материалы VII международной Казанской летней научной школы-конференции — Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2005. — Т. 30. — С. 80—31 (0,12 п.л.).

8. Зорина, И.А. Строение целых решений уравнения Саймона / И.А. Зорина, В.Г. Ткачев // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика Ю. Г. Решетняка. — Новосибирск: Институт математики имени С. Л. Соболева СО РАН, 2004. - С. 105-106 (0,12 п.л.).

9. Зорина, И.А. Вырожденная гипергеометрическая функция и решения квазилинейных уравнений / И.А. Зорина // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского : материалы международной конференции — Казань: Издательство Казанского математического общества 2004 — Т.2-3 - С.94—95 (0,12 п.л.).

10. Зорина, И.А. Новые примеры поверхностей нулевой средней кривизны в пространстве Лоренца / И.А. Зорина // Материалы XL международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2002. — С. 54—56 (0,17 п.л.).

11. Зорина, И.А. Некоторые максимальные периодические поверхности в пространстве Лоренца / И.А. Зорина // Материалы VII межвузовской конференции студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской

области, г.Волгоград, 12—15 ноября 2002 г. Вып.4: Физика и математика. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2002. - С. 49-50 (0,12 п.л.).

Подписано в печать 09.04.2012. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 130 экз. Заказ 87.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062 Волгоград, просп. Университетский, 100. E-mail: izvolgu@volsu.ru

61 12-1/1076

Федеральное государ^^спиие оюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Волгоградский государственный университет

На правах рукописи УДК 517.956

Романова Ирина Андреевна

СУЩЕСТВОВАНИЕ ГЛОБАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

(01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н. Ткачев В.Г. Научный консультант: д.ф.-м.н. Клячин A.A.

Волгоград 2012

Оглавление

Введение 4

1 Параметрическое представление решений квазилинейного уравнения 16

1.1 Вспомогательные результаты.................................16

1.1.1 Уравнения эллиптического типа ..................17

1.1.2 Преобразование Лежандра ..............................18

1.1.3 Гипергеометрическая функция Гаусса........................19

1.1.4 Монотонность композиций гипергеометрических функций . 23

1.1.5 Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера . . . 27

1.1.6 Связь гипергеометрической функции Гаусса и функции Куммера .............................................30

1.1.7 Некоторые числовые оценки параметров полученных гипергеометрических функций ............... ..... 30

1.2 Построение решений квазилинейного уравнения ..................34

1.2.1 Переход к фазовой плоскости.........................35

1.2.2 Решение линейного уравнения в фазовой плоскости .... 37

1.2.3 Параметрическое представление построенных решений ... 43

1.3 Решения уравнения Саймона........................................45

2 Существование целых решений 47

2.1 Свойства градиентного отображения................................47

2.1.1 Свойства функциональных коэффициентов градиентного отображения ..........................................................48

2.1.2 Разложение в ряды функциональных коэффициентов параметризации решения квазилинейного уравнения .......53

2.1.3 Локальная инъективность градиентного отображения и оценка знака его якобиана.............................55

2.2 Глобальная инъективность градиентного отображения............58

2.3 Оценка гладкости решения в начале координат....................59

2.4 Оценка роста решения на бесконечности .......................65

2.5 Замечания о росте решения..............................68

2.6 Теорема существования ..............................................69

3 Связь УУ-решений и гармонических полиномов 73

3.1 Предварительные замечания...... .............................73

3.2 Представление гармонических полиномов в терминах параметризации решения.............................................74

3.3 Поведение функций специального вида .............................75

3.3.1 Положительность вспомогательной функции ..............77

3.3.2 Поведение вспомогательной функции на кривых специального вида.................................................80

3.4 Связь А^-решений и гармонических полиномов .......... 85

3.5 Замечание о минимальных поверхностях....................90

Литература 92

Введение

Данная работа посвящена изучению качественных свойств целых, т.е. определенных во всей плоскости аргументов {х,у), решений квазилинейного уравнения

ЬЪ£[и] = ихх (2£+(7+ 1)и2х + (7 - 1 )и2у) ху ихиу +

+ иуу(2£+(1 + 1)и2у + {1-1)и2х) =0, (1)

где |7| > 1, е — 0, 1 или — 1.

Актуальность. Многие задачи анализа и геометрии «в целом» приводят к квазилинейным уравнениям, которые обладают квадратичной нелинейностью по отношению к первым производным. Особое место в изучении свойств решений таких уравнений занимают так называемые целые решения или решения с минимальным набором особых точек. Данный класс решений, в том случае если он не пуст, описывает внутренний характер соответствующего уравнения, а также его симметричные и структурные свойства.

Задача о тривиальности целых решений квазилинейных уравнений в частных производных имеет обширную историю и является, фактически, одной из классических задач. Хорошо известная теорема С. Н. Бернштейна [27] утверждает, что целыми решениями уравнения минимальных поверхностей

(1 + и2) ихх - 2ихиу иху + (1 + и2х) иуу = 0 будут только линейные функции и(х, у) = ах + Ъу + с (здесь а, 6, с — числа).

Глубокие обобщения данного феномена как для многомерного случая, так и для более широкого класса квазилинейных уравнений были получены в 60-80-х г.г. О. А. Ладыженской, В. М. Миклюковым, Дж.Дж. Ниче, Л. Саймоном, Дж. Серрином, Дж. Симонсом, Р. Финном, и многими другими математиками. Подробную библиографию по данному вопросу можно найти, например, в [17].

Тем не менее, в недавнем обзоре по целым решениям [30] показано, что основную трудность исследований составляют как проблема унификации методов для различных классов эллиптических уравнений, так и слабая изученность вопросов строения целых решений в тех случаях, когда они существуют. При этом, особый интерес представляют уравнения, не являющиеся обобщением уравнения минимальных поверхностей (так называемый «неклассический случай»), для исследования которых требуется разработка новых и переосмысление известных методов.

В том же обзоре Л. Саймон приводит пример довольно широкого класса уравнений вариационного типа}, для которых выполняется свойство Берн-штейна. Данный класс, с одной стороны, содержит уравнение минимальных поверхностей как частный случай, а с другой стороны, включает и уравнения, не относящиеся к уравнениям типа минимальных поверхностей ([30, стр. 349-350]).

Другой пример «неклассического» уравнения был исследован Г. Аронссо-ном в рамках проблемы продолжения липшицевых функций. В 1964 г. он показал [24], что уравнение

2 2 ^х^хх ^^ху^х^у ^у^уу = 0

обладает, в терминологии работы [30], «свойством Бернштейна», т.е. его С2-гладкие решения — линейные функции. Однако позже, в 1984 г., для того же уравнения Г. Аронссон получает дискретное семейство нетривиальных квазирадиальных решений, имеющих гельдерову особенность в начале ко-

^ермин взят из статьи Л. Саймона [30]

ординат [25], то есть решений класса С1,а, где 0 < а < 1. Применяя метод работы [25] в исследовании уравнения

ихх((7 + 1 )и2х + (7 - + 4ихуихиу + иуу{{7 + + (7 - = (2)

где | 7 | > 1, Г. Аронссон также установил наличие нелинейных целых решений вида и = гкм/дг {0) в полярных координатах для некоторой 27г-периоди-ческой функции /дг(0)> гДе произвольное натуральное число.

Однако, полученные им представления решений имеют сложный и неявный характер, получение явного вида функции /дг(0) даже при N = 2 вызывает значительные трудности.

Используя альтернативный подход к исследованию уравнения (2) В. Г. Ткачев [31] получил явный вид квазирадиальных iV-решений в форме специальной алгебраической параметризации:

и(х,у) = СК^-»-" • ReCV х + гу = К1СГ"1» + С™-\ С 6 С.

Здесь С означает комплексное сопряжение, к = k(N, 7) - наибольший корень уравнения

(2N - 1)(7 + 1 )к2 - 2(А27 + 2N - 1 )к + iV2(l + 7) = О, N £ N,

и ¡л = /i(iV, 7) — некоторый параметр, зависящий от N и 7. Как следствие, доказано, что особенности квазирадиальных решений имеют вполне алгебраический характер (что уточняет хорошо известный гельдеров характер особенностей р-гармонических функций). Кроме того, описаны все значения 7, при которых уравнение (2) допускает нетривиальные (т.е. отличные от линейных) алгебраические iV-решения и доказана конечность множества соответствующих индексов N при каждом фиксированном ¡7) > 1 (при 7=1 доказано, что все TV-решения - алгебраические функции).

Цель работы. По проблематике диссертационная работа относится к очерченному направлению. Целью работы является построение семейства

целых решений уравнения (1) для |7|>1,7 = 1и£т^0и исследование качественных свойств и структурного строения полученных решений.

Методика исследования. Методы исследования относятся к методам структурной теории свойств целых решений, уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии, теории специальных трансцендентных функций. В частности, применяются методы, развитые в недавних работах Г. Аронссона, В. А. Клячина, В. М. Миклюкова, В. Г. Ткачева, Л. Саймона, С. Т. Яу.

Научная новизна и практическая значимость. Отметим, что исследуемое уравнение (1) охватывает широкий спектр уравнений геометрии (поверхности нулевой средней кривизны), нелинейной теории потенциала (уравнения р-Лапласа), газодинамики и др. Для уравнений подобного вида проблема существования нетривиальных целых решений относительно мало изучена ввиду отсутствия сложившейся методологии, каких-либо стандартных подходов как, например, в теории уравнений типа минимальных поверхностей.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся изучением специальных трансцендентных функций, решений эллиптических дифференциальных уравнений, а также найти применение в специальных курсах по математическому анализу.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Получено явное параметрическое представление семейства решений уравнения (1) в терминах гипергеометрической функции Гаусса при [7! > 1 и в терминах вырожденной гипергеометрической функции при 7 = 1.

2. Показано, что построенные решения уравнения (1) являются С2 -гладкими целыми функциями, а это означает невыполнение свойства Бернштейна.

3. Исследовано поведение построенных решений на бесконечности, в частности, установлен степенной характер роста.

4. Выявлена структурная связь между полученными решениями и гармоническими полиномами.

Апробация исследования.

Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных конференциях: X международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2011), семинаре-совещании «Сети в анизотропных пространствах» (Волгоград, 21 - 23 апреля 2011 г.), VIII международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2007), VII международной Казанской летней научной школ е-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2005), на Международной школе-конференции по Анализу и Геометрии (г. Новосибирск, 2004), на Международной конференции «Алгебра и Анализ 2004» (г. Казань, 2004), на Международной школе-конференции «Геометрический анализ и его приложения» (г. Волгоград, 2004), а также на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2002-2005 гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (2002-2006гг.).

Кроме того, все результаты докладывались в разное время на научном семинаре «Геометрический анализ и его приложения» кафедры МАТФ ВолГУ (рук. д.ф.-м.н. В.М. Миклюков), на семинаре «Эллиптические дифференциальные уравнения на римановых многообразиях» (рук. д.ф.-м.н. А.Г. Лосев), на семинаре кафедры математического анализа Саратовского государственного университета (рук. д.ф.-м.н. Д.В. Прохоров).

Исследовательская работа «Новые примеры поверхностей нулевой средней кривизны в пространстве Лоренца®!»; представленная на ХЬ Международную научную студенческую конференцию «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2002 г.) отмечена дипломом III степени.

Кроме того, на конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ работы автора неоднократно удостаивались призовых мест: «Некоторые максимальные периодические поверхности в пространстве Лоренца Мг,» удостоена III места среди студенческих работ в 2002 г.; «Поверхности нулевой средней кривизны, допускающие периодическую структуру» отмечена дипломом I степени в 2003 г.; «О связи целых решений уравнения Саймона и гармонических полиномов» отмечена дипломом I степени (2004 г.).

Исследования по теме диссертации были поддержаны грантами РФФИ №03-01-00304 и Федерального агентства по образованию для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов ЖА.04-2.8-932, математического факультета ВолГУ.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из трех глав и библиографического списка из 31 наименования. Объем диссертации 95 страниц.

Содержание диссертации.

В первой главе приводятся вспомогательные сведения, доказываются некоторые числовые неравенства, необходимые в работе, а также приводится метод построения решений уравнения (1).

Вторая глава содержит доказательство невыполнения свойства Берн-штейна для уравнения (1), а именно показано, что построенные в первой главе решения являются целыми С2 -гладкими функциями. Кроме того, исследован характер роста решений на бесконечности.

В третьей главе показана структурная связь между построенными ре-

-хотениями и гармоническими полиномами.

Перейдем к точным формулировкам полученных результатов. При исследовании квазилинейного уравнения (1) мы ограничиваемся случаем эллиптичности его типа. Это равносильно тому, что е и 7 должны иметь одинаковые знаки

5 = sgn 7.

Для построения решений уравнения (1) мы используем подход, аналогичный методу работ [24], [25], [26] и примененный для получения целых решений при s = 0 в [31]. Суть его сводится к следующему.

Перейдем к фазовой плоскости с помощью преобразования Лежандра [16, стр. 43]

£ = их{х,у), г] = иу(х,у)7 v(Ç,rj) = xÇ + yrj - и(х,у).

При этом отображении квазилинейное уравнение (1) примет вид линейного уравнения

Vtf [2£ +(7 + 1W + (7 - 1)£2] -

+ V/[2£+(7+l)e2 + (7-l)^2] =0,

решениями которого для | 7 | > 1 являются функции вида

v(p: в) = рк F (a, b; с; cos N6,

2

где 1 < к < 2, а

F(a, b; с; -Ц-V) = 2^1 (а, Ь; с; Р2)

гипергеометрическая функция с параметрами, заданными равенствами

с = к + 1. В случае 7=1 квазилинейное уравнение

1x^(1 + и2) + 2 ихуихиу + иуу(1 + и2) = 0

будет преобразовано в

4(1 + Т72) - 2^77 + v'^il + = 0.

Соответственно, решением данного уравнения будет

к - к2 п2

у(р, в) = рк ФС-у, 1 + A;; -Ç) COS M?,

где 1 < к < 2 и 1 + к] — вырожденная гипергеометрическая

функция.

Таким образом, поскольку обратное преобразование к преобразованию Лежандра само является пробразованием Лежандра, решение квазилинейного уравнения (1) будет определяться параметризацией

£ = ^(£,7?), y = vv(Ç,r}), u = x£ + yri-v(Ç,r)).

Тем не менее, следует отметить, что преобразование Лежандра возможно только в точках, для которых якобиан У^Ущ — v2rj не обращается в нуль. Такие точки будем называть неособыми.

И будет справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть |7| > 1, iV > 2 - произвольное натуральное число, к = jj^j и f(p) = pkF{a, 6; с; — ^ р2), где F(a} 6; с; t) — гипергеометриче-скал функция Гаусса с параметрами

« = ^ + 72-l) + lY

Ъ = + ^ + 72-1) + I],

с = k + 1. Тогда параметрическое представление

х = А(р) cos(2N- 1)9 + В(р) cos в, у = A{p)sm(2N-l)e-B(p)sme, (1.4)

идг = М{р) cos N9,

задае?п непрерывную функцию ujy(x, у), являющуюся решением уравнения (1)

в окрестности неособых точек (р,6). Здесь

Л(Р) = 1(Г(Р)-!Р(Р)) В{р) = +

М(р) = рГ(р)-Пр)-

(1.5)

Определение 1.5. Решения уравнения (1) в форме (1.3) — (1.5) будем называть N -решениями.

Следует отметить, что, в силу метода построения, а-рпоп не известно будет ли построенное решение являться целым и, вообще говоря, однозначным. Доказательство этих фактов требует более тонкого анализа и связано с исследованием свойств отображения

которое в дальнейшем будем называть градиентным. Также будем использовать комплексную форму отображения, полагая, что С = £+¿7?, а IV = х+гу.

В свою очередь, изучению поведения отображения \¥ предшествует исследование монотонных свойств гипергеометрических функций и их комбинаций специального вида.

Особую роль играют следующие леммы.

Лемма 2.1. Пусть |7| > 1,к = N/(N—1) для натуральных N > 2. Пусть также параметры а, Ъ и с удовлетворяют (1.3), а А(р) и В(р) определены равенствами (1.5). Тогда

(г) функция -щ^у положительна, возрастает при 7 > 1 (или отрицательна и убывает при 7 < — 1), и имеет место соотношение

р-^+оо В{р) —а+к'

(%%) функция В(р) положительна при всех р > 0, а А(р) сохраняет знак, причем sgn А(р) = sgn7.

—а

Лемма 2.2. Пусть | 7 | > к — N/[И — 1) для натуральных N > 2. Пусть также параметры а, Ъ и с удовлетворяют (1.3), а А(р) и В(р) определены равенствами (1.5). Тогда для любого р ^ 0 справедливы неравенства:

А(р) В(р)

£ 1

И(п\ ^ 2Л/-1'

(и) О, В' > \А'\ ^ О.

Причем равенства в неравенствах пункта (и) достигаются только при /о = 0.

С помощью этих двух результатов получены следующие свойства градиентного отображения .

Лемма 2.3. Градиентное отображение \У инъективно переводит каждую окружность радиуса р > Об жорданову кривую, не проходящую через начало координат.

Лемма 2.4. Якобиан градиентного отображения отрицателен при

С^о.

Теорема 2.1. Градиентное отображение является гомеоморфизмом

плоскости на себя.

Отметим, что из теоремы 2.1, следует, что построенные решенияидг(ж, у) являются однозначно определенными функциями, заданными на всей плоскости аргументов х, у. В свою очередь, свойство С2-гладкости и оценка роста решения на бесконечности устанавливаются непосредственными вычислениями.

Таким образом, можно сформулировать основной результат главы 2.

Теорема 2.2. Пусть 171 ^ 1; 7 — I и е = sgn7. Для любого натурального N существует целое С2 -гладкое решение и^(х,у) уравнения (1), которое имеет на бесконечности степенной рост

им{х,у)

Нт . = С, С ф 0,

где

а =1ь_(N-l)|7-l|_

VN4l2 -1) + (N - I)2 - (N - 1)1 7 I '

Остановимся на двух моментах формулировки теоремы. Во-первых, значению N = 1 отвечают линейные решения уравнения (1). Однако они не входят в построенное семейство (1.3) — (1-5) и, вообще говоря, считаются тривиальными, поскольку их наличие предусматривается свойством Бернштейна.

Во-вторых, случай 7 = 1 отвечает уравнению Саймона

Uxx{ 1 + и2) + 2 UxyUxUy + Uyy{ 1 + и2 ) = 0, (6)

задача о существовании нетривиальных решений которого была поставлена в [30] в