Свидетельство однозначности для системы дифференциальных уравнений в частных производных для переноса носителей зарядов в полупроводниках тема автореферата и диссертации по , 01.00.00 ВАК РФ

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EINZIGKEIT SAU SSA GM FÜR EIN SYSTEM PARTIELLER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN FÜR DEN LADUNGSTRÄGERTRANSPORT IN HALBLEITERN

Dissertation (A)

zur Erlangung des akademischen Grades „Doktor eines Wissenschaftszweiges"

vorgelegt der Akademie der Wissenschaften der DDR

von Olga Fiedler, geb. am 17.10.1956 "in Sowjetskaja Gawan, UdSSR

Gutachter:

AM Prof. Dr. H. Ga^ewski Prof. Dr. A.P. Oskolkoy Doz. Dr. H.-G. Roos

Президиум ВАК России

{решение от" № • 06 Л 9 решил выдать диплом КАНДИДА.!/'

наук

И&ЩАытк управления ВАК России

Für viele wertvolle Ratschläge und Hinweise möchte ich mich besonders bei Herrn AM Prof.Dr.sc. H. Gajewski bedanken, anter dessen Anleitung die Dissertation entstanden ist und der dadurch wesentlichen Anteil an ihrem Zustandekommen hat. Außerdem möchte ich für die umfassenden Diskussionen der im III. Kapitel erzielten Ergebnisse Herrn Dr.sc. K. Gröger meinen herzlichen Dank ausdrücken.

IÜI JsSis

INHALTSVERZEICHNIS

apitel I. Einführung

apitel II. Das stationäre Problem

2.1. Aufgabenstellung. Voraussetzungen. Einige Vorschläge zum Berechnen von

f Schranken für die Lösung

2.2. Einige Kontraktionsbedingungen für die nichtlineare G-ummel-Abbildung

2.2.1. Resultate

2.2.2. Beweise

2.2.3. Konkretisierung und Anwendung

2.3. Einige Kontraktionsbedingungen für die „1inearisierte" Gummel-Abbildung

2.3.1. Aufgabenstellung

2.3.2. Besultate

2.3.3. Beweise

2.4. Zur Einzigkeit im eindimensionalen Eall

pitel III. Das instationäre Problem

3.1. Aufgabenstellung. Voraussetzungen

3.2. Der Existenz- und Einzigkeitssatz

¿eraturverzeichnis

Seite 2

10

10

15 15 23 32

35

35

36 41 47

55 55 59

72

KAPITEL I EINFÜHRUNG

XU der vorliegenden Arbeit wird ein System von partiellen Differentialgleichungen für den Ladungsträgertransport in Halbleitern untersucht. Wir bezeichnen mit IR (d<3) den d-dimensionalen Euklidischen Raum und mit GCß ein beschränktes Gebiet, das die Anwendung der Sobolevschen Einbettungssätze und die partielle Integration zuläßt. Die im weiteren auftretenden reellwertigen Punktionen seien auf G definiert. Wir werden die Gleichungen der inneren. Elektronik in der folgenden Form betrachten:

V_M2

-V-teVv) = f + U. - u

2

M^-v

u^ = e j Ii 2 = e

^u "öu

1 = -\7-j»-H

-H

J = u1+ JM1u1\7v)

J2 = Z>2Vu-2

in (R x G +

(1.1) (1.2) (1.3)

Dabei bezeichnen:

v

a1'a2 C

H>D2

das elektrostatische Potential,

die Dichten der Löcher und Elektronen,

die Eermi-Potentiale der Löcher und Elektronen,

die Dotierung, '

die Stromdichten der Löcher und Elektronen,

/

die Rekombinationsrate7, die Dielektrizitätskonstante,

die Diffusionskoeffizienten der Löcher und Elektronen, die Beweglichkeiten der Löcher und Elektronen.

Wir wählen ein geeignetes System von Maßeinheiten für die Gleichungen (1.1) - (1.3), so daß die Elektronenladung gleich 1 ist.

pprnfirkung 1.1.

Falls die Diffusionskoeffizienten mit den Beweglichkeiten durch die Einstein-Eelation

T) — V ö Iii

1,2" KB ^J '1,2

verbunden sind, in der kg and Q die Boltzmannsche Konstante bzw. absolute Temperatur bedeuten, ist es günstig, bei dem stationären Problem die Stromausdrücke in (1.2), (1.3) in der Form

-ju1 u1\7H'1

-ju2 u^

X/4>.

(1.4)

(1.5)

zu betrachten.

Der Eand des Gebietes G soll sich aus zwei durchschnittsfremden Teilen f-pv und P zusammensetzen:

^G = (pUr,.^nr= 0 , mes(rD)>0 . _

Auf dem P^-Teil sollen Dirichletsche Randbedingungen vorgegeben sein, auf dem Rest des Randes - Neumannsche. Bei der instationären Aufgabe können die Eandbedingungen zeitabhängig sein. Die Anfangswerte u^(x,0),U2(x,0),xeG , seien nichtnegativ.

/

Die Gleichungen des Ladungsträgertransportes in Halbleitern wurden

zuerst durch VAH ROOSBEOECK [22] im Jahre 1950 angegeben. Die

/ ^

ersten Untersuchungen zur Lösung dieser Gleichungen wurden 1964 ..von GUMMEL [ll] veröffentlicht.

Initiator der mathematischen Untersuchungen der stationären und instationären Gleichungen der inneren Elektronik war M.S. MOCK.

972 hat er in ¡16] unter den einschränkenden Bedingungen

jA/j 2 = const , E = 0 ,

ie Existenz einer Lösung des stationären Problems nachgewiesen, es weiteren haben SEIDMAU [23] und GAJEWSKI [6] allgemeinere ixistenzresultate erzielt. Bei den Resultaten von GAJEWSKI [ß] st E £ 0 , und die Beweglichkeiten dürfen von der elektrischen

'eidstärke abhängig sein: ju^ ^ Sein Beweis ba~

iert auf dem Maximum-Prinzip und auf der Leray-Schauder-Theorie ber den Abbildungsgrad.

iie Einzigkeit der Lösung des stationären Problems ist im allge-teinen aus physikalischen Gründen nicht zu erwarten. Insofern be-nihte man sich, solche einschränkende Bedingungen für die Eingangsdaten der Aufgabe zu finden, welche die Einzigkeit garantieren.

,972 hat MOCK die Einzigkeit der Lösung und die Konvergenz der fummel-Eolge gegen -diese Lösung in der Hähe des thermodynamischen rleichgewichts-gezeigt ( [16]). Sein Beweis basiert auf der Mono-;onie der Abbildung v[u^,u2], wobei [u^^j die Lösung des Systems (1.1) - (1.3) unter entsprechenden Randbedingungen für sine gegebene Punktion v ist.

I985 untersuchte GAJEWSKI [7] folgende Abbildung:

[^,^2] -^[jM2(y-J1+E), JU^-VÄE)] .

Sein Einzigkeitsbeweis basiert auf der Monotonie dieser Abbildung. >abei wurde auch eine Iterationsprozedur angegeben, die unter bestimmten Bedingungen gegen die einzige Lösung konvergiert.

JEROME [13] hat 1985 die Einzigkeit der stationären Lösung für konstante Beweglichkeiten gezeigt, indem er die Lipschitz-Konstante

¿ei Gammel-Abbildung

-> [vdVva2]

untersuchte. Die Lösung des Problems wird als Fixpunkt dieser Abbildung definiert. Dann folgt aus dem Banachschen Fixpunktsatz die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung, sobald die Lipschitz-Konstante L<1 ist, wobei

L - d5/2e^ max(e?,e^) , (1.6)

hier sind:

d - der Durchmesser des Gebietes G ,

v,v - untere und obere Schranken für v ,

c - eine Konstante, die nur heuristisch begründet werden kann.

Die Picard—Iterationen konvergieren dann gegen die einzige Lösung. Bei JEROME wird aber eine einschränkende Voraussetzung über die Eegularität des Randes getroffen: obwohl vom Gebiet G nicht verlangt wird (wie bei MOCK in [16],[19]), rechteckig zu sein, dürfen jedoch die Singularitäten der Gradienten von in denjenigen

Punkten, in denen die Art der Randbedingung von Dirichlet auf Heumann wechselt nicht schlechter als er""1/2 sein; r bedeutet hier den kleinsten Abstand zu.einem solchen Randpunkt und die Konstante c ist dieselbe wie in (1.6).

Das Hauptanliegen der vorliegenden Arbeit ist, die Lipschitz-Konstanten für die Gummel-Abbildung so abzuschätzen, daß die oben genannten Singularitäten entweder nicht explizit auftreten, oder -falls sie doch berücksichtigt werden müssen - eine wesentlich schwächere (als bei Jerome) Einschränkung an die Geometrie des Gebietes erfordern.

Vor kurzem ist es Gajewski (mündliche Mitteilung) gelungen, einige solche Lipschitz-Konstanten zu finden, in die die Singularitäten

M?

ex Gradienten von v-fy, tatsächlich nicht eingehen. Außerdem

Önnen alle Daten, aus denen sich diese Lipschitz-Konstanten zu-ammensetzen, im Unterschied zu Jerome, genau ausgerechnet werden. :s hat sich herausgestellt, daß man auf ähnlichem Wege mindestens och drei weitere Lipschitz-Konstanten ermitteln kann, die von-inander unabhängig sind. Im Punkt 2.2 des II. Kapitels der vorlegenden Arbeit werden alle diese Lipschitz-Konstanten ausgerech-et. Günstigere Ergebnisse wurden im Vergleich zu Jerome-Ergebnissen adurch erzielt, daß zum einen mit physikalisch motivierten gewich-eten Uormen gearbeitet wurde, und zum anderen, daß die Testfunkionen für die Stromgleichungen geeigneter gewählt wurden. Die -Beweglichkeiten jM^(i=1,2) dürfen von den Gradienten der Permi-'otentiale abhängig sein.

KERKHOVEI 1986 analysiert in [14] die Konvergenzgeschwindigkeit es Gummel-Algorithmus bezüglich der lf* -Norm. Im Unterschied zu EROME [13 } sind die L°°-Abschätzungen für v nicht von der ibtierung f abhängig. Dies ermöglicht ihm im eindimensionalen 'all eine beträchtliche Reduzierung der Kontraktionskonstante L ür die Gummel-Abbildung.

»ie Analyse in [14j zeigt, daß die Konvergenz des Gummel-Verfahrens ^eder von der Art der Randbedingungen, noch von der Dotierung f ,

abhängig

¡ondern nur von der Variation der Potentiale e ,st.

ber während die theoretischen Untersuchungen zeigen, daß das Gummel-'erfahren nur im Fall der beschränkten Variation der Potentiale

, e konvergiert, deuten Sumerische Untersuchungen darauf in, daß die Konvergenz z.B. im zweidimensionalen Fall ohne Ein-¡chränkungen gilt. Das ist ein Problem, das immer noch offen bleibt, »ie theoretischen Untersuchungen in ^14] zeigen außerdem, daß die "onvergenzgeschwindigkeit des Gummel-Verfahrens immer langsamer

i*a, De mehr man sich der gesuchten Lösung nähert. Dieses Phäno-en hat man schon bei numerischen Untersuchungen beobachtet, le Kerkhovenschen Ergebnisse legen nahe, das Gummel-Verfahren 4t dem Newton-Verfahren zu koppeln, nämlich so, daß man mit inigen Gummel-Schritten startet, und dann, sobald die Konvergenz nachläßt, zum Newton-Schema wechselt. Diese Arbeitsweise iat Bich schon in der Praxis günstig bewährt.

[n der vorliegenden Arbeit begründen wir diese Kombination theoretisch. Wir stellen Bedingungen an die Daten und an die schon vorhandene Näherungslösung, die uns die eindeutige Bestimmung ler nächsten Näherung mit Hilfe des.Newton-Verfahrens garantie. Das beim Newton-Verfahren entstehende linearisierte Glei-hungssystem für die Zuwächse in der Näherungslösung wird nach Gammel entkoppelt. Um die Konvergenz dieses „linearieierten Gummel-Verfabrens" nachweisen zu können, wenden wir die gleiche Strategie an, die wir für den Konvergenznachweis des nichtlinearen Gummel-Verfahrens im Punkt 2.2. benutzt haben. Im Pkt.2.3 werden vier Lipschitz-Konstanten L der^linearisierten Gummel-Abbildung ausgerechnet. Die Bedingung L<1 garantiert dann die Einzigkeit der Näherungslösung,, die mit dem Newton-Verfahren ausgerechnet wird.

cen

c

Naheliegend war nun die Frage:

Kann man die stationären Gleichungen der inneren Elektronik so vereinfachen und die Randbedingungen so wählen, daß die Einzigkeit im allgemeinen, d.h. ohne einschränkende Bedingungen, nachweisbar ist?

Mit diesem Problem beschäftigen wir uns im Punkt 2.4.. Zu positiven Aussagen kommen wir dabei aber nur über die Einzigkeit einer „regulären» Lösung (siehe dazu auch MOCK [19], S. 47-52)

eindimensionalen Fall und im Fall, wenn entweder u1

oder u

2

G ver

schwindet, d.h. im Fall bloß einer Ladungsträgerdichte,

HLe schon anfangs gesagt wurde, ist M.S. MOCK auch der erste, der I974 die Slobale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des

jinstationären Problems bewiesen hat. In [17] hat er außerdem hin-.ichende Bedingungen für die Konvergenz instationärer Ladungsver-;eilungen gegen thermodynamische Gleichgewichtsverteilungen formu-iert. Die Beweistechnik bei Mock basiert im wesentlichen auf zwei Toraussetzungen: es wurden nur homogene Heumannsche Randbedingungen [betrachtet, die einige physikalisch relevante Situationen ausschließen*, Zum anderen wurde eine ,tEegularitatsM-Aussage getroffen, die wesentliche Einschränkungen an die Geometrie des Gebiets G fordert (siehe dazu GRISVARD [1CQ). ¡1985 hat GAJEWSH [5} die globale Existenz und Einzigkeit unter

physikalisch interessanteren Randbedingungen gezeigt. Die oben [erwähnte „Regularitäts"-Aussage- wurde bei ihm jedoch wieder Jbe-lötigt.

[Kürzlich, -198?, hat T. SEIDMAF [ 24] die Existenz und Einzigkeit [der zeitlich globalen Lösung im Fall einer gesättigten Strömungsgeschwindigkeit bewiesen. Die Einstein-Relation wird dabei niete berücksichtigt, um die technische Seite des Beweises zu vereinfachen. Die Diffusionskoeffizienten sind in [24] feldabhängig; die Strom-[ausdrÜGke haben die Gestalt:

J1 = Di^7ui + up) i , i=1,2 , [wobei die Strömungsgeschwindigkeit von dem elektri-

schen Feld E : = -V* abhängt, .

Der Beweis von T. Seidman basiert im wesentlichen auf folgenden Vereinbarungen:

^ es wird die Beschränktheit und die LipBchitz-Stetigkeit der Strömungsgeschwindigkeit vorausgesetzt;

die oben erwähnte „Regularitäts"-Aussage wird auch hier, wie £5]» verwendet.

2)

in

¡Inf 8] ist es GAJEWSKI und GRÖGER gelungen, beim globalen ExiLens- and Einzigkeitsbeweis auf die nRegularitäts»-Aussage zu verzichten. Die a-priori Abschätzungen, die in [8 ] der wesentliche Bestandteil des Beweises sind, erhält man mit Hilfe einer physikalisch motivierten Ljapanov-Eunktion und einer Iterations-[technik nach N. ALIMOS [1 ] und J. MOSER [20]. Die Beweglichkeiten werden in ^8 ] als konstant betrachtet. Fnter Anwendung der Beweisstrategie aus [s] kann man das Einzig-Ikeitsresultat aus GAJEWSKI [5 ] für die feldabhängigen Beweglichkeiten soweit verbessern, daß man bei dem Beweis keine Einschränkungen mehr an die Geometrie des Randes benötigt, d.h. ohne die i„RegularitätsM-Aussage auskommen kann. Dies wird im dritten Xa-[pitel der vorliegenden Arbeit gezeigt.-Dabei wird allerdings (wie auch in [5]) die anfangs der Einführung erwähnte Einstein-¡Relation insofern verletzt, als die Diffusionskoeffizienten nur mit den konstanten Teilen der Beweglichkeiten durch die Beziehung verbunden sind: ,

D1>2 = k„8

B~m1,2 ■»

wobei

= GOIlst»

I

r

KAPITEL II

DAS SIATIOHÄEE PROBLEM

2.1. AufRabenstellang

Voraussetzungen. Einige Vorschläge zam Berechnen ** von Schranken für die Lösung

Wir betrachten die Gleichungen der inneren Elektronik im stationären Fall:

fv—fo

-6AV = f + u^-ttg , u1 = e , u2 = e , v= v*+va (2.1)

V-J1(v,^) = 0 , J1(v,^) = -J^ u^^ (2.2) - V-J2(v,f2) = 0 , J2(v,t2) = —JM 2 x^GCEd , (2.3) unter den Randbedingungen

v = V-

D

= v* + v§ , Y i = , 9 = auf f

'D

-D

D

auf

r

1 - r v '2

wobei "V den Einheitsvektor der äußeren Normalen an dem Randteil P bezeichnet.

Wir setzen voraus:

(2.4)

(2.5)

A1: ^ vg^f*,

v* < T-

, B^t ^ ß, f^f^f D D 0

V-

% > 0 .

A2: Die Beweglichkeiten seien der folgenden Form:

2 ,wobe i

1

(2.6)

jMi = ^i1 i=1»2

die Funktionen x —?>J^i(x,s) für s>0 meßbar seien.

Die Funktionen di(x,s) :=J^i(x,s)s seien stark monoton und Lipschitz-stetig, d.h. es existieren Konstanten M^ m> 0

so, daß für s^s^O and x^G gilt:

|di(x,s1) - d^x.Bg)) <M-|Si-b2| , (2#7)

(di(x,s1) - di(x,B2))(s1-s2) >m|si-s2|2, i=i,2 . (2.8)

A3: Sei g die Lösung des folgenden Randwertproblems: -fcAg = F , g = gD auf fjj , Sl-Vg = 0 auf f.

(2.9)

Die Funktion g wird später als Gewicht in den Normen auftreten. Die rechte Seite F und gD in (2.9) kann in Abhängigkeit davon, auf welche Weise wir das innere Potential r*, das durch seine landwerte v* angegeben ist, ins Innere des Gebietes G fortsetzen und in Abhängigkeit von der jeweiligen Methode, die wir bei den Konvergenzunt er suchungen einsetzen, unterschiedlich gewählt werden. Folgende Varianten sind z.B. für die Wahl von F möglich:

F=0 l besonders geeignet bei den Eonvergenz-

► - Untersuchungen des nichtlinearen

ii) F=f + e~s -es

Gummel-Verfahrens ja

Iii; F=r + e -e ^ - sinnvoll einzusetzen

beim linearisierten Gummel-Verfahren.

las dem Maximum-Prinzip folgt nun für die Lösungen (v,S> ) roa (2.1) - (2.5): 12

ß

v* , va^va^va , v4v<.v , wobei

(2.10) (2.11)

,a -

v := r, v := v* + va , (2.12)

¿er sind die Schranken v*, r*, za, wie folgt zu bestimmen:

Sei

0 in G, v*=v£ auf Tjj, = 0 auf T. (2.13)

jDann genügt t®- s■■-tt-t "--"&enr-folgenden EandwertprouAüm\wanBub-trahiexe (2.13) von dex Poieson-Gleichung (2.1)):

*

= f + e

-va ^.-v* Ta r*-%. • e - e • e ,

Mit Hilfe des Maximum-Prinzips können wir nun die Schranken va, v*» va» I* ausrechnen:

Ta = t® auf , S -Vva = 0 auf

r.

. T = % '

= min{£a ; In [(ffl+(f^)1/2)/2 e7 ^ ]} va « max{|a ; In [(f1+(f2*4)V2)/2 ]}

In diesem fall ist es günstig in (2.9) 0 , gD = vI) zu wählen. Dann implizieren (2.9) und (2.13): g = Y* , and somit gilt:

6 = r*; E = I*

4

-V* v*

Sei = f + e ¥ -eY , xeG

t*= auf TD = 0 auf T .

Dann genügt va = v - v* dem folgenden Eandwertproblem:

(2.14)

-va -v* va —^Pp+V -£/\va = e e ' -e e

-v* v* (e -e )

va = Ya auf , D

r ~ , = 0 auf r .

(2.15)

un kann man mit Hilfe des Maximum-Prinzips für die Bandwertprobleme 2.14) und (2.15) die Schranken v* , rö , v* , va wie folgt ausdehnen:

■ x*s minjf*; ln[(f0 + (f2+4)1/2)/2 ]}

T », v- *»

1^*== max^; lafC^ + (f2+4)V2)/2 j]

v* -v*

« r » ~v v -v 2 1/2 v -IE i

vß= max|lT ; ln|_((e -e )+((e -e ) -f4) )/2 e" jl

1/2

v* -v*

Va = min{fai m[((e- -e~*~ MCe^-e"^)2^/1/2 eV "~|. In diesem Fall ist es günstig in (2,9)

F = t + e-« - e® , gD =

D

zu setzen. Dann implizieren (2,9) und (2.14): g = y* , und somit gilt: g = v* , = v* .

(2.16)

Sei -S/yr* = f + e 1 -e 2

v*= vD* auf 0 auf P *

Dann genügt ra dem folgenden Randwertproblem:

= 0 , ra = va auf rD , 4-Vva = 0 auf F\ (2.17) Aas dem Maximum-Prinzip folgt

r • r = ta !

— *

v = max

{ f, ln[((eVa -6~V&) + ((eVVVV + 4>1/2)/, tVB

'2 e

f

^ = min { fi l»[((e-a -e^) + ((eia-e^a)2 + 4)y2)/2 ^-BjJ ^ In diesem Fall wählen wir F und gj) in (2.9) wie folgt:

F = f + e

-e

SD = ^ >

r

- -

;,r»a somit implizieren (2.9) und (2.17) g = v

tffvlll:

&

ugjsai

somit gilt: g = v* , £ = v

Unter Berücksichtigung von u^ = e

V

u0 = e

können wir die obere und untere Schranken für a_. , i=1,2

' X

wie folgt ausrechnen

wlpss?

U1 , UpS^ U2 , wobei

v-ß

r-1

ß-v

:= e , U^ := e ; U2 := e , = e

_1

»

r

JllliP»}

'?inige ^o^traktionsbedinpanRen für die nichtlineara 1 Gammel-A bb il dang

2.2.1- Besultate

s Gebiet G sei Lipschitz-stetig and beschränkt in |Bd, d<3 2 i

Seien L ,L ,H die üblichen Funktionenräume auf G (vgl. £25J) Iffir setzen:

1 X jä H 0 L°°, x0:={hex|h=0 aaf ^ j

I :=={vex|v=va+v*, v*va+v* aaf f^ , v^v^? } Yg:=s{g€X|g=v:5 aaf TD , jg^g^g }

Z {(^2)1*1^2aaf ^ }

|V7ir werden außerdem die folgenden Bezeichnungen benatzen

-5

v dx

IMLdö := stiP ess|v(x)

y xgG

(a,v) := J uvdx G

iit dem Symbol (-,•) bezeichnen wir das Skalarprodakt in .L2

>zw. die daale Paarung zw. dem Hilbert-Baum XQ und seinem dualen [Baum x* oder auch Element des Baumes Z .

[Definition 1.

Ein Tripel (v,vf1,4'2)€Yxz heißt Lösung von (2.1) - (2.5) wenn für beliebiges hex gilt:

£(V v,V h) = (f+a1-o2,h) "^(v,^),^) = (J2(v,4>P),?h) = 0 .

(2.18) (2.19)

Wf

pgj»ynition 2.

Sei (%»g and (▼.VV"** die im Sinne tion 1 verstandene Lösung des Problems

„

_E/\v = f + U1-U2 , U1 = e , TJ2 = e

r2/

Dsfini-

(2.20) (2.21)

= - \7-j2(V^2) = 0 .

Dann bezeichnen wir die Zuordnung

als Gummel-Abbildung A€(Z-^I*Z) . Sei A- der kleinste Eigenwert des Problems

h = ^h , h = 0 auf P D , =0 auf f .

0 &&& » ^ )

Ausgehend von zwei verschiedenen Elementen

<fj .ST,. l2J

A . 14.fln wir 2 Tripel

des Baumes Z mit Hilfe der Gummel-Abbildung erhalte»

(v» ^2^ = ^2^ 9 (2.22)

(v, f2) = AC?,, %) .

Wir führen folgende Bezeichnungen ein:

v : = v - v ,

I 8» T ,T := I e ~g/2f| 2 + l|es/2UKl| 2 , wobei g€Yg »

L Ii

Wir sind an Abschätzungen folgender Form

/

interessiert, hier ist C die Lipschitz-Konstante tvS dung A .

(2.23) die Abbil-

dem Banaclischen Fixpunktsatz ([9]) konvergiert das Gammel-

erfahren

# (vi+i, ^ • ) » Atf-, , H>2 )

i+n ni+1 i+1 ni i

A

bei beliebigem Startelement ( M>,j , ) £ 2 Segen den eindeutig

0 0

bestimmten Fixpunkt der Abbildung A , falls C<1 ist.

flnBer Beweis der Abschätzung (2.23) wird nach folgendem Schema ablaufen:

fl g.^t^i <-c1 S * < C1°2C3 I (2'24)

ir werden nun die Lemmata, auf die wir ans beim Beweis des Haupt-rgebnisses stützen werdent formulieren.

lle Beweise für die Eesultate dieses Punktes werden im Punkt 2.2.2.

ausgeführt.

jiä/j.,

::. Lemma 1

^'Sei gel , und 67g,Vh) =6""1(F,h)Vhex . Dann gilt

^es(4^ + |Vg|2 - 2g"1F) h2 dx^4 ^es|Vh|2 dx . & &

H^Lemma 2

Sei g6Tg , und 07g,Vh) =£-1(F,h), (es~'V&Vh) = 0 .

Dann gilt t

\ eS-^ (4^+|Vgf - IVI'I2 - 2^,"1F) h2 dx^4 S e^^hp dx . G ' G

robei <1 •'= + inf (r+,0 , r* = fVg I2 + £ p

G ~ &

(2.25)

)ann gilt:

(2.26)

[Wenn g außerdem für beliebiges h&X auch den Gleichungen

'TVi-B

g-Yo

,(e 1 VMh) = (e Vt2»Vii) = 0 genügt, wobei Y^ = ^ bzw. V 1 und Y = bzw. Cp and falls

Q > 0

ist, wobei Q := 4^.+ min (Q., Q.) , c 1=1,2 1 x

= *f -IV^J2), % = inf(x+ - jy f 11 2) ,

(2.27)

V

(2.28)

Q

2 = inf(r -|V<f2|2), Q2 = inf(r- -|vi2|2) ,

äann gilt:

G

/

[S (gil^l2 + S2 12)dx < § $ Cs%|V % I 2+g2iV^212)dx ,

(2.29)

|wobei Sl = Ü1 + , g2 = u2 + n2 , und = e ' , u0 = e

v-t

A/

h = e 1 , u0 =

«v

v-%

jBemerkung i.

: Lemma 3 liefert uns die erste Ungleichung in der Kette (2.24).

p^narkang 2.

^¿e ma** aas (2.28) sieht, enthält die Konstante Q explizit die

n/

Gradienten von den Fermi-Potentialen ^ ^ , ^ , i=1,2 .

Äße aas der Theorie über elliptische Gleichungen bekannt ist (siehe Grisvard [10]), können diese Größen in den Punkten, wo die Art der Bandbedingung wechselt, stark oszillieren, falls der Winkel US zwischen den Kanten mit den Bandbedingungen verschiedener Art groß ist.

j. Jerome hat in [13] das dadurch entstehende Problem bzg. der Singularitäten in grad^ , grad i , i=1,2 , so gelöst, indem er folgendes forderte:

IgradH'.l2 , I grad^f J2^c2 max [äistCx.Pj]"1 , x£G , (A)

11 1 3 J

wobei c eine positive Konstante ist, und - eine

endliche Zahl von solchen „gefährlichen" Bandpunkten auf P-pH P. Diese Bedingung ist eine Voraussetzung bezüglich des Bandes des Gebietes G ( [10] ).

Um die Bedingung Q>0 im Lemma 3 erfüllen zu können, müssen wir ebenfalls eine das Wachstum der Gradienten von f ^ * »i » i=1»2 , einschränkende Bedingung treffen. Es ist leicht zu sehen, daß Q>0 ist, sobald

| gradvfi|2 , | grad^Pj 2 < N , i=1,2 (B)

sind. Diese Forderung ist schwächer als die Bedingung (A) .

San vergleiche: wenn d (Durchmesser des Halbleiters) = 10"^ cm

2 8 ist, dann haben wir, da proportional zu d ist, 10 .

Aus heuristischen Betrachtungen stellt J. Jerome in [13] fest,

daß die Größe der Konstante c von der Potenz, mit welcher

, i=1t2 oszilliert, abhängig ist und im optimalen Fall

- 20 -d1 Ist.

; wir erhalten nun aae (A) s fjd1 - d~1 = 1 ,

L* aas (B) : | V^il2^^ « 108 , 1*1,2.

pie Voraussetzung (A) ist insofern eine einschränkende Voraussetzung bezüglich des Bandes des Gebietes, als sie fordert, daß der Winkel ctf < ff sein soll ([lo]). Aber da die Gebiete mit oT>ji in der Praxis kaum vorkommen, und in Anbetracht der obigen Vergleiche, betrachten wir unsere Forderung (B) als akzeptabel, sofern es die Geometrie des Randes betrifft. Um die Bedingung (2.25) in Lemma 3 erfüllen zu können, müssen wir noch~folgendes fordern:

T ^ (c)

Wie zu Beginn des Kapitels II gesagt wurde, sind für die Wahl von F folgende Varianten möglich:

1. F s 0

2. F = f + e~s + eg

3. F = f + e

- e

2

Im ersten Fall ist die Forderung (C) immer erfüllt.

Für die beiden anderen Fälle betrachten wir die Forderung (G)

aus folgenden Überlegungen als akzeptabel:

die Arbeit [7] von Gajewski liefert uns eine „Kleinheitsbedingung" an die Daten

(D)

x,

wobei F := jj f || Q := 4 ( || u^ + |J u2Jj ) ,

die für die Einzigkeit der Aufgabe (2.1)-(2.5) hinreichend ist:

Le sumerische Analyse zeigt, daß die „KLeinheitsbedingung" (D) bis

zy'

gtzt die schwächste unter allen uns bekannten Forderungen (z.B. in 13ji[14l) ist» die die Einzigkeit der Lösung garantieren; da die ledingang (C) schwächer als die Bedingung (D) ist - dies überprüft man leicht unter der Annahme, daß ||ui|| ^F - betrachten (C) für unsere Einzigkeitsuntersuchungen als akzeptabel.

x • Dann gilt: f max(U1,ü2)max(eS/2, e"^) || Vvf| ? ;

(2.30)

(g^^!2 + g2|7f2|2) dx<4 4 max(U.,lj;>)JIVviro ,

m 1 T e-

2

II' .

L£

robei g1 = u^j + q1 , g2 = a2 + a2 5 ■«{liAY^'.Y^y v%V^,v¥2l[)<2f max(üf, üf)-

max(e

(va-ß)/2 (ß-va)/2

e

)«Vv|l

(2.31)

(2.32)

emerkunp;

:ama 4 liefert uns die zweite Ungleichung in der Kette (2.24).

euuna

(Sei gerg , and (Vg, Vh) = r1(F,w¥|, €X0 . Dann gilt: 1 IlaX(Ü1,52)maX(ei/2, | g, |

r ' * tr

(2.33)

(2.34)

mf<*

qrf^^O-^xde ,e"~)j{(e" +e~ )|CP1f 2+(ev+ev)|?2| 2}dx (2.35) L G

_1 ^ (ß-vf)/2 (va-ß)/2

^ vj max(U )max(e , e )-

_ Ii -J- — ~ ~r (2.36)

• min( H v* ^ ,|| v*,'?1 ) .

Bemerkung 4

Lemma 5 liefert ans die letzte Ungleichung der Kette (2.24). [nun können wir das Hauptergebnis formulieren.

Satz 1. Es existiert genau eine Lösung (v, M5^, vp ■) des Problems (2.1)-(2.5)» wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt -ist:

—2 _2 g -g

4\i7| 6"1(МГ1^тах(и1,и2)тах(е ,e~")<1 , (2.37)

м _3/2 -3/2 g -g

2f (ёдГ^тахОЦ ,U2 ) max (e ,e ~)<1 , (2.38)

м ль -1/2 _i/2 ß -ß 2 f (feQr^maxO^ ,ü2 ) max (e ,e ~)<1 , (2.39)

4 |E-1(Aq)-1^max(Ü1,Ü2)max(eß-^a,e^)<1 . (2.40)

Das Gummel-Yerfahren

1+1 'i+1 ^i+1 'i

/ /\

konvergiert bei beliebigem Startelement (i^ , ) в Z

о о

gegen diese Lösung.

oj>.2. Beweise •i. Beweis von Lemma 1.

Unter Benutzimg der bekannten Minimal-Eigenschaft von A erhalten ~m wir mit r = e^2 :

A.S dx <5l V(rh)|2dx = Sl g rh + r7h|2 dx = G G G

= S (l\7r \2h2 + 2rh Vr h + r2jVh(2)dx = G

= J ( J Vg V (r2h2) - ^iVg!2 r2 h2 + r2l7h|2)dx G

Daraus folgt unmittelbar die Behauptung des Lemma 1.

2. Beweis von Lemma 2.

Es sei r := e^6"^2, £ann gilt:

r2h2 dx ^$iV(rh)l2dx = ^|Vrh + rVh|2 dx = G G G

= SlJ eS""%(g-^))2 h2 + \ eS"lfv(g-№2 + eS"*lf(vh)2jdx =

g-Y

= ]l l7(g-40Vg h2 - J eS"" v(g-f)Vfh2+ |eS" vgVh2+eS~H'(Vh)2!dx = G

/

= Sl i VgV(r2h2)- | e6" V(g-Wg h2- ¿eS" v(g-^th2+eS"Vh)2|dx =

G /

= Sl ivgv(r2h2)- r2 h2 + £eS~h>Vg h2 + r2h2-

g-Y

e° VgVf h2 + r2( Vh)2 I dx =

m?:

— £:«+ —

= $ {(2 ^ F " ? (IVg|2 ~ I Vvf)2))r2 h2 + r2Svh|23 dx

Daraus folgt unmittelbar die Behauptung des Lemma 2.

3, Beweis von Lemma 3

Die Behauptung (2.26) folgt unmittelbar aus dem Lemma 1. Wir wenden das Lemma 2 mit h = f = <f bzw. SP , g = v an und erhalten die Behauptung (2.29).

4. Beweis von Lemma 4

Sei ■ v := v-v , ?2 := , h s= ^ , £ 8= -J?2 f H .= ?J

u?

E = log ~ , da

log £ . log (Ä = logCe^"^"^

u0 v-^2 J ^2 *

2 e

Dann ergibt sich aus (2.21) mit K = v - :

0 = (J2, 7 h)- (J2, V(eH -1)) = (jm2 u27f2 , V log -

^ .a2

(jM2 u2VH>2 , V - D) = (u2 jM2Vf2 , v (7-^2)) -/" V up u - u V u0

(f2 *2V<<2 - 2 Ig 2 '2) =

2

= (a2.«2Vf2 ,V(v-p) - (u2fl V52 , (.112 _ :

J u2 u2

Maxaus folgt nun:

k ujvfpi2 dx<-^ 5 Up! v v|2 dx (2.41)

y * m „

,6 G

Multiplizieren die linke Seite von (2.41) mit es e""s = 1 , dann gilt:

" — J2.

U0e"s S esl y 2 dx<~Üp [\ Vvl2 dx , und somit haben wir:

—t m c

G m G

2 ^ ü2 «

2

\ e®|Vfp) dx^ — e^ | ■ ^ ^ uT ü2 L

Analog erhält jman:

r _ — 0 M2 Uxi 2 — -v/

\e~e| V^r dx^-«—i e""S|jVv| , wobei ^ := - ^ .

i U/ L

Cr

Die beiden letzten Ungleichungen zusammen liefern:

_ _ iff2 iL Ü0 g -g 2

l8.VH»1f V^fpflc^ ( + ) max(e ,e ~) | Vv| p< ' ^ m^ U1 U2 iL

JJ2 —2 _2 g _ 2

2 max(U^,Up)max(e ,e )HVv| 0 . m L

Das liefert uns die Behauptung (2.30).

ii) Aus (2.21) ergibt sich:

-E ^ ' H

0 = (J2, V(E+1-e )) - (J2, V(E+e -1)) , (2.42)

' /

/ . hier können wir die Testfunktionen wie folgt aufschreiben:

- -E u0 u0

(h+1-e ) - (log ^ + 1 - -2) ,

U2 a2

(h+e -1 ) = (log ^ + _ 1 ) .

U2 U2

r

[uJ} können wir (2.42) fortsetzen:

)s + (V(p2a2V V»(1 - —)) ~

- (V(^2a2V?2),(^ - D) =

2

- <h>VVv<1 =

2

nJ ~

^ ^ ap V up- Vup Up

2

^ ^ Vu2 a2 - V u-2 a2

- -^

) =

2

V u2 Va2

)) -

2 a2

- ^ - ^r =

2 2

= » V<V ?)) =

= ((a^apiJH^-j^V^ Y^-?)) ,

inalog bekommt man: 3 = ((a^i^^VH'^V^)^ (My-v))' .

/V

San gilt mit der Abkürzung g^;» u1 + a^ , g2:= a2 + a2 s

D = .(g2(jU2V<f2-^2)»Y(tf2"?))>^ (m S2|V^2' -M Sz17^1^^ äX

G

- -

Daraus folgt

— 2 5 z2m2\2 dX< j g2 dx

Analog erhält man:

, - 2 «*2 2 5 g^V^I dx<^ $ gl|yvj dx ,

G m G

und insgesamt hat man:

SCg^V^I2 + S2|VC{2|2)dx<4 S- Cg1+g2)|vv|2 dx =

m

M2 r , ~ - N. — ,2 ■ = ~2 J Cu-j+a1+u2+a2)jw | dx

M2 -----2

^4 ^ max(U1tXJp)|| Vv|| - . m L

Daraus folgt die Behauptung (2.31) , iii) Aas (2.41) ergibt sich:

va-ß

v* 2

-a -3E

r - — <~ «2 v +v -ß 2

} e |v^2| dx<^ e ,

n m L£

und analog für :

e 5 e jvH^I dx<^ ^ e

-v* _ 2

m

v- 2 «Vv| 2 i

if-

aas den beiden letzten Ungleichungen folgt nun:

(va-ß)/2 (ß-va)/2 • max(e , e )|| V vi 0

Daraus folgt unmittelbar die Behauptung (2.32) und somit ist das Lemma 4 vollständig bewiesen.

Beweis von Lemma 5

i) Es seien U1t , U2t die geeigneten Zwischenstellen zwischen

V „ v-?2

e , e bzw. zwischen e , e Aas (2.20) ergibt sich;

efiVvll2 = (ü^U^v) = ((e'^ -e'1 )-(e" 2-e* '2),?) <C

< OJ^-v) - ü2t(v-?2),v)

Weil ü1tC ü1-fi1 , U2t < U2-rtJ2 ,

kann man die Ungleichung (2.43) wie folgt fortsetzen:

«(vvl^Cü^,?) + CÜ^T^ccj^^,?) + ((u^2)f2,v) ^

(2.43)

+ (J(e -+e G

G

,2 äx)i£ , -„

v-ß

+ 2e -(ie^^^dx^ü rl ^ G L

^2max(üvü2)max(eS/2,e-^2)j| g,f,i| .

Daraus folgt die erste Behauptung des Lemma 5. ii) Die Ungleichung (2.43) kann man auch anders fortsetzen: , = »2

+ (e?~ 2 + 92 |2U ^

G

2 max(e^~"—,ev~"~) J (eV"^ ,2+eSe-Sf^ (2)dx

G

hüp^' Wgßff^i

I < 2 aaX(U1,U2)ffiaXCeS,e-.£) || g,^,?^

| Daraus folgt die Ungleichung (2.34). Jli) Aus (2.43) ergibt sich auch folgendes:

dx

G

)l% I2jdx

G J

I Daraus folgt die Ungleichung (2.35).

fv) Aus (2.20) ergibt sich:

= (.-(.Vi, + e*(.-\e\r> *

^ Co^—| +

/ G

G

X~E-va)/2(r G

-=a

:1

« vHl2 ^

■ii:s

(ß-v )/2 (v —ß)/2 , — _

PlaaB l0lBt die let2te Behauptung (2.36) und somit ist das Lenaa 5

Vollständig bewiesen.

Igeweis des Satzes 1.

Die Existenz einer Lösung ist bekannt (s. [2],[6]). Zum Beweis der restlichen Behauptungen sei

und ( v, ^, V2)=A(?n ,<t>2)9 (>, ^ ^ ^ m

i) Aus (2.26),(2.30),(2.33) ergibt sich:

-"^^»«(eS.e-tt)! gf?1f?2|(.