Моделирование дисперсионного переноса в полупроводниках на основе уравнений с производными дробного порядка тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

На правах рукописи

Сибатов Ренат Тимергалиевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСПЕРСИОННОГО ПЕРЕНОСА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Специальность 01 04 10 - физика полупроводников

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матемагических наук

003173134

Работа выполнена на, кафедре теоретической фишки в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Учайкин Владимир Васильевич

Официальные оппоненты, доктор физико-математических

наук, профессор Звягин Игорь Петрович

Защита состоится 9 ноября 2007 хода в 15м часов на заседании диссертационного совета ДМ 212 278 01 при Ульяновском государственном университете по адресу Набережная реки Свияга, 104, ауд 703

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновско! о госу-дарс1венного университета и на сайте вуза http //www um ulsu ru

Авюрсфсрат разослан б октября 2007 года

Отзывы на данную работу просим направлять по адресу 432000, г Ульяновск, ул Л Толстого, 42, УлГУ, УНИ

Ученый секретарь

доктор физико-математических

наук, профессор

Грушко Наталья Сергеевна

Ведущая организация- Московский институт

стали и сплавов

диссертационного совет

Сабитов О Ю

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Дисперсионный (neiayccoB, субдиффузионный) перенос носителей заряда наблюдаехся во многих неупорядоченных материалах, различающихся своей микроскопической структурой1 в аморфных полупроводниках, в пористых твердых телах, в поликристаллических пленках, жидкокристаллических материалах и др Сопоставление результатов экспериментов свидетельствует о наличии универсальных свойств переноса не зависящих от дуальной атомной и молекулярной С1руктуры вещества Итсрес к различным подходам описания негауссова переноса в полупроводниках и диэлектриках недавно возобновился в связи с наблюдением дисперсионного переноса в наноструктурах наиопорисюм кремнии, в легированных квантовыми точками сгсклах и др

Существует несколько различных теоретических моделей дисперсионного переноса В 1975 году Шер и Монтролл2 успешно интерпретировали экспериментальные данные время-пролетпого эксперимента Главный пункт их модели - гипотеза о степенном распределении времен пребывания носителей в локализованных состояниях с бесконечным средним значением времен ожидания Последний факт обуславливает неприменимость центральной предельной теоремы и модели случайного гауссовского процесса В результате дисперсионный перенос не описывается стандартным кинетическим уравнением Больцмана, законом Фика и классическим диффузионно-дрейфовом уравнением

В 1983 году Архиповым, Поповой и Руденко была выражена связь концентраций подвижных и локализованных носи i слей при дисперсионном переносе через дробный интеграл Римана-Лиувилля В их последующих работах чаще встречается другое приближенное соотношение между концентрациями локализованных и свободных носителей, которое считается справедливым для любой плотности локализованных состояний, а в случае экспоненциальной плотности позволяет выразить результаты через элементарные функции Вывод этою уравнения содержит предположение о резкой границе между "мелкими" и "глубокими" ловушками Основное уравнение Архипова-Руденко приводит к диффузионному уравнению неравновесного переноса с переменными коэффициентом диффузии и подвижностью Эш уравнение не переходит в уравнение для нормального переноса при устремлении дисперсионного параметра к единице, не описывая, icm самым, переход от дисперсионного типа переноса к нормальному при увеличении температуры, наблюдаемого экспериментально во многих неупорядоченных полупроводниках

В ряде работ3 для описания дисперсионного переноса используются урав-

1 И П Звяги-и Кинетические явления в неупорядоченых полупроводниках М Мир, 1984, 192г

2Н Scher, Е W Mnntroll Phys Rev D 12 (1975) 2455

3См напр Е Rarkai Pfys Re\ E 03 (2001) 046118-1 J Bisquert Ph}b Rev Lett 91 (2003) 010602-1

нения с производными дробного порядка по времени Подход, основанный на уравнениях с дробными производными, позволяе1 в рамках единого формализма описывать нормальный и дисперсионный перенос, дает возможность вероятностной интерпретации процессов, раскрывает причины универсальных свойств дисперсионно! о переноса в различающихся по своей структуре полупроводниках

В связи с вышесказанным разработка теории дисперсионного переноса на основе дробно-дифференциальных уравнений является актуальной проблемой В упомянутых работах не проводился сравнительный анализ результатов дробно-дифференциальной модели и результатов существующих теорий дисперсионного переноса Не составлены уравнения амбиполярного дисперсионного перено( а В дробно-дифференциальных уравнениях для концентраций носителей не учи ткалась рекомбинация, распределение дисперсионно1 о параметра, усечение степенных распределений времен пребывания носителей в локализованных состояниях Небольшое количество работ4 посвящено расчету дисперсионного переноса в структурах на основе неупорядоченных полупроводников Цель диссертационной работы - разработка и апробация теоретической модели дис персионно! о переноса на основе уравнений с производными дробного порядка Для достижения поставленной цели необходимо было решить с ледующие ¡адачи

1 Разработать теоретическую модель дисперсионного переноса на ос нове дробно-диффереициальных уравнений для прыжковой проводимости, для многократного захвата с учетом мономолскулярпой рекомбинации и рекомбинации за счет туннельных переходов

2 Провести расчеты переходного тока в неупорядоченных полупроводниках и структурах на их основе и сравнить результаты дробно-дифференциального подхода с результатами других моделей дисперсионно! о переноса (модели Шера-Монтролла, модели многократного захвата Шмидлина-Нуланди-Тиджи, подхода Архипова-Руденко5)

3 На основании полученных уравнений и методов их решения рассчитать частотные зависимости комплексной проводимости на переменном токе для неупорядоченных полупроводников и диода на их основе при малом уровне ипжекции

Научная новизна полученных автором результатов

1 Впервые показано, что универсальность кривых переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при дисперсионном переносе и степенная зависимость времени пролета носителей от толщины образца свидетельствуют о дробно-дифференциальной кинетике, т с о том, что распространение

4 См напр V R Nikitenko et al J Appl Phys, 81 (1997) 7514

5 V I Arkhipov, A J Rudrnko Philos Mag В 45 (1982) 189

пакета неравновесных носителей описывается уравнением с дробной производной по времени

2 Связь дисперсионного переноса с моделью случайно! о устойчивого процесса Леви позволила вывести количественные условия дисперсионного переноса для механизма многократного захвата и прыжковой проводимости

3 Впервые в рамках дробно-дифференциального подхода найдены выражения для частотных зависимостей проводимости и диффузионной емкости полупроводникового диода на основе неупорядоченных полупроводников при дисперсионном переносе, управляемом захватом на распределенные по энергии локализованные состояния

4 Впервые обнаружено, что переход от дисперсионного типа переноса к нормальному при увеличении размеров образца или ослаблении -шектричес кого поля во время-пролетных экспериментах является следствием усечения степенных распределений времен пребывания носителей в локализованных состояниях

Практическая значимость.

1 При описании дисперсионно! о переноса в неупорядоченных полупроводниках на основе уравнений с дробными производными требуется меньше подгоночных параметров, чем в модели Шера-Монтролла и в модели многократного захвата Шмидлина-Нуланди-Тиджи Уравнения с дробными производными точнее описываю! кривые переходною тока в неупорядоченных полупроводниках при значениях дисперсионного параметра, близких к единице, чем уравнение неравновесного переноса Архипова-Рудепко

2 Два составленных алгоритма моделирования дисперсионного переноса, основанные на конечно-разностном методе и стохастическом методе Монте-Карло, позволяют численно находть пространсхвенные распределения неравновесных носителей заряда и токи проводимости, моделирова!ь пространственно-временные траектории носителей, а также рассчитывать темп рекомбинации, управляемой дисперсионным переносом

3 Дробно-дифференциальные уравнения диффузии-дрейфа, вид которых не зависит от механизма переноса, описывают одновременно и нормальный и дисперсионный перенос (в рамках единого формализма) Эюг факт может использоваться для предсказания эффектов, связанных с переходом ог нормального типа переноса к дисперсионному, в структурах на ос новс неупорядоченных полупроводников

Положения, выносимые на защиту:

1 Универсальность кривых переходного тока во время-проле] ных экспериментах и степенная зависимость времени пролета носителей oi толщины образца при дисперсионном переносе свидетельствуют о том, что распространение пакет неравновесных носителей описывасхся уравнением с дробной производной по времени

2 Диффузионно-дрейфовое уравнение с производной по времени дробного порядка точнее описывает кривые переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при значениях дисперсионного параметра, близких к единице чем уравнение нестационарного переноса Архипова-Руденко Подход, основанный на дробно-дифференциальных уравнениях, позволяет в рамках единого формализма описывать нормальный и дисперсионный перенос

3 Условия дисперсионного переноса, полученные с помощью обобщенной предельной хеорсмы

— в случае многократного захвата перенос является дисперсионным, ес-

ли средний квадрат флуктуаций энергии локализованных состояний (т| превышает среднюю энергетическую глубину залегания ловушек, умноженную па больцмановскую температуру кТ,

— в случае прыжковой проводимости перенос будет дисперсионным, если

квадрат флуктуаций расстояния между ловушками превышает среднюю длину прыжка, умноженную на половину радиуса локализации волновой функции

4 В результате учета мономолекулярпой рекомбинации в диффузионно-дрейфовых уравнениях с дробной производной рассчитана частотная зависимость комплексной проводимости диода при дисперсионном переносе в случае малого уровня инжекции На проводимость и диффузионную емкость в области высоких частот не влияют ни захват носителей на локализованные состояния в хвостах зон, ни рекомбинация носителей через глубокие центры

5 Усеченные (тененные распределения времен пребывания носителей в локализованных состояниях являются причинои перехода от дисперсионного типа переноса к нормальному во время-пролетпых -экспериментах при увеличении толщины образца и/или уменьшении внешнего электрического поля Дисперсионный перенос соответствует временам пролета tx 7-1 (7 - параметр усечения), нормальный перенос ¿г "С 7-1

Апробация работы Результаты, полученные в работе, были доложены на IV Всероссийском симпозиуме но прикладной и промышленной магсма1ике (Сочи, 2003), VII Всероссийской молодежной конф по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2005), VIII Международной конф "Опю-, наноэлектроника, нанотехнология и микросисхемы" (Ульяновск, 2006), Международной конф "Critical Phenomena and Diffusion m Complex Systems" (Нижний Новгород, 2006), Всероссийской конф с международным интернет-участием "От наноструктур наноматериалов и нанотехноло-гий к наноиндустрии" (Ижевск, 2007), Ежегодных научных конф слуден гов-физиков Ульяновского государственного университет (Ульяновск, в 2004 и 2005 годах научная работа автора удостаивалась 1-го места)

Сообщения представлялись гакже на V, VI, VII Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, 2005, Кисловодск, 2006), VI Международной конф "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2005), V Международной конф "Аморфные и микрокристаллические полупроводники" (Санкт-Петербург, 2006), IX Международной конф "Арсенид галлия и полупроводниковые соединения группы III-V" (Томск, 2006), VI Международной научно-практической конф "Моделирование Теория, меюды и средства" (Новочеркасск, 2006), Международной конф "Nonlinear Science and Complexity" (Пекин, 2006)

В 2005 г научная деятельность автора удостоена студенческой стипендии Правительства РФ В 2005-2006 г автор получал стипендию по итогам конкурса среди студентов-физиков, проводимого фондом "Династия"

Личный вклад автора. Исходные теоретические положения разработаны совместно с научным руководителем профессором В В Учайкиным Вывод аналитических выражений, проведение конкретных расчетов, сравнение с экспериментальными данными, численное моделирование и анализ его результатов выполнены автором самостоятельно

Достоверность результатов. Представленные в диссертации результаты доказаны с использованием аналитических методов теории преобразования Лапласа, асимптотического анализа, теории вероятностей и случайных процессов Достоверность некоторых результатов подтверждается согласием с экспериментальными данными Правильность аналитических выражений в рамках конкретных моделей проверяется численным моделированием методом Монте-Карло Кроме того, показана согласованность некоторых результатов, полученных с помощью дробно-дифференциального подхода и результатов других теорий дисперсионного переноса В ходе работы постоянно проверялось выполнение принципа соответствия, согласно которому результаты, полученные для дисперсионного переноса, при устремлении дисперсионного параметра к едини-

це должны переходить в результаты теории нормального (гауссова) переноса

Публикации. В ходе выполнения исследований по теме диссертации опубликовано 22 научных работы, 8 из когорых в журналах из списка ВАК

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения Общий объем работы 122 страницы, включая 30 рисунков, 4 приложения и список литературы из 125 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор существующих моделей дисперсионного переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках Рассматриваются работы, посвященные применению дробно-дифференциального подхода в теории полупроводников и к описанию дисперсионного переноса, в частности Обсуждаются некоторые недос татки существующих теорий и нерешенные проблемы в теории аномальною (негауссова) переноса в полупроводниках Обоснована актуальность 1емы диссертации Определены цели и задачи исследований, изложены научная новизна и прак!ическая значимость работы, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту

В первой главе ("Теория дисперсионного переноса, основанная на уравнениях с производными дробного порядка") выводится система дробно-дифференциэлыгых уравнений для прыжковой проводимости и для многократного захват а с учетом мономолекулярной рекомбинации и рекомбинации за счет туннельных переходов

Дан феноменологический вывод дробно-дифференциальных уравнений дисперсионною переноса на основе экспериментально усыновленных фактов (универсальности кривых переходного тока и степенной зависимости времени пролета 01 толщины образца), без предположений относительно механизма переноса Предлагаемый вывод носит не шлько методический характер, но и указывает на то, чго дробно-дифференциальные уравнения отражают статистические свойства процесса и являются универсальными уравнениями дисперсионного переноса в неупорядоченных полупроводниках

В частносхи, для плотности распределения параллельной полю координаты фотоинжектированных носителей /(х, £) получено

Здесь односторонняя устойчивая плотность с характеристическим по-

казателем, равным дисперсионному параметру а, К - масштабный множитель Параметры а и К можно определить по кривым переходного тока

Функция (1) является решением уравнения с дробной производном6

В случае наличия потока в охрицательном направлении и/или рассеяния носителей в последнем уравнении добавится диффузионное слагаемое

При устремлении дисперсионного параметра а к единице фундаментальные решения уравнения (3) переходят в гауссову плотность, при эшм само уравнение переходит в классичес кое одномерное уравнение Фоккера-Планка

Устойчивые распределения, которые использовались при выводе уравнений, играют такую же роль при суммировании независимых случайных величин с бесконечными дисперсиями, как и гауссово распределение в случае конечных дисперсий Никакие другие распределения, кроме устойчивых, не являются предельными для нормированных сумм одинаково распределенных случайных величин при стремлении числа слагаемых к бесконечности

Обсуждается связь дробно-дифференциального подхода с существующими моделями дисперсионного переноса Показано, что главные асимптотические члены решений моделей Шера и Монтролла и модели многократного захвата выражаются через устойчивые плотности и являются решениями дробно-дифференциальных уравнений

Вид устойчивой плотности тока проводимости доказывает гипотезу Шера и Мон!ролла о временах ожидания, распределенных по закону со степенной асимптотикой

Физические основания широкого степенного распределения времен пребывания носителей в локализованных состояниях (4) обсуждались во многих работах Известно, что такое распределение в случае механизма многократною захвата может быть следствием экспоненциальною энергетического распределения локализованных состояний Экспоненциальная форма нлохности состояний хвосюв зон широко использовалась в модельных расчетах и обсуждении результатов экспериментов по переносу и люминесценции в неупорядоченных полупроводниках Однако, как отмечается многими исследователями, основные особенности распросхранения пакета носи1елей в условиях дисперсионного переноса, контролируемого захватом носителей на локализованные сосюяния

«См например В В Учайкип УФН 173 (2003) 847

(3)

где 6аЦ) = Г°/Г(1 - а)

Р{т > <} ос <

¿->оо, 0 < а < 1

(4)

сохраняются и при других досхагочно широких энергетических распределениях ловушек В чисго прыжковой модели перенос 0сущес1вляс1ся пуюм туп-пелирования между соседними ловушками, а степенное распределение времен ожидания является следствием разброса расстояний между локализованными состояниями В насюящей работе получены условия дисперсионного переноса на основании обобщенной предельной теоремы

Случайное время г пребывания носителя в данном локализованном состоянии харак1еризуется вероятностью

Р{т > = ехрН/0), (5)

1де параметр в - представляет собой среднее время пребывания в выбранной ловушке

1 В модели перенос а, контролируемого мно1 ократным захватом7

^ = (е/АГ), (6)

где и>£ - скорость захвата носителей в ловушку с энергией е, Т - температура

2 В модели переноса путем туннелирования, предложенной в работе8

в = 0[схр(7<О - 1], (7)

где (1 - расстояние до соседнего узла, 7 - положительная постоянная, параметр /3 обратно пропорционален напряженности приложенного поля

3 В модели случайной сетки сопротивлении Миллера-Абрахамса для прыжковой проводимости9

г 1-1

__/ 9/7 С- \

(8)

з

где щ - характерная частота прыжков носителей, а - радиус локализации, dl3 - рассшяние между г-м и j-ш узлом, etJ соотвехсхвующая разность энергий

В неупорядоченных полупроводниках отсутствие дальнего порядка, разброс расстояний между ловушками, флуктуациии энергии локализованных состояний приводят к тому, что параметр в пе одинаков для различных локализованных состояний При усреднении по некоторому объему образца величина

7 См напр В И Артипоа, А И Руденко, А М Андриеш, М С Иову, С Д Шутов Нестационарные ипжекционпыо токи п неупорядоченных i нордых толах Кишинев, 1983

'1 К Е Tunaley J AppI Phys 43 (1972) 4777

9См напр Б И Шкловский, А Л Эфрос Электронные свойства тегированных полупроводников М Наука, 1979

в выступает в роли случайной Как следуех из формул (6-8) небольшой разброс расстояний между ловушками и/или энерс ии локализованных состояний приводя г к широкому распределению параметра в, которое может иметь "тяжелый" степенной хвост

Перенос будет дисперсионным, если асимптотика будет иметь вид

Р{т > t} ~ h{t)t~"\ i-> оо, аг<1

где h(t) - медленно меняющаяся функция в смысле Карамата, т е хакая заданная на [0, ос) положительная функция, которая удовлетворяет условию h{ta)/h{t) —> const < оо при i —> оо, для любого а > О

В диссертации получено, что в случае многократного захвата дисперсионный перенос будет наблюдаться, если средний квадрат флуктуаций энергии локализованных состояний а\ будет превышать среднюю энергическую глубину залегания ловушек, умноженную на больцмановскую температуру кТ, в случае прыжковой проводимости перенос будет дисперсионным, если квадрат флуктуаций расстояния между ловушками превышает среднюю длину прыжка, умноженную на половину радиуса локализации волновой функции

Составлены уравнения дисперсионного переноса с учетом мономолекулярной рекомбинации и туннельных переходов для полной концентрации /(г, i) неравновесных носителей и концентрации делокализованных носителей /dei(r, t) (последнее имеет смысл только в случае переноса путем многократного захвата) Эти уравнения имеют вид

e"7tri~ ew/(r, t) + div [ К/(г, t) - CV/(r, t)] +

dta

/М _ ^ ra + т^ ~~ Г(1 — a) W

+ JLe-Hrfil ¿btf. Jr t)+ dt + c*r0 df

+div

[ /xE/del(r, i) - D V/del(r, i)] + ^^ = S(t)f(v, 0) (10)

Здесь а - дисперсионный параметр, /г и И - подвижность и коэффициент диффузии делокализованных носителей, Е - напряженность электрического поля, К — са1, вектор К параллелен вектору напряженности Е, I - среднее расстояние, преодолеваемое носителем между двумя актами захвата, то - среднее время подвижности носителя между актами локализации, с множихель в распределении времен ожидания

7tr(r) темп туннельной рекомбинации локализованных носителей, зависящий ох расстояния, rmr - время жизни подвижных носителей перед мономолекулярной рекомбинацией, т*ш = т^/тос^, Г(ж) - гамма-функция Эйлера,

daf{r,t) 1 а г Дм') ,

dta Г(1-а)dtj (í-í')a о

- дробная производная Римана-Лиувилля порядка 0 < а < 1

Учет мономолекулярнои рекомбинации был произведен на основе кинетических балансных уравнений захвата-эмиссии, используемых в ряде работ10 Туннельная рекомбинация локализованнпых носителей учтена в рамках схемы случайных блужданий с непрерывным временем

Знание дробно-дифференциального аналога стандартного диффузионно-дрейфового уравнения позволило составить уравнение амбиполярного дисперсионное переноса

Во второй главе ( "Пространственные распределения неравновесных носителей варяда'при дисперсионном переносе ") находятся профили распределения неравновесных носителей заряда путем решения составленных уравнений дисперсионного переноса Сформулирована теорема о связи решений дробио-диффереициальных кинетических уравнений с решениями стандартного уравнения Фоккера-Планка

Например, для уравнения (9) дисперсионного переноса с рекомбинацией решение определяется формулой

со

f(r,t) = J Mr,T)h(T,t)dT, (11)

о

где функция h(r, t) выражается через устойчивую плотность распределения

h(r, t) = ехр(-7,г t) а-Ч r^"1^ (t , (12)

a fi(r,t) удовлетворяет стандартному диффузионно-дрейфовому уравнению

+ div (к Mr, г) - cv/x(r, г)) + Щй = ô{t)fl(r, 0) (13)

ОТ \ J Tmr

Ин1ерпретация процесса переноса носителей заряда на основе схемы случайных блужданий с непрерывным временем показала, что г представляет собой суммарное время подвижности Это время составляет некоторую часть от полного времени t Концентрация делокализованных носителей может быть определена по формуле /del(r,í) = T0cadl~af{r,t)/dtl-a

10См напр С Main, R Bniggcmann, D Р Webb, S Reynold;, Solid State Commun 83 (1992) 401

Составлены алгоритмы моделирования дисперсионного переноса, основанные на конечно-разное 1 ном методе и с юхасти песком методе Монте-Карло, которые позволяют численно находить пространственные распределения неравновесных носителей при дисперсионном переносе, а также рассчитывать реком-бинационные процессы, управляемые дисперсионным переносом

В третьей главе ( "Затухание переходного тока и кинетика, основанная на дробных производных") дробно-дифференциальная модель применяется для описания переноса в слое неупорядоченного полупроводника, в частности для интерпретации время-пролетных экспериментов по определению дрейфовой подвижности Выражения для переходных токов получены в терминах устойчивых плотностей и хорошо «лласуются с экспериментальными данными

Для плотности тока проводимости при дисперсионном переносе и импульсной инжекции носителей получено

j(x,t)=eNq(T,t) = eNp(t\x)=eNQy1/a g™ («(f)-"") (I4) Подставляя выражение (14) в формулу для плотности переходного тока

L

I(t) = ~ I j(x,t)dx, (15)

и

приходим к

Щ = Г Са9(аЛ)(С) dÇ, Со = t (L/K)~1/a (16)

L JCa

На рис 1,а представлены построенные по формуле (16) кривые переходного тока для различных значений дисперсионного параметра Сравнение с экспериментальными данными показано на рис 1,Ь

Обсуждаются эксперименты по наблюдению затухания фотопроводимости в неупорядоченных полупроводниках, которые реализуются при однородной по образцу генерации носителей Получена формула, связывающая переходные токи в образцах при импульсной и однородной засветке Показано, что переходный ток при однородной генерации носителей имеет те же асимптотики, что и в случае импульсной иижекции при дисперсионном переносе

В работах Архипова, Руденко11 и Никитенко12 неоднократно применялось дифференциальное "уравнение неравновесною транспорта" с частными производными целых порядков и с зависящими от времени подвижностью и коэффициентом диффузии Отметим, что в уравнении (9) обобщенные подвижность и

11 V 1 Arklnpov, А 1 Rudtnko Philos Mag В 45 (1982) 189 иВ Р Никитенко, А П Тютнее ФТП 41 (2007) 1118

зт(ла) / пЬ

10

20

0 1

001

'1 1 I 1 1 п 1 ОТ 1 1 Г 1 1 ТМ

: N : ;

1 1 1 щи о & 2 Ъ н \ ^ н цт, 7=65 К) \ ^

: о а-Аз25е3 : (¿=57 цт, Г=247 К)

О 1

ш,

Рис 1 а) Теоретические кривые переходного фототека для различных значений дисперсионного параметра Ь) Приведенная плотность переходного тока (кружки - ¿кшеримешалъпые данные для стеклообразного АвгЯз [Шутов и др , 1979], ромбики - данные для а—АягЗез [Епск & Р/Ыег, 1976], линии - расчег по формуле (16), подюночные параметры а и Ь-р)

коэффициент диффузии являются постоянными, при этом уравнение содержит частную производную дробного порядка Для ди< перс ионно! о сноса в работе13 приведено уравнение

!{х,1)+цЕт{1)^{х,1) = ¡{х, 0),

полученное из уравнения непрерывности с помощью приближенного соотношения Архипова и Руденко, связывающего концентрации локализованных и подвижных носителей которое сами авторы называют "основным уравнением дисперсионного переноса" В случае экспоненциального энергетического распределения состояний хвоста отны, при условии слабой зависимости коэффициента захвата от энергии функция т(£) имее1 вид т(<) = то(г/0£)а, где щ средняя частота попыток эмиссии При начальном условии /(х,0) = 6(х) решением является экспоненциальная функция

Сравнение решений, полученных в рамках дробно-дифференциальною подхода, с рассчитанными из "основного уравнения дисперсионно!о переноса" Архипова-Руденко, представлено на рис 2 При а —»• 1 перенос должен становиться нормальным, при этом в случае дрейфа концентрации носителей должны трансформироваться в дельта-функции, а сигнал переходного юка в ступеш>ку Из формул (1, 16) следует, что решения дробно-дифференциальных уравнений этому принципу ("принципу соответствия") удовлетворяют в то время, как решения, полученные с помощью "основного уравнения" Архипова

"В И Архипов, Л П Казакова, Э А Лебедеп А И Руденко ФТ11 22 (1988) 723

а=0 3

/О, О

а=0 5

О I 2 3 х

0 12 3л;

0 12 3л:

Рис 2 Нормированная на единицу полная концентрация носителей Точки - результат моделирования меюдом Монте-Карло в рамках схемы блужданий Шера-Мошролла, пунктир - ре^льтат, полученный с помощью "основного уравнения дисперсионно!о переноса" Архипова-Рудснко (1982), сплошные линии - пло!нос1и (1)

и Руденко хорошо описывают только режим сильно дисперсионного переноса а < 0 5

Сравнение фототока (16) с экспериментальными данными (для органического комплекса, а = 0 8) и результатом, полученным с помощью "основного уравнения" Архипова-Руденко, представлено на рис 3 Рисунок демонстрирует лучшее согласие с экспериментом результата, полученного на основе дробно-дифференциального уравнения

В работе рассматривается случай распределенною дисперсионного параметра для моделирования переноса в структурно неоднородных полупроводниках Если показатель степени в распределении времени пребывания носителей в ловушке может принимать одно из значений упорядоченного набора {с*!, «2, ,с*т} (дискретный спектр), то на начальном временном участке поведение переходною тока определяется максимальным значением ат<1х = ат, а на конечном минимальным значением атт = а\ ф ат, что согласуется с обсуждаемыми в диссертации экспериментами

В четвертой главе ("Дисперсионный перенос в структурах на основе неупорядоченных полупроводников") рассчитываются процессы переноса в с фукчуре неупорядоченный полупроводник - кристаллический полупроводник и диоде на основе неупорядоченных полупроводников

Переходный ток при импульсной инжекции носителей в двухслойной

вд

рис. Криные переходного тока. Точки (оцифрованы с рисунка, m сгатьи Шерп и Моп-тролла I Schar Мои troll, 1975J) оксп ер им сигальпые данные для органического комплекса I р инигре флуореп ом-и один im ил карбалод (ТНФ-ПВК), полученные Гдл.том (Gill)- Пунктир - результат, -полученный с помощью "основного уравнения дисперсионного переноса ' Л рхипона,- Руденко. Сплошная >шния переходный ток (16). Дисперсионный параметр а = О.Н ¡Schar & Montroll, ¡975/.

структура неупорядоченный полупроводник - кристаллический полупровод-пик. Г;с;рснос е слое кристаллического полупроводника описывается стандартным уравнением дрейфа, б слое неупорядоченного полупроводника - дробгго-днффоренциальным уравнением. Расчёт цредсказр-ппает появление максимума на временных зависимостях переходного тока. Этот максимум экспериментально наблюдался а работе Казаковой и Лебедева14. На рис. 4 представлено сравнение результатов расчётов в ранках дробно-дифференциальной модели с экспериментальными кривыми переходного тока в структуре аморфный полупроводник - кристаллический полупроводник (сплошные линии - экспериментальные данные из работы Казаковой и Лебедева для структуры e-SeynAsr, - е-Cd Sc -пунктир - теоретически рассчитанные переходные токи). Для кривой 1 подбиралось пять подгоночных параметров, кривая 2 получена на основе кривой 1 при известных напряжениях и толщинах слоён в структуре,

С помощью дробно-дифферепциальных уравнений проводится анализ частотных свойств полупроводникового диода па основе неупорядоченных полупроводников при .узлом уровне инжекции. Получено выражение для проводимости диода:

ИЛ. П. Казакова. Э. Д. Лебедев. ФТП 32 0998) 187.

I, тЛ

/\ Л \\ / \ \

1 п V £/2=12 ¡V

V1 \ £/,=6 4 V

О 40 80 120

Рис 4 Переходный ток в структуре а-Б^Ая^ - с-С(18е

/£>„ е2Рп (еи\

1 1 па

--1--СОЭ-Ш'

Тр ТОрС?

Г7~1 1 7та V ( 1 то V

" + \ [— +-С0!3 +\и> +-вт — ша

У \тр т0рс% 2 ) \ г0рс£ 2 )

Частотная зависимость диффузионной емкости диода имеет вид

[Шр е2рп Ьр-пУ 2 кТ

_ _ е2рп (еи\ ( 1 па Л

[7Т 1 па \2 ( 1 па \ 2\

+ 1/1--1--гоч—+ шН--мп—ш"

]1\тр т0рг$ 2 ) V т0рс° 2 ) )

-1/2

1 1 п а

х |--1--сое — и"

„ тР тор<% 2

В случае, когда а —>■ 1, выражения переходят в известные соох ношения для диода на основе кристаллических полупроводников На проводимость и диффузионную емкость (рис 5) в области высоких частот не влияют ни захват носителей на локализованные состояния в хвостах зон, ли рекомбинация носителей через глубокие ценхры

В пятой главе ("Ограничения применимости дробно-дифференциального подхода к описанию дисперсионного переноса") обсуждаются ограничения применимости диффузионно-дрейфовых уравнений с дробными производными, недостатки и преимущества дробно-дифференциальной модели, рассматривается модифицированная дробно-дифференциальна я модель, связанная с усечением степенных распределений времен ожидания

С„А

Ют Л

г,й>0=0 01

0 06 0 05

0 08

02

0 1-

0 1

10

100 «'«с

0 1

10

со/со.

Рис 5 Частотная зависимость диффузионной емкости Здесь Шо = (тос™) и

А = Зр_пЛ/Ц:/2(е2рп/кТ) ехр(еи/кТ)шй1

К одним из недостатков дробно-дифференциальной модели можно отнес!и то, что она опи( ывает асимптотический (при больших временах) режим дисперсионного переноса В атом отношении она может считаться менее общей, чем модель слу чайных блужданий Шера и Монтролла или модель многократного захвата Однако следует иметь в виду, что плотность распределения времен ожидания и плотность локализованных состояний являются результатом усреднения но некоторому макроскопическому обьему образца, который должен содержать достаточно большое число локализованных состояний Следовательно, режим переноса уже является асимптотическим на расстояниях, сравнимых с обьемом, по которому производится усреднение

Дробно-дифференциальные уравнения содержат мало подгоночных параметров, что с одной стороны обуславливает возникновение сложностей при описании эксперлмептально наблюдаемых характеристик переноса, с другой стороны снижает степень произвола в интерпретации экспериментальных данных Уравнения дисперсионного переноса с производными дробного порядка и выражения для распределений неравновесных носителей в терминах устойчивых законов

позволяют в рамках единого формализма описывать нормальный и дисперсионный перенос,

- дают возможность вероятностной интерпретации процессов аномального переноса,

раскрывают причины универсальных свойств дисперсионного переноса в различающихся по своей структуре полупроводниках,

являются одинаковыми для различных механизмов переноса прыжковой проводимости и многократного захвата механизм определяет юлько функциональную зависимость параметров уравнения от внешних условий и микроскопической структуры полупроводника

Дробно-дифференциальные уравнения дисперсионного переноса могут бьиь получены в асимптотике больших времен из уравнении блужданий модели Шера-Монтролла Принципиальное положение последней степенное распределение времен пребывания носителей в локализованных состояниях Однако всегда находятся основания для того, чтобы предсказать ограниченность возможных значений случайной величины В связи с этим рассматривается случай усеченных степенных распределений времен ожидания Случайные величины, распределенные по такому закону, имеют конечные дисперсию и среднее Это означает, что условия центральной предельной 1еоремы выполнены - перепое в асимптотике больших времен должен быть нормальным Однако при не слишком больших временах (на "промежуточной асимптотике") должен наблюдаться дисиерсионный перенос В данной работе усечение степенных распределений рассматривается для объяснения перехода от нормального типа переноса к дисперсионному и обратно в некоторых неупорядоченных полупроводниках при изменении размеров образца и величины электрического поля Пусть, например, время ожидания до термической активации распределено по экспоненциальному закону Р{тас1 ><}= ехр(—где 7 малая величина Процессы термической активации и туннелирования считаем независимыми друг от друга Время ожидания перед туннслированием распределено по закону со степенной асимптотикой Вследствие независимости двух процессов время пребывания носителя в ловушке задается дополнительной функцией распределения

1 _ фф = Р{т > ~ -М^Т ехРМ ^

Г(1 - а)

Уравнение для полной концентрации носителей в случае усеченных степенных распределений времен ожидания получено в виде

+ ¿IV

-О (18)

т

Плотность тока проводимости при импульсной инжекции для случая усеченных степенных распределений времен ожидания имеет вид

Плотность переходного тока определяется путем подстановки последнего выражения в формулу (15) Рис 6 демонстрирует трансформацию формы кривых переходною тока при увеличении отношения Ь/1 Для случая, когда время

Рис 6 Переходный фотоюк в случае усеченных степенных распределений времен ожидания для различных значений отношения Ь/1

пролета носителей значительно меньше времени усечения перенос остается дисперсионным При ¿у кривые переходного имеют вид размытой ступеньки, как и при нормальном переносе

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Дробно-дифференциальный подход к описанию дисперсионного переноса носителей заряда в неупорядоченных полупроводниках согласуется с теорией Шера и Монтролла и моделью многократного захват, но при этом дробно-дифференциальная модель позволяет в рамках единого формализма описывать нормальный и дисперсионный перенос Устойчивая плотность потока вероятности при дисперсионном дрейфе доказывает справедливость гипотезы Шера и Монтролла о степенном распределении времен ожидания В отличие 01 решений, полученных с помощью "основного уравнения дисперсионного переноса" Архипова-Руденко, решения дробно-дифференциальных уравнений удовлетворяют принципу соответствия, т с при устремлении дисперсионного параметра а к единице переходя! в решения для нормального переноса, при эюм сами уравнения переходят в классическое уравнение Фоккера-Планка

2 С применением обобщенной предельной теоремы получены условия дис-пер( ионного переноса (см положения, выносимые на затциту)

3 Если показатель степени в распределении времени пребывания носителей в ловушке может принимать одно из значений упорядоченного па-бора {0:1,0:2, ,ат} (дискретный спектр), то на начальном временном

участке поведение переходного юка определяется максимальным зпачени-рм «шах = счт, а на конечном - минимальным значением атш = аг ф ат Это объясняет различие дисперсионных параметров па начальном и конечном участках кривых переходного тока в некоторых неупорядоченных полупроводниках

4 С помощью дробно-дифференциально1 о уравнения многократного захвата с мономолекулярной рекомбинацией получены выражения для час'Ю1ных зависимостей проводимости и диффузионной емкости полупроводникового диода при дисперсионном переносе В случае, когда а —> 1, выражения переходят в известные (оотношения для диода на основе кристаллических полупроводников На проводимость и диффузионную емкость в области высоких частот не влияют ни захват носителей на локализованные состояния в хвостах зон, ни рекомбинация носителей через 1лубокие центры

5 Усечение степенного распределения времен пребывания нос ителей в локализованных состояниях может быть вызвано вторичным механизмом переноса В качестве основного механизма может выступать термичес кая активация носителей, а в качестве вторичного - тунпелирование между локализованными состояниями, и наоборот Для случая усеченных степенных распределений времен ожидания дробно-дифференциальные уравнения предсказывают переход от дисперсионного типа переноса к нормальному при увеличении толщины образца и/или уменьшении внешнего электрического поля Дисперсионный перенос соответствует временам пролета Ьт 7-1 (7 - параметр усечения), нормальный перенос - Ьт -С 7-1

Результаты диссертации опубликованы в работах

В журналах из списка ВАК

1 Учайкин В В , Сибатов Р Т Одномерное фрактальное блуждание с конечной скоростью СВ060ДН01 о движения - Письма ЖТФ, 2004, вып 8, с 27-33

2 Сибатов Р Т, Учайкин В В Дробно-дифференциальная кинетика, переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках - Физика и техника почупроводпиков, 2007, т 41, вып 3, с 346-351

3 Сибатов Р Т Дробно-дифференциальное диффузионное уравнение в (еории переноса заряда в двухслойных струк1урах "неупорядоченный почупроводник кристаллический полупроводник" - Обозр прикл и пром матем , 2006, т 13, вып 3, с 544-546

4 Учайкин В В , Сибатов Р Т Блуждание па одномерном стохастическом фрактальном распределении атомов-ловушек - Обозр прикл и мром матем , 2001, т 11, выи 1, с 148-150

j Сибатов P T, Учайкин В В Дробная диффузия в р-п-переходе при дисперсионном переносе - Вестник Воронежского гос 1ехн университета Серия "Физ-мат моделирование", 2006, 8, с 136-142

6 Учайкин В В , Сибатов Р Т Несимметричное фракгальное блуждание с конечной скоростью свободною движения - Обозр прикл и пром матем , 2004, т 11, вып 4, t 946-947

7 Учайкин В В, Сибатов Р Т Дробные производные в теории полупроводников -Обозр нрикл и пром Maiew , 2005, т 12, вып 2, с 540-542

8 Сибатов Р Т, Учайкин В В Дробно-устойчивые распределения в теории дисперсионного переноса в неупорядоченных пол> проводниках Обозр прикч и пром ма1ем 2005, т 12, вып 4, с 1085-1087

В других журналах

9 Uchaikm V V, Sibatov R Т Levy walks on a one-dimensional fractal Lorentz gas with trapping atoms - Mathematics and Statistics Research Report Series, 4/04, NG1 4BIJ, Nottingham, 2004, pp 1-14

10 Сибатов P T Фрактальная модель переноса заряда в пористом кремнии - Ученые записки УлГУ, Серия Физическая, 2005, вып 1-17, с 65-74

11 Uchaikm V V, Sibatov R Т Fractional calculus for transport in disordered semiconductors

- In "Nonlinear Science and Complexity"/ Edited by А С J Luo, L Dai, H R Hamidzadch (World Scientific, Singapore) 2007, pp 43-54

12 Учайкин В В , Сибатов Р Т Дробно-дифференциальная теория переноса заряда в аморфных полупроводниках - Сб трудов V Межд конф "Аморфные и микрокриа полупроводники", 2006, С-Петербург, Изд-во Поли1ехн университета, с 213-214

13 Сибатов Р Т, Учайкин В В Дробно-дифференциальная кинетика переноса заряда в структурах на основе неупорядоченных полупроводников - Тезисы докладов VII Всеросс молодежной конф по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлек1ронике, 2005, С -Петербург, Изд-во Политехи университета, с 10

14 Учайкин В В, Сибатов Р Т Применение дробно-усюйчивых распределений к проблеме переноса носителей заряда в аморфных полупроводниках - Abstracts The XXI Intern Conf on Relaxation Phenomena in Solids (RPS-21), Воронеж, 2004, Изд-во ВГУ, с 260

15 Учайкин В В , Сибатов Р Т Фрактальные блуждания и диффузия примеси в сдвиговых потоках, имитирующих турбулентность - Труды VI Международной конференции "Мат моделирование физ , техн , экон , соц систем и процессов", Ульяновск, 2005 Изд-во УлГУ, с 130-132

16 Uchaikm V V, Sibatov R Т Anomalous diffusion on a one-dimensional fractal Lorentz gas

- Proceedings of International Workshop "Critical Phenomena and Diffusion in Complex Systems", 2006, Ni?hm Novgorod, pp 26-27

17 Р Т Сибатпов Распределение числа счета фотонов мерцающей флуоресценции квантовых точек -Тезисы Всероссийской конференции с международным Интернет-участием "От наноструктур, наноматериалов и нанотехнологий к наноиндустрии", 2007, Ижевск Изд-во ИПМ УрО РАН, с 89

18 В В Учайкин, Р Т Сибатов Дробный теле! рафный сш нал флуоресценции мерцающих квантовых точек Труды IX Международной конференции "Ото, наноэлеюрони-ка, нано1ехнологии и микросистемы", 2007, Ульяновск Изд-во УлГУ, с 7

19 Р Т Сибатов, В В Учайкин Дробно-дифференциальная модель дисперсионной диффузии водорода в окисле МОП-транзисторов Труды IX Международной конференции "Оито, наноэлектроника, нанотехпологии и микросистемы", 2007, Ульяновск Изд-во УлГУ, с 8

20 Сибатов Р Т, Бурмистрова В Г Дробно-дифференциальная киноика в задачах пер-колиции - Труды VI Межд конф "Мат моделирование физ , техн , экон , соц систем и процессов", 2005, Ульяновск Изд-во УлГУ, с 115-118

21 Сибатов Р Т, Бурмистрова В Г Численное решение обобщенного уравнения диффузии при дисперсионном переносе - М-лы VI Межд научно-практич конф "Моделирование Теории, методы и средства", 2006, Новочеркасск Изд-во ЮрГТУ, с 8-11

22 Учайкин В В, Сибатов Р Т Дробно-дифференциальная 1еория переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках - Труды VIII Межд конф "Опто, наноэлекхроника, нанотехнологий и микросис1емы", 2006, Ульяновск Изд-во УлГУ, с 112

Подписано в печать 1 10 07 Формат 60x84/16 Гарнитура Times New Roman Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ № 138¡51t

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432970, г Ульяновск, ул Л Толстого, 42

Введение

1 Теория дисперсионного переноса, основанная на уравнениях с производными дробного порядка

1.1 От универсальных кривых переходного тока к устойчивым законам и дробным производным.

1.2 Асимптотический режим случайных блужданий Шера-Монтролла.

1.3 Физическое обоснование степенного распределения времён ожидания

1.4 Относительные флуктуации числа совершённых скачков

1.5 Кинетика в режиме многократного захвата

1.6 Модели рекомбинации, управляемой дисперсионным переносом

1.7 Амбиполярный дисперсионный перенос.

Выводы к главе 1.

2 Пространственные распределения неравновесных носителей заряда при дисперсионном переносе

2.1 Пространственная плотность неравновесных носителей заряда.

2.2 Распределение делокализованных носителей заряда

2.3 Дисперсионная диффузия водорода.

2.4 Профили распределения носителей при наличии рекомбинационных центров

2.5 Моделирование дисперсионного переноса с помощью конечно-разностного метода.

2.6 Моделирование дисперсионного переноса методом Монте-Карло.

Выводы к главе 2.

3 Затухание переходного тока в неупорядоченных полупроводниках и кинетика, основанная на дробных производных

3.1 Переходный ток в неупорядоченных полупроводниках.

3.2 Релаксация фотопроводимости в неупорядоченных полупроводниках

3.3 Переходный ток в полупроводниках с распределённым дисперсионным параметром

3.4 Проводимость неупорядоченных полупроводников на переменном токе

3.5 Дисперсионный перенос и перколяция

3.6 Непуассоновское распределение ловушек в пространстве.

Выводы к главе 3.

4 Дисперсионный перенос в структурах на основе неупорядоченных полупроводников

4.1 Учёт пространственного распределения локализованных состояний

4.2 Переходный ток в структурах неупорядоченный полупроводник - кристаллический полупроводник.

4.3 Частотная зависимость комплексной проводимости диода при дисперсионном переносе.

Выводы к главе 4.

5 Ограничения применимости дробно-дифференциальной модели, её недостатки и преимущества.

Модифицированная дробно-дифференциальная модель.

5.1 Недостатки и преимущества дробно-дифференциальной модели дисперсионного переноса.

5.2 Усечение как следствие вторичного механизма переноса.

5.3 Учёт усечения степенного распределения времён ожидания при описании дисперсионного переноса.

5.4 Нерешённые проблемы и возможные пути их решения.

Выводы к главе 5.

Дисперсионный (негауссов, субдиффузионный) перенос (ДП) [1]-[3] наблюдается во многих неупорядоченных материалах, различающихся своей микроскопической структурой: в аморфном гидрированном кремнии [4, 5], аморфном селене [6, 7], аморфных халькогенидах [8, 9], в органических полупроводниках [10, 11], в пористых твёрдых телах [12, 14, 15], в наноструктур-ных материалах [16], в поликристаллических плёнках CdTe [17], жидких кристаллах [18] и др. Сопоставление результатов экспериментов свидетельствует о наличии универсальных свойств переноса [59, 60] - свойств не зависящих от детальной атомной и молекулярной структуры вещества [19]. ДП считается альтернативой гауссова переноса, впрочем существуют попытки (см. например [116]) описать дисперсионную диффузию с помощью обычного диффузионного уравнения и гауссовой формы пакета частиц.

Существует несколько различных подходов к описанию ДП. В 1975 году Шер и Монтролл [34] успешно интерпретировали экспериментальные данные время-пролётного эксперимента. Главный пункт их модели - гипотеза о степенном распределении времён пребывания носителей в локализованных состояниях. Это распределение предполагает бесконечность среднего значения времён ожидания. Последний факт обуславливает неприменимость к описанию ДП центральной предельной теоремы и модели случайного гауссовского процесса. В результате ДП не описывается стандартным кинетическим уравнением Больцмана, законом Фика и диффузионно-дрейфовом уравнением.

Математическая основа модели Шера и Монтролла - интегральные уравнения случайных блужданий. Степенное распределение времён ожидания, как отмечается в [57], может быть следствием как прыжкового переноса по распределённым в пространстве ловушкам, так и переноса, управляемого многократным захватом на распределённые по энергии локализованные состояния. Впрочем, часто модель многократного захвата рассматривается как самостоятельный подход, основанный на кинетических уравнениях захвата-эмиссии [7]. Из кинетических уравнений захвата-эмиссии Архипов и Руден-ко [23] вывели аналог диффузионно-дрейфового уравнения, который содержит зависящие от времени подвижность и коэффициент диффузии носителей. Вывод этого уравнения, впрочем, содержит предположение, о котором будет сказано ниже. Как будет показано, уравнение Архипова-Руденко и их решения не переходят в уравнение и решения для нормального переноса при устремлении дисперсионного параметра к единице, не позволяя, тем самым, описывать нормальный перенос и ДП в рамках единого формализма.

В предлагаемой работе обосновывается необходимость описания ДП носителей заряда в неупорядоченных полупроводниках с помощью устойчивых законов и уравнений с производными дробного порядка. Впервые о дробных производных в теории полупроводников упоминается в книге Бабенко [21]: автор привлекает аппарат дробного дифференциального исчисления для нахождения временной зависимости концентрации на границе р-п-перехода при нормальном переносе по заданной плотности тока. Основной приём решения в [21] заключается в разложении оператора нормальной диффузии:

1 JL) (91/2 где dll2/dtll2

-дробная производная Римана-Лиувилля порядка 1/2. Но следует отметить, что ещё в 1983 году в статье Архипова, Поповой и Руден-ко [22] через интеграл Римана-Лиувилля дробного порядка была выражена связь концентраций свободных и локализованных носителей при ДП, правда сами авторы дробно-дифференциальную терминологию не используют. В их последующих работах (см. например [23]-[28]) чаще встречается другое приближённое соотношение между концентрациями локализованных и свободных носителей, которое сами авторы иногда называют "основным уравнением ДП". Это соотношение считается справедливым для любой плотности локализованных состояний, а в случае экспоненциальной плотности позволяет выразить результаты через элементарные функции. "Основное уравнение ДП" Архипова-Руденко приводит к диффузионному уравнению с переменными коэффициентом диффузии и подвижностью [24].

В терминах интегрального преобразования Лапласа из кинетических уравнений захвата-эмиссии, записанных Нуланди [7, 29], Тиджи [30] вывел уравнение переноса в пренебрежении диффузией для концентрации свободных носителей. Обратное преобразование Лапласа этого уравнения представляет собой дробно-дифференциальное уравнение [31].

Баркаи [32] применил дробно-дифференциальное уравнение Фоккера-Планка, предложенное в статье [33] Метцлера, Баркаи и Клафтера, для объяснения релаксации переходного фототока в аморфных полупроводниках. В [32] показана согласованность некоторых результатов, полученных на основе дробно-дифференциального подхода, и предсказаний модели Шера и Монтролла [34]. Для оправдания введения дробно-дифференциального уравнения автор [32] приводит следующие слова: "Перенос в упорядоченных средах часто моделируется с помощью диффузионного уравнения. Этот подход наиболее прост и является самым распространённым. ДП типа Шера и Монтролла, экспериментально наблюдаемый в различных неупорядоченных полупроводниках, может быть феноменологически описан с помощью дробного уравнения Фоккера-Планка. Это единственный пример из всех физических явлений, в котором другой тип исчисления (в данном случае интегральное и дифференциальное исчисление дробного порядка) играет центральную роль". Авторы [33] не выводили уравнение строго из каких-то начальных посылок, а обосновали его адекватность аномальному переносу выполнением следующих требований:

1. в отсутствие внешней силы, выполняется субдиффузионное соотношение для временной зависимости ширины пакета частиц;

2. при наличии внешней не зависящей от времени нелинейной силы стационарное решение уравнения является больцмановским распределением;

3. выполняется обобщённое соотношение Эйнштейна;

4. при устремлении дробного показателя к единице уравнение переходит в стандартное уравнение Фоккера-Планка.

Другое дробно-дифференциальное диффузионное уравнение, полученное в [37] простой заменой производной по времени в стандартном уравнении диффузии производной дробного порядка рассматривает Бискерт [38] в отношении к переносу путём многократного захвата. Неизвестная функция в этом уравнении с несохраняющейся нормировкой интерпретируется как концентрация делокализованных носителей. Автор [38, 39] не рассматривает решения интерпретируемого уравнения и не применяет уравнения к описанию времяпролётных экспериментов. Автор [39] использует это уравнение для объяснения степенного затухания фотопроводимости и степенной релаксации люминесценции в полупроводниках с экспоненциальной плотностью локализованных состояний.

Степенное затухание фотолюминесценции в аморфных полупроводниках описывается в [40, 41] на основе обобщённой модели случайных блужданий с рекомбинацией путём туннельных излучательных переходов. Рекомбинация ограничивается дисперсионной диффузией носителей. Авторы [41] в рамках предложенной ими модели составили дробно-дифференциальное уравнение для плотности распределения времени первого достижения. Для нахождения темпа рекомбинации в [41] используется интегральное преобразование Лапласа предложенного дробно-дифференциального уравнения.

В [35, 36] было показано, что главные асимптотические члены решений уравнений случайных блужданий модели Шера и Монтролла являются решениями дробно-дифференциальных уравнений. Функциями Грина последних являются дробно-устойчивые плотности. В [42] найдено решение уравнения, предложенного в работе Бискерта [38], в терминах устойчивых плотностей. Подход, основанный на уравнениях с производными дробного порядка

1. позволяет в рамках единого формализма описывать нормальный перенос иДП;

2. даёт возможность вероятностной интерпретации процессов аномального переноса;

3. раскрывает причины универсальных свойств ДП в различающихся по своей структуре полупроводниках.

В связи с вышесказанным разработка теории ДП на основе дробно-дифференциальных уравнений является актуальной проблемой. Существуют единицы работ, посвящённые применению дробно-дифференциального подхода к описанию переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках. В упомянутых работах не проводился подробный сравнительный анализ результатов дробно-дифференциального подхода и результатов существующих теорий ДП. Не составлены уравнения амбиполярного ДП. В дробно-дифференциальных уравнениях не учитывалась мономолекулярная рекомбинация, распределение дисперсионного параметра, усечение степенных распределений времён пребывания носителей в локализованных состояниях. Дробно-дифференциальный подход не применялся при описании переноса в структурах на основе неупорядоченных полупроводников.

В настоящей работе будет показано, что универсальность кривых переходного тока и степенная зависимость времени пролёта от толщины образца свидетельствуют о дробно-дифференциальной кинетике ДП [43]. Будет продемонстрирована связь дробно-дифференциального подхода с моделью Шера и Монтролла и моделью многократного захвата. Кроме этого, покажем, что дробно-дифференциальное уравнение Фоккера-Планка, которое применяет Баркаи [32], и уравнение для концентрации делокализованных носителей, используемое Бискертом [38], связаны соотношением, полученным Архиповым, Поповой и Руденко [22]. Уравнение, применяемое Бискертом, было обобщено на случай диффузии со сносом в нашей работе [31]. В уравнениях произведём учёт мономолекулярной рекомбинации и рекомбинации за счёт туннельных переходов локализованных носителей. Будет рассмотрен случай распределённого дисперсионного параметра для моделирования неупорядоченных сред с доменной структурой. Составим дробно-дифференциальные уравнения ам-биполярного ДП. Для полученных уравнений будет разработан аналитический метод их решения. Для проверки адекватности выводимых уравнений и их решений аналитические результаты будем сравнивать с данными время-пролётного эксперимента, опытов по релаксации фотопроводимости, а также проводимости на переменном токе. В некоторых случаях будем использовать метод моделирования Монте-Карло в рамках схемы блужданий с непрерывным временем.

Цель диссертационной работы - разработка и апробация теоретической модели ДП на основе уравнений с производными дробного порядка. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать теоретическую модель ДП на основе дробно-дифференциальных уравнений для прыжковой проводимости, для многократного захвата и для комбинированного механизма переноса с учётом мономолекулярной рекомбинации и рекомбинации за счёт туннельных переходов.

2. Провести расчёты переходного тока в неупорядоченных полупроводниках и структурах на их основе и сравнить результаты дробно-дифференциального подхода с результатами других моделей ДП (модели Шера-Монтролла, модели многократного захвата Шмидлина-Нуланди-Тиджи, подхода Архипова-Руденко1).

3. На основании полученных уравнений и методов их решения рассчитать частотные зависимости комплексной проводимости на переменном токе для неупорядоченных полупроводников и диода на их основе при малом уровне инжекции.

Научная новизна полученных автором результатов:

1. Впервые показано, что универсальность кривых переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при ДП и степенная зависимость времени пролёта носителей от толщины образца свидетельствуют о дробно-дифференциальной кинетике, т. е. о том, что распространение пакета неравновесных носителей описывается уравнением с дробной производной по времени.

2. Связь ДП с моделью случайного устойчивого процесса Леви позволила вывести количественные условия ДП для механизма многократного захвата и прыжковой проводимости.

1 V. I. Arkhipov, A. I. Rudenko. Philos. Mag. В 45 (1982) 189.

3. Впервые в рамках дробно-дифференциального подхода найдены выражения для частотных зависимостей проводимости и диффузионной ёмкости полупроводникового диода на основе неупорядоченных полупроводников при ДП, управляемом захватом на распределённые по энергии локализованные состояния.

4. Впервые обнаружено, что переход от дисперсионного типа переноса к нормальному при увеличении размеров образца или ослаблении электрического поля во время-пролётных экспериментах является следствием усечения степенных распределений времён пребывания носителей в локализованных состояниях.

Практическая значимость.

1. При описании ДП в неупорядоченных полупроводниках на основе уравнений с дробными производными требуется меньше подгоночных параметров, чем в модели Шера-Монтролла и в модели многократного захвата Шмидлина-Нуланди-Тиджи. Уравнения с дробными производными точнее описывают кривые переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при значениях дисперсионного параметра, близких к единице, чем уравнение неравновесного переноса Архипова-Руденко.

2. Два составленных алгоритма моделирования ДП, основанные на конечно-разностном методе и стохастическом методе Монте-Карло, позволяют численно находить пространственные распределения неравновесных носителей заряда и токи проводимости, моделировать пространственно-временные траектории носителей, а также рассчитывать темп рекомбинации, управляемой ДП.

3. Дробно-дифференциальные уравнения диффузии-дрейфа, вид которых не зависит от механизма переноса, описывают одновременно и нормальный и ДП (в рамках единого формализма). Этот факт может использоваться для предсказания эффектов, связанных с переходом от нормального типа переноса к дисперсионному, в структурах на основе неупорядоченных полупроводников.

Положения, выносимые на защиту:

1. Универсальность кривых переходного тока во время-пролётных экспериментах и степенная зависимость времени пролёта носителей от толщины образца при ДП свидетельствуют о том, что распространение пакета неравновесных носителей описывается уравнением с дробной производной по времени.

2. Диффузионно-дрейфовое уравнение с производной по времени дробного порядка точнее описывает кривые переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при значениях дисперсионного параметра, близких к единице, чем уравнение нестационарного переноса Архипова-Руденко. Подход, основанный на дробно-дифференциальных уравнениях, позволяет в рамках единого формализма описывать нормальный и ДП.

3. Условия ДП, полученные с помощью обобщённой предельной теоремы:

- в случае многократного захвата перенос является дисперсионным, если средний квадрат флуктуаций энергии локализованных состояний сг^ превышает среднюю энергетическую глубину залегания ловушек, умноженную на больцмановскую температуру кТ; в случае прыжковой проводимости перенос будет дисперсионным, если квадрат флуктуаций расстояния между ловушками превышает среднюю длину прыжка, умноженную на половину радиуса локализации волновой функции.

4. В результате учёта мономолекулярной рекомбинации в диффузионно-дрейфовых уравнениях с дробной производной рассчитана частотная зависимость комплексной проводимости диода при ДП в случае малого уровня инжекции. На проводимость и диффузионную ёмкость в области высоких частот не влияют ни захват носителей на локализованные состояния в хвостах зон, ни рекомбинация носителей через глубокие центры.

5. Усечённые степенные распределения времён пребывания носителей в локализованных состояниях являются причиной перехода от дисперсионного типа переноса к нормальному во время-пролётных экспериментах при увеличении толщины образца и/или уменьшении внешнего электрического поля. Дисперсионный перенос соответствует временам пролёта tx (7 - параметр усечения), нормальный перенос - It 7-1.

Апробация работы. Результаты, полученные в работе, были доложены на

1. IV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003),

2. Семинаре кафедры вычислительной математики и кибернетики МГУ "Блуждание на фракталах" (Москва, 2004),

3. Летней школе фонда "Династия" (Москва, 2005),

4. VII Всероссийской молодёжной конференции по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2005),

5. VIII Международной конференции "Опто-, наноэлектроника, нанотех-нология и микросистемы" (Ульяновск, 2006),

6. Международной конференции в память о А. Н. Малахове "Critical Phenomena and Diffusion in Complex Systems" (Нижний Новгород, 2006),

7. Всероссийской конференции с международным интернет-участием "От наноструктур, наноматериалов и нанотехнологий к наноиндустрии" (Ижевск, 2007),

8. Ежегодных научных конференциях студентов-физиков Ульяновского государственного университета (Ульяновск, в 2004 и 2005 годах научная работа автора удостаивалась 1-го места),

Сообщения представлялись также на V, VI, VII Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, 2005; Кисловодск, 2006), VI Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2005), V Международной конференции "Аморфные и микрокристаллические полупроводники" (Санкт-Петербург, 2006), IX Международной конференции "Арсенид галлия и полупроводниковые соединения группы III-V" (Томск, 2006), VI Международной научно-практической конференции (Новочеркасск, 2006), Международной конференции "Nonlinear Science and Complexity" (Пекин, 2006).

В 2005 г. научная деятельность автора удостоена студенческой стипендии Правительства Российской Федерации. В 2005-2006 г. автор получал стипендию по итогам конкурса среди студентов-физиков, проводимого фондом "Династия".

Личный вклад автора. Исходные теоретические положения разработаны совместно с научным руководителем профессором В. В. У Чайкиным. Вывод аналитических выражений, проведение конкретных расчётов, сравнение с экспериментальными данными, численное моделирование и анализ его результатов выполнены автором самостоятельно.

Достоверность результатов. Представленные в диссертации результаты доказаны с использованием аналитических методов теории преобразования Лапласа, асимптотического анализа, теории вероятностей и случайных процессов. Достоверность некоторых результатов подтверждается согласием с экспериментальными данными. Правильность аналитических выражений

Введение

12 в рамках конкретных моделей проверяется численным моделированием методом Монте-Карло. Кроме того, показана согласованность некоторых результатов, полученных с помощью дробно-дифференциального подхода и результатов других теорий ДП. В ходе работы постоянно проверялось выполнение принципа соответствия, согласно которому результаты, полученные для ДП, при устремлении дисперсионного параметра к единице должны переходить в результаты теории нормального (гауссова) переноса.

Публикации. В ходе выполнения исследований по теме диссертации опубликовано 22 научных работы, 8 из которых - в журналах из списка ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения; содержит 122 страницы, включая 30 рисунков, 4 приложения и список литературы из 125 наименований.

Выводы к главе 5

1. Дробно-дифференциальная модель описывает асимптотический (при больших временах) режим ДП. Плотность распределения времён ожидания в модели Шера и Монтролла и плотность локализованных состояний в модели многократного захвата являются результатом усреднения по некоторому макроскопическому объёму образца. Подразумевается, что этот объём должен содержать достаточно большое число локализованных состояний. Следовательно, режим переноса уже является асимптотическим на расстояниях, сравнимых с объёмом, по которому производится усреднение.

2. Дробно-дифференциальные уравнения содержат мало подгоночных параметров, что с одной стороны обуславливает возникновение сложностей при описании экспериментально наблюдаемых характеристик переноса, с другой стороны снижает степень произвола в интерпретации экспериментальных данных.

3. Перечислим преимущества дробно-дифференциального описания. Уравнения ДП с производными дробного порядка и устойчивые законы:

• позволяют в рамках единого формализма описывать нормальный и

ДП;

• дают возможность вероятностной интерпретации процессов аномального переноса;

Глава 5. Ограничения применимости и недостатки

• раскрывают причины универсальных свойств ДП в различающихся по своей структуре полупроводниках;

• выделяют из всех возможных асимптотически автомодельные (самоподобные) решения;

• являются одинаковыми для различных механизмов переноса: прыжковой проводимости и многократного захвата - механизм определяет только функциональную зависимость параметров уравнения от внешних условий и микроскопической структуры полупроводника.

4. Для случая усечённых степенных распределений времён ожидания дробно-дифференциальные уравнения предсказывают переход от дисперсионного типа переноса к нормальному при увеличении толщины образца и/или уменьшении внешнего электрического поля. Режим ДП соответствует временам пролёта tr (т ~ параметр усечения), нормальный перенос - tx <С 7-1.

5. Усечение степенного распределения может быть вызвано вторичным механизмом, который действует на ряду с основным. Основной механизм переноса в отсутствие вторичного приводит к степенному распределению времён ожидания. В результате наложения вторичного механизма "тяжёлый хвост" распределения усекается.

В заключение сформулируем основные выводы диссертационной работы.

1. Из экспериментально установленных фактов (свойства универсальности кривых переходного тока и степенной зависимости времени пролёта от толщины образца) с необходимостью следует, что концентрации нерав-новеных носителей при ДП выражаются через устойчивые плотности и удовлетворяют диффузионно-дрейфовым уравнениям с производными дробного порядка.

2. Система дробно-дифференциальных уравнений, включающая в себя

- диффузионно-дрейфовые уравнения униполярного ДП для концентраций локализованных и делокализованных носителей с учётом мономолекулярной рекомбинации и рекомбинации за счёт туннельных излучательных переходов;

- дробно-дифференциальные уравнения амбиполярного ДП;

- диффузионно-дрейфовые уравнения с распределённым дисперсионным параметром, для описания переноса в неоднородно неупорядоченных средах;

- уравнение для случая усечённых степенных распределений времён ожидания, может служить феноменологической основой для описания ДП в неупорядоченных полупроводниках.

3. Дробно-дифференциальный подход согласуется с теорией Шера и Монтролла и моделью многократного захвата, но при этом дробно-дифференциальная модель позволяет в рамках единого формализма описывать нормальный и ДП. Устойчивая плотность потока вероятности при дисперсионном дрейфе доказывает справедливость гипотезы Шера и Монтролла о степенном распределении времён ожидания. В отличие от решений, полученных с помощью "основного уравнения ДП" Архипова-Руденко [23, 24], решения дробно-дифференциальных уравнений удовлетворяют принципу соответствия, т. е. при устремлении дисперсионного параметра а к единице переходят в решения для нормального переноса, при этом сами уравнения переходят в классическое уравнение Фоккера-Планка.

4. При описании ДП в неупорядоченных полупроводниках на основе уравнений с дробными производными требуется меньше подгоночных параметров, чем в модели Шера-Монтролла и в модели многократного захвата Шмидлина-Нуланди-Тиджи. Уравнения с дробными производными точнее описывают кривые переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при значениях дисперсионного параметра, близких к единице, чем уравнение неравновесного переноса Архипова-Руденко.

5. С применением обобщённой предельной теоремы получены условия ДП:

- в случае многократного захвата ДП будет наблюдаться, если средний квадрат флуктуаций энергии локализованных состояний erf будет превышать среднюю энергетическую глубину залегания ловушек, умноженную на больцмановскую температуру кТ;

- в случае прыжковой проводимости перенос будет дисперсионным, если квадрат флуктуаций расстояния между ловушками превышает среднюю длину прыжка, умноженную на половину радиуса локализации волновой функции.

6. Для случая усечённых степенных распределений времён ожидания дробно-дифференциальные уравнения предсказывают переход от ДП к нормальному переносу при увеличении толщины образца и/или уменьшении внешнего электрического поля. ДП соответствует временам пролёта tx 7~1 (7 - параметр усечения), нормальный перенос - tx -С 7"1. Этот эффект наблюдается в некоторых органических полупроводниках (см. например [10]).

7. Если показатель степени в распределении времени пребывания носителей в ловушке может принимать одно из значений упорядоченного набора {ai, «2,., ат} (дискретный спектр), то на начальном временном участке поведение переходного тока определяется максимальным значением атйх = ат, а на конечном - минимальным значением C^min — Oil ф Oiffi- Это объясняет различие дисперсионных параметров на начальном и конечном участках кривых переходного тока в некоторых неупорядоченных полупроводниках.

8. С помощью дробно-дифференциального уравнения многократного захвата с мономолекулярной рекомбинацией получены выражения для частотных зависимостей проводимости и диффузионной ёмкости полупроводникового диода при ДП. В случае, когда а —> 1, выражения переходят в известные соотношения для диода на основе кристаллических полупроводников. На проводимость и диффузионную ёмкость в области высоких частот не влияют ни захват носителей на локализованные состояния в хвостах зон, ни рекомбинация носителей через глубокие центры.

1. А. Меден, М. Шо. Физика и применение аморфных полупроводников. М.: Мир, 1991, 670с.

2. И. П. Звягин. Кинетические явления в неупорядоченых полупроводниках.- М.: Мир, 1984, 192с.

3. Н. Мотт, Э. Девис. Электронные процессы в некристаллических веществах. М.: Мир, 1982, 664с.

4. W. Fuchs, М. Milleville, J. Stuke. Phys. State. Sol. (b) 89 (1978) 495.

5. J. M. Hvam, M. H. Brodsky. Phys. Rev. Letters 46 (1981) 371.

6. G. Pfister. Phys. Rev. Lett. 86 (1976) 271.

7. J. Noolandi. Phys. Rev. В 16 (1977) 4466.

8. Б. Т. Коломиец, Э. А. Лебедев, Л. П. Казакова. ФТП 12 (1978) 1771.

9. С. Д. Шутов, М. А. Иову, М. С. Иову. ФТП 13 (1979) 956.

10. Н. Bassler. Phys. Status Solidi В 175 (1993) 15.

11. A. P. Tyutnev, V. S. Saenko, E. D. Pozhidaev, V. A. Kolesnikov. J. Phys.: Condens. Matter 18 (2006) 6365.

12. H. С. Аверкиев, Л. П. Казакова, Э. А. Лебедев, Ю. В. Рудь, А. Н. Смирнов, Н. Н. Смирнова. ФТП 34 (2000) 757.

13. Н. С. Аверкиев, Л. П. Казакова, Н. Н. Смирнова. ФТП 36 (2002) 355.

14. Н. С. Аверкиев, Л. П. Казакова, Ю. П. Пирятинский, Н. Н. Смирнова. ФТП 37 (2003) 1244.

15. Л. П. Казакова, М. Г. Мынбаева, К. Д. Мынбаев. ФТП 38 (2004) 1118.

16. К. R. Choudhury, J. G. Winiarz, M. Samoc, P. N. Prasad. Applied Physics Letters 82 (2003) 406.

17. R. Ramirez-Bon. Phys. Rev. В 48 (1993) 2200.

18. N. Boden, R. J. Bushby, J.Clemenis. J. Chem. Phys. 98 (1993) 5920.

19. H. Scher, M. Lax. J. Non-Cryst. Solids 8/10 (1972) 497.

20. Дж. Какалиос., У. Джексон. В кн.: Аморфный кремний и родственные материалы: Под ред. X. Фрицше. - М.:Мир, 1991, 544 с.

21. Ю. И. Бабенко. Тепло- и массоперенос. Ленинград: Изд-во Химия, 1986.

22. В. И. Архипов, Ю. А. Попова, А. И. Руденко. ФТП 17 (1983) 1817.

23. V. I. Arkhipov, A. I. Rudenko. Philos. Mag. В 45 (1982) 189.

24. В. И. Архипов, А. И. Руденко, А. М. Андриеш, М. С. Иову, С. Д. Шутов. Нестационарные инжекционные токи в неупорядоченных твердых телах. Кишинёв, 1983.

25. В. И. Архипов, Л. П. Казакова, Э. А. Лебедев, А. И. Руденко. ФТП 22 (1988) 723.

26. V. I. Arkhipov, А. I. Rudenko, G. М. Sessler. J. Phys. D: Appl. Phys. 26 (1993) 1298.

27. V. I. Arkhipov, I. A. Perova. J. Phys. D: Appl. Phys. 26 (1993) 1301.

28. Е. В. Емельянова, В. И. Архипов. ФТП 32 (1998) 995.

29. J. Noolandi. Phys. Rev. В 16 (1977) 4474.

30. Т. Tiedje. In.: The Physics of Hydrogenated Amorphous Silicon II. Electronic and Vibrational Properties: Edited by Joannoulos J. D. and Lucovsky G. - Springer-Verlag, 1984, 448 p.

31. P. Т. Сибатов, В. В. Учайкин. ФТП 41 (2007) 346.

32. Е. Barkai. Phys. Rev. Е 63 (2001) 046118-1.

33. R. Metzler, E. Barkai, J. Klafter. Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 3563.

34. H. Scher, E. W. Montroll. Phys. Rev. В 12 (1975) 2455.

35. В. В. Учайкин. ЖЭТФ 115 (1999) 2113.

36. V. V. Uchaikin, R. Т. Sibatov. In "Nonlinear Science and Complexity"/ Edited by A. C. J. Luo, L. Dai, H. R. Hamidzadeh (World Scientific, Singapore) (2007).

37. R. Hilfer. J. Phys. Chem В 104 (2000) 3914.

38. J. Bisquert. Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 010602-1.

39. J. Bisquert. Phys. Rev. E 72 (2005) 011109-1.

40. K. Seki, M. Wojcik, M. Tachiya. J. Chem. Phys. 119 (2003) 7525.

41. K. Seki, M. Wojcik, M. Tachiya. J. Chem. Phys. 124 (2006) 044702-1.

42. Учайкин В. В., Сибатов Р. Т. Обозр. прикл. и пром. матем. 12 (2005) 540.

43. В. В. Учайкин, Р. Т. Сибатов. Письма в ЖЭТФ 86 (2007) 584.

44. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987, 688 с.

45. A. A. Kilbas, Н. М. Srivastava, J. J. Trujillo. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier, 2006.

46. Bouchaud J.-P., Georges A. Phys. Rep. 195, 127 (1990).

47. Isichenko M.B. Rev. Mod. Phys. 64 (1992) 961.

48. Montroll E.W., Weiss G.H. J. Math. Phys. 6 (1965) 167.

49. Weiss G.H., Rubin R.J. J. Stat. Phys. 14 (1976) 333.

50. Shlesinger M.F., Klafter J., Wong Y.M. J. Stat. Phys. 27 (1982) 499.

51. В. В. Учайкин. УФН 173 (2003) 847.

52. A. M. Дыхне, П. С. Кондратенко, Л. В. Матвеев. Письма ЖЭТФ 80 (2004) 464.

53. R. R. Nigmatullin. Phys. Status Solidi В 123 (1984) 739.

54. R. R. Nigmatullin. Phys. Status Solidi В 124 (1984) 389.

55. A. I. Saichev, M. Zaslavsky. Chaos 7 (1997) 753.

56. R. Metzler, J. Klafter. Phys. Rev. E 61 (2000) 6308.

57. G. Pfister, И. Scher. Phys. Rev. В 15 (1977) 2062.

58. W. Van Roosebroeck. Physical Review 119 (1960) 636.

59. A. K. Jonscher. Dielectric Relaxation in Solids. Chelsea Dielectric Press, London, 1983.

60. A. K. Jonscher. Universal Relaxation Law. Chelsea Dielectric Press, London, 1996.

61. V. V. Uchaikin, V. M. Zolotarev. Chance and Stability. Ultrech, The Netherlands, VSP, 1999.

62. В. M. Золотарев. Одномерные устойчивые распределения. М.: Физматлит, 1983, 304 с.

63. R. G. Enck, G. Pfister. In: Photoconductivity and Related Phenomena, Elseiver, New York, 1976, Ch. 7.

64. M. Silver, L. Cohen. Phys. Rev. В 15 (1977) 3276.

65. Т. Tiedje, J. M. Gebulka, D. L. Morel, B. Abeles. Phys. Rev. Lett. 46 (1981) 1425.

66. В. Спир. Перенос с участием состояний хвостов зон в аморфном кремнии. В кн.: Аморфный кремний и родственные материалы: Под ред. X. Фрицше. - М.:Мир, 1991, 544 с.

67. Т. Tiedje, A.W. Rose. Solid State Commun. 37 (1981) 49.

68. J. К. E. Tunaley. J. Appl. Phys. 43 (1972) 4783.

69. B. Kaczer, V. Arkhipov, R. Degraeve, N. Collaert, G. Groeseneken, M. Goodwin. Appl. Phys. Lett. 86 (2005) 143506-1.

70. В. P. Никитенко, А. П. Тютнев. ФТП 41 (2007) 1118.

71. В. P. Никитенко, А. П. Тютнев, В. С. Саенко, Е. Д. Пожидаев. Химическая физика 23 (2004) с. 92.

72. Б. И. Шкловский, A. JI. Эфрос. Электронные свойства легированных полупроводников. М.: Наука, 1979, 416 с.

73. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и её приложения, М.: Мир, 1967.

74. V. Balakrishnan. Physica А 132 (1985) 569.

75. R. Metzler, J. Klafter, I. Sokolov. Phys. Rev. E 58 (1998) 1621.

76. E. Barkai, R. Metzler, J. Klafter. Phys. Rev. E 61 (2000) 132.

77. I. M. Sokolov, A. Blumen, J. Klafter. Physica A 302 (2001) 268.

78. I. M. Sokolov. Phys. Rev. E 63 (2001) 056111-1.

79. R. Hilfer. Fractals 3 (1995) 211.

80. Г. Г. Гусаров, Д. А. Коробко, В. А. Орлов, В. В. Учайкин. Учёные записки Ульяновского ГУ (серия физическая) 6 (1999) 26.

81. В. В. Учайкин, Д. А. Коробко. ЖТФ 74 (2004) 12.

82. J. К. Е. Tunaley. J. Appl. Phys. 43 (1972) 4777.

83. D. ben-Avraham, S. Havlin. Diffusion and Reactions in Fractals and Disordered Systems, Cambridge, University Press, 2000, 316 p.

84. V. V. Uchaikin. Physica A 255 (1998) 65.

85. A. I. Rudenko. J. Non-Cryst. Solids 22 (1976) 215.

86. F. W. Schmidlin. Solid State Comimm. 22 (1977) 451.

87. В. И. Архипов, В. P. Никитенко. ФТП 33 (1999) 945.

88. J. Orenstein, M.A. Kastner, V. Vaninov, Philos. Mag. В 46 (1982) 23.

89. С. Main, R. Bruggemann, D. P. Webb, S. Reynolds. Solid State Commun. 83 (1992) 401.

90. H. Naito, J. Ding, M. Okuda. Appl. Phys. Lett. 64 (1994) 1830.

91. T. Nagase, H. Naito. J. Non-Cryst. Sol. 227-230 (1998) 824.

92. T. Nagase, K. Kishimoto, H. Naito. J. Appl. Phys. 86 (1999) 5026.

93. M. Takeda, K. Kimura, K. Murayama. J. of Solid State Chemistry 133 (1997) 201.

94. O. Bisi, S. Ossicini, L. Pavesi. Surface Science Reports 38 (2000) 1.

95. H.C. Аверкиев, Л.П. Казакова, H.H. Смирнова. ФТП 36 (2002) 355.

96. А. П. Тютнев, В. С. Саенко, Е. Д. Пожидаев, Н. С. Костюков. Диэлектрические свойства полимеров в полях ионизирующих излучений. М.: Наука (2005).

97. М. Pollak, Т. Н. Geballe. Phys. Rev. 122 (1961) 1742.

98. М. Lax. Rev. Mod. Phys. 32 (1960) Sec. I, 25.

99. H. Scher, M. Lax. Phys. Rev. В 7 (1973) 4491.

100. P. Ghosh, A. Sarkar, A. K. Meikap, S. K. Chattopadhyay, S. K. Chatterjee, M. Ghosh. J. Phys. D: Appl. Phys. 39 (2006) 3047.

101. S. R. Elliot. Philos. Mag. 36 (1977) 1291.

102. A. V. Vaysleyb. Phys. Rev. В 58 (1998) 8407.

103. В. И. Гаман. Физика полупроводниковых приборов. Томск: Изд-во НТЛ, 2000, 426 с.

104. В. Л. Бонч-Бруевич, С. Г. Калашников. Физика полупроводников. М.: Наука, 1977.

105. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989, 616 с.

106. N. Laskin. Commun. Nonlinear Sci. Num. Simul. 8 (2003) 847.

107. M. Kanter. Ann. Probab. 3 (1975) 697.

108. В. В. Учайкин, В. В. Саенко. Сибирский журнал вычислительной математики. Т. 6. № 2 (2003) 197-203.

109. Gu Q., Wang Q., Schiff E.A., Li Y.-M., Malone C.T. J. Appl. Phys., 1994, 76, p.2310.

110. Коугия К. В., Теруков Е. И., Фус В. ФТП, 1998, т. 32, с. 923.

111. В. Фус, К. Яан. В кн.: Аморфный кремний и родственные материалы: Под ред. X. Фрицше. - М.:Мир, 1991, 544 с.

112. R. A. Street. Advances in Physics 30 (1981) 593.

113. D. J. Dunstan, F. Boulitrop. J. Phys. 42 (1981) C4-331.