Свойства и сценарии самоорганизации пичковых автосолитонов в полупроводниковых структурах и других активных системах с диффузией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

!

' На правах рукописи

/

СЕВЕРЦЕВ АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ.

СВОЙСТВА И СЦЕНАРИИ САМООРГАНИЗАЦИИ ПИ.ЧКОВЫХ АВТОСОЛИТОНОВ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ и ДРУГИХ АКТИВНЫХ СИСТЕМАХ С ДИФФУЗИЕЙ

01.04.10 - физика полупроводников и диэлектриков

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой ст епе™ кандидата физико-математических наук

Москва -1998

Г; ,

су 5

Ч"»

сс

СП

с=э

Работа выполнена в Московском физило-техническом институте.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Осипов В.В.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

Вшценко В. А. - доктор физико-математических наук, * Лубашевский И.А.

Ведущая организация: Институт Радиотехники и Электроники РАН

//"ЗУ

Защита состоится "24" ноября 1998 года в-Я? -"на заседании диссертационного совета Д 063.91.03 в Московском физико-техническом институте по адресу: г. Долгопрудный, Московская область. Институтский переулок 9, МФТИ, аудитория 204 Нового корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института.

Автореферат разослан "22" октября 1998 года.

Ученый сскре^рь диссертационного совета

Скорик В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Одно из ярких явлений нелинейной физики состоит в спонтанном образовании различного рода неоднородных состояний (диссипативных структур) в неравновесных системах. Диссипативные структуры образуются в гидродинамических системах, плазме, полупроводниках, сверхпроводниках, а также в' химических и биологических системах. Поэтому проблемой образования диссипативных структур занимается большое число ученых в нашей стране и за рубежом. Б.С. Кернером и ВВ. Осиповым развита нелинейная теория сильно неравновесных локализованных состояний в различного рода активных системах, в частности, в полупроводниках и полупроводниковых приборах. Ими показано [1-3], что в разодетой электрическим полем неравновесной электронно-дырочной плазме (ЭДП) могут спонтанно возникать страты большой амплитуды, а в устойчивой ЭДП могут существовать автосолитоны - самоподдерживающиеся локализованные области высокой температуры и пониженной концентрации носителей заряда.

Теория, развитая Кернером и Осиповым [1-3], а также другими авторами, описывает свойства автосолитонов (АС) и диссипативных структур в системах с определенным типом нелинейности, в которых амплитуда образующихся стационарных неоднородных состояний, порядка единицы и ограничена нелинейиостями системы. В тоже время существует целый класс систем, которые имеют качественно иной тип нелинейности и в которых могут образовываться пичковые АС и другие автоволны и диссипативные структуры в виде сильно локализованных и сильно неравновесных областей гигантской амплитуды. Пичковые АС представляют собой достаточно универсальное явление и наблюдаются как во многих. полупроводниковых структурах и приборах, так и в других физических, химических и биологических системах. Однако, пичковые АС изучены крайне слабо: исследована форма одномерных пичковых АС и имеются лишь качественные предположения о некоторых их свойствах [1-3].

Данная диссертация посвящена развитию теории пичковых АС и более сложных пичковых диссипативных структур в системах с определенным видом нелинейности, типичным для многих полупроводниковых структур. Такая постановка задачи стимулируется также тем, что образование пичковых АС в полупроводниковых приборах приводит к гигантскому нарасганшо шумов (например, в случае микроплазм в обратно смещенных р-п переходах), а также к деградационным процессам и катастрофическим отказам полупроводниковых приборов, в том числе, фотодиодов и фшорс (ИСТОрОВ.

Цель диссертации состояла в развитии теории и изучении свойств сильно локализованных и сильно («¡равновесных состоянии — тепловых пичковых автосолитонов - образующихся в различного рода полупроводниковых структурах, разогретых излучением или током, а также в других активных системах с диффузией.

Научная новизна работы

В диссертации впервые проведено аналитическое исследование формы и устойчивости пичковых АС в виде сильно неравновесных локализованных областей, образующихся в некоторых слабонеравновесных полупроводниковых структурах, а также в других активных системах с диффузией, имеющих "квадратичный" тип пелинсГшосги. В частности

- проанализированы пичковые АС в виде локализованных областей высокой температуры Т, возникающие в полупроводниковой пленке, расположенной на теплопроводящей подложке, при однородной фотогенерацпи в ней электронно-дырочных пар в случае, когда их время рекомбинации тхТ'2;

- проанализированы пичковые АС в виде локализованных областей высокой плотности тока и температуры, возникающие в слаборачофетом обратносмещенном р-п переходе. Показано, что такие области можно вынужденно возбудить при токах на несколько порядков ниже тока, соот ветствующего порогу их спонтанного образования;

- проанализированы свойства пичковых АС, экспериментально и численно обнаруженных в автокаталитических химических реакциях и биологических системах с "кврчратичной" нелинейностью. Показана качественная идентичность их свойств со свойствами АС, формирующихся в полупроводниковых системах;

В диссертации также впервые получены следующие основные результаты:

- найдена амплитуда (максимальная температура Гта1) статических тепловых пичковых АС: Тпах ~ (Ь'1/ То » То, где I — характерная длина изменения тс..шературы, Ь — диффузионная длина неравновесных носителей или характерная длина растекания электрического тока (/->>/), Ти -температура термостата, а п=1 для одномерного АС; для двух и трехмерного АС п-1 или п=2 в зависимости от типа нелинейности системы. Показано, что амплитуда статических пичковых АС может достигать огромных величин и превышать тс пературу плавления полупроводника;

- обнаружен эффект спонтанного преобразования статического пичкового АС в бегущий пичковый АС. Показано, что в системе возможно

сосуществование статических и бегущих АС. Найдены и проанализированы условия преобразования статических пичковых АС в пульсирующие АС;

- показано, что одномерный пичковый АС в виде уз:;ой полоски или страты в двух или трехмерных системах неустойчив при любых параметрах систем и всегда делится на более мелкие фрагменты в виде пятен или шаров малого размера и высокой температуры;

- показано, что повышение уровня возбуждения системы может приводить к спонтанному делению статического пичкового АС сначала на два, а затем и большее число АС. Доказано, что деление одномерного АС связано с локальным пробоем активатора в центре АС, а двух и трехмерного радиально-симметричного АС - с нарастанием радиально-несимметричной флуктуации.

- на основе анализа устойчивости периодических пичковых АС доказано, что они могут быть устойчивы в широком диапазоне параметров системы. При этом, при одних и тех же параметрах в системе могут формироваться периодические последовательности пичковых АС различного периода;

- найдены условия и критический уровень возбуждения системы, выше которого в ней формируется пространственно-временной хаос в виде случайно возникающих и исчезающих пичковых АС. Показано, что такой хаос связан с конкуренцией процессов деления пичковых АС и их перекачкой на близком расстоянии. Численно обнаружена и изучена картина пичковых АС »■овершающих сложного гида автоколебания.

Практическая и научная ценность работы

1. Доказано, что в слабонеравновесных полупроводниках и других активных системах с диффузией могут формироваться сильно неравновесные локализованные области, например, в виде областей гигантской температуры и/или плотности тока при уровнях возбуждения системы на несколько порядков ниже уровня неустойчивости ее однородного состояния. Возникновение сильно неравновесных локализованных областей в полупроводниковых приборах приводит к гигантскому нарастанию шумов, а также к деградации приборов и их катастрофическим отказам. Поэтому полученные результаты могуг быть использованы для определения условий н режимов эксплуатации полупроводниковых прибором и усовершенствования технологии их изготовления.

2. Пичковые АС в виде сильно неравновесных локализованных областей - достаточно общее явление, которое наблюдается в сисючах различной природы, в том числе, в ангокатаипическнх химических реакциях, н фоточувствитсльных реакциях и многих моделях био.ю!ических систем.

Поэтому полученные результаты обладают достаточной универсальностью и расширяют наши знания об обнц .с свойствах неравновесных систем. Полученные результаты были использованы для интерпретации имеющихся численных и экспериментальных данных, в том числе, для объяснения экспериментально наблюдаемых явлений самоорганизации в автокаталитнческих химических реакциях, ничковых АС в разогреваемых током образцах !п8Ь и картины мерцающих микроплазм в обратносмещенных р-п переходах.

3. Развитые в диссертации аналитические методы могут быть использованы для изучения самоорганизации в других активных систем;« реакционно-диффузионного типа.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. В слабонеравновесных полупроводниковых структурах с "квадратичной" нелинейностью образуются пнчковые АС в виде сильно неравновесных локализованных областей малого размера /, амплцгуда которых (например, максимальная температура Т„ах в случае теплового АС) Тшх ~ (¡Л)" "Г„ » То, где / -- характерная длина изменения температуры, А — диффузионная длина неравновесных носителей или характерная длина растекания электрического тока (/.>>/), То ~ температура термостата, п=--1 для одномерно! о АС, а для двух и трехмерного АС п~1 или 2 в зависимости от типа нелинейности системы.

2. В тонкой полупроводниковой пленке, расположенной на тенлопроводящей подложке, разогреваемой в процессе фотогенерашш в ней электронов и дырок, скорость рекомбинации которых достаточно быстро увеличивается с ростом температуры, при уровнях рз'ннрева пленки на несколько порядков ниже уровня, соответствующего неустойчивости однородного распределен!!:: температуры, образуются тепловые пнчковые АС в виде сильно неравновесных областей малого размера порядка толщины пленки, температура решетки в которых может превысить температуру плавления полупроводника.

3. В о(, атносмещениых р-п переходах сильно локализованные облает и высокой температуры и плотности тока могуг образовываться при уровнях разогрева системы на несколько порядков ниже порога спонтанного расслоения однородного распределения тока. Даже прн столь низких уровнях разогрева температура решетки в таких областях Может превысить температуру' швления полупроводника.

4. В неравновесных полупроводниковых структурах может возникать новый тип автоволны - бегущий пичковый АС - в виде движущейся с

постоянной скоростью сильно локализованной облает мртноН амплитуды, бегущий пнчковмй ЛС формируется спонтанно при увеличении- уровня побуждения системы в результате неустойчивости статического нтмтт ЛС. В некотором диапазоне параметров системы возможно акушаюршк статических и бегущих пичковых АС.

5. При увеличении уровня по Суждения системы (например, скором» фагогснсрацин в тикоП полупроводниковой пленке или напряжения обратного смешения р-п перехода) штовый АС может спонтанно дс/шгеч с образованием двух, а затем и большего количсс) ва АС, т.е. реализуется эффект самопроизводства пичковых АС. Деление одномерного АС связано с локальным пробоем активатора в центре АС, а двух и трехмерного радиалыю-симметричното ЛС - с нарастанием ралнально-нееиммегричной флуктуации,

6. В однородно возбуждаемых полупроводниковых структурах и других активных системах с диффушей может образовываться стохаостическая структура (типа мерцающих микронлазм) в виде случайно зарождающихся и исчезающих пичковых АС. Такой хаос возникает при параметрах системы, таких что уединенный статический иичховый АС неустойчив относительно его деления и пульсаций, а механизм хаоса связан с конкуренцией процессов самопронзводегва пичковых АС к их перекачкой на близком расстоянии,

7. Если в двух и трехмерны,-: полупроводниковых структурах и других активных системах с квадратичной нелинейностью возбудить одномерный АС ч виде узкой полоски или страты высокой температуры, то она будет дроби и,ся на области малого размера порядка характерной длины изменения температуры.

Апробация работы, Основные результаты диссертации докладывались на V международной конференции "Физика сложных систем: нелинейная динамика" (Университет Пар-Илан, Тель-Авив, Израиль, 1997), Х(, научной конференции МФ1И (Долгопрудный, 1997), семинарах теоретического отдела ПЩ И1 К) "ОРИОН".

Публикации, Основные положения и результаты днссерташш опубликованы в 5 печатных работах.

Структура. н об»-см диссертжяш, Днсеершшя состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой лии-ратури. Она со,(ержш 111 страниц,» том числе 31 рисунка н список ;<шсрапры >.) йб тнктов.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации и сформулирована цель исследований; изложена научная новизна и практическая значимость результатов работы; сформулированы положения, которые выносятся на защиту; кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе дан обзор различных полупроводниковых структур и других активных систем с диффузией, в которых образуются пичковые АС. Излагается физика образования и обсуждаются некоторые свойства статических тепловых пичковых АС в полупроводниковых системах. Приводятся основные уравнения, описывающие пичковые АС, и обосновывается универсальный характер их свойств. Общие свойства пичковых АС, формирующихся в рассматриваемых системах, их эволюция и сценарии самооргангаации излагаются в последующих главах.

В разделе 1.1 рассматривается сэндвич-структура в виде тонкой полупроводниковой пленки, расположенной на тсплопроводящей подложке. Эта пленка однородно освещается светом, который поглощается при межзонных переходах. При рекомбинации фотоэлектронов и дырок выделяется энергия, равная ширине запрещенной зоны полупроводника Е/:. которая приводит к разогреву пленки. Такая сэндвич-структура описывается уравнениями теплового баланса и диффузии, усредненными но толщине пленки:

с>Т п со (Ь п

с-.шч*,—-^(Г-Ц). -.пь+а-^, (1.1)

где с, р, к - усредненные теплоемкость, плотность, коэффициент теплопроводности пленки, соответственно; й - коэффициент биполярной диффузии носителей, С - скорость фогогенерации электронно-дырочных пар, Т0 ~ температура подложки, тт~ характерное время релаксации температуры. Второй член в правой части первого из уравнений (1.1) отвечает за разофев пленки при рекомбинации носителей, а последний член описывает уход тепла га пленки в подложку.

Рассма.риваемая модель была предложена Ю.И. Балкареем с соавторами, которые исследовали условия неустойчивости (расслоения) однородного состояния фотогенерируемой электронно-дырочной плазмы (ЭДП) [4]. Расслоение реализуется, если скорость рекомбинации постелей достаточно быстро возрастает с температурой. Например, в случае тг ~ Т'2 расслоение ц исходит, когда температура пленки Т> 2Т0.

Результаты исследований, представленные во второй главе диссертации, показывают, что в слабо неравновесной пленке, когда ее однородное состояние устойчиво, могут формироваться пичковые АС в виде локализованных

областей высокой температуры и пониженной концентрации носителей. Это может происходить при очень низких уровнях возбуждения пленки, когда ее температура Т превышает Т0 лишь.на доли градуса. Пичковый АС можно возбудить вынужденно, например, за счет дополнительного локального кратковременного освещения пленки.

Физика образования теплового пичкового АС связана с тем, что повышение температуры пленки при постоянной концентрации носителей приводит к возрастанию скорости их рекомбинации Я = п/тг(Т). В свою очередь, это вызывает увеличите мощности IV = Ея п/тг, выделяемой при рекомбинации электронов и дырок, а значит и дальнейшее увеличение температуры. Таким образом, температура в данной системе является активатором, т.к. по ней осуществляется положительная обратная связь. Ингибитором, подавляющим нарастание температуры, является концентрация электронов и дырок. Действительно, увеличение скорости рекомбинации носителей -с ростом температуры приводит к падению их концентрации, а, •следовательно, и к уменьшению выделяемой при рекомбинации мощности. Поэтому в случае однородного кратковременного повышения температуры система возвращается в исходное состояние за счет падения концентрации носителей. Ситуация принципиально меняется при локальном кратковременном повышении температуры. В этом случае локальное уменьшение концентрации носителей, обусловленное повышенной рекомбинацией в области высокой температуры, создает градиент концентрации и возникает диффузионный приток однородно фотогенерируемых электронов и дырок га периферийных областей в область высокой температуры и пониженной концентрации. Такой диффузиошшй приток поддерживает необходимый уровень концентрации в рассматриваемой области, что в свою очередь обеспечивает в ней высокую температуру и приводит к формированию стационарного состояния в форме лоткового АС.

Очевидно, что для поддержания температуры в центре АС необходимо, чтобы характерная длина изменения концентрации, равная длине биполярной диффузии носителей I, была больше размера АС, который определяется характерной длиной изменения температуры /. Поэтому, условие /,>>/ является необходимым условием существования АС. Ясно также, что амплитуда АС, т.е. величина Ттах в его центре, увеличивается с ростом отношения !./!. При достаточно больших отношениях 1Л температура в АС может быть настолько большой, что превысит температуру плавления материала пленки. Этот результат доказан в главе 2 диссертации.

В разделе 1.2 рассматривается ЭДП, разогреваемая в процессе Оже-рекомбинашш. В такой плазме могут формироваться пичковыс АС в виде

сильно локализованных областей высокой зффекпiimolí icMiicpaiypu 'VIII »' нонижешюй KOHKCtrrpaiitiH постелей [1-3). Уравнения, описывающие (аку.о ¡итму, и физика образования ничковых ЛС аналогичны рассмотренным в предыдущем разделе, е «>й лишь разшшей, чю 7* есть температура ')ДП. а не температура решетки.

И разделе 1,3 рассматриваем« ондвич-Сфуктура, один и) слоен котрой преде пиша собой тонкую пленку н> полупроводника близкою к сова ненкому, другой есть речист ишш по.гтожка; сверху и снизу нанесены металлические электроды, При раки репс такой структуры током, в ней образую 1ея ннчковые АС в виде областей высокой плошает тока и тем! icpa i уры решежп.

Уряопештш, описывающими такую структуру, являв» ся уравнение теплопроводности, усредненное но го.тщине пленки, и vравнение пепрерынноети полною тока, усредненное по толщине подложки (I-3J:

ca»k*t><,0&-car-rtt), г, '-у-- ,7'лг, -f г - г, (1,2) a w Tr a w .

где «' -толщина пленки; Г, - падение напряжения на ней; (т(Т)^Т'

' прошмимосп, пленки m собственного полупроводника. Г - полное падение

напряжения па структуре; гг = С г, С ~ емкость едишщы плошали ap)tíi>pu, г

Н'/ст,; ст„ W - проводимость н толщина подложки; /, » (Г,

13 "ном случае активатором так/Г* является локальная темпера1\ра

пленки 7', Ишибигором, подавляющим нараскшие тсмиераиурм, шыиси'М

надеине напряжении V,. I) самом деле, согласно втрому jpaniieiinio (12). при

однородном увеличении чемппагуры, а зиачт и а(Т), происходит

уменьшение значения У,. Эю привод»» к уменьшению джоулевпй мошноеш,

выделяемой и пленке, а следовательно, i: к падению те>шсра1ури,

Поскольку плотность нжа j « а(Т)Е aiT)I', tr есть молмшшо

возрастшощая функция температуры, то из первою уравнения (1.2) .iciko

видеть, что вольт-амперная характеристика (I3AX) пленки им ce i учаенж с

отрицательным дифференциальным сопротивлением (ОДС), если шпетют

проводимости от температуры а(Т) возрастает быпрее, чем но линейному

чакону, При учете ре »истинной иодтожки за счет увеличения падения

напряжения па и ей V, при увеличении тока суммарная ПАХ всей аруктуры

(•зависимость токаJ от полною падения напряжения У- !', + /',) может не иметь

участка с ОДС ("скрытая" неоднозначная ПАХ). Таким обратом,

рзссмафшшемая структура представляет собой последовательное включение

пленки, ПАХ которой имеете участок ОДС, и нодложы», которая траст роль

ннешнею распределенного нагрузочного coupot пиления,

Хороню известно, что в полупроводнике с 5-образной ВЛХ (или с /V-образной зависимостью напряжения от тока Уф) и сосредоточенным нагрузочным сопротивлением, однородное распределение тока расслаивается и возникает лишь один шнур тока, амплитуда которого определяются видом нелинейности, т.е. зависимостью У(/). При увеличении полного тока шнур расширяется,, практически без изменения плотности тока и температуры в нем. Другая ситуация для случая сосредоточенной нагрузки реализуется, когда ВАХ пленки содержит участок с ОДС, который простирается практически неограниченно в область больших токов [5], т.е. зависимость У, от у имеет А-образный, а не Л'-образный вид. В этом случае также возникает единственный шнур тока, но его амплитуда определяется не видом загнсимости У(])> а размером структуры 3: Т^ ~ 3//, где / - характерная длина изменения температуры. При этом, увеличение полного тока практически не сопровождается увеличением размеров шнура, а приводит к росту плотности тока и температуры в нем. В этом случае шнур тока имеет вид узкого пичка большой амплитуды.

Полупроводниковая пленка, рассматриваемая в данном разделе, также . характеризуется Л-образной зависимостью У/ от _/, но нагрузка, роль которой играет рсзистивная подложка, я'оляется распределенной по площади структуры. В этом случае амплитуда АС определяется длиной растекания тока в подложке I. & 1У и может достигать огромных величин (таких, что происходит прогорание пленки) / ~ Т„т ~ (1Л), Другое принципиальное, отличие от предыдущих случаев состоит в том, что в рассматриваемой сэндвич-структуре может возникать не один пичковый АС, а много АС, и кроме того могут образовываться различные более сложные диссипативные пичковые структуры. Здесь может реализовываться целый ряд неожиданных эффектов, изучению которых посвящены последующие главы диссертации.

Пичковые АС в виде шнуров высокой плотности тока и температуры решетки могут формироваться также в обратносмещенных диодах (раздел 1,4). Уравнения и физика образования пичковых АС аналогичны рассмотренным'и разделе 1.3 с той разницей, что роль полупроводниковой пленки играет ОПЗ перехода, а роль распределенной нагрузки - квазинейтральные п- и /^-области.

В разделе 1.5 кратко обсуждаются микроплазмы, образующиеся в обратносмещенных р-п и р-\-п переходах и представляющие собой локальные области, в которых величина коэффициента лавинного умножения носителе;') и плотности тока на много порядков превосходят свои средние значения. Согласно [6] микроплазмы представляют собой пичковые ЛС, которые описываются уравнением баланса электронов, усредненным по толщине 0(13 р-п перехода, и уравнением непрерывности тока, усредненным но то .шише

квазинейтральных р- и я-областей. Как правило, наблюдаемые экспериментально микроплазмы представляют собой светящиеся точки, случайно возникающие в одних областях и исчезающие в других областях структуры (так называемая картина мерцающих микрошшм). О главе 4 диссертации дано качественное объяснение такого поведения микроплазм.

В разделе 1.6 рассматриваются термодиффузионные АС в виде поперечных страт в ЭДП, разогретой электрическим полем. В результате разогрева собственных или фотогенерируемых носителей в устойчивой однородной ЭДП могут образовываться горячие страты, перпендикулярные линиям тока, с высоким значением температуры и электрического поля, но с низкой концентрацией носителей [1-3]. Существование горячего АС определяется тем, что благодаря термодиффузии происходит интенсивный выброс горячих носителей из центра АС, т.е. из области высокой температуры, на его периферию. В результате в центре АС уменьшается концентрация носителей п. Так как плотность тока в образце постоянна, то это приводит к увеличению электрического поля и джоулевой мощности - у'Е ~ /п', разогревающей ЭДП. Область низкой концешрации носителей в центре АС не расплывается, поскольку диффузионный поток постелей в центр АС практически компенсируется термодиффузионным, направленным в противоположную сторону.

В разделе 1.7 рассмотрены простейшие модели автежатанм ичсских химических реакций, а также биологических систем, в которых могут образовываться различного вида иичковые АС. В таких системах АС представляют собой, как правило, области высокой концентрации одного из химических веществ - активатора и пониженной (или повышенной) концентрации другого вещества - ингибитора. В химических и биологических системах процесс активации связан с самопроизводством вещества, которое, в частности, происходит в результате автокатализа. Наиболее простейшая модель автокаталитической химической реакции была предложена П. Греем и С. Скоттом и сводится к двум уравнениям, которые в безразмерной форме имеют вид:

0+Л0гг)-0, ^ = Л>7-02;?->7+1, (1.3)

п СЛ

где переменные 0 и т) — концентрации химических веществ активатора и ингибитора; а=т/т,р в = 1/Ь, I, £, г», г, - характерные литы и времена изменения ко кнтраций в и 7, соответственно, а время и длина измеряются в единицах г,; и ¿; А - контролирующий параметр, определяемый кинетическими коэффициентами реакций и характеризующий уровень возбуждения системы.

В разделе 1.8 обращается внимание на мтсмигичсскуш общность описания пнчковых АС во всех рассматриваемых системах. Несмотря на различную физическую природу, все рассматриваемые системы сиодягся к одному и тому же типу модели, описываемой двумя релкциошю-диффузнойными уравнениями для активатора 0и ингибитора

ги^==/2ЛА-<7(0,>;,Л)( (1.4)

где 9 и 0 - некоторые нелинейные функции. Эти функции имеют качественно один и ют же тип пелинейногти и с точки зрения общей теории, развитой Кернером и Осиновым, свойства пичковых АС, формирующихся в рассматриваемых системах, имеют универсальный характер и определяются главным образом отношениями характерных времен и длин активатора и ингибитора: а^ г/г,, и е - 1/1.. Это позволяет выбрать наиболее простую базовую модель для детального аналитического изучения рассматриваемых явлений. Универсальность полученных результатов обосновывается численными исследованиями некоторых конкретных полупроводниковых структур.

Наиболее подходящей для аналитических иссчедонапий является модель Грея-Скогта (1.3), поскольку она допускает точное аналитическое решение и достаточно подробно исследована как экспериментально, так и численно, В ней реализуются разнообразные эффекты, которые должны на'податься в рассмотренных полупроводниковых структурах при соответствующем подборе их параметров.

[Угорая глава посвящена ¡.¡учению формы статических пичковых АС. В ней проведено аналитическое построение решений для одномерных и радиально-симметричных двух и трехмерных пичковых АС. Приведены также результаты численных исследований их формы и проанализированы особенности гшчпвых АС в некоторых полупроводниковых структурах.

В разделе 2.1 находится форма одномерного статического пичкового АС. "'"ак как условие е = 1/1. « 1 является необходимым условием существования АС, то для построения решения используется итерационный метод резких и плавных распределений, развитый в [3]. В первом приближении по е « I можно положить 7 = >7, = а»Ы в ннчке АС. Тогда решение уравнений (1.3) есть:

0{х) = 0тсНг(х12с), /,(*)= 1-0-7,)схр<-1*1), (2.1)

где

+ Л1), + (2.2)

где л, = л/пГ. Из (2.1)-(2 2) видно, что распределение активатора 0(х) сосредоточено в узкой области размера порядка е (в размерных единицах - /), а амплч^да ЛС 0„, ~ е~' = L/l » 1. На периферии ЛС распределения 0(х) и /^'удовлетворяют граничным условиям <у(±») = 0h~0 и q(±°°) = % = U соответствующим однородному состоянию системы. Из (2.2) видно, что решение существует при уровнях возбуждения А > Аь ~с '' «]. Это значит, что при малых значениях с пичковый АС можно возбудить в почти равновесной системе, при этом его амплитуда 9т ~ б может иметь огромную величину. Так например, расчеты, проведенные для разогреваемой в процессе рекомбинации фотогенерируемых носителей, полупроводниковой пленки, показывают, что пичковый АС может возникать, когда температура пленки Т превышает температуру подложки Т0 лишь на доли градуса. При этом температура в центре АС составляет десятки Tv и может превышать температур) плавления полупроводника.

Численный анализ уравнений (1.3) показывает, что при А > 1 формулы (2.2) дают невысокую точность (порядка 25%). Это связано с тем, что при А>1 необходимо учитывать следующие итерации, которые опнсывшот изменения ц(х) в пичке АС. В конце данного раздела проводится более точная процедура нахождения решения. Дм этого в диссертации развиваете» вариационный подход, основанный на многофункциональном вариационном методе, предложенном В.В.Оснповым. Найдено, что решение я виде готового ЛС перестает существовать при А > Aj **• 1,4. В главе 3 доказывается, что такой <й5ры» решения связан с потерей устойчивости ЛС, которая нрнвг шт к делению АС и формированию » системе более сложных ннчковых дншшатнвных структур.

В радделе 2.2 проведено построение решений ада раднально-симмотричных двух н трехмерных статических пнчковыч АС, В этом случае метод резких и плавных распределений не работает, так как t)(p) ecu. сильно меняющаяся в лнчке АС функнпг Решения находятся на основе развитого в диссертации вариационного метода.

Анализ полученных решений ноктывает, чго зрехмершй рздиалыю-скмметрмчимй ннчков; :ii ЛС существует при уровнях возбуждении Л >Ai,^5.<Si\ его подуншршга нрн .1 .Пляши к Аь н увсянчшшеия до к при увеличенииЛ до 1-Ц; при лом амшмтуд» ЛС » 1.2 е'\ При А > 2Л», как шкшано о последующих главах диссертации, статический ЛС теряет уеюГоитоси. отиосшелию радшимю-иесимметричиыч флукз>ацш1, которые «ринлччт к делений АС. Аналогичные результаты (с точностью до докфнфмическнч множите:«!!) млучшмея и да двумерною радпалыю-

и

о

симметричною АС. Таким образом, амплшуда двух и трехмерных аашчеекич ЛС про/юрннин.тнпп г,как н п случае одномерною АС, однако они моту i фору.иропаи.с* при гораздо более низких арониях позбуждеиня Л*-/;. При 7КП), они еуш1'С1Н)1(П при Ль ■' А < 2Л>„ т.е. » cjiuecnteniio более узкой об, мои параметра,/, чем одномерный статический АС,

И разделе 2.3 обеуждаюкя особенное!и иичковых АС и различных снетечач, Il;i оегюгкшшг полученных выше резулмаюн проводятся численные опенки Híipavteiptm сгазических АС, реализующихся м полупроводниковых С1р)к1>)П1\, рассмофениых п первой главе. Даося объяснение каюсфофмческнч отказам фоторезнеюрон на оспоге по.гирпво/шиковою MOicpnaia Cillli'Je.

Я) уравнений (1.3) и ('.•!) нидио, чю иуль-ипжлина уранисипя ,uni акшваюра, т.е. зависимое)). rjfT. определяемая уравнением '¡{(Кч.Л)-Л) при A cornt, имеет A'OÚpuuiNií пи;i, К системам с таким чипом ис.ншатоаи oí нося 1сн поаифоводииковые структуры, расемофсиные и ра »делах I.i - 1.5. В И-сиоечах, как видно в часшоеш из (2.1), при высоком значении акншаюра 0 и ничке АС значение ингпбиюра // понижено.

Однако сушеовукм еиаемы. и коюрых русгчифиваечая пу.и.-и юклима имеет /-образный вид. К таким системам, к часшоеш. ошосшся сиоема, оииеываюшая зермодиффушоннме АС i' ')ДП, pa¡oipeí ой электрическим полем (раздел 1.6), в Г-сиоемах oúpan ioiси ничковые АС. в коюрых велико не только значение акшваюра О, но и значение шнибиюра r¡. ')ю приводит к uynieciиепным омичинм от cxoííeiit иичмжмх АС, формирующихся )> Л-oieiesiax. Проведенное аналитической исследование нопзынае), чю для одномерною аашчеекою пнчкопою АС. фор ируюшеюся и Г-сиоемах, также оС1Ш01СИ ciip.iisi'xiunt.iMií рсчу.итлш, ih„i\чениые н ра i;ic.ic 2,1. Однако, а омичие oí Л-сиоем, аашческнй одномерный АС существует npi. иысоких уровнях во (Суждения сиоечы ннлои. до значен)»! А Л„ eoiwiieiCiüyiomero itoiepn уеюйчшюсш однородною состояния. Как иокашпр в последующих главах, 710 сшпано с icm. чю в "-сиоемах не реалипося эффею деления пичковых АС. II омичие oí Л-сисчем, » /-'•чаема* днух и ipexMcpnue радиалыю-сиччефичиие ничком,ie АС eyineciiiyioi при урошгх возбуждения А » Ль - е.. При -пом их амплитуда 0„ •» /;т е, растет более резко с уменьшением /;, чем и Л-еиаечах, Таким образом, при малых значениях /; иичконый АС можно возбуди') ь и слаб* нерашнжесиой системе, а его амплитуда 0т сможет иметь огромную величину.

В третьей главе исследуется устойчивость статических пичковых АС. В случае одномерного АС, линеаризуя уравнения (1.3) вблизи ранее найденных решений относительно флуктуации вида

Щх,0 = 3(Кх)сх.р(1к±гх-}1), ■ &/*,/) = £фс)ехр(3.1)

где к± — волновой вектор, перпендикулярный оси х, приходим к задаче на собственные функции и собственные значения:

{Но-аГ + е1клг)50(х) = Авгдг](х), (Нч-у + к12)3ф) = -201] 30(х), (3.2)

где

Ня -=-е2 ^¡сЫ2 +У, У=\-2Авп, Я, =-£/2/<&1 +\ + вг. (3.3) Для нахождения "опасных" флуктуаций активатора в одномерной системе (ки= 0) применяется метод итераций основанный на малости е [3]. Для этого в первом из уравнений (3.2) положим $г](х)=0 и рассмотрим следующую вспомогательную задачу:

Не6вп=ХМ.> (3.4)

где 60,,и X,— собственные функции и собственные значения. Задача (3.4) решается на осно.^ квантовомеханической аналогии. Из (3.3), (2.1) и (2.2) следует, что "потенциал" V в "Гамильтониане" йв с точностью до е « 1 равен У= \-2сН~2(х12е) и имеет форму узкой (размера порядка е) потенциальной ямы, локализованной в тике АС. Собственные значения и локализованные собственные функции такого потенциала известны из хсваитовой механики:

Л, =-5/4, ё0о=с1С\х/2£), (3.5)

4=0, <%( =/Л(х/2г)сГ2(.1с/2г), (3.6)

4=3/4, Щ=( 5Л2(х/2е)-\)сИ,(х/2е). (3.7)

Из формы функции о0ц видно, что она описывает изменение амплитуды АС, практически без изменения его формы. Найдено, что статический АС теряет устойчивость (Яе у< 0) относительно флуктуации ¿Д, когда

[ е лрь А*А а <«„(ЛН1П1 . , (3.8)

Д1СГ при А» Аь

Такая неустойчивость носит осциллирующий характер (¡т у ^ 0), в результате чего амплитуда АС нанимает пульсировать с частотой а)с = 1т у ~ г^"' Неустойчивость относительно пульсаций возникает благодаря тому, что при аз т„'гп « 1 более инерционный ингибитор // не успевает отслеживать и подавлять быстро меняющиеся нарастающие флуктуации активагора 0.

' Функция SO/ описывает трансляционный сдвиг АС . вдоль оси х. Неустойчивость относительно такой флуктуации возникает np,i

в < в({А), +с I / пр" л * Л (з.!,)

' ' 12 * ^ ) {/Гг/З при А» А, v '

и носит апериодический характер (1т у = 0). Нарастание такой флуктуации приводит к спонтанному преобразованию статического пичкового АС в гшчковый АС, бегущий с постоянной скоростью.

Функция SOj соответствует некоторому уширепню АС и появлению провала в его цепгре. Heyi гойчипость статического АС относительно флуктуации SO2 приводит к делению АС и реализуется дри достаточно больших уровнях возбуждения системы, когда А > А/ да 1.4. IIa основе полученных критериев построена диаграмма устойчивости пичкового АС на плоскости о-Л.

В двух и трехмерных системах (раздел 3.2) одномерный АС имеет вид узкой полосы или страты, соответственно. Из вида функций SO,, легко видеть, что флуктуация (3.1) с ? О и 50(х)~60и описывает синусоидальное изменение амплитуды АС вдоль направления, перпендикулярного оси х. Аналогично, при kj ^ 0 флуктуация (3.1) с S0(x)~S0i описывает извпание полоски в двумерной системе, а в трехмерной — появление на стенках страты ячеистой структуры. Полученные критерии показывают, что одномерный статический пичкозый АС в двух и трехмерных системах неустойчив при любг -х параметрах, причем относительно нарастания обоих типов улуктуащш. Волноиые нектора ynix флуктуации практически совпадают и имеют значение к'\~ 0.55е "' пли в размерных единицах к°л » 0.55 Г1. Таким образом характерный масштаб этих флушуацнй порядка /, т.е. совпадает с найме, ¿.шей характерной длиной системы.

Естественно ожидать, что в результате такой неустойчивости одномерный АС оудет дробиться на более мелкие фрагменты рг. ¡мера порядка / в виде пятен в двумерной системе или в виде шаров в трехмерной. Проведенные численные исследов- шя полностью подтверждают этот вывод. Данный результат объясняет, например, тот факт что в обрат посмешенных р-п переходах ток расслаивается на шнуры, а не на слои тока.

Исследование устойчивости радиалыю-симметричных пичковых АС, проведенное в разделе j.J, показывает, что результаты, полученные для трехмерного АС, верны с точностью ди логярифмических множителей и для двумерного АС. Найдено, что при а £ е раднаньно-симметричные пичковыг АС устойчивы при Аь<А< где Ah а 5.5 с и Aj2 да 9s. При А > Aäd пичковый АС теряет устойчивость относительна раднально-несимметричных

флуктуации, нарастание гогорых приводит к делению н последующему самопроизводстну пичковых ЛС. При а < -)/т' инчковый ЛС теряет устойчив; сть ешостгтсльно пульсации.

1) четвертой, главе изучается эволюция ничковых ЛС и сценарии формирования сложных диссипаишных структур. В разделе 4.1 приводятся результаты численных исследований уравнений (1.3) и исследуется тмтошт ннчкового ЛС в одномерной системе на основе критериев неустойчивости, чолученных в предыдущей главе.

Численные расчеты показывайся, что при уменьшении уровня возбуждения системы А амплитуда статическою АС начинает спонтанно пульсировать с частотой порядка т0если а в ти'т,, < а^ Такой пульсирующий ЛС неустойчив н через некоторое число пульсаций он скачкообразно нечезает. Устойчивый периодически пульсирующий почковый ЛС удается возбудить лишь в ограниченной системе, распер которой 3 < ¿.

При увеличении параметра А статический ннчковыП АС аи>шшш> преобразуется в иичковый АС, бетутций с постоянной скоростью, если а < а,«/, Численные расчеты показывают, что переход от статического ЛС к бегущему цинковому АС осуществляется скачком, т.е. бифуркация носит ддарлтическнй характер ветвления. Отсюда слсдуег возможность сосункпиаышш Гниуишх н статических АС, что подтверждается численно. Л шиш у/и бегущего пичкового АС пропорциональна а"' >> I, а его скорость с -а'12 1'хо. Как показывают численные исследования эти результаты нося г универсальный характер и остаются справедливыми для бетугих шоковых АС, формируюнцтхея полупроводниковых структурах.

Формирование пульсирующих и бегущих штшмх ЛС нроисходиг при То« Тц. Это условие, легко выполняется, например, для ')Дй, ратотреваемои в процессе Оже-рскомбншщш или для термо/тнффу «шмшых АС в виде поперечных страт в ЭДП, рашреваемой электрическим нолем. Оно выполняется благодаря тому, что время решмо^шашм шкнгемп гг в тч на много порядков больше г.ре.;гнп релаксации т средней энергии (|ел!1>сратуры) Тг т„ ■ Условие те << тг/ может ишихшши:я также для мш.роплазм в р-1-11 структурах, где т# ~ 10'и-И0"* (щашижкя временем пролета электрона ОНЗ структуры, а г, ~!<1Ш:-!И6 - щжнфмое врет ¡именення падения напряжения на ОПЗ, определяемое ашммш .едшшцы тошалт: структуры.

При г,, > г,, и достаточно больших уроьшх ыгшу&лаш ^методы .1 А,:-!.-} в результате нарастания флутлуа/лш чроисхоми шжшзшй пробой акпшатора в метре статическою ничкоашо АС и он деллтея ш Два

О

АС, разбегающихся в противоположные стороны. Численные исследования показывают, что процесс деления повторяется неоднократно до тех нор, пока система не заполнится периодически расположенными статическими АС с периодом порядка L. Такой эффект самопроизнодства пичковых АС наблюдался исцатю экспериментально полупроводниковых структурах [7| к в химических реакциях [8]. Результаты, полученные в данной диссертации, раскрывают механизм и условия самопронзводства пичковых АС. Р. работе [8] было также экспериментально показано, что эффект самопропшодстпа АС может приводить к возникновению в системе пространственно-временного хаоса в виде случайно возникающих и исчезающих АС.

В разделе 4.2 для выявления механизма возникновения .такого хаоса проведено исследование устойчивости периодической последовательности одномерных статических пичковых АС. Полученные результаты показывают, что периодические АС устойчивы, если их период Л при заданном А удовлетворяет условию Jm„(Aj < Л< Зтах(А). Иными словами, при одних и тех же параметрах в системе могут существовать периодические последовательности ..ичковых АС различного периода. При Л > 3„„Х(Л) статические АС становятся неустойчивыми относительно нарастания флуктуации 80, и происходит деление пичковых АС, в результаю чего их число удваивается, а период уменьшается в два раза. Такой процесс происходит спонтанно при увеличении уровня возбуждения сис.емы А. При 3<3„,„(А) статические АС станов: гея неустойчивыми относительно нарастания флуктуации, являющейся линейной комбинацией функций 80и, которая имеет период 2 Л и описывает увеличение амплитуды одного АС при уменьшении амплитуды другою. В этом случае реализуется эффект перекачки . пичковых АС, т.е. исчезновение одного из дв х близко расположенных АС. В результате перекачки число АС уменьшается вдвое, а период возрастает в два раза. Такой ц.оцесс происходит спонтанно при уменьшен!»' уровня возбуждения системы/).

Исследование зависимостей Г>„,„(А) и Л„ах(А) показывает, что при A>Aí~/0 реализуется ситуация, когда Зт:„(А) > J^,„/AJ/2. Это условие означает, что если при некотором Л > Ли произошло деление периодических АС (с периодом Зт,и(Л)), то образующаяся в результате деления периодическая последовательность АС с периодом Зтах(А)/2 будет неустойчива относительно перекачки АС. В этом случае следует ожидать возникновения в системе нерегулярных но времени и пространству колебаний. Однако, как показываю^ численные исследования, результатом возникновения неустойч! юстп при A>A¡¡ и а - I является лишь изменение чис.л статических АС. Так, если в

Качестве начального распределения взять последовательность пичковых АС произвольного периода, то количество АС, образующихся в результате процессол деления и перекачки, не кратно начальному их числу, а период образующихся АС удовлетворяет условию Зтт(А) < Л< 3ШМ(А).

Численные исследования, представленные в разделе 4.3, показывают, что сценарии эволюции одномерных пичковых АС становятся более разнообразными, когда а « 1. В этом случае статические пичковые АС неустойчивы относительно пульсаций и их преобразования в бегущие АС. Найдено, что при а « 1 и относительно малых уровнях возбуждения А ~ 1 в конечной системе может образовываться стационарная структура в виде синфазно пульсирующих пичковых АС с периодом ГГ ~ ¿, а и достаточно протяженной системе могуг возникать более сложного вида пульсирующие структуры: колебания АС, расположенных в различных частях системы, могут отличаться по фаз;. При а « 1 и больших уровнях возбуждения А ~ А* происходит наложение нескольких эффектов - самопроизводство АС, их перекачка и пульсации - которые определяют сложную динамику поведения АС и могут приводить к формированию в системе пространственно-временного хаоса. Последний обусловлен тем, что колебания периодических АС могут стимулировать деление или перекачку даже при выполнении условия Зтт(А) < 3 < Зтах{А). Хаос в виде случайно возникающих и исчеза-ющих пульсирующих пичковых АС наблюдается при а ~ е к А ~ 10.

В двух и трехмерных системах, как показано в главе 3, любая структура • меющая хотя бы в одном направлении размер Я ~ > /, неустойчива н разбивается на более мелкие области размера порям.<а / близкие к радиально-снмметричным пичковым АС. Дальнейшая их эволюция определяется устойчивостью пичковых АС и их взаимодействием. При а ~ / и А > Ал пичковые АС делятся до тех пор, пока они полностью не заполнят всю систему. Образующаяся структура представляет собой статические неупорядоченно расположенные пичковые АС, расстояние между которыми меньше /,. При а ~ в и А > в системе формируется пространственно-временной хаос в виде случайно возникающих и исчезающих пичковых АС. Механизм такого хаоса связан с неустойчивостью статических АС относительно пульсаций и конкуренцией процессов самопроизводства пичковых АС и их перекачки на близком расстоянии. Предложенный мехашнм образования хаоса позволяет качественно объяснить экспериментально наблюдаемую картину мерцающих микроплазм в обрлпоемещенных фотодиодах, турбулентности в полупроводниковых е1р\К1>рах ¡71.1¿попом разряде и химических реакциях [8],

оаювпып РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ:

1.- В слабонеравновесных полупроводниковых системах (при уровнях возбуждения много меньших уровня, соответствующею неустойчивости однородного состояния) могут формироваться сильно неравновесные локализованные области - пичконыс АС. Возникновение таких областей в полупроводниковых приборах приводит к гигантскому нарастанию шумов, а также к деградации приборов и их катастрофическим отказал' Поэтому исследование реальных ситуаций представляет собой важную практическую задачу, а полученные результаты мо!ут быть использованы для определения условий и режимов эксплуатации полупроводниковых приборов и усовершенствования технологии их изготовления.

2. В полупроводниковых стру турах с "квадратичным" типом нелинейности амплитуда образующихся пичкопых АС Ттт ~ (1Л)" То » Т,„ где / -характерная длина изменения температуры, I — диффузионная длина

. неравновесных носителей или характерная длина растекания метрического тока {!.»[), Т„ - температура термостата; для одномерного АС п /; для двух и трехмерного АС в /1-слстемах я /, а в ^-системах п г2.

3. В неравновесных полупроводниковых структурах может возникать новый тип автоволны - бегущий пичковый АС - в виде движущейся с постоянной скоростью сильно локализованной области огромной амплитуды. Бегущий пичковый АС может формироваться спонтанно при увеличс.ши уровня возбуждения системы в результате неустойчивости статического ппчкового АС. В некотором диапазоне параметров системы статические и бегущие пнчковые АС сосуществуют.

4. При увеличении уровня возбуждения системы возможно спонтанное деление и самопроизводство ничковых АС. В результате эффекта самопроизводства АС локальное кратковременное возмущение или малая неоднородность могут приводить к воз! лкновеншо пичковых диссинаптных структур, заполняющих всю систему.

5. В полупроводниковых структурах и других активных системах с диффузией может образовываться пространственно-временной хаос в виде случайно зарождающихся и исчезающих пичковых АС. К. .хапизм такого хаоса спяэан с конкуренцией процессов самопроиэводства пичковых АС и ь;< перекачки, а также неустойчивостью Л С относительно пульсаций. Данный механизм позволяет качественно объяснить картину мерцающих микроплазм, которые ограничивают предельные характеристики лавинных фотодиодов (ЛФД). Поэтому представляется важным провести экспериментальные .1 теоретические исследования р альных структур ЛФД с целыо оптимизации нх параметров.

6. В дпух и трехмерных полупроводниковых структурах и других активных системах с диффузией одномерный пичковый АС в виде узкой полоски или страты высокой температуры всегда дробиться на области малого размера порядка характерной длины изменения температуры.

7. Образование статических пнчковых ЛС и более сложных структур, в том числе бегущих и пульсирующих пичковых АС, стимулирует задачу выяснения возможности их использования в схемах функциональной обработки информации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. V.V. Osipov and A.V. Severtsev, Theory of self-replication and granulation of spike autosolitons // Physics Letters A 222, 1996, p.400-404

2. V.V. Osipov and A.V. Severtsev, Transverse instability of spike autosolitons // Physics Letters A 227, 1997, p.61-66

3. V.V. Osipov and A.V. Severtsev, Properties of spike autosolitons in arbitrary dimensional systems of activator-inhibitor type // V international conference on "Physics of Complex Systems: Nonlinear Dynamics", April 1997, Tel-Aviv, Israel, Book of ab-'acts, p. 43

4. A.B. Северцев, Пичковые автосолитоны в виде силыгонеравновесных локализованных областей в фотогенерируемой электронно-дырочной плазме // Тез. Докл. XL научной конференции МФТИ, Долгопрудный, 1997, с.91

5. V.V. Osipov and A.V. Severtsev, Arbitrary dimensional spike autosolitons // PhysicaA 249, 1998, p. 162-166

Цитируемая литература

[1] Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны. - М: Наука, 1991.

[2] Kerner B.S., Osipov V.V. Autosolitons: a New Approach to the Problem of Self-organization and Turbulence. - Kluwer Publisher, New York, 1994.

[3] Кернер B.C., Осипов В.В. // УФН,- 1989.- Т.157,- C.201; УФН,- 1990..-Т.160.-С.1.

[4] Балкарей Ю.И., Никулин М.Г. // ФТП. - 1976 - Т.10 - С. 1455, 2039; 1978 -Т.12 - С.347.

[5] Бараненков А.И., Осипов В.В. //Микроэлектроника,- 1972, Т.1., С.63.

16] Гафийчук В.В., Дацко Б.И., Кернер Б.С., Осипов В.В. // ФТП - 1990 - Т.24 -

с.724; ФТП - 1990 - Т.24 - с. 1282. [7] Nonlinear Dynamics and Pattern Formation in Semiconductors and Devices, Ed.

by F..!. Niedernostheide (Springer, Berlin, Heidelberg, 1994). [8| K.J. Lee and ILL. Swinney, Phys. Rev. E 51, 1899 (1995).

М<РТИ ЗЙК/ЧЛ y7S9 TUP.